4-2电与电磁法原理第四章02电测深法

水平地层的纵向电导和横向电阻
对于多层水平地层，当电流平行层面流动时，所 有地层表现的总电阻为各层电阻的并联，而电流 垂直层面流动时，总电阻为各层电阻的串联。 下面从地层中切出一个m层总厚度为，底面为 一米乘一米的柱体来分析。当电流平行层面流动 时，第i层沿层面的纵向电导为Si。柱体总的纵向 电导S为各层电导并联的结果：
U1


0
I 1 2 B 1 ( mr ) dm 2
J ( mr ) dm 0
• 式中：J０（ｍｒ)为零阶第一类贝赛尔函数； B１（ｍ）为积分变量m的函数。
• 对于层数确定的水平地层，根据地层界 面上电位和电流密度法向分量连续的边 界条件，可具体求出B1（m）的表示式。 • 例如，最简单的二层水平地层，利用ρ １ 和ρ 2 岩层分界面的相应边界条件可具体 求出
• • • •
③ 二层电测深曲线的性质 A、首支 B、中段 C、尾支
• (2)三层水平地层的电测深曲线 • ①三层电测深曲线的类型 • 三层水平地电断面，依照相邻地层电阻 率的相对关系，划分为如下四种类型： • H、A、Q、K
• ②三层量板 • 三层水平地层的断面参数ρ １、ｈ１、 • ρ ２、ｈ２、ρ ３给定后，由(6.1-63) 式可以计算出相应的三层电测深理论曲 线。 • 我国交通部第四铁路工程局和交通部科 学院曾经计算了约2000条理论曲线。
2 mh i 2 mh i
) )
(6.1-66)
Tn ( m ) n
• 电阻率转换函数递推公式(6.1-66)的导出， 免去应用边界条件解方程组求系数B１(m) 的计算，开辟了正演计算层状大地电测深 曲线的新领域。
用双曲函数表达：
• 可以由此推出向下递推的公式如下：
• 2水平地层的电测深曲线 • 二层和三层水平地层，是最简单、最常 见的地电断面，二层和三层电测深曲线 是讨论多层水平地层上电测深曲线的基 础。 • 因此，我们着重讨论二层和三层地电断 面的电测深曲线。 (1)二层水平地层的电测深ρ s 曲线 • ①二层电测深曲线的类型
• 每个测点的电测深观测结果，绘制成一 条视电阻率ρ s 随极距 AB/2变化的电 测深曲线。 • 通常将电测深曲线绘在双对数坐标纸上， 其横坐标表示供电 极距AB/2，纵坐 标表示相应的视电阻率值。 • 电测深曲线反映了测点下方垂直方向上 电性层的变化情况。
• (一) 水平层状大地上对称四极测深 • 1多层水平地层上的对称四极电测深视电 阻率表示式 • (1)多层水平地层地面点电流源的电场 • 如图6.1-39所示，水平地面下有n层水 平地层，各层电阻率分别为ρ １、ρ 2 … ρ ｎ； 各层厚度分别为h１、ｈ２…ｈｎ－１ ； 各层底面到地表的距离分别为H１、 Ｈ２…Ｈｎ-１，Ｈn→∞。
• • • • • • • • •
求解思路： U E ρs Ti(λ r) ① 用分离变量法求方程 ② 边界条件 ③ 通解 ④ 各层的电位表达式 ⑤ 利用边界条件求待定系数 A2、A3，…,An B1、B2，…,Bn-1
• 设地面点电流源A的强度为I。为求各层 中的电位表达式，将柱坐标系的原点设 在A点，Z轴垂直向下。 • 在所设条件下，电位与角无关，满足如 下形式的拉普拉斯方程：
(6.6-62)
• 则多层水平地层上的电测深ρ 写成：
S r
2
s
公式简
(6.1-63)

0
T 1 ( m )J 1 ( mr ) mdm
• 式中，T１（ｍ）定义为电阻率转换函 数又称核函数。 • 可见，电阻率转换函数与各层的层参数 (厚度和电阻率)及积分量m有关。
• (3) 电阻率转换函数的递推公式 • 对于二层水平地层情况，若将(6.1-58) 式先后代入(6.1-59)式和(6.1-62)式， 便得到二层水平地层的电阻率转换函数:
B1 (m )
(2)
I 1 2

K 12 e
2 mh 1 2 mh 1
1 K 12 e
(6.1-58)
• (2)多层水平地层上电测深的ρ 和电阻率转换函数
B1 (m ) I 1 2 B (m )
s
表示式
(6.1-59)
U
I 1 2
1 2 B ( m ) J
• ② 二层量板 • 对于ρ １、ρ 2 和ｈ１值均为已知的二层 水平断面，根据(6.1-63)式可以计算 出 相应的ρ s 随AB/2变化的关系曲线，称 为电测深理论曲线。若将不同μ １２值 的理论曲线按ρ ｓ／ρ １～ＡＢ／２ｈ1关 系绘制在同一张双对数坐标纸上，便构 成了电测深二层水平断面 的理论曲线， 简称二层量板。二层量板共有两张，如 图6.1-41所示。
• 3水平地层电测深曲线的解释 • 水平地层电测深曲线的解释包括定量和 定性两部分内容。 • 目前对电测深曲线做定量解释的方 法主 要有数值解释法、量板解释法以及其它 各种经验解释方法。 • 电测深曲线定量解释的内容是确定曲线 所反映各电性层(或主要电性标志层)的 厚度及电阻率值。
• 电测深资料定性解释的任务是确定工作地 区地电断面的类型，与地质分界的关系， 建立测区内地电断面变化的初步概念，获 得地质断面、地质构造的定性认识。 • 电测深工作成果，常绘制曲线类型图、纵 向电导图、 ρ ｓ等值线断面图、ρ ｓ剖面 图或 ρ ｓ等值线平面图等图件，供定性 解释用。 •
T1
(2)
(m ) 1
1 K 12 e 1 K 12 e
2 mh 1 2 mh 1
(6.1-64)
• 归纳每一层的电阻率转换函数，就可导 出电阻率转换函数的递推公式：
Ti ( m ) i
i (1 e i (1 e
2 mh i 2 mh i
) T i 1 ( m )( 1 e ) T i 1 ( m )( 1 e
（1） S等值现象
电阻率转换函数是由电性层参数决定的， 转换函数相同者对应的电测深曲线也相同。 为此，可从分析转换函数的等值性着手进行 分析。 对于H型和A型三层介质，电阻率转换函 数为
只要S2保持不变，电阻率转换函数就保持不 变，因此称为S等值现象。 等值现象发生的条件: 物理实质
（2）、 T 等值现象
0

0
( mr ) dm
(6.1-60)
• 若采用MN→０的装置测量，相应的 ρ s 表达式为：
S 2 r
S 1r
2
2
E
2 r U I I r
2
1
1 2 B ( m ) J
0

( mr ) mdm
(6.1-61)
Hale Waihona Puke • 令T 1 ( m ) 1 1 2 B ( m )
• 实际工作中，电测深资料的定性解释和 定量解释是相辅相成，互相补充的，有 时甚至是交叉进行，使推断解释结论更 加符合实际情况。 • 在条件有利的情况下，将电测深成果和 当地岩石 电阻率资料结合起来，将电性 层和地层联系起来可进一步绘制出地电 断面图、标志层顶板深度图、中间层厚 度图等推断解释成果图(见图6.1-45)。

U1

0
I 1 mz mz mz e 2 B 1 ( m )( e e 2
) J 0 ( mr ) dm
第 i 层的电位为：
A ( m ) e
0 i mz
Ui
Bi (m )e
mz
J
0
( mr ) dm
• 电测深只在地面工作，即z＝0，故只需求出B1，
U
2
r
2

1 r

U r

U
2
z
2
0
分离变量得到零阶贝赛尔方程，其通解为：
U
A ( m ) e
0
mz
B1 ( m ) e
mz
J
0
( mr ) dm
式中：A (m), B(m) 为待定的积分变量m的函数； J0（mr） 为零阶贝赛尔函数
利用边界条件，可以得到第一层电位公式：
只要T2保持不变，电阻率转换函数就保持不变， 因此称为T 等值现象。 等值现象发生的条件: 物理实质
• (3) 多层水平地层的电测深曲线 • 通常统称三层以上的水平地层断面为n层断面。 • 假设水平地面以下n层断面各层的电 阻率 和厚度分别为ρ １、ｈ１，ρ ２、ｈ２……ρ ｎ， ｈｎ→∞，它所对 应的电测深曲线为n 层曲线。 • 我们可以根据对二层 和三层曲线的分析，指 出多层电测深曲线的基本性质: • 前支以ρ ｓ＝ρ １的水平直线为渐近线。 • 中段 • 尾支 • 多层曲线的命名
其平均纵向电阻率为
当电流垂直层面流动时，第i层表现的“横向 电阻”Ti为 则柱体总的横向电阻T为各层横向电阻的串联。
平均横向电阻率为
当将m层看做一个整体，计算其非各向同性系数 时，则
• 上述三层曲线的性质称为中间层的等值 性，即三层曲线的等值性。 • 等值分类： • 同层等值 • 混层等值 • S等值与T等值 • （1）、S等值 • （2）、T等值
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• ③三层电测深曲线的性质 • 三层曲线的前支以ρ ｓ＝ρ １的水平直线 为渐近线。 • 中段 • 尾支
• 三层电测深曲线具有等值性。 • 根据电场分布的唯一性定理，层参数确 定的地电断面和电测深曲线之间应是一 一对应的关系 。 • 即一组层参数对应唯一的一条电测深曲 线，层参数不同的地电断面对应不同的 电测深曲线 。 • 然而，在实践中人们发现，某些参数不 同的地电断面对应的三层电测深曲线， 彼此相差甚小(在实际观测误差5%以内)， 以至区别不开，实际上可以认为是相同 的 。