线性代数第2讲
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1.2.2 n 阶行列式的定义
思考: 如何把二 、三阶行列式的定义
a11 a1 =a11a22 −a12a21 = ∑(−1 t a1p a2p . ) a2 2 1 a a a2 a 11 12 13 2 a21 a22 a23 =∑ −1 t a p1a2p2 a3p3 , ( ) 1 a31 a32 a33
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符号规定 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 交换i, j两行记作ri↔rj, 交换i, j两列记作ci↔cj. 第i行(或列)提出公因子k, 记作ri÷k(或ci÷k). 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上, 记作ri+krj (ci+kcj) .
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3 1 −1 2 例1 计算 D= −5 1 3 −4 . 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 1 3 −1 2 3 1 −1 2 1 −5 3 −4 −5 1 3 −4 c1↔c2 解 D= = = = =− === 0 2 1 −1 2 0 1 −1 −5 1 3 −3 1 −5 3 −3 1 3 − 2 1 3 − 2 −1 −1 r2−r1 0 −8 4 −6 r2↔r3 0 2 1 −1 ==== === = = = =− === 0 −8 4 −6 0 2 1 −1 r4+5r1 0 16 −2 7 0 16 −2 7 1 3 −1 2 5r 1 3 −1 2 r3+4r2 0 2 1 −1 r + 3 0 2 1 −1 4 4 =40. ==== === ==== === 0 0 8 −10 r4−8r2 0 0 8 −10 0 0 −10 15 0 0 0 5/2
a 11 ⋅⋅⋅ ai1 ⋅⋅⋅ an1
a 12 ⋅⋅⋅ ai2 ⋅⋅⋅ an2
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⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
a a an 11 12 1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ain = ai1+kaj1 ai2 +kaj2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann an1 an2
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⋅⋅⋅ an 1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ain +kajn . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann
其中t为排列n⋅(n−1)⋅ ⋅ ⋅21的逆序数, 故 1 t=0+1+2+ ⋅ ⋅ ⋅ +(n−1) = n(n− ) . 2 n(n− ) 1 因此 D=(−1 2 λλ ⋅ ⋅ ⋅ λ . )
1 2 n
⋅⋅ ⋅
a2,n−1
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回忆： 回忆： 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数. 标准排列的对换次数为偶数.
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=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31. −4 1 . −2
1 例2 计算三阶行列式 D= −2 −3 解 按对角线法则, 有
2 2 4
D =1×2×(−2)+2×1×(−3)+(−4)×(−2)×4 −1×1×4 −2×(−2)×(−2) −(−4)×2×(−3) =−4−6+32−4−8−24 =−14.
则bij=aji(i, j=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n) .
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行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行 列式, 记为DT. 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … , 则 D … … … … . an1 an2 … ann a1n a2n … ann 性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等. >>> 由此性质可知, 行列式中的行与列具有同等的地位, 行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立, 反之亦然.
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列.
寻找规律！
(2)带正号的的三项列标排列是:123,231,312; 带负号的的三项列标排列是:132,213,321; 前三个排列都是偶排列,后三个都是奇排列. 观察与思考: 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和, 则行 列式等于两个行列式之和. 即
a a 11 12 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ai1+b1 ai2 +b2 i i ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an1 an2
⋅⋅⋅ an a 1 11 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ain +b = ai1 in ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann an1
§1.2 行列式的定义
1.2.1 三阶行列式的定义 1.2.2 n 阶行列式的定义
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1.2.1三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 3 1 2 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x = D , x2 = D , x3 = D , 1 D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列. (2)各项所带的正负号可以表示为(−1)t, 其中t为列标排列 的逆序数. 三阶行列式可以写成
a a a 11 12 13 a21 a22 a23 =∑ −1 t a p1a2p2a3p3 , ( ) 1 a31 a32 a33 其中t为排列p1p2p3的逆序数, ∑表示对1、2、3三个数的所有 排列p1p2p3取和.
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1.2.1三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, 并称它为三阶行列式.
对角线法则 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列. (2)各项所带的正负号可以表示为(−1)t, 其中t为列标排列 的逆序数.
观察与思考: 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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a 11 a21 例1 证明行列式 D= a 31 ⋅⋅⋅ an1
0 0 ⋅⋅⋅ a22 0 ⋅ ⋅ ⋅ a32 a33 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an2 an3 ⋅ ⋅ ⋅
0 0 0 =a a22 ⋅ ⋅ ⋅ ann . 11 ⋅⋅⋅ ann
解 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零, 第一行只能取a11, 第二行只能取a22, 第三行只能取a33, ⋅ ⋅ ⋅ , 第n行只能取ann. 这样的乘积项只有一个, 即a11a22a33 ⋅ ⋅ ⋅ ann. 因为它的列标排列为标准排列, 其逆序数为0, 所以在它前面 带有正号. 因此 D=a11a22a33 ⋅ ⋅ ⋅ ann. 上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上 n个元素的乘积. >>>
称为n阶行列式, 记为
a 11 D= a21 ⋅⋅⋅ an1
a 12 a22 ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an 1 a2n , ⋅⋅⋅ ann
求和式子中 一共有多少 项？ n！
简记为det(aij), 其中p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn为自然数1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n的一个排列, t为这个排列的逆序数, ∑表示对所有排列p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn取和. 在n阶行列式D中, 数aij为行列式D的(i, j)元. 特别规定一阶行列式|a|的值就是a.
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例2 证明n阶行列式 D=
λn
⋅
⋅⋅
λ2
λ 1
=(−1 )
n(n− ) 1 2
λλ2 ⋅ ⋅ ⋅ λn . 1
证： 若记λi=ai, n−i+1, 则依行列式定义
an 1 D= an1 =(−1)ta1na2, n−1 ⋅ ⋅ ⋅ an1 =(−1)tλ1λ2 ⋅ ⋅ ⋅ λn,
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性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. >>> •推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 这是因为, 把这两行互换, 有D=−D, 故D=0.
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性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. •推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于 用数k乘此行列式. >>> •推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列 式符号的外面. 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则行列式等于零.
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32−b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3, D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3−a11a23b3−b1a21a33−a13b2a31, D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32−a11b2a32−a12a21b3−b1a22a31. a11 a12 a13 为了便于记忆和计算, 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
a 12 ⋅⋅⋅ ai2 ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an a 1 11 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ain + b1 i ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann an1
a 12 ⋅⋅⋅ b2 i ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an 1 ⋅⋅⋅ b . in ⋅⋅⋅ ann
性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加 到另一行(列)对应的元素上去, 行列式不变. 即
1 2
推广到n阶
a 11 a21 D= ⋅⋅⋅ an1
上页
a 12 a22 ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an 1 a2n , ⋅⋅⋅ ann
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补充例题
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n阶行列式的定义 由n2个数aij (i, j=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n)构成的代数和
(−1 t a p1a2p2 ⋅ ⋅ ⋅ anpn ∑ )1
定理2 n阶行列式也可定义为
(−1 t ap11ap22 ⋅⋅ ⋅ apnn , ∑ )
其中t为行标排列p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn的逆序数. >>>
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§1.3 行列式的性质
性质1 性质2 、性质3、性质4 性质5、性质6
补充例题
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行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行 列式, 记为DT. 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … , 则 D … … … … . an1 an2 … ann a1n a2n … ann 显然, 如果 b11 b T= 21 D … bn1 b12 b22 … bn2 … … … … b1n b2n … , bnn
1.2.2 n 阶行列式的定义
思考: 如何把二 、三阶行列式的定义
a11 a1 =a11a22 −a12a21 = ∑(−1 t a1p a2p . ) a2 2 1 a a a2 a 11 12 13 2 a21 a22 a23 =∑ −1 t a p1a2p2 a3p3 , ( ) 1 a31 a32 a33
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符号规定 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 交换i, j两行记作ri↔rj, 交换i, j两列记作ci↔cj. 第i行(或列)提出公因子k, 记作ri÷k(或ci÷k). 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上, 记作ri+krj (ci+kcj) .
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3 1 −1 2 例1 计算 D= −5 1 3 −4 . 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 1 3 −1 2 3 1 −1 2 1 −5 3 −4 −5 1 3 −4 c1↔c2 解 D= = = = =− === 0 2 1 −1 2 0 1 −1 −5 1 3 −3 1 −5 3 −3 1 3 − 2 1 3 − 2 −1 −1 r2−r1 0 −8 4 −6 r2↔r3 0 2 1 −1 ==== === = = = =− === 0 −8 4 −6 0 2 1 −1 r4+5r1 0 16 −2 7 0 16 −2 7 1 3 −1 2 5r 1 3 −1 2 r3+4r2 0 2 1 −1 r + 3 0 2 1 −1 4 4 =40. ==== === ==== === 0 0 8 −10 r4−8r2 0 0 8 −10 0 0 −10 15 0 0 0 5/2
a 11 ⋅⋅⋅ ai1 ⋅⋅⋅ an1
a 12 ⋅⋅⋅ ai2 ⋅⋅⋅ an2
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⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
a a an 11 12 1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ain = ai1+kaj1 ai2 +kaj2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann an1 an2
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⋅⋅⋅ an 1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ain +kajn . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann
其中t为排列n⋅(n−1)⋅ ⋅ ⋅21的逆序数, 故 1 t=0+1+2+ ⋅ ⋅ ⋅ +(n−1) = n(n− ) . 2 n(n− ) 1 因此 D=(−1 2 λλ ⋅ ⋅ ⋅ λ . )
1 2 n
⋅⋅ ⋅
a2,n−1
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回忆： 回忆： 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数. 标准排列的对换次数为偶数.
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=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31. −4 1 . −2
1 例2 计算三阶行列式 D= −2 −3 解 按对角线法则, 有
2 2 4
D =1×2×(−2)+2×1×(−3)+(−4)×(−2)×4 −1×1×4 −2×(−2)×(−2) −(−4)×2×(−3) =−4−6+32−4−8−24 =−14.
则bij=aji(i, j=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n) .
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行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行 列式, 记为DT. 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … , 则 D … … … … . an1 an2 … ann a1n a2n … ann 性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等. >>> 由此性质可知, 行列式中的行与列具有同等的地位, 行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立, 反之亦然.
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列.
寻找规律！
(2)带正号的的三项列标排列是:123,231,312; 带负号的的三项列标排列是:132,213,321; 前三个排列都是偶排列,后三个都是奇排列. 观察与思考: 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和, 则行 列式等于两个行列式之和. 即
a a 11 12 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ai1+b1 ai2 +b2 i i ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an1 an2
⋅⋅⋅ an a 1 11 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ain +b = ai1 in ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann an1
§1.2 行列式的定义
1.2.1 三阶行列式的定义 1.2.2 n 阶行列式的定义
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1.2.1三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 3 1 2 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x = D , x2 = D , x3 = D , 1 D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列. (2)各项所带的正负号可以表示为(−1)t, 其中t为列标排列 的逆序数. 三阶行列式可以写成
a a a 11 12 13 a21 a22 a23 =∑ −1 t a p1a2p2a3p3 , ( ) 1 a31 a32 a33 其中t为排列p1p2p3的逆序数, ∑表示对1、2、3三个数的所有 排列p1p2p3取和.
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1.2.1三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, 并称它为三阶行列式.
对角线法则 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列. (2)各项所带的正负号可以表示为(−1)t, 其中t为列标排列 的逆序数.
观察与思考: 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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a 11 a21 例1 证明行列式 D= a 31 ⋅⋅⋅ an1
0 0 ⋅⋅⋅ a22 0 ⋅ ⋅ ⋅ a32 a33 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an2 an3 ⋅ ⋅ ⋅
0 0 0 =a a22 ⋅ ⋅ ⋅ ann . 11 ⋅⋅⋅ ann
解 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零, 第一行只能取a11, 第二行只能取a22, 第三行只能取a33, ⋅ ⋅ ⋅ , 第n行只能取ann. 这样的乘积项只有一个, 即a11a22a33 ⋅ ⋅ ⋅ ann. 因为它的列标排列为标准排列, 其逆序数为0, 所以在它前面 带有正号. 因此 D=a11a22a33 ⋅ ⋅ ⋅ ann. 上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上 n个元素的乘积. >>>
称为n阶行列式, 记为
a 11 D= a21 ⋅⋅⋅ an1
a 12 a22 ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an 1 a2n , ⋅⋅⋅ ann
求和式子中 一共有多少 项？ n！
简记为det(aij), 其中p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn为自然数1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n的一个排列, t为这个排列的逆序数, ∑表示对所有排列p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn取和. 在n阶行列式D中, 数aij为行列式D的(i, j)元. 特别规定一阶行列式|a|的值就是a.
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例2 证明n阶行列式 D=
λn
⋅
⋅⋅
λ2
λ 1
=(−1 )
n(n− ) 1 2
λλ2 ⋅ ⋅ ⋅ λn . 1
证： 若记λi=ai, n−i+1, 则依行列式定义
an 1 D= an1 =(−1)ta1na2, n−1 ⋅ ⋅ ⋅ an1 =(−1)tλ1λ2 ⋅ ⋅ ⋅ λn,
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性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. >>> •推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 这是因为, 把这两行互换, 有D=−D, 故D=0.
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性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. •推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于 用数k乘此行列式. >>> •推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列 式符号的外面. 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则行列式等于零.
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32−b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3, D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3−a11a23b3−b1a21a33−a13b2a31, D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32−a11b2a32−a12a21b3−b1a22a31. a11 a12 a13 为了便于记忆和计算, 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
a 12 ⋅⋅⋅ ai2 ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an a 1 11 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ain + b1 i ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann an1
a 12 ⋅⋅⋅ b2 i ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an 1 ⋅⋅⋅ b . in ⋅⋅⋅ ann
性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加 到另一行(列)对应的元素上去, 行列式不变. 即
1 2
推广到n阶
a 11 a21 D= ⋅⋅⋅ an1
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an 1 a2n , ⋅⋅⋅ ann
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n阶行列式的定义 由n2个数aij (i, j=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n)构成的代数和
(−1 t a p1a2p2 ⋅ ⋅ ⋅ anpn ∑ )1
定理2 n阶行列式也可定义为
(−1 t ap11ap22 ⋅⋅ ⋅ apnn , ∑ )
其中t为行标排列p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn的逆序数. >>>
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§1.3 行列式的性质
性质1 性质2 、性质3、性质4 性质5、性质6
补充例题
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行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行 列式, 记为DT. 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … , 则 D … … … … . an1 an2 … ann a1n a2n … ann 显然, 如果 b11 b T= 21 D … bn1 b12 b22 … bn2 … … … … b1n b2n … , bnn