面面垂直的判定与性质
面面垂直 的 判定
面面垂直的判定面面垂直与线面垂直是高中数学学习的重点内容，面面垂直是指两条直线或两个平面垂直相交的情况，线面垂直是指一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
在解题中，已知面面垂直可推导出线面垂直。
面面垂直的判定1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。
3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
面面垂直的证明方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。
2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。
面面垂直怎么推出线面垂直面面垂直推线面垂直的方法：任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线，因为是同一个面内，所以一定能做出来，然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
高中数学面面垂直解题技巧1、确定面面垂直的两个面或者直线。
2、利用垂直的性质，如垂直的两条直线斜率的积为-1，或者两个向量垂直的充要条件为它们的内积为0。
3、根据题目条件列方程，利用已知垂直的性质解方程，求解未知数。
4、注意题目中的单位和精度要求，最终结果要进行合理的约分和四舍五入。
面面垂直的性质定理是什么性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的判定与性质课件
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
线面垂直 面面垂直的性质与判定定理
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
符号语言：
ab
a ,b a//b
α
线面垂直关 系
线线平行关 系
平面与平面垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I b b
l
l
b
α 发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， 知 ，平 直 a,且 面 线 ,A,B
a//,aA,B 试判断 a与 直 平 线 的 面位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则 注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
符号语言：
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
面面垂直的判定与性质
本题题目文字少，但有一定难度．只有真正 对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应 手．面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线， 则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找 交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线， 若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交 线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题 前应认真分析．本题的方法1较简单，但方法2将 平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓 尽致，不失为一个训练的好题．
【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中 ， DB ＝ BC ， DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：MD⊥AC； (2)试确定点M的位置，使得平面 DMC1⊥平面CC1D1D.
与垂直有关的探 索性问题
【证明】1 证明：因为BB1 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以BB1 AC. 又因为BD AC，且BD BB1＝B， 所以AC 平面BB1D. 而MD 平面BB1D，所以MD AC.
面面垂直的性质的理解中三个条件也 不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两 个平面垂直，都要首先找其交线，看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线，这样就能目标明确，事半功倍．
1． (2011淮阴中学、姜堰中学、前黄中学第一次 联考) m、n是两条不同的直线，、、 是三 设 个不同的平面，有下面四个命题： / / ① / / ; ② m ; / / m / / m m / / n ③ ;④ m / / ; m / / n 其中真命题的序号是 ________ ．
1.若l为一条直线，、、 为三个互不重合 的平面，给出下面三个命题： ① ， ； ② ， ； ③l ，l .
面与面垂直的判定定理的证明
面与面垂直的判定定理的证明引言在几何学中，面与面的垂直关系是一个重要的概念。
本文旨在探讨面与面垂直的判定定理，并给出其证明过程。
本文按照以下结构进行论述：1.定义与性质2.面与面垂直的判定定理1.方向向量法判定2.法向量法判定3.定理的证明1.方向向量法判定的证明2.法向量法判定的证明定义与性质在几何学中，面通常由平面上的点组成。
面的垂直关系是指两个面之间的夹角为90度的关系。
下面给出一些相关的定义与性质：定义1：面面是由平面上的点组成的集合。
定义2：夹角夹角是由两条射线形成的角度。
性质1：垂直关系的特性如果两个面是垂直的，则它们的法向量互相垂直。
性质2：垂直关系的传递性如果面A垂直于面B，并且面B垂直于面C，则面A必定垂直于面C。
面与面垂直的判定定理1. 方向向量法判定给定两个面A 和B ，我们可以通过判断它们的方向向量是否垂直来判断它们是否垂直。
具体地，我们可以通过以下步骤进行判定：步骤1：计算面A 的方向向量。
在二维空间中，我们可以从面A 上的两个线段得到两个方向向量，分别为A 1⃗⃗⃗⃗ 和A 2⃗⃗⃗⃗ 。
在三维空间中，我们可以从面A 上的三个线段得到三个方向向量，分别为A 1⃗⃗⃗⃗ 、A 2⃗⃗⃗⃗ 和A 3⃗⃗⃗⃗ 。
步骤2：计算面B 的方向向量。
同样地，我们可以从面B 上的线段得到相应的方向向量。
步骤3：判断方向向量是否垂直。
如果面A 的方向向量与面B 的方向向量垂直，则面A 与面B 垂直；否则，面A 与面B 不垂直。
2. 法向量法判定给定两个面A 和B ，我们也可以通过判断它们的法向量是否垂直来判断它们是否垂直。
具体地，我们可以通过以下步骤进行判定：步骤1：计算面A 的法向量。
在二维空间中，我们可以通过计算面A 上任意两个非共线的向量的叉积得到法向量。
在三维空间中，我们可以通过计算面A 上任意三个非共面的向量的叉积得到法向量。
步骤2：计算面B 的法向量。
同样地，我们可以通过类似的方法计算面B 的法向量。
平面与平面垂直的判定与性质
面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直 面面垂 直） 面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面 面垂直 线面垂直） 性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法： 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中 要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理， 在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三 者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂 直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利 用空间向量．
常用结论： （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内，此结论可以作为性质定理用， （2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这 条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
面面垂直的判定与性质定理
面面垂直的判定与性质定理一.面面垂直的判定定理：符号表示：1.（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,1AB AA==1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,//AB CD,AB AD⊥,2CD AB=,平面PAD⊥底面ABCD,PA AD⊥,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)//BE平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD3．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面4.（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;ABCD 图2BACD 图1二. 面面垂直的性质定理：符号表示：5. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.6.如图1,在直角梯形A B C D 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积.CDFE。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF并证明你的结论6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.B7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD证明:AB⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD中，60DAB︒∠=，2,4AB AD==,将CBD∆沿BD折起到EBD∆的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB DE⊥9、如图，在四棱锥ABCDP-中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PADVD CBA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
空间面面垂直的判定与性质
空间面面垂直的判定与性质一、平面的斜线1．斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．2．斜线的射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影．说明：直线与平面平行，直线在平面内的射影是一条直线,并且射线与直线平行．直线与平面垂直射影是点．斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上（需要去证明一下）．3．斜线段射影的性质定理：CO AB 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长．（若OB 等于OC ，则AB 与AC 相等，反过来也一样。
射影长的斜线段也长，射影短的斜线段也短；斜线段长射影也长）（2）相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长．例1 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（性质三，又称三垂线定理）例1′ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．(反过来也对，也称三垂线定理的逆定理）二、二面角1．二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面组成的图形．这条直线称为二面角的棱，两个半平面称为二面角的面．（二面角研究的是半平面的事，就不能把平面延展）二面角的表示：AB --αβ或Q AB P --(也就是ABQ 所在的平面和ABP 所在的平面，Q 在AB 的哪面就是哪半面平面）2．二面角的平面角：在二面角l--αβ的棱l上任取一点O，过点O以O为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l的射线OA OB构成的角AOBOA OB，则射线,,∠叫作二面角的平面角．说明：二面角的平面角的取值范围是[0,]π三、面面垂直1．定义：一般地，如果两个平面相交所成二面角的平面角是直角，就说这两个平面互相垂直．(定义线面垂直用的是线线垂直去定义，而定义线面垂直也是用线线垂直，只不过是找二面角的平面角的事情）2．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．说明：①经过空间一条直线且与已知平面垂直的平面可能有无数个，也可能只有一个．（无数个是直线垂直于平面有无数个，一个是相交但不垂直或线在面内或线面平行的时候）②面面垂直没有传递性．也就是说垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定，有可能平行，有可能是成任意大小的二面角．（门与所在的墙壁都与地面垂直，但若门绕着门轴转，夹角就不确定了）3．性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．(面面垂直的性质定理得到的是线面垂直）例1已知AB是圆O的直径，PA垂直于O 所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点．求证：平面PAC 平面PBC．（怎样证明面面垂直，只需要找一个平面经过E DCB Aβα另外一个平面的垂线）解析：例2已知：a =αβ，⊥αγ，⊥βγ．求证：a ⊥γ．证明：三、小结空间平行关系的判断线线平行：法一：（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行法二：（线面平行性质定理）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行法三：（面面平行性质定理）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行法四：（线面垂直性质定理）垂直于同一个平面的两条直线平行线面平行：法一：（线面平行的判定定理）平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该只限于瓷瓶面平行法二：（面面平行的性质定理2）面面平行：法一：（面面平行的判定定理）一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行法二：（面面平行判定的推论）（一个面的两条相交直线与另一个面内的两条相交直线平行，那么这两个面平行）空间垂直关系的判断线线垂直：法一：（定义）法二：（线面垂直的性质定理）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和平面内的任意一条直线平行法三：（推论：两条平行线中的一条和一条直线垂直，那么另外一条也和这个直线垂直）线面垂直：法一：（线面垂直的判定定理）一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直法二：（面面垂直的性质定理）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直法三：（线面垂直的性质定理）两条平行线中的一条垂直于一条平面，那么另一条直线也垂直于此平面面面垂直：法一：（面面垂直的判定定理）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面面平行的性质：1.性质定理2.两个平面平行，直线A在其中的一个平面内，那么直线A也与另外一个平面平行3.平行的传递性：平面A平行于平面B，且平面A平行于平面C，那么平面B平行于平面C。
面面垂直的判定和性质
教师姓名学生姓名教材版本人教版学科名称数学年级高一上上课时间2012. 课题名称两个平面垂直的判定和性质教学目标1．了解空间直线和平面的位置关系；2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．教学重点线面垂直的判定和性质。
教学过程备注一、知识要点：1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.3.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：4.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：二、典型例题：例1．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.例2．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.求证：平面ABD⊥平面BCD.例3、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上任一点，请写出图中互相垂直的平面，并说明理由。
面面垂直的判定和性质定理
面面垂直的判定和性质定理面面垂直是几何学中一个重要的概念，它在几何证明和解题中扮演着重要的角色。
本文将介绍面面垂直的判定和性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、面面垂直的判定面面垂直的判定有以下几种常见的方法：1. 垂直平分线判定法如果两个平面的垂直平分线相交于一点，那么这两个平面就是垂直的。
垂直平分线是指一个平面同时平分另外两个平面，并且相交于同一个点。
2. 垂直相交线判定法如果两个平面有一条相交线同时垂直于这两个平面，那么这两个平面就是垂直的。
垂直交线是指一个平面与另外两个平面相交，且与这两个平面的交线的方向垂直。
3. 法线向量判定法如果两个平面的法线向量互相垂直，那么这两个平面就是垂直的。
法线向量是指一个向量垂直于平面，其方向由平面的法线确定。
二、面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理可以用于解决几何题目，以下是几个常见的定理：1. 两个垂直平面的截线是垂直的如果两个平面垂直，那么它们的任意一个截线与另一个截线的垂直切线是垂直的。
2. 两个垂直平面的夹角是锐角或钝角两个平面垂直的夹角是锐角或钝角，而不可能是直角或平角。
3. 直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面上法线的夹角是相等的。
4. 直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的如果一条直线与一个平面垂直，那么直线上的任意一点到平面的距离都是最短的。
总结：面面垂直的判定包括垂直平分线判定法、垂直相交线判定法和法线向量判定法。
面面垂直的性质定理包括两个垂直平面的截线是垂直的、两个垂直平面的夹角是锐角或钝角、直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角以及直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的。
这些定理在几何证明和解题中有着广泛的应用，对于深入理解和应用面面垂直概念非常有帮助。
结论：通过面面垂直的判定和性质定理，我们能够准确判断两个平面是否垂直，并且了解到垂直平面的一些重要性质。
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面面垂直判定定理证明过程
已知：直线AB平面，直线AB平面。求证：平面 平面。
证明：设 β=CD，则AB β=B ，在平面β内过B点作BE⊥CD。
AB
CD
β β
AB CD
BE CD
ABE是二面角α 的平面角
∠A1O1B1
平面角来度量
B1 B
平面角是直角的二面 角叫做直二面角
l
O1
A1
O
A
面面垂直定义与判定定理
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，称这两个平面互相垂直.
类比：线面平行→面面平行，线面垂直→面面垂直？？
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直.
简记：线面垂直，则面面垂直
已知: , P , P a,a .求证: a .
P
ba
ba
c
cP
2.已知平面 平面，直线a满足a , a ,判断直线a与平面的位置关系，
并 证 明.
垂直关系综述
若l m, l n, m , n ,
若 ，b ,则a // b
符号语言：若l , l ,则
图形：
l
证明面面垂直
找线面垂直，用判定定理 计算二面角为90º，用定义
1.如 图 ，AB是 圆O的 直 径 ，PA垂 直 圆O所 在 的 平 面 ，C是 圆 周 上 不 同 于A, B的 任 意 一 点 ， 求 证 ： 平 面PAC 平 面PBC.
CD
β
α A
D
AB BE
β β
AB
BE
ABE 90
β
E 二面角α CD β为直二面角。
B
C
平面α 平面β。
面面垂直性质定理证明过程
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD，
A平面 ，AB⊥CD且AB交CD于B。
求证：直线AB⊥平面β。
证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
线线垂直 m n P,则l . 若 ，l ,则l a
线面垂直
面面垂直
若l
若
,l
,
,则 l,m
,
m
l
,则m
.
线线平行
综合证明问题
1.过 锐 角ABC的 垂 心H , 作PH 平 面ABC， 且 使APB 90， 求 证 ：BPC和APC都 是 直 角 三 角 形.
平面与平面垂直的 判定与性质
类比：从平面角到二面角
一条直线上的一个点把这条直 线分成两个部分，其中的每一 部分都叫做射线
一个平面内的一条直线把这个 平面分成两个部分，其中的每 一部分都叫做半平面
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
角的边 B
综合证明问题
5.正 方 体ABCD A1B1C1D1中 ，EF与 异 面 直 线 AC , A1D都 垂 直 相 交 ， 求 证 ：EF // BD1.
6.如 图 ， 平 面 平 面， 在与的 交 线 l上 取 线 段AB 4cm, AC , BD分 别 在 平 面 和 平 面内 ，AC l, BD l, AC 3cm,
2.如 图 ， 已 知 边 长 为a的 正 三 角 形ABC的 中 线 AF与 中 位 线DE相 交 于 点G， 将 此 三 角 形 沿 DE折 成 二 面 角A DE B. 求 证 ： 平 面AFG 平 面BCED.
证明面面垂直
找线面垂直，用判定定理 计算二面角为90º，用定义
3.如图，在空间四边形ABDC中，AB BC, CD DA，E, F ,G分别是DC, DA, AC的中点, 求证：平面BEF 平面BGD.
二面角的棱
O
A
A
角的顶点
二面角的面
B
二面角表示方法
二面角－AB－
A C
二面角C－AB－ D
B D
B
A
二面角－ l－
平 面 角 到 二 面 角
角
二面角
图形 定义
顶点 O
A 边
边B
A 棱a 面
B面
从一点出发的两条 从一条直线出发的两个
射线所组成的图形 半平面所组成的图形叫
4.如 图 ， 已 知 直 四 棱 柱ABCD A1B1C1D1的 底 面 是 菱 形 ， 且DAB 60, AD AA1, F为 棱 BB1的 中 点 ，M为 线 段AC1的 中 点. (1)求 证 ：MF // 平 面ABCD; (2)求 证 ： 平 面AFC1 平 面ACC1A1.
面面垂直性质定理
判定定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直. 简记：面面垂直，则线面垂直
符号语言：若 , l, m , m l,则m .
图形： m
l
面面垂直性质定理运用
1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
AB CD BE CD
α
ABE是二面角α
CD
β
的平面角 αβ
ABAE
90。
D
AB BE AB CD
β
BE β
AB β。
E
CD β
B
BE CD B
C
叫做角。
做二面角。
构成
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
表示法
∠AOB
二面角—l— 或二面角—AB—
化归：二面角的平面角
以二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面
内分别作垂直于棱的两条射线OA和OB，这两条射线所成的
角∠AOB叫做二面角的平面角。 二面角的大小用它的
？ ∠A O B
2.如 图 ， 平 面PAB 平 面ABC ,平 面PAC 平 面ABC , AE 平 面PBC, E为 垂 足. (1)求 证 ：PA 平 面ABC; (2)当E为PBC的 垂 心 时 ， 求 证 ：ABC是 直 角 三 角 形.
综合证明问题
3.如 图 ，PA 矩 形ABCD所 在 平 面 ，M , N分 别 是AB, PC中 点. (1)求 证 ：MN CD; (2)若PDA 45,求 证 ：MN 面PCD.
4.如图，在四面体ABCD中，BD 2a, AB AD CB CD AC a, 求证：平面ABD 平面BCD.
思考：
已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条 直线与地面平行、相交或垂直吗？这样的直线分别 有什么性质？
a
b
c
l
l
l
类比：面面平行→线面平行， 面面垂直→线面垂直？？