北京市北京大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考(12月)数学试题
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题
绝密★启用前北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩ðU B ＝（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2} 2．1x <是12log 0x >的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2x y －＝ 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)4．△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A ．x 225+y 29=1 B ．y 225+x 29=1（y≠0） C ．x 216+y 29=1(y ≠0)D ．x 225+y 29=1（y≠0）5．(2016高考新课标III ，理3)已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32) ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√32,12), 则∠ABC = A ．30∘B ．45∘C ．60∘D ．120∘6．若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（ ） A ．(x −2)2+(y ±2)2=3 B ．(x −2)2+(y ±√3)2=3线…………线…………C．(x−2)2+(y±2)2=4D．(x−2)2+(y±√3)2=47．向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b与c共线,则实数λ=A．2-B．1-C．1D．28．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是（）A．S7<S8B．S15<S16C．S13>0D．S15>09．在ABC∆中，,,a b c分别为,,A B C的对边，如果,,a b c成等差数列，30B=︒，ABC∆的面积为32，那么b=（）A B．1+C D．210．若1a>，设函数()4xf x a x=+-的零点为(),log4am g x x x=+-的零点为n，则11m n+的取值范围是( )A．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．[)1,+∞C．()4,+∞D．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．设向量,a b是互相垂直的单位向量，向量a bλ+r r与2a b+r r垂直，则实数λ=_______12．已知点(2,0),(0,2)A B-，若点C是圆222x x y-+＝0上的动点，ABC∆的面积的最大值为．13．在等比数列{}n a中，14a=，公比为q，前n项和为nS，若数列{}2nS+也是等比数列，则q等于14．若圆()()22229x y-+-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b+-=>>对称，则19a b+的最小值为__________.○……○……15．已知点,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.16．已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=u u u r u u u u rg ，则λ的取值范围是__________. 三、解答题17．已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+= (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12?··f f f n +++19．已知点() 4,0C ，点 A B 、是圆22:20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC =u u u r u u u rg ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ，求k 的值20．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21．已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m:x =1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点．判断直线MB,MC是否关于直线m对称，并说明理由．22．对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S （A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．参考答案1．A【解析】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故ðU B ＝{x|x ＜1} 所以A∩ðU B ＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算 2．B 【解析】 【分析】 解对数不等式12log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.【详解】 ∵111222log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <， ∴1x <是12log 0x >必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题. 3．B 【解析】2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B ． 点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2xy =是单调递增的． 4．D 【解析】∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2a =10,c =4∴b 2=9∴ x 225+y 29=1(y ≠0)，选D.5．A【解析】试题分析：由题意，得cos∠ABC =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=12×√32+√32×121×1=√32，所以∠ABC =30°，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为a ⋅b ＝|a||b|cosθ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0∘≤θ≤180∘；（2）由向量的数量积的性质知|a|=√a ·a ，，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 6．D 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±√3，选D. 7．D 【解析】 【分析】由图中可知2+=a b c ，即可得到答案． 【详解】由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=. 答案为D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题． 8．C【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7>0,S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0，故选C.考点：1. 等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.9．B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--24b =+，解得1b =+B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式． 10．B 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果． 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标， 函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m n m n m n m n n m+=++=++…， 当2m n ==等号成立， 而4m n +=，故111m n+…， 故所求的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ．本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 11．2- 【解析】 【分析】根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值. 【详解】∵向量,a b r r是互相垂直的单位向量，∴0,||||1a b a b ⋅===r r r r，∵a b λ+r r 与2a b +r r垂直，∴22()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=-r r r r r r r r . 故答案为：2-. 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1. 12．32+ 【解析】试题分析：圆2220x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为1141222C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．考点：直线与圆的位置关系． 13．3解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s 2+2）2=（S 1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可得 q=3 14．16 【解析】 【分析】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19a b+的最小值． 【详解】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=． 所以119()()101061699b aa b a b a b a b+=++=+++=…， 当且仅当9b aa b=，即3a b =时取等号.故答案为：16. 【点睛】本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 15．4 【解析】 【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论． 【详解】① 若只有,,164A B ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin()6πω=g ，sin()14πω=g ，sin 02πω≠g ，则22,2,6332,42,2k k k Z k k Z k k Z πππωπωπππωππωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=+∈⎨⎪≠∈⎩或，求得ω无解．②若只有点,,,0622A C ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=g ，sin()02πω=g ，sin()14πω≠g ，故有22,2,6363,22,42k k k Z k k Z k k Z ππππωπωππωπππωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+∈⎪⎩或，即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+∈⎩或，求得ω的最小值为4． ③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin 62πω≠g，sin 14πω=，sin 02πω=，故有2,42,222,2,6363k k Z k k Z k k k Z ππωππωπππππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩且，即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩且，求得ω的最小正值为10， 综上可得，ω的最小正值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论. 16．(],1-∞- 【解析】 【分析】用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围． 【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，∴2220000003(,1)(,1)122o MP MQ x y x y x y x λ==----=--+=-+u u u r u u u u r g g ．Q 0||x max 32212λ=-⋅+=-，λ∴的取值范围是(],1-∞-．故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题. 17．(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x取到最小值- 【解析】 【分析】（1）a b ∥即3sin x x =，即可求出56x π=．（2）将()f x 表达式表示出来，注意使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值． 【详解】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 6x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x取到最小值-【点睛】此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目． 18．(1)121,3n n n a n b -=-=;(2) ()11312n m -=+，3214n n +-【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)， 则121,3n n n a n b -=-=.(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()11312n m -=+； ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭ 3214n n +-=. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.19．(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =- 【解析】 【分析】（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程：（2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】(1)设点P 坐标为(),x y ，因为P 为弦AB 的中点，则 OP AB ⊥， 因为0AC BC =u u u r u u u rg ，则AC BC ⊥，所以222OP PC OB +=，即()()2222420x y x y ⎡⎤++-+=⎣⎦，整理得()2226x y -+=，点P 的轨迹Γ是以点()2,0的圆， 方程为22( 2) 6x y -+=. (2)Γ的圆心()2,0到1l的距离1|20|2d == Γ被1l截得的弦长为=； Γ的圆心()2,0到2l的距离2d =，Γ被2l截得的弦长为=由题可知=:2k =-.【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用. 20．（1）3e 2e 0x y ++=. （2）1a ≤-或a 2e 4≥-. 【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2xfx x e -=⋅，则()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x '=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.试题解析：(1)当0a =时，因为()2xf x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题. 方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 21．(1)x 24+y 23=1；(2)对称.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，ca =12，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，32)，设直线l:y =12x +n ，n≠1．设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），由{x 24+y 23=1y =12x +n，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB ，MC 关于直线m 对称． 试题解析： (Ⅰ)由题意得c ＝1, 由＝可得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，)， 所以由题意可设直线l ：y ＝x ＋n ，n ≠1. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝＋＝＋＝1＋＋＝1＋ ＝1－＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.22．（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8 【解析】 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}． （2）令{}12,,n A x x x =L ．不妨设12n x x x <<<L ． 充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n +剟．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1． 因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-L ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等． 又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-L ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20， 而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3． 假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<…，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7， （i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ． 此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．（ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T （T （A ）），若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26， 解得2a =5或2a =2．当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T （T （A ））．不满足题意． 当A ={1，2，8}时，T （T （A ））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。
2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题
清华附中高三2019年12月月考试卷数学一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8B. 12C. 16D. 203.若122log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b =B. 2b a =C. 4a b =D. 4b a =4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱5.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A.2B.2-6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A. B.C.D.8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题；共30分）9.直线y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为________. 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 11.在△ABC 中，23A π∠=，，则bc=_________. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值是________.14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为______．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- （（）求()f x 的单调递增区间； （（）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为2-，求m 的最大值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD△等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.19.已知函数221()(1)2xf x a x eax a x -=-----，其中()a a ∈R 常数.(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．。
2020届北京市北京大学附属中学高三上学期月考(12月)数学试题(解析版)
2020届北京市北京大学附属中学高三上学期月考（12月）数学试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2【答案】B【解析】化简复数z ,求出其实部,虚部,列式求解即可. 【详解】1(1)()()bi bi i z b i i i i --⋅-===--⋅-, 因为复数z 的实部和虚部相等, 所以1b -=-,即1b =, 故选:B. 【点睛】本题考查复数,属于简单题.3．已知0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b> C ．a b < D ．22a b >【答案】D【解析】根据不等式的性质逐一判断选项正误即可. 【详解】若0a b >>,则22a b >,11a b<,a b >,故A,B,C 选项错误; 因为2xy =在R 上递增,所以22a b >,故D 选项正确; 故选:D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题. 4．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，可得“04πθ<≤”等价于“01k <≤”,再判断充要性即可. 【详解】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则04πθ<≤等价于“01k <≤.故“04πθ<≤”是“1k ≤”的充分不必要条件,故选:A. 【点睛】本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大.5．已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．-1B ．C ．1 D【答案】C【解析】运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可. 【详解】在正方形ABCD ,有AC =,()()cos 14OC OB AB AD BC AC AD AC AD AC π∴-⋅+=⋅=⋅=⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选:C. 【点睛】本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题.6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A BC D 1【答案】A【解析】根据题意求出渐近线的斜率,从而得到,a b 之间的等量关系,进而求出离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=垂直, 所以该渐近线的斜率为12, 所以12b a =,即12b a =,所以ce a===,故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率,难度不大.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．96里 B ．48里 C ．192里 D ．24里【答案】A【解析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,设该数列为{}n a,其前n项和为n S则有6161(1())2378112aS-==-,解得1192a=,故2196a a q==,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键. 8．已知函数()2,,x x af xx x a≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A．()00f=B．0a=时，()f x的值域为R C．()f x在R上单调递增时，0a=或1a≥ D．方程()2f x=有解时，2a<【答案】D【解析】作出2(),()g x x h x x==的图像,结合图像一一分析选项正误即可.【详解】作出2(),()g x x h x x==的图像如下图所示:当0x=时,(0)0,(0)0g h==,故不论a取何值,()00f=,故A选项正确;当0a=时,()2,0,0x xf xx x≤⎧=⎨>⎩,其值域为R,故B选项正确;若()f x 在R 上单调递增,结合上图可知0a =或1a ≥,故C 选项正确; 若方程()2f x =有解,结合上图可知2a ≥或2a <,故D 选项错误;故选:D. 【点睛】本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力.9．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（ ）A ．1Q ，1PB ．1Q ，2PC ．2Q ，1PD ．2Q ，2P【答案】A【解析】根据题意可知:i i Q A =的纵坐标i B +的纵坐标,i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论. 【详解】①因为i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则11Q A =的纵坐标1B +的纵坐标;22Q A =的纵坐标2B +的纵坐标; 33Q A =的纵坐标3B +的纵坐标;结合图像可知:1Q ,2Q ,3Q 中的最大值为1Q ;②因为i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数, 则i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,结合上图可知:1P ,2P ,3P 中的最大值是1P ; 故选:A. 【点睛】本题考查函数的图像,能明确i Q ,i P 的几何意义是解题关键.二、填空题10．抛物线216x y =的准线方程为______. 【答案】4y =-【解析】利用抛物线方程确定p ,即可求出准线方程. 【详解】抛物线216x y =的焦点在y 轴上,且42p=, 故其准线方程为:4y =-, 故答案为:4y =-. 【点睛】本题考查抛物线方程,属于基础题.11．已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）【答案】①③(或①④)【解析】作出函数的图像,分别判断交点个数即可.作出函数图像如下图所示:结合图像可知:①y x =-与③3y x =,④12y x =均只有一个交点,故答案为:①③(或①④) 【点睛】本题考查函数的图像及其交点个数问题,属于简单题. 12．在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______. 27+【解析】根据等差中项的性质,列出等式求解q ,进而得出结论. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q , 由1a ,12,3a ,22a 成等差数列, 可得21311223111111222222a a a a q a a a q a q +=⎧+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩, 解得273q +=或273q =(舍), 所以4327a q a +==, 故答案为27+本题考查等差中项的性质应用,结合等比数列的相关知识,需要一定的计算能力. 13．方程sin cos2x x =在区间[],ππ-上的解集为______. 【答案】5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】利用二倍角公式将原方程化为关于sin x 的二次方程求解,再结合x 的范围求解sin x 即可.【详解】2sin cos212sin x x x ==-,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 因为[],x ππ∈-, 所以6x π=或56x π=或2x π=-, 故答案为:5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查解三角函数相关的方程,需要一定的计算能力,属于简单题.14．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．【考点】方程组的思想以及基本不等式的应用．15．对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义αu r 和βur 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅u r u ru r u r u r u r .若非零的平面向量a r ，b r 满足：a b ⊗r r 和b a ⊗r r都在集合|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥r r .设a r 与b r 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=r r ______.【答案】23【解析】化简1cos a a b b θ⋅⊗==r r r r,2cos b b a aθ⋅⊗==rr r r ,则2121()()cos 3a b b a k k θ⊗⋅⊗==r r r r ,因此依据θ的范围即可求出12k k 的范围,进而确定其值,求出()sin a b θ⊗r r.【详解】11cos cos ()3a b a a b a b k k Z b b b b bθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 22cos cos ()3b a b b a b a k k Z a aa a aθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 2121()()cos 3a b b a k k θ∴⊗⋅⊗==r r r r ,,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,213cos (,)24θ∴∈,1239(,)24k k ∴∈,12,k k Z ∈Q ,122k k ∴=,22cos 3θ=,sin θ=, a b ≥r rQ ,12k k ∴>,即122,1k k ==,()2sin 3a b θ∴⊗=r r ,故答案为:23.【点睛】本题以新定义为背景考查向量数量积的应用,结合了三角函数的相关知识,需要学生有一定的分析计算能力.三、解答题16．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈;（2）[1,)-+∞ 【解析】(1)化简()f x ,再用整体法求出其单调减区间即可; (2)根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即可求出()f x 的值域,再令min ()0f x ≥即可求解. 【详解】(1)()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos cos cos 22x x x x x a =+-++cos x x a =++2sin()6x a π=++,令322()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 解得422()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 因此()f x 的单调递减区间为4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈, (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2[,]663x πππ+∈, 1sin()[,1]62x π∴+∈,()[1,2]f x a a ∴∈++,又()0f x ≥恒成立, 所以10a +≥,即1a ≥-, 所以a 的取值范围为:[1,)-+∞. 【点睛】本题考查复合型三角函数求单调区间及其相关的恒成立问题,难度不大.解决此类恒成立问题的关键是将其转化为最值问题.17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（23【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan 3A =- 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果.试题解析：（1）sin 30,tan 3A A A +=∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 72cos 77AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=132ABD ABC S S ∆∆∴==18．已知M e 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点. （1）求M e 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M e 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）. 【答案】(1)22(1)(2)25x y ++-=;(2)72【解析】(1)根据题意设出圆的一般方程,再代点求解,最后化为标准式即可;(2)先求出圆心M 到直线l 的距离,再利用垂径定理求出弦长DE ,进而可求MDE ∆的面积. 【详解】(1)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=, 因为M e 过()1,7A -,()2,6B ,()1,3C --三点,所以1+497024362604193020D E F D D E F E D E F F -++==⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+--+==-⎩⎩,所以圆M 的方程为2224200xy x y ++--=,所以圆M 的标准方程为22(1)(2)25x y ++-=; (2)圆心2()1,M -到直线l的距离为2d ==,则DE ===所以MDE ∆的面积为1172222S DE d =⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查求圆的方程,考查直线与圆相交的相关性质,难度不大.一般遇见直线与圆相交的题时,常用上垂径定理.19．已知函数()22xf x e x ax =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【答案】(1)(12)10a x y +-+=;(2)证明见详解 【解析】(1)求出()f x ',再根据切点求切线方程即可; (2)分别对其充分性和必要性进行分析即可. 【详解】(1)()22xf x e x a '=-+,所以(0)1,(0)12f f a '==+,所以()f x 在点()0,1处的切线方程为:1(12)y a x -=+, 即(12)10a x y +-+=;(2)当0x >时,()22xf x e x a '=-+,()2xf x e ''=-,令()0ln 2f x x ''>⇒>,则()f x '在(ln 2,)+∞上单调递增;令()00ln 2f x x ''<⇒<<,则()f x '在(0,ln 2)上单调递减;所以min ()(ln 2)22ln 22f x f a ''==-+ ①若0a >,则min ()22ln 220f x a '=-+>, 故()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以()(0)1f x f >=, 即“0a >”⇒“()1f x >”;②由①可知,只要min ()22ln 220f x a '=-+>,即ln 21a >-时,()f x 即在(0,)+∞上单调递增,即有()1f x >,因此“()1f x >”⇒“0a >”;故“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程,还结合了充要性考查导数的相关性质,属于中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=;（2）(4,0)-,证明见详解【解析】(1)由题意可得11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,1b =,进而得到椭圆方程;(2)设出直线PQ 的方程和P ,Q 的坐标,则可知1P 的坐标,进而表示出1PQ 的直线方程,再联立PQ 方程与椭圆方程,即可把0y =代入1PQ 求得x ,结合韦达定理进行化简,进而得出直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【详解】(1)由题意可得1(0,)B b ,2(0,)B b -,1(,0)F c -, 11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,22b =,即1b =,则椭圆的方程为2214x y +=;(2)由题可知直线PQ 的斜率不为0,故设直线PQ 的方程为:1x my =-,联立22144x my x y =-⎧⎨+=⎩, 得22(1)44my y -+=,即22(4)230m y my -+-=(0m ≠), 设1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y ,则11(P x ,1)y -, 又12224m y y m +=+,12234y y m =-+, 经过点11(P x ,1)y -,2(Q x ,2)y 的直线方程为121121y y y y x x x x ++=--, 令0y =,则211221112112x x x y x y x y x y y y y -+=+=++g , 又111x my =-,221x my =-.当0y =时,1221121212(1)(1)21my y my y my y x y y y y +==-++--2264131424mm m m -+=-=--=-+. 故直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题,属于中档题.21．已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.【答案】(1)4,1,3,2或4,2,1,3;(2)证明见详解;(3)7n =时不存在,8n =时存在,理由见详解 【解析】(1)根据题意直接写数列即可;(2)假设11a =,则110a -=,那么i a i -最多有1n -个结果,无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P ,题设得证;(3)根据两组1,2,3,…,n 中的奇偶个数,可以推导i a i -的结果中,奇数与偶数的个数组合,从而得出结论. 【详解】(1)若4n =,且14a =,则具有性质P 的数列A 有两个, 分别是4,1,3,2或4,2,1,3;(2)数列A :1a ,2a ,3a ,…,()4n a n ≥为1,2,3,…,n 的一个排列, 则i a i -最多有n 个结果,分别是0,1,2,,1n -L , 若11a =,则110a -=,2i ≥时,i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L ,因此,若11a =,则i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L , 无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P , 因此,若数列A 具有性质P ,则11a ≠; (3)当7n =时,不存在具有性质P 的数列A ; 当8n =时,存在具有性质P 的数列A . 证明如下:当7n =时,A :1a ,2a ,3a ,…,7a 为1,2,3,…,7的一个排列, 若其具有性质P ,则i a i -的结果应该分别是0,1,2,,6L , 包含3个奇数,4个偶数,而两组1,2,3,…,7中,包含8个奇数,6个偶数,其中,3个奇数与3个偶数相减能得到结果中的3个奇数,但剩下的5个奇数和3个偶数组合无法减出4个偶数,n=时,不存在具有性质P的数列A;因此7n=,则两组1,2,3,…,8中包含8个奇数,8个偶数,若8L,这4个偶数,4个奇数,可以组合相减得到0,1,2,,7n=时,存在具有性质P的数列A.因此8【点睛】本题以新定义为背景考查数列,结合了排列组合的相关知识,需要学生有一定的分析推理能力.。
2020年12月北大附中高三数学月考
北大附中2021届高三阶段性检测数学 2020.12.18本试卷150分，考试时间120分钟。
请考生务必将试题的答案填涂、作答在答题卡规定区域内，在试卷上作答无效。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若(1)2z i i +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上存在零点的是（ ） A. 1y x =+ B. 1y x x=+C. 3y x x =-D. sin y x x =-3. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点36(,)-， 则cos()πα-=（ ） A. 3-B. 3C. 6-D. 6 4. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=. 若12l l ∥，则实数a 的值是（ ） A. 0 B. 3- C. 0或3- D. 2或1-5. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D. 侧面四个三角形都是直角三角形6. 已知a ，b 是非零向量，则“a ，b 不是共线向量”是“a b a b -<+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知O 为坐标原点，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线W 于两点P ， Q ，则POQ ∆的面积（ ）A. 有最大值且有最小值B. 有最大值且无最小值C. 无最大值且有最小值D. 无最大值且无最小值8. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为（ ）A. 4800元B. 4900元C. 5000元D. 5200元 9. 已知圆22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A. (1,1)-B. [1,1]-C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1][1,)-∞-+∞ 10. 已知2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，其中,,a b c R ∈. 记集合{}()0S x R f x =∈=，{}()0T x R g x =∈=，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A. 1S =且0T =B. 1S =且1T =C. 2S =且2T =D. 2S =且3T = 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(原卷版)
北京师范大学附属实验中学2019-2020学年度第一学期高三月考数学试卷(191202)一､选择题:本题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩U B ð＝（）A.{x|0＜x ＜1}B.{x|x ＜0}C.{x|x ＞2}D.{x|1＜x ＜2}2.1x <是12log 0x >的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数2x y －＝的单调递增区间是()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0]C.[0，＋∞)D.(0，＋∞)4.△ABC 的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是()A.21X B.221259y x +=（y≠0）C.221(0)169x y y +=≠ D.21X （y≠0）5.(2016高考新课标III ，理3)已知向量1(,22BA uu r =,1),22BC uu u r =则∠ABC =A.30oB.45oC.60oD.120o6.若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（）A.()222(2)3x y -+±=B.()222(3x y -+=C .()222(2)4x y -+±= D.()222(4x y -+±=7.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=A.2-B.1-C.1D.28.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（）A.78S S <B.1516S S <C.130S >D.150S >9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（）A.132+ B.13+ C.223+ D.2310.若1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n +的取值范围是()A.7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B.[)1,+∞ C.()4,+∞ D.9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二､填空题:本题共6题，每小题5分，共30分.11.设向量,a b 是互相垂直的单位向量，向量a b λ+ 与2a b + 垂直，则实数λ=_______12.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，ABC ∆的面积的最大值为．13.在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于14.若圆()()22229x y -+-=上存在两点关于直线() 200,0ax by a b +-=>>对称，则19 a b+的最小值为__________.15.已知点3,,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.16.已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=，则λ的取值范围是__________.三､解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈.（1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.18.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)如果()*m n a b n N =∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12···f f f n +++19.已知点()4,0C ，点 A B 、是圆22 :20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC = ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ:1，求k 的值20.设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21.已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点．判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．22.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d （S（A））．定义变换T，变换T 将集合A 变换为集合T（A）=A∪S（A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．。
精品解析：北京市北京大学附属中学2019-2020学年高三上学期月考(12月)数学试题(原卷版)
北大附中2020届高三阶段性检测一、选择题共9小题，共40分.第1～5题每题4分，第6～9题每题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅2.已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（）A.-1B.1C.2D.-23.已知0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.22a b <B.11a b>C.a b< D.22a b>4.已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=（）A .-1B.C.1D.6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（）A .B.C.12+ D.17.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里8.已知函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A.()00f = B.0a =时，()f x 的值域为R C.()f x 在R 上单调递增时，0a =或1a ≥ D.方程()2f x =有解时，a <9.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（）A.1Q ，1P B.1Q ，2P C.2Q ，1P D.2Q ，2P 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10.抛物线216x y =的准线方程为______.11.已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）12.在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______.13.方程sin cos 2x x =在区间[],ππ-上的解集为______.14.设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．15.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义α 和β 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅.若非零的平面向量a ，b 满足：a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合3|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥ .设a 与b 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=______.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.18.已知M 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点.（1）求M 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）.19.已知函数()22xf x e x ax=-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21.已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.。
2022-2023学年北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试卷带讲解
则 ，故 ，
为等边三角形，渐近线的夹角为 ，故 ，
即 ， ， ， .
故选：A
7.已知正方体 的棱长为 是线段 上的动点且 ，则三棱锥 的体积为（）
A. B. C. D.无法确定
C
【分析】确定 平面 ，再计算体积得到答案.
【详解】如图所示：连接 与 交于点 ， 平面 ， 平面 ，
【详解】①若 成等比数列，则 ，
所以
；
②若 ,
满足 ，
但是不满足 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）
“ 成等比数列”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
10.已知函数 设 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
A
【分析】不等式转化为 ，考虑 和 两种情况，分别计算函数的最值得到范围.
北京师大附中2022–2023学年（上）高三月考
数学试卷
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
A
【分析】计算 ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，故 .
故选：A
2.已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于( )
星名
天狼星
老人星
南门二
大角星
织女一
五车二
参宿七
南河三
水委一
参宿四
视星等
0.03
0.08
0.12
0.38
0.46
a
绝时星等
1.42
4.4
0.6
0.1
2.67
精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(解析版)
北京师范大学附属实验中学2019-2020学年度第一学期高三月考数学试卷(191202)一､选择题:本题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩U B ð＝（）A.{x|0＜x ＜1} B.{x|x ＜0}C.{x|x ＞2}D.{x|1＜x ＜2}【答案】A 【解析】【详解】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故U B ð＝{x|x ＜1}所以A∩U B ð＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算2.1x <是12log 0x >的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】解对数不等式12log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.【详解】∵111222log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <，∴1x <是12log 0x >必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题.3.函数2xy －＝的单调递增区间是()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0]C.[0，＋∞)D.(0，＋∞)【答案】B 【解析】2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B．点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2x y =是单调递增的．4.△ABC 的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是()A.21X B.221259y x +=（y≠0）C.221(0)169x y y +=≠ D.21X （y≠0）【答案】D 【解析】1810AB AC BC AC BC AB++=∴+=> 所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2210,49a c b ==∴=∴()2210259x y y +=≠，选D.5.(2016高考新课标III ，理3)已知向量1(,22BA uu r=,1),22BC uu u r =则∠ABC =A.30oB.45oC.60oD.120o【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 112BA BC ABC BA BC⨯+⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤ ；（2）由向量的数量积的性质知||=·a a a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．【此处有视频，请去附件查看】6.若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（）A.()222(2)3x y -+±= B.()222(3)3x y -+±=C.()222(2)4x y -+±= D.()222(3)4x y -+±=【答案】D 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.7.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】由图中可知2+=a b c ，即可得到答案．【详解】由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题．8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（）A.78S S < B.1516S S < C.130S > D.150S >【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，11313713()1302a a S a +==>,11515815()1502a a S a +==<，故选C.考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（）A.12+ B.1+ C.22D.2【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--，整理得24b =+，解得1b =+B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式．10.若1a >，设函数()4xf x a x =+-的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是()A.7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.[)1,+∞ C.()4,+∞ D.9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．【详解】函数()4x f x a x =+-的零点是函数x y a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y x =对称，直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m n m n m n m n n m+=++=++ ，当2m n ==等号成立，而4m n+=，故111m n+ ，故所求的取值范围是[1，)+∞．故选：B ．【点睛】本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.二､填空题:本题共6题，每小题5分，共30分.11.设向量,a b 是互相垂直的单位向量，向量a b λ+ 与2a b + 垂直，则实数λ=_______【答案】2-【解析】【分析】根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值.【详解】∵向量,a b是互相垂直的单位向量，∴0,||||1a b a b ⋅===，∵a b λ+ 与2a b +垂直，∴22()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=- .故答案为：2-.【点睛】本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1.12.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，ABC ∆的面积的最大值为．【答案】3【解析】试题分析：圆2220x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为1141222C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．考点：直线与圆的位置关系．13.在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于【答案】3【解析】【详解】解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得1S +2，2S +2，3S +2成等比数列则（2S +2）2=（S 1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可得q=314.若圆()()22229x y -+-=上存在两点关于直线() 200,0ax by a b +-=>>对称，则19a b+的最小值为__________.【答案】16【解析】【分析】由圆的对称性可得，直线 20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19a b+的最小值．【详解】由圆的对称性可得，直线 20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=．所以119()()101061699b a a b a b a b a b+=++=+++= ，当且仅当9b aa b=，即3a b =时取等号.故答案为：16.【点睛】本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.15.已知点3,,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.【答案】4【解析】【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论．【详解】①若只有,,,1624A B ππ⎛⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=，sin(14πω= ，sin 02πω≠ ，则22,26332,42,2k k k Z k k Z k k Z πππωπωπππωππωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=+∈⎨⎪≠∈⎩或，求得ω无解．②若只有点,,,0622A C ππ⎛⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=，sin(02πω= ，sin()14πω≠ ，故有22,26363,22,42k k k Z k k Z k k Z ππππωπωππωπππωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+∈⎪⎩或，即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+∈⎩或，求得ω的最小值为4．③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin 62πω≠，sin 14πω=，sin 02πω=，故有2,42,222,2,6363k k Z k k Z k k k Z ππωππωπππππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩且，即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩且，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论.16.已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=，则λ的取值范围是__________.【答案】(],1-∞-【解析】【分析】用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围．【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，∴2220000003(,1)(,1)122o MP MQ x y x y x y λ==----=--+=-+ ．0||x max 32212λ=-⋅+=-，λ∴的取值范围是(],1-∞-．故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题.三､解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈.（1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1)56x π=.(2)0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x 取到最小值-【解析】【分析】（1）a b ∥即3sin x x =，即可求出56x π=．（2）将()f x 表达式表示出来，注意使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值．【详解】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是3tan 3x =-.又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 62x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ .于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x 取到最小值-.【点睛】此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目．18.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12···f f f n +++【答案】(1)121,3n n n a n b -=-=;(2)()11312n m -=+，3214n n +-【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q+=⎧⎨++=⎩解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=.(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()11312n m -=+；∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++ ()01113332n n -=++++ 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭3214n n +-=.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知点()4,0C ，点 A B 、是圆22 :20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC = ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ:1，求k 的值【答案】(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =-【解析】【分析】（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程：（2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案.【详解】(1)设点P 坐标为(),x y ，因为P 为弦AB 的中点，则OP AB ⊥，因为0AC BC = ，则AC BC ⊥，所以222OP PC OB +=，即()()2222420x y x y ⎡⎤++-+=⎣⎦，整理得()2226x y -+=，点P 的轨迹Γ是以点()2,0的圆，方程为22( 2) 6x y -+=.(2)Γ的圆心()2,0到1l的距离1|20|2d -==，Γ被1l截得的弦长为=；Γ的圆心()2,0到2l的距离2d =，Γ被2l截得的弦长为=，由题可知=:2k =-.【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用.20.设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）3e 2e 0x y ++=.（2）1a ≤-或a 2e 4≥-.【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2 x f x x e -=⋅，则()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x ¢=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.试题解析：(1)当0a =时，因为()2x f x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =.()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e=+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e +⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题.方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.21.已知椭圆G:的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点．判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．【答案】(1)22143x y +=；(2)对称.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，12c a =，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，32)，设直线l:12y x n =+，n≠1．设B（x 1，y 1），C（x 2，y 2），由2214312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB，MC 关于直线m 对称．试题解析：(Ⅰ)由题意得c ＝1,由＝可得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3,所以椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M(1，)，所以由题意可设直线l ：y＝x ＋n ，n ≠1.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1.x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝＋＝＋＝1＋＋＝1＋＝1－＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.22.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d （S（A））．定义变换T，变换T 将集合A 变换为集合T（A）=A∪S（A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．【答案】（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8【解析】【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论．【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}．（2）令{}12,,n A x x x = ．不妨设12n x x x <<< ．充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n + ．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1．因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=- ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n nx x x x x x x x x -⋯++⋯+任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ）的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=- ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20，而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3．假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a << ，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7，（i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ．此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．（ii）若A={1，2a，8}，且2a≤5．此时1，2，2a，2a+1，8，9，22a，8+2a，16∈T（A），则有16+9=25∈T （T（A）），若26∈T（T（A）），则16+22a=26或16+（8+2a）=26，解得2a=5或2a=2．当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．当A={1，2，8}时，T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。
人大附中2020-2021学年度12月考数学答案
人大附中2020-2021学年度高三12月统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）B （3）C （4）B（5） D （6）C（7）A（8）D（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）240（12）(,[22,)-∞-+∞ （13）11112()(,)(,)22222-- （1432（15）①②③注：第14题第一空3分，第二空2分；第15题不全对得3分，选④得0分． 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以BC AD ∥．…………… 1分 又因为AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面， 所以AD PBC ∥平面．…………… 2分 又因为AD ADE ⊂平面，ADE PBC l =平面平面，所以AD l ∥．…………… 3分 又因为AD ABCD ⊂平面，l ABCD ⊄平面， 所以l ABCD ∥平面．…………… 4分（Ⅱ）因为四边形ABCD 是正方形，P A ⏊平面ABCD ，AB AD ABCD ⊂，平面，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． …………… 5分 建立空间直角坐标系A xyz -，如图．不妨设正方形ABCD 的边长为1，设0AP a =>，则(0 0 0)A ，，，(1 1 0)C ，，，(0 1 0)D ，，，(0 0 )P a ，，，因为点E 是线段PC 的中点，所以11( )222E a，，． 所以(1 )1PC a =-，，，(0 1 0)AD =，，，11( )222a AE =，，． …………… 7分 因为1AE BC ==1，所以a =，所以(11 PC =，11( 22AE =，．…………… 8分设平面ADE 的法向量为()x y z =，，n ，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即011022y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩．， 令1z =，则x =．于是( 1)=n ．……………10分所以2cos PC PC PC⋅-〈〉===，n n n ……………12分 所以直线PC 与平面ADE……………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设0CD a =>．因为224BC AB AD CD ===， 所以422BC a AB a AD a ===，，． 所以3AC AD DC a =+=．…………… 2分在ABC △中，222222249161cos 2412AB AC BC a a a A AB AC a +-+-===-⋅．…………… 5分 （Ⅱ）所以A ∠为钝角，sinA…………… 7分 又因为ABC △的面积为1sin 2AB AC A ⋅⋅=，所以23a =所以2a =或2-（舍）．……………10分所以BD =……………13分（18）（共14分）解：法一 选择条件①．…………… 1分（Ⅰ）因为123n n a a +=+，*n ∈N ，所以132(3)n n a a ++=+．…………… 3分又因为11a =，所以{3}n a +是首项为134a +=，公比为2的等比数列． 所以1134(2)2n n n a -++=⋅=，123n n a +=-，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即11123232(23)i k j +++-+-=⋅-，1222i k j ++=．……………10分因为21112220n n n n n a a ++++-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分法二 选择条件③．…………… 1分（Ⅰ）因为11n n a S +=+，211n n a S ++=+，*n ∈N ，所以2111n n n n n a a S S a ++++-=-=． …………… 3分 所以212n n a a ++=，*n ∈N ．又因为11a =，21111122a S a a =+=+==， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 所以12n n a -=，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即111222(2)i k j ---+=⋅，1222i k j ++=．……………10分因为1112220n n n n n a a --+-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，0x >． 所以(1)()()1a x x a f x x a x x--'=--+=．因为()f x 在区间(1)+∞，上单调递增， 所以对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=≥，即0x a ->． 所以1a ≤．当1a ≤时，对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=>， 所以()f x 在区间(1)+∞，上单调递增． 所以a 的取值范围是( 1]-∞，．…………… 4分（Ⅱ）① 当0a ≤时，令()0f x '=，得()1x a =舍或，② 当01a <<时，令()0f x '=，得1x a =或，③ 当1a =时，对0x ∀>，(1)()0x f x x-'=≥（当且仅当1x =时取等号）， 所以()f x 在区间(0)+∞，上单调递增． ④ 当1a >时，令()0f x '=，得1x a =或，当1a =时，1不是极值点； 当1a >或1a <时，1是极值点．……………12分（Ⅲ）存在，满足条件的实数a 的个数为2．……………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，222224110c a a b a b c a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪>⎩，，，，，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22182x y +=． …………… 5分（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，(0)M t ，，0t ≠，则(0)N t -，．因为(2 1)P ，，所以直线PM 方程为12t y x t -=+-． 联立2218212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩-，，得22[(1)2]80x t x t +---=，…………… 7分即222(22)4(1)480t t x t t x t -+--+-=，22(2)[(22)24]0x t t x t --+-+=， 所以2122422t x t t -=-+，221221244222222t t t t y t t t t t ---+-=⋅+=--+-+． 同理2222422t x t t -=++，2224222t t y t t ---=++．……………11分猜想：直线AB 过定点(0)Q u ，，其中u 待定．证明：因为11()QA x y u -，，22()QB x y u -，， 1221222222222222334434 ()()244224422424()22222222222216(2)8(2)448(2)(2)4x y u x y u t t t t t t t t u t t t t t t t t t t t t t t u t t t t u t t t ---------+---=⋅-⋅---+++++-+-+++---=-++-+-=+． 所以当2u =-时，QA QB ∥恒成立．所以直线AB 即直线l 过定点(02)Q -，．……………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）① 因为(1)(2)1r r ==，4222n ==， 所以(1)(2)2n r r =<． 所以表①的“尖点”的个数为0．…………… 2分② 因为(1)(2)3r r ==，4222n ==，(1)(4)1c c ==，(2)(3)2c c ==，2122m ==，所以(1)(2)2n r r =≥，(1)(4)2m c c =≤，(2)(3)2m c c =>， 所以表②的“尖点”为(1 1)，，(1 4)，，(2 1)，，(2 4)，共4个．…………… 4分（Ⅱ）由题知，2m =，设21n k =+，*k ∈N ． （1）当(1)(2)2nr r <，时，数表A 的“尖点”的个数为0； （2）当(1)(2)22n n r r ≥<，时，或当(1)(2)22n nr r <≥，时，数表A 的“尖点”的个数小于或等于n ； （3）当(1)(2)2nr r ≥，时，(1)(2)1r r k ≥+，． 所以(1)(2)(21)(1)(2)22c c c k r r k ++⋅⋅⋅++=+≥+． 因此，(1)(2) (21)c c c k ⋅⋅⋅+，，，中，至多有2k 项不超过1． 所以数表A 的“尖点”的个数不超过4k ，即22n -．…………… 9分构造实例如下：令101 2112 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，211 2012 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，121n n a a ==，即数表A 为：则(1)(2)12r r k ==+>，(1)(2)(1)12c c c n ==⋅⋅⋅=-==，()22m c n =>．所以此数表的“尖点”的个数为2(1)22n n -=-． ……………10分（Ⅲ）不妨设(1)(2) ()2n r r r u ≤⋅⋅⋅，，，，0(1)(2) ()2nr u r u r m ≤++⋅⋅⋅<，，，， 0(1)(2) ()2m c c c v ≤⋅⋅⋅≤，，，，(1)(2) ()2mc v c v c n m <++⋅⋅⋅≤，，，， u m ≤，v n ≤，u v ∈N ，，m n ，均为偶数．11()()mni j S r i c j ====∈∑∑N ．① 依题意2mnuv =，所以2m u m ≤≤，2n v n ≤≤． 所以1()24mi n mn S r i u ==≥⋅≥∑，13()()224n j m mv mnS c j v m n v mn ==≤⋅+⋅-=-≤∑． 因此，344mn mn S ≤≤，S ∈N ． ……………13分②（1）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =，当1 2 22m mi m =++⋅⋅⋅，，，，1 2 j n =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =， 则2m u =，v n =，2mn uv =．此时，S 可为42mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………14分（2）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =，当12 i m =⋅⋅⋅，，，，1 2 22n nj n =++⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =， 则u m =，2n v =，2mn uv =．此时，S 可为324mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………15分综上所述，S 的取值范围为344mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N ．。
北师大实验高三上学期12月数学月考试卷(含答案)
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22.（14 分）对于由有限个自然数组成的集合 A ,定义集合 S( A) = {a + b∣a A,b A}, 记集合 S( A) 的元素个数为 d (S( A)) . 定义变换T ，变换T 将集合 A 变换为集合 T ( A) = A S( A) .
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18.（13 分）已知等差数列{an} 和等比数列{bn} 中， a1 = b1 = 1 ， a2 = b2 ， a4 + 2 = b3 ． (Ⅰ)求数列{an} 和{bn} 的通项公式； (Ⅱ)如果 am = bn (n N*) ，写出 m，n 的关系式 m = f (n) ，并求 f (1) + f (2) + + f (n)
Γ的圆心（2,0）到 l2 距离 d2=|√2������������2−+11|
Γ被 l2 截得的弦长为2√������2 − ������22 = 2√6 − （2������������2−+11）2……………………………………10
由题可知2√3
所以−√3������������������������ = 3������������������������.
……………………………………2
若������������������������ = 0，则������������������������ = 0，与������������������2������ + ������������������2������ = 1矛盾，故������������������������ ≠ 0. …………………………
2
则 f（1）+f（2）+…f（n）=12（30+1+31+1+…+3n-1+1）
2020-2021学年北京东城高三上数学月考试卷
2020-2021学年北京东城高三上数学月考试卷一、选择题1. a，b是两个互不相等的正数，则下列三个代数式中，最大的一个是（）①(a+1b )(b+1a)，②a+b2+2a+b，③(a+b2ab+2aba+b)2．A.必定是①B.必定是②C.必定是③D.不能确定【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】【解答】解：已知a,b是两个互不相等的正数，①(a+1b )(b+1a)=ab+1+1+1ab≥4，当且仅当ab=1ab时等号成立；②a+b2+2a+b≥2，当且仅当a+b2=2a+b时等号成立；③(a+b2ab +2aba+b)2≥22=4，当且仅当a+b2ab=2aba+b时等号成立.故不能确定哪一个最大.故选D.2. 若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的实轴长为4，则其渐近线的方程为（）A.y=±√2xB.y=±√22x C.y=±12x D.y=±14x【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵实轴长为4，∴2a=4，∴a=2，∴其渐近线方程为：y=±12x.故选C.试卷第1页，总1页。
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题
北京师范大学附属实验中学2019- 2020学年度第一学期高三月考数学试卷(191202)一､选择题:本题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩U B ð＝（ ）A. {x|0＜x ＜1}B. {x|x ＜0}C. {x|x ＞2}D. {x|1＜x ＜2} 2.1x <是12log 0x >的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数2x y －＝ 的单调递增区间是( )A. (－∞－－∞)B. (－∞－0]C. [0－－∞)D. (0－－∞)4.△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A. 21X B. 221259y x +=（y≠0） C. 221(0)169x y y +=≠ D. 21X （y≠0）5.(2016高考新课标III ，理3)已知向量1(,22BA uu r =,1(,),22BC uu u r = 则∠ABC =A 30o B. 45o C. 60o D. 120o6.若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（ ）A. ()222(2)3x y -+±=B. ()222(3x y -+=C. ()222(2)4x y -+±=D. ()222(4x y -+=7.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=.A. 2-B. 1-C. 1D. 28.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ）A. 78S S <B. 1516S S <C. 130S >D. 150S >9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）A. B. 1+ C. D. 2 10.若1a >，设函数()4x f x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A. 7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. [)1,+∞ C. ()4,+∞ D. 9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二､填空题:本题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.11.设向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，向量a b λ+r r 与2a b +r r 垂直，则实数λ=_______12.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，ABC ∆的面积的最大值为 ．13.在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于14.若圆()()22229x y -+-=上存在两点关于直线() 200,0ax by a b +-=>>对称，则19 a b+的最小值为__________.15.已知点,,,1,,06242A B C πππ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=图象上，则正数ω的最小值为__________. 16.已知双曲线22:12x C y -=，点M 坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=u u u r u u u u rg ，则λ的取值范围是__________. 三､解答题 (本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.) 17.已知向量(cos ,sin )x x =a，(3,=b ，[0,]x π∈.（1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.18.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)如果()*m n a b n N =∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12?··f f f n +++ 19.已知点() 4,0C ，点 A B 、是圆22:20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC =u u u r u u u r g ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ，求k 的值20.设函数2()()e ()xf x x ax a a -=+-⋅∈R （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21.已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G 方程； （Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点．判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．22.对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S （A ）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S （A ）的元素个数为d （S （A ））．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T （A ）=A∪S（A ）．（1）若A={0，1，2}，求S （A ），T （A ）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S （A ））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差.不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．。
精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(解析版)
北京师范大学附属实验中学2019- 2020学年度第一学期高三月考数学试卷(191202)一､选择题:本题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩U B ð＝（ ） A. {x|0＜x ＜1} B. {x|x ＜0}C. {x|x ＞2}D. {x|1＜x ＜2}【答案】A 【解析】【详解】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故U B ð＝{x|x ＜1} 所以A∩U B ð＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算 2.1x <是12log 0x >的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 解对数不等式12log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.【详解】∵111222log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <， ∴1x <是12log 0x >必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题. 3.函数2xy －＝ 的单调递增区间是( )A. (－∞，＋∞)B. (－∞，0]C. [0，＋∞)D. (0，＋∞)【答案】B 【解析】2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B ． 点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2xy =是单调递增的． 4.△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A. 21XB. 221259y x +=（y≠0）C. 221(0)169xy y +=≠D.21X （y≠0） 【答案】D【解析】1810AB AC BC AC BC AB ++=∴+=>Q所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2210,49a c b ==∴=∴()2210259x y y +=≠，选D. 5.(2016高考新课标III ，理3)已知向量1(,22BA uu r= ,1(,),22BC uu u r = 则∠ABC =A. 30oB. 45oC. 60oD. 120o【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BCu u u r u u u r u u u r u u u r ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤o o ；（2）由向量的数量积的性质知||=?a a a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．【此处有视频，请去附件查看】6.若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（ ） A. ()222(2)3x y -+±=B. ()222(3)3x y -+±=C. ()222(2)4x y -+±=D. ()222(3)4x y -+±=【答案】D 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.7.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由图中可知2+=a b c ，即可得到答案．【详解】由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=. 答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题．8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ） A. 78S S < B. 1516S S <C. 130S >D. 150S >【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，11313713()1302a a S a +==>,11515815()1502a a S a +==<，故选C.考点：1. 等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）A.12+ B. 1+ C.22+ D. 2+【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--整理得24b =+1b =+B ． 考点：余弦定理；三角形的面积公式．10.若1a >，设函数()4xf x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A. 7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. [)1,+∞ C. ()4,+∞D. 9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果． 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标， 函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m n m n m n m n n m+=++=++…， 当2m n ==等号成立，而4m n +=，故111m n+…， 故所求的取值范围是[1，)+∞．故选：B ．【点睛】本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.二､填空题:本题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分.11.设向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，向量a b λ+r r 与2a b +r r垂直，则实数λ=_______【答案】2- 【解析】 【分析】根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值.详解】∵向量,a b r r是互相垂直的单位向量，∴0,||||1a b a b ⋅===r r r r，∵a b λ+r r 与2a b +r r垂直，∴22()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=-r r r r r r r r .故答案为：2-.【点睛】本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1.12.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，ABC ∆的面积的最大值为 ． 【答案】32+ 【解析】试题分析：圆2220x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为1141222C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．考点：直线与圆的位置关系．13.在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于 【答案】3 【解析】【详解】解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得1S +2，2S +2，3S +2成等比数列则（2S +2）2=（S1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可得 q=314.若圆()()22229x y -+-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b +-=>>对称，则19a b+的最小值为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19a b+的最小值． 【详解】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=． 所以119()()101061699b aa b a b a b a b+=++=+++=…， 当且仅当9b aa b=，即3a b =时取等号.故答案为：16.【点睛】本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.15.已知点,,1,,0642A B C πππ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论．【详解】①若只有,,,1624A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=g ，sin()14πω=g ，sin 02πω≠g ，则22,2,6332,42,2k k k Z k k Z k k Z πππωπωπππωππωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=+∈⎨⎪≠∈⎩或，求得ω无解．②若只有点,,062A C ππ⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=g ，sin()02πω=g ，sin()14πω≠g ，故有22,2,6363,22,42k k k Z k k Z k k Z ππππωπωππωπππωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+∈⎪⎩或，即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+∈⎩或，求得ω的最小值为4． ③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin 6πω≠g，sin 14πω=，sin 02πω=，故有2,42,222,2,6363k k Z k k Z k k k Z ππωππωπππππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩且，即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩且，求得ω的最小正值为10， 综上可得，ω的最小正值为4， 故答案为：4．【点睛】本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论.16.已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=u u u r u u u u rg ，则λ的取值范围是__________. 【答案】(],1-∞- 【解析】 【分析】用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围． 【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，∴2220000003(,1)(,1)122o MP MQ x y x y x y x λ==----=--+=-+u u u r u u u u r g g ．Q 0||x max 32212λ=-⋅+=-，λ∴的取值范围是(],1-∞-．故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题.三､解答题 (本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x 取到最小值- 【解析】 【分析】（1）a b ∥即3sin x x =，即可求出56x π=．（2）将()f x 表达式表示出来，注意使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值．【详解】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭a b . 因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 6x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x取到最小值-. 【点睛】此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目．18.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+= (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12?··f f f n +++ 【答案】(1)121,3n n n a n b -=-=;(2) ()11312n m -=+，3214n n +-【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)， 则121,3n n n a n b -=-=.(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()11312n m -=+；∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L ()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭ 3214n n +-=. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知点() 4,0C ，点 A B 、是圆22:20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC =u u u r u u u rg ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ，求k 的值 【答案】(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =- 【解析】 【分析】（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程： （2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案.【详解】(1)设点P 坐标为(),x y ， 因为P 为弦AB 的中点，则 OP AB ⊥， 因为0AC BC =u u u r u u u rg ，则AC BC ⊥， 所以222OP PC OB +=， 即()()2222420x yx y ⎡⎤++-+=⎣⎦，整理得()2226x y -+=，点P 的轨迹Γ是以点()2,0的圆， 方程为22( 2) 6x y -+=.(2)Γ的圆心()2,0到1l 的距离1|230|3d ⋅-==， Γ被1l 截得的弦长为221223r d -=； Γ的圆心()2,0到2l 的距离22211k d k -=+，Γ被2l 截得的弦长为()22222212261k r d k --=-+，由题可知()2221233261k k -=⨯-+，解得:2k =-.【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用. 20.设函数2()()e ()xf x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）3e 2e 0x y ++=. （2）1a ≤-或a 2e 4≥-. 【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2xf x x e -=⋅，则()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x ¢=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.试题解析：(1)当0a =时，因为()2xf x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13xf x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅ ()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-； ③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-， 综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题.方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 21.已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）． （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点．判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．【答案】(1)22143x y +=；(2)对称.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，12c a =，由此能求出椭圆的方程． （Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，32)，设直线l:12y x n =+ ，n≠1．设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），由2214312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB ，MC 关于直线m 对称． 试题解析： (Ⅰ)由题意得c ＝1, 由＝可得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，)， 所以由题意可设直线l ：y ＝x ＋n ，n ≠1. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1.x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝＋＝＋＝1＋＋＝1＋ ＝1－＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.22.对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S （A ）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S （A ）的元素个数为d （S （A ））．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T （A ）=A∪S（A ）． （1）若A={0，1，2}，求S （A ），T （A ）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S （A ））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ）），求元素个数最少的集合A ． 【答案】（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8 【解析】 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}．（2）令{}12,,n A x x x =L ．不妨设12n x x x <<<L ． 充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n +剟．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1． 因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-L ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等． 又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-L ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ． 设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +． 若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20， 而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3． 假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<…，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7，（i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ．此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．（ii）若A={1，2a，8}，且2a≤5．此时1，2，2a，2a+1，8，9，22a，8+2a，16∈T（A），则有16+9=25∈T （T（A）），若26∈T（T（A）），则16+22a=26或16+（8+2a）=26，解得2a=5或2a=2．当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．当A={1，2，8}时，T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。
2020-2021学年北京东城高三上数学月考试卷
1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
基本常等式簧最母问赤中的应用
基来雨等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
双曲根气渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2020-2021学年北京东城高三上数学月考试卷
一、选择题
1. ， 是两个互不相等的正数，则下列三个代数式中，最大的一个是（）
① ，② ，③ ．
A.必定是③B.必定是①C.不能确定D.必定是②
2.若双曲线 的实轴长为 ，则其渐近线的方程为（）
A. B. C. D.
参考答案与试题解析
2020-2021学年北京东城高三上数学月考试卷
北京市师范大学附属实验中学2020-2021学年高二数学12月月考试题(含解析)
，0， ， ，2， ， ，2， ，
设 ，则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
， ， ，
直线 与平面 垂直，
，解得 ，
方程组只有唯一的一组解，
与平面 垂直的直线 有1条．
故选： ．
【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
14. 把5件不同产品摆成一排，若产品 与产品 相邻， 且产品 与产品 不相邻，则不同的摆法有____________种.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.
13. 斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求证：PB∥平面AEC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）证明AC⊥平面PAB，即得证；
（2）连接BD交AC于O，连接EO. 证明OE∥PB，即得证.
详解】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD
北京师范大学附属实验中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试卷
2020-2021学年北京师大实验中学高二（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若z ¯(1+i)=1−i ，则z =( ) A.1−i B.1+i C.−i D.i2. 在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为（ ） A.−5 B.5 C.−10 D.103. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A.120种 B.90种 C.60种 D.30种4. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1E →=14A 1C 1→，若AE →=xAA 1→+y(AB →+AD →)，则（ ）A.x =12，y =12 B.x =12，y =1C.x =1,y =13D.x =1,y =145. 设a ∈R ，则“a =1”是“直线l 1:ax +2y −1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（ ） A.a // α，a ⊥b ，则b ⊥α B.a ⊥α，a ⊥b ，则b // αC.a ⊂α，b ⊂α，a // β，b // β，则α // βD.a ∩b ＝A ，a // α，b // α，a // β，b // β，则α // β7. 在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若AC →⋅BC →=1，则点C 的轨迹为（ ）8. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )A.√1010B.√3010C.2√1510D.3√10109. 设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A.7 2B.3C.52D.210. 已知点E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1. i是虚数单位，则|5−i1+i|的值为________．2. 设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线为y=√2x，则C的离心率为________．3. 斜率为√3的直线过抛物线C:y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________163．4. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．5. 曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB；（2）求证：PB // 平面AEC．2. 已知点P(2, 0)及圆C:x2+y2−6x+4y+4=0．(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；(2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q 的方程；(3)设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．3. 已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．4. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面A1B1C1AC=CB=CC1=2，∠ACB=90∘，D，E分别是A1B1，CC1的中点．（1）求证：C1D // 平面A1BE；（2）求证：平面A1BE⊥平面AA1B1B；（3）求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值．5. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD // BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；(Ⅰ)求二面角F−AE−P的余弦值；(Ⅰ)设点G在PB上，且PGPB =23．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．6. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2, 1)．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得参考答案与试题解析2020-2021学年北京师大实验中学高二（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 D【考点】 共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 【解答】解：由题意得z ¯=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i) =−i ， Ⅰ z ＝i ． 故选D . 2.【答案】 C【考点】二项式定理及相关概念 【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得x 2的系数． 【解答】(√x −2)5的展开式中，通项公式为 T r+1=C 5r⋅(−2)r ⋅x5−r2，令5−r 2=2，求得r ＝1，可得x 2的系数为 C 51⋅(−2)＝−10，3.【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】让场馆去挑人，甲场馆从6人中挑一人有：∁61=6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：∁2=10种结果；余下的3人去丙场馆；相乘即可求解结论．解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：C 61=6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：C 52=10种结果；余下的3人去丙场馆，故共有：6×10=60种安排方法. 故选C . 4. 【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 空间向量的基本定理及其意义 【解析】由图，根据向量的三角形法则把向量AE →用三个向量AA 1→、AB →、AD →的线性组合表示出来，由于此三个向量是不共面的，由空间向量基本定理知，一个向量在一组基底上的分解是唯一的，由此得到系数x ，y 的值，选出正确答案 【解答】解：由题意，如图AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+14A 1C 1→又AC →=A 1C 1→，AC →=AB →+AD →Ⅰ AE →=AA 1→+14(AB →+AD →) 由已知AE →=xAA 1→+y(AB →+AD →) 由空间向量基本定理知x =1,y =14故选D5.【答案】 A【考点】两条直线平行的判定必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解：当a =1时，直线l 1:x +2y −1=0与直线l 2:x +2y +4=0， 两条直线的斜率都是−12，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件; 当两条直线平行时，得到a1=2a+1≠−14，解得a =−2，a =1， 因为后者不能推出前者，所以前者是后者的充分不必要条件． 故选A ． 6. 【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】在A 中，b 与α相交、平行或b ⊂α；在B 中，b // α或b ⊂α；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，由面面平行的判定定理得α // β． 【解答】由a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：在A 中，a // α，a ⊥b ，则b 与α相交、平行或b ⊂α，故A 错误； 在B 中，a ⊥α，a ⊥b ，则b // α或b ⊂α，故B 错误；在C 中，a ⊂α，b ⊂α，a // β，b // β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，a ∩b ＝A ，a // α，b // α，a // β，b // β，则由面面平行的判定定理得α // β，故D 正确． 7.【答案】 A【考点】 轨迹方程 【解析】设出A 、B 、C 的坐标，利用已知条件，转化求解C 的轨迹方程，推出结果即可． 【解答】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点， 不妨设A(−a, 0)，B(a, 0)，设C(x, y)， 因为AC →⋅BC →=1，所以(x +a, y)⋅(x −a, y)＝1， 解得x 2+y 2＝a 2+1， 所以点C 的轨迹为圆． 8.【答案】 B【考点】异面直线及其所成的角建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算． 【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示，则A(1, 0, 0)，E(0, 2, 1)，B(1, 2, 0)，C 1(0, 2, 2)， BC 1=(−1, 0, 2)，AE =(−1, 2, 1)， cos <BC 1→,AE →>=√5⋅√6=√3010． 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为√3010． 故选B . 9.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】先判断△PF 1F 2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出． 【解答】由题意可得a ＝1，b =√3，c ＝2， Ⅰ |F 1F 2|＝2c ＝4， Ⅰ |OP|＝2， Ⅰ |OP|=12|F 1F 2|，Ⅰ △PF 1F 2为直角三角形， Ⅰ PF 1⊥PF 2，Ⅰ |PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2＝16， Ⅰ ||PF 1|−|PF 2||＝2a ＝2，Ⅰ |PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|＝4， Ⅰ |PF 1|⋅|PF 2|＝6，Ⅰ △PF 1F 2的面积为S =12|PF 1|⋅|PF 2|＝3，空间中直线与平面之间的位置关系【解析】取BB1的中点H，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN // FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM // 平面ABCD，NG // 平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG // 平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN // 平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FH // C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN // FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH // KB，由于GM // HO，HO // KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM // 平面ABCD，同理由NG // FH，可推得NG // 平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG // 平面ABCD，则MN // 平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1.【答案】√13【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意可知：5−i1+i =(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=5−6i+i21−i2=2−3i，Ⅰ |5−i1+i|=|2−3i|=√22+(−3)2=√13．故答案为：√13.双曲线的离心率【解析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．【解答】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±bax，由题意可得ba =√2，所以离心率e=ca=√1+b2a2=√3，3.【答案】163【考点】抛物线的性质【解析】由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．【解答】由题意可得抛物线焦点F(1, 0)，直线l的方程为y=√3(x−1)，代入y2＝4x并化简得3x2−10x+3＝0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=103；x1x2＝1，Ⅰ 由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p=103+2=163．4.【答案】36【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A44种方法，而A，B可交换位置，所以有2A44=48种摆法.又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A33=12种摆法，故满足条件的摆法有48−12=36(种)．故答案为：36.5.【答案】②③轨迹方程【解析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)，利用直接法，设动点坐标为(x, y)，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】对于②，把方程中的x被−x代换，y被−y代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确（1）对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积S△F1PF2=1 2|PF1||PF2|sin∠F1PF2=12a2sin∠F1PF2，≤12a2，所以③正确．故答案为：②③．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1.【答案】证明：（1）Ⅰ PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，Ⅰ PA⊥AC又Ⅰ AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PABⅠ AC⊥面PABⅠ AC⊥PB（2）连接BD交AC于点O，并连接EO，Ⅰ 四边形ABCD为平行四边形Ⅰ O为BD的中点又Ⅰ E为PD的中点Ⅰ 在△PDB中EO为中位线，EO // PBⅠ PB⊄面AEC，EO⊂面AECⅠ PB // 面AEC．【考点】直线与平面平行的判定空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）欲证AC⊥PB，可先证AC⊥面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面PAB内两相交直线垂直，根据PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，满足定理所需条件；（2）欲证PB // 面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与面AEC内一直线平行即可，连接BD交AC于点O，并连接EO，根据中位线可知EO // PB，PB⊄面AEC，EO⊂面AEC满足定理所需条件．【解答】证明：（1）Ⅰ PA⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，Ⅰ PA⊥AC又Ⅰ AB⊥AC，PA∩AC=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PABⅠ AC⊥面PABⅠ AC⊥PB（2）连接BD交AC于点O，并连接EO，Ⅰ 四边形ABCD为平行四边形Ⅰ O为BD的中点又Ⅰ E为PD的中点Ⅰ 在△PDB中EO为中位线，EO // PBⅠ PB⊄面AEC，EO⊂面AECⅠ PB // 面AEC．2.【答案】解：(1)设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y−0=k(x−2)，即kx−y−2k=0．圆C：x2+y2−6x+4y+4=0可化为(x−3)2+(y+2)2=9，Ⅰ 圆C的圆心为(3, −2)，半径r=3，由√k2+1=1，解得k=−34．所以直线方程为y=−34(x−2)，即3x+4y−6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件.(2)由P(2,0)，C(3,−2)，可得|CP|=√5，而弦心距d=√5，所以d=|CP|=√5，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4.(3)把直线ax−y+1=0即y=ax+1，代入圆C的方程，消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0．由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−2a>0，解得a<0，则实数a的取值范围是(−∞, 0)．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, −2)必在l2上，所以l2的斜率k PC=−2，而k AB=a=−1k PC，所以a=12．由于12∉(−∞, 0)，故不存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB．【考点】直线与圆的位置关系直线的点斜式方程点到直线的距离公式两点间的距离公式圆的标准方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（2）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△>0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，即可求出直线ax−y+1＝0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．【解答】解：(1)设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y−0=k(x−2)，即kx−y−2k=0．圆C：x2+y2−6x+4y+4=0可化为(x−3)2+(y+2)2=9，Ⅰ 圆C的圆心为(3, −2)，半径r=3，由√k2+1=1，解得k=−34．所以直线方程为y=−34(x−2)，即3x+4y−6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件.(2)由P(2,0)，C(3,−2)，可得|CP|=√5，而弦心距d=√5，所以d=|CP|=√5，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4.(3)把直线ax−y+1=0即y=ax+1，代入圆C的方程，消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0．由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−2a>0，解得a<0，则实数a的取值范围是(−∞, 0)．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, −2)必在l2上，所以l2的斜率k PC=−2，而k AB=a=−1k PC，所以a=12．由于12∉(−∞, 0)，故不存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB．3.【答案】由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为(c, 0)，因为AB⊥x轴，将x＝c 代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，所以弦长|CD|＝4c，将x＝c代入椭圆C1的方程可得y2＝b2(1−c2a2)=b4a2，所以|y|=b2a，所以弦长|AB|=2b 2a，再由|CD|=43|AB|，可得4c=43⋅2b2a，即3ac＝2b2＝2(a2−c2)，整理可得2c2+3ac−2a2＝0，即2e2+3e−2＝0，e∈(0, 1)，所以解得e=12，所以C1的离心率为12；由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：(±a, 0)，(0, ±b)，而抛物线的准线方程为：x＝−c，所以由题意可得2c+a+c+a−c＝12，即a+c＝6，而由（1）可得ca =12，所以解得：a＝4，c＝2，所以b2＝a2−c2＝16−4＝12，所以C1的标准方程为：x 216+y212=1，C2的标准方程为：y2＝8x．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程椭圆的应用椭圆的离心率【解析】（1）由题意设抛物线的方程，求出焦点坐标，再由题意求切线弦长|CD|，|AB|的值，再由|CD|=43|AB|，可得a，b，c的关系，由椭圆中，a，b，c之间的关系求出椭圆的离心率；（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标，及抛物线的准线方程，进而求出4个顶点到准线的距离，再由（1）的结论求出a，c的值，又由椭圆中a，b，c之间的关系求出a，b，c的值，进而求出椭圆及抛物线的方程．【解答】由题意设抛物线C2的方程为：y2＝4cx，焦点坐标F为(c, 0)，因为AB⊥x轴，将x＝c代入抛物线的方程可得y2＝4c2，所以|y|＝2c，所以弦长|CD|＝4c，将x ＝c 代入椭圆C 1的方程可得y 2＝b 2(1−c 2a 2)=b 4a 2，所以|y|=b 2a，所以弦长|AB|=2b 2a，再由|CD|=43|AB|，可得4c =43⋅2b 2a，即3ac ＝2b 2＝2(a 2−c 2)，整理可得2c 2+3ac −2a 2＝0，即2e 2+3e −2＝0，e ∈(0, 1)，所以解得e =12， 所以C 1的离心率为12；由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：(±a, 0)，(0, ±b)， 而抛物线的准线方程为：x ＝−c ，所以由题意可得2c +a +c +a −c ＝12，即a +c ＝6，而由（1）可得ca =12，所以解得：a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2−c 2＝16−4＝12，所以C 1的标准方程为：x 216+y 212=1，C 2的标准方程为：y 2＝8x ． 4.【答案】（1）证明：取AB 的中点F ，连结DF ，交A 1B 于点M ，可知M 为DF 中点， 连结EM ，易知四边形C 1DME 为平行四边形， 所以C 1D // EM ．又C 1D ⊄平面平面A 1BE ，EM ⊂平面A 1BE ，所以C 1D // 平面A 1BE ．…（2）证明：因为A 1C 1=C 1B 1，且D 是A 1B 1的中点， 所以C 1D ⊥A 1B 1．因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥C 1D ． 所以C 1D ⊥平面AA 1B 1B ．又C 1D // EM ，所以EM ⊥平面AA 1B 1B ． 又EM ⊂平面A 1BE ，所以平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ．．…（3）解：如图建立空间直角坐标系C −xyz ，则B(0, 2, 0)，C 1(0, 0, 2)，E(0, 0, 1)，A 1(2, 0, 2)．Ⅰ BC 1→=(0, −2, 2)，EA 1→=(2, 0, 1)，EB →=(0, 2, −1)．设平面A 1BE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{2x +z =02y −z =0令x =1，则n →=(1, −1, −2)． 所以cos <BC 1→，n →>=|BC 1→||n →|˙=−√36． 所以直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值为√36．… 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 直线与平面所成的角【解析】（1）取AB 的中点F ，连结DF ，交A 1B 于点M ，可证C 1D // EM ，利用线面平行的判定定理可得C 1D // 平面A 1BE ；（2）证明以EM ⊥平面AA 1B 1B ，可得平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ；（3）建立空间直角坐标系，求出平面A 1BE 的法向量，利用向量的夹角公式，可求直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AB 的中点F ，连结DF ，交A 1B 于点M ，可知M 为DF 中点， 连结EM ，易知四边形C 1DME 为平行四边形， 所以C 1D // EM ．又C 1D ⊄平面平面A 1BE ，EM ⊂平面A 1BE ，所以C 1D // 平面A 1BE ．…（2）证明：因为A 1C 1=C 1B 1，且D 是A 1B 1的中点， 所以C 1D ⊥A 1B 1．因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥C 1D ． 所以C 1D ⊥平面AA 1B 1B ．又C 1D // EM ，所以EM ⊥平面AA 1B 1B ． 又EM ⊂平面A 1BE ，所以平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ．．…（3）解：如图建立空间直角坐标系C −xyz ，则B(0, 2, 0)，C 1(0, 0, 2)，E(0, 0, 1)，A 1(2, 0, 2)．Ⅰ BC 1→=(0, −2, 2)，EA 1→=(2, 0, 1)，EB →=(0, 2, −1)．设平面A 1BE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{2x +z =02y −z =0令x =1，则n →=(1, −1, −2)． 所以cos <BC 1→，n →>=|BC 1→||n →|˙=−√36． 所以直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值为√36．… 5.【答案】证明：(Ⅰ)Ⅰ PA ⊥平面ABCD ，Ⅰ PA ⊥CD ， Ⅰ AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， Ⅰ CD ⊥平面PAD ．（2）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴， AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，E(0, 1, 1)，F(23, 23, 43)， P(0, 0, 2)，B(2, −1, 0)， AE →=(0, 1, 1)，AF →=(23,23,43)， 平面AEP 的法向量n →=(1, 0, 0)， 设平面AEF 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AE →=y +z =0m →⋅AF →=23x +23y +43z =0 ，取x ＝1，得m →=(1, 1, −1)， 设二面角F −AE −P 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3=√33． Ⅰ 二面角F −AE −P 的余弦值为√33． (Ⅰ)直线AG 在平面AEF 内，理由如下： Ⅰ 点G 在PB 上，且PGPB =23．Ⅰ G(43, −23, 23)， Ⅰ AG →=(43, −23, 23)，Ⅰ 平面AEF 的法向量m →=(1, 1, −1)， m →⋅AG →=43−23−23=0， 故直线AG 在平面AEF 内．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)推导出PA ⊥CD ，AD ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面PAD ．(Ⅰ)以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −AE −P 的余弦值．(Ⅰ)求出AG →=(43, 0, 23)，平面AEF 的法向量m →=(1, 1, −1)，m →⋅AG →=0，从而直线AG 在平面AEF 内． 【解答】证明：(Ⅰ)Ⅰ PA ⊥平面ABCD ，Ⅰ PA ⊥CD ， Ⅰ AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， Ⅰ CD ⊥平面PAD ．（2）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴， AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，E(0, 1, 1)，F(23, 23, 43)，P(0, 0, 2)，B(2, −1, 0)， AE →=(0, 1, 1)，AF →=(23,23,43)，平面AEP 的法向量n →=(1, 0, 0)， 设平面AEF 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AE →=y +z =0m →⋅AF →=23x +23y +43z =0，取x ＝1，得m →=(1, 1, −1)， 设二面角F −AE −P 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3=√33． Ⅰ 二面角F −AE −P 的余弦值为√33． (Ⅰ)直线AG 在平面AEF 内，理由如下： Ⅰ 点G 在PB 上，且PGPB =23．Ⅰ G(43, −23, 23)，Ⅰ AG →=(43, −23, 23)，Ⅰ 平面AEF 的法向量m →=(1, 1, −1)， m →⋅AG →=43−23−23=0， 故直线AG 在平面AEF 内．6. 【答案】 Ⅰ 离心率e =ca =√22， Ⅰ a =√2c ， 又a 2＝b 2+c 2， Ⅰ b ＝c ，a =√2b ，把点A(2, 1)代入椭圆方程得，42b 2+1b 2=1，解得b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +m x 26+y 23=1，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6＝0，由△＝(4km)2−4(2k 2+1)(2m 2−6)>0，知m 2<6k 2+3， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1，Ⅰ AM ⊥AN ，Ⅰ AM →⋅AN →=(x 1−2, y 1−1)⋅(x 2−2, y 2−1)＝0，即(k 2+1)x 1x 2+(km −k −2)(x 1+x 2)+m 2−2m +5＝0， Ⅰ (k 2+1)⋅2m 2−62k 2+1+(km −k −2)(−4km2k 2+1)+m 2−2m +5＝0，化简整理得，4k 2+8km +3m 2−2m −1＝(2k +m −1)(2k +3m +1)＝0， Ⅰ m ＝1−2k 或m =−2k+13，当m ＝1−2k 时，y ＝kx −2k +1，过定点A(2, 1)，不符合题意，舍去； 当m =−2k+13时，y ＝kx −2k+13，过定点(23,−13)．设D(x 0, y 0)，则y 0＝kx 0+m ， (i)若k ≠0，Ⅰ AD ⊥MN ，Ⅰ k ⋅kx 0+m−1x 0−2=−1，解得x 0=2k 2+4k+63k 2+3，y 0=3k 2+4k−13k 2+3，Ⅰ (x 0−43)2+(y 0−13)2=(−2k 2+4k+23k 2+3)2+(2k 2+4k−23k 2+3)2=8(k 4+2k 2+1)9(k 2+1)2=89，Ⅰ 点D 在以(43, 13)为圆心，2√23为半径的圆上， 故存在Q(43, 13)，使得|DQ|=2√23，为定值． (ii)若k ＝0，则直线MN 的方程为y =−13，Ⅰ AD ⊥MN ，Ⅰ D(2, −13)，Ⅰ |DQ|=√(43−2)2+(13+13)2=2√23，为定值． ②当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为x ＝t ，M(t, s)，N(t, −s)，且t 26+s 23=1，Ⅰ AM ⊥AN ，Ⅰ AM →⋅AN →=(t −2, s −1)⋅(t −2, −s −1)＝t 2−4t −s 2+5=32t 2−4t +2=0，解得t =23或2（舍2），Ⅰ D(23, 1)，此时|DQ|=√(43−23)2+(13−1)2=2√23，为定值． 综上所述，存在定点Q(43, 13)，使得|DQ|为定值，且该定值为2√23． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 椭圆的标准方程 【解析】（1）由题可知，{ ca =√224a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解出a 2和b 2的值即可；（2）分两大类进行讨论：①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，与椭圆方程联立，消去y ，写出韦达定理，结合AM →⋅AN →=0可得m ＝1−2k 或m =−2k+13，分别找出两种情形下直线MN 所过的定点，再设D(x 0, y 0)，然后分两小类讨论，(i)k ≠0，可推出存在Q(43, 13)，使得|DQ|=2√23，为定值，(ii)k ＝0，此时D 为(2, −13)，只需验证Q(43, 13)是否符合题意；②当直线MN 的斜率不存在时，此时D 为(23, 1)，也是验证Q(43, 13)是否符合题意即可．【解答】 Ⅰ 离心率e =c a=√22， Ⅰ a =√2c ， 又a 2＝b 2+c 2， Ⅰ b ＝c ，a =√2b ，把点A(2, 1)代入椭圆方程得，42b 2+1b 2=1，解得b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +m x 26+y 23=1，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6＝0，由△＝(4km)2−4(2k 2+1)(2m 2−6)>0，知m 2<6k 2+3， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1，Ⅰ AM ⊥AN ，Ⅰ AM →⋅AN →=(x 1−2, y 1−1)⋅(x 2−2, y 2−1)＝0，即(k 2+1)x 1x 2+(km −k −2)(x 1+x 2)+m 2−2m +5＝0， Ⅰ (k 2+1)⋅2m 2−62k 2+1+(km −k −2)(−4km2k 2+1)+m 2−2m +5＝0，化简整理得，4k 2+8km +3m 2−2m −1＝(2k +m −1)(2k +3m +1)＝0， Ⅰ m ＝1−2k 或m =−2k+13，当m ＝1−2k 时，y ＝kx −2k +1，过定点A(2, 1)，不符合题意，舍去； 当m =−2k+13时，y ＝kx −2k+13，过定点(23,−13)．设D(x 0, y 0)，则y 0＝kx 0+m ， (i)若k ≠0，Ⅰ AD ⊥MN ，Ⅰ k ⋅kx 0+m−1x 0−2=−1，解得x 0=2k 2+4k+63k 2+3，y 0=3k 2+4k−13k 2+3，Ⅰ (x 0−43)2+(y 0−13)2=(−2k 2+4k+23k 2+3)2+(2k 2+4k−23k 2+3)2=8(k 4+2k 2+1)9(k 2+1)2=89，Ⅰ 点D 在以(43, 13)为圆心，2√23为半径的圆上， 故存在Q(43, 13)，使得|DQ|=2√23，为定值． (ii)若k ＝0，则直线MN 的方程为y =−13，Ⅰ AD ⊥MN ，Ⅰ D(2, −13)，Ⅰ |DQ|=√(43−2)2+(13+13)2=2√23，为定值． ②当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为x ＝t ，M(t, s)，N(t, −s)，且t 26+s 23=1，Ⅰ AM ⊥AN ，Ⅰ AM →⋅AN →=(t −2, s −1)⋅(t −2, −s −1)＝t 2−4t −s 2+5=32t 2−4t +2=0，解得t =23或2（舍2），Ⅰ D(23, 1)，此时|DQ|=√(43−23)2+(13−1)2=2√23，为定值． 综上所述，存在定点Q(43, 13)，使得|DQ|为定值，且该定值为2√23．。
2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题
2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月）月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}11x x -≤≤D ．{}1x x ≤【答案】C解：集合{}1,0,1A =-，{}21{|11}B x x x x =<=-<<所以{}11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C.2．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】B解：用1a 和公差d 表示出13S 和439a a a ++即得． 【详解】设数列公差为d ，则131113121313(6)522S a d a d ⨯=+=+=，164a d +=， ∴48911113783(6)3412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯=.． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的基本量运算是解题关键．3．若122log log 2a b +=，则有( ) A ．2a b = B ．2b a =C ．4a b =D ．4b a =【答案】D 解：因为212log log a b +=222log log log 2b a b a -==,所以224b a==，4b a =，故选D.4．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B解：由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱11ABEA DCFD - ，则截去的部分是三棱柱11BB E CC F - ，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．32B 6C ．32或3D ．62或62-【答案】D解： 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =. 因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为3322r =，即322m d ==，解得6=m 或6m =-，故选D. 6．“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 解：【详解】 若函数2()ln 1x f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数，则()()f x f x -=()()f x f x -=-，∴221ln ln ln 2111x x a a x x x ax-⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭++， ∴()()21lnln12a a x xxa a x-++=-++∴()()2112a a x xxa a x-++=-++，整理得()222221a a x x -+=-,故221(2)1a a ⎧=⎨+=⎩，解得1a =-. 总上可得，“1a =-”是“函数2()ln 1x f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数”的充分必要条件.选C. 7．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C解：确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B解：确定立定跳远进入决赛的是1至8号同学，然后根据各选择项对四位同学是否一定进行决赛进行分析．【详解】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，a≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6若59人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意；9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛．只有5号可肯定进入跳绳决赛． 故选：B. 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的概念是解题基础．（1）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略． （2）演绎推理常考的推理形式还包括假言推理，即根据假言命题的逻辑性质进行的推理，解决这类问题常用方法①充分条件假言推理，②必要条件假言推理二、填空题 9．直线3y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为________.【答案】解：求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长． 【详解】直线方程一般式为0x -=，圆心为(2,0)，它到已知直线的距离为1d ==，圆半径为2r =，所以弦长为==．故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何方法，由垂径定理知可用勾股定理求出弦长．10．函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】2π.解：将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.11．在△ABC中，23Aπ∠=，a=3c，则bc=_________.【答案】1解：试题分析：由正弦定理知sin3sinA aC c==，所以2sin13sin23Cπ==，则6Cπ=，所以2366Bππππ=--=，所以b c=，即1bc=．【考点】解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化边是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．12．已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为42，点M是棱BC的中点，点P 在底面ABCD内，点Q在线段11A C上，若1PM=，则PQ长度的最小值为_____.【答案】33解：过点Q作QN⊥平面ABCD，垂足为N，则点N在线段AC上，连接,PQ PN,在Rt PNQV中，()222242PQ QN PN PN=+=+，在平面ABCD内过点M作ME AC⊥，垂足为E，则2ME=，即M到直线AC的最短距离为2，又1PM=，当P ME∈时，此时min11PN ME=-=,所以()22min42133PQ=+=.13．如图，在等边三角形ABC中，2AB=，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则AM BN⋅u u u u r u u u r的最小值是________.【答案】-3.解：以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案. 【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B，(C ,AC中点12N ⎛- ⎝⎭. 设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+u u u u r，3,22BN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r3(1)22AM BN x y ⋅=-++u u u u r u u u r .∵(,)M x y在直线103:BC x y +-=上，∴13x y =-，∴3AM BN ⋅=-u u u u r u u u r∵0y剟0y =时，AM BN ⋅u u u u v u u u v的最小值为-3.故答案为-3 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量数量积的应用，属于基础题.14．已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r，则||BD uuu r的最大值为______． 【答案】10解：解：设AC m =，由题意可得：3,DC m AB == ，则：22228cos 22AC BC AB m C AC BC m+--==⨯ ，ABC构成三角形，则：2{2m m +>-<，解得：24m <<，由余弦定理：BD ===，当4m =时，BD u u u r取得最大值为10.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题15．已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）2(1)n b n n =+；（2）2(1)n nS n =+．解：（1）先求出数列{}nb n的通项公式，再得n b ,直接作差可得单调性； （2）用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和． 【详解】 （1）∵12(2)1n n b b n n n --=≥-，∴数列{}n b n是等差数列，公差为2，又141b=，∴42(1)22nb n n n=+-=+，∴2(1)n b n n =+． 2n ≥时，12(1)2(1)40n n b b n n n n n --=+--⋅=>，所以1n n b b ->，所以数列{}n b 是递增数列． （2）11111()2(1)21n b n n n n ==-++， ∴111111[(1)()()]222312(1)n n S n n n =-+-++-=++L ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的单调性，考查裂项相消法求和．在数列求和中有些特殊数列求和方法需要掌握：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法等等． 16．已知函数.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最小值为，求m 的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）解：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m 的最大值． 【详解】 解：（Ⅰ）. 由，得.所以的单调递增区间是（Ⅱ）因为，所以.要使得在上的最小值为， 即在上的最小值为.所以，即.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题． 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面PAD ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）3010；（3）棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，且13PEPD=.解：（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD的中点O，连接PO，得PO⊥平面ABCD，以AP为x轴，AC为y轴，过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；（3）假设棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，设PE PDλ=u u u r u u u r，由AEu u u r与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在.【详解】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，AC AD⊥，平面PAD I平面ABCD AD=，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PAD；（2）取AD的中点O，连接PO，由于PAD∆是等边三角形，所以PO AD⊥，由平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，3PO=，以AP为x轴，AC为y轴，过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,0,0)D，(0,1,0)C，11(,,0)22B-，(1,0,3)P，(1,1,3)PC=-u u u r，11(,,0)22BC=u u u r，设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=r，则301122n PC x y zn BC x y⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u vvu u u vv，取1x=-，则1y=，233z=，23(1,1,3n=-r，平面PAD的一个法向量为(0,1,0)m=u r，cos,m nm nm n⋅<>===u r ru r ru r r，∴平面PAD与平面PBC；（3）假设棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，设PE PDλ=u u u r u u u r(01)λ≤≤，由（2）(1,0,PD=u u u r，AP=u u u r，10AE AP PE AP PDλλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(，又平面PBC的一个法向量是(n=-r，∴1)0AE nλ⋅=--+=u u u r r，解得13λ=，∴13PEPD=.∴棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，且13PEPD=.【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．18．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点为1F，2F，离心率为12，点P为椭圆C 上一动点，且12PF F△O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点()11,M x y，()22,N x y为椭圆C上的两个动点，当1212x x y y+为多少时，点O 到直线MN的距离为定值.【答案】（1）22143x y+=；（2）当1212x x y y+＝0时，点O到直线MN的距离为定值7. 解：（1）12PF F△的面积最大时，P是短轴端点，由此可得bc=222a b c=+可得,a b，从而得椭圆方程；（2）在直线MN斜率存在时，设其方程为y kx m=+，现椭圆方程联立消元（y）后应用韦达定理得1212,x x x x+，注意>0∆，一是计算1212x x y y+，二是计算原点到直线MN的距离，两者比较可得结论．【详解】（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==22212bc c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的距离为d =即2221m d k=+， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k--+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，7d =为常数． 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的距离为定值7. 【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．19．已知函数221()(1)2xf x a x eax a x -=-----，其中()a a ∈R 为常数. (1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）1y =-；（2）(1,0)-．解：（1）求出导数，得切线斜率，可得切线方程；（2）求出导函数()f x '，分类讨论求()0f x '=的根，讨论()f x 的单调性，得极值点．要极值点在(0,1)上才能满足题意． 【详解】 （1）1()x x f x e +=-，()xxf x e'=，(0)0f '=，又(0)1f =-，所以切线方程为1y =-． （2）2()()()()xx f x a x e ax a x a e a --'=+--=+-，由（1）知0a =不合题意，当0a <时，由()0f x '=得x a =-，且当x a <-时，()0f x '<，x a >-时，()0f x '>，x a =-是()f x 的极小值点，由题意01a <-<，所以10a -<<．当0a >时，由()0f x '=得1x a =-或2ln x a =-，10x a =-<，若1a ≥，则2ln 0x a =-≤，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数，所以()f x 在(0,1)上是单调函数，无极值点，当01a <<时，ln 0a ->，x a <-或ln x a >-时，()0f x '<，ln a x a -<<-时，()0f x '>，即()f x 在(,)a -∞-，(ln ,)a -+∞上递减，在(,ln )a a --上递增，所以()f x 在(0,1)上无极小值点． 综上a 的取值范围是(1,0)-． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，函数的极值，考查了分类讨论思想、转化与化归思想．属于难题．20．已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,14 1,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式；（2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =． 【答案】（1）3n d =；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 解：（1）根据定义可直接求得4,1n n A B ==，从而可计算n d .（2）先证明充分性，可根据数列的单调性得到11,n n n A a B a +==，从而可得0n d <，再证明必要性，先从10d <可得12a a <，再根据20d <可得23a a <，依次类推可以得到34n a a a <<<L L ，从而得到数列为单调增数列.（3）当1n =时，我们得到{}23min ,,,,0n a a a =L L ，就23,,,,n a a a L L 全为零和23,,,,n a a a L L 不全为零分类讨论即可.【详解】（1）当14n ≤≤，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =， 又451n a a a ==⋯==⋯=， 所以4,1n n A B ==， 1,2,3,n =⋯，所413n n n d A B =-=-=.（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<<<L L ， 则11,n n n A a B a +==，所以110n n n n d A B a a +=-=-<.必要性：对于数列{}n a ， *,0,0n n n n n N d d A B ∀∈<=-<即n n A B <，当1n =时，{}111212min ,,,n a A B a a α+==<≤L L ，所以12a a <， 当2n =时，222a A B =<，{}2313min ,,,n B a a a +=≤L L ，所以23a a <， 同理34n a a a ⋯<<⋯<即数列{}n a 单调递增，故“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件．（3）当1n =时，11A a =，因为11d a =，所以10B =， 所以{}23min ,,,,0n a a a =L L ，若设23,,,,n a a a L L 全为零，则{}21234,min ,,,,0n A a B a a a ===L L ， 时22100d A a =-==，故0n a =，其中任意的*n N ∈.若23,,,,n a a a L L 不全为零，设诸23,,,,n a a a L L 中第一个为零．．．．．的记为0i a ， 则00231,,,,,i i a a a a -L L 中，{}11min ,,,,0m m m n B a a a ++==L L 即0m B =， 其中011m i ≤≤-，所以{}12max ,,,m m m d A a a a ==L ，因为m m d a =，所以{}12max ,,,m m a a a a =L 对任意的011m i ≤≤-总成立， 所以0121i a a a -≤≤≤L ，下面考虑0i A ，因为{}0001231max ,,,,,i i i A a a a a a -=L 即{}0002311max ,,,,0i i i A a a a a --==L ， 因为000i i d a ==，所以{}0000121min ,,,,0i i i n i B a a a a++-==>L L ，故对任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>，则{}0000+1123111max ,,,,,0,i i i i A a a a a a a -++==L ，因为00+11i i d a +=， 所以{}000+123min ,,,,0i i i n B a a a ++==L L ，这与任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>矛盾，所以23,,,,n a a a L L 不全为零不成立， 所以0n a =，其中任意的*n N ∈. 【点睛】本题以数列新定义为载体，考查了数列通项的求法、充分必要条件的证明以及数列性质的讨论，解题中注意从具体到一般的思维方法，注意抓住关键元素进行讨论（如本题中的零元素），此类问题属于难题.。
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所以 ,即 ,
所以 ,
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲天走的路程构成了公比 的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.
【详解】
由题意可知,此人每天走的路程构成了公比 的等比数列,
设该数列为 ,其前 项和为
则有 ,解得 ,
故 ,
故选:A.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题.
4．A
【分析】
根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，可得“ ”等价于“ ”,再判断充要性即可.
【详解】
根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则 等价于“ .
故“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选:A.
【点睛】
本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大.
5．C
【分析】
运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可.
【详解】
在正方形 ,有 ,
,
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题.
6．A
【分析】
根据题意求出渐近线的斜率,从而得到 之间的等量关系,进而求出离心率.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线与直线 垂直,
北京市北京大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（12月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A={x|x<1}，B={x| }，则
A． B．
C． D．
2．已知复数 的实部和虚部相等，则 （）
A． B．
C． D．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
10．抛物线 的准线方程为______.
11．已知四个函数：① ，② ，③ ，④ ，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）
12．在正项等比数列 中，若 ， ， ， 成等差数列，则 ______.
【点睛】
本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.
8．D
【分析】
作出 的图像,结合图像一一分析选项正误即可.
【详解】
作出 的图像如下图所示:
当 时, ,故不论 取何值, ,故A选项正确;
当 时, ,其值域为 ,故B选项正确;
若 在 上单调递增,结合上图可知 或 ,故C选项正确;
21．已知数列 ： ， ， ，…， 为1，2，3，…， 的一个排列，若 互不相同，则称数列 具有性质 .
（1）若 ，且 ，写出具有性质 的所有数列 ；
（2）若数列 具有性质 ，证明： ；
（3）当 时，分别判断是否存在具有性质 的数列 ？请说明理由.
参考答案
1．A
【解析】
∵集合
∴
∵集合
∴ ，
故选A
2．B
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
17． 的内角 的对边分别为 已知 .
（1）求角 和边长 ；
（2）设 为 边上一点，且 ,求 的面积.
18．已知 过 ， ， 三点.
（1）求 的标准方程；
（2）直线 ： 与 相交于 ， 两点，求 的面积（ 为圆心）.
19．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，证明“ ”是“ ”的充分不必要条件.
20．已知椭圆 ： 与 轴交于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，且 是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 关于 轴的对称点为 （ 与 ， 都不重合），判断直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【解析】
【分析】
化简复数 ,求出其实部,虚部,列式求解即可.
【详解】
,
因为复数 的实部和虚部相等,
所以 ,即 ,
故选:B.
【点睛】
本题考查复数,属于简单题.
3．D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断选项正误即可.
【详解】
若 ,则 , , ,故A,B,C选项错误;
因为 在 上递增,所以 ,故D选项正确;
故选:D.
若方程 有解,结合上图可知 或 ,故D选项错误;
故选:D.
【点睛】
本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力.
9．A
【分析】
根据题意可知: 的纵坐标 的纵坐标, 为线段 中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论.
【详解】
①因为 为第 名工人在这一天中加工的零件总数,
则 的纵坐标 的纵坐标;
13．方程 在区间 上的解集为______.
14．设a＞0,b＞0．若关于x,y的方程组 无解，则 的取值范围是．
15．对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 和 之间的新运算 ： .若非零的平面向量 ， 满足： 和 都在集合 中，且 .设 与 的夹角 ，则 ______.
三、解答题
16．已知函数 .
的纵坐标 的纵坐标;
的纵坐标 的纵坐标;
结合图像可知: , , 中的最大值为 ;
②因为 为第 名工人在这一天中平均加工的零件数,
A．-1B．1
C．2D．-2
3．已知 ，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
4．已知直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知正方形 的中心为 ，且边长为1，则 （）
A．-1B．
C．1D．
6．双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心率为（）
A．96里B．48里
C．192里D．24里
8．已知函数 ，则下列结论错误的是（）
A． B． 时， 的值域为
C． 在 上单调递增时， 或 D．方程 有解时，
9．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 的横、纵坐标分别为第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的工作时间和加工的零件数， .记 为第 名工人在这一天中加工的零件总数，记 为第 名工人在这一天中平均加工的零件数，则 ， ， 中的最大值与 ， ， 中的最大值分别是（）