导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)精编版

① C ' 0 ，（C 是常数）
② (sin x)' cos x
③ (cos x) ' sin x
④ ( x n ) ' nxn 1
⑤ ( a x ) ' a x ln a
⑥ (e x ) ' ex
⑦ (log a x) '
1 x ln a
⑧ (ln x) '
1 x
⑨ (tan x) '
1 cos2 x
y x = f (u) (v) ( x)
说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，
且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外
到内，逐层求导。
1， 函数 y
1 (1 3x) 4 的导数 .
2，求 y
5
x
的导数．
1x
4
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此，导数的定义式可写成
f ( x0)
lim f (x0 xo
x) f (x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) .
x
x x0
x x0
2.求函数 y f (x) 的导数的一般步骤： 1 求函数的改变量 y f ( x x) f ( x)
2 求平均变化率
y x
f (x
x)
f ( x)
；
3
取极限，得导数
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一，导数的概念
导数的概念及运算
1. 设函数 y f ( x) 在 x x0 处附近有定义，当自变量在 x x0 处有增量 x 时，则函数
y f ( x) 相应地有增量 y f ( x0
x) f ( x0 ) ，如果 x
y
x
f ( x) lim y x0 x
3.导数的几何意义：
导数 f (x0)
lim f ( x0 x0
x) x
f (x0 ) 是函数 y
f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化率，它
反映的函数 y f ( x) 在点 x0 处变．化．的快慢程度 .
它的几何意义是曲线
y f ( x) 上点（ x0, f ( x0 ) ）处的切线的斜率 . 因此，如果
（ 2）法则： [ f (x)
Hale Waihona Puke Baidu
g( x)] '
⑩（ cot x) ' [ f ( x)] ' [ g ( x)] ' ，
1 sin 2 x
[ f ( x)g (x)] ' f ' (x) g( x) g ' ( x) f (x)
2
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[ f (x)] ' g( x)
f ' (x) g( x) g ' ( x) f ( x) g 2 ( x)
2，复合函数的求导法则：复合函数
数间的关系为 yx ' yu ' ux ' .
y f (g( x)) 的导数和函数 y f (u) ， u g( x) 的导
题型 1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：
7， (1) y=(5 x－3)4
(2) y=(2+3 x)5
f ( x) 在开区间 (a,b) ( x (a,b))
上导数 f ( x) 在 x0 处的函数值，即 y x x0 ＝ f ( x0 ) . 所以函数 y f ( x) 在 x0 处的导数也
1
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记作 f ( x0 )
（ 3） y 3cos x 4sin x
（ 4） y 2x 3 2
（ 5） y ln x 2
三，复合函数的导数 链式法则
若 y= f (u)， u= ( x)
y= f [ ( x) ] ，则
y x = f (u) ( x)
若 y= f (u)， u= (v) ，v= ( x)
y= f [ ( (x)) ] ，则
0 时， y 与 x 的比 y x
（也叫函数的平均变化率）有极限即
y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函
x
数 y f ( x) 在 x
x0 处的导数，记作 y x x0 ，即 f ( x0 )
lim f ( x0 x0
x) f (x0) x
在定义式中，设 x x0 x，则 x x x0 ，当 x 趋近于 0 时， x 趋近于 x0 ，因
y f (x) 在 点 x0 可 导 ， 则 曲 线 y f ( x) 在 点 （ x0, f ( x0 ) ） 处 的 切 线 方 程 为
y f (x0) f ( x0 )( x x0 )
4.导函数 ( 导数 ): 如果函数 y f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一
1．用导数的定义求下列函数的导数：
1
y
f ( x)
x2 ； 2
y
f ( x)
4 x2
2． 1 已知 lim f ( x0 2△ x)
△x 0
3△x
f ( x0 )
1，求 f (x0 )
2 若 f (3)
2 ，则 lim x1
f (3)
f (1 x1
2x)
二，导数的四则计算
常用的导数公式及求导法则：
（ 1）公式
个 x (a, b) ，都对应着一个确定的导数 f ( x) ，从而构成了一个新的函数 f (x) , 称这个
函数 f ( x) 为函数 y f (x) 在开区间内的导函数， 简称导数， 也可记作 y ，即 f ( x) ＝ y
＝ lim y x0 x
lim f ( x x0
x) f ( x) x
函数 y f ( x) 在 x 0 处的导数 y x x0 就是函数 y
3， 求下列函数的导数
y 3 2x
4， 求下列函数的导数
（ 1） y= 1 2x cos x
（ 2）y= ln ( x+ 1 x2 )
5 ，设 y ln( x x 1) 求 y .
跟踪练习 :
求下函数的导数 .
6,（ 1） y
cos x 3
（2） y 2x 1
5
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1 y ex ln x
2
y
ex 1 ex 1
3 y sin x 1 cos x
4 y x2 1 sin x x cos x
5 y 3 x ex 2 x e
6 y 3x3 4x 2x 1
2，求导数
（ 1） y x3 x2 4
（2） y
sin x x
3
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