【初高一衔接】专题02 乘法公式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)

乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式

公式二、完全平方公式

在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.

2.

3.

4.

5.

公式三、立方和公式

公式四、立方差公式

例1、计算

例2

例3、已知a、b是方程的两个根，求：

（1）（2）；（3）；（4）

【解答】（1）77；（2）；（3）112；（4）24

【解析】∵a、b是方程a+b=7，ab＝11.

（1）；

（2）；

（3）；

乘法公式巩固练习

一. 选择题

1．下列式子计算正确的是（）

A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝

C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2

【解答】C

【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；

B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；

C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．

D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．

2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）

A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2

C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）

【解答】D

【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，

图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），

3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2

C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）

【解答】A

【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.

4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）

A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a

【解答】A

【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，

S＝S1﹣S2

＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]

＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2

＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．

∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，

∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．

5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36

【解答】C

【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，

∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28

∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．

二．填空题

6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．

【解答】﹣1

【解析】∵（a+b）2＝7，

∴a2+2ab+b2＝7，

∵a2+b2＝5，

∴7+2ab＝5，

∴ab＝﹣1．

7．我们规定一种运算：，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，．按

照这种运算规定，当x＝时，＝0．

【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，

x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，

解得x＝8．

8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．

【解析】连接EC，

∵正方形ACDE和正方形CBFG，

∴∠ACE＝∠ABG＝45°，

∴EC∥BG，

∴△BCG和△BEG是同底（BG）等高的三角形，

即S△BCG＝S△BEG，

∴当BC＝n时，S n＝2，

∴S2020﹣S2019＝20202﹣201922020+2019）（2020﹣2019）＝；

9．如果，那么a+2b﹣3c＝．

【解析】原等式可变形为： a ﹣2+b+1+ ﹣5

（a ﹣2）+（b+1）+ +5＝0

（a ﹣2+4+（b+1）

+1+

（﹣2）

2+（﹣1）2+ ＝0； 即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，

∴

＝2，

＝1，

＝1，

∴a ﹣2＝4，b+1＝1，c ﹣1＝1， 解得：a ＝6，b ＝0，c ＝2； ∴a+2b ﹣3c ＝6+0﹣3×2＝0．

10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b ）

n （n

为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b ）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b ）1＝a+b ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

（a+b ）3＝a 3+3a 2b+3ab 2+b 3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； …

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b ）4展开式共有 项，系数分别为 ； （2）（a+b ）n 展开式共有 项，系数和为 ．