1.1.2 集合的表示方法之描述法
1.1.2集合的表示法
文德信息工程职业学校 2019年9月
1.1.2 集合的表示方法
1.列举法
把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗
号隔开，写在花括号“列举法.
例如，由小于5的自然数所组成的集合用列举法
表示为：
{0,1, 2, 3, 4};
自然数集 N为无限集，用列举法表示为：
用列举法表示集合可以明确地看到集合中的每一个元素，而用
提示 描述法表示集合可以很清晰地反映出集合元素的特征性质，因此在
具体的应用中要根据实际情况灵活选用.
作业
P7 第2、3题和4题的（1）、（2）
{0,1, 2, 3, , n, }.
2.描述法 把描述集合元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在
花括号内用来表示集合的方法叫做描述法. 例如，由大于 2 的所有实数所组成的集合用描述法表示为： {x | x 2, x R}
花括号内竖线左侧的 x 表示这个集合中的任何一个元素，元素 x 从实数 R 中取值，竖线的右侧写出的是元素的特征性质.
2019-2020学年高中数学 第一章 集合 1.1.2 集合的表示方法学案 新人教B版1
1．1．2 集合的表示方法1．理解列举法、描述法的定义．2．会用两种方法表示一些简单的集合．1．列举法(1）定义：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法．（2）用列举法表示集合适用的范围仅为集合中元素较少(填“多"或“少"）或有（填“有”或“无”）明显规律．2．描述法（1)定义：把集合中的元素共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫做特征性质描述法，简称描述法．它的一般形式是｛x∈I|p（x）｝，其中“x"是集合元素的代表形式，“I"是“x”的范围,“|p(x）”是集合中元素“x”的共同特征，竖线不可省略．（2）描述法的语言形式有以下三种:文字语言，符号语言，图形语言．1．用列举法表示不超过5的自然数集为________．答案：｛0，1，2,3，4，5}2．用描述法表示不超过5的自然数集为________．答案：｛x∈N|0≤x≤5}或｛x∈Z|0≤x≤5｝(答案不唯一)3．用列举法表示集合需要注意什么？解:(1）元素间用分隔号“,"；(2）元素不重复；(3）元素无顺序;（4)元素不能遗漏．4．用描述法表示集合需要注意什么?解:用描述法表示集合时应注意以下六点：（1）写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表达的元素符号）；（2)说明该集合中元素的性质；（3)不能出现未被说明的字母；(4）多层描述时应当准确使用“且"“或”；（5)所有描述的内容都写在集合符号内;（6)用于描述条件的语句力求简明、准确．用列举法表示集合用列举法表示下列集合：（1）满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；（2）方程（x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；（3）方程组错误!的解组成的集合B；（4）15的正约数组成的集合N．【解】(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，所以x＝－2，－1，0,1,2，所以A＝{－2,－1，0,1，2}．(2）因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3｝．(3）解方程组错误!得错误!所以B＝｛（3,2）｝．（4)因为15的正约数有1，3，5,15四个数字，所以N＝{1，3，5，15}．（1）用列举法表示集合,要注意是数集还是点集．(2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．用列举法表示下列集合：（1)A＝错误!；（2)已知M＝{0，2，3，7}，P＝｛x|x＝ab，a，b∈M，a≠b｝，写出集合P．解:（1）A＝{0,3,4,5}．（2)P＝｛0，6，14，21}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合;(2)不等式2x－3〈5的解组成的集合;(3)如图中阴影部分的点(含边界）的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】(1）函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2）不等式2x－3〈5的解组成的集合可表示为｛x|2x－3〈5}，即{x|x<4}．（3）图中阴影部分的点（含边界)的集合可表示为{（x，y）|－1≤x≤错误!，－错误!≤y≤1，xy≥0｝．（4）3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的公倍数构成的集合是｛x|x＝12n，n∈N＋}．错误!用描述法表示集合应注意的问题（1）写清楚该集合的代表元素，如数或点等；（2）说明该集合中元素的共同属性;(3)不能出现未被说明的字母；(4）所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；（2）被3除余2的正整数集合；（3）使式子1x（x－1）（x＋1)有意义的实数x的取值范围．解：（1）｛x｜x＝2n，n∈N＋}．(2){x|x＝3n＋2，n∈N}．（3）{x|x≠0,且x≠－1，且x≠1}．集合的表示方法的综合应用集合M＝｛x|ax2－2x＋2＝0，a∈R｝中只有一个元素，求实数a的值．【解】(1）当a＝0时，方程转化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝｛1｝,满足条件；（2)当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a＝0，即a＝错误!,此时方程有两个相等的实数根．综合(1）(2)可知，当a＝错误!或0时，集合M中只有一个元素．若将本例中“只有一个”改为“有两个"，求实数a的取值范围．解：因为集合M＝｛x｜ax2－2x＋2＝0,a∈R}中有两个元素，则Δ＝(－2)2－8a〉0，即a<错误!．错误!此题容易漏解a＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当a＝0时，所给的方程是一个一元一次方程;当a≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对a进行分类讨论．1．设－5∈｛x｜x2－ax－5＝0}，则集合｛x｜x2－5x－a ＝0}中所有元素之和为________．解析：因为－5∈｛x|x2－ax－5＝0｝，所以(－5）2＋5a－5＝0，即a＝－4．所以{x｜x2－5x－a＝0｝＝｛x|x2－5x＋4＝0｝＝｛x｜(x－1）（x－4)＝0｝＝｛1，4}．故集合｛x｜x2－5x－a＝0}中的所有元素之和为5．答案：52．设集合B＝错误!．(1）试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B．解：(1)当x＝1时，错误!＝2∈N．当x＝2时,错误!＝错误!∉N．所以1∈B，2∉B．(2)因为错误!∈N，x∈N，所以2＋x只能取2,3，6．所以x只能取0,1，4．所以B＝{0，1，4｝．1．寻找适当的方法来表示集合时,应该“先定元，再定性"．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来,而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．2．用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解,两者相互兼顾，缺一不可．1．下列集合的表示方法正确的是（)A．{1，2，2｝B．{比较大的实数}C．｛有理数}D．不等式x2－5＞0的解集为{x2－5＞0}答案:C2．把集合{x|－3≤x≤3，x∈N｝用列举法表示，正确的是（）A．{1，2,3｝B．｛0，1，2，3｝C．｛－2,－1，0，1，2｝D．｛－3,－2,－1，0,1，2，3}解析:选B．满足－3≤x≤3的自然数有0，1，2，3．3．用列举法表示集合A＝｛y｜y＝x2－1，－2≤x≤2,且x∈Z}是________．解析:因为x＝－2，－1，0,1，2，所以对应的函数值y＝3，0,－1，0,3，所以集合A用列举法表示为｛－1，0，3}．答案：{－1，0，3}4．集合A＝{(1，2)，（0,3）}中共有________个元素．答案：2［A 基础达标］1．已知集合A＝{x∈N|x〈6},则下列关系式错误的是（）A．0∈A B．1．5∉AC．－1∉A D．6∈A解析：选D．A＝｛x∈N｜x<6}＝{0,1，2，3,4，5｝．2．下列集合中，不同于另外三个集合的是（)A．{x｜x＝1｝B．{x｜x2＝1}C．｛1} D．{y|(y－1)2＝0}解析：选B．{x｜x2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，选B．3．集合错误!用描述法可表示为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D．由3，错误!，错误!，错误!，即错误!,错误!，错误!，错误!，从中发现规律，x＝错误!，n∈N＋，故可用描述法表示为错误!．4．设集合A＝{1，2，3}，B＝｛4,5｝，M＝｛x｜x＝a＋b,a∈A,b∈B｝，则M中元素的个数为（)A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5｝，M＝｛x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，所以M中的元素有：5，6，7，8,共4个．故选B．5．已知M＝｛(x，y）|2x＋3y＝10,x，y∈N}，N＝｛（x，y)｜4x－3y＝1,x，y∈R｝，则( )A．M是有限集，N是有限集B．M是有限集,N是无限集C．M是无限集，N是无限集D．M是无限集，N是有限集解析：选B．因为M＝｛（x,y)｜2x＋3y＝10，x，y∈N}＝{（2，2)，(5，0）}，所以M为有限集．N ＝{(x ,y )｜4x －3y ＝1,x ，y ∈R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．6．已知集合A ＝{－1，0，1｝，集合B ＝｛y ｜y ＝｜x |，x ∈A }，则B ＝________．解析：因为｜－1|＝1，故B ＝｛0，1}．答案：｛0，1｝7．已知集合A ＝｛m ＋2，2m 2＋m ｝，若3∈A ，则实数m 的值为________．解析：因为3∈A ,所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3．当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意,舍去；当2m 2＋m ＝3时,解得m ＝－错误!或m ＝1（舍去）,当m ＝－错误!时，m ＋2＝错误!≠3，符合题意．所以m ＝－错误!．答案：－328．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2，3}，则a －b ＝________．解析：由A ＝｛2,3}知,方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，错误!因此a ＝5，b ＝6．故a －b ＝－1．答案：－19．选择适当的方法表示下列集合：（1)大于2且小于6的有理数；（2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．解：(1)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}．(2)用描述法表示该集合为{(x,y）｜y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；或用列举法表示该集合为｛（0，4)，（1，3)，（2，2),（3,1)，(4,0)｝．10．含有三个实数的集合A＝错误!，若0∈A且1∈A，求a2 017＋b2 017的值．解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0,故a2≠0，所以错误!＝0,即b＝0．又1∈A，可知a2＝1或a＝1．当a＝1时，得a2＝1，由集合元素的互异性,知a＝1不合题意．当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a＝－1，b＝0，所以a2 017＋b2 017的值为－1．[B 能力提升］11．已知集合A＝｛1，2,4}，则集合B＝｛（x,y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为( ）A．3 B．6C．8 D．9解析:选D．集合B中的元素有(1,1），（1，2)，(1，4)，（2,1），（2，2）,(2,4)，（4，1)，(4，2)，（4，4），共9个．故选D．12．已知x，y为非零实数，则集合M＝错误!为( ）A．{0，3｝B．｛1，3}C．{－1,3｝D．{1，－3}解析：选C．当x>0,y〉0时，m＝3;当x<0，y<0时，m＝－1；当x〉0，y<0时,m＝－1；当x〈0,y>0时，m＝－1．故M＝{－1,3}．13．对于任意两个正整数m,n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝｛（a,b）|a※b＝12,a∈N＋，b∈N＋}中的元素的个数．解：从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键．当a，b同奇偶时,根据m※n＝m＋n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a,b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可．若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点（6，6)，这时有2×5＋1＝11（个）;若a，b一奇一偶,有12＝1×12＝3×4,每种可以交换位置,这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个）．错误!（选做题）设y＝x2－ax＋b，A＝｛x|y－x＝0｝,B＝｛x｜y －ax＝0}，若A＝｛－3，1}，试用列举法表示集合B．解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－（a＋1）x＋b＝0．因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1．由根与系数的关系得错误!解得错误!所以y＝x2＋3x－3．将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x －3＝0，解得x＝－3±2错误!,所以B＝{－3－23，－3＋2错误!}．。
1.1.2集合的表示方法
条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的 共同特征.
“小于7的所有实数的集合”
｛ x ∈R|x＜7｝
“小于7的所有整数的集合”
｛ x ∈Z|x＜7｝
“不小于7的所有有理数的集合”
｛ x ∈Q|x≥7｝
或｛ x |x＜7｝
注意：“x∈R可以简写成 x”，其他不能省略。
2
描述法
请用描述法表示下列集合：
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
8.下列六种表示方法：
x＝1，
①{x＝1，y＝4}； ②x，y
y＝4
；③{1,4}； ④(1,4)；⑤{(1,4)}；
⑥{x，y|x＝1或y＝4}.
其中，能表示“一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合”
解析
因为A＝{x|3x－7<0，x∈N＋}，所以A＝{1,2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
{a|a≤－2}
7.已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________.
解析
∵1∉{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
1
2
3
1 2 3 4 5
3.集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是
A.{0,1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
解析
B.{1,2,3,4}
√
D.{1,2,3,4,5}
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法．2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法：①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合；②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合：(1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合；(5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．[解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z x N x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
1.1.2集合的表示方法教案学生版
1.1.2集合的表示方法【学习要求】1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．【学法指导】通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程.填一填：知识要点、记下疑难点1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{}”内表示集合的方法．当集合中的元素较少时，用列举法表示方便．2.描述法：一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以用它的特征性质p(x)描述{x∈I|p(x)} .3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？探究点一列举法表示集合问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数4.8，－3，2，－0.5，13，73，3.1.问题2：列举法是如何定义的？怎样的集合适用列举法表示？问题3：由book中的字母组成的集合能否表示为：{b，o ，o，k}?问题4：有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N.问题5：怎样区分∅，{∅}，{0}等符号的含义？例1用列举法表示下列集合：(1)A＝{x∈N|0<x≤5}；(2)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．跟踪训练1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．探究点二描述法表示集合问题1用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？问题2不等式x－7<3的解集我们可以用集合所含元素的共同特征来表示，那么不等式x－7<3的解集中所含元素的共同特征是什么？问题3由奇数组成的集合中，元素的共同特征是什么？问题4用集合元素的共同特征来表示集合就是描述法，你能给描述法下个定义吗？什么类型的集合适合用描述法表示？问题5不等式x2－3x>2的解集如何用描述法表示？问题6在实数集R中取值时，“∈R”常常省略不写，那么不等式x2－3x>2的解集又将如何表示？问题7集合{(x，y)|y＝x2＋1}与集合{y|y＝x2＋1}是同一个集合吗？为什么？例2用描述法表示下列集合：(1){－1,1}；(2)大于3的全体偶数构成的集合；(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线．跟踪训练2用特征性质描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)坐标平面内坐标轴上的点集；(4)坐标平面内在第二象限内的点所组成的集合；(5)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合．例3试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．跟踪训练3用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10的图象上的所有点组成的集合练一练：当堂检测、目标达成落实处1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可表示为 ( ) A ．{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1} B ．{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2} C ．{1,2} D ．{(1,2)}2.已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．103.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N|86－x ∈N ，试用列举法表示集合A.课堂小结：1.在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.。
高中数学 1.1.2集合的表示方法教学设计 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学教案
1.1.2 集合的表示方法整体设计教学分析教材借助实例给出了集合的表示方法——列举法和描述法，这是用集合语言表达数学对象所必需的基本知识．教学中要注意引导学生，通过实例，从观察分析集合的元素入手，选择合适的方法表示集合．注意引导学生区分两种表示集合的方法．学习集合语言最好的方法是运用．在教学中，要创造机会让学生运用集合的特征性质描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形的集合等．三维目标1．掌握集合的表示法——列举法和描述法，使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系，从而可以更准确地认识集合．2．能选择适当的方法表示给定的集合，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：集合的表示法．教学难点：集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合．课时安排1课时教学过程推进新课新知探究提出问题①上节所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法？活动：①学生回顾所学的集合并作出总结．教师提示可以用字母或自然语言来表示．②教师可以举例帮助引导：例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}”内，即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式，这种表示集合的方法是列举法．注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：{1,2,3，…，100}，自然数集N：{0,1,2,3,4，…，n，…}；区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序，相同的元素不能出现两次．又例如，不等式x－3＞2的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示．可以表示为{x∈R|x－3＞2}或{x|x－3＞2}，这种表示集合的方法是描述法．③让学生思考总结已经学习了的集合表示法．讨论结果：①方法一(字母表示法)：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N、Q，所有的正方形组成的集合记为A等等；方法二(自然语言)：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等．②列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只需去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}．③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法．应用示例思路1例1用列举法表示下列集合：(1)A＝{x∈N|0＜x≤5}；(2)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．解：(1)A＝{1,2,3,4,5}；(2)B＝{2,3}．点评：本题主要考查集合表示法中的列举法．通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容．如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常明显地表示出了集合中的元素，是常用的表示法．列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所(1){－1,1}；(2)大于3的全体偶数构成的集合；(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线．解：(1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于1的实数，即|x|＝1.于是这个集合可以表示为{x||x|＝1}．(2)这个集合的一个特征性质可以描述为x＞3，且x＝2n，n∈N.于是这个集合可以表示为{x|x＞3，且x＝2n，n∈N}．(3)设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线段AB都在平面α内，则这个集合的特征性质可以描述为PA＝PB.于是这个集合可以表示为{点P∈平面α|PA＝PB}．点评：描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素；(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．并写成A＝{…|…}的形式．描述法适合表示有无数个元素的集合．注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示.例1用列举法表示下列集合：(1)小于5的正奇数组成的集合；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)方程x2－9＝0的解组成的集合；(4){15以内的质数}；(5){x|63－x∈Z，x∈Z}．活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素．明确各个集合中的元素，写在大括号内即可．提示学生注意：(2)中满足条件的数通常按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数；(5)中3－x是6的约数，6的约数有±1，±2，±3，±6.解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3，故用列举法表示为{1,3}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12，故用列举法表示为{6,9,12}；(3)方程x2－9＝0的解为－3、3，故用列举法表示为{－3,3}；(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13，故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}；(5)满足63－x∈Z的x有3－x＝±1、±2、±3、±6，解之，得x＝2、4、1、5、0、6、－3、9，故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6，－3,9}．点评：本题主要考查集合的列举法表示．列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合．用列举法表示集合：先明确集合中的元素，再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.(1)二次函数y＝x2图象上的点组成的集合；(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；(3)不等式x－7＜3的解集．活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点，如何表示数轴上的点，如何表示不等式的解．学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学．必要时，教师可提示学生：(1)集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(x，y)来表示，其特征是满足y＝x2；(2)集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，集合元素代表符号用x来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6；(3)集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x来表示，把不等式化为x＜a的形式，则这些实数的特征是满足x＜a.解：(1)二次函数y＝x2上的点(x，y)的坐标满足y＝x2，则二次函数y＝x2图象上的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x2}；(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|＞6}；(3)不等式x－7＜3的解是x＜10，则不等式x－7＜3的解集表示为{x|x＜10}．点评：本题主要考查集合的描述法表示．描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合．用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(x，y)，数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学1．(口答)说出下面集合中的元素：(1){大于3小于11的偶数}；(2){平方等于1的数}；(3){15的正约数}．答案：(1)其元素为4,6,8,10；(2)其元素为－1,1；(3)其元素为1,3,5,15.2．方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12，13}，则a ＝________，c ＝________. 解析：方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12，13}，那么12、13是方程的两根， 即有⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋13＝－5a ，12·13＝c a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，c ＝－1，那么a ＝－6，c ＝－1.答案：－6 －13．用列举法表示下列集合：(1)所有绝对值等于8的数的集合A ；(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.答案：(1)A ＝{－8,8}；(2)B ＝{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7}．4．定义集合运算A⊙B＝{z|z ＝xy(x ＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：∵x∈A，∴x＝0或x ＝1.当x ＝0，y∈B 时，总有z ＝0.当x ＝1时，若x ＝1，y ＝2时，有z ＝6；当x ＝1，y ＝3时，有z ＝12.综上所得，集合A⊙B 的所有元素之和为0＋6＋12＝18.答案：D5．分别用列举法、描述法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝2，2x －3y ＝27的解集． 解：因⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝2，2x －3y ＝27的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－7，用描述法表示该集合为{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝22x －3y ＝27}；用列举法表示该集合为{(3，－7)}．拓展提升问题：集合A ＝{x|x ＝a ＋2b ，a∈Z ，b∈Z }，判断下列元素x ＝0、12－1、13－2与集合A 之间的关系．活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系，书写过程，将元素x 化为a ＋2b 的形式，再判断a 、b 是否为整数．描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征，那么判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．解：由于x ＝a ＋b 2，a∈Z ，b∈Z ， ∴当a ＝b ＝0时，x ＝0.∴0∈A.又12－1＝2＋1＝1＋2， 当a ＝b ＝1时，a ＋b 2＝1＋2，∴12－1∈A. 又13－2＝3＋2， 当a ＝3，b ＝1时，a ＋b 2＝3＋2，而 3 Z ，∴13－2A. ∴0∈A，12－1∈A，13－2 A. 点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的表示法；(2)利用列举法和描述法表示集合的步骤．作业课本习题1—1A 2、3、4.设计感想集合的列举法和描述法的形式比较容易接受，在设计时注重让学生自己学习，重点引导学生学习这两种方法的应用．同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点；针对不同问题，能选用合适集合表示法．在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换．教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法，常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱．对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨．引导学生养成良好的学习习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标．备课资料[备选例题]例1 判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示．(1)被3除余1的自然数组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上的所有点组成的集合；(4)设a 、b 是非零实数，求y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合． 思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类．用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么．解：(1)被3除余1的自然数有无数个，这些自然数可以表示为3n ＋1(n∈N )．用描述法表示为{x|x ＝3n ＋1，n∈N }．(2)由题意得满足条件的正整数有：3,5,7,11,13,17,19，则此集合中的元素有7个，用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}．(3)满足条件的点有无数个，则此集合中有无数个元素，可用描述法来表示．通常用有序数对(x ，y)表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为{(x ，y)|y ＝x 2＋2x －10}．(4)当ab ＜0时，y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1；当ab ＞0时，则a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0.若a ＞0，b ＞0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝3；若a ＜0，b ＜0，则有y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|＝－1.∴y＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|的所有值组成的集合共有两个元素－1和3.则用列举法表示为{－1,3}．例2 定义A －B ＝{x|x∈A，x B}，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，试用列举法表示集合N －M.解析：应用集合A －B ＝{x|x∈A，x B}与集合A 、B 的关系来解决．依据定义知N －M 就是集合N 中除去集合M 和集合N 的公共元素组成的集合．观察集合M 、N ，它们的公共元素是2、3，集合N 中除去元素2、3还剩下元素6，则N －M ＝{6}．答案：{6}．。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法一、学习目标：1、理解列举法和特征性质描述法的实质，能运用它们表示集合.2、体验用集合语言表示文字的过程，尝试用集合语言表示集合.二、重点难点：1、集合的表示法2、对集合的特征性质的理解3、运用特征性质描述法正确的表示集合三、基础知识探究：1、列举法定义：__________________________________________试分析以下集合可否用列举法来表示，并探究列举法表示集合的适用范围及注意问题。
（1）由1~20中的所有质数组成的集合；=的所有实数根组成的集合；（2）方程2x x（3）不大于200的正偶数构成的集合；（4）自然数构成的集合；列举法的使用范围：①_____________________________________________；②_____________________________________________；2、描述法P示例，回答下列内容并探究描述法表示集合时的注意问题。
阅读课本6（1）特征性质：______________________________________________________________ ____________________________________________。
（2）特征性质的描述法：_______________________________________________________ 3、集合的表示方法的变换试分别用列举法和描述法表示下列集合，并探究两种表示方法之间的转换关系，比较优缺点。
x-=的所有实数根组成的集合；（1）方程220（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
四、典型例题剖析例1、用列举法表示下列集合（1）{}|05A x N x =∈<≤ （2）{}2|560B x x x =-+=【跟踪训练】用列举法表示下列集合：（1）大于2小于15的偶数全体；（2）平方等于16的实数全体；（3）比2大3的实数全体；（4）方程24x =的解集；（5）大于0小于5的整数的全体；（6）我国现有直辖市的全体。
高一数学 1.1.2《集合的表示方法》新人教A版必修1
1.1.2集合的表示方法教学目标：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题. 教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.教学过程：一、复习引入：1．回忆集合的概念2．集合中元素有那些性质？3．空集、有限集和无限集的概念二、讲述新课：集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.例1：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是.集合}1|),{(2+=x y y x 是点集，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是数集。
1.1.2 集合的表示方法
【解答】解：A={x∈Z||x|≤2}={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={y|y=x2+1，x∈A}={5，2，1} B 的元素个数是 3 故选 C．
4．已知集合 A＝{x|51－2x∈N，x∈N}，则用列举法表示为________．
解析：根据题意，5－x 应该是 12 的因数，故其可能的取值为 1,2,3,4,6,12，从而可得到 对应 x 的值为 4,3,2,1，－1，－7.因为 x∈N，所以 x 的值为 4,3,2,1.
练习：已知集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中 a∈R．
（1）1 是 A 中的一个元素，用列举法表示 A；
【解答】解：（1）∵1 是 A 的元素，∴1 是方程 ax2+2x+1=0 的一个根，
（2）若 A 中有且仅有一个元素，求实∴a数+2+1a=0的，组即 a成=﹣的3，集合 B；
（3）若 A 中至多有一个元素，试求 此a时的A取={x值|﹣范3x2围+2x．+1=0}．
解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}．集合中有 2 个元素， 是有限集．
(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋且 1≤k≤5}．集合 中有 5 个元素，是有限集．
(3)用描述法表示为{x|x>5}．集合中有无数个元素，是无限集． (4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集． (5)方程 x2＋x＋1＝0 无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．
（3）若 A≠∅ ，求实数 a 的取值范围．
（2）当 a=0 时，A={x|ax2﹣3x+2=0}={x|﹣3x+2=0}={ }．满足条件．只有一个 元素， 当 a≠0 时，若 A 是只有一个元素的集合，判别式△=9﹣8a=0，解得 a= ，此时
高一数学 集合的表示方法
一 数
③{(x,y)|x+y=2且x-2y=4} {（8/3，-2}
{-1，1}
⑤{(x,y)|3x+2y=16,x ∈ N,y ∈ N}
{（0，8），（2，5），（4，2）}
⑥{(x,y)|x,y分别是4的正整数约数}
{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2， 2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
例如，由方程x2 1 0 的所有解组成的集合，
高 一
数
可以表示为{-1，1} 注：（1）有些集合亦可如下表示：
学
从 51 到 100 的 所 有 整 数 组 成 的 集 合 ： {51 ， 52 ， 53，…，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5， 7，…}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，
{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
2、 描述法： 用确定的条件表示某些对象是否属于
这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的
方法。格式：{x∈A| P（x）}
高
具体方法：
一
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取 值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集
数
合中元素所具有的共同特征．
学
例如，不等式x-3＞2的解集可以表示为：
{x∈R|x-3＞2}或{x|x-3＞2}
所有直角三角形的集合可以表示为：
{ x|x是直角三角形}
（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及 左边部分。
如：{直角三角形}；
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、Venn图： 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集
或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
1.1.2集合的表示9.3
(2) 若4x=3,则 xN
(3) 若x Q,则 x R (4)若X∈N,则x∈N+
√ × ×
例2 若方程x2－5x+6=0和方程x2－x －2=0的解为元素的集合为M,则M 中元素的个数为（ C ） A．1 B．2 C．3 D．4
例3．已知集合 A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R} 只有一个元素，求a的值和这个元 素．．
课堂练习 1.若M={1，3}，则下列表示方法 正确的是（ C ） A． 3 M C． 1 M B．1 M
D． 1 M且 3 M
2．用符号表示下列集合，并写 出其元素： (1) 12的质因数集合A； (2) 大于 11且小于 29 的整数 集B．
课堂小结
集合的表示方法；
作 业
教 教材P.6
教材Ｐ.６
Ａ组 Ｂ组 Ｔ２，３，４，５ Ｔ１，２
练
习
1. 用符号“∈”或“
空 (1) 3.14
”填 Q
Q (2)
(4) (6)
(3) 0 + N 2 3 (5) Q
0 (-2) N+ 2 3
R
⑤方程x2+x +1=0的解集合.
描述法：用确定条件表示某些对 象是否属于这个集合的方法．
⑶ 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合． 图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
A 图1-1
1,2,3, 5, 4.
图1-2
例1判断下列说法是否正确：
新教材2020-2021学年1.1集合的概念 1.1.2集合的表示 教案
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.1.2 集合的表示[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点]集合的两种表示方法及其运用．[难点] 对描述法表示集合的理解．知识点一列举法[填一填]把集合的所有元素出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二描述法[填一填]1．一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.[答一答]3．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？提示：是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合[例1] (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[解析] (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点：(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. [变式训练1]用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合[例2] 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x -7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． [解] (1)解2x －7<3得x <5，所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. [变式训练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *. 类型三 两种方法的灵活应用[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合； (3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}． (3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：∵x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3.集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}.解析：由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5.4.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}．解析：正整数中所有的偶数均能被2整除． 5.用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n,4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式． (2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第一章 1.1 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( C ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2}D ．{x 2－3x ＋2＝0}[解析] 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2.用列举法表示为{1,2}． 2．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( B ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，0 [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故该集合为{(0,1)}．3．已知x ∈N ，则方程x 2＋x －2＝0的解集为( C ) A ．{x |x ＝2}B ．{x |x ＝1或x ＝－2}C ．{x |x ＝1}D ．{1，－2}[解析] 方程x 2＋x －2＝0的解为x ＝1或x ＝－2.由于x ∈N ，所以x ＝－2舍去．故选C ． 4．若A ＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }表示为( D ) A ．{(－1,3)} B ．{－1,3}C ．{(－1,3)，(3，－1)}D ．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}[解析] 因为集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }是点集或数对构成的集合，其中x ，y 均属于集合A ，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}[解析] 因为{x |x ＝1}＝{1}，{x |x 2＝1}＝{－1,1}，{y |(y －1)2＝0}＝{1}，所以B 选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中说法正确的个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由x 3＝x ，得x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ，故②不正确．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解集应为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2，故③不正确． 二、填空题7．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示A 为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.[解析] ∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0. ∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．8．集合{1，2，3，2，5，…}用描述法表示为[解析] 注意到集合中的元素的特征为n ，且n ∈N *，所以用描述法可表示为{x |x ＝n ，n ∈N *}． 9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__a ≤－2__. [解析] 因为1∉A ，则应有2×1＋a ≤0，所以a ≤－2. 三、解答题10．用列举法表示下列集合： (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫62－x ∈Z ，x ∈Z ；(2){(x ，y )|y ＝3x ，x ∈N 且1≤x <5}．[解析] (1)因为62－x ∈Z ，所以|2－x |是6的因数，则|2－x |＝1,2,3,6，即x ＝1,3,4,0，－1,5，－4,8. 所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}． (2)因为x ∈N 且1≤x <5，所以x ＝1,2,3,4， 其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}． 11．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}； (2){13，24，35，46，57}；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝2的解组成的集合．[解析] (1){x |x ＝2n ，n ∈N *，n ≤6}． (2){x |x ＝nn ＋2，n ∈N *，n ≤5}． (3){x |x ＝5n ＋1，n ∈N }． (4){(x ，y )|xy <0}．(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0. B 组·素养提升一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝－1}B ．{1}C ．{(1，－1)}D ．{(x ，y )|(1，－1)}[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 的集合表示方法有误，排除D ． 2．用列举法可将集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为( D ) A ．{1,2} B ．{(1,2)} C ．{(1,1)，(2,2)}D ．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析] x ＝1，y ＝1；x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝1；x ＝2，y ＝2.∴集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D ． 3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD ) A ．{x |x ＝2k －1，k ∈N } B ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥2} C ．{x |x ＝2k ＋3，k ∈N } D ．{x |x ＝2k ＋5，k ∈N }[解析] 选项A ，C 中，集合内的最小奇数不大于4. 4．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是( ABD )A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }[解析] 选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M ≠P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．二、填空题5．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则实数a 的值是__0或1__.[解析] 集合A 中只有一个元素，有两种情况：当a ≠0时，由Δ＝0，解得a ＝1，此时A ＝{－1}，满足题意；当a ＝0时，x ＝－12，此时A ＝{－12}，满足题意．故集合A 中只有一个元素时，a 的值是0或1.6．用列举法写出集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪33－x ∈Z x ∈Z ＝__{－3，－1,1,3}__.[解析] ∵33－x ∈Z ，x ∈Z ，∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．7．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为__4__.[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．三、解答题8．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ． [解析] (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0， 所以x ＝2，此时A ＝{2}．(2)当k ≠0时，因为集合A 中只有一个元素， 所以方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等的实根． 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，所以集合A ＝{4}，综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}． 9．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.。
学案1.1.2集合的表示方法
第一章 集合学案1.1.2集合的表示方法【教学目标】1、集合和元素的表示法；2、掌握一些常用的数集及其记法3、掌握集合两种表示法：列举法、描述法。
【教学重难点】集合的两种表示法：列举法和描述法。
自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1. 集合的常用表示方法：（1）列举法将集合的元素一一列举出来，并____________________表示集合的方法叫列举法.注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的；③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以表示任何事物.（2）描述法将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式, 称之为描述法. 注意：①写清楚该集合中元素满足性质；②不能出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；④所有描述的内容都要写在集合的括号内；⑤用于描述的语句力求简明，准确. 思考:还有其它表示集合的方法吗？【答】文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形}图示法（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.2. 集合相等如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 列举法表示集合【例1】(1)、小于5的正奇数组成的集合;(2)、能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)、方程x 2-9=0的解组成的集合;(4)、{15以内的质数};(5)、{x|x36∈Z ,x ∈Z }.第一章集合变式训练：用列举法表示下列集合:(1)x2-4的一次因式组成的集合;(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};(3)方程x2+6x+9=0的解集;(4){20以内的质数};(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};(6){大于0小于3的整数};(7){x∈R|x2+5x-14=0};(8){(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.考点二描述法表示集合【例2】用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.第一章 集合与逻辑 推理与证明变式训练：用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合; (7){1,3,5,7,…};(8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.巩固提高案 日积月累 提高自我1.用列举法表示下列集合：(1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数}(3) {x|x 为不大于10的正偶数}(4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}2. 用描述法表示下列集合：(1) 奇数的集合；(2)正偶数的集合；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合； .3. 下列集合表示法正确的是(1) {1，2，2}；(2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4) 方程组31420x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}.第一章集合4．已知A={a|6,3N a Za∈∈-}，试用列举法表示集合A．5．集合A={x|y=x2+1}，B={t|p=t2+1}，这三个集合的关系？。
1.2集合的表示方法—沪教版新教材
（3）直角坐标平面上第二象限与第四象限 中的所有点组成的集合C
（三） 图示法：
就是用一条封闭的曲线的内部来表示集 合的方法. 例如，图1-1表示任意一个集 合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5}.
文氏图（韦恩图）
（四） 区间的概念： 。 当a、b R且a b时，规定 满足不等式a x b的全体实数x组成的集合 称为一个闭区间，记作 a, b [a, b] {x | a x b} 闭区间在数轴上的表示：
（一）列举法： 就是把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号内表示集合的方法.
例如，方程 x2 3x 2 0的所
有解组成的集合可以表示为1, 2 也可以表示为2,1
例1、用列举法表示下列集合：
（1）所有不大于10的正整数组成的集合；
（2）方程(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0 的
其中x表示元素的一般形式
例如，由不等式x-3>2的所有的解组成的集 合（即不等式x-3>2的解集），可以表示为
{x|x-3>2}
由抛物线y=x2+1上所有点的坐标组成的集 合，可以表示为
{（x , y）| y=x2+1}
例2：用适当的方法表示下列集合：
(1)大于0且小于10的全体偶数组成的集合A；
a
b
a
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
在实数集R中，有没有 最大的数和最小的数？
实数集R 用区间表示为（ -∞，+∞ ） -∞ 读作： 负无穷大 +∞ 读作： 正无穷大
填 表：
解集表示 区间表示
{x|x≥a} [a,+ ∞)
{x|x > a} (a,+ ∞)
1.1.2集合的表示方法
p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：book中的字母的集合表示为： ｛x|x是 book中的字母｝
有时用venn(韦恩)图表示更形象直观。
例如：book中的字母的集合表示为：
例1、求由方程x2-1=0 的实数解构成的集合。
b，o，k
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}
或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
例2、若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x2=0的解作为元素构成集合A，请用最 简形式写出集合A
答：A={3，2，-1}
例3、求不等式x-3>2的解集。 解：由x-3>2得x>5，所以不等式x3>2的解集为 {x|x>5，x∈R}
例4、求方程x2+1=0的所有实数解的集合。
解：方程x2+1=0没有实数解，所以
{x|x2+1=0，x∈R}=。
思考：直线y=x上的点集如何表示？
解：A={(x,y) | y=x }
课堂小结：
集合的表示:列举法和描述法。
集合的表示方法
1、列举法 就是将集合中的元素一一列举出来并放 在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开；
2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母的集合表示为：
｛ｂ是否属于 这个集合的方法。其一般形式为：
{ x | p(x) } X为该集合的 代表元素
中职数学基础模块1.1.2集合的表示方法教学设计教案人教版
课时教学设计首页（试用）第页（总页）课时教学流程☆补充设计☆2•性质描述法.给定x的取值集合1，如果属于集合A的任意兀素x都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A可以用它的特征性质描述为{x曰| p(x)}，它表示集合A是由集合1中具有性质p(x)的所有元素构成的•这种表示集合的方法，叫做性质描述法.使用特征性质描述法时要注意：(1)特征性质明确；通过教师讲解、师生问答，详细说明什么是特征性质.出示例子：正偶数构成的集合.它的每一个元素都具有性质“能被2整除且大于0”，而这个集合外的其他元素都不具有这种性质，性质“能被2整除，且大于0”就是此集合的一个特征性质.引导学生根据上面的描述总结集合的特征性质是什么？师生共同归纳出性质描述法.教师强调用特征性质描述法时应注意的两个要点.讲解例题2,板书详细的解题过程.师：(1) 一个集合的特征性质不是唯一的.如平行四边形全体也可表示为{ x | x是有一组对边平行且相等的四边形}.(2)在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写子母表示点的集合.学生模仿练习.请学生在黑板上写下答案，引导全班学障碍.通过例2,让学生掌握由扌田述法表示集合的不冋类型：有限集、无限集或代数、几何的表示方法，并使学生规范解题步骤.通过练习，进一步突出重点，深化两种表示方法的灵活运用.(2)若兀素范围为R，“ x运R ”可以省略不写.例2用性质描述法表示下列集合：(1) 大于3的实数的全体构成的集合；(2) 平行四边形的全体构成的集合；(3) 平面a内到两定点A, B距离相等的点的全体构成的集合.解(1){ x | x >3};(2) { x | x 是两组对边分别平行的四边形};(3) l = { P 乏a , |PA|=|PB|, A, B 为ot 内两定点}.练习2用性质描述法表示下列集合：(1) 目前你所在班级所有同学构成的集合；(2) 正奇数的全体构成的集合；(3) 绝对值等于3的实数的全体构成的集合；(4) 不等式4 x —5<3的解构成的集合；(5) 所有的正方形构成的集合.生统一订正.老师点拨、解答学生疑 难.师生共同分析总结:1. 有些集合的公共属性 不明显，难以概括，不便用描 述法表示，只能用列举法.如：集合{2}.2. 有些集合的元素不能 无遗漏地一一 一列举出来， 或者 不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.女口：集合{x Q |1 < x < 4}.小结：本节课学习了以下内容：1.列举法. 2•性质描述法.3.比较两种表示集合的方法，分析它们所适 用的不同情况.以学生为主体，关 注学生对本节课的体 验.1.列举法. 2•性质描述法. 课时教学设计尾页（试用）板书设计☆补充设计☆3.比较两种表示集合的方法，分析它们所适用的不同情况.作业设计教材P9，练习B组第1, 2题.教学后记。
人教B版数学必修一(讲义)：第1章1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法. 思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示] ①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x －7<3的解集吗？为什么？[提示] 不能．由不等式x －7<3，得x <10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．1．集合{x |x 2－4x ＋3＝0}用列举法表示为( )A ．{1,3}B ．{x |x ＝1，x ＝3}C ．{x 2－4x ＋3＝0}D ．{x ＝1，x ＝3}A [解方程x 2－4x ＋3＝0得x ＝1或x ＝3，应用列举法表示解集为{1,3}．]2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，用自然语言描述M 应为( )A ．满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合B ．满足y ＝x 2的所有自变量x 的取值组成的集合C ．函数y ＝x 2图象上的所有点组成的集合D ．以上均不对A [由于集合M ＝{y |y ＝x 2}的代表元素是y ，而y 为函数y ＝x 2的函数值，则M 为满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合．]3．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．]【例1】 (1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合C .[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4， 所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点为(1,4)，所以C ＝{(1,4)}．使用列举法表示集合时，需要注意几点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复，元素无顺序．(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.【例2】 (1)小于100的所有非负整数的集合；(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合； (5)被5除余3的所有整数组成的集合；(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝2y ＝0. (5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}.(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等.2．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合； (3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合．[解] (1)正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)要使y 有意义，必须使分母不为0，即x 2＋x －6≠0，可得x ≠2且x ≠－3，故集合可表示为{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠－3}．(3)第一、三象限的角平分线应是直线y ＝x ，故集合为{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R ，y ∈R }.[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．【例3】 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解] (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集.(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).3．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于1且小于7的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．1．本节课的重点是掌握用列举法和描述法表示集合，难点是对描述法表示集合的理解及两种表示法的灵活运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)列举法表示集合的注意点．(2)描述法表示集合的注意点．3．本节课的易混点是点集与数集，易错点是描述法表示集合中除代表元素以外的字母而未加说明.1．思考辨析(1)集合{0}∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}4．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。
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（2）不等式 2 x 1 0 的解集； （3）所有奇数组成的集合；
x x 2k 1, k Z
（4）由第一象限所有的点组成的集合． x, y x 0, y 0
分析 (1)
用描述法表示集合关键是找出元素的特征性质． 特征性质是“小于 5 的所有整数” ；
.
（2）解不等式就可以得到不等式解集元素的特征性质； （3）特征性质是“元素都能写成 2k 1(k Z) 的形式” ； （4）特征性质是“为第一象限的点” ，即横坐标与纵坐标都为正数．
右侧为元素所具有的特征性质.
问题 小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?
当元素为实数 时，可以不标 注取值范围
描述法{x∈R|x<5}
元素无法一一列举但特征明显
巩固知识 典型例题
例3 (1) 用描述法表示下列各集合： 小于 5 的所有整数组成的集合；
x Z | x 5
1 x | x 2
1.1 集合的概念
1.1.2集合的表示方法之描述法
创设情景
兴趣导入
问题 ：小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?
元素有无穷多个，特征： (1)集合的元素都是实数； (2)集合的元素都小于5.
元素无法一一列举但特征明显
动脑思考
探索新知
描述法．在一个大括号内画一条竖线，竖线的左侧
为集合的代表元素,并标出元素的取值范围，竖线的
为了简便起见，在使用描述法表示集合时， 可以省略竖线及其左侧的代表元素，用描述性 语言表述集合的特征性质。 例如：所有正奇数组成的集合可以表示为：
{正奇数}
运用知识 强化练习
教材练习1.1.2
2．用描述法表示下列各集合： （1）大于 3 的实数所组成的集合； （2）小于 20 的所有自然数组成的集合；
.
（3）大于 5 的偶数所组成的集合； （4）不等式 2 x 5 3 的解集； （5）由第四象限的所有点组成的集合.
作业：
课本P6习题1.1A组：3
Байду номын сангаас 再 见