沪科版九年级数学下册 22.1比例线段
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计5
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计5一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要讲述了比例线段的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决一些实际问题。
教材通过丰富的实例和练习，帮助学生逐步掌握比例线段的知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段的概念和性质有一定的了解。
但在比例线段的学习上，学生可能对比例线段的定义和性质理解不够深入，对比例线段的运用能力和解决实际问题的能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过合适的教学方法激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索和思考，提高学生的数学素养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能够运用比例线段解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。
2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生主动探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
4.实践操作法：引导学生动手操作，加深对比例线段的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解比例线段的概念和性质。
2.教学素材：准备一些与比例线段相关的实例和练习题，供课堂练习和巩固使用。
3.教学工具：准备尺子、直尺等测量工具，方便学生进行实践操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第1课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
通过学习比例线段，学生能够理解和掌握比例线段的概念，能够运用比例线段解决实际问题，为后续学习相似三角形和勾股定理等内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和操作来理解和掌握。
同时，学生可能对于比例线段的性质和应用有一定的困难，需要通过大量的练习和实际问题来巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、思考、交流等过程，培养自己的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。
2.难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例和实际问题，引发学生的兴趣和思考，帮助学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
2.操作教学法：通过学生的实际操作和观察，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.互助合作学习法：通过小组讨论和合作，促进学生之间的交流和互助，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作相应的教学课件，展示比例线段的实例和实际问题。
2.教学素材：准备一些实际问题和相关练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学工具：准备直尺、三角板等工具，用于学生的实际操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引发学生的兴趣和思考，引入比例线段的概念。
例如，展示两辆车的速度和时间的关系，让学生观察和思考它们之间的比例关系。
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计3
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计3一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容。
本节课主要让学生了解比例线段的概念，掌握比例线段的性质和运用。
教材通过生活中的实际例子引入比例线段，使学生能够更好地理解和掌握比例线段的概念和性质。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似多边形的性质，对图形的相似性有一定的理解。
但是，对于比例线段的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际操作，让学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解比例线段的概念，掌握比例线段的性质和运用。
2.过程与方法：通过实际例子和操作，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的概念和性质。
2.难点：比例线段的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际例子引入比例线段，使学生更好地理解和掌握比例线段的概念和性质。
2.操作教学法：通过实际操作，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.小组合作学习：让学生在小组合作中交流、讨论，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：练习本、尺子、铅笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的比例线段例子，如相框、衣服等，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.呈现（10分钟）呈现比例线段的定义和性质，通过具体的例子和图示，使学生理解和掌握比例线段的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，测量和比较线段的长度，验证比例线段的性质。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和讨论比例线段在实际生活中的应用，如建筑设计、制作工艺品等。
22.1 比例线段第2课时比例性质和黄金分割 沪科版数学九年级上册教学课件
如0）果，ad那=么bc（aa,b,cc,d.都不等于 bd
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1
2
随堂练习
5.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
9 d ，d =-6. -3 2
（2）若a=-3，b= 3 ，c=2，求d.
3 d ，d =- 2 3 .
-3 2
3
课堂小结
比例的基本 性质
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
比例的基本 性质和黄金
分割
ac bd
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
课程讲授
1 比例的基本性质 如果ad=bc,那么等式 a c 还成立吗？ bd
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 a c . bd
课程讲授
1 比例的基本性质
例1 根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
a （2）7
b 8
.
解 （1）∵ 4a=5b，∴ a 5 ; b4
（2）∵
ab 78
，∴8a=7b，∴ a 7 b8
课程讲授
1 比例的基本性质
练一练：下面各项中的两个比，比值相等的是( C )
A.0.6∶0.2和14∶34 B.6∶10和8∶20 C.4∶3和8∶6 D.34∶35和4∶5
课程讲授
2 黄金分割
问题1：一个五角星如图所示，度量C到点A，B的距离, AC 与 BC 相等吗？ AB AC
沪科版九年级数学课件-比例线段(第1课时)
∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1
對應角相等
AB = BC = AC ，A1B1 = B1C1 = A1C1
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1
對應邊成比例
正六邊形 AF
120° B
放大 B1 E
A1 120°
F1 E1
C
D
C1
D1
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 =DE : D1E1 =EF : E1F1
=FA : F1A1
對應邊成比例
歸納
相似多邊形的性質： 對應角相等 ，對應邊成比例（對應邊的比相等）.
相似比(相似係數）:相似多邊形對應邊的比（相似比大 於零）.
課堂練習
1．下圖是兩個等邊三角形，它們相似嗎?如果是，說出相 似比.
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 ∠D =∠D1，∠E =∠E1， ∠F =∠F1
對應角相等
A B
正六邊形
A1
F
放大 B1 E
F1 E1
C
D
AB = BC = CD = DE = EF = FA ，
C1
D1
A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1
歸納
相似圖形的概念： 形狀相同的圖形叫做相似圖形. 注意：相似圖形的大小不一定相同.
二、相似圖形的關係
探究
圖形的放大
圖形的縮小
兩個圖形相似 圖形縮小
歸納
兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個
九年级数学(沪科版)同步课件 22.1比例线段(第2课时)教学PPT
c d
m (b d n
n
0),
那么
a b
c d
m n
a. b
例题分析
例1 已知：如图，在△ABC中，若 AD AE .
DB EC
求证：(1) AB AC ; (2) AD AE .
DB EC
AB AC
A
D
E
B
C
例题分析
AD
解：（1）∵DB
AE EC
(1)如果 a c , 那么 a b c d 和
bd
b
d
a b c d 成立吗？为什么？
b
d
答案：成立
新课讲解
(2) 如图， AB , BC , CD , 的AD值相等吗？ HE EF FG HG
AB BC CD AD HE EF FG HG
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
比例线段（2）
新课引入
1.相似多边形概念： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似 多边形。 2.成比例线段定义
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的 比，即a/b=c/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例
线段，简称比例线段.
新课讲解
比例线段的基本性质
a
c
如果 b = d, 那么ad=bc
AB:AP=AP:PB.求线段AP的长和
的A值B .
解：由
AP AB
BAPP，得AP2=AB·BP.
设AP=x，则BP=a-x.
A
∴x2=a×(a-x)， 即 x2+ax-a2=0.
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第1课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
比例线段是指在同一平行线束中，对应线段的比相等的两条线段。
这部分内容是学生继学习了相似三角形、相似多边形之后，进一步拓展相似形的知识，对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了相似三角形、相似多边形的知识，对于图形的观察和分析能力也有所提高。
但是，学生对于比例线段的定义和性质的理解还有待加强，尤其是对于比例线段在实际问题中的应用，需要通过实例进行引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，克服困难，勇于探索，体验数学学习的乐趣，增强自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的定义和性质。
2.教学难点：比例线段在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的数学思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，增强学生对比例线段的理解和直观感受。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引发学生对比例线段的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生通过观察、分析、推理等数学活动，探索比例线段的定义和性质。
3.应用拓展：通过实例引导学生运用比例线段解决实际问题，巩固所学知识。
4.总结提升：教师引导学生总结比例线段的定义、性质和应用，提高学生的抽象思维能力。
5.布置作业：布置一些有关比例线段的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
比例线段知识点总结
比例线段知识点总结一、概念比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。
即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。
二、性质1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。
2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。
3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。
4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。
三、比例线段的性质1. 正比例和反比例（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。
即AB/CD=AC/BD；（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。
即AB/CD=AD/BC。
2. 合比例与轴比例（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。
3. 调和比调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。
四、比例线段的运算1. 和与差（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。
2. 积与商（1）积：如果AB与BC成比例，那么AB*BC等于AC*BC；（2）商：如果AB与BC成比例，那么AB/BC等于线段AC的比例。
3. 比值定理如果在三角形ABC内，D、E分别是AB、AC的两个点，而线段DE与BC平行，那么AD/DB=AE/EC。
五、应用1. 已知比例求线段长度对于等比例线段AB、CD，通过已知比例和其中一个线段的长度，可以求解另一个线段的长度。
比例线段的性质
ac bd
等于什么？
与同伴进行交流。
（2）如果
a b
c d
与b
相等吗？
与同伴进行交流。
设参数法,为“桥梁”，在解题中增设k，
又在解题中自行消失。
当题目中出现等比的形式时通常考虑这种方法.
用“设k法”设，
a b
c d
e f
=k .
得出结论
a b
c d
m n
(b
d
n
0)
a c m b d n
a b
──比例的等比性质.
例题解析
例 已知 a b c ，且a、b、c都是正数，求 a 3b 2c
234 的值。
2a b
等同于a:b:c=2:3:4,称为连比
【解】 设
a 2
22.1.2比 例 线 段的 性 质
知识回顾
1、如果_____ba_____dc___,那么称a、b、c、d成比例。
2、比例式中的概念：
比例前项
比例内项
ac bd
a:b=c:d
比例后项
比例外项
3、在比例式
3x 4 y5
中，比例的前项为_3_x_，__4_,
比例的后项为_y_，__5__,比例的内项为_4_，__y__,比例的外
b b
52 ___3______;
3
4
（2）若线段a、b、c满足a+b+c=27,求a、b、c的值。
【解】
设
a 2
b 3
c 4
《比例线段》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (1)
D EA,B D FBC .找出图中的一组比例
线段（用小写字母表示）,并说明理由．
Ｄ bc ＡＥ
a Ｃ
d Ｆ
Ｂ
8 例3
如图是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆
市在高雄市的哪个方向？到高雄市的实际距离是
多少km？(比例尺1：9000000)
注意：求角度时要注意方位。
台北 基隆
解：从图上量出高雄市到基隆市的距离 约35mm,设实际距离为s，则
A
∠A=40°( 已知 ) ∴∠B+∠C=___1_40°
D 1
B
E 2
C
又∵∠B+ ∠C+ ∠1+ ∠2=____3_6_0° ∴ ∠1+∠2＝__2_20°
通过这节课的学习活 动你有哪些收获？
你还有什么困惑吗？
两条线段的长度比是 ２：４＝ 1
两
2
条
线
2、设线段ＡＢ＝200cm，ＡＣ＝４m, 段
两条线段的长度比是 220000：：４４0＝0＝ 1
单 位
2
要
统
一
两条线段的长度比叫做这两条线段的比
记作:
AB 1 AC 2
1
A′
1
B′
A
B
C
AB AC
=
2 5
AB
A′B′
2
=2 2
1 =2
C′
AC
A′C′
5
=2 5
1
2
怎样求n边形的内角和呢？
An A1
A2
A5
A3
A4
从n边形的一个顶点出 发，可以引 (n－3) 条 对角线，它们将n边形 分为 (n－2) 个三角形， n边形的内角和等于 180°× (n－2) ．
比例线段概念整理
比例线段概念整理
比例线段是数学中重要的概念之一，主要涉及比例、线段和比例线段的性质。
在学习比例线段时，我们需要了解以下几个关键概念：
1. 比例的概念：
比例是指两个量之间的对应关系。
如果两个量之间的比相等，我们就说它们成比例。
比例的基本性质是乘法性质，即如果a/b=c/d，则a×d=b×c。
比例在实际生活中有着广泛的应用，比如食谱中的配料比例、地图上的比例尺等。
2. 线段的概念：
线段是指两个端点之间的部分，它有固定的长度。
线段的长度可以用数值来表示，通常用单位长度来进行测量。
线段的性质包括长度、起点、终点等。
3. 比例线段的概念：
比例线段是指在同一直线上的几条线段，它们之间满足比例的关系。
比例线段的基本性质是比例性质，即如果两条线段成比例，那么它们的比相等。
比例线段的比例关系可以用比例式来表示，比如AB:CD=EF:GH，表示线段AB与线段CD的比等于线段EF与线段GH的比。
4. 比例线段的比例式性质：
比例线段的比例式有一些重要的性质，包括交叉相乘等于交叉相乘、比例线段的比例是对称的等。
其中，交叉相乘等于交叉相乘是比例线段的重要性质，它可以用来求解未知线段的长度。
比例线段的比例是对称的性质则表示比例线段的比例与线段的位置无关，只与线段的长度有关。
总的来说，比例线段的概念涉及比例、线段和比例线段的性质。
通过理解比例线段的概念和性质，可以帮助我们更好地应用比例线段的知识，解决实际生活和数学问题。
希望以上整理的内容对您有所帮助。
如果有任何疑问，欢迎继续咨询。
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
比例线段是初中数学中的重要概念，它在解决实际问题和进一步学习几何中起着重要作用。
本节内容通过讲解和实例分析，使学生掌握比例线段的性质和应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段、比例等概念有一定的了解。
但学生在理解和运用比例线段方面还存在一定的困难，需要通过实例分析和练习来进一步巩固。
此外，学生对几何图形的直观认识和空间想象能力还有待提高，需要在教学过程中给予引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析、合作交流和动手操作，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。
2.难点：比例线段的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导和讨论，激发学生的思维，培养学生的解决问题的能力。
2.实例分析：通过具体的例子，使学生理解比例线段的定义和性质。
3.合作交流：鼓励学生之间相互讨论、合作，共同解决问题。
4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对比例线段的理解。
六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，展示比例线段的定义、性质和应用。
2.实例材料：准备一些实际的例子，用于讲解和分析比例线段。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入比例线段的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解比例线段的定义、性质和应用，结合实例进行分析，让学生直观地理解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，合作解决一些关于比例线段的练习题，巩固所学内容。
专题22.1 成比例线段【七大题型】(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题22.1 成比例线段【七大题型】【沪科版】【题型1 成比例线段的概念】 (1)【题型2 成比例线段的应用】 (2)【题型3 比例的证明】 (3)【题型4 利用比例的性质求比值】 (3)【题型5 利用比例的性质求参】 (4)【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 (4)【题型7 黄金分割】 (6)【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．4B．3C．8D．123【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为2√3．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变)n+≠0【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab=．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（）A．25B．14C．−25D．−14【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab =cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（）A．16B．13C．12D．56【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=c5，则ac=45B．若a−bb =16，则ab=76C．若ab =cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23D．若ab =34，则a＝3，b＝4【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx =x+zy=x+yz=k，则k＝．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（）A．15B．9C．5D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab =cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca =a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab =cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab =cd，∴ab +1=cd+1．∴a+bb =c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab =35，求a+bb的值；（2）若ab =cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z =3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了的基本性质，②第二步的解题过程运用了的方法，由k5k 得15利用了的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc =a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx =z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．.AC AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） 【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R 是正方形ABCD 的AB 边上线段AB 的黄金分割点，且AR ＞RB ，S 1表示以AR 为边长的正方形面积；S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形的面积，S 3表示正方形除去S 1，S 2剩余的面积，则S 1：S 2的值为 ．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P 是线段AB 上的一点，线段AP 是PB 和AB 的比例中项，下列结论中，正确的是（ ） A ．PB AP=√5+12B ．PB AB=√5+12C ．APAB=√5−12D ．AP PB=√5−12【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D 是线段AB 的黄金分割点，若AD ＞BD ． （1）若AB ＝10cm ，则AD ＝ ；（2）如图，请用尺规作出以AB 为腰的黄金三角形ABC ； （3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材： 宽与长的比是√5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN ＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．。
22.1.3沪科版九年级《平行线分线段成比例定理》精编版
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2 CF ,即CF 16
2020/1/13
38
3
BF 8 - 16 8 33
例题
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
求证：AD AE DE AB AC BC
A
D
E
DE//BC EF//AB
2020/1/13
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
探究 如图,直线l1,l2被三个平行平面,,所截, 直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2分别为 D,E,F AB 与 DE 相等吗?
A: —AA—BD ＝ —AACE— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—DC ＝ —AA—EB ( ) D: —AA—DE ＝ —AA—BC( )B
2、填空题:
E
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
2020/1/13
求:
—AADB—
＝
—2 —5 —
A B
C D
B
2020/1/13
C
l3
B
C l3
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计4
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计4一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了线段的基本知识，以及比的概念的基础上进行学习的。
比例线段是指在两个相似三角形中，对应边的比例相等。
通过这部分的学习，使学生能够理解比例线段的含义，会运用比例线段解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于线段、比的概念已经有了一定的理解。
但学生在学习过程中，可能对比例线段的实际应用还存在一定的困难，需要教师在教学过程中进行引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质。
2.培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质。
2.比例线段在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际例子，引发学生对比例线段的兴趣，提高学生的学习积极性。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究比例线段的性质，培养学生团队合作的能力。
3.案例教学法：通过典型的实例，讲解比例线段在实际问题中的应用，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际例子，用于导入和巩固环节。
2.准备比例线段的示意图，用于讲解和展示。
3.准备一些实际问题，用于练习和拓展环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际例子，如相似图形、建筑物的比例等，引发学生对比例线段的兴趣，引导学生思考比例线段的含义。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，向学生介绍比例线段的定义和性质，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探究比例线段的性质，通过实际的例子，让学生运用比例线段解决问题。
4.巩固（10分钟）教师出示一些实际问题，让学生运用比例线段进行解答，巩固学生对比例线段的掌握。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，让学生举例说明，提高学生的实践能力。
九年级数学比例线段知识点
九年级数学比例线段知识点一、比例线段的概念。
1. 定义。
- 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
例如，若a:b = c:d（b、d≠0），那么就说a、b、c、d四个数成比例，其中a、d称为比例外项，b、c称为比例内项。
- 若a:b=b:c（b≠0），则b叫做a与c的比例中项，此时b^2=ac。
2. 比例的基本性质。
- 若a:b = c:d，则ad = bc；反之，若ad=bc（a、b、c、d都不为0），则a:b = c:d。
3. 合比性质。
- 如果(a)/(b)=(c)/(d)，那么(a± b)/(b)=(c± d)/(d)。
4. 等比性质。
- 如果(a)/(b)=(c)/(d)=·s=(m)/(n)(b + d+·s+n≠0)，那么(a + c+·s+m)/(b +d+·s+n)=(a)/(b)。
二、成比例线段。
1. 定义。
- 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
例如，若线段a、b、c、d满足(a)/(b)=(c)/(d)，则a、b、c、d是成比例线段。
2. 比例尺。
- 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比。
公式为：比例尺=(图上距离)/(实际距离)。
例如，比例尺为1:500表示图上1厘米代表实际距离500厘米（5米）。
三、相似多边形中的比例线段。
1. 相似多边形的定义。
- 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。
- 相似多边形对应边的比称为相似比。
例如，若多边形ABCDE与多边形A'B'C'D'E'相似，且(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=·s=(AE)/(A'E')=k，k就是它们的相似比。
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了比例的基本概念和线段的性质的基础上进行学习的。
比例线段是指在三角形中，如果一条线段是另外两条线段的比例中项，那么这条线段被称为比例线段。
本节内容主要让学生了解比例线段的定义，学会如何判断一条线段是否为比例线段，并能够运用比例线段解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于比例线段这一概念可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的例子和实际问题来引导学生理解和掌握比例线段的概念，并能够运用到解决问题中。
三. 教学目标1.让学生理解比例线段的定义，并能够判断一条线段是否为比例线段。
2.培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
3.培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.比例线段的定义。
2.如何判断一条线段是否为比例线段。
3.运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的例子和实际问题，引导学生理解和掌握比例线段的概念。
2.合作交流法：学生在小组内合作探讨，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。
3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，请问是否存在一条线段DE，使得DE是三角形ABC的比例线段？”让学生思考并讨论，引出比例线段的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现比例线段的定义和判断方法，并用动画或者图形展示比例线段的特点。
让学生直观地理解和掌握比例线段的概念。
《平行线分线段成比例》PPT 沪科版课件
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行
线上的线段无关；
(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．
感悟新知
知1－练
例 1 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列
结论中错误的是( C )
A. BH = AH HC HD
C. HC = HD HE DF
B. AD BC DF CE
DB EC AB AC AB AC
感悟新知
知识点 成比例线段
知2－导
要点精析：
(1)本推论实质是平行线分线段成比例定理中一组平行线中的一条
过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况．
(2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段．
课堂小结
平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线截其 他两边（或两边延长线），截 得的对应线段成比例.
第22章 相似形
22.1 比例线段
第4课时 平行线分线段 成比例
学习目标
1 课时讲解 平行线分线段成比例的基本事实、
平行线分线段成比例的推论
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
பைடு நூலகம்
感悟新知
知识点 1 平行线分线段成比例的基本事实 知1－导
请同学们回忆并复述平行线等分线段定理.
感悟新知
平行线分线段基成本比性例定质理：两条直线被一组平行线
HC HD DF CE DF CE
∵
CD∥EF,∴
HC HE
HD HF
,故选项C错误.
感悟新知
归纳
知1－讲
在题目中遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面 得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角 相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线 分线段成比例．
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22.1 比例线段
一、选择题
1、下列长度的各组线段中，能组成比例线段的是（）
A.2，5，6，8
B. 3，6，9，18
C.1，2，3，4
D. 3，6，7，9
2、如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c等于（）
A.±2
3
B.
2
3
C.
4
3
D.±
4
3
3、如果a∶b＝c∶d，那么下列等式成立的是()
A. a＋b
b＝
c＋d
c B.
a－c
c＝
b－d
b
C. a＋c
c＝
b＋d
d D.
a－c
a＝
b－d
d
4、．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图是某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她穿的高跟鞋的高度大约为()
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
5、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交11，l2，l3于点A、B、C，直线DF分别交11，l2，l3于点D、E、F，
AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则DE
EF
的值为（）
A.1
2
B.2
C.
2
5
D.
3
5、
6、如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则EF∶AE 等于()
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
7、.如图所示，F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论中错误的是()
A. ED
EA＝
EF
EB B.
DF
FC＝
EF
FB
C. FC
DF＝
BF
BE D.
BF
BE＝
CF
AB
8、▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，EF
交AC 于点G ，那么AG ∶GC 的值为( )
A
．1
∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．2∶3
二、填空题
9、.如图，△ABC 与△
DEF
相似，且AC ，BC 的对应边分别是DF ，EF ，则△ABC 与△DEF 的相似比是________．
10、在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm ，则甲、乙两地间的实际距离是________. 11、已知
x y ＝23
，则x y
x y -+＝________. 12、如果，则K=________.
13、已知实数x 、y 、z 满足x +y +z ＝0，3x －y －2z ＝0，则x ：y ：z ＝_______.
14、 如图，梯形ABCD 中，AD // BC // EF ，AE:EB =2:1，DF =8，则FC =________．
15、如图，点D 是△ABC 边BC 上的中点，点E 在边AC 上，且AO OD ＝13，AD 与BE 相交于点O ，则AE
EC
＝_________.
三、解答题
1、以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．
(1)求AM ，DM 的长；
(2)求证：AM 2＝AD ·DM ； (3)根据(2)
的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
a b c d
k
b c d a c d a b d a b c ====++++++++
17、在△ABC 中，DG ∥EC ，EG ∥BC.求证：AE 2＝AB ·AD.
18、如图，已知△ABC 中，D 为BC 中点，E ，F 为AB 边三等分点，AD 分别交CE ，CF 于点M ，N ，求AM ：MN ：ND 的值。
19. 如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且AE BE ＝13.已知AG ∥DE ，分别求出DG BD 和AF
FC
的值．
20、.如图，已知E 为平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上的一点，DE 分别交AC 、BC 于G 、F ，试说明：DG 是GE 、GF 的比例中项.
21、 如图，已知：梯形ABCD 中，AD // BC ，AC 、BD 交于点O ，E 是BC 延长线上一点，点F 在DE 上，且DF EF
=
AO OC
．求
证：OF // BC ．
22、已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 延长线上一点，DE 交BC 于点G ，GF ∥AE 交CE 于点F .若EF=2,AE=8,EC=5 求BE 的长。
23、阅读理解题请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平
分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
图1 图2 图3 已知：如图1△ABC 中，AD 是角平分线． 求证：BD DC ＝AB AC
.
证明：如图2，过点C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于点E. ∵CE ∥DA ，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠E. 又∵AD 平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠E ， ∴AC ＝AE.
∵CE ∥DA ，∴BD DC ＝AB
AE .
又∵AC ＝AE ，∴BD DC ＝AB
AC
.
(1)上述证明过程中，用到了哪些定理？(写出两个定理即可)
(2)在上述证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？
①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想． (3)用三角形内角平分线的性质定理解答下面的问题：
如图3在△ABC 中，AD 是角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm .求BD 的长．
24、.如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，E 为BC 的中点，连接AE ，∠ABC 的平分线BF 交AC 于点F .求证：AB ＝2DE .。