试证明：剪应力互等定理

解：焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端(图b中点f )处， 弯曲应力和切应力都比较大，是校核强度时应加以考虑之 点；在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交 界处的a点(图c)代替f点。正因为如此，本例题中要求的 也是a点处主应力。梁的自重不计。
4
第七章 应力状态和强度理论
1. 此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载 作用位置C的左侧横截面。
解: (1) 画应力圆 量取OA= 量取OA= σx= - 1 , OB =σy= 0.2,定出 AD = τXY= - 0.2,定出 D点; - 0.4和， BD′ = τyx= 0.2 , 定出 D′点 . 0.4和 D′点
为直径绘出的圆即为应力圆。 以 DD′ 为直径绘出的圆即为应力圆。
(-0.4,0.2) D′ ′ A C D (-1,-0.2) B
τ
σy τxy
σx
o
σ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 确定 α = 30°斜截面上的应力 ° 将 半径 CD 逆时针转动 2α = 60°到半径 CE, E 点的坐标就 α ° 代表 α = 30°斜截面上的应力。 °斜截面上的应力。 (3) 确定 α = - 40°斜截面上的应力 ° 将 半径 CD顺时针转 2α = 80°到半径 CF, 顺时针转 α ° F 点的坐标就代表α = - 40° 点的坐标就代表α ° 斜截面上的应力。 斜截面上的应力。
σ 40° 40° τ40° 40° F 80 80° A ° C D 60° 60° E B τ30° 30° σ 30° 30° D′ ′
τ
σ30°= - 0.68MPa ° τ30°= - 0.36MPa ° σ-40°= - 0.95MPa ° τ40°= - 0.26MPa °
o
σ
第七章 应力状态和强度理论
(
)(
)
= 256 ×10 −6 m 3
6
第七章 应力状态和强度理论
3. 危险截面上a点和b点处的应力：
MC 80 ×103 N ⋅ m σa = ya = × 0.135 m 4 −6 Iz 88 ×10 m = 122.7 ×106 Pa = 122.7 MPa
* FSC S za 200 ×103 N 256 ×10 −6 m 3 τa = = I zd 88 ×10 −6 m 4 9 ×10 −3 m
(
(
)(
)(
)
)
= 64.6 ×106 Pa = 64.6 MPa
MC 80 ×103 N ⋅ m σb = yb = × 0.15 m −6 4 88 ×10 m Iz = 136.4 ×106 Pa = 136.4 MPa
τb = 0
7
试证明：剪应力互等定理
从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, σx = - 1MPa , σy = - 0.4MPa , τxy= - 0.2MPa , τyx = 0.2MPa , (1)绘出相应的应力圆 (1)绘出相应的应力圆 (2)确定此单元体在 =30° 40°两斜面上的应力。 (2)确定此单元体在 α =30°和α = - 40°两斜面上的应力。
FSC = 200 kN M C = 80 kN ⋅ m
5
第七章 应力状态和强度理论
2. 相关的截面几何性质为 Iz
(120 ×10 =
−3
m 300 ×10 m 111×10 − 12
)(
−3
) (
3
−3
m 270 × 10 m 12
)(
−3
)
3
= 88 ×10 −6 m 4
* S za = 120 ×10 −3 m ×15 ×10 −3 m 135 ×10 −3 m + 7.5 ×10 −3 m