高考文科数学总复习练习十八导数的存在性问题试题及答案

十八导数的存在性问题

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.若存在正实数x使e x(x2-a)<1成立,则实数a的取值范围是( )

A.(-1,+∞)

B.(0,+∞)

C.(-2,+∞)

D.[-1,+∞)

【解析】选A.存在正实数x使e x(x2-a)<1成立,即a>x2-在区间(0,+∞)上有解,令

f(x)=x2-,f′(x)=2x+>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=-1,又

a>x2-在区间(0,+∞)上有解,所以a∈(-1,+∞).

2.(2019·莆田模拟)若函数f(x)=x3-x2+2x没有极小值点,则a的取值范围是( )

A. B.

C.{0}∪

D.{0}∪

【解析】选C.f′(x)=ax2-2x+2,要使得f(x)没有极小值,则要求f′(x)恒大于等于0,或者恒小于等于0,或者该导函数为一次函数,当该导函数为一次函数的时候,a=0,满足条件,当f′(x)

恒大于等于0的时候,则,解得a∈,当f′(x)恒小于等于0的时候,则,此时a不存在,故a∈{0}∪.

3.已知函数f(x)=xe x,g(x)=-(x+1)2+a,若存在x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是( )

A. B.[-1,+∞)

C.[-e,+∞)

D.

【解析】选D.f′(x)=e x+xe x=(1+x)e x,当x>-1时,f′(x)>0,函数递增;当x<-1时,f′(x)<0,函数递减.所以当x=-1时,f(x)取得最小值,f(-1)=-.函数g(x)的最大值为a.若存在x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值,即a≥-.

4.(2020·重庆模拟)若函数f(x)=e x在(0,1)内存在极值点,则实数a的取值范围是

( )

世纪金榜导学号

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,-1]

D.[-1,0)

【解析】选A.函数f(x)=e x,定义域为{x|x≠

0},f′(x)=e x+xe x-=,

因为f(x)在(0,1)内存在极值点,

则f′(x)==0的实数根在(0,1)内,

即x3+x2-ax+a=0的实数根在区间(0,1)内,令g(x)=x3+x2-ax+a,

可知,函数g(x)=x3+x2-ax+a在(0,1)内存在零点,

讨论a:a=0时,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上无零点.a>0时,在(0,1)上,g(x)=x3+x2+(1-x)a>0,无零点.a<0时,g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零点.

所以实数a的取值范围是a<0.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.(2020·赣州模拟)若函数f(x)=ae x-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是. 【解析】因为f(x)=ae x-x-2a,所以f′(x)=ae x-1.

当a≤0时,f′(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点;

当a>0时,令f′(x)=0,得x=ln,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,

所以f(x)的最小值为f=1-ln-2a=1+ln a-2a.

令g(a)=1+ln a-2a(a>0),则g′(a)=-2.

当a∈时,g(a)单调递增;当a∈时,g(a)单调递减,

所以g(a)max=g=-ln 2<0,

所以f(x)的最小值为f<0,函数f(x)=ae x-x-2a有两个零点.

综上所述,实数a的取值范围是(0,+∞).

答案:(0,+∞)

6.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.

若f(x)=x-ln x与g(x)=-+m在[1,3]上是“关联函数”,则实数m的取值范围是. 【解析】因为f(x)=x-ln x与g(x)=-+m在[1,3]上是“关联函数”,令y=h(x)=f(x)-g(x), 所以函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x-ln x+-m在[1,3]上有两个不同的零点,

即h(x)=0在[1,3]有两个不同的实数根,令x-ln x+-m=0,即m=x-ln x+.

设F(x)=x-ln x+,即y=m与F(x)=x-ln x+有两个交点,则

F′(x)=1--==.

所以F′(x)>0,得x>2;F′(x)<0,得0

所以F(x)在[1,2]上递减,在[2,3]上递增,F(1)=3,F(2)=3-ln 2,F(3)=-ln 3.作出函数F(x)图像,如图.

作直线y=m,平移可知当3-ln 2

答案:(3-ln 2,-ln 3]

7.设函数f(x)=x2-xln x+2,若存在区间[a,b]⊆,使f(x)在[a,b]上的值域为

[k(a+2),k(b+2)],则k的取值范围为.

【解题指南】判断f(x)的单调性,得出f(x)=k(x+2)在上有两解,作出函数图像,利用导数的意义求出k的范围.

【解析】f′(x)=2x-ln x-1,

设g(x)=f′(x),则g′(x)=2-,

所以当x≥时,g′(x)≥0,

所以f′(x)在)上单调递增,

所以f′(x)≥f′=ln 2>0,