面面垂直的判定与性质

4.如图，在四面体ABCD中，BD 2a, AB AD CB CD AC a, 求证：平面ABD 平面BCD.
思考：
已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条 直线与地面平行、相交或垂直吗？这样的直线分别 有什么性质？
a
b
c
l
l
l



类比：面面平行→线面平行， 面面垂直→线面垂直？？
∠A1O1B1
平面角来度量
B1 B
平面角是直角的二面 角叫做直二面角
l
O1
A1
O
A
面面垂直定义与判定定理
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，称这两个平面互相垂直.
类比：线面平行→面面平行，线面垂直→面面垂直？？
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直.
简记：线面垂直，则面面垂直
综合证明问题
5.正 方 体ABCD A1B1C1D1中 ，EF与 异 面 直 线 AC , A1D都 垂 直 相 交 ， 求 证 ：EF // BD1.
6.如 图 ， 平 面 平 面， 在与的 交 线 l上 取 线 段AB 4cm, AC , BD分 别 在 平 面 和 平 面内 ，AC l, BD l, AC 3cm,
4.如 图 ， 已 知 直 四 棱 柱ABCD A1B1C1D1的 底 面 是 菱 形 ， 且DAB 60, AD AA1, F为 棱 BB1的 中 点 ，M为 线 段AC1的 中 点. (1)求 证 ：MF // 平 面ABCD; (2)求 证 ： 平 面AFC1 平 面ACC1A1.
2.如 图 ， 平 面PAB 平 面ABC ,平 面PAC 平 面ABC , AE 平 面PBC, E为 垂 足. (1)求 证 ：PA 平 面ABC; (2)当E为PBC的 垂 心 时 ， 求 证 ：ABC是 直 角 三 角 形.
综合证明问题
3.如 图 ，PA 矩 形ABCD所 在 平 面 ，M , N分 别 是AB, PC中 点. (1)求 证 ：MN CD; (2)若PDA 45,求 证 ：MN 面PCD.
面面垂直性质定理
判定定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直. 简记：面面垂直，则线面垂直
符号语言：若 , l, m , m l,则m .
图形： m

l
面面垂直性质定理运用
1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
CD
β
α A
D
AB BE
β β

AB

BE
ABE 90
β
E 二面角α CD β为直二面角。
源自文库
B
C
平面α 平面β。
面面垂直性质定理证明过程
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD，
A平面 ，AB⊥CD且AB交CD于B。
求证：直线AB⊥平面β。
证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
平面与平面垂直的 判定与性质
类比：从平面角到二面角
一条直线上的一个点把这条直 线分成两个部分，其中的每一 部分都叫做射线
一个平面内的一条直线把这个 平面分成两个部分，其中的每 一部分都叫做半平面
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
角的边 B
线线垂直 m n P,则l . 若 ，l ,则l a
线面垂直
面面垂直
若l
若


,l
,
,则 l,m
,
m

l
,则m


.
线线平行
综合证明问题
1.过 锐 角ABC的 垂 心H , 作PH 平 面ABC， 且 使APB 90， 求 证 ：BPC和APC都 是 直 角 三 角 形.
已知: , P , P a,a .求证: a .

P
ba

ba

c

cP
2.已知平面 平面，直线a满足a , a ,判断直线a与平面的位置关系，
并 证 明.
垂直关系综述
若l m, l n, m , n ,
若 ，b ,则a // b
符号语言：若l , l ,则
图形：
l

证明面面垂直
找线面垂直，用判定定理 计算二面角为90º，用定义
1.如 图 ，AB是 圆O的 直 径 ，PA垂 直 圆O所 在 的 平 面 ，C是 圆 周 上 不 同 于A, B的 任 意 一 点 ， 求 证 ： 平 面PAC 平 面PBC.

二面角的棱
O
A
A

角的顶点
二面角的面
B
二面角表示方法
二面角－AB－
A C
二面角C－AB－ D
B D
B
A
二面角－ l－

l


l
类 比， 从 平 面 角 到 二 面 角
角
二面角
图形 定义
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
从一点出发的两条 从一条直线出发的两个
射线所组成的图形 半平面所组成的图形叫
2.如 图 ， 已 知 边 长 为a的 正 三 角 形ABC的 中 线 AF与 中 位 线DE相 交 于 点G， 将 此 三 角 形 沿 DE折 成 二 面 角A DE B. 求 证 ： 平 面AFG 平 面BCED.
证明面面垂直
找线面垂直，用判定定理 计算二面角为90º，用定义
3.如图，在空间四边形ABDC中，AB BC, CD DA，E, F ,G分别是DC, DA, AC的中点, 求证：平面BEF 平面BGD.
叫做角。
做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
表示法
∠AOB
二面角—l— 或二面角—AB—
化归：二面角的平面角
以二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面
内分别作垂直于棱的两条射线OA和OB，这两条射线所成的
角∠AOB叫做二面角的平面角。 二面角的大小用它的
？ ∠A O B
AB CD BE CD
α


ABE是二面角α
CD
β

的平面角 αβ


ABAE
90。

D
AB BE AB CD
β
BE β
AB β。
E
CD β
B
BE CD B
C
BD 12cm,求 线 段CD的 长.
面面垂直判定定理证明过程
已知：直线AB平面，直线AB平面。求证：平面 平面。
证明：设 β=CD，则AB β=B ，在平面β内过B点作BE⊥CD。
AB
CD
β β

AB CD
BE CD

ABE是二面角α 的平面角