带电粒子在有界磁场中运动(超经典)

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中， 如“圆周运动中小球能过最高点的速度条

件” “动量中的避免碰撞问题”等等， 这类题目中往往含有“最大”、 “最高”、“至少”、 “恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁 场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

、解题方法

画图T 动态分析T 找临界轨迹。 （这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大

半，余下的就只有计算了——这一般都不难。 ）

、常见题型 （B 为磁场的磁感应强度，V 。为粒子进入磁场的初速度）

r ①旳方向一定，大小不确定一第一类 I 』确宦 < ②V 。犬小

一亦方向不确定——第二类

■③旳大小、方向都不确定一第三类

分述如下:

第一类问题：

例1如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为 B,宽度为d ,边界为CD 和EF 。一电子从 CD 边界

外侧以速率 V 。垂直匀强磁场射入，入射方向与CD 边界夹角为0。已知电子的质量为 m 电荷量为e ,为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出，求电子的速率 v o 至少多大？

2.行不确宦

-①巾确定

——第四类 {——五类

例2如图3所示，水平线 MN 下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，在 MN 线上某点O 正下方与之相距 L 的质子源S,可在纸面内360°范围内发射质量为 m 电量 为e 、速度为V o =BeL / m 的质子，不计质子重力，打在 MN 上的质子在 O 点右侧最远距离 OP ，打在O 点左侧最远距离 OO 。

分析：首先求出半径得r =L ,然后作出临界轨迹如图 4所示（所有从 S 发射出去的质子 做圆周运动的轨道圆心是在以 S 为圆心、以r =L 为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆

——就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆） ，O 諒L , OQL 。

【练习】如图5所示，在屏MN 勺上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面 向里。P 为屏上的一小孔，PC 与MN 垂直。一群质量为 m 带电荷量为一q 的粒子（不计重力），

分析：如图2，通过作图可以看到：随着

界EF 相切，然后就不难解答了。

第二类问题：

V o 的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边

以相同的速率v ,从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场

B 垂直

的平面内，且散开在与 PC 夹角为0的范围内，则在屏 MN 上被粒子打中的区域的长度为

（ ） 2mv

2ffsvcos5 2wv(l - sin ff) cosff)

A. -1 - B .扛 C . L-

D .

分析：如图6所示，打在屏上距 P 最远的点是以 0为圆心的圆与屏的交点，打在屏上最 近的点是以02或O 为圆心的圆与屏的交点 （与例2相似，可先作出一系列动态圆）。故答案选 “D'。

第三类问题: 例3 （2009年山东卷）如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P 、Q 垂直于y 轴且关 于x 轴对称，极板长度和板间距均为 I ，第一、四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里。

位于极板左侧的粒子源沿 x 轴向右连续发射质量为 m 电量为+q 、速度相同、重力不计的带 电粒子。在0〜3t o 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）

。

■■

r

I

I t Q -------

图甲 y X X X X X X

XXX

XXX

XXX X B X X XXX J w 1 1 1 1 .1 1 ■

-U. to % 3/o f t 图乙

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t o时刻经极板边缘射入磁场。上述m q、I、t。、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）

（1）求电压U0的大小。

1

（2）求2 t o时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

图丙

分析：粒子进入电场做类平抛运动，由平抛运动规律即可求得偏转电压U0;t=2t o时刻进入

1

的粒子先做类平抛运动，[t 0后沿末速度方向做匀速直线运动，利用相应规律可求得射出电

场的速度大小，进入磁场后做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，可求提半径R; 2t o时刻

进入的带电粒子加速时间最长（如图丙所示），加上此时粒子进入磁场是向上偏转，故运动

时间最短，同样应用类平抛运动规律和圆周运动规律，即可求得此最短时间。

第四类问题：

例4如图7所示，磁感应强度大小B=0. 15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半

径F=0. 10m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点0,右端跟荧光屏MN相切于x 轴上的A点。置于原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度V o=3. 0X 106m/s的带正电的粒子流，粒子的重力不计，荷质比q/m=1. o x lO8C/kg。现以过O点并垂直于纸面的直线

为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°,求此过程中粒子打在荧光屏上离A的最远距离。

分析：本题可先设想磁场是无界的，那么粒子在磁场中运动的一段圆弧如图8中的弧0E （半径r=2R=0. 20m,圆心为O）,现在圆形磁场以O为轴在旋转相当于直径OA也在旋转，当直径OA旋转至OD位置时，粒子从圆形磁场中离开射向荧光屏MN时离A有最远距离（落

g OC= r tan —点为F）。图中△ O O［为等边三角形，FD与O 02延长交于C点，图中0 =60° 1 ,

练习：如图9所示，一个质量为m带电荷量为+ q的粒子以速度V o从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从x轴上的b点穿过，其速度方向与x轴正方向的夹角为30°,粒子的重力可忽略不计，试求：

（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）b到O的距离。