带电粒子在有界磁场中运动(超经典)

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中， 如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件” “动量中的避免碰撞问题”等等， 这类题目中往往含有“最大”、 “最高”、“至少”、 “恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁 场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

、解题方法画图T 动态分析T 找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了——这一般都不难。

）、常见题型 （B 为磁场的磁感应强度，V 。

为粒子进入磁场的初速度）r ①旳方向一定，大小不确定一第一类 I 』确宦 < ②V 。

犬小一亦方向不确定——第二类■③旳大小、方向都不确定一第三类分述如下:第一类问题：例1如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为 B,宽度为d ,边界为CD 和EF 。

一电子从 CD 边界外侧以速率 V 。

垂直匀强磁场射入，入射方向与CD 边界夹角为0。

已知电子的质量为 m 电荷量为e ,为使电子能从磁场的另一侧 EF 射出，求电子的速率 v o 至少多大？2.行不确宦-①巾确定——第四类 {——五类例2如图3所示，水平线 MN 下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，在 MN 线上某点O 正下方与之相距 L 的质子源S,可在纸面内360°范围内发射质量为 m 电量 为e 、速度为V o =BeL / m 的质子，不计质子重力，打在 MN 上的质子在 O 点右侧最远距离 OP ，打在O 点左侧最远距离 OO 。

分析：首先求出半径得r =L ,然后作出临界轨迹如图 4所示（所有从 S 发射出去的质子 做圆周运动的轨道圆心是在以 S 为圆心、以r =L 为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆——就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆） ，O 諒L , OQL 。

【练习】如图5所示，在屏MN 勺上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面 向里。

P 为屏上的一小孔，PC 与MN 垂直。

一群质量为 m 带电荷量为一q 的粒子（不计重力），分析：如图2，通过作图可以看到：随着界EF 相切，然后就不难解答了。

第二类问题：V o 的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边以相同的速率v ,从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。

粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内，且散开在与 PC 夹角为0的范围内，则在屏 MN 上被粒子打中的区域的长度为（ ） 2mv2ffsvcos5 2wv(l - sin ff) cosff)A. -1 - B .扛 C . L-D .分析：如图6所示，打在屏上距 P 最远的点是以 0为圆心的圆与屏的交点，打在屏上最 近的点是以02或O 为圆心的圆与屏的交点 （与例2相似，可先作出一系列动态圆）。

故答案选 “D'。

第三类问题: 例3 （2009年山东卷）如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P 、Q 垂直于y 轴且关 于x 轴对称，极板长度和板间距均为 I ，第一、四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里。

位于极板左侧的粒子源沿 x 轴向右连续发射质量为 m 电量为+q 、速度相同、重力不计的带 电粒子。

在0〜3t o 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。

■■rII t Q -------图甲 y X X X X X XXXXXXXXXX X B X X XXX J w 1 1 1 1 .1 1 ■-U. to % 3/o f t 图乙已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t o时刻经极板边缘射入磁场。

上述m q、I、t。

、B为已知量。

（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）（1）求电压U0的大小。

1（2）求2 t o时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

图丙分析：粒子进入电场做类平抛运动，由平抛运动规律即可求得偏转电压U0;t=2t o时刻进入1的粒子先做类平抛运动，[t 0后沿末速度方向做匀速直线运动，利用相应规律可求得射出电场的速度大小，进入磁场后做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，可求提半径R; 2t o时刻进入的带电粒子加速时间最长（如图丙所示），加上此时粒子进入磁场是向上偏转，故运动时间最短，同样应用类平抛运动规律和圆周运动规律，即可求得此最短时间。

第四类问题：例4如图7所示，磁感应强度大小B=0. 15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径F=0. 10m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点0,右端跟荧光屏MN相切于x 轴上的A点。

置于原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度V o=3. 0X 106m/s的带正电的粒子流，粒子的重力不计，荷质比q/m=1. o x lO8C/kg。

现以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°,求此过程中粒子打在荧光屏上离A的最远距离。

分析：本题可先设想磁场是无界的，那么粒子在磁场中运动的一段圆弧如图8中的弧0E （半径r=2R=0. 20m,圆心为O）,现在圆形磁场以O为轴在旋转相当于直径OA也在旋转，当直径OA旋转至OD位置时，粒子从圆形磁场中离开射向荧光屏MN时离A有最远距离（落g OC= r tan —点为F）。

图中△ O O［为等边三角形，FD与O 02延长交于C点，图中0 =60° 1 ,练习：如图9所示，一个质量为m带电荷量为+ q的粒子以速度V o从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从x轴上的b点穿过，其速度方向与x轴正方向的夹角为30°,粒子的重力可忽略不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）b到O的距离。

分析：如图10,过b 点作速度的反向延长线交 y 轴于C 点，作/ OCb 的角平分线交x 轴 于O,再以O 为圆心、以OO 为半径画弧，与直线Cb 相切于点A,粒子运动的轨迹即为 O-gb , 圆形磁场即为以OA 为直径的圆，利用相关物理公式及几何知识不难计算出本题的结果。

第五类问题：例5电子质量为 m 电荷量为e ,从坐标原点 O 处沿xOy 平面射入第一象限， 射入时速 度方向不同，速度大小均为v o ,如图11所示。

现在某一区域加一方向向外且垂直于 xOy 平面 的匀强磁场，磁感应强度为 B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏 MN 上，荧光屏 与y 轴平行，求：（1）荧光屏上光斑的长度；（2）所加磁场范围的最小面积。

分析：本题可先作出这些射入第一象限的电子做圆周运动的轨道圆心的集合，必在弧OQ 上（如图12）,然后设想以该弧上的各点 （如图12中的O 等四点）为圆心作出粒子运动的 轨迹，最终垂直射到 MN 上的PQ 间，所以荧光屏上光斑的长度即为 PQ=R=mv /eB;所加磁场 范围即为图中由弧 OOOO 所围的区域，其中弧 OO 可看成是由弧OO 向上平移R 得到的。

练习：例5若改为"磁场方向垂直于 xOy 平面向里，荧光屏MN 移至y 轴右侧，”其他条 件不变，情况又怎样呢？读者可试作分析。

（所加磁场的最小范围为一“树叶”形状）o $~~X综合以上题型，我们可以看到，这些问题的解答很能体现学生的分析思维能力以及想象能力，要求学生能够由一条确定的轨迹想到多条动态轨迹，并最终判定临界状态，这需要在平时的复习中让学生能有代表性地涉猎一些习题，才能在高考应试中得心就手，应对自如。

例析用圆心轨迹确定带电粒子在磁场中运动区域问题同种带电粒子从同一点以相同速率、沿不同方向进入同一匀强磁场中，粒子可能达到的区域的确定是教学中常遇，学生感到棘手，高考又考查的问题。

现就此类问题举例分析。

题目1 （2005年全国高考）如图1，在一水平放置的平板MN的上方有一匀强磁场，磁感应强度的大小为 B ，磁场方向垂直纸面向里，许多质量为m、带电荷量为+ q 的粒子，以相同的速率V0沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间的相互影响。

图2中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中r =m v o /B q，哪个图是正确的（）X X 共* 共V V v Vjn()析与解依据题意，所有带电粒子在磁场中做圆周运动的半径相同r = m V o/B q所以，在纸面内由O点沿不同方向入射的带电粒子作圆周运动的圆心轨迹是以O为圆心，r为半径的圆周（A图中虚线圆示）。

又因为带电粒子带正电、进磁场时只分布在以ON 和0M为边界的上方空间，而向心力由洛仑兹力提供，它既指向圆心又始终垂直速度，可确定：圆心轨迹只能是A图中虚线圆直径分隔的左半边虚线圆周；再以A图中左半虚线圆上各点为圆心、以r为半径作圆，圆周在磁场中所能达到的区域应为A图阴影区。

所以A图正确。

题目2如图3所示，有许多电子（每个电子的质量为m ,电量为e）在xOy平面内从坐标原点O不断地以相同大小的速度V。

沿不同方向射入第一象限。

现加上一个方向向里垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴并向x轴的正方向运动。

试求符合该条件的磁场的最小面积。

析与解因为所有电子都在匀强磁场中作半径为r = m v o/B e的匀速圆周运动。

而沿y轴的正方向射入的边缘电子需转过1 /4圆周才能沿x轴的正方向运动，它的轨迹应为所求最小面积磁场区域的上边界------------ 如图中弧线a,其圆心在垂直入射速度的x轴上（ r ，0）。

现设沿与x轴成任意角a （0 < a < 90° ）射入的电子在动点P离开磁场。

这些从O 点沿不同方向入射的电子做圆周运动的圆心O'到入射点O的距离又都为半径r。

所以，O'形成一个以入射点O （即坐标原点）为圆心、r为半径的1 /4圆弧轨迹------- 如图3中弧线c。

根据题目要求，各电子射出磁场时速度v要为平行x轴的正方向。

故由做圆周运动的物体的圆心又应在垂直出射速度的直线上可知，从不同点p射出的电子的圆心O'又必在对应出射点p的正下方，即曲线c上各点到对应正上方出射点p的距离也都等于r；因此将1 /4圆弧轨迹c沿y轴正向平移距离后------- 如图中弧线b,弧线b就是各出射点p的轨迹，它实际是以。

2（0 , r）为圆心，半径为r的1 /4圆弧；既然点p分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过0点作速度V。

的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O ;由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为B ,故点P作速度的垂线与点0处速度垂线的交点即为圆心0 （也可以用垂径定理作弦0P的垂直平分线与点0处速度的垂线的交点也为圆心）L q2v0sin5磁场中的运动半径为故有 2 sin 5，解之m BL \故粒子在磁场中的运动时间为【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B i = 2B2,现有一质量为m带电+q的粒子从0 点以初速度V。