导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)精编版
导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)
导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000()()()()()limlim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率x x f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('=⑥x x e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '= ⑧xx 1)(ln '=⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''xuxy y u =⋅.题型1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数 （1）()324y x x=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数 链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则xy '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则xy '=)()()(x v u f ψϕ'''说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
3-1导数的概念及运算高三数学综合练习有答案最全面(精华版)
第三章导数及其应用第1 讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一，填空题1．设y＝x2e x，就y′＝.解析y′＝2xe x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满意f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，就f′(1)＝.|精. |品. |可. |编. |辑. |资. |料.1解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1) ＋x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，就f′(1)＝－1.答案－13. 曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2021 ·苏州调研)已知曲线y＝ln x 的切线过原点，就此切线的斜率为．1解析y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y′＝x，设切点为(x0，ln x0)，就y′|x ＝x0＝1，切线方程为y－ln x0＝1(x－x0)，由于切线过点(0,0)，所以－ln x0 x x01＝－1，解得x0 ＝e，故此切线的斜率为e.1答案e5．如曲线y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，就a＝.1解析由于y′＝2ax－x，所以y′|x＝1＝2a－1.由于曲线在点(1，a)处的切1线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝2.1答案26．(2021 ·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2 是曲线y＝f(x)在x＝3 处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，就g′(3)＝.|精.|品.|可.|编.|辑. |资. |料.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案07．(2021 ·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点π2，1 处的切线与直线x－ay＋1 ＝0 平行，就实数a＝.解析∵y′＝1－1－cos xsin2 x ，∴由条件知a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2021 ·全国Ⅱ卷)如直线y＝kx＋b 是曲线y＝ln x＋2 的切线，也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线，就b＝.解析y＝ln x＋2 的切线为：y＝1·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．x1y＝ln( x＋1)的切线为：y＝1x＋ln(x2＋1)－x2(设切点横坐标为x2)．1＝1，x2＋1 x2＋1x1 ∴ln x x2 ＋1＋1＝ln x x2＋1 －，1 2x2＋11 1解得x1＝2，x2 ＝－2，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.答案1－ln 2二，解答题19. 已知点M 是曲线y＝3－2x2＋3x＋1 上任意一点，曲线在M 处的切线为l，3x求：|精. |品. |可. |编. |辑. |资. |料.(1) 斜率最小的切线方程；(2) 切线l 的倾斜角α的取值范畴．解(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2 时，y′＝－1，y5＝3，5所以斜率最小的切线过点2，3 ，斜率k＝－1，所以切线方程为3x＋3y－11＝0. (2)由(1)得k≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈0，π3π.2∪4，π10. 已知曲线y＝x3＋x－2 在点P0 处的切线l 1 平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1) 求P0 的坐标；(2) 如直线l⊥l1 ，且l 也过切点P0，求直线l 的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1 时，y＝0；当x＝－1 时，y＝－4.又∵点P0 在第三象限，∴切点P0 的坐标为(－1，－4)．4 4. (2)∵直线 l ⊥l 1 ，l 1 的斜率为 4，∴直线 l 的斜率为－ 1 ∵l 过切点 P 0，点 P 0 的坐标为 (－1，－ 4)，∴直线 l 的方程为 y ＋ 4＝－ 1(x ＋1)，即 x ＋ 4y ＋17＝0. 才能提升题组 (建议用时： 20 分钟) 11．(2021 ·山东卷改编 )如函数 y ＝f (x)的图象上存在两点， 使得函数的图象在这两 |精.|品.|可.|编.|辑.|资.|料. 点处的切线相互垂直，就称 y ＝f (x)具有 T 性质，以下函数： ① y ＝sin x ；② y ＝ln x ；③ y ＝e x ；④y ＝x 3. 其中具有 T 性质的是 (填序号 )． 解析 如 y ＝ f(x)的图象上存在两点 (x 1， f(x 1 ))， (x 2， f(x 2))，使得函数图象在这两点处的切线相互垂直，就 f ′(x 1) ·f ′(x 2 )＝－ 1.对于①： y ′＝cos x ，如有 cos x 1 ·cos x 2＝－ 1，就当 x 1＝2k π，x 2＝ 2k π＋πk ( ∈Z)时，结论成立；1 1 1对于②： y ′＝x ，如有x 1·x 2＝－ 1，即 x 1x 2＝－ 1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在 x 1， x 2，使得 x 1x 2＝－ 1；对于③： y ′＝ e x ，如有 e x1·e x2＝－ 1，即 e x1＋x2＝－ 1.明显不存在这样的 x 1， x 2；2 2 2 2 2对于④： y ′＝ 3x ，如有 3x 1·3x 2＝－ 1，即 9x 1x 2＝－ 1，明显不存在这样的 x 1， x 2.答案 ①12．(2021 ·合肥模拟改编 )点 P 是曲线 x 2－y － ln x ＝0 上的任意一点， 就点 P 到直线 y ＝ x － 2 的最小距离为 ．＋ ， 2 解析 点 P 是曲线 y ＝ x 2－ln x 上任意一点， 当过点 P 的切线和直线 y ＝ x － 2 平行时，点 P 到直线 y ＝x －2 的距离最小，直线 y ＝x －2 的斜率为 1，令 y ＝x 2－ln x ，1 1 得 y ′ ＝2x － x ＝ 1，解得 x ＝1 或 x ＝－ 2(舍去)， 故曲线 y ＝x 2－ ln x 上和直线 y ＝x －2 平行的切线经过的切点坐标为 (1,1)， 点(1,1)到直线 y ＝x －2 的距离等于 2， ∴点P 到直线 y ＝x －2 的最小距离为 2. |精.答案 2 13. 如函数 f(x)＝1 2－ax ＋ln x 存在垂直于 y 轴的切线，就实数 a 的取值范畴是 |品.x |可.|编.|辑.|资.|料. 解析 ∵f(x)＝ 1 2－ax ＋ ln x ，2x1 ∴f ′(x)＝ x －a ＋ x (x>0)．∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线，∴f ′(x)存在零点，1 1即 x ＋ x － a ＝ 0 有解，∴a ＝ x ＋x ≥2(当且仅当 x ＝1 时取等号 )． 答案 [2，＋∞ )214. 已知函数 f(x)＝ x － x ， g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．如曲线 y ＝f(x)与曲线 y ＝ g(x) 在 x ＝ 1 处的切线斜率相同， 求 a 的值，并判定两条切线是否为同一条直线． 解 依据题意有 f ′(x) ＝1 2 g ′(x)＝－ a x 2 x .曲线 y ＝f(x)在 x ＝1 处的切线斜率为 f ′ (1)＝3，曲线 y ＝g(x)在 x ＝ 1 处的切线斜率为 g ′(1)＝－ a ，所以 f ′(1)＝ g ′ (1)，即 a ＝－ 3.曲线 y ＝f(x)在 x ＝1 处的切线方程为 y － f(1)＝3(x －1)． ．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1 处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.|精.|品.|可.|编.|辑.|资.|料.。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
导数的概念及运算专题练习(含参考答案)
数学 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线， 则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)． 因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数的概念及运算(基础 复习 习题 练习)35418精品名师资料
导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0(f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x ==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim 13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a x x ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -=2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅.题型1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln xy e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数（1）()324y x x =- （2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数 链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ''' 说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
导数定义复习题
导数定义复习题导数定义复习题导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇文章中，我们将通过一些复习题来回顾导数的定义和相关概念。
题目一：计算函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解答一：根据导数的定义，函数 f(x) 在 x = 2 处的导数可以表示为 f'(2) =lim(h→0) [(f(2+h) - f(2))/h]。
首先，我们计算 f(2+h) 和 f(2)：f(2+h) = 3(2+h)² - 2(2+h) + 1= 3(4+4h+h²) - 4 - 2h + 1= 12 + 12h + 3h² - 4 - 2h + 1= 3h² + 10h + 9f(2) = 3(2)² - 2(2) + 1= 12 - 4 + 1= 9将这些值代入导数的定义中，我们有：f'(2) = lim(h→0) [(3h² + 10h + 9 - 9)/h]= lim(h→0) [(3h² + 10h)/h]= lim(h→0) [3h + 10]= 10因此，函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 10。
题目二：计算函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数。
解答二：同样地，根据导数的定义，函数 g(x) 在 x = 4 处的导数可以表示为g'(4) = lim(h→0) [(g(4+h) - g(4))/h]。
首先，我们计算 g(4+h) 和 g(4)：g(4+h) = √(4+h)= √4 + √h= 2 + √hg(4) = √4= 2将这些值代入导数的定义中，我们有：g'(4) = lim(h→0) [(2 + √h - 2)/h]= lim(h→0) [√h/h]= lim(h→0) [1/√h]= ∞因此，函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数为无穷大。
(完整版)导数的运算经典习题
（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。
2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。
2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。
2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。
2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。
2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。
3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。
通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。
希望这些习题对您有所帮助！。
导数基础知识点汇总及经典习题解答
导数导数基础：1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. ②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.常用性质：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =A )('x f y =BA BB A ⊇)(x f y =0x 0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x fy y -=-4. 求导数的四则运算法则：（为常数）②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.I.（为常数）（）.5. 复合函数的求导法则：或6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=c )0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 0'=C Cxx cos )(sin '=2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx x Rn ∈xx sin )(cos '-=2'11)(arccos x x --=xx 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '=11)(arctan 2'+=x x xx e e =')(aa a x x ln )('=11)cot (2'+-=x x arc )()())(('''x u f x f x ϕϕ=xu x u y y '''⋅=)(x f y =)('x f )(x f y =)('x f )(x f y =注：①是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即0时f （x ） = 0，同样是f （x ）7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；例1. 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值26．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．00)( x f 32x y =),(+∞-∞0)( x f 0)( x f 0x )(x f )(0x f )(0x f )(x f )(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f6．函数x xy ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2e D ．3102．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f xg x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ）21<b5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e2．若'0()3fx =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 1.(2005全国卷Ⅰ文)函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52．(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2e B. e C. ln 22D. ln 23．（2005广东）函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）4.（2008安徽文）设函数1()21(0),f x x x x =+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．（2007福建文、理)已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g()(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（ ）A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0 6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12C ．12-D ．1-导数答案。
第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)(练习)-1
第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算目录模拟基础练题型一：导数的定义及变化率问题题型二：导数的运算题型三：在点P 处的切线题型四：过点P 的切线题型五：公切线问题题型六：已知切线或切点求参数问题题型七：切线的条数问题题型八：利用导数的几何意义求最值问题题型九：牛顿迭代法题型十：切线平行、垂直、重合问题题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题题型十二：切线斜率的取值范围问题重难创新练真题实战练题型一：导数的定义及变化率问题1．设()f x 是定义在R 上的可导函数，若()()000lim2h f x h f x h a h®+--=（a 为常数），则0()f x ¢=（ ）A ．2a-B ．a-C ．aD ．2a2．对于函数()f x ，若()0f x ¢存在，求：(1)()()000()limh f x h f x h®+---；(2)()()000lim h f x h f x h h®+--．题型二：导数的运算3．求下列函数的导数：(1)()2133ex y x x +=++(2)cos(21)x y x+=(3)ln12x y x=+(4)1()23()()y x x x =+++(5)2ln 2y x x x x =+-+(6)31ln 2e e xxy x =++-4．求下列函数的导数：(1)22()2f x a ax x =+-；(2)sin ()ln x xf x x=.(3)()2(34)21y x x x =-+；(4)2sin 12cos 24x x y æö=-ç÷èø；(5)y ＝2ln 1xx +.(6)221()(31)y x x =-+；(7)sin 2cos 2y x x x =-；(8)e cos x y x =；(9)y ＝ln(21)x x+.(10)n 1l y x x=+(11)sin x y x=(12)22(1e )2x y x x -=+-.5．已知函数()e 2(0)1x f x f x ¢=++，则()2f ¢的值为 ．（2024·河南·一模）6．已知函数()f x 的导函数为()f x ¢，且23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---，则()f x 的极值点为（ ）A ．32或12B ．12C ．12-或32D ．32题型三：在点P 处的切线7．曲线e x y =在点(0,1)处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．210x y -+=（2024·黑龙江·二模）8．函数()31f x x =+在1x =-处的切线方程为（ ）A ．46y x =+B ．26y x =-+C ．33y x =--D ．31y x =--（2024·全国·模拟预测）9．函数()()2e 22xf x x x =-+的图象在点()()1,1f --处的切线方程为（ ）A ．e 40x y +-=B ．e 60x y -+=C ．e 60x y -+=D ．5e e 0ex y -++=10．下列函数的图象与直线y x =相切于点()0,0的是（ ）A ．3y x =B ．sin y x=C ．e xy =D ．()ln 2y x =+题型四：过点P 的切线11．过原点的直线l 与e x y =相切，则切点的坐标是 .12．已知直线l 为曲线314()33f x x =+过点(2,4)P 的切线. 则直线l 的方程为 .13．已知函数()ln f x x =，过点()0,0P 作曲线()f x 的切线，则其切线方程为 .14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点()e,1--（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是，切线方程为题型五：公切线问题15．经过曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点，且与曲线e 1x y =+和1e x y +=的公切线l 垂直的直线方程为（ ）A ．8870x y ++=B ．8870x y +-=C ．8810x y -+=D ．8810x y --=16．已知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +=（ ）A ．2B ．12C ．eD ．1e17．过原点的直线l 与曲线()e ,ln xy y x a ==+都相切，则实数a =（ ）A ．12B ．14C ．1eD ．2e18．若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(ln 21,)--+¥B ．[ln 21,)--+¥C ．(ln 21,)-++¥D ．[ln 21,)-++¥19．已知曲线e x y =在点()11,x y 处的切线与曲线ln y x =在点()22,x y 处的切线相同，则()()1211x x +-=（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．220．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()02P ，处有相同的切线，则+a b c 的值为（ ）A ．0B ．πC ．2D ．3题型六：已知切线或切点求参数问题（2024·山东临沂·二模）21．若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为 .（2024·高三·云南楚雄·期末）22．若直线y x m =+与曲线()320y x x x =-<相切，则切点的横坐标为 .（2024·湖北·二模）23．y kx b =+是2ln xy x =在(1,0)处的切线方程，则b = ．（2024·高三·安徽亳州·期末）24．已知直线l 的斜率为2，且与曲线2e x y =相切，则l 的方程为.（2024·全国·模拟预测）25．若直线y kx b =+与函数()e xf x =的图象相切，则k b -的最小值为（ ）A ．eB ．e-C ．1e-D ．1e（2024·四川绵阳·一模）26．设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（ ）A ．12e-B ．211e -C ．212e -D ．212e +题型七：切线的条数问题27．若过点()2,t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．2e t <B ．0e t <<C ．ln 2t <D ．ln 2t >（2024·全国·模拟预测）28．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．已知函数()1ex x f x +=，若过()1,P t -可做两条直线与函数()f x 的图象相切，则t 的取值范围为（ ）A ．4,e æö+¥ç÷èøB ．4e ìüíýîþC ．40,e æöç÷èøD ．{}40,0e æöÈç÷èø（2024·宁夏银川·二模）30．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥题型八：利用导数的几何意义求最值问题（2024·陕西西安·二模）31．若1112ln 30x x y --+=，2250x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．B ．6C ．8D ．12（2024·广东·一模）32．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线1ey x =上，则PQ 的最小值为（ ）A BC D 33．已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（ ）A B C ．1D ．e（2024·高三·四川成都·期末）34．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（ ）A B C ．1D )e 5+35．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线ln y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C D参考答案：1．C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】0()f x ¢=()()0001lim222h f x h f x h a a h®+--=´=.故选：C.2．(1)()0f x ¢(2)()02f x ¢【分析】（1）利用导数的定义求解即可；（2）利用导数的定义求解即可；【详解】（1）0h ®Q 时，0h -®()()()()()000000()()limlimh h f x h f x f x h f x f x hh®-®+--+--¢=-\=-（2）[][]000000()()()()()()f x h f x h f x h f x f x f x h +--=+-+--Q 又0000()()lim()h f x h f x f x h ®+-¢=()()()()()0000000limlimh h f x f x h f x h f x f x h h®-®---=-¢-\=0000()()lim 2()h f x h f x h f x h®+--¢\=3．(1)()12e 56x y xx +=++¢(2)22sin(21)cos(21)x x x y x -+-+¢=(3)(12)1y x x =+¢(4)231211y x x =++¢(5)y ¢ln 2x x=+(6)213e e xxy x ¢=++【分析】（1）—（6）根据导数的运算法则及基本初等函数函数的导数公式计算可得.【详解】（1）因为()2133e x y x x +=++，所以()()()212133e 33e x x y x x x x ++¢¢¢=++×+++×()121(23)e 33e x x x x x ++=++++()12e 56x x x +=++.（2）因为cos(21)x y x+=，所以2[cos(21)]cos(21)x x x x y x ¢¢+-+×¢=22sin(21)cos(21)x x x x -+-+=.（3）因为ln 12xy x=+，所以1212x x y x x ¢+æö¢=×ç÷+èø2122(12)(12)121x x x x x x x +-=+×=++.（4）因为1()23()()y x x x =+++326116x x x =+++，所以231211y x x =++¢.（5）因为2ln 2y x x x x =+-+，所以1ln 21y x x x x¢=+×+-ln 2x x =+.（6）因为31ln 2e exx y x =++-，所以213e exx y x ¢=++.4．(1)()22f x a x ¢=-(2)2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-¢=(3)218104y x x -¢=-(4)1cos 2y x¢=-(5)()222212ln 1x x x y x x +-¢=+(6)21843y x x ¢=+-(7)12cos 4y x¢=-(8)()e cos sin ¢=-xy x x (9)22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++(10)211x x =-(11)2cos sin x x xy x -¢=(12)22)3e (-¢=+-xy x 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的求导公式分别对函数求导即可得出答案.【详解】（1）解：因为22()2f x a ax x =+-，所以()22f x a x ¢=-；（2）解：因为sin ()ln x xf x x=，所以22(sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()(ln )ln x x x x x x x x x x x xf x x x ¢¢×-×+-¢==；（3）解：因为()2325(3)42164y x x x x x x =-+=--，所以218104y x x ¢=--；（4）解：因为21sin 12cos sin cos sin 24222x x x x y x æöæö=-=-=-ç÷ç÷èøèø，所以1cos 2y x ¢=-；（5）解：因为2ln 1xy x =+，所以()()()()2222ln 11ln 1x x x xy x ¢¢+-+¢=+()()()2222222112ln 12ln 11x x x x x x x x x x +-+-==++；（6）解：因为232()()21316231y x x x x x =-+=+--，所以21843y x x ¢=+-；（7）解：因为sin 2cos 2y x x x =-1sin 42x x =-，所以114cos 412cos 42y x x ¢=-´=-；（8）解：因为cos x y e x =，所以()cos sin cos sin x x xy e x e x e x x ¢=-=-；（9）解：因为ln(21)x y x+=，所以[]2ln(21)ln(21)x x x x y x ¢¢+-+¢=＝22ln(21)21xx x x -++＝22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++；（10）解：因为n 1l y x x=+，所以()2111ln y x x x x ¢æö¢¢=+=-ç÷èø；（11）解：因为sin xy x=，所以22(sin )sin cos sin x x x x x x xy x x ¢¢-×-¢==；（12）解：因为22(1e )2x y x x -=+-，所以22222(2)()()2213x x x y x e x x e x e ---¢=+-++--=.5．2e 2-【分析】先求出()0f ¢的值，进而求出()2f ¢即可.【详解】由题意知：()()e 20xf x f =¢+¢，所以()()0120f f =+¢¢，所以()01f ¢=-，所以()e 2xf x ¢=-，所以()22e 2f ¢=-.故答案为:2e 2-.6．D【分析】先对函数求导，先后代入3x =和1x =，确定函数()f x 的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.【详解】对23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---进行求导，可得31()(3)2(1)47f x f f x x¢=-×¢--，将3x =代入整理，4(3)21(1)140f f ¢++=①将 1x =代入23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---可得(1)(1)4f f =--，即(1)2f =-，将其代入① ，解得：(3)7f ¢=，故得2()3ln 24f x x x x =-+-.于是3()44f x x x¢=-+-，由()0f x ¢=可得12x =-或32x =，因0x >，故当302x <<时，()0f x ¢<，当32x >时，()0f x ¢> ，即32是函数()f x 的极小值点，函数没有极大值.故选：D.7．C【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解.【详解】()e xy f x ==Q ，()'e x f x \=，()'01f \=，\曲线e x y =在点()01，处的切线方程为：1y x =+，即10x y -+=，故选：C ．8．D【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x ¢=-，所以()()21313f ¢-=-´-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D 9．B【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由()()2e 22x f x x x =-+，可得()2e xf x x ¢=，则()11e f ¢-=，又()()()2151e 1212e f -éù-=--´-+=ëû，则所求切线方程为()511e ey x -=+，即e 60x y -+=．故选：B ．10．B【分析】利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，并由切点进行逐一判断即可得出结论.【详解】A ．323y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为0，不符合；B ．sin cos y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为1，所以切线为01(0)y x -=-，成立；C ．D ．两个函数均不经过()0,0，不符合.故选:B ．11．(1,e)【分析】设切点坐标为00(,e )x x ，根据导数的几何意义求出切线方程，将(0,0)代入，即可求得答案.【详解】由题意设切点坐标为00(,e )x x ，由e x y =，得e x y ¢=，故直线l 的斜率为0e x ，则直线l 的方程为00e e ()x x y x x -=-，将(0,0)代入，得0001e e ,x x x x -=-\=，则切点的坐标为(1,e)，故答案为：(1,e)12．20x y -+=或440x y --=【分析】设切点为00(,)M x y ，由导数的几何意义求得切线方程，代入P 点坐标求出0x ，再回代得切线方程．【详解】∵314()33f x x =+，∴2()f x x ¢=. 设直线l 与曲线()f x 相切于点00(,)M x y ，则直线l 的斜率为200()k f x x ¢==，∴过点00(,)M x y 的切线方程为000()()()y f x f x x x ¢-=-，即3200014()()33-+=-y x x x x ，又点(2,4)P 在切线上，∴32000144()(2)33x x x -+=-，整理得3200340x x -+=，∴200(1)(2)0x x +-=，解得01x =-或02x =；∴所求的切线方程为20x y -+=或440x y --=.故答案为：20x y -+=或440x y --=.13．1ey x =【分析】设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点()0,0P ，代入求出0x ，即可求出切线方程.【详解】设切点为()00,ln x x ，由()ln f x x =，则()1f x x¢=，则()001f x x ¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过点()0,0P ，所以0ln 1x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =.故答案为：1ey x =14．(e,1)ex y =【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入()e,1--可得00ln e x x =，构造函数()ln H x x x =，求导，根据函数的单调性结合()e =e H ，可得0e x =，即可求解.【详解】设点A (x 0,y 0)，则00ln y x =.又1y x¢=，当0x x =时，01y x ¢=，曲线ln y x =在点A 处的切线方程为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点()e,1--，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，记()ln H x x x =，当x ∈(0,1)时，()0H x <，当x ∈(1,+∞)时，()0H x >，且()ln 1H x x =¢+，当1x >时，()()0,H x H x ¢>单调递增，注意到()e =e H ，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1，切线方程为ex y =，故答案为：()e,1，ex y =15．B【分析】首先联立37y x x =-与353y x x =--+得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，利用导数的几何意义得到方程，求出1x ，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.【详解】由33753y x xy x x ì=-í=--+î，消去y 整理得38430x x +-=，令()3843F x x x =+-，则()22440F x x ¢=+>，所以()3843F x x x =+-在R 上单调递增，又31118430222F æöæö=´+´-=ç÷ç÷èøèø，所以方程组33753y x x y x x ì=-í=--+î的解为1238x y ì=ïïíï=ïî，即曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点的坐标为13,28æöç÷èø，设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，而()e x f x ¢=，1()e x g x +¢=，11()e x f x ¢\=，212()e x g x +¢=，\122111121e e e e 1e x x x x x x x++ì=ïí--=ï-î，解得1201x x =ìí=-î，0(0)e 1f ¢\==，即公切线l 的斜率为1，故与l 垂直的直线的斜率为1-，所以所求直线方程为3182y x æö-=--ç÷èø，整理得8870x y +-=．故选：B ．16．A【分析】设(),e tt 是()f x 图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线()ln 2g x x =+上的切点，继而求出t 的值，结合切线方程，即可求得答案.【详解】由题意知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，设(),e tt 是()f x 图象上的切点，()e x f x ¢=，所以()f x 在点(),e tt 处的切线方程为()e e t t y x t -=-，即()e 1e t t y x t =+-①令()1e t g x x=¢=，解得()e ,e lne 22t t t x g t ---==+=-，即直线(R,0)y ax b a b =+Î>与曲线()ln 2g x x =+的切点为()e ,2tt --，所以2e e e t t t t t ---=-，即()11e tt t -=-，解得0t =或1t =，当1t =时，①为e ,0y x b ==，不符合题意，舍去，所以0t =，此时①可化为1y x =+，所以112a b +=+=，故选：A 17．D【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.【详解】由e x y =得e x y ¢=，由()ln y x a =+得1y x a¢=+，设过原点的直线l 分别与曲线()e ,ln xy y x a ==+相切于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则由导数的几何意义得111e x y x =，且11e x y =，故11x =，所以直线l 的斜率为e ，所以2221e y x x a ==+，所以()22ln e x a x +=，所以2e 1x =-，即21e x =-，代入21e x a =+得2e a =.故选：D 18．A【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x¢=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =×+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x ¢=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x ¢=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+¥，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.19．B【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】根据常用函数的导数可知：e e x x y y ¢=Þ=，1ln y x y x¢=Þ=，则两函数在点()11,x y 和()22,x y 处的切线分别为：()()1112221e,x y y x x y y x x x -=--=-，化简得()111221e 1e ,ln 1x x y x x y x x x =+-=+-由题意可得：()112121e 1e ln 1x x xx x ì=ïíï-=-î，化简得()()12211210112x x x x x x +-+=Þ+-=-.故选：B 20．C【分析】根据两曲线在()02P ，有公切线，则P 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出,,a b c 的值，则答案可求【详解】由已知得(0)2(0)12f a b g c =+=ìí=+=î，解得1,2c b a ==-，又()()ππ,e sin 22xf x ag x x ¢¢==-，所以(0)(0)f g ¢¢=得0a =，所以0,2,1a b c ===，所以0212a b c +=+=.故选：C.21．31,e éö-+¥÷êëø【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得2ln b a =+，则()2ln 0ab a a a a =+>，构造()2ln g a a a a =+并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数ln y b x =+的导数为1y x¢=，设切点为()00,1x ax +，所以01a x =，则01ax =，即01x a=又因为()00,1x ax +在ln y b x =+上，所以001ln ax b x +=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()()2ln 2ln 0ab a a a a a a =+=+>，令()2ln g a a a a =+，1()2ln ln 3g a a a a a=++×=+¢，令()0g a ¢>，可得31e a >，令()0g a ¢<，可得310e a <<，所以()g a 在310,e æöç÷èø上单调递减，在31,e æö+¥ç÷èø上单调递增，所以min 33333331211231()ln e e e e e e e g a g æö==+=-=-ç÷èø.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e éö-+¥÷êëø.故答案为：31,e éö-+¥÷êëø.22．1-【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由()320y x x x =-<求导得()2320y x x ¢=-<，直线y x m =+斜率为1，代入导函数有：()23210x x -=<，解得=1x -.故答案为：1-23．1-【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再求切线方程即可.【详解】令2ln ()x y f x x==，42ln ()x x xy f x x -¢¢==，则(1)1k f ¢==，则方程为y x b =+，将(1,0)代入方程，得01b =+，解得1b =-，故答案为：1-24．22y x =+【分析】由题意令()2e 2xf x =¢=，解方程可得切点横坐标，进一步得到切点坐标即可得解.【详解】设()2e x f x =，令()2e 2xf x =¢=，得0x =，则切点为(0,2)，故所求l 的方程为22y x =+.故答案为：22y x =+.25．C【分析】由题意，设出切点，利用导数求出函数()e xf x =在该点的切线方程，对照已知的切线方程，得到k b -的解析式，故构造函数，利用导数知识求解其最小值即得.【详解】由()e xf x =可得()e x f x ¢=，设切点为()00,e x x ，则切线方程为()000e e x x y x x -=-，即()000e 1e ,x xy x x =+-依题意，()000e ,1e x x k b x ==-，故00e xk b x -=．设()e xg x x =， 则()()1e xg x x +¢=，当1x <-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，故()g x 的极小值为()11e g -=-，也是最小值，即k b -的最小值为1e -．故选：C.26．C【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -¢=+，所以过切点的切线方程为()()()000e 1e x x y x x x ----=+-，即()()001ee1x x y x x --=+-+，所以()0001e e 1x x a b x --ì=+ïí=-+ïî，所以002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----¢=-+-=-，所以当(),2x Î-¥时()0g x ¢<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x Î+¥时()0g x ¢>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C 27．D【分析】设出切点000(,ln ),(0)x x x >，写出切线方程，依题转化成000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，求得()g x 的单调区间和最大值即可得解.【详解】设切点为000(,ln ),(0)x x x >，由题得：1y x¢=，故切线斜率为01x ，切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-，因切线经过点()2,t ，则0001ln (2)t x x x-=-，故000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.不妨设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，则()ln ,g x t x ¢=-当0e t x <<时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；当e t x >时，()0g x ¢<，()g x 单调递减.故max ()(e )e 2t tg x g ==-，则e 20t ->，即ln 2t >.故选：D.28．A【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.【详解】设切点为()()02000,e 22x x x x -+，由()()2e 22x f x x x =-+可得()2e xf x x ¢=，则过坐标原点的切线的斜率()0020020e 22ex x x x k x x -+==，故()32000210x x x -+-=，即()()200120x x -+=，解得01x =，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A ．29．B【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，根据导数研究函数()g a 的图象可得结果.【详解】设过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切时的切点为(),a b ，则1e aa b +=，因为()()()2e 1e 1,e e ex x x xx x x xf x f x -++==-¢=，所以切线方程为()1e ea a a ay x a +-=--，又()1,P t -在切线上，所以()11e e a a a a t a +-=---，整理得2(1)e aa t +=，则过点()1,P t -的直线与函数()1ex x f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e aa g a +=的图象的公共点的个数，因为()()()()2221e (1)e 11e e a a a aa a a a g a ¢+-+-+-==，令()0g a ¢=，得1a =±，所以，当1a <-时，()()0,g a g a ¢<单调递减；当11a -<<时，()()0,g a g a ¢>单调递增；当1a >时，()()0,g a g a ¢<单调递减，因为()()410,1eg g -==，当a ®+¥时()0g a ®，所以，函数()g a 的图象大致如图：所以当4et =时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B.【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点()1,P t -的直线与函数()1e x x f x +=的图象相切的切线条数转化为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数()g a 的图象.30．B【分析】根据直线和曲线相切得到322340t t m -+=，结合导数及函数零点的个数可得答案.【详解】点()1,P m 不在函数()33f x x mx =-的图象上，则()113f m m =-¹，即14m ¹，设过点P 的直线与()33f x x mx =-的图象相切于()3,3Q t t mt -，则切线的斜率()323331t mt mk f t t m t --¢==-=-，整理可得322340t t m -+=，则问题可转化为()32234g t t t m =-+只有一个零点，且()266g t t t ¢=-，令()0g t ¢=，可得0t =或1t =，当(),0t Î-¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，当()0,1t Î时，()0g t ¢<，则()g t 单调递减，当()1,t Î+¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，即当0t =时，()g t 有极大值，当1t =时，()g t 有极小值，要使()32234g t t t m =-+仅有一个零点，(0)(1)00g g m ×>Þ<或14m >故选：B31．C【分析】设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>和5y x =+，转化为切点P 到直线50x y -+=的距离为平方，根据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>，直线5y x =+，设直线y x b =+与函数()y f x =的切点为00(,)P x y 可得()21f x x¢=-，可得()00211f x x ¢=-=，解得01x =，可得02y =，即切点坐标为(1,2)P ，则切点到直线50x y -+=的距离为d ，又因为()()221212x x y y -+-表示点P 到直线50x y -+=的距离为平方，所以()()221212x x y y -+-的最小值为28d =.故选：C.32．B【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令e e 1xy ¢==，得1x =-，代入曲线11e e y -==，所以PQ 的最小值即为点11,e æö-ç÷èø到直线1e y x =的距离d =.故选：B.33．A【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x ¢=Þ=+，当1ex >时，()()0,f x f x ¢>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x ¢<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P ¢=+=Þ=Þ=Þ，所以min PQ ==故选：A34．A【分析】先观察出函数关于1x =对称，在根据所求的式子可以判断1x >时比1x <的值要大，所以只需研究1x >的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.【详解】由函数解析式可知函数y 关于1x =对称，设z ()1x n n =<则z =()21x n n =-<，z =>即当1x >时z 的值要大于1x <时z 的值，所以只需研究1x >的情况即可， 当1x >时，12e 24x y x x -=+-，设1,4x a y b -=+=，b t a=则22222222111a ab b z b a a b t a b t++==+=++++， 根据复合函数单调性可知：()0,1t Î时，2z 递增，当(1,)t Î+¥，2z 递减.41b y t a x +==-，所以t 的几何意义是函数12e 24x y x x -=+-上一点与点()1,4-的斜率，设过点()1,4-的切线与函数12e 24x y x x -=+-的交点坐标（即切点）为()12,e24m m m m-+-(1)>m ，1e 44x y x -¢=+-，所以切线的斜率1e 44m k m -=+-，切线方程为()()()121e 24e 44m m y m m m x m ---+-=+--，把点()1,4-代入切线方程整理得：()()1e220m m m -+-=，所以2m =或1e 20m m -+=，设()1e 2mf m m -=+，()1e 20m f m -+¢=>，所以()f m 在(1,+∞)单调递增，所以()()13f m f >=，即1e 20m m -+=不合题意，所以2m =，此时切线的斜率1e 44e 4m k m -=+-=+，如图：[)e4,¥++，所以当e 4t =+时，2z 最大，此时z ==.故选：A【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或值域常用方法有：（1）换元法；（2）函数单调性法；（3）复合函数法；（4）数形结合；（5）导数法；（6）基本不等式.35．C【分析】求|PQ |的最小值转化为求P 到直线y x =的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案.【详解】e x y = 和ln y x =互为反函数，问题可以转化为直线y x =到e x y =距离的两倍.e x y ¢=，令e 1x =，得0,x =故切点为（0,1），min故选：C.。
第01讲 导数的概念及运算 (精讲+精练)(学生版)
第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。
导数的概念及其运算练习题
导数的概念及其运算1.函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为____________，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为________. 2.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率______________＝______________为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx＝______________. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点__________处的____________.相应地，切线方程为__________________. 3.函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝__________________为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4.基本初等函数的导数公式5.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝______________； (2)[f (x )·g (x )]′＝____________________； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________________ (g (x )≠0). 6.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝__________，即y 对x 的导数等于________的导数与________的导数的乘积. 要点梳理 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1ΔyΔx2.(1)lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx lim Δx →0 ΔyΔx lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2)(x 0，f (x 0)) 切线的斜率y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3.lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx4.0 nx n －1 cos x －sin x a x ln a (a >0) e x 1x ln a(a >0，且a ≠1) 1x 5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26.y ′u ·u ′x y 对u u 对x1. f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________.2.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8， 则f (5)＋f ′(5)＝______.3.已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.4.已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于 3x －y ＝0，则点P 的坐标为________.5.已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A.－3B.2C.－3或2D.12一、选择题1.(2011·山东)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( ) A.－9B.－3C.9D.152.已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A.e 2B.eC.ln 22D.ln 23.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A.4x －y －3＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0二、填空题4.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝_______________.5.已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为________________.6.设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是______________.基础自测1.32.23.－24.(1,0)5.B课时规范训练A组1.C2.B3.A4.－25.5x－16y＋3＝06.12x＋3y＋8＝0。
(复习指导)3.1 导数的概念及运算含解析
第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算必备知识预案自诊知识梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1(或ΔyΔx).2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的.3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的,通常也简称为导数.4.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=;(2)[f(x)·g(x)]'=;(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)f'(x 0)是函数y=f (x )在x=x 0附近的平均变化率. ( ) (2)求f'(x 0)时,可先求f (x 0)再求f'(x 0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)曲线y=f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线与过点P (x 0,y 0)的切线相同.( )2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s 后的位移为s=13t 3-32t 2+2t ,那么速度为零的时刻是( )A .0 sB .1 s 末C .2 s 末D .1 s 末和2 s 末3.(2020全国1,理6)函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1,f (1))处的切线方程为( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+14.(2020山东淄博一模,13)曲线f (x )=1x +ln 1x 在点(1,f (1))处的切线方程是 .5.(2020全国3,文15)设函数f (x )=e xx+a .若f'(1)=e4,则a= .关键能力学案突破考点导数的运算【例1】分别求下列函数的导数. (1)y=e x ·cos x ; (2)y=x (x 2+1x+1x 3); (3)y=x-sin x2cos x 2;√1+x 2.?解题心得函数求导应遵循的原则(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+1x;(3)y=cosxe x;(4)y=ln(2x-5).考点导数几何意义的应用(多考向探究)考向1过函数图像上一点求切线方程【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.对点训练2(1)已知函数f(x)=x ln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0(2)(2020全国1,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.考向2已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】(1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=e x+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是.的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的(2)设a∈R,函数f(x)=e x+ae x斜率是3,则切点的横坐标为.2解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(x>0)上点P处的切线垂直,则点P 对点训练3设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x的坐标为.考向3已知切线方程(或斜率)求参数的值【例4】若曲线f(x)=x ln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=ax ln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为,.1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.2.导数的几何意义是函数的图像在切点处的切线斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求在该点处的导数值k=f'(x0);(2)已知斜率k,求切点B(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k;(3)已知切线过某点M(x1,f(x1))(不是切点)求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0)),求导数得出斜率k=第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算必备知识·预案自诊知识梳理2.(2)斜率3.导函数4.αxα-1cos x-sin x1cos2x -1sin2xa x ln a e x1xlna1x5.(1)f'(x)±g'(x)(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)6.y'u ·u'x y 对u u 对x考点自诊1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2.D ∵s=13t 3-32t 2+2t ,∴v=s'=t 2-3t+2.令v=0,则t 2-3t+2=0,解得t 1=1,t 2=2.故选D . 3.B 对函数f (x )求导可得f'(x )=4x 3-6x 2,由导数的几何意义知在点(1,f (1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f (1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.4.2x+y-3=0 由已知,f'(x )=-1x 2−1x ,所以f'(1)=-2.又因为f (1)=1,所以切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0. 5.1 对函数f (x )=e xx+a 求导得f'(x )=e x (x+a -1)(x+a )2,由题意得f'(1)=e ·a(1+a )2=e4,解得a=1.关键能力·学案突破例1解(1)y'=(e x )'cos x+e x (cos x )'=e x cos x-e x sin x.(2)∵y=x 3+1+1x2,∴y'=3x 2-2x3. (3)∵y=x-sin x2cos x2=x-12sin x , ∴y'=(x -12sinx)'=1-12cos x. (4)y=ln √1+x 2=12ln(1+x 2), ∴y'=12·11+x 2(1+x 2)'=12·11+x 2·2x=x1+x 2.对点训练1解(1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x )'=2x sin x+x 2cos x.(2)y'=ln x+1x'=(ln x )'+1x'=1x −1x 2. (3)y'=cosx e x ' =(cosx )'e x -cosx (e x )'(e x )2=-sinx+cosxe x. (4)令u=2x-5,y=ln u ,则y'=(ln u )'u'=12x -5·2=22x -5,即y'=22x -5. 例2解(1)∵f'(x )=3x 2-8x+5,∴f'(2)=1,又f (2)=-2,∴曲线在点(2,f (2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点A (2,-2)的切线相切于点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4).∵f'(x 0)=3x 02-8x 0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x 02-8x 0+5)(x-2).又切线过点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4),∴x 03-4x 02+5x 0-2=(3x 02-8x 0+5)(x 0-2),整理得(x 0-2)2(x 0-1)=0,解得x 0=2或1,∴经过A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.对点训练2(1)B (2)y=2x (1)f'(x )=ln x+1,x>0,设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f (x )的图像的切点为(x 0,y 0),则{kx 0-1=y 0,x 0lnx 0=y 0,lnx 0+1=k .解得{x 0=1,y 0=0,k =1.所以直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0. (2)设切点坐标为(x 0,y 0).对y=ln x+x+1求导可得y'=1x +1. 由题意得,1x 0+1=2,解得x 0=1,故y 0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.例3(1)(0,2) (2)ln 2 (1)由题意,得y'=e x ,且切线斜率为1,设切点为P (x ,y ),则e x =1,所以x=0,y=e 0+1=2,故切点P 的坐标为(0,2).(2)函数f (x )=e x +a e x 的导函数是f'(x )=e x -ae x .又因为f'(x )是奇函数,所以f'(x )=-f'(-x ),即e x -ae x =-(e -x -a·e x ),则e x (1-a )=e -x (a-1),所以(e 2x+1)·(1-a )=0,解得a=1.所以f'(x )=e x -1e x .令e x -1e x =32,解得e x =2或e x =-12(舍去),所以x=ln2. 对点训练3(1,1) ∵函数y=e x 的导函数为y'=e x ,∴曲线y=e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1.设P (x 0,y 0)(x 0>0).∵函数y=1x 的导函数为y'=-1x 2,∴曲线y=1x (x>0)在点P 处的切线的斜率k 2=-1x 02.由题意可知,k 1k 2=-1,即1·(-1x 02)=-1,所以x 02=1.又x 0>0,∴x 0=1.又点P 在曲线y=1x (x>0)上,∴y 0=1.故点P 的坐标为(1,1). 例4解(1)设点P 坐标为(n ,n ).f (x )=x ln x+2m 的导数为f'(x )=1+ln x ,点P (n ,n )处的切线斜率为1+ln n=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m ,解得m=12.(2)f (x )=x ln x+1.设切点为(u ,v ),则切线的斜率为f'(u )=1+ln u ,即有切线的方程为y-u ln u-1=(1+ln u )(x-u ).代入点Q (1,t ),即有t-u ln u-1=(1+ln u )(1-u ).即为t-2=ln u-u ,在(0,+∞)上有两实数解,记g (u )=ln u-u ,导数为g'(u )=1u -1.当u>1时,g (u )递减,当0<u<1时,g (u )递增,可得当u=1时,取得最大值g (1)=-1,即有t-2<-1,解得t<1.故实数t 的取值范围为(-∞,1).对点训练41 -1 将点(e,f (e))代入直线y=3x-e 的方程得f (e)=3e -e =2e .f (x )=ax ln x-bx ,则f'(x )=a ln x+a-b.由题意得{f (e )=(a -b )e =2e ,f '(e )=2a -b =3,解得{a =1,b =-1.。
导数的概念及运算练习含答案
第1讲导数的概念及运算一、选择题1．设y＝x2e x，则y′＝() A．x2e x＋2x B．2x e xC．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案 C2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于() A．－e B．－1C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是() A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－e C.1e D．－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1 B.1 2C．－2 D．2解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案 A二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析 由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0. 11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y ＝x－2的最小距离为()A．1 B.32 C.52 D. 2解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
2024届新高考数学复习：专项(导数的概念及运算)历年好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（导数的概念及运算）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－42．已知函数f (x )＝g (x )＋2x 且曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)ꞏ(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2155．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x6．已知曲线y ＝x 24 －3ln x 的一条切线的斜率为－12 ，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．127．f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝2 ，则实数a 的值为( ) A ．23 B ．12C ．34D ．18．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与二次曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．89．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对于任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)二、填空题10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝12t3－t，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为________．11．已知函数f(x)＝e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．12．若曲线y＝e－x在点P处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则点P的坐标是________．[强化练习]13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋114．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则t的取值可以是()A．0 B．1 27C．128D．12915．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)e x＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．16．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．参考答案1．D ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，∴f (x )＝－4x ＋x 2，∴f ′(x )＝－4＋2x ，∴f ′(0)＝－4.2．B ∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2.∵函数f (x )＝g (x )＋2x ，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2＝g ′(1)＋2，∴f ′(1)＝2＋2＝4，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为4.故选B.3．D 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以当x ＝1时，y ′＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1b ＝－1. 4．C ∵函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.5．D ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴a －1＝0，得a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x ，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ，故选D.6．B 令y ′＝2x 4 －3x ＝－12 ，解得x ＝－3(舍去)或x ＝2.故切点的横坐标为2，故选B.7．B ∵f ′(x )＝cos x －a sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝22 －22 a ＝24 ，得a ＝12 . 8．D 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，∴当x ＝1时，y ′＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，得ax 2＋ax ＋2＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2－8a ＝0， 得a ＝8. 9．B 设g (x )＝f (x )－2x －4，g ′(x )＝f ′(x )－2，由题意得g ′(x )>0恒成立，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，又f (x )>2x ＋4等价于g (x )>0，∴原不等式的解为x >－1.10．5答案解析：由题知s ′＝32 t 2－1，故当t ＝2时，该物体的瞬时速度为32 ×22－1＝5.11．e答案解析：f ′(x )＝e x ꞏln x ＋e x x ，∴f ′(1)＝e.12．(－ln 2，2)答案解析：∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，设P (x 0，y 0)，由题意得－e －x 0＝－2，∴e －x 0＝2，∴－x 0＝ln 2，x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2，2).13．B f ′(x )＝4x 3－6x 2，则f ′(1)＝－2，易知f (1)＝－1，由点斜式可得函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B.14．CD ∵f (x )＝－x 3＋2x 2－x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋4x －1.由已知得，过点P (1，t )作曲线y ＝f (x )的三条切线，情况如下：①点P (1，t )在曲线上，此时切点为P (1，t )，把P 点坐标代入函数答案解析式可得P (1，0)，利用切线公式得y ＝f ′(1)(x －1)，所以切线为x 轴，但此时切线只有一条，不符合题意．②点P (1，t )不在曲线上，设切点为(x 0，y 0)，又切线经过点P (1，t )，所以切线方程为y －t ＝f ′(x 0)(x －1). 因为切线经过切点，所以y 0－t ＝(－3x 20 ＋4x 0－1)(x 0－1).又因为切点在曲线上，所以y 0＝－x 30 ＋2x 20 －x 0.联立方程得化简得t ＝2x 30 －5x 20 ＋4x 0－1. 令g (x )＝2x 3－5x 2＋4x －1，即t ＝g (x )有三个解，即直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点．令g ′(x )＝6x 2－10x ＋4＝2(x －1)(3x －2)＝0，可得两极值点为x 1＝1，x 2＝23 .所以x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23 和(1，＋∞)时，g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫23，1 时，g (x )单调递减， 所以当g (1)＝0＜t ＜127 ＝g ⎝⎛⎭⎫23 时，满足直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点，而0＜129 ＜128 ＜127 ，故选CD.15．－2答案解析：因为f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x ＝x e x ，所以切线l 的斜率为f ′(1)＝e ，由f (1)＝3e 知切点坐标为(1，3e)，所以切线l 的方程为y －3e ＝e(x －1).令y ＝0，解得x ＝－2，故直线l 的横截距为－2.16．(－∞，－4)∪(0，＋∞)答案解析：设切线的切点坐标为(x 0，y 0).令f (x )＝(x ＋a )e x ，则f ′(x )＝(x ＋1＋a )e x ，f ′(x 0)＝(x 0＋1＋a )e x 0.因为y 0＝(x 0＋a )e x 0，切线过原点，所以f ′(x 0)＝y 0x 0，即(x 0＋1＋a )ꞏe x 0＝（x 0＋a ）e x 0x 0.整理，得x 20 ＋ax 0－a ＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＜－4或a ＞0.。
高考复习 第3篇 第1讲 导数的概念及运算知识点+例题+练习 含答案
第1讲 导数的概念及运算知 识 梳 理1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．可表示为“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→A ”．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的切线的斜率．2．函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数．该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．辨 析 感 悟1．对导数概念的理解(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×) 2．对导数的几何和物理意义的理解(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝0.(×) (5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×)3．导数运算问题(6)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2a －2x .(×)(7)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2.(×) (8)函数y ＝e xx 的导数是y ′＝x e x ＋e x x 2.(×) [感悟·提升]1．一个区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线唯一，若斜率存在时，切线的斜率k ＝f ′(x 0)；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．2．三个防范 一是并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y ＝|x |在x ＝0处就没有导数．二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别，如(3)．三是对函数求导要看准自变量，是对自变量的求导，而不是对其它参数的求导，如(6)．考点一 导数的运算【例1】 (1)求下列函数的导数：①y ＝x 2sin x ； ②y ＝ln x e x .(2)(2014·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 012＋ln x )，f ′(x 0)＝2 013，则x 0＝________.规律方法 (1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混．(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．【训练1】 (1)已知f (x )＝ln xx 2＋1，则f ′(1)＝________.(2)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．考点二 利用导数的几何意义求曲线的切线方程【例2】 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．规律方法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程．【训练2】 (1)(2014·扬州期末)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．考点三利用曲线的切线方程求参数【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周【典例】(2014·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x 和y＝x2＋a都相切，则a的值是________．[防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P处的切线与在点P处的切线的差异．(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．【自主体验】若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于________．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________．2．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.3．(2014·辽宁五校联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．4．(2014·烟台期末)设函数f(x)＝x sin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．5．曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点M⎝⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________．6．(2013·广东卷)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.7．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.8．(2013·江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.二、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝(x ＋1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1.10．(2014·南通二模)f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数． (1)求曲线y ＝g (x )在点P (1，g (1))处的切线l .(2)是否存在常数a ，使l 也是曲线y ＝f (x )的一条切线．若存在，求a 的值；若不存在，简要说明理由．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·盐城一模)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围是________．2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *，则f 2 013(x )＝________.3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．二、解答题4．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________．解析∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.答案y＝02．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案 e3．(2014·辽宁五校联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．解析由题意知y′＝3x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．答案(1,3)4．(2014·烟台期末)设函数f(x)＝x sin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．解析函数f(x)的导函数为f′(x)＝(x sin x＋cos x)′＝x cos x，即k＝g(t)＝t cos t，则函数g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除①，③.当0＜t＜π2时，g(t)＞0，所以排除④，选②.答案 ②5．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________． 解析 y ′＝cos 2x ＋sin 2x (sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， 故所求切线斜率k ＝＝12.答案 126．(2013·广东卷)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析 y ′＝2ax －1x ，∴y ′|x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝12.答案 127．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.答案 －28．(2013·江西卷)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析 y ′＝αx α－1，∴斜率k ＝y ′|x ＝1＝α＝2－01－0＝2，∴α＝2. 答案 2二、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝(x ＋1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1. 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)先使用三角公式进行化简，得y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (4)先化简，y ＝x ·1x －x ＋1x－1＝∴y ′＝＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x . 10．(2014·南通二模)f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求曲线y ＝g (x )在点P (1，g (1))处的切线l .(2)是否存在常数a ，使l 也是曲线y ＝f (x )的一条切线．若存在，求a 的值；若不存在，简要说明理由．解 (1)由题意知，g (1)＝0，又g ′(x )＝1x ，g ′(1)＝1，所以直线l 的方程为y ＝x－1.(2)设y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线为l ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ax 0－1x 0＝x 0－1，a ＋1x 20＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，a ＝34，此时f (2)＝1，即当a ＝34时，l 是曲线y ＝f (x )在点Q (2,1)的切线．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·盐城一模)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围是________． 解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，y ′＝2x ＋2，则k ＝tan α＝2x 0＋2∈[0,1]，解得x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *，则f 2 013(x )＝________.解析 f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f 2 013(x )f 1(x )＝cos x .答案 cos x3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝12 013，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013(x 1x 2…x 2 012)＝－1.答案 －1二、解答题4．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。
(完整版)导数的概念与计算练习题带答案.docx
导数概念与计算1．若函数 f ( x) ax4bx2 c ，足 f '(1) 2 ， f '(1)（）A ．1B．2C．2D． 02．已知点P在曲 f (x)x4x 上，曲在点P的切平行于直 3 x y0 ，点P的坐（）A ． (0,0)B．(1,1)C．(0,1)D． (1,0)3．已知 f ( x) x ln x ，若 f'(x0 ) 2 ， x0（）A ． e2B． e C． ln 2D．ln224．曲 y e x在点 A(0,1) 的切斜率（）A ． 1B． 2C． e D．1e5． f 0 ( x)sin x ， f1 ( x)f0'( x) ， f 2 ( x)f1 '(x) ，⋯， f n1 ( x)f n '(x) ，n N ，f2013( x)等于（）A ．sin x B．sin x C． cosx D． cosx6．已知函数 f (x) 的函数 f '( x) ，且足 f ( x)2xf'(1) ln x， f '(1)（）A ． e B．1C．1D． e7．曲 y ln x 在与 x 交点的切方程________________ ．8．原点作曲 y e x的切，切点的坐________，切的斜率 ____________．9．求下列函数的数，并尽量把数形因式的或商的形式：（ 1） f (x) ax 1（ 2） f (x)e x2ln x1 ax2 x（ 3） f (x) x1ax2ln(1 x)（ 4） y xcos x sin x2（ 5） y xe1 cos x（ 6） y e x1e x110．已知函数 f ( x) ln( x 1)x ．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）求证：当 x 1 时，11ln( x 1) x ．x111．设函数 f (x)ax b ，曲线y f (x)在点(2, f (2))处的切线方程为7 x 4 y120 ．x（Ⅰ）求 f ( x)的解析式；（Ⅱ）证明：曲线y f (x)上任一点处的切线与直线x0 和直线y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数 f (x) x2e x xe x．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）若当x [ 2,2] 时，不等式 f (x) m 恒成立，求实数m 的取值范围．导数作业 1 答案——导数概念与计算1．若函数 f ( x)ax4bx2 c ，足 f '(1) 2 ， f '( 1) （）A ．1B．2C．2D． 0B ．2．已知点P在曲 f (x)x4x 上，曲在点P的切平行于直 3 x y0 ，点P的坐（）A ． (0,0)B． (1,1)C． (0,1)D． (1,0)解：由意知，函数43－1＝ 3，f（ x）＝ x － x 在点 P 的切的斜率等于3，即 f ′（ x0）＝ 4x0∴x0＝1，将其代入 f （ x）中可得 P（1,0）． D ．3．已知 f ( x)x ln x ，若 f '(x0 ) 2 ， x0（）A ． e2B． e C． ln 22解： f（x）的定域（0，＋∞），f′（ x）＝ ln x＋ 1，由 f′（ x0）＝ 2，即ln x0＋ 1＝ 2，解得 x0＝e.D．ln2B ．4．曲 y e x在点 A(0,1) 的切斜率（）A ． 1B． 2C． e 解：∵ y′＝ e x，故所求切斜率k＝ e x|x＝0＝ e0＝ 1.A ．D．1e5． f 0 ( x)sin x ， f1 ( x) f0'( x) ， f 2 ( x)f1 '(x) ，⋯， f n 1 ( x)f n '(x) ，n N ，f2013( x)等于（）A ．sin x B．sin x C． cosx D．cosx解：∵ f0（ x）＝ sin x， f1（ x）＝ cos x，f2（ x）＝－ sin x，f 3（ x）＝－ cos x， f4（ x）＝ sin x，⋯∴f n（ x）＝ f n＋4（ x），故 f2 012（ x）＝ f0（ x）＝ sin x，∴f2 013（ x）＝ f′2012（ x）＝ cos x.C．6．已知函数 f (x) 的函数 f '( x) ，且足 f ( x) 2xf '(1) ln x ， f '(1)（）A ．e B．1C．1D． e解：由 f（ x）＝ 2xf′（ 1）＋ ln x，得 f′（x）＝ 2f′（1）＋1，x∴f ′（ 1）＝ 2f ′（ 1）＋ 1，则 f ′（ 1）＝－ 1.选 B ．7．曲线 y ln x 在与 x 轴交点的切线方程为 ________________ ．解：由 y ＝ ln x 得， y ′＝ 1，∴ y ′|＝x x 1＝ 1，∴曲线 y ＝ln x 在与 x 轴交点（ 1,0）处的切线方程为y ＝x － 1，即 x － y － 1＝ 0.8．过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为 ____________．解：y ′＝ e x，设切点的坐标为 （ x 0，y 0）则y 0＝ ex 0，即 ex 0＝ ex 0，∴ x 0＝ 1.因此切点的坐标为（ 1，x 0 x 0e ），切线的斜率为 e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：1 （ 1） f (x)ax2ln xxe x（2）f (x)1 ax 2（ 3） f (x) x1 ax2 ln(1 x)2 （ 4） y xcos xsin x∵ y ＝xcos x － sin x ，∴ y ′＝ cos x － xsin x － cos x ＝－ xsin x.（ 5） yxe 1 cos x∵ y ＝xe 1－cos x ，∴ y ′＝ e 1－cos x ＋xe 1 －cos x （ sin x ）＝（ 1＋ xsin x ） e 1 －cos x .x1（ 6） yee x 1e x ＋ 12 ∴ y ′＝－ 2x－ 2e xy ＝ x＝ 1＋ xx e＝ x .e － 1e －1 (e － 1)2(e － 1)210．已知函数 f ( x) ln( x 1) x ．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）求证：当 x1 时， 11 ln( x 1) x ．x1解：（ 1）函数 f （ x ）的定义域为（－ 1，＋ ∞）．1－x f ′（ x ）＝ x ＋1－ 1＝ x ＋ 1f ′（ x ）与 f （ x ）随 x 变化情况如下：x （－ 1,0） 0（ 0，＋ ∞）f ′（ x ） ＋ 0 －f （x ）因此 f （ x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（ 0，＋ ∞）．（2）证明由（ 1） 知 f （ x ） ≤f （ 0）．即 ln （x ＋ 1） ≤x设 h （ x ）＝ ln （x ＋ 1）＋1－ 1x ＋ 1h ′（ x ）＝ 1－1 2＝x 2x ＋ 1x ＋ 1x ＋1可判断出 h （ x ）在（－ 1,0）上递减，在（ 0，＋ ∞）上递增．因此 h （ x ）≥h （ 0）即 ln （ x ＋ 1）≥1－1x ＋ 1.1所以当 x>－ 1 时 1－x ＋ 1≤ ln （ x ＋ 1）≤x.11．设函数 f (x)axb，曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x 4 y12 0 ．x（Ⅰ）求 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线y f (x) 上任一点处的切线与直线x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解方程 7x － 4y － 12＝ 0 可化为 y ＝7x － 3，42a － b ＝ 1，当 x ＝ 2 时， y ＝ 1 .又 f ′（ x ）＝ a ＋ b2 ，于是222x b ＝ 7，a ＋44a ＝1， 3解得故 f （ x ）＝ x － .b ＝ 3.x（2）证明 设 P （x 0 ，y 0）为曲线上任一点，由 f ′（ x ）＝ 1＋ 32知，曲线在点 P （ x 0， y 0 ）处的切线方程为 y － y 0＝ 1＋ 32 （ x －x 0），x x 0即 y － x 0－ 3 ＝ 1＋ 32 （ x － x 0）．xx令 x ＝ 0 得， y ＝－ 6，从而得切线与直线 x ＝ 0 交点坐标为6.x 00，－ x 0令 y ＝ x ，得 y ＝x ＝ 2x 0，从而得切线与直线y ＝ x 的交点坐标为（ 2x 0,2x 0）．所以点 P （ x 0， y 0）处的切线与直线 x ＝ 0， y ＝ x 所围成的三角形面积为162－ x 0 |2x 0|＝ 6.故曲线 y＝ f（ x）上任一点处的切线与直线x＝0 和直线 y＝ x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.12．设函数 f (x) x2e x xe x．（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）若当 x[ 2,2]时，不等式 f (x) m 恒成立，求实数 m 的取值范围．解（ 1）函数 f（ x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（ x）＝ 2x＋e x－（ e x＋ xe x）＝ x（ 2－e x），x(,0)0(0,ln 2)ln2(ln 2, )f '(x)-0+0-f (x)递减极小递增极大递减所以，递增区间为(0,ln2) ，递减区间为 (,0) 和 (ln 2,) ．（2）由（ 1）可知x2(2,0)0(0,ln 2)ln2(ln 2,2)2f '( x)-0+0-f ( x)递减极小递增极大递减因为， f (0) 1， f (2)4e22e2 4 e21所以， f (x)min f (2)4e2故 m 4 e2．。
精编导数的概念与计算练习题带答案
导数概念与计算1．若函数f(x)ax4 bx2 c，满足f'(1) 2，则f'( 1) （）A．1 B．2 C．2 D．02．已知点P在曲线f(x) x4 x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x y 0，则点P的坐标为（）A．(0,0) B．(1,1) C． (0,1) D．(1,0)3．已知f(x)xlnx，若f '(x0)2，则x0 （）A．e2 B．e C．ln2D．ln2 24．曲线y e x在点A(0,1)处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．1e5．设f0(x) sinx，f1(x) f0 '(x)，f2(x) f1'(x)，⋯，f n 1(x) f n'(x)，n N，则f2013(x) 等于（）A．sinx B．sinx C．cosx D．cosx6．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x) 2xf '(1)lnx ，则f'(1) （）A．e B．1 C．1 D．e7．曲线y lnx在与x轴交点的切线方程为________________．8．过原点作曲线y e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1）f(x)ax 1（2）f(x)e x2lnx1ax2 x（3）f(x)x 1 ax2 ln(1x) （4）yxcosxsinx2（5）yxe1cosx （6）y e x 1e x 110．已知函数f(x)ln(x1)x．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）求证：当x 1时，11ln(x1)x．x 111．设函数f(x)axb，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x4y120．x（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）证明：曲线y f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线y x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．12．设函数f(x)x2e x xe x．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若当x[2,2]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．导数作业1答案——导数概念与计算1．若函数f(x)ax4 bx2 c，满足f'(1) 2，则f'(1) （）A．1 B．2 C．2 D．0选B．2．已知点P在曲线f(x) x4 x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x y0，则点P的坐标为（）A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．(1,0)解：由题意知，函数4 3－1＝3，f（x）＝x－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′（x0）＝4x0∴x0＝1，将其代入f （x）中可得P（1,0）．选D．3．已知f(x) xlnx，若f '(x0)2，则x0 （）A．e2 B．e C．ln2D．ln2 2解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝lnx＋1，由f′（x）＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.选B．4．曲线ye x在点A(0,1)处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．1e解：∵y′＝e x，故所求切线斜率k＝e x|x＝0＝e0＝1.选A．5．设f0(x) sinx，f1(x) f0 '(x)，f2(x) f1'(x)，⋯，f n 1(x) f n'(x)，n N，则f2013(x) 等于（）A．sinx B．sinx C．cosx D．cosx解：∵f0（x）＝sinx，f1（x）＝cosx，f2（x）＝－sinx，f3（x）＝－cosx，f4（x）＝sinx，⋯∴f n（x）＝f n＋4（x），故f2012（x）＝f0（x）＝sinx，∴f2013（x）＝f′2012（x）＝cosx.选C．6．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)2xf'(1)lnx，则f'(1)（）A．e B．1C．1D．e解：由f（x）＝2xf′（1）＋lnx，得f′（x）＝2f′（1）＋1，x∴f′（1）＝2f′（1）＋1，则f′（1）＝－1.选B．7．曲线y lnx在与x轴交点的切线方程为________________．解：由y＝lnx得，y′＝1，∴y′|＝x x1＝1，∴曲线y＝lnx在与x轴交点（1,0）处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.8．过原点作曲线y e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．解：y′＝e x，设切点的坐标为（x0，y0）则y0＝ex0，即ex0＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为（1，0 0e），切线的斜率为 e.9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：（1）f(x) ax 12lnx x（2）f(x)e x1 ax2（3）f(x) x 1ax2ln(1x) 2（4）yxcosx sinx∵y＝xcosx－sinx，∴y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.（5）y xe1cosx∵y＝xe1－cosx，∴y′＝e1－cosx＋xe1－cosx（sinx）＝（1＋xsinx）e1－cosx.x1（6）yee x 1e x＋12 ∴y′＝－2 x－2e xy＝x ＝1＋x xe ＝x.e －1 e －1 (e－1)2 (e－1)2 10．已知函数f(x) ln(x1) x．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）求证：当x1时，111) x．ln(xx 1解：（1）函数f（x）的定义域为（－1，＋∞）．－x1－1＝f′（x）＝x＋1x＋1f′（x）与f（x）随x变化情况如下：x （－1,0 ）0（0，＋∞）f′（x）＋0 －f（x）0因此f（x）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）．（2）证明由（1）知f（x）≤f（0）．即ln（x＋1）≤x设h（x）＝ln（x＋1）＋1－1 x＋1h′（x）＝1－12＝x2x＋1 x＋1 x＋1可判断出h（x）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增．因此h（x）≥h（0）即ln（x＋1）≥1－1x＋1.1所以当x>－1时1－x＋1≤ln（x＋1）≤x.11．设函数f(x) ax b，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x4y120．x（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．（1）解方程7x－4y－12＝0可化为y＝7x－3，42a－b＝1，当x＝2 时，y＝1.又f′（x）＝a＋b2，于是2 22 x b＝7，a＋44a＝1， 3解得故f（x）＝x－.b＝3. x（2）证明设P（x0 ，y0）为曲线上任一点，由f′（x）＝1＋32知，曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝1＋32（x－x0），x x0即y－x0－3＝1＋32（x－x0）．x x令x＝0得，y＝－6，从而得切线与直线x＝0交点坐标为 6.x00，－x0令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为1 62－x0|2x0|＝6.故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线 x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6. 12．设函数 f(x)x2exxe x．（Ⅰ）求 f(x)的单调区间； （Ⅱ）若当x[2,2]时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数m 的取值范围．解（1）函数f （x ）的定义域为（－∞，＋∞），f ′（x ）＝2x ＋e x－（e x＋xe x）＝x （2－e x），x ( ,0)0 (0,ln2) ln2(ln2,) f'(x) - 0 + 0 - f(x)递减极小递增 极大 递减所以，递增区间为 (0,ln 2)，递减区间为(,0)和(ln2,)．（2）由（1）可知x 2( 2,0) 0 (0,ln2) ln2(ln2,2)2f'(x)- 0+ 0-f(x)递减 极小 递增 极大 递减因为，f(0)1，f(2) 4 e 22e 24e21所以，f(x)min f(2)4e2故m4e 2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
此，导数的定义式可写成
f ( x0)
lim f (x0 xo
x) f (x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) .
x
x x0
x x0
2.求函数 y f (x) 的导数的一般步骤： 1 求函数的改变量 y f ( x x) f ( x)
2 求平均变化率
y x
f (x
x)
f ( x)
；
3
取极限，得导数
1 y ex ln x
2
y
ex 1 ex 1
3 y sin x 1 cos x
4 y x2 1 sin x x cos x
5 y 3 x ex 2 x 导数
（ 1） y x3 x2 4
（2） y
sin x x
3
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
① C ' 0 ，（C 是常数）
② (sin x)' cos x
③ (cos x) ' sin x
④ ( x n ) ' nxn 1
⑤ ( a x ) ' a x ln a
⑥ (e x ) ' ex
⑦ (log a x) '
1 x ln a
⑧ (ln x) '
1 x
⑨ (tan x) '
1 cos2 x
0 时， y 与 x 的比 y x
（也叫函数的平均变化率）有极限即
y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函
x
数 y f ( x) 在 x
x0 处的导数，记作 y x x0 ，即 f ( x0 )
lim f ( x0 x0
x) f (x0) x
在定义式中，设 x x0 x，则 x x x0 ，当 x 趋近于 0 时， x 趋近于 x0 ，因
f ( x) 在开区间 (a,b) ( x (a,b))
上导数 f ( x) 在 x0 处的函数值，即 y x x0 ＝ f ( x0 ) . 所以函数 y f ( x) 在 x0 处的导数也
1
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
记作 f ( x0 )
3， 求下列函数的导数
y 3 2x
4， 求下列函数的导数
（ 1） y= 1 2x cos x
（ 2）y= ln ( x+ 1 x2 )
5 ，设 y ln( x x 1) 求 y .
跟踪练习 :
求下函数的导数 .
6,（ 1） y
cos x 3
（2） y 2x 1
5
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
（ 3） y 3cos x 4sin x
（ 4） y 2x 3 2
（ 5） y ln x 2
三，复合函数的导数 链式法则
若 y= f (u)， u= ( x)
y= f [ ( x) ] ，则
y x = f (u) ( x)
若 y= f (u)， u= (v) ，v= ( x)
y= f [ ( (x)) ] ，则
[ f (x)] ' g( x)
f ' (x) g( x) g ' ( x) f ( x) g 2 ( x)
2，复合函数的求导法则：复合函数
数间的关系为 yx ' yu ' ux ' .
y f (g( x)) 的导数和函数 y f (u) ， u g( x) 的导
题型 1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：
（ 2）法则： [ f (x)
g( x)] '
⑩（ cot x) ' [ f ( x)] ' [ g ( x)] ' ，
1 sin 2 x
[ f ( x)g (x)] ' f ' (x) g( x) g ' ( x) f (x)
2
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
y f (x) 在 点 x0 可 导 ， 则 曲 线 y f ( x) 在 点 （ x0, f ( x0 ) ） 处 的 切 线 方 程 为
y f (x0) f ( x0 )( x x0 )
4.导函数 ( 导数 ): 如果函数 y f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一
y x = f (u) (v) ( x)
说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，
且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外
到内，逐层求导。
1， 函数 y
1 (1 3x) 4 的导数 .
2，求 y
5
x
的导数．
1x
4
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
y
x
f ( x) lim y x0 x
3.导数的几何意义：
导数 f (x0)
lim f ( x0 x0
x) x
f (x0 ) 是函数 y
f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化率，它
反映的函数 y f ( x) 在点 x0 处变．化．的快慢程度 .
它的几何意义是曲线
y f ( x) 上点（ x0, f ( x0 ) ）处的切线的斜率 . 因此，如果
1．用导数的定义求下列函数的导数：
1
y
f ( x)
x2 ； 2
y
f ( x)
4 x2
2． 1 已知 lim f ( x0 2△ x)
△x 0
3△x
f ( x0 )
1，求 f (x0 )
2 若 f (3)
2 ，则 lim x1
f (3)
f (1 x1
2x)
二，导数的四则计算
常用的导数公式及求导法则：
（ 1）公式
个 x (a, b) ，都对应着一个确定的导数 f ( x) ，从而构成了一个新的函数 f (x) , 称这个
函数 f ( x) 为函数 y f (x) 在开区间内的导函数， 简称导数， 也可记作 y ，即 f ( x) ＝ y
＝ lim y x0 x
lim f ( x x0
x) f ( x) x
函数 y f ( x) 在 x 0 处的导数 y x x0 就是函数 y
7， (1) y=(5 x－3)4
(2) y=(2+3 x)5
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
一，导数的概念
导数的概念及运算
1. 设函数 y f ( x) 在 x x0 处附近有定义，当自变量在 x x0 处有增量 x 时，则函数
y f ( x) 相应地有增量 y f ( x0
x) f ( x0 ) ，如果 x