平行四边形的性质(二)
平行四边形的判定(2)教案
平行四边形的判定（二）一、教学目标1、知识与技能目标（1）、掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形。
（2）、通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力。
2、过程与方法目标通过平行四边形判定条件的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性学生的实践能力及创新意识。
3、情感态度与价值观目标培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值。
二、教学重点掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。
三、教学难点几何推理方法的应用，平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。
四、教学过程（一）复习、引入1、什么叫平行四边形？2、平行四边形有什么性质？3、学了哪些平行四边形的判定？教师提问，学生口答，之后出示表1，让学生进一步理清所学平行四边形的判定。
（二）问题牵引，导入新知【探究一】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？先有学生猜想，然后经过推理论证得出四边形ABCD 是平行四边形。
教师引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维。
并让学生上讲台演示，得出本节的知识点。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 问题 平行四边形的判定方法共有几种？教师引导学生从边、角、对角线三个方面去总结，便于学生记忆这些判定定理。
出示例题已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单。
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC∴ DE=BF∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） ∴ BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路。
《平行四边形的性质(2)》学案
长春市第五十二中学教育集团八年级（上）数学学案平行四边形的性质（2）命题人：沈红岩审题人：冯丽亚一、学习目标：1、理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力。
2、通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力。
3、培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，体验探索成功后的快乐。
二、自主学习1.已学平行四边形的性质：平行四边形的对边_______，对角_______；2.阅读教材页“探究”：了解“中心对称图形”的知识，并利用它发现平行四边形新的性质：平行四边形的对角线_____________；3.用三角形的全等来证明“平行四边形的对角线互相平分”这个性质：已知：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O.求证：OA=OC, OB=OD证明： 四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC, ∠1=∠2,∠3=∠4∴△AOD≌△COB (ASA)∴OA=OC OB=OD∴平行四边形的对角线互相平分.三、经典例题例1：已知：如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．练习：如图，在□ABCD中，已知∠ADB=90°，AC=10cm，BD=6cm.求AD的长度。
例2：已知：如图，□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB∆的周长比BOC∆的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长．例3：如图，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明OE=OF.课后作业一、填空题1.已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8cm,BD=10cm,则AO= ,BO= .2.如图，□ABCD的周长为22cm，AC、BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=______cm， AB=______cm.3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， AC与BD的和为24cm，BC的长为8cm，则△AOD的周长为 .4.一个平行四边形的周长为20cm，一条对角线将它分成两个三角形的周长都是18cm，则这条对角线的长是。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例展示如何判定一组线段或角度是否构成平行四边形。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据定义，我们可以得出平行四边形的性质和判定条件。
二、平行四边形的性质1. 相对边相等：平行四边形的对边长度相等。
即AB=CD，AD=BC。
2. 相对角相等：平行四边形的对角角度相等。
即∠A=∠C，∠B=∠D。
3. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
即AC平分BD，BD平分AC。
4. 对角线相等：平行四边形的对角线相等。
即AC=BD。
5. 内角和为360度：平行四边形的内角和等于360度。
三、判定平行四边形的条件要判定一组线段或角度构成平行四边形，需要满足以下条件之一。
1. 对边相等：如果四边形的对边长度相等，即AB=CD，AD=BC，则这个四边形是平行四边形。
2. 对角线互相平分：如果四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC，则这个四边形是平行四边形。
3. 相对角相等：如果四边形的相对角度相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，则这个四边形是平行四边形。
在实际问题中，我们可以通过测量边长、角度或线段平分关系来判定是否为平行四边形。
下面举例说明。
例题一：已知线段AB与线段CD互相平分，且∠A=∠C，∠B=∠D，判断ABCD是否为平行四边形。
解析：根据给定条件得知，线段AB与线段CD互相平分，且相对角度相等。
根据判定平行四边形的条件，我们可以得出这个四边形是平行四边形。
例题二：在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为A(2, 3)，B(7, 3)，C(9, -2)，D(4, -2)的四边形ABCD，判断是否为平行四边形。
解析：根据给定坐标可以计算出AB的斜率为0，CD的斜率也为0。
根据斜率的性质，我们可以得出AB与CD是平行的。
另外，根据对边长度可以计算出AB=CD，AD=BC。
人教初中数学八下 18.1.1 平行四边形的性质教案2 【经典教学设计合编】
平行四边形性质课标解读与教材分析【课标要求】1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等、对角线互相平分的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．教学内容分析：本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础．学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形，课堂上可引导学生回忆有关知识．教学目标知识与技能1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等、对角线互相平分的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．过程与方法培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．情感态度价值观1、培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力．2、使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律，达到用问题创设数学情境，提高学生学习兴趣．3、初步达到演绎数学论证过程的能力．教学重点与难点重点平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等、对角线互相平分的性质，以及性质的应用．难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．媒体教具三角板课时1课时教学过程修改栏教学内容师生互动配套练习P23-251、典型例题讲析2、基础演练运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．板书设计作业布置教学反思平行四边形的判定——三角形的中位线课标解读与教材分析【课标要求】1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．教学内容分析：一、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？二、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）三、例题分析例1如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形． 方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ．（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．∵ AH=HD ，CG=GD ， ∴ HG ∥A C ，HG=21AC （三角形中位线性质）． 同理EF ∥AC ，EF=21AC ．∴ HG ∥EF ，且HG=EF ． ∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．板 书设 计作业布置教 学反 思18.1.1 平行四边形的性质一、教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础．学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形，课堂上可引导学生回忆有关知识．平行四边形的定义在小学里学过，学生是不生疏的，但对于概念的本质属性的理解并不深刻，所以这里并不是复习巩固的问题，而是要加深理解，要防止学生把平行四边形概念当作已知，而不重视对它的本质属性的掌握．为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解，在讲平行四边形定义前，要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚．讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件，一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形，就一定是有“两组对边分别平行”的一个“四边形”．要指出，定义既是平行四边形的一个判定方法，又是平行四边形的一个性质．新教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的，然后用两个三角形全等，证明了这两条性质．这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力．教学中可以通过大量的生活中的实例：如推拉门、汽车防护链、书本等引入新课，使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律，达到用问题创设数学情境，提高学生学习兴趣．然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质，进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质．同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式，让学生在教师的范式的诱导下，初步达到演绎数学论证过程的能力．最后通过不同层次的典型例、习题，让学生自己理解并掌握本节课的知识．三、例题的意图分析教材P42的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又 AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）．∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P42例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略．六、随堂练习1．填空：50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（1）在ABCD中，∠A=︒（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．360（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是︒2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．课后反思：18.1.1 平行四边形的性质三、教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．四、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础．学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形，课堂上可引导学生回忆有关知识．平行四边形的定义在小学里学过，学生是不生疏的，但对于概念的本质属性的理解并不深刻，所以这里并不是复习巩固的问题，而是要加深理解，要防止学生把平行四边形概念当作已知，而不重视对它的本质属性的掌握．为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解，在讲平行四边形定义前，要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚．讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件，一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形，就一定是有“两组对边分别平行”的一个“四边形”．要指出，定义既是平行四边形的一个判定方法，又是平行四边形的一个性质．新教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的，然后用两个三角形全等，证明了这两条性质．这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力．教学中可以通过大量的生活中的实例：如推拉门、汽车防护链、书本等引入新课，使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律，达到用问题创设数学情境，提高学生学习兴趣．然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质，进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质．同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式，让学生在教师的范式的诱导下，初步达到演绎数学论证过程的能力．最后通过不同层次的典型例、习题，让学生自己理解并掌握本节课的知识．三、例题的意图分析教材P42的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵ AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又 AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）．∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P42例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略．六、随堂练习1．填空：50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（1）在ABCD中，∠A=︒（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．360（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是︒2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．课后反思：。
平行四边形的性质(第二课时)精美课件
平行四边形的对角线互相平分 1．(4分)如图所示，如果平行四边形ABCD的两条对角线 AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形有( D ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．(4分)在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 且AB≠AD，则下列式子不正确的是( A ) A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD 3．(4分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与 OA相等的其他线段有( B ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
A．S△ABE＝S△ADE B．S△BCE＝S△DCE D．S△ADE<S△BCE
1 C．S△ADE＋S△BCE＝ S▱ABCD 2
第4题图
第5题图
北师 · 数学
平行四边形性质的综合应用
6．(4分)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于 点O，下列结论：①OA＝OC；②∠BAD＝∠BCD； ③AC⊥BD；④∠BAD＋∠ABC＝180°； ⑤AD＝BC.其中正确的个数有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第6题图
7．(4分)如图，在▱ABCD中，AB＝3 cm， BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA 的取值范围是( C ) A．3 cm<OA<5 cm B．2 cm<OA<8 cm C．1 cm<OA<4 cm D．3 cm<OA<8 cm
北师 · 数学
第7题图
8．(4分)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于 点O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F， 若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是( C ) A．16 B．14 C．12 D．10
(完整版)18.平行四边形的性质及判定(1)(2)
平行四边形的性质（1）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解并掌握平行四边形的看法和平行四边形对边、对角相等的性质．2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．【学法指导】研究、合作、交流【自主学习】1. 由 __ _ 条线段首尾按序连接构成的多边形叫四边形；四边形有_条边， ___个角 , 四边形的内角和等于 _____度；2. 如图 AB与 BC叫 _ __边， AB 与 CD叫__ _边；∠ A 与∠ B 叫 _ __角，∠ D与∠ B 叫_ __角 ;3 多边形中不相邻极点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有 __ _ 条，它们是___自学课本1.有两组对边 __________________ 的四边形叫平形四边形，平行四边形用“ ______表”示，平行四边形 ABCD 记作 __________。
（可以写成□BACD 吗？）2.如图□ABCD 中，对边有 ______组，分别是 ___________________ ，对角有 _____组，分别是 _________________，对角线有 ______条，它们是 ___________________ 。
试一试：1、如图，小明用一根36 m长的绳索围成了一个平行四边形的场所，此中一条边AB 长为 8 m，其余三条边各长多少？2、一个个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：组长检查等级：组长署名：【合作研究】你能猜想ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。
边的关系：角的关系：证明：证明：从而获取平行四边形的性质：（ 1）平行四边形的对边且。
几何语言：（ 2）平行四边形的对角，邻角。
几何语言：【当堂检测】（A 层）1、ABCD有一个内角等于40°，则别的三个内角分别为：2、平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2： 3，则两邻边分别为：3、ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是（）A.1 ︰2︰3︰4︰4︰4︰3︰3︰4︰4︰4︰3︰44. 、ABCD 的周长为 40cm，△ ABC的周长为 27cm,AC 的长为（）（ B、 C层）1、如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B=110 °，延长 AD 至 F ，延长 CD至 E ，连接 EF ，则∠ E+ ∠F 等于 (）A.30 °B.110 °° D.70 °2、如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，若 AE=4， AF=6，平行四边形 ABCD的周长为 40，则平行四边形 ABCD的面积为多少？3、在ABCD，若一个角的均分线把另一条边分成长是2cm和 3cm 的两条线段，则该平行四边形的周长是4.如图，AD∥ BC，AE∥ CD，BD均分∠ ABC，求证AB=CE.【学后反思】本节课你学会了什么？你还有哪些诱惑？学习等级小组议论教师议论平行四边形的性质（2）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解平行四边形中心对称的特色，掌握平行四边形对角线相互均分的性质．2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题【学法指导】研究、合作、交流。
人教版八年级数学下《平行四边形的性质-第2课时：平行四边形的对角线互相平分》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边 的长.
D
C 提示：平行四边形被对角线分成
四个小三角形，相邻两个三角形
O
的周长之差的绝对值等于邻边边
A
B
长之差的绝对值.
F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证
明你的结论.
D
C
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
EO
∴OAOC，OBOD.
A
B
∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴ OEOF， 在△OFD和△OEB中， OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB. ∴△OFD≌△OEB. ∴BEDF，∠DFO∠BEO. ∴BE//DF.
O B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
F
在△AOE和△COF中，
C
∠AOE∠COF
改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
OAOC ∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
探究
如图，▱ABCD中，连接AC、
A
D
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB与OD有什么关系？
O
B
C
操作
1.任意画一个平行四边形，如上图； 2.尝试用自己的方法找OA与OC，OB与OD的关系.
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平行四边形的性质(精讲)2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)
18.1平行四边形的性质（解析版）平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.题型1：平行四边形的定义1.如图，在▱ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF与GH相交于点O，则图中的平行四边形一共有（）A．4个B．5个C．8个D．9个【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，【变式1-1】如图，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则图中平行四边形一共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的中位线定理得出EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可．【解答】解：有3个平行四边形，有平行四边形ADEF，平行四边形CFDE，平行四边形BEFD，理由是：∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴EF∥AB，DF∥BC，∴四边形BEFD是平行四边形，同理四边形ADEF是平行四边形，四边形CFDE是平行四边形，∴图中平行四边形一共有3个，故选：C综上所述，可以作0个或3个平行四边形．故答案为：0个或3个．平行四边形的性质（1）1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；注意：①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；题型2：平行四边形的性质与角度计算2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝128°，则∠A＝（）A．32°B．42°C．52°D．62°【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．【解答】解：∵∠DCE＝128°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣128°＝52°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠DCB＝52°，故选：C【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝50°，则∠BCE的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝50°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝50°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°；故选：C【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为22度．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠C＝60°，∴AD＝BC，∠ADE＝∠ABC＝120°，∠BAD＝60°，∵∠EAB＝38°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝22°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝BC，∠BEC＝60°，∴BE＝AD，∠BED＝120°＝∠ADE，在△BDE与△AED中，，∴△BDE≌△AED（SAS），∴∠DBE＝∠EAD＝22°，故答案为：22题型3：平行四边形的性质与求线段3.如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（）A．B．2C．2D．2【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD＝∠ECB，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴AE＝DE＝AB＝2．故选：C【变式3-1】如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED 是等腰三角形，继而求得CD的长．【解答】解：在▱ABCD中，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AD∥BC，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝5，故选：B【变式3-2】如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，AD＝5，则CD的长为（）A．4B．3C．2D．1.5【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD＝BC＝5，由CE平分∠BCD得∠DCE＝∠BCE，由平行线的性质得∠DCE＝∠E，运用等量代换得∠E＝∠BCE，从而得到△BCE为等腰三角形，计算出BE的长度，由AE＝2可求得AB的长度，继而得到CD的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5，CD＝AB，∴∠E＝∠ECD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝BC＝5，∴AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，∴CD＝3．故选：B平行四边形的性质（2）1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；2．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.注意：（1）对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.（3）对角线性质的拓展∶①两条对角线将平行四边形分为面积相等的四个三角形;②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等;③过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.题型4：平行四边形的性质与求周长4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为（）A．12B．9C．8D．6【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，由△BCO的周长为14，可求BC＝AD＝6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AC+BD＝16，∴BO+CO＝8，∵△BCO的周长为14，【变式4-1】在▱ABCD中，若∠B＝60°，AB＝16，AC＝14，则▱ABCD的周长是52或44．【分析】过点A作AE⊥BC于E，利用勾股定理得出BE，AE，EC，进而根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，∵∠B＝60°，AB＝16，∴BE＝8，AE＝8，由勾股定理得，EC＝，∴BC＝BE+EC＝8+2＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+16）＝52，②当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，由①可知，BE＝8，EC＝2，∴BC＝BE﹣EC＝6，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（16+6）＝44，故答案为：52或44（2）若CD＝7，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA＝OC，求出∠EAO＝∠FCO，根据ASA推出△AEO≌△CFO，从而结论；（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF；（2）解：∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，∴DF+AE＝AB＝CD＝7，又∵EF＝2OE＝4，∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝7+4+5＝16题型5：平行四边形的性质与面积5.如图，在▱ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．（1）求AB的长；（2）求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理得出DE，进而解答即可；（2）根据平行四边形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC＝13，在Rt△ADE中，，＝．∴CD＝DE+CE＝5+10＝15．∴AB＝15；（2）S▱ABCD＝CD×AE＝15×12＝180【变式5-1】如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四边形ABFC的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥DF，从而证得∠ABC＝∠BCF，利用ASA可证明结论；（2）由△ABE≌△FCE得到AE＝FE，利用对角线相等可证得四边形ABFC为平行四边形，得到AB ＝FC＝CD，利用等腰三角形三线合一证得AC⊥DF，从而得到四边形ABFC是矩形，再利用勾股定理求出AC的长度，即可求出四边形ABFC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABC＝∠BCF，∵E为BC中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE．（2）解：∵△ABE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE＝FC，∴四边形ABFC是平行四边形，∴AB＝CF＝CD，∵AD＝AF，∴AC⊥FD，∴四边形ABFC是矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，BC＝5，根据勾股定理得AC＝＝＝4，∴矩形ABFC的面积为AB•AC＝3×4＝12【变式5-2】如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（）A．5B．5C．10D．10【分析】利用▱的性质及判定定理可判断四边形AEPF为▱，EF、AP为▱AEPF的对角线，设交点为O，则EF、AP相互平分，从而证得△POF≌△AOE，则阴影部分的面积等于△ABC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∵PE∥BC，∴PE∥AD∵PF∥CD，∴PF∥AB，∴四边形AEPF为▱．设▱AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF∴△POF≌△AOE（SAS），∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，过A作AM⊥BC交BC于M，∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2，S△ABC＝×5×2＝5，即阴影部分的面积等于5．故选：B题型6：平行四边形的性质与三边关系6.如图，平行四边形ABCD和平行四边形EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系正确的是（）A．DE＞BF B．DE＝BF C．DE＜BF D．DE＝FE＝BF【分析】本题要求的是DE与BF之间的关系，它们分别是在△ECD与△F AB中的两边，只要证明两个三角形全等即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD∴∠CDE＝∠ABF∵在平行四边形EAFC中，EC∥AF∴∠AFE＝∠CEF∴∠AFB＝∠CED∴△ECD≌△F AB（AAS）所以DE＝BF．故选：B【变式6-1】如图，AB＝CD＝DE，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（）A．AC+BD＜AB B．AC+BD＝AB C．AC+BD＞AB D．无法确定【分析】由平移的性质可得AB∥CE，AB＝CE，可证四边形ABEC是平行四边形，可得AC＝BE，AB ＝CE，由三角形的三边关系可求解．【解答】解：∵CE是由AB平移所得∴AB∥CE，AB＝CE∴四边形ABEC是平行四边形∴AC＝BE，AB＝CE，∴AB＝CD＝DE＝CE，在△DBE中，DB+BE＞DE，∴DB+AC＞AB，故选：C【变式6-2】已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．猜测DE和BF的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ADE≌△CBF，即可得结论．【解答】解：DE∥BF DE＝BF理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAC＝∠ACB，且AE＝CF，AD＝BC∴△ADE≌△CBF（SAS）∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC∴∠DEC＝∠AFB∴DE∥BF题型7：平行四边形的性质与角平分线7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF＝2，，则AB的长为（）A．B．C．D．4【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证AB＝BF，在Rt△BEF中，由勾股定理可求BF，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∵BE⊥AF，EF＝2，，∴BF＝＝＝4，【变式7-1】如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝8．【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC＝90°，由平行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可证AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的长，由“ASA”可证△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF 是平行四边形，可得CF＝AM＝8．【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO＝＝＝4，在△ABO和△MBO中，，∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四边形AMCF是平行四边形，∴CF＝AM＝8，故答案为：8【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．求证：CD＝BE．【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的定义、等腰三角形的性质得出AB＝BE，进而得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，题型8：平行四边形的性质与垂直平分线8.在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为30cm，则△CDE的周长为（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15cm，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长为30cm，∴AD+CD＝15（cm），∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15（cm）．故选：C【变式8-1】如图，在▱ABCD中，D在AB的垂直平分线上，且▱ABCD的周长为42cm，△BCD的周长比▱ABCD的周长少12cm，则AB＝12cm，S▱ABCD＝36cm2．【分析】根据垂直平分线的性质可知，AD＝DB，由于△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm，所以可求出BD＝9cm，再根据周长的值求出AB，根据勾股定理求出高DE，即可求出答案．【解答】解：∵AB的垂直平分线EF经过点D，∴DA＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，∵△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm∴BD＝9cm，∴ADBC＝BD＝9cm，∵▱ABCD的周长为42cm，∴AB＝DC＝×42cm﹣9cm＝12cm，在△ADB中，AD＝BD＝9cm，AB＝12cm，∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，AE＝BE＝6cm，由勾股定理得：DE＝＝3（cm），∴S平行四边形ABCD＝AB×DE＝12cm×3cm＝36cm2，故答案为：12，36．【变式8-2】如图，在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD，AB于点F和E，AB＝4，BC ＝，AC＝3，求EF的长．【分析】过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．构建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四边形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的对应边成比例可以求得CG的长度，则平行四边形EFCG的对边相等：EF＝CG．【解答】解：如图，过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．由勾股定理得到：CH2＝AC2﹣（AB+BH）2＝BC2﹣BH2，∵AB＝4，BC＝，AC＝3 ，∴（3 ）2﹣（4+BH）2＝（）2﹣BH2，解得∴BH＝1．∴AH＝AB+BH＝4+1＝5．∴CH＝＝．∵CG∥FE、AC⊥FE，∴CG⊥AC．∵∠CAH＝∠GAC，∠AHC＝∠ACG＝90°，∴△ACH∽△AGC，∴CH：CG＝AH：AC，∴CG＝＝．∵四边形ABCD平行四边形，∴FC∥EG．又CG∥FE，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EF＝CG＝．题型9：平行四边形的性质与最值9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．【分析】作辅助线，构建相似三角形，先根据平行线分线段成比例定理得：＝，G是BC上一定点，得出当MN⊥AD时，MN的长最小，计算AH的长就是MN的最小值．【解答】解：当MN⊥AD时，MN的长最小，∴MN∥DC∥AB，∴∠DCM＝∠CAN＝∠MNB＝∠NBH，设MN与BC相交于点G，∵ME∥BN，MC＝CE，∴＝，∴G是BC上一定点，作NH⊥AB，交AB的延长线于H，∵∠D＝∠H＝90°，∴Rt△MDC∽Rt△NHB，即＝，∴BH＝2DC＝4，∴AH＝AB+BH＝6+4＝10，∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10；则线段MN长度的最小值为10．【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，求DE的最小值．【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC，∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝2，∴ED＝2OD＝4；则DE的最小值是4．【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣1）、点B（m，m+1）（m≠﹣1），点C（4，1），则对角线BD的最小值是（）A．3B．2C．5D．6【分析】先根据B（m，m+1），可知B在直线y＝x+1上，设AC，BD的交点为M，则M（2，0），BD＝2BM，所以当BM最小时，BD最小，根据垂线段最短，得到当BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，此时BD亦最小，如图2，可以证得△BEM为等腰直角三角形，从而利用勾股定理，求得此时BM的值，即可解决．【解答】解：∵点B（m，m+1），∴令，∴y＝x+1，∴B在直线y＝x+1上，设AC，BD交于点M，如图1，∴M是AC和BD的中点，∴M（2，0），BD＝2BM，∴当BM最小时，BD最小，过M作MH⊥直线y＝x+1于H，根据垂线段最短，BM≥MH，所以BM的最小值为MH，即当BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，则BD最小，设直线y＝x+1与x轴，y轴交于点E，F，如图2，令x＝0，则y＝1，∴F（0，1），同理，E（﹣1，0），∴OE＝OF＝1，∴∠BEM＝45°，又∠MBE＝90°，∴∠BEM＝∠BME＝45°，∴△BME为等腰直角三角形，∵E（﹣1，0），M（2，0），∴ME＝3，∵BE2+BM2＝ME2，且BM＝BE，∴BM＝，∴，即对角线BD的最小值为3，故选：A．题型10：平行四边形的性质与折叠问题10.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C【变式10-1】如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（）A．70°B．40°C．30°D．20°【分析】根据折叠的性质得出AM＝MD＝MF，得出∠MF A＝∠A＝70°，再由三角形内角和定理即可求出∠AMF．【解答】解：根据题意得：AM＝MD＝MF，∴∠MF A＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故选：B【变式10-2】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝55°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE＝∠BAD，得出∠D1AD＝∠BAE＝55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°；故答案为：55°．题型11：平行四边形的性质与证明题11.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F是对角线AC的三等分点，∴AE＝CF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．【变式11-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE＝CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．【变式11-2】如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明．【分析】（1）只要证明∠MAB+∠MBA＝90°即可；（2）结论：DF＝CE．只要证明AD＝DE，CF＝BC，可得DE＝CF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠EAB＝∠DAB，∠ABF＝∠ABC，∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠EAB+∠ABF＝×180°＝90°，∴AE⊥BF．（2）DF＝CE．证明：∵AE平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD，∵DC∥AB，∴∠EAD＝∠EAD，∴AD＝DE，同理：FC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴DE＝FC，∴DF＝CE两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.题型12：平行线的距离12.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．【分析】利用等积法，设AD与BC之间的距离为x，由条件可知▱ABCD的面积是△ABC的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再由S四边形ABCD＝AD•x，可求得x．【解答】解：设AD和BC之间的距离为x，则平行四边形ABCD的面积等于AD•x，∵S平行四边行ABCD＝2S△ABC＝2×AC•BE＝AC•BE，∴AD•x＝AC•BE，即：7x＝21×5，x＝15（cm），答：AD和BC之间的距离为15cm．【变式12-1】如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB与CD的距离；（2）AD与BC的距离．【分析】（1）在直角三角形中，由勾股定理解直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可；（2）由面积相等建立等式关系，进而可求解其距离．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝＝＝8，∴AB与CD的距离＝AC＝8；（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，∴AD、BC之间的距离为6×8÷10＝4.8【变式12-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝2，求AD与BC之间的距离．【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，对角相等可得∠B＝∠D，然后利用“角角边”证明△ABE和△CDF即可；（2）利用∠B的正弦值求出AE，再根据平行线间的距离的定义解答．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵∠B＝60°，AB＝2，∴AE＝AB•sin60°＝2×＝，∵▱ABCD的边AD∥BC，∴AD与BC之间的距离为word可编辑文档。
平行四边形的概念性质和判定
平行四边形一.知识要点:(一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。
1.由定义知平行四边形的对边平行。
2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.平行四边形是中心对称图形。
(三)平行四边形的判定。
1.利用定义判定。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二.例题:例1.判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
( )2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。
( )3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。
( )4.一组对边平行,一组邻角相等的四边形是平行四边形。
( )5.四条边都相等的四边形是平行四边形。
( )6.两组邻边相等的四边形是平行四边形。
( )7.两组邻角互补的四边形是平行四边形。
( )8.各组邻角互补的四边形是平行四边形。
( )9.一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形。
( )10.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
( )例2.填空题:1. 平行四边形ABCD中,AB⊥AC,∠B=60°,AC=2,则平行四边形ABCD的周长是_______。
2.平行四边形的两边长为3cm和6cm,夹角为60°,则平行四边形的面积为_______cm。
3.在平行四边形ABCD中,如果一边长6cm,一条对角线长是8cm,则另一条对角线x的取值范围是_______。
例3.已知：如图，AB//CD，AD=BC，求证：OD=OC。
例4.已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，分别延长BA、DC至G、M，使AG=CM，求证：EM//GF。
数学教案-平行四边形及其性质 第二课时
数学教案－平行四边形及其性质第二课时一、教学目标1.理解平行四边形的定义及其性质。
2.掌握平行四边形判定定理的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学重难点1.重点：平行四边形的性质及其判定定理。
2.难点：运用平行四边形的性质和判定定理解决实际问题。
三、教学过程1.导入新课师：同学们，上一节课我们学习了平行四边形的定义和性质，那么如何判定一个四边形是平行四边形呢？这节课我们就来学习平行四边形的判定定理。
2.学习平行四边形的判定定理（1）引导学生回顾平行四边形的定义和性质。
师：请同学们回忆一下，平行四边形有哪些性质？生：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补。
（2）讲解平行四边形的判定定理。
①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分。
（3）举例说明判定定理的应用。
师：下面我们来看几个例子，运用平行四边形的判定定理来解决问题。
例1：已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，求证：ABCD是平行四边形。
例2：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，求证：ABCD是平行四边形。
3.练习师：同学们，下面我们来做一些练习题，巩固一下平行四边形的判定定理。
（1）练习题1：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：ABCD是平行四边形。
（2）练习题2：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，求证：ABCD 是平行四边形。
4.课堂小结师：通过这节课的学习，我们掌握了平行四边形的判定定理，可以运用这些定理来解决实际问题。
在今后的学习中，我们要熟练运用这些定理，提高解题能力。
5.作业布置（1）课后作业1：完成教材P页的练习题。
四、教学反思本节课通过讲解平行四边形的判定定理，让学生掌握了判定一个四边形是平行四边形的方法。
在教学过程中，注重引导学生回顾已学的知识，充分发挥学生的主体作用，让学生在练习中巩固所学知识。
但在教学过程中，发现部分学生对判定定理的应用还不够熟练，需要在今后的教学中加强训练。
平行线与平行四边形的性质
平行线与平行四边形的性质平行线和平行四边形是初中数学中的基础概念，它们之间有着紧密的关联。
本文将就平行线和平行四边形的性质展开讨论，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
两条平行线可以用符号“||”表示。
2. 平行线的性质：（1）平行线上的任意两条直线与横线所夹的对应角相等。
（2）平行线上的任意两条直线与平面内其它直线所夹的内角或外角相等。
二、平行四边形的定义和性质1. 平行四边形的定义：平行四边形是四边形的一种，其四条边都是平行的。
平行四边形具有独特的性质和特点。
2. 平行四边形的性质：（1）对边相等性质：平行四边形的对边是两两平等的，即对边的长度相等。
（2）同位角对应性质：平行四边形的同位角对应相等，即同位角对应角度相等。
（3）内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
三、平行线与平行四边形的关系1. 平行四边形的边与线的关系：平行四边形的对边是平行的，因此可以通过平行线的定义推导出平行四边形的定义。
2. 平行线与平行四边形的角关系：平行线上的对应角相等的性质可以用于证明平行四边形的对边是平行的。
3. 平行线与平行四边形的应用：平行线和平行四边形的性质广泛应用于几何证明和计算中，例如在计算四边形的面积时，可以利用平行四边形的性质来简化计算过程。
四、例题分析1. 已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，BC=8cm，若平行线l与AB和BC两边分别相交于E和F，则EF的长度是多少？解析：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边是平行的，因此AE和CF也是平行的。
根据平行线的定义可得，∠IBE=∠CBF。
由于平行四边形的对边相等，可以得出AE=CF=6cm。
根据三角形的内角和为180度可得，∠AEB=∠BFC=180°-∠IBE-∠CBF=180°-∠IBE-∠IBE=180°-2∠IBE。
平行四边形(2)平行四边形的性质
2
4 3
C
我思,我进步2
平行四边形的性质
定理:平行四边形的对角相等.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形. 求证:∠BAC=∠BCD, ∠B=∠D.
A
证明:
′
1
4 3
D
2
∵△ABC≌△CDA(已证). ∴∠B=∠D.
B
C
∵∠1=∠2, ∠3=∠4.
∴∠BAC=∠BCD.
我思,我进步3
平行四边形的性质
定理:平行四边形的对角线互相平分.
我思,我进步4
平行四边形的性质
定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.
已知:如图,直线MN∥PQ,线段AB∥CD,且AB,CD与 MN,PQ分别相交于点A,D,B,C. 求证:AB=CD.
′
M
A B C
D
Q
N
分析:可利用平行四边形边的 对边相等来证明.
证明: ∴MN∥PQ,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边ห้องสมุดไป่ตู้. ∴AB=CD.
A
C
D
证明后的结论,以后可以直接运用.
独立 作业
知识的升华
习题8.1 1,2题.
祝你成功！
独立 作业
1.已知:如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F. A E D 2 求证:OE=OF. 4 O 分析:要证明OE=OF,可转化全等B 1 3 C F 三角形的对应边来证明. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,AD∥BC. ∴ ∠1=∠2. ∵∠3=∠4, ∴△BOF≌△DOE(ASA). ∴OE=OF.
心动
不如行动
我思,我进步1
人教版平行四边形性质2
B
C
2024年11月15日星期五
22
1、 通过本节课的学习，你有什么收获？
2、 平行四边形的性质共有哪些？
边：对边平行，对边相等 角： 对角相等，邻角互补 对角线：对角线互相平分
2024年11月15日星期五
23
图 名 文字语言 形称
图形语言
符号语言
Ｄ 定 两组对边分别平行的
义 四边形
平
Ａ
行 四 边 形
（1）△ BOC的周长是多少？
A
D
说明理由？
O
10+4+7=21 B
（ 2） △ ABC与△ DBC的周长哪个长，
长多少？
△ ABC的周长小 于△ DBC的周长
小6
2024年11月15日星期五
15
2、如图，四边形ABCD是平行四边形，
AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、
OA的长以及 ABCD的面积.
数学八年级下册
2024年11月15日星期五
1
八年级 数学
一、复习导入新课
B
C
定义 表示方法
A
D
两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四 边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫 它的对角线。
平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作
“平行四边形ABCD”, 其中线段AC, BD称 为对角线。
性
2024年11月15日星期五
Ｄ 性 平行四边形的对边平
质 行;对边相等;对角相等; 对角线互相平分
Ａ
Ｄ
Ｃ ∵AB∥CD,AD∥BC
∴…是平行四边形
Ｂ Ｃ ∵四边形ABCD是平行四边
形 ∴AB∥CD,AD∥BC
八年级数学《平行四边形的性质2》教案
19.1.1 平行四边形性质2情理推导，认识性质1、演示操作。
2、提出下列问题。
3、发现结论。
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。
平行四边形的对角线互相平分.4、证明性质。
5、指导认识。
（几何语言）教师活动：操作投影仪，显示“探究”中的问题，组织学生观察操作，发现结论。
学生活动：观察操作、交流，从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O旋转180度仍和平行四边形EFGH重合，从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。
教师活动：指导写已知、求证，启导学生分析思路。
学生活动：合作学习，互相讨论自己的思路。
师生归纳：平行四边形性质三平行四边形对角线互相评分。
设计意图采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的内容，解决了重点，突破的难点。
应用新知，提高认识范例点击应用所学例（投影仪）四边形ABCD是平行四边形，AB=10,AD=8,AC垂直BC，求BC、CD、AC、OA的长以及平行四边形的面积。
思路点拨：可以利用平行四边形对变相等求出BC=AD=8,CD=AB=10,在求出AC长度时，因为∠ACB=90°,可以在求出RT⊿ABC中应用勾股订立求出AC=6,由于OA=OC,因此AO=3.求的平行四边形面积是48。
补充例题，如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，那么线段AE、CF的大小关系如何？说明理由。
教师活动：分析讲例题，教会学生分析思路是本例题的重点。
渗透综合分析法。
学生活动：参与教师分析，学生几何分析的基本思路，学会综合分析法。
设计意图：本例题是要复习巩固平行四边形的对边相等、对角线互相平分性质，同时，还涉及了勾股定理以及平行四边形的面积计算问题，在以后的学习中经常要运用到，这一点要引起学生的注意。
设计意图证明线段相等，学生通常证法一：AE=CF,在⊿ABF ≌⊿CDE 中 ∵AB ∥CD, ∴∠BAC=∠DCE 又四边形是平行四边形 ∴BF=DE, ∠BFE=∠DEC, ∴⊿ABF ≌⊿CDE(AAS) ∴AF=CE AF-EF=CE-EF 即 AE=CF （同理，可通过证明⊿BCE ≌⊿AFD 或⊿ABE ≌⊿CDF 或，⊿AED ≌⊿CFB 得到AE=CF ） 证法二：连接BD,交AC 于O.因为四边形都是平行四边形 所以OA=OC.OE=OF,所以OA-OE=OC-OF 即AE=CF. 课堂演练 说一说,练一练 1、在平行四边形ABCD 中， BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm, （1）△ AOD 的周长是多少？为什么？ （ 2） △ ABC 与△ DBC 的周长哪个长？长多少？ 2、平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O,直线EF 过点 O 与 AB 、CD 分别相交于E 、F,试探究OE 与OF 的大小关系？并说明理由。
人教版《平行四边形的性质》初中数学-教学课件2
)
证明:在▱ABCD中,AD∥BC,
又∵AM=CN,∴△ABM≌△CDN, 如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,对于以O为公共顶点的4个三角形来说,下面结论中错误的是(
)
∴∠AMB=∠CND,
∴∠BMO=∠DNO,∴BM∥DN.
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6.【例3】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O 的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM 的面积为4,求△AOB的面积.
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解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠CAD=∠ACB,OA=OC, 而∠AOM=∠CON,∴△CON≌△AOM, ∴S△AOD =S△DOM +S△AOM =S△DOM +S△CON =4+2=6, 又∵OB=OD,∴S△AOB =S△AOD =6.
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10.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线 交AD于点E,交BC于点F.直线EF两旁的梯形的面积相等吗? 为什么?
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO, 解决一类问题、一系列问题。
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
∴△DEO≌△BFO,∴DE=BF. 30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
(4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 ○3课后及时复习.写完作业后对当天老师讲的内容进行梳理，可以适当地做25分钟左右的课外题.可以根据自己的需要选择适合自己的课外书.其课外题内容大概就是今天上
第十八章 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质(2)
八年级平行四边形(二)
【答案】B
4、如图，在平行四边形ABCD中，AB= AC，若平行四边形ABCD的周长为38 ，△ABC的周长比平行四边形ABCD的周长少l0 ，求平行四边形ABCD的一组邻边的长．
【提示】△ABC的周长： =28
平行四边形ABCD的周长：
【答案】
5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB=6 ,BC=l0 ,试求：
题型二：证明线段互相平分
例1、已知：如图．平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别在AD、BC上，AG =CH．求证：EF与GH互相平分．
【提示】根据本题要证得结论可以分析出本题只要证明四边形GFHE是平行四边形即可.连结GF、FH、HE、EG
例2、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H.求证：GF∥EH.
【注意】边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。
知识点3：平行四边形的判定
根据定义来判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。
1．平行四边形判定定理l:如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
【提示】AD EF BC.
1、专题精讲
题型一：证明线段相等
例1、己知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD的延长线于点E、F，求证：AE=CF.
【提示】易证△DOF≌△BOE，DF=BE,AF CE，证得四边形AECF为平行四边形.（△DOF≌△BOE及已知条件，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形AECF为平行四边形.）
各种四边形判定定理及性质
四边形的性质和判定一、平行四边形的性质和判定（一）平行四边形性质：1、平行四边形的两组对边平行且相等2、平行四边形的两组对角相等,邻角互补3、平行四边形的两条对角线互相平分4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（二）平行四边形的判定：1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、两条对角线互相平分5 两组对角分别相等以上五个条件均可判定一个四边形是平行四边形，都是平行四边形的判定定理。
二、菱形的性质和判定：（一）菱形的性质：1、对角线互相垂直且平分；2、四条边都相等；3、对角相等,邻角互补；4、每条对角线平分一组对角．5、菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点也是轴对称图形，对称轴是两条对角线（二）菱形的判定三、矩形的性质和判定（一）矩形的性质1、从边看，矩形对边平行且相等。
2、从角看，矩形四个角都是直角。
3、从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点（二）矩形判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形2.有三个角是直角的四边形是矩形四、正方形的性质和判定（一）正方形的性质1、四边相等，四个角是直角2、对角线相等、相互平分、相互垂直3、既是中心对称图形又是轴对称图形（二）正方形的判定1、有一个角是直角的菱形是正方形2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形5、对角线相互垂直的矩形是正方形。
《平行四边形的性质》PPT精选优质课件2
八年级下册
第十八章 平行四边形
人教版
专题训练 特殊平行四边形的性质与判定
类型一 矩形的性质与判定 1．(宿迁中考)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点 E，F 分别 在 AB，CD 上，且 BE＝DF＝32 . (1)求证：四边形 AECF 是菱形； (2)求线段 EF 的长．
解：(1)∵在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝2，∴CD＝AB＝4，AD＝BC ＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF＝32 ，∴CF＝AE＝4－32 ＝52 ， ∴AF＝ 22＋（32）2 ＝52 ＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE＝52 ，∴四边形 AECF 是菱形
类型二 菱形的性质与判定 4．(2020·新疆)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对 角线AC于点E，F，连接BE，DF. (1)求证：AE＝CF； (2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE ＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE 和
解BE：，(又1)∵∵四DF边∥形BAE，BC∴D四是边矩形形D，E∴BFA是B∥平C行D四，边∴形∠DFO＝∠BEO，又∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝ B(1E)当，四又边∵形DFA∥BCBED，是∴矩四形边时形，D四E边BF形是E平FG行H四是边__形______，请说明理由； (82．)如如图图，①连，接在E正G，方∵形四AB边C形D中AB，CPD是是对菱角形线，B∴D上AD的＝一B点C，，A点DE∥在BACD，的∵延E长为线AD上中，点且，PA∴＝APEE＝，EPDE，交∵CDBG于＝点DFE. ，∴AE＝BG，又 ∵解A：E(∥1)∵BG四，边∴形四E边FG形HA是B矩G形E是，平∴行EH四＝边F形G，E∴HA∥BF＝GE，G∴，∠∵GEFGH＝＝F∠H＝EH2，F，∴∵A∠B＝BF2G，＝∴1菱80形°A－B∠CDG的FH周，长∠为D8HE＝180°－∠EHF， (∴2)∠若BBFEG＝＝D∠E，DH求E证，：∵四四边边形形EABBFCDD为是菱菱形形．，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE (13)求 如证图：②A，E把＝正C方F；形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并 (说2)明若理BE由＝．DE，求证：四边形EBFD为菱形． (12)求证∠：CPAEE的＝度C数F；； (21)如 求图证，：连四接边形EGD，E∵BF四是边平形行A四B边CD形是；菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，又 ∵(2)A当E四∥边BG形，A∴BC四D边满形足A什B么GE条是件平时行，四四边边形形，E∴FGAHB是＝正EG方，形∵？E并G＝说F明H理＝由2，．∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8 专(2)题若训BE练＝D特E，殊求平证行：四四边边形形的E性B质FD与为判菱定形． (2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
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18.1.2 平行四边形的性质（二）
学习内容
学习目标
1知识目标
探索平行四边形的性质定理3,并理解掌握。
2能力目标
会运用平行四边形的性质定理3解决相关题型3情感目标
体会探索新知的过程。
重难点
重点：平行四边形的性质定理3 难点：平行四边形性质定理3的运用
教学过程
一、知识回顾
画一个平行四边形ABCD，在这个图形中，有哪些线段相等？这体现了平行四边形的哪些性质？
二、引入新课
再画平行四边的的对角线AC和BD，他们交于点0.你还能得到图形中有哪些线段相等？
三、学习目标
1掌握平行四边形对角线相互平分的性质；
2能运用平行四边形的性质解决有关问题。
四、自主预习并完成自学检测
1、平行四边形的性质定理3：____________________________________ 。
_
2、已知，如图（课本P77图18.1.10）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD 交于点O.求证OA= ___________ ,OB= __________ .
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB平行于_________ ,AB= _______ 平行四边形的性质）.
所以角仁角2，角3=角4 （两直线平行，内错角相等）
在三角形AOB和三角形COD中，
所以 ____________________
所以OA= ______ ,OB= ______ .（全等三角形的对应边相等.）
五、实战运用
如图（课本P78图18.1.12）平行四边形的对角线AC, BD相交于点O, EF过点
O且与AB , CD分别相交于点E, F求证：OE=OF.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB平行于CD，OA=OC （平行四边形的性质）
所以角EAO=角FCO
在三角形AOE和三角形COF中
角AOE=角COF，OA=OC，角EAO=角FCO
所以三角形AOE全等于三角形COF（ASA）
所以OE=OF （全等三角形的对应边相等）
六、归纳小结
1，平行四边形的性质：平行四边形的对边________________ ；平行四边形的对角___________ J
2, ______________________________________________________ 平行四边形的性质：平行四边形的对角线___________________________________ .
3, 学习反思：
本节课你学到了什么？你掌握了吗？
七、布置作业
教材P78练习2, 3题
八、教学反思
本课时是平行四边形的性质的第2课时，由于与前面的知识联系紧密，所以采取复习-----引入的形式开始新课，同时，由于是新授课，没有刻意增加难度，整体是希望同学们经历性质3的探索过程，并加以掌握，然后学以致用。
由于课堂容量少，知识点重点突出，学生掌握较好。