高等代数专题研究学习辅导(三)
高等代数第三节 基
加法封闭
(km lm )αm V
(2)对αV ,k R
数乘封闭
kα (kk1)α1 (kk2)α2 (kkm )αm V
V 是向量空间。
2. 向量组生成的向量空间
定义 V x k1α1 k2α2 kmαm | k j R, j 1,2, , m
称为由α1, α2, , αm生成的向量空间,记为L(α1, α2, , αm ) 或span(α1, α2, , αm ).
证毕
2. 基的性质
4. V 可由基α1, α2, , αr所生成，即
V L(α1, α2, , αr ).
证明
α1, α2, , αr是V的基，
αV , 数l1,l2, ,lr ,使
α l1α1 l2α2 lrαr ,
α L(α1, α2, , αr ) V L(α1, α2,
, αr ).
α1, α2决定的平面.
z
z
L
α
y
y
x x
(3)设αR3且α 0, Lα为过原点O,方向为α的直线.
(4) R3 Lε1, ε2, ε3 .
3. 子空间
定义 对两(1)个Vn1维V向2,量集合V1与V2 , 若
(2) V1,V2都是向量空间，
例则称 4 (V11)是设Vm2的n子, α空i 间R（n. i 1,2, , m）,则
秩r1 秩r2, 即dimV1 dimV2.
证毕
2. 基的性质
7. F n中任意n个线性无关的向量1，2 n组成一组基；
8. Fn中的向量组S是基 S=｛1，2 n｝由n个 线性无关的向量组成.
9. n维向量空间V中的任意线性无关子集S可以扩充 为V的基.
高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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高等代数答案3
阶可逆矩阵 Q,使得 ⎜ ⎜
⎛ Ir ⎝0
0⎞ ⎟ = PAQ .因此, 0⎟ ⎠
⎛ I r 0 ⎞ −1 −1 −1 A = P −1 ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟Q = P ( E11 + E22 + L + Err )Q ⎝ ⎠ −1 −1 = P E11Q + P −1E22Q −1 + L + P −1Err Q −1
=(
∑ aibi ) A = (∑ aii ) A .
i =1 i =1
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
9. 设 A 是 F 上的 m×n 矩阵，其秩小于 m. 证明，存在 m 阶非 零矩阵 G,使得 GA＝0. 证明 得 PAQ= ⎜ ⎜ 设秩 A＝r,则存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q, 使
⎛ a1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ ⎜a ⎟ ⇐) 设 A = ⎜ ⎟(b1 b2 L bn ) , 所以秩 A≤min( 秩 ⎜ 2 ⎟ , 秩 L L ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
下方全是 0 的矩阵). 证明 (1)因为矩阵 A 有 n 个特征根(重根按重数算),设λ1 为 A 的一个特征根, α1 是 A 的属于特征根λ1 的特征向量,则 Aα1＝λ1α1. 其中α1 ≠ 0 .由习题二的第 15 题知, 存在以α1 为第一列的可逆矩阵 P ∈ M n (C ) . 设 P = (α1 , α1 , L , α n ) , 因 为
令 S= ⎜ ⎜
⎛1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ,则 0 Q ⎝ ⎠
39
40
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ λ1 S −1 ( P −1 AP) S = ⎜ ⎜ 0 Q −1 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝0
北理工高等代数课件第三次课
特征值与特征向量的求解方法
• 对于每一个特征值λi，求出齐次线性方程组(λiE-A)X=0的一个基础解系，该基础解系即为对应于特征值λi的全 部特征向量（可能有多个）。
特征值与特征向量的求解方法
01
注意事项
02 在求解过程中，需要注意计算的正确性和精度。
03 当方阵A的阶数较高时，计算量较大，需要采用 一些简化的方法或技巧。
线性变换的定义和性质
• 定义：设$V_n, V_m$分别是数域$P$上的 $n$维、$m$维向量空间，若映射 $\sigma: V_n \rightarrow V_m$满足： 对任意$\alpha, \beta \in V_n, k \in P$， 有$\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta), \sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$， 则称$\sigma$为从$V_n$到$V_m$的一个 线性变换。
线性变换的定义和性质
零变换与恒等变换
若对任意$alpha in V_n$，都有$sigma(alpha) = mathbf{0}$，则称$sigma$为零变换；若对任意$alpha in V_n$，都有$sigma(alpha) = alpha$，则称$sigma$ 为恒等变换。
线性变换的核与像
设$sigma: V_n rightarrow V_m$是一个线性变换，称集 合${alpha | alpha in V_n, sigma(alpha) = mathbf{0}}$ 为$sigma$的核，记作$text{Ker}(sigma)$；称集合 ${beta | beta = sigma(alpha), alpha in V_n}$为 $sigma$的像，记作$text{Im}(sigma)$。
考研高等代数知识点串讲
考研高等代数知识点串讲高等代数是考研数学中的重要部分，它涵盖了许多关键的知识点和概念。
本文将以串讲的形式介绍高等代数的主要知识点，帮助考生加深对这一领域的理解。
一、群论群论是高等代数中最基础的知识之一。
一个群是一个由一组元素以及定义在这些元素上的运算构成的代数结构。
在群论中，我们关注的是这个代数结构的性质和性质之间的关系。
群论的主要内容包括群的定义、子群、群同态、群作用等。
在考研中，对群的掌握是十分重要的。
考生需要了解群的基本定义，掌握常见的群结构，如循环群、对称群等，并能够解决与群相关的问题。
二、域与向量空间域是一个满足一定条件的代数结构。
在域中，可以进行加、减、乘、除等运算，并且满足一些性质，如结合律、交换律等。
向量空间是在域的基础上扩展而成的代数结构，它由一组向量以及定义在这些向量上的运算构成。
掌握域论和向量空间的知识对于考生来说也是必不可少的。
需要了解域的定义和性质，例如有理数域、实数域和复数域等；同时，还需要熟悉向量空间的性质和运算规则，了解线性相关性、线性无关性等概念。
三、线性代数线性代数是高等代数的核心内容之一。
它主要研究向量空间及线性变换的性质和性质间的关系。
线性代数的主要内容包括向量、矩阵、线性方程组、线性变换和特征值等。
在考研中，线性代数的知识点通常都会涉及到，并且常常会有大量的计算题目。
考生需要熟练掌握向量的基本运算、矩阵的性质及其运算、线性方程组的求解方法等。
此外，对于线性变换和特征值的理解也是非常重要的。
四、模论模论是高等代数的一个重要分支领域，它研究同余关系及其上的代数运算。
模论的主要内容包括模的基本概念和性质、同余方程、欧拉函数、费马小定理等。
模论在考研中常常会出现在数论和代数题目中。
考生需要掌握模的基本概念和性质，并且了解如何运用模来解决同余方程以及其它相关问题。
五、域扩张域扩张是研究域的扩展问题，它是高等代数中的一个重要内容。
域扩张的主要内容包括代数元素、域扩张的定义和性质、域的判别准则等。
北京大学高等代数3
向量空间是带运算的集合
数域 K 上全体 n 维向量构成的集合, 连同其上定义的加法、数乘运算, 构成 n 维向量空间, 记为 Kn .
从向量空间到线性空间
在前两章中, 我们已经可以看到向量方法的威力. 在 Gauss 消元法中, 我们对行向量组做初等变换, 用向量表示解集合; 要从几何上理解行列式, 理解克莱姆法则, 也离不开向量…
例: 仅由八条性质就可推出
4) k K , 有 k 0 = 0 . 证: k 0 = 0 + k 0
= ((–k0)+k0)+k0 =(–k0)+( k0 + k0 ) =(–k0)+ k(0+0) =(–k0)+ k0 =0
性质 (3) 性质 (4) 性质 (2) 性质 (7) 性质 (3) 性质 (4)
1. α β β α
2. ( α β ) γ α ( β γ )
3. 0, α , α 0 α (存在零元素)
4. α , β, α β 0
(存在负元素)
5. 1α α
6. ( k l )α k α l α
7. k (α β) k α k β 8. ( k l )α k (l α)
（ 麻省理工开放课程教学影片）
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linalg2
linalg2
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linalg10
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第三章 线性空间
1 向量空间与线性空间 2 线性相关与线性无关 3 向量组的极大无关组与秩 4 线性空间的基与维数 5 矩阵的秩 6 线性方程组解的结构
高等代数专题研究
高 等 代 数 专 题 研 究期末复习指导 要点分析及典型例题（一） 代数运算与数学归纳法 要点分析：1. 代数运算本质上就是一种映射. 对于非空集合A 来说，若:f A A A ⨯→是A 上的二元代数运算，则对于A 中任意两个元素a 和b ，有唯一确定的A 中的元素(,)f a b 与之对应. (,)f a b 即为a 和b 在f 所定义的运算下得到的结果. 当a 和b 取定时，(,)f a b 必须是确定的，唯一的，且属于A .2. 笛卡尔积A B ⨯与B A ⨯一般不相等，只有当A B =时才相等. 它们的元素都是有序数对，不能交换位置.3. 当A ，B 都是有限集时，A B ⨯与B A ⨯所包含的元素个数是相同的，都等于A B ⨯（A表示集合A 的元素个数）.4. 数学归纳法由两个环节组成，递推起点和归纳假设. 在证明问题时，二者缺一不可.典型例题：例1 用数学归纳法证明：对任意n Z +∈, 都有()11111122311n n n ++⋅⋅⋅+=-⨯⨯++ （1.1） 证明：当1n =时，（1.1）式右边111112=-=+，左边11122==⨯，故1n =时，（1.1）式成立. 现设（1.1）式对n 成立，考虑1n +的情形. 利用()11111k k k k =-++，知()()111122312n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯++ =11111122312n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=112n -+ （1.2） 所以，（1.1）式对1n +成立.综上，由数学归纳法原理知（1.1）式对一切正整数n 都成立.说明：（1.2）式是正确的，但是它是（1.1）式对1n +成立的一个直接证明，并没有用到归纳假设，因而这不是用数学归纳法的证明.正确的过程如下：由归纳假设知()()()11111223112n n n n ++⋅⋅⋅++⨯⨯+++=()()111112n n n ⎛⎫-+ ⎪+++⎝⎭ =1111112n n n ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=112n -+ 例2 证明21122n n n ++++⋅⋅⋅+=.证明：假设n k =时，命题正确，即21122k k k ++++⋅⋅⋅+=.当1n k =+时，()()2112112k k k k k ++++⋅⋅⋅+++=++()211222k k k =++++ ()()211112k k ⎡⎤=++++⎣⎦即命题对1k +正确. 因此，对任意自然数n 都是正确的.事实上，()211222n n n nn ++++⋅⋅⋅+==. 显然命题是错误的，正是因为证明过程中忽略了数学归纳法的第一步，才导致了错误的结论.例3证明：当3n ≥时，n 边形的内角和等于()2n π-.分析：根据最小数原理，本题可利用数学归纳法来证明，只是递推起点要从3n =开始. 证明：当3n =时，命题成立. 因为三角形内角和等于()32ππ=-.假设n k =()3k ≥时命题成立，看任意一个1k +边形121k k A A A A +（如图1.1）. 联结13A A ，那么121k k A A A A +的内角和等于三角形123A A A 的内角和与k 边形131k k A A A A +的内角和之和.前者和为π，后者归纳假设为()2k π-.因此1k +边形11k k A A A +的内角和为()2(1)[(1)2]k k k ππππ+-=-=+-. 所以对任意的正整数n()3n ≥，结论成立.例4 已知数列101,,,,a a a -其中10123,2,322n n n a a a a a ---===-，求证：21n n a =+.分析：此题不能用第一数学归纳法证明，要用第二数学归纳法. 证明：当1n =时，1013263321a a a -=-=-==+，命题成立.假设命题对n k <正确，则()()121232321221k k k k k a a a ----=-=+-+2232311--+⨯=--k k21k =+.命题对n k =成立，所以对一切自然数Z n +∈，结论成立.（二） 一元多项式理论 要点分析：1. 数域P 上的一元多项式环[]P x 中有加法、减法和乘法运算，但是没有除法运算，取而代之的是带余除法. 给定(),()[]f x g x P x ∈，则()f x 被()g x 除所得的商式和余式是唯一确定的，且都属于[]P x . 若余式为零，则称()g x 整除()f x ，记为()|()g x f x . 因此，多项式的整除关系与其系数所在域的扩张无关. 即设P P ⊂都是数域，则()f x 和()g x 也属于[]P x . 由带余除法商式和余式的唯一3A AA性可得，在[]P x 中()|()g x f x 当且仅当在[]P x 中()|()g x f x .2. 给定(),()[]f x g x P x ∈，由于它们的首一最大公因式可通过辗转相除法得到，因此它的系数不会超出数域P 的范围，即()(),()[]f x g x P x ∈. ()(),()f x g x 是唯一确定的，与数域P 的扩张没有关系. 例如224,56[]Q xx x x --+∈，则由辗转相除法得()224,56x x x --+2[]Q x x =-∈. 它们也可看作实数域或者复数域上的一元多项式，但是首一最大公因式保持不变，仍为2x -. 只是考虑全体最大公因式时，相差的非零常数的范围有所不同.3. 定理2.4.2是最大公因式的存在表示定理，它的重要性在于它明确地给出了计算任意两个多项式的最大公因式的一般方法，而且把最大公因式表示为这两个多项式的组合. 与定理 2.4.2相似的是定理2.4.3，它描述的是两个多项式互素即最大公因式为非零常数的情形. 但要注意的是定理2.4.3给出的是充要条件，而定理2.4.2只是充分条件. 简要地叙述如下：定理2.4.2()d x 是()f x 和()g x 的一个最大公因式⇒()()()()()d x u x f x v x g x =+定理2.4.3()(),()1f x g x =⇔()()()()1u x f x v x g x +=即由()()()()()d x u x f x v x g x =+不能推出()d x 是()f x 和()g x 的一个最大公因式，因为()d x 可能不是()f x 和()g x 的公因式. 但是如果()d x 是()f x 和()g x 的公因式，则由()()()()()d x u x f x v x g x =+可以推出()d x 是()f x 和()g x 的一个最大公因式.4. 一个多项式是否可约，依赖于系数所在域. 例如，22x -在[]Q x 中是不可约多项式，但在[]R x中则是可约的，因为(22xx x -=-. 因此，谈及可约或不可约的概念时，一定要明确是针对哪个系数域而言的.5. 因式分解及唯一性定理证明了一元多项式因式分解的存在唯一性，但并没有给出统一有效的因式分解的方法，需要具体情况具体分析.对于复系数多项式来说，我们有定理2.8.3 每个次数大于0的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的乘积. 由推论2.7.2根与一次因式的关系可知，我们要求出复系数多项式的所有根.对于实系数多项式来说，可先把它看作复系数多项式，求出它的所有根. 由于实系数多项式的共轭虚根成对出现，将它们对应的一次因式两两结合，即可得定理2.8.7 每个次数大于0的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为一次因式与二次不可约因式的乘积.对于有理系数多项式来说，我们先将其分解为一个有理数和一个本原多项式的乘积，进而转化为考察整系数多项式的因式分解. 定理2.9.4给出了求整系数多项式的全部有理根的方法，从而可得整系数多项式的全部一次有理因式.艾森斯坦因判别法给出了判定一个整系数多项式在有理数域上是否不可约的一个充分条件，但不是必要条件，也就是说，找不到定理2.9.5中的素数p ，多项式可能是可约的，也可能是不可约的. 例如多项式21x+与332x x -+都不存在定理2.9.5中的素数p ，但前者在有理数域上不可约，后者却是可约.在实际问题中，常常不能直接运用艾森斯坦因判别法，而是要经过简单的变换. 需要注意的是，所用变换必须是可逆的，这样，变换后的多项式的可约性与原多项式的可约性才能保持一致.对于次数较高的有重因子的多项式()f x ，可以用()()(),()f x f x f x '代替()f x ，因为()()(),()f x f x f x '与()f x 有相同的不可约因式，又不含重因式，次数低于()f x ，使得因式分解变得简单，甚至变不可能为可能.6. 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式()1k ≥，则()p x 是导数()f x '的1k -重因式，特别地，多项式()f x 的单因式不是它的导数()f x '的因式. 因此，()f x 的重因式与()(),()f x f x '的不可约因式完全一致. 要考察()f x 的重因式，只需计算()(),()f x f x '即可.典型例题：例5 设b a ,为两个不相等的常数，证明多项式()f x 被()()x a x b --除所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--. 证明：根据带余除法，可设商式为()q x ，余式为()r x Ax B =+. 因此()()()()f x x a x b q x Ax B =--++分别令xa =，xb =可得()()f a Aa Bf b Ab B=+⎧⎨=+⎩ 解得()()f a f b A a b -=-，()()af b bf a B a b-=-. 因此命题得证.注：带余除法中要求余式的次数小于除式的次数，因此本题可设所求余式为不超过一次的多项式. 正是带余除法的这一重要性质，保证了商式和余式的唯一确定性.例6 ,,m p q 适合什么条件时，有231|x mx x px q +-++.解法1 待定系数法 如果231|xmx x px q +-++，则可设()()321x px q x mx x a ++=+-+将上式右端展开，再比较同次项的系数，得01a m ma p a q +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得2,1qm p m ==--，即当2,1q m p m ==--时，231|x mx x px q +-++.解法2 带余除法应用带余除法，求得商式及余式，令余式为零，从而得到所求条件.233222221(1)(1) x mx x px q x m x mx x mx p x q mx m x m p m x q +-++-+--+++--++++m-余式为2(1)p mx q m +++-=0. 于是得210p m q m ⎧++=⎨-=⎩ 因此知，当2,1qm p m ==--时，231|x mx x px q +-++.例7 设432()343f x x x x x =+---，32()31023g x x x x =++-，求()(),()f x g x ，并求()u x ，()v x 使得()(),()()()()()f x g x u x f x v x g x =+.解：用辗转相除法21152510()()39993f x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22752510()99275993g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+---++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2525105109279938181x x x x ⎛⎫---=--+ ⎪⎝⎭， 因此，()(),()3f x g x x =+.而 22752510927()95993x g x x x x ⎛⎫⎛⎫+=--+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2711()9()()539g x x f x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2727119()19()5539x f x x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2279189()()555x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()2312(),()1()()555f x g x x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例8 如果()(),()1f x g x =，且()()()f x g x h x ，则()()f x h x .证明： 由(),()f x g x 互素,可知存在(),()u x v x 使得()()()()1u x f x v x g x +=.等式两边乘以()h x ，得()()()()()()()u x f x h x v x g x h x h x +=.因为()()()f x g x h x ，所以()f x 整除等式左端，从而()()f x h x .注：本例给出了运用定理2.4.3来证明问题的常见方法，非常简洁明了。
高等代数第三章答案
第三章 线性方程组习题解答1.用消元法解下列方程组：⑴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++12343212231453543215432154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x ⑷⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑸⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+++43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑹⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-++=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⑴对它的增广矩阵作初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00101000000000020*********1001001110000000000200212300101201001110007770005750212300104531213410215470213450212300104531111121311141311121112231104531即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+=-0022214235441x x x x x x x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====+=k x x k x x k x 220153421 k 为任意常数 ⑵无解⑶0,6,3,84321===-=x x x x⑷任意43432431,,17201719,1713173x x x x x x x x -=-=⑸无解 ⑹651,671,651434241x x x x x x +=-=+=2.把向量β表成4321αααα，，，的线性组合：⑴()()()()()1,1-1-11-1,1-11-1-,1,11,1,1,111,2,14321，，，，，，，，，，=====ααααβ ⑵()()()()()1-1-1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,11,0,0,04321，，，，，，=====ααααβ 解：⑴令44332211ααααβk k k k +++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++,1,1,2,14321432143214321k k k k k k k k k k k k k k k k 解得,41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααβ--+=⑵仿上，可得31-ααβ=3.证明：如果向量组r ααα，，， 21线性无关，而βααα,21r ，，， 线性相关，则向量β可由r ααα，，， 21线性表出。
高等代数课件 (3)
um ( a1 , a2 , … , an-1 ) 0.
于是
u0 ( a1 , … , an-1 ) + u1 ( a1 , …, an-1 ) xn
+ … + um ( a1 , … , an-1 ) xnm 是 xn 的非零多项式, 故存在 an K , 使得
ux+vy=1. 证: 比较两边常数项…
多元多项式函数
映射法则能用 n 元多项式表达的函数 叫做 n 元多项式函数. 例: f ( x , y ) = x + x 3 – x y 2 R[ x , y ] , 则映射 f : R2 R
(a,b) a+a3–ab2 是 R2 上的一个 2 元多项式函数
多项式函数相加, 相乘
Kn
K
( a1 , … , an ) f ( a1 , …, an ) + g ( a1 , …, an) ( a1 , … , an ) f ( a1 , …, an ) g ( a1 , …, an ) 结果仍是多项式函数. Kn 上的多项式函数
则 ( i1 , i2 , … , in ) > ( k1 , k2 , … , kn )
补充题: 1. 求椭圆曲线 y 2 = x 3 + 5 的四个有理点. 注: 若有理数 x , y 满足曲线方程, 则称
点 ( x , y ) 是曲线的有理点. 2. 证明: 在曲线 x 3 + 3 x y + y 3 = 1 上
n 元多项式的加法
若
f
a
i
1
i
北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第3章 线性方程组 【圣才出品】
第3章线性方程组[视频讲解]3.1本章要点详解本章要点■n维向量空间■线性相关性■极大无关组■矩阵的秩的计算■线性方程组有解判别定理■线性方程组解的结构重难点导学一、消元法1．初等变换（1）用一非零的数乘某一方程；（2）把一个方程的倍数加到另一个方程；（3）互换两个方程的位置，称为线性方程组的初等变换．2．消元法解方程组的过程（1）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现）去掉；（2）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，则方程组无解，否则有解；（3）在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，则方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数，小于未知量的个数，则方程组就有无穷多个解．3．定理在齐次线性方程组111122************ (00).0s s n n n n sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+=+=++⎧⎪++⎪⎨⎪⎪++⎩ 中，如果s ＜n ，则它必有非零解．二、n 维向量空间1．n 维向量的概念（1）定义由数域P 中n 个数组成的有序数组（a 1，a 2，…，a n ）（3-1）称式（3-1）为数域P 上一个n 维向量，a i 称为向量（3-1）的分量．用小写希腊字母α，β，γ，…来代表向量．（2）向量相等如果n 维向量α＝（a 1，a 2，…，a n ），β＝（b 1，b 2，…，b n ）的对应分量都相等，即a i＝b i（i＝1，2，…，n），则称这两个向量是相等的．记作α＝β．（3）特殊向量分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0；向量（－a1，－a2，…，－a n）称为向量α＝（a1，a2，…，a n）的负向量，记为－α．2．n维向量的运算（1）定义向量γ＝（a1＋b1，a2＋b2，…，a n＋b n），称为向量α＝（a1，a2，…，a n），β＝（b1，b2，…，b n）的和，记为γ＝α＋β设k为数域P中的数，向量（ka1，ka2，…，ka n）称为向量α＝（a1，a2，…，a n）与数k的数量乘积，记为kα．（2）向量运算的基本性质①（交换律）α＋β＝β＋α；②（结合律）α＋（β＋γ）＝（α＋β）＋γ；③α＋0＝α；④α＋（－α）＝0；⑤α－β＝α＋（－β）；⑥k（α＋β）＝kα＋kβ；⑦（k＋l）α＝kα＋lα；⑧k（lα）＝（kl）α；⑨1α＝α．3．n维向量空间以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间．记作P n．三、线性相关性1．线性组合向量α称为向量组β1，β2，…，βs的一个线性组合，如果有数域P中的数k1，k2，…，k s使α＝k1β1＋k2β2＋…＋k sβs，也称α可以经向量组β1，β2，…，βs线性表出．注：零向量是任一向量组的线性组合．2．向量组等价（1）定义如果向量组α1，α2，…，αt中每一个向量αi（i＝1，2，…，t）都可以经向量组β1，β2，…，βs线性表出，则向量组α1，α2，…，αt称为可以经向量组β1，β2，…，βs线性表出．如果两个向量组互相可以线性表出，称为等价．（2）性质①反身性：每一个向量组都与它自身等价．②对称性：如果向量组α1，α2，…，αs与β1，β2，…，βt等价，则向量组β1，β2，…，βt也与α1，α2，…，αs等价．③传递性：如果向量组α1，α2，…，αs与β1，β2，…，βt等价，β1，β2，…，βt与γ1，γ2，…，γp等价，则向量组α1，α2，…，αt与γ1，γ2，…，γp等价．3．线性相关性（1）线性相关如果向量组α1，α2，…，αs（s≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，则称向量组α1，α2，…，αs线性相关．定义的另一种表述为：向量组α1，α2，…，αs（s≥1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k1，k2，…，k s，使k1α1＋k2α2＋…＋k sαs＝0（2）线性无关一向量组α1，α2，…，αs（s≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k1，k2，…，k s使k1α1＋k2α2＋…＋k sαs＝0则称为线性无关；或者称向量组α1，α2，…，αs线性无关．（3）线性相关性的有关性质①单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．②一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关．③如果一向量组线性无关．则它的任何一个非空的部分组也线性无关．④如果一向量组的一部分线性相关，则这个向量组就线性相关．⑤设α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βs是两个向量组，如果。
高等代数课件-§3 向量的内积
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明 知，
a OM OP PN NM
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才 成立！
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a
高等代数3-3矩阵的逆
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
四、逆矩阵的性质
性质1 可逆矩阵A的逆矩阵A1也是可逆的，且 ( A 1 )1 A
性质2 A 1 1 A
性质3 可逆矩阵A的转置矩阵AT 也是可逆的, 且 ( AT )1 ( A 1 )T
1 1 1 性质4 两个同阶的可逆矩阵A , B的乘积也可逆, 且 ( AB ) B A
a1 1 0 0 0
1 a2
A可逆 ,且A 1
a11 0 0
0
1 a2
0
... 0 ... 0 1 ... an
0 a11 ... 0 0 ... an 0 ...
证 假设A是非退化矩阵 ,
则A必为可逆矩阵 于是A1 存在, .
在等式两边左乘 1 , 得到 A
A A1 A2 A1 A E
这与A E矛盾, 故A必为退化矩阵.
例 设A,B,C均为同阶的方阵,且A可逆,证明
AB=O B=O
BA O
BO
AB=AC BA=CA
B=C B=C
中元素aij
的代数余子式，则称矩阵
A11 * A12 A A 1n A21 A22 A2 n ... ... ... An1 An 2 Ann
高等代数北大版教案-第3章线性方程组
第三章线性方程组§1消元法一授课内容:§1消元法二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组。
三教学重难点:用消元法解线性方程组.四教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数， (，)称为方程组的系数,（）称为常数项.所谓方程组(1）的的一个解就是指由个数组成的有序数组（），当分别用代入后,（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解,或则说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵来表示.在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元,三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
分析一下消元法，不难看出,它实际上是反复的对方程组进行变换,而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1．用一非零的数乘某一方程.2．把一个方程的倍数加到另一方程.3．互换两个方程的位置。
定义1 变换1，2,3称为线性方程组的初等变换。
消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。
对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.（5）显然(5）与（1）是同解的。
考察（5）的解的情况.如（5）中的方程,而这时不管取什么值都不能使它成为等式,故(5）无解，因而（1)也无解.当，或（5）中根本没有“”的方程时，分两种情况:1），这时阶梯形方程组为有唯一解。
例解方程组。
解上述方程有唯一的解 .2），这时阶梯形方程组为其中 , ，把它改写成（7)由（7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而称为一组自由未知量.例解方程组.解一般解为。
高等代数III知识点整理
高等代数III知识点整理●相似标准型●多项式矩阵●定义●\boldsymbol{A}(\lambda)=\begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&a_{12}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\a_{21}(\lambda)&a_{22}(\lambda)&\cdots&a_{2n}(\lambda)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}(\lambda)&a_{m2}(\lambda)&\cdots&a_{mn}(\lambda)\end{pmatrix}●初等\lambda-矩阵●一类P_{ij}ij行互换●二类P_{i}(c)i行乘以常数c●三类T_{ij}(f(\lambda))i行乘以f(\lambda)加到j行●矩阵多项式形式●M(\lambda)=M_m\lambda^m+M_{m-1}\lambda^{m-1}+\cdots+M_0●定理●带余除法：\begin{gathered}\boldsymbol{M}(\lambda) =\left(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{Q}\left(\lambda\right)+\boldsymbol{R}, \\\boldsymbol{N}(\lambda) =\boldsymbol{S}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})+\boldsymbol{T}. \end{gathered}●\boldsymbol{A}与\boldsymbol{B}相似\Leftrightarrow \lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}与\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}相抵●矩阵的法式●定理●非零\boldsymbol{A}(\lambda)一定相抵于\boldsymbol{B}(\lambda)=[b_{ij}(\lambda)]_{n\times n}且有b_{11}(\lambda)|b_{ij}(\lambda)●\boldsymbol{A}(\lambda)相抵于\text{diag}\{d_1(\lambda),\cdots,d_r(\lambda);0,\cdots,0\}且有d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r-1●n阶可逆\lambda-矩阵可表示为有限个初等\lambda-矩阵的积●特征矩阵\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}一定相抵于\text{diag}\{1,\cdots,1,d_1(\lambda),\cdots,d_m(\lambda)\}且有d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,m-1●定义●法式/相抵标准型●\text{diag}\{d_1(\lambda),\cdots,d_r(\lambda);0,\cdots,0\}●d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r-1●不变因子●定义●k阶行列式因子所有k阶子式的最大公因子(非零)；若子式都为0，规定行列式因子为0●D_i(\lambda)\mid D_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r-1D_{1}(\lambda),D_{2}(\lambda),\cdots,D_{r}(\lambda)是{A}(\lambda) 的非零行列式因子●g_1(\lambda)=D_1(\lambda),g_2(\lambda)=D_2(\lambda)/D_1(\lambda),\cdots,g_r(\lambda)=D_r(\lambda)/D_{r-1}(\lambda)为{A}(\lambda) 的不变因子●定理●相抵的\lambda-矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子●推论●法式和不变因子相互唯一确定●相抵\Leftrightarrow有相同的法式●初等变换不改变法式●相似\Leftrightarrow特征矩阵有相同行列式因子/不变因子●A与B在\mathbb{F}上相似的充分必要条件是在\mathbb{K}上相似\mathbb{F}\sube \mathbb{K}●有理标准型●Frobenius块●\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\-a_{r} & -a_{r-1} & -a_{r-2} & \cdots & -a_{1}\end{array}\right)●行列式因子为1, \cdots, 1, f(\lambda)r-1 个 1, f(\lambda)=\lambda^{r}+a_{1} \lambda^{r-1}+\cdots+a_{r}●\boldsymbol{F}的极小多项式等于f(\lambda)●定义●\boldsymbol{A} 的不变因子组为1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), \cdots,d_{k}(\lambda)●deg d_i(\lambda)=m_i●\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cccc}\boldsymbol{F}_{1} & & & \\&\boldsymbol{F}_{2} & & \\& & \ddots & \\& & &\boldsymbol{F}_{k}\end{array}\right)●\boldsymbol{F}_{i}的阶为m_i，为Frobenius块，最后一行的系数为d_i({\lambda})除最高项的系数的负值组成●A相似于F●定理●\boldsymbol{A} 的极小多项式m(\lambda)=d_{k}(\lambda)\boldsymbol{A} 的不变因子组为1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), \cdots,d_{k}(\lambda)●初等因子●定义●非常数不变因子分解●\begin{aligned}d_{1}(\lambda)= & p_{1}(\lambda)^{e_{11}}p_{2}(\lambda)^{e_{12}} \cdots p_{t}(\lambda)^{e_{1 t}} \\d_{2}(\lambda)=& p_{1}(\lambda)^{e_{21}} p_{2}(\lambda)^{e_{22}} \cdotsp_{t}(\lambda)^{e_{2 t}} \\& \cdots \cdots \cdots \cdots \\d_{k}(\lambda)= &p_{1}(\lambda)^{e_{k 1}} p_{2}(\lambda)^{e_{k 2}} \cdotsp_{t}(\lambda)^{e_{k t}}\end{aligned}●e_{ij}>0时，p_i(\lambda)^{e_{ij}}为初等因子●定理●不变因子和初等因子组可互相唯一确定●Jordan 标准型●Jordan 块●定义●\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda_{0} & 1 & & & \\&\lambda_{0} & 1 & & \\& & \ddots & \ddots & \\& & & \ddots & 1 \\& & && \lambda_{0}\end{array}\right)●初等因子为(\lambda-\lambda_0)^r●定理●A特征矩阵相似于\lambda-对角阵，则A的初等因子组等于对角阵的准素因子组●Jordan 块对角阵的初等因子组等于各个Jordan块的初等因子●初等因子组可对应一个Jordan 标准型●复数域上的线性变换\varphi必存在一组基使表示矩阵为Jordan标准型●复矩阵可对角化等价条件●极小多项式无重根●初等因子为一次●复数域上的线性变换\varphi可对角化\Leftrightarrow极小多项式无重根\Leftrightarrow初等因子为一次●复数域上的线性变换\varphi可对角化，在不变子空间上的限制也可对角化●复数域上的线性变换\varphi可对角化⇔在每个不变子空间V_i的限制可对角化V=V_{1} \oplus V_{2} \oplus \cdots \oplus V_{k}●特征值在\mathbb{K}上，则矩阵在\mathbb{K}上相似于Jordan标准型●Jordan 标准型的应用●度数与重数●特征值\lambda_i的度数等于\lambda_i的Jordan块的个数●特征值\lambda_i的重数等于\lambda_i的Jordan块的阶数之和●循环子空间●定义●\boldsymbol{\psi} 是线性变换. 若存在 \boldsymbol{\alpha} \in r 维子空间V_{0} , 使\left\{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{\alpha}), \cdots, \boldsymbol{\psi}^{r-1}(\boldsymbol{\alpha})\right\}构成 V_{0}的一组基且\boldsymbol{\psi}^{r}(\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0} , 则称 V_{0} 为关于线性变换 \boldsymbol{\psi} 的循环子空间●\lambda_i是线性变换\varphi的特征值，对应的某个Jordan块子空间V_i是(\lambda_iI_V-\varphi)的循环子空间(\lambda_iI_V-\varphi)^{r_i}=0●\lambda_i是线性变换\varphi的特征值，对应的全部Jordan块子空间V_i是(\lambda_iI_V-\varphi)的循环子空间（\lambda_i的根子空间）(\lambda_iI_V-\varphi)^n=0，\max\{r_i\}也可●用初等因子\{(\lambda-\lambda_i)^{r_i}\}将V分解为维数为r_i的循环子空间V_i的直和●根子空间●定义●\lambda_i是线性变换\varphi的特征值，对应的全部Jordan块子空间R(\lambda_i)是\lambda_i的根子空间R(\lambda_i)=\{v\in V|(\lambda_iI_V-\varphi)^n(v)=0\}●V可分解为R(\lambda_i)的直和，维数为重数●Jordan-Chevalley 分解定理●可对角阵A,B满足AB=BA，则可同时对角化●分解定理：A=B+C满足下列性质●B可对角化●C为幂零阵●BC=CB●B,C可用A的多项式表示●分解唯一前三条说明●矩阵函数●定理●复幂级数收敛条件●f(X)收敛\Leftrightarrow f(P^{-1}XP)收敛且f(P^{-1}XP)=P^{-1}f(X)P任一可逆阵P成立●X= diag\{X_i\}，f(X)收敛\Leftrightarrow f(X_i)收敛●X为Jordan 块，f(z)的收敛半径为r，\lambda_0<r\Rightarrow f(X)收敛●特征值判断收敛●\lambda=\max\{\lambda_i\}，f(z)的收敛半径为r●\lambda>r，f(X)发散●\lambda<r，f(X)收敛●\lambda=r，f(X)收敛\Leftrightarrow f^{(k)}(\lambda_i)收敛对每个特征值\lambda_i,k=0,1,\cdots,r_i-1成立●收敛矩阵f(A)特征值为f(\lambda_i)●矩阵函数●指数函数●\mathrm{e}^{A}=\boldsymbol{I}+\frac{1}{1 !} A+\frac{1}{2 !}A^{2}+\frac{1}{3 !} A^{3}+\cdots●AB=BA\Rightarrow e^{A+B}=e^A e^B●正弦函数●\sin \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}-\frac{1}{3 !}\boldsymbol{A}^{3}+\frac{1}{5 !} \boldsymbol{A}^{5}-\frac{1}{7 !}\boldsymbol{A}^{7}+\cdots●余弦函数●\cos \boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}-\frac{1}{2 !}\boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{4 !} \boldsymbol{A}^{4}-\frac{1}{6 !}\boldsymbol{A}^{6}+\cdots●特征值的模长都小于 1●\ln (I+A)=A-\frac{1}{2} A^{2}+\frac{1}{3} A^{3}-\frac{1}{4}A^{4}+\cdots●二次型●n元二次函数能化为只有二次项的形式●对称阵和二次型可互相唯一表示●合同●定义●存在非异阵C，使得B=C'AC●等价关系●合同变换●第一类对换i行与j行，再对换i列与j列●第二类非零常数k乘以第i行，再乘以第j列●第三类第i行乘以k加到第j行，再将第i列乘以k加到第j列●定理●必存在非异阵C，使得C'AC的(1,1)元素不为0●必存在非异阵C，使得C'AC为对角阵●二次型化简●配方法●初等变换法●实二次型●惯性定理●对角化的合同二次型正系数个数相同●规范标准型●系数仅为0,1,-1●合同不变量●秩●正惯性指数●负惯性指数●符号差(+)-(-)●定理●秩与符号差(或正负惯性指数)是实对称阵的合同全系不变量●复二次型只有秩为合同全系不变量●定义●对任意非零向量\alpha●正定型与正定矩阵：\alpha'A\alpha>0●负定型与负定矩阵：\alpha'A\alpha <0●半正定型与半正定矩阵：\alpha'A\alpha\geq 0●半负定型与半负定矩阵：\alpha'A\alpha\leq 0●否则为不定型●正定型充要条件1●正定型\Leftrightarrow正惯性指数等于n●负定型\Leftrightarrow负惯性指数等于n●半正定型\Leftrightarrow正惯性指数等于r●半负定型\Leftrightarrow负惯性指数等于r●正定型充要条件2●合同对应规范标准型●正定型充要条件3●n个顺序主子式全大于0●Hermite 型●定义●f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i j} \bar{x}_{i} x_{j}●矩阵形式：f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\bar{x}'Ax\bar{A}'=A●系数变元为复数但值为实数●复相合●存在非异阵C，使得B=\bar{C}'AC●正定Hermite型●对非零复数向量函数值总大于0●定理●A为Hermite阵，必存在非异阵C,使得\bar{C}'AC是实对角阵●惯性定理成立●正定Hermite矩阵\Leftrightarrow n个顺序主子式全大于0。
《高等代数1》复习练习题(三)——第三章 线性方程组(参考解答)
《高等代数1》复习练习题（三）——第三章线性方程组（解答）（供2017级数学与应用数学专业使用）一、填空题1、设23(,2,1),(2,3,0),(1,1,1)T T T k ααα1==-=-，则当1k =-时，向量组321,,ααα线性相关. 2、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=403212221A ，向量(,1,1)Ta α=，已知向量组,A αα线性相关，则1a =-.3、设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)T T T a c b c a b ααα===线性相关,则,,a b c 必满足关系式 abc=0 .4、线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a -=-=-=-=有解的充分必要条件是_____________.5、设33⨯矩阵A 的秩()1r A =，23(1,1,2),(2,0,1),(1,2,3)T T T ααα1===是线性方程组AX β=的三个特解，则对应导出组0AX =的基础解系是121323,αααααα---中任意两个向量.6、设33⨯矩阵A 的秩()2r A =，A 的各行元素之和均为零，则齐次线性方程组0AX =的通解是(1,1,1)T k .7、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ有非零解，则=λ1．8、设齐次线性方程组12312312300x x x x kx x kx x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，则k 应满足的条件是1k ≠.9、.齐次线性方程组1231231232302340x x x x ax bx x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，当且仅当,a b 满足关系式1(1)2a b =+.10、若线性方程组b AX =有解，且秩()A r =，则秩()A =r ．二、选择题 1、设12,,,s ααα均为n 维向量,下列结论不正确的是 ( B ).(A)若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有1122+++≠s s k k k ααα0,则12,,,s ααα线性无关.(B)若12,,,s ααα线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有1122+++=s s k k k ααα0.(C)向量组12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s . (D)向量组12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.2、设向量组123(,2,1),(2,,0),(1,1,1)TTTt t ααα===-线性无关，则( D )．（A ）3t ≠-且2t ≠. （B ）3t =或2t =-. （C ）3t =-或2t =. （D ）3t ≠且2t ≠-.3、设向量T T T T )4,0,1,1(,)1,3,0,2(,)5,1,2,0(,)2,2,1,1(4321=-===αααα，则向量组4321,,,αααα的秩等于( C ).(A)1． (B) 2． (C)3． (D)4． 4、设12,,,m ααα是一n 维向量组，它的秩12(,,,)=<m r r m ααα，则下面说法不正确的是( A ).(A)向量组12,,,m ααα中任意一个向量都能由其余向量线性表出.(B)向量组12,,,m ααα线性相关.(C)向量组12,,,m ααα与其任一极大无关组等价.(D)向量组12,,,m ααα中任意r 个线性无关的向量都构成其极大无关组.5、设0=AX 是非齐次方程组AX β=所对应的导出组，则下列结论正确的是 ( D ).(A)若0=AX 仅有零解，则AX β=有唯一解．(B)若0=AX 有非零解，则AX β=有无穷多解． (C)若AX β=有无穷多解，则0=AX 仅有零解． (D)若AX β=有无穷多解，则0=AX 有非零解．6、若A 是n 阶方阵，β是n 维非零向量，且齐次线性方程组0=AX 有非零解，则下列结论中不会发生的是( B ).(A)AX β=无解. (B)AX β=有唯一解. (C)AX β=有无穷多解. (D)()r A n <.7、非齐次线性方程组AX β=中未知量个数为n ，方程个数为m ，()r A r =，则 ( A )(A)r m =时，AX β=有解. (B)r n =时，AX β=有唯一解. (C)m n =时，AX β=有唯一解. (D)r n <时，AX β=有无穷多解. 8、设A 为m n ⨯矩阵，且()1r A n =-，12,αα是非齐次线性方程组AX β=的两个不同的解向量，k 为任意常数，则0AX =的通解为( A ).（A ）12()k αα-； （B ）12()k αα+； （C ）1k α； （D ）2k α. 9、设12,,,s ααα均为n 维向量，下列结论正确的是( B ) .(A) 若1122s s k k k ααα+++=0，则12,,,s ααα线性相关.(B) 若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有1122s s k k k ααα+++≠0，则12,,,s ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有1122s s k k k ααα+++=0.(D) 若12000s ααα+++=0，则12,,,s ααα线性无关.三、判断题 1、如果当120n k k k ===≠时，11220n n k k k ααα+++=，则向量组12,,,nααα线性相关. （ √ ）2、如果12(,,,),1,2,,i i i in a a a i s α==线性相关，则向量组1212(,,,,,,,),1,2,,i i i in i i im a a a b b b i s β==也线性相关.（ X ）3、若123,,,αααβ线性相关，则β可由向量组123,,ααα线性表出.（ X ）4、若β不能由向量组123,,ααα线性表出，则123,,,αααβ线性无关.（ X ）5、若向量12,,,s ααα线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性.（ X ）6、非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ √ ）7、方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解. （ X ）8、设12,αα线性相关，12,ββ也线性相关，则1122,αβαβ++线性相关. （ X ）9、若线性方程组AX β=有无穷多个解，则0AX =一定有非零解. （ √ ） 10、若线性方程组0AX =有非零解，则AX β=一定有无穷多解.（ X ） 四、计算题1、求向量组1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,1,2,0),T T T T αααα=-===-5(2,1,5,6)T α=的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．解：对以12345,,,,ααααα为列的矩阵作行初等变换化为阶梯形矩阵.1234510312103121301103303(,,,,)21725011014214060224210312131203303011010000000011000440000010301011010001100000ααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭所以，向量组12345,,,,ααααα的秩是3，124,,ααα是其一个极大线性无关组，且31251243,ααααααα=+=++.2、已知向量组123(0,1,1),(,3,1),(,1,0)T TT a b βββ=-==与向量组123(1,2,3),(2,1,1),(3,0,1)T TT ααα=-=-=具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表出，求,a b ．解：令1231231233(,,),(,,),(,,,)A B A αααβββαααβ===则由条件可知，A 与B ，A 与A 由相同的秩.因为1233123123(,,,)2101036123110051031231231000105103510510300015b b A b b b b b b b b αααβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→-→ ⎪⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭12300004(,,)131041041110110110110041004a b a b a b B a b βββ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以，2=秩A =秩B =秩A ，于是10,1045a b b -=-=，故20,5a b ==. 3、设四元非齐次线性方程组=AX β的系数矩阵A 的秩为2，已知它的三个解向量为123,,ηηη,其中123(4,3,2,1),(1,3,5,1),(2,6,3,2)===-T T T ηηη，求该方程组的通解.解：因为123,,ηηη是=AX β的解，所以12(3,0,3,0)T ηη-=-，13(6,3,1,1)T ηη-=---是0AX =的解，且1213,ηηηη--线性无关.又因为()2r A =，所以0AX =的基础解系含有两个解向量，于是1213,ηηηη--是0AX =的一个基础解系.故=AX β的通解是1112213()()c c ηηηηη+-+-（12,c c F ∈）4、设向量1234,,,αααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，若112223334441,,,t t t t βααβααβααβαα=+=+=+=+，试问：当实数t 满足什么关系时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系？解：因为1234,,,αααα是0AX =的基础解系，所以1234,,,αααα的线性组合1234,,,ββββ也是0AX =的解. 因此，当1234,,,ββββ线性无关时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系.因为12341234100100(,,,)(,,,)010001t t t t ββββαααα⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭所以，1234,,,ββββ线性无关⇔1234||0ββββ≠⇔410010010010001ttt tt=-≠⇔1t ≠±.故当1t ≠±时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系.5、设3阶非零矩阵A 的每一个列向量都是方程组1231231232020330x x x x x ax x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+ -=⎩的解，求常数a 和行列式A ．解：设123(,,)A βββ=，其中123,,βββ是A 的列向量，则123,,βββ不全为零，且是已知方程组的解，于是已知方程组由非零解，从而其系数矩阵行列式为零，即11211221034120313023a a a ---=-+=-+=--所以12a =. 设已知方程组的系数矩阵为B ，则B O ≠，且123123(,,)(,,)(0,0,0)BA B B B B O ββββββ====若||0A ≠，则A 可逆，从而111()()B BE B AA BA A OA O ---=====，矛盾，所以||0A =.6、讨论常数a 为何值时，线性方程组123123123112ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+ +=-⎩无解、有唯一解、有无穷多解?在有无穷多解的情况下，求出其全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得22111011120024211101130113112112112112011300(2)(1)2(2)a a a a a a a A a a a a aa a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+--+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪+-+⎝⎭1）当1a =时，秩1A =≠秩2A =，方程组无解. 2）当1,2a ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当2a =-时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解：13231,1x x x x =+=+（3x 是自由未知量）7、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+++=+--330)1(31432321321x ax x a x x x x x ，问a 为何值时，此方程组：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解的情况下，试用其导出组的基础解系表出全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得21411141114111310012101210330330233112012100(3)(1)3A a a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+→-+→-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→-+ ⎪ ⎪+-+⎝⎭1）当1,3a ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解.2）当1a =时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解.3）当3a =-时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解：132314,1x x x x =-+=--（3x 是自由未知量）8、讨论常数,a b 为何值时，线性方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪+ +=⎩无解、有唯一解、有无穷多解?在有无穷多解的情况下，求出其全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得1140114301142113113101212140010010114210121012011420014200(1)142a ab a a a a A bb b b b a a a a ab b b ab b a b ab -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭1）当11,2a b =≠或0b =时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解.2）当1,0a b ≠≠时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当11,2a b ==时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解： 1322,2x x x =-=（3x 是自由未知量）9、对于线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩(1)λ取何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解；(2)在方程组有无穷多解时，试用其对应齐次线性方程组的基础解系表示方程组通解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得2211301133112011011211200233112011001101120(2)(1)3(1)A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫----⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫----⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭（1）1）当2λ=-时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解. 2）当1,2λ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当1λ=时，秩1A ==秩3A <，方程组有无穷多解.（2）在方程组有无穷多解时，与原方程组同解方程组为1232x x x ++=-，令230x x ==，得特解0(2,0,0)γ=-.与原方程组同解方程组对应的齐次线性方程组同解方程组为1230x x x ++=，所以对应的齐次线性方程组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)ηη=-=-.所以原方程组的通解为：01122k k γγηη=++（12,k k 是任意数）. 五、证明题1、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组12αα+，23αα+，31αα+也线性无关．证明：设112223331()()()0k k k αααααα+++++=则131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=因为123,,ααα线性无关，所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得1230k k k ===，故122331,,αααααα+++线性无关.2、证明向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关． 证明：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=则141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=考虑齐次线性方程组141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩其系数行列式1001100110110011001111001100110010011=-=-=所以齐次线性方程组有非零解. 于是存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=成立，故12233441,,,αααααααα++++线性相关.3、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组1223312,2,32αααααα---也线性无关．证明：设112223331(2)(2)(32)0k k k αααααα-+-+-=则131122233(22)()(23)0k k k k k k ααα-+-++-+=因为123,,ααα线性无关，所以1312232200230k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩解得1230k k k ===，故1223312,2,32αααααα---线性无关.4、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组123123,2322,αααααα++-+123355ααα+-线性相关．证明：设112321233123()(2322)(355)0k k k ααααααααα+++-+++-=则123112321233(23)(35)(225)0k k k k k k k k k ααα+++-+++-=因为123,,ααα线性无关，所以1231231232303502250k k k k k k k k k ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 解得1323192,95k k k k =-=，取35k =，得1219,2k k =-=使得 112321233123()(2322)(355)0k k k ααααααααα+++-+++-=故123123123,2322,355ααααααααα++-++-线性相关.5、已知向量组1234,,,αααα线性无关，证明向量组12233441,,,αααααααα+++-也线性无关.证明：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα++++++-=则141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα-++++++=因为1234,,,αααα线性无关，所以141223340000k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得12340k k k k ====，故12233441,,,αααααααα+++-线性无关.6、设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是n n ⨯矩阵，试证明： （1）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα也线性相关；（2）若A 可逆，且12,,,s A A A ααα线性相关，则12,,,s ααα也线性相关.证明：（1）因为12,,,s ααα线性相关，所以存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122440k k k ααα+++=从而有11221122()00s s s s k A k A k A A k k k A αααααα+++=+++==故12,,,s A A A ααα线性相关.（2）因为12,,,s A A A ααα线性相关，所以存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122440k A k A k A ααα+++=从而有11221122()0s s s s A k k k k A k A k A αααααα+++=+++=由A 可逆，得1122440k k k ααα+++=.故12,,,s ααα线性相关.7、已知向量组123,,ααα与122331,,αααααα+++ （1）证明123,,ααα与122331,,αααααα+++等价；（2）证明123,,ααα线性相关的充分必要条件是122331,,αααααα+++线性相关．证明：（1）首先，122331,,αααααα+++显然可由123,,ααα线性表示. 其次，由1122331212233131223311[()()()]21[()()()]21[()()()]2ααααααααααααααααααααα⎧=+-+++⎪⎪⎪=+++-+⎨⎪⎪=-+++++⎪⎩可知，123,,ααα可由122331,,αααααα+++线性表示. 故123,,ααα与122331,,αααααα+++等价.8、已知非齐次线性方程组123423423412340221(3)21321x x x x x x x x a x x x x x bx + + +=⎧⎪ ++=⎪⎨ - +--=-⎪⎪+ ++=-⎩ 有3个线性无关的解，证明：系数矩阵A 的秩等于2，并求,a b 的值及方程组的通解．证明：设123ξξξ，，是方程组的3个线性无关解，则1213ξξξξ--，是导出组0AX =的两个解.若1213()()0k l ξξξξ-+-=，则有123()0k l k l ξξξ+--=，于是由123ξξξ，，线性无关可得0k l ==，所以1213ξξξξ--，是导出组0AX =的两个线性无关解，因此，0AX =的基础解系所含向量个数不少于2，即有4()2A -≥秩. 所以有()2A ≤秩.因为系数矩阵111101220132321A a b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪--- ⎪⎝⎭，有一个2阶子式111001=≠，所以有()A ≤2秩，故()=2A 秩.对增广矩阵A 做行初等变换，有313242311110111100122101221=013210132132110123111110012210010000010r r r r r r A a a b b a b -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭于是由()=2A 秩，有1010a b -=⎧⎨-=⎩，即11a b =⎧⎨=⎩.因此有31324212311110111100122101221=012210122132111012211111010111012210122100000000000000000000r r r r r r r r A -++-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→⎪⎪--------⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的通解为1342341122x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.9、设12,,,n ααα均为n 维线性无关列向量，A 是n n ⨯矩阵，试证明：12,,,n A A A ααα线性无关⇔A 可逆．证明：（⇒）因为12n ααα，，，线性无关，所以以12n ααα，，，为列的n n ⨯矩阵12()n B ααα=可逆.因为12,,,n A A A ααα线性无关，所以矩阵1212()()n n C A A A A AB αααααα===可逆，从而1A CB -=可逆．（⇐）若有数12n k k k ，，，，使得11220s n k A k A k A ααα+++=则有1122()0n n A k k k ααα+++=由A 可逆可得11220s n k k k ααα+++=因为12,,,n ααα线性无关．所以120n k k k ====，故12,,,nA A A ααα线性无关.。
西南财经大学高等代数(线性代数)PPT系列之三1.3
12
(2) 设 D 的第 i 行除了 aij 外都是 0 。
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 an1 anj ann
把D转化为(1)的情形
· · · · · ， 把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，·
第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j 1 列， 第 j 2 列，· · · · · · ， 第2列，第1列交换，这样共经过
一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？（降阶的思想）
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
7
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
A23 1
2 3
M 23 a31 a32 a41 a42
M 23 M23
9
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
r2 r1 r3 r1 rn r1
1 [ x ( n 2)a ]0 0 0
a x 2a 0 0
a 0 0
a 0 0
x 2a
x 2a
[ x (n 2)a]( x 2a )n1
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-3
2024/7/17
数学与计算科学学院
一、线性组合
定义 设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量 可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关.
( x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0
由于 1,2 ,3 线性无关，于是有
x1 x1
x3 x2
0 0
解之得 x1 x2 x3 0.
x2 x3 0
所以 1, 2 , 3 线性无关 .
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
四、极大线性无关组 秩
§3.3 2024/7/17 线性相关性
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1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关. 2）解： 由 k11 k22 k33 0,
k1 3k3 0
即
k1 3k2 2k1 k2 4k1 2k2
0 7k3 0 14k3 0
解得 k1 3k3 , k2 k3 , k3 为自由未知量.
k1, k2 , , kr , 使 k11 k22 k rr 0.
r
作线性组合 x11 x22 x rr xii
高等代数北大版第三章线性方程组知识总结
第三章线性方程组（ * * * ）一、复习指导：线性方程组这一章节是一个十分重要的章节，在这一章节中，有三大考点：1.极大线性无关组2.判断非齐次线性方程解的个数3.求齐次/非齐次线性方程的基础解系。
除此之外，本章节所有涉及到的知识点都要仔细看，不能够忽略掉任何一个细小的知识点。
二、考点精讲：（一）线性相关性1.定义线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组α1, α2,…,αs 中有没有向量可以用其它的s-1个向量线性表示的问题.设α1,α2,…,αs 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,…,c s使得c1α1+c2α2+…+c sαs=0,则说α1,α2,…,αs 线性相关,否则(即要使得c1α1+c2α2+…+c sαs=0,必须c1,c2,…,c s全为0)就说它们线性无关.于是, α1,α2,…,αs “线性相关还是无关”也就是向量方程x1α1+ x2α2+…+x sαs=0“有没有非零解”,也就是以(α1,α2,…,αs )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.2.性质①当向量的个数s大于维数n时, α1, α2,…,αs 一定线性相关.如果向量的个数s等于维数n,则 α1, α2,…,αn线性相关⇔| α1, α2,…,αn|=0.②线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量).③如果α1,α2,…,αs 线性无关,而α1,α2,…,αs ,β线性相关,则β可用α1,α2,…,αs 线性表示.④如果β可用α1,α2,…,αs 线性表示,则表示方式唯一⇔α1,α2,…,αs 线性无关.⑤如果β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs 线性表示，并且t>s,则β1,β2,…,βt线性相关.推论如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.3.向量组的极大线性无关组和秩（1定义向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.设α1,α2,…,αs 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果① (I) 线性无关.② (I) 再扩大就线性相关.就称(I)为α1,α2,…,αs 的一个极大无关组.条件②可换为:任何αI都可用(I) 线性表示,也就是(I) 与α1,α2,…,αs 等价.当α1,α2,…,αs 不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等.如果α1,α2,…,αs 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为α1,α2,…,αs 的秩,记作r(α1,α2,…,αs).如果α1,α2,…,αs 全是零向量,则规定r(α1,α2,…,αs)=0.由定义得出: 如果r(α1,α2,…,αs)=k,则i) α1,α2,…,αs 的一个部分组如果含有多于k 个向量,则它一定的相关.ii) α1,α2,…,αs 的每个含有k 个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.（二）线性方程组1.线性方程组的基本概念方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,0221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ），称（I ）为n 元齐次线性方程组。
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高等代数专题研究学习辅导（三）
多 项 式 与 环
一、 环
1．环的定义
环具有加法、乘法两个代数运算的代数体系。
集合R 对于加法、乘法两个代数运算构成一个环，要求满足：
（1）加法性质 有交换律、结合律，每个元素有负元素。
（R 对
加法作成一个加群）
（2）乘法性质 有结合律：c ab bc a )()(=
（3）乘法对加法有左、右分配律：
ac ab c b a +=+)(，ca ba a c b +=+)(),,(R c b a ∈∀
则称对这两个代数运算作成一个环。
2．环的简单性质
（1） 在环R 中，零元素惟一；
（2） 在环R 中，每个元素的负元素惟一；
（3） 在环R 中，加法有消去律：c b c a b a =⇒+=+；
（4） 在环R 中，符号法则成立：
a a =--)(，a
b b a b a -=-=-)()(，ab b a =--))((；
（5） 在环R 中，移项法则成立：b c a c b a -=⇒=+；
（6） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数，
规定
个
n a a a na +⋅⋅⋅++=，
个
n a a a a n )()()()(-+⋅⋅⋅+-+-=-，00=a 。
于是，环中的元素整数倍有意义，对任意Z n m ∈,；R
b a ∈,有
a n m na ma )(+=+，)(
b a m mb ma +=+；
ab mn nb ma ⋅=⋅)()()(
（7） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数，
规定
个
n n a aa a ⋅⋅⋅=， 于是，环中元素的整数次幂有意义，对任意正整数n m ,有
n m n m a a a +=⋅，mn n m a a =)(；
（8） 在环R 中广义分配律成立：
n n ab ab ab b b b a +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++2121)(
n a b a b a b a a a n n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++2121)(
3．子环与理想
定义 设S 是环R 的一个子集，若S 对R 的两种运算也作成环，
则称S 是R 的一个子环，R 是S 的一个扩环。
子环的判别定理: 环R 的子集S 作成R 的子环的充分必要条件是
（1） S b a ∈, ⇒ S b a ∈+
（2） R r ∈，S a ∈ ⇒ S ar ra ∈,
4．整环与域
定义1. 乘法满足交换律的环称为交换环；
定义2. 设1是环R 的一个元素，对任意R a ∈有a a a ==11，则
称1 是R 的单位元素；
定义 3. 设R 是有单位元素1的环，若对R 中的元素a 有一元素
b ，使1==ba ab ，则称a 是可逆元素，b 称为a 的一个
逆元素；
定义4. 设a ,b 是环R 的两个元素，若0≠a ，0≠b ，而0=ab ， 则称a 与b 是真零因子。
性质 在无真零因子的环R 中，乘法适合
左消去律 ac ab =，0≠a c b =⇒
右消去律 ca ba =，0≠a c b =⇒
定义5 设R 是一个有单位元素1的交换环，并且每个非零元素
都可逆，则称R 是一个域。
例1． 以下二集合对所说运算是否作成环？若作成环时是否可交换？
（1） 实数集R 对数的普通加法及新规定的乘法：
b a b a =
（2） 数域F 上的一切形如⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛00b a 的方阵对普通加法及乘法。
解：（1） 因为一般c b a c b a )(+≠+，即右分配律不成立，故不作成环。
（2） F 上的一切方阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛00b a 显然作成环，但不可交换。
因为，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0043B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00430021AB ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0043，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00210043BA ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0063，
即BA AB ≠。