高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n

k k

1

2

142

的值; (2)求证:

351

1

2

<

∑=n

k k

.

解析:(1)因为121121)12)(12(21

42

2

+--=+-=

-n n n n n

,所以122121114212

+=+-=-∑=n n n k n k

(2)因为⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+--=-=

-

<121121

2144

4

111

2

2

2

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k

n

k

奇巧积累:(1)⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=-<=121121

2144441222n n n n n (2)

)

1(1

)1(1)1()1(212

11

+--=-+=+n n n n n n n C C n n

(3))2(1

11)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅

=+r r r r r r n r n r n n C T r r

r

n r

(4)25

)1(123112111)11(<

-++⨯+⨯++<+n n n

n

(5)n

n n

n

2

1

121)12(21--=- (6)

n n n -+<+221

(7))

1(21)1(2--<<

-+n n n

n n (8)

n n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221

⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-

(9)

⎪

⎭⎫

⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1

(10) !

)1(1

!1!)1(+-

=+n n n n (11)

2

1

2121

21222)1212(21

-++

=

-++=

--+

(11) )2(121

121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211

12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n

(12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(1112

3

--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-

-=+-<

⋅=

n n n n n n n n n n n n

1

1

112111111

+--<-++⋅

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221n

n n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+

(14)

!

)2(1

!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15)

)

2(1)

1(1

≥--<+n n n n n

(15) 1

1

1)

11)((1122222

222<++

++=

++

+--=

-+-+j i j i j i j i j i j i j i

例2.(1)求证:

)2()12(2167)12(1513112

22≥-->-++++

n n n

(2)求证:n n 41

214136

1161412-

<++++

(3)求证:1122642)

12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n

(4) 求证：

)

112(213

12

11)11(2-+<+

++

+

<-+n n

n

解析:(1)因为⎪

⎭

⎫

⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以

)

1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i

(2))

1

11(41)1211(414136

116141222n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出

1

212642)

12(531+<

⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n

n ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最

后就可以得到答案

(4)首先

n

n n n n

++=

-+>12)1(21

,所以容易经过裂项得到

n

n 13

12

11)11(2+

++

+

<-+

再证2

12121

2122

2)1212(21

-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以)

112(213

12

11-+<+

++

+

n n

例

3.求证:35

191411)

12)(1(62<

++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+--=-=

-

<121121

2144

4

1112

2

2

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k

n

k

另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++

n n

n n n n

当3≥n 时,

)

12)(1(61++>

+n n n

n n ,当1=n 时,2

1

91411)

12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,2

1

91411)

12)(1(6n n n n ++++<++ ,

所以综上有35

191411)

12)(1(62<

++++≤++n n n n

例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n

a 满足1

01a <<.1

()

n n a

f a +=.