包装测试第二章 线性时不变系统
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（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral） ）
一. 用冲激信号表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致， 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间 信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信 号的线性组合。 号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这 种关系： 种关系： u (t ) = t δ (τ ) dτ = ∞ δ (t − τ ) dτ ∫ ∫ 对一般信号 x (t ) ，可以将其分成很多∆ 宽度的区 段，用一个阶梯信号 x∆ (t) 近似表示x(t ) 。当 ∆→0 时， 有 x∆ (t ) → x(t )
x(τ )
1
u (t − τ )
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具 由于 系统满足齐次性和可加性， 系统满足齐次性和可加性 有时不变性的特点， 有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析 的理论与方法奠定了基础。 的理论与方法奠定了基础。 基本思想： 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性， 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。 应的线性组合。
卷积积分（ 二. 卷积积分（The convolution integral） ） 与离散时间系统的分析类似， 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统 对δ (t − τ )的响应为 hτ (t )，则该系统对 x(t ) 的响应可
∞ 表示为： 表示为： y (t ) = ∫ x(τ )hτ (t )dτ −∞
如果解决了信号分解的问题， 如果解决了信号分解的问题，即：若有
x (t ) = ∑ ai xi (t )
则 y (t ) =
↓
xi (t ) → yi (t )
i
∑ a y (t )
i i i
分析方法： 分析方法：
将信号分解可以在时域进行， 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变 换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析 换域进行，相应地就产生了对 系统的时域分析 频域分析法和变换域分析法。 法、频域分析法和变换域分析法。
u ( n) =
k =−∞
∑ δ (k ) = ∑ δ (n − k )
k =0
n
∞
对任何离散时间信号 x ( n) ,如果每次从其中取出 一个点，就可以将信号拆开来， 一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点 都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。 都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
第2章 线性时不变系统 章
Linear Time-Invariant Systems
第2章 线性时不变系统 章
Linear Time-Invariant Systems
本章主要内容： 本章主要内容：
• 信号的时域分解 信号的时域分解——用δ (n) 表示离散时间信号； 表示离散时间信号； 用 表示连续时间信号。 用 δ (t ) 表示连续时间信号。 • LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。 系统的时域分析——卷积积分与卷积和 卷积积分与卷积和。 系统的时域分析 • LTI系统的微分方程及差分方程表示。 系统的微分方程及差分方程表示。 系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示。 系统的框图结构表示。 系统的框图结构表示 • 奇异函数。 奇异函数。
−∞ 0
x(t )
x∆ (t )
x(k∆)
0 ∆
k∆ (k + 1)∆
t
1/ ∆ 引用 δ ∆ (t ) ，即：δ ∆ (t ) = 0
1 则有： ∆δ ∆ (t ) = 0 0<t <∆ otherwise
0<t <∆ otherwise
个矩形可表示为： 第k个矩形可表示为：x(k ∆)δ ∆ (t − k ∆) ⋅ ∆ 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号x∆ (t ) ， 即： x∆ (t ) = 当 ∆ → 0 时， k ∆ → τ
1
k
0
...
0
k
n
1 例2： x(n) = ： 0
0≤n≤4 otherwise
α n h( n) = 0
x(k )
1
α > 1, 0 ≤ n ≤ 6
otherwise
h(n − k ) = α n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
① n < 0 时，
y ( n) = 0
n n k =0 k =0
于是有：
x ( n) =
k =−∞
∑ x(k )δ (n − k )
∞
表明： 表明：任何信号x(n) 都可以被分解成移位加权的 单位脉冲信号的线性组合。 单位脉冲信号的线性组合。
sum） 二. 卷积和（Convolution sum） 如果一个线性系统对 δ (n − k ) 的响应是 hk ( n) ， 的响应为： 由线性特性就有系统对任何输入 x(n)的响应为：
y ( n) =
k =−∞
∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)
∞
这表明：一个 这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和（ 积和（The convolution sum）。 ）
h( n) = u ( n)
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) =
k =−∞ n n +1 k
∑
∞
x ( k ) h( n − k ) =
k =−∞
α k u (n − k )u (k ) ∑
∞
1−α u ( n) = ∑α = 1−α k =0
x(k ) = α k u (k )
1
h(n − k ) = u (n − k )
0 0 0 0
2 4 0 6
1 2 0 3
0 2 1 y (5) y (6)
优点： 优点： 计算非常简单。 计算非常简单。 缺点： 只适用于两个有限长序列的卷积和； ①只适用于两个有限长序列的卷积和； ②一般情况下，无法写出 y (n)的封闭表达式。 一般情况下， 的封闭表达式。
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分 连续时间 系统： 系统
三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
问题的实质： 问题的实质： 1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成 研究信号的分解： 任意信号的基本信号单元， 任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的 线性组合来构成任意信号； 线性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。 如何得到 系统对基本单元信号的响应。 系统对基本单元信号的响应 作为基本单元的信号应满足以下要求： 作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 本身尽可能简单， 构成）尽可能广泛的其它信号； （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。 系统对这种信号的响应易于求得。 系统对这种信号的响应易于求得
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
k =−∞
∑ x(k ∆)δ
∞
∆
(t − k ∆) ⋅ ∆
∆ → dτ
∑→ ∫
δ∆ (t − k∆) → δ (t −τ )
于是： 于是： x(t) =
x∆ (t) → x(t)
∫
∞
−∞
x(τ )δ (t −τ )dτ
表明： 表明：任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解成移位 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
y ( n) =
若系统具有时不变性， 若系统具有时不变性，即： 若 δ ( n) → h( n) ，则 δ (n − k ) → h( n − k )
k =−∞
∑ x ( k ) h ( n)
k
∞
因此，只要得到了LTI系统对 δ (n)的响应 h(n) 因此，只要得到了 系统对 单位脉冲响应( 单位脉冲响应( impulse response )， 就可以得到LTI系统对任何输入信号 x(n) 的响应： 系统对任何输入信号 的响应： 就可以得到
例1: x(t ) = e − at u (t ) , :
a>0
∞ −∞
h(t ) = u (t )
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ ) = ∫ e− aτ u (τ )u (t − τ )dτ
−∞ t ∞
=∫ e
0
− aτ
1 dτ = (1 − e − at )u (t ) a
若系统是时不变的，即：若δ (t ) → h(t )，则有: 则有: 若系统是时不变的，
δ (t −τ ) → h(t −τ ) 于是系统对任意输入 x(t ) 的响应
可表示为： 可表示为： y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = x(t ) ∗ h(t )
−∞ ∞
表明: 系统可以完全由它的单位冲激响应 表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h(t ) 系统可以完全由它的 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积 分（The convolution integral）。 ）
k =−∞
∑ x ( k ) h( n − k ) ，
∞
h(n) h( −1) 1 h (0) 2 h (1) 0 h (2) 3 h (3) 1
x (0) x (1) x (2) x (3) 0 2 1 x( n) 1
1 y ( −1) 2 y (0) 0 y (1) 3 y (2) 1 y (3) y (4)
y ( n) = ∑ α n − k = α n ∑ α − k ② 0 ≤ n ≤ 4 时， 1 − α − ( n +1) 1 − α n +1 =αn ⋅ = −1 1−α 1−α
③ 4 ≤ n ≤ 6 时， y ( n ) = α n − k ∑
4 k =0
1 − α −5 =αn ⋅ 1 − α −1
2.1 离散时间 离散时间LTI系统：卷积和 系统： 系统
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum） ） 一. 用单位脉冲表示离散时间信号 离散时间信号中, 离散时间信号中,最简单的是 δ ( n) ,可以由它的线 性组合构成 u ( n) ，即：
来自百度文库
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
一. 用冲激信号表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致， 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间 信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信 号的线性组合。 号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这 种关系： 种关系： u (t ) = t δ (τ ) dτ = ∞ δ (t − τ ) dτ ∫ ∫ 对一般信号 x (t ) ，可以将其分成很多∆ 宽度的区 段，用一个阶梯信号 x∆ (t) 近似表示x(t ) 。当 ∆→0 时， 有 x∆ (t ) → x(t )
x(τ )
1
u (t − τ )
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具 由于 系统满足齐次性和可加性， 系统满足齐次性和可加性 有时不变性的特点， 有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析 的理论与方法奠定了基础。 的理论与方法奠定了基础。 基本思想： 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性， 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。 应的线性组合。
卷积积分（ 二. 卷积积分（The convolution integral） ） 与离散时间系统的分析类似， 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统 对δ (t − τ )的响应为 hτ (t )，则该系统对 x(t ) 的响应可
∞ 表示为： 表示为： y (t ) = ∫ x(τ )hτ (t )dτ −∞
如果解决了信号分解的问题， 如果解决了信号分解的问题，即：若有
x (t ) = ∑ ai xi (t )
则 y (t ) =
↓
xi (t ) → yi (t )
i
∑ a y (t )
i i i
分析方法： 分析方法：
将信号分解可以在时域进行， 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变 换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析 换域进行，相应地就产生了对 系统的时域分析 频域分析法和变换域分析法。 法、频域分析法和变换域分析法。
u ( n) =
k =−∞
∑ δ (k ) = ∑ δ (n − k )
k =0
n
∞
对任何离散时间信号 x ( n) ,如果每次从其中取出 一个点，就可以将信号拆开来， 一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点 都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。 都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
第2章 线性时不变系统 章
Linear Time-Invariant Systems
第2章 线性时不变系统 章
Linear Time-Invariant Systems
本章主要内容： 本章主要内容：
• 信号的时域分解 信号的时域分解——用δ (n) 表示离散时间信号； 表示离散时间信号； 用 表示连续时间信号。 用 δ (t ) 表示连续时间信号。 • LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。 系统的时域分析——卷积积分与卷积和 卷积积分与卷积和。 系统的时域分析 • LTI系统的微分方程及差分方程表示。 系统的微分方程及差分方程表示。 系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示。 系统的框图结构表示。 系统的框图结构表示 • 奇异函数。 奇异函数。
−∞ 0
x(t )
x∆ (t )
x(k∆)
0 ∆
k∆ (k + 1)∆
t
1/ ∆ 引用 δ ∆ (t ) ，即：δ ∆ (t ) = 0
1 则有： ∆δ ∆ (t ) = 0 0<t <∆ otherwise
0<t <∆ otherwise
个矩形可表示为： 第k个矩形可表示为：x(k ∆)δ ∆ (t − k ∆) ⋅ ∆ 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号x∆ (t ) ， 即： x∆ (t ) = 当 ∆ → 0 时， k ∆ → τ
1
k
0
...
0
k
n
1 例2： x(n) = ： 0
0≤n≤4 otherwise
α n h( n) = 0
x(k )
1
α > 1, 0 ≤ n ≤ 6
otherwise
h(n − k ) = α n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
① n < 0 时，
y ( n) = 0
n n k =0 k =0
于是有：
x ( n) =
k =−∞
∑ x(k )δ (n − k )
∞
表明： 表明：任何信号x(n) 都可以被分解成移位加权的 单位脉冲信号的线性组合。 单位脉冲信号的线性组合。
sum） 二. 卷积和（Convolution sum） 如果一个线性系统对 δ (n − k ) 的响应是 hk ( n) ， 的响应为： 由线性特性就有系统对任何输入 x(n)的响应为：
y ( n) =
k =−∞
∑ x ( k ) h( n − k ) = x ( n) ∗ h( n)
∞
这表明：一个 这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和（ 积和（The convolution sum）。 ）
h( n) = u ( n)
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) =
k =−∞ n n +1 k
∑
∞
x ( k ) h( n − k ) =
k =−∞
α k u (n − k )u (k ) ∑
∞
1−α u ( n) = ∑α = 1−α k =0
x(k ) = α k u (k )
1
h(n − k ) = u (n − k )
0 0 0 0
2 4 0 6
1 2 0 3
0 2 1 y (5) y (6)
优点： 优点： 计算非常简单。 计算非常简单。 缺点： 只适用于两个有限长序列的卷积和； ①只适用于两个有限长序列的卷积和； ②一般情况下，无法写出 y (n)的封闭表达式。 一般情况下， 的封闭表达式。
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分 连续时间 系统： 系统
三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
问题的实质： 问题的实质： 1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成 研究信号的分解： 任意信号的基本信号单元， 任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的 线性组合来构成任意信号； 线性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。 如何得到 系统对基本单元信号的响应。 系统对基本单元信号的响应 作为基本单元的信号应满足以下要求： 作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 本身尽可能简单， 构成）尽可能广泛的其它信号； （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。 系统对这种信号的响应易于求得。 系统对这种信号的响应易于求得
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
k =−∞
∑ x(k ∆)δ
∞
∆
(t − k ∆) ⋅ ∆
∆ → dτ
∑→ ∫
δ∆ (t − k∆) → δ (t −τ )
于是： 于是： x(t) =
x∆ (t) → x(t)
∫
∞
−∞
x(τ )δ (t −τ )dτ
表明： 表明：任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解成移位 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
y ( n) =
若系统具有时不变性， 若系统具有时不变性，即： 若 δ ( n) → h( n) ，则 δ (n − k ) → h( n − k )
k =−∞
∑ x ( k ) h ( n)
k
∞
因此，只要得到了LTI系统对 δ (n)的响应 h(n) 因此，只要得到了 系统对 单位脉冲响应( 单位脉冲响应( impulse response )， 就可以得到LTI系统对任何输入信号 x(n) 的响应： 系统对任何输入信号 的响应： 就可以得到
例1: x(t ) = e − at u (t ) , :
a>0
∞ −∞
h(t ) = u (t )
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ ) = ∫ e− aτ u (τ )u (t − τ )dτ
−∞ t ∞
=∫ e
0
− aτ
1 dτ = (1 − e − at )u (t ) a
若系统是时不变的，即：若δ (t ) → h(t )，则有: 则有: 若系统是时不变的，
δ (t −τ ) → h(t −τ ) 于是系统对任意输入 x(t ) 的响应
可表示为： 可表示为： y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = x(t ) ∗ h(t )
−∞ ∞
表明: 系统可以完全由它的单位冲激响应 表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h(t ) 系统可以完全由它的 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积 分（The convolution integral）。 ）
k =−∞
∑ x ( k ) h( n − k ) ，
∞
h(n) h( −1) 1 h (0) 2 h (1) 0 h (2) 3 h (3) 1
x (0) x (1) x (2) x (3) 0 2 1 x( n) 1
1 y ( −1) 2 y (0) 0 y (1) 3 y (2) 1 y (3) y (4)
y ( n) = ∑ α n − k = α n ∑ α − k ② 0 ≤ n ≤ 4 时， 1 − α − ( n +1) 1 − α n +1 =αn ⋅ = −1 1−α 1−α
③ 4 ≤ n ≤ 6 时， y ( n ) = α n − k ∑
4 k =0
1 − α −5 =αn ⋅ 1 − α −1
2.1 离散时间 离散时间LTI系统：卷积和 系统： 系统
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum） ） 一. 用单位脉冲表示离散时间信号 离散时间信号中, 离散时间信号中,最简单的是 δ ( n) ,可以由它的线 性组合构成 u ( n) ，即：
来自百度文库
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：