包装中的数学问题

【教材分析】本课教学内容是在学生掌握了长方体特征及表面积计算等相关知识的基础上，进一步探究几个相同长方体组合成新长方体的多种方案以及使其表面积最小的最优策略。

教材把《数学与购物》这一系列数学实践活动安排在第六单元后，主要意图是通过这样一系列与生活紧密联系的实践活动，培养学生综合应用所学的知识解决实际问题的能力。

在这系列实践活动中，教材安排了三个内容，主要涉及数与代数、空间与图形两部分知识，在解决生活实际问题的过程中，分别培养了学生的估算意识、计算中的最优策略以及组合立体图形的表面积最优策略。

本课教学内容是这一系列实践活动中的最后一个内容。

包装问题在日常生活中经常遇到，教材创设包装的情景，使学生综合应用表面积等知识来讨论如何节约包装纸的问题，它不仅培养学生的节约意识，更体现了数学的优化思想。

同时有助于培养学生空间感，提高解决实际问题的能力，感受数学与实际生活的密切联系。

【学生分析】1．学生已有的知识基础在本课学习之前，学生已熟练掌握了长方体、正方体的特征，能准确、迅速的计算出单一物体的棱长、表面积、体积，能把几个相同的正方体组合成新的正方体。

初步接触了由两个相同的正方体拼成一个长方体后表面积发生的变化。

针对学生已有知识的掌握情况，我们进行了前测，前测内容及情况如下：参加前测的人数：83人前测题目正确率1.一个长6厘米、宽4厘米、高10厘米的长方体牛奶盒。

它最大那个面的面积是()平方厘米，最小的那个面的面积是()平方厘米。

92%2、把两个棱长都是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了()平方厘米。

93%3、有一个长方体，它的长是10厘米、宽5厘米、高15厘米。

这个长方体底面的面积是()平方厘米，前面的面积是()平方厘米，右侧面的面积是()。

95%4、一个棱长是4厘米的正方体木块，把它切成两个完全一样的长方体，求每个长方体的表面积。

48%分析以上前测情况，我们看到学生已熟练掌握长方体各个面的面积计算，对于由两个相同的正方体拼成长方体，其表面积发生的变化掌握较好。

但是，对于组合立体图形的逆向思维，特别是由文字呈现时，有近一半的学生接受有困难，这提示我们：①在帮助学生建立空间观念时，要借助实物操作。

②在操作的过程中调动学生的多种感官，理解由几个相同长方体组合成新的长方体后发生的一系列变化。

2．学生已有的生活经验我校位于北京市海淀区城南，有近九成的学生是家中的独生子女，家庭经济情况较好，所有的学生都得到过生日礼物，也曾经为同伴或家人准备过礼物，接触过礼品的包装，知道包装纸的大小不仅与价格有关，也能清楚地意识到用包装纸包装起来的部分就是物体的表面积。

3．学生学习本课内容可能遇到的困难及学习方式的研究学生在探究由4个至多个相同的长方体组合成新的长方体时，对于方法的多样化与策略的最优化可能存在问题，通过动手操作大多数学生可以得到由4个相同长方体组合成新的长方体时的六种拼摆方法，但思维无序，对于方法的归纳和总结存在困难，因此以小组合作的活动方式进行研究，同伴之间相互补充，共同归纳总结，有助于培养学生的思维的有序性。

小组合作的学习方式应当是本课内容的最佳路径，学生可以在小组学习中充分体现解决拼摆方法的多样化，对于策略的最优化，存在更大的困难，这时需要教师发挥引导作用，带领全班学生通过比较六种拼摆、叠放方法，得到最相近的两种方法（即六个大面重叠或四个大面四个中面重叠），引发争论，再让学生通过观察实物、计算、说理推导、比较数值等多种方法结合具体事物，得到最优策略。

【学习目标】利用表面积等有关知识，探索多个相同的长方体叠放的方法以及使其表面积最小的最优策略，体验策略的多样化，发展优化思想。

通过解决包装中的相关问题，体会棱、面、体三者之间的关系，进一步培养学生的空间感。

通过动手操作、同伴交流，体验解决问题的基本过程和方法，提高解决问题的能力，感受数学与生活的密切联系。

【教学过程】一、引入一盒磁带的包装：师：刚才大家欣赏到的包装漂亮吗？用这些包装纸包装成的礼物都是什么体的？今天我们一起研究长方体包装中的数学问题。

（出示课题）我刚买了一盒磁带送给朋友，请你用手摸一摸用彩纸包装的是磁带盒的什么部分？（表面积）课前大家已经测量了磁带盒的长、宽、高并计算了它的表面积，能说一说吗？（设计意图：理解用包装纸包装与物体的表面积有着密切的联系，揭示本课所研究的数学问题是物体的表面积。

通过课前作业的订正，为下面由几个磁带盒组合成的长方体表面积计算打好基础。

）二、探究多个相同长方体组合成长方体的方法以及表面积最小的策略1．两盒磁带的包装：师：如果要送给朋友两盒磁带，可以怎样包装呢？售货员说用的包装纸越大包装的价格越高，你推荐老师采用哪种包装方法？为什么？这种方法用多大面积的包装纸呢？师：请每个同学先想一想，想好后再动手摆一摆，看看自己的想法可行吗？学生独立借助学具研究。

汇报订正。

包装方法：小面重叠中面重叠大面重叠师问：为什么只有这三种包装方法呢？（长方体6个面对面相等，分成了三组）根据你的经验，你推荐给老师哪种包装方法呢？为什么？（板书：两盒磁带大面重叠）这种包装方法至少需要多大面积的包装纸，接口处忽略不计。

（1）学生可能推荐老师用大面重叠的方法，因为重叠的面积越大，需要包装的面积就越小。

（2）包装纸的面积算法一：226×2-11×7×2=298（平方厘米）算法二：11×7×2+11×（2×2）×2+7×（2×2）×2=298（平方厘米）算法三：（226―11×7）×2=298（平方厘米）（设计意图：这是本课重点研究的内容，分两个层次进行：先研究包装的方案即方法多样化，再探究节省包装纸的问题即策略最优化，使部分学生初步意识到重叠的面积越大，包装的面积越小。

通过思考和动手操作为不同层次的学生搭建解决问题的舞台，使每一个学生都能找到解决问题的途径。

）2．三盒磁带包装师：如果将三盒磁带包装起来，你们说我选择什么样的方式包装最省包装纸呢？同桌两个同学摆一摆，说一说。

汇报：大面重叠的方法最省包装纸板书：三盒磁带：大面重叠3．四盒相同物体的包装：师：我们共同研究了两盒、三盒磁带的包装，如果是相同的四盒包装，它们有多少种包装方案呢？请四人小组的同学一起研究。

活动建议：请小组任意选择一种商品（四盒）研究包装方案，对每种方案进行简单介绍，想一想怎样汇报才能做到不重复、不遗漏，选出最省包装纸的方案并说明理由。

小组活动汇报：（1）四盒可能的包装方案6小面重叠6中面重叠6大面重叠（2）最省包装纸的方案师：请同学们再通过电脑回忆这六种包装方案，对于前三种方案你认为最佳的是......，后三种方案呢？重叠六个大面与重叠4个大面、4个中面比，哪个更省包装纸呢？你们是怎样得出结论的？（四盒磁带包装是六个大面最省包装纸，四盒牙膏等是4个大面、4个中面重叠最省包装纸）观察这些数据，为什么同样是四盒包装，而最省包装纸的包装方案却不一样呢？（设计意图：对于四盒物品的包装分三部分进行，首先探究有多少种包装方案，不同层次的学生都可以找到包装方案，但在方案的种类上有所差别，在总结方案的过程中可以培养学生思维的有序性；然后通过分析、比较六种方案得到最优方案；因为学生研究的对象不同，在最佳方案上会引发争执，这就开展了第三层次的研究，是什么原因造成了最佳方案上的差异，力争使一部分学生体会到棱的大小关系决定了方案的选择。

）三、课后小结（略）【教学反思】不算我们也能解决问题教育家陶行之先生曾说：我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就需进一步把儿童的创造力解放出来。

在本课的试讲过程中，我对陶行之先生的这句话感触很深。

本课在探究把四盒磁带进行包装，哪种方法最节省包装纸内容时，学生通过比较、分析，产生了两种意见：一部分学生认为6个大面重叠的方法最节省包装纸；另一部分学生认为4个大面、4个中面重叠的方法最好。

面对学生的争论，我阻拦了学生的发言，要求全体学生通过计算的方法解决这个争论。

绝大多数学生都在执行我的命令，有两个男孩子不听指挥，仍在摆弄手中的磁带盒，我几次有意识的提示他们算一算，但他们置之不理......待大多数学生完成计算后，我故意先请刚才的两位同学谈谈自己的想法，他们说：我们发现把大面重叠的四盒磁带组成的新长方体的左面是由原来的四个中面组成的，它们面积的大小与一个大面的面积很接近，因此我们的结论是四盒磁带在包装时，6个大面重叠的方法比4个大面、4个中面重叠的方法更省包装纸学生摆放的方法：通过这次试讲，不仅让我看到了学生潜在的创造力，更让我意识到动手操作对于小学生研究几何知识的重要性。

依据教学内容，有效的组织学生进行探究活动，为学生创设自主探索的空间是教师的责任。

因此，在设计本课教学方式上，分三个层次，对于两盒磁带的包装方法，在学生思考的前提下，以个人独立操作的方式来解决问题；对于三盒磁带的包装，以同桌两个同学交流的方式进行；对于难度最大的四盒相同长方体的包装，以四人小组合作的方式开展探究活动，在活动中不仅要摆放出包装方案，还要对这些包装方案进行归纳整理，从而找到最优策略。

总之，解放学生的创造力、发挥学生的创造力，开展有效的探究活动，可以进一步提高教学质量，充分调动学生参与学习的积极性，把课堂还给学生，使学生真正成为课堂的主人。