专题圆锥曲线中的最值与范围问题

高三数学专题复习

圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略

最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围：

例1.设AB 为抛物线y=x 2

的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，

解析：抛物线y=x 2

的焦点为F （0 ，

41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4

1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4

3

≥

21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4

11， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。 练习：

1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之

和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （

4

1

，－1） B. （

4

1

，1） C. （1，2） D. （1，－2）

2、（2008安徽文）设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：242

2AB COS θ

=-;

（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值

解 ：（1）由题意得：

2

22

2222

8

44c a a c b a b c

=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22

184

x y += (2)方法一：

由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2

2

e =

设l 为椭圆的左准线。则:4l x =-

作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上

112

2AF AA =∴ 112

(cos )2

FH AF θ=+ 12

2cos 2AF θ=+ 12cos AF θ

=-∴

同理 12cos BF θ

=+

112

2cos AB AF BF θ

=+=

=-∴。 方法二： 当2

π

θ≠

时，记tan k θ=，则:(2)AB y k x =+

将其代入方程 22

28x y += 得 2

2

2

2

(12)88(1)0k x k x k +++-=

设 1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是此二次方程的两个根.

22121222

88(1)

,.1212k k x x x x k k -+=-

=++∴

AB ===

==

................(1) 22

tan ,k θ=∵代入（1）式得

AB = (2)

当2

π

θ=

时，AB = 仍满足（2）式。

22cos AB θ

=-∴

（3）设直线AB 的倾斜角为θ，由于,DE AB ⊥由（2）可得

22cos AB θ=-

，22sin DE θ=-

2222

212cos 2sin 2sin cos 2sin 24

AB DE θθθθθ+=+==--++ 当344

ππ

θθ==或时，AB DE +

3、我们把由半椭圆

12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12

2

22=+c x

b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中2

2

2

c b a +=，0>a ，0>>c b ． 如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点．

(1)若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

（2）设P 是“果圆”的半椭圆122

22=+c

x b y (0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1

A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标． 解：（1）Θ

(

(012(0)00F c F F ，

，，，，

021211F F b F F ∴

=

====，，于是222237

44

c a b c ==+=，，

所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，224

1(0)3

y x x +=≤．

（2）设()P x y ，，则