03级空间解析几何期末试卷B

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2003高二级期末数学复习测试解析几何(2)答案

2003年高二年级期末数学复习测试解析几何（2）1、直线0102=--y x 与双曲线152022=-y x 相交弦长=534，相交弦的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,316。

2、ABC ∆一边的两端是B （0，6）和C （0，-6）另两边斜率的积是94，则顶点A 的轨迹方程为)0(,1813622≠=-x x y 。

3、双曲线1)()(2020=---b y y a x x 则焦点F 到一渐近线的距离为b 。

4、抛物线0342=+y x 的焦点坐标为)163,0(-，准线是163=y 。

5、抛物线,22x y =则过焦点F 且垂直于对成轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，则=AB 2 ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则 =B A y y -1 。

（B A y y ,分别是A ，B 两点的纵坐标）6、抛物线的顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则抛物线方程为x y 122-=。

7、以抛物线x y 82-=的焦点为圆心，且与该抛物线的准线相切的圆的方程为16)2(22=++y x 。

8、已知点（-2，3）与抛物线)0(,22>=p px y 的焦点的距离为5，则P=4。

9、设双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，它们的交点中一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。

解法1：椭圆的两个焦点为)3,0(),3,0(21F F -，且双曲线与椭圆的一个交点为)4,15(M 设双曲线的方程为：)0,0(,12222>>=-b a bx a y则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+54115492222222b a b ab a 解之，得 15422=-∴x y 双曲线的方程为：解法2：同解法1得到双曲线的焦点为)3,0(),3,0(21F F -，且双曲线与椭圆的一个交点为)4,15(M ，由定义5,432422221==∴==∴=-=b a C a MF MF a 又解法3：双曲线与椭圆同焦点，则设双曲线的方程为：1362722=---λλy x 将两曲线的交点)4,15(M 坐标代入分成中0,3221==∴λλ（舍）15422=-∴x y 双曲线的方程为： 10、若双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-，①求双曲线的方程；②若点),3(m M 在双曲线上，求证21MF MF ⊥；③求21MF F ∆的面积。

空间解析几何练习与答案

空间解析几何与向量代数测试题一、选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=，则p n m a -+=34在x 轴上投影是（）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分）1．（12分）求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。

2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。

08级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案

《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(090209)一、单项选择（每小题3分，共15分）1.D2.A3.B4.A5.C二、填空题（每小题2分，共10分）1. 3,2. 0,3. 2240x y z ⎧+=⎨=⎩, 4. 43-三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 1201120112011001471201120112010001120112001200122322012400000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3 分向量组的秩为3，一个最大无关组123,,ααα7(22)+ 分 4132ααα=-。

9 分2.解 21111(2)(1)11λλλλλ=+-，3 分12,4λλ≠≠- 当且时方程组有唯一解分2λ=-当时，方程组无解6 分(结论1分，过程1分)1λ=当时，方程组有无穷多解,7 分通解12111010001x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9 分 3.解二次型对应的矩阵为122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1 分 2122||224(2)(7)242I A λλλλλλ---=+-=-+--+，特征值为1232,7λλλ===-3 分12122122222,244000,1,024400001I A λλαα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时基础解系，5 分 82220117,254011,22450002I A λλα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3当时基础解系，7 分222123132,,2273203X CY C f y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭经过正交化、单位化，正交变换标准型 9 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解，设所求平面的法向量为n ，则12(6,3,2),(4,1,2)n n n n ⊥=-⊥=-2 分12632(4,4,6)412i j kn n n =⨯=-=---取，5 分所求的平面方程 2230x y z +-=。

2003年全国高中数学联赛试题及解答

2003年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00-9:40)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 34．若x∈[－5π12，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 35．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)1256．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，则四面体ABCD 的体积等于(A)32(B)12(C)13(D)33二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若A⊆B，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设M n={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…a n|a i只取0或1(i=1，2，…，n－1)，a n=1}，T n是M n中元素的个数，S n是M n中所有元素的和，则limn→∞S nT n=．三、（本题满分20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ．求证：∠DBQ=∠P AC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b．由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 3解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．4．若x∈[－5π12，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 3解：令x+π6=u，则x+2π3=u+π2，当x∈[－5π12，－π3]时，u∈[－π4，－π6]，y=－(cot u+tan u)+cos u=－2sin2u+cos u．在u∈[－π4，－π6]时，sin2u与cos u都单调递增，从而y单调递增．于是u=－π6时，y取得最大值1163，故选C．5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)125解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．当x∈(－2，－12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12．(当且仅当x2=23时等号成立)．此时函数的最小值为125，故选D．6．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为π3，则四面体ABCD的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sin π3×2=3．而四面体ABCD 的体积=16×平行六面体体积=12．故选B ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0解：即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3．∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于．解：F 1(－5，0)，F 2(5，0)；|F 1F 2|=25．|PF 1|+|PF 2|=6，⇒|PF 1|=4，|PF 2|=2．由于42+22=(25)2．故∆PF 1F 2是直角三角形55． ∴ S=4．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R }若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是．解：A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．解：a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则 MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12．设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．解：由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n ．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．三、（本题满分20分）13．设32≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．NM DC B A解：x +1≥0，2x －3≥0，15－3x ≥0．⇒32≤x ≤5．由平均不等式x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤14+x4．∴ 2x +1+2x －3+15－3x=x +1+x +1+2x －3+15－3x ≤214+x ．但214+x 在32≤x ≤5时单调增．即214+x ≤214+5=219．故证．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t ) ∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c ≠0，得4x 2+4x +1=0，此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．解：对于⊙O 上任意一点A '，连AA '，作AA '的垂直平分线MN ，连OA '．交MN 于点P ．显然OP +P A=OA '=R ．由于点A 在⊙O 内，故OA=a <R ．从而当点A '取遍圆周上所有点时，点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OA=a 为焦距，R (R >a )为长轴的椭圆C ．而MN 上任一异于P 的点Q ，都有OQ +QA=OQ +QA '>OA '．故点Q 在椭圆C 外．即折痕上所有的点都在椭圆C 上及C 外．反之，对于椭圆C 上或外的一点S ，以S 为圆心，SA 为半径作圆，交⊙O 于A '，则S 在AA '的垂直平分线上，从而S 在某条折痕上．最后证明所作⊙S 与⊙O 必相交．1︒ 当S 在⊙O 外时，由于A在⊙O 内，故⊙S 与⊙O 必相交； 2︒ 当S 在⊙O 内时(例如在⊙O 内，但在椭圆C 外或其上的点S ')，取过S '的半径OD ，则由点S '在椭圆C 外，故OS '+S 'A ≥R (椭圆的长轴)．即S 'A ≥S 'D ．于是D 在⊙S '内或上，即⊙S '与⊙O 必有交点．于是上述证明成立．综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ．求证：∠DBQ=∠P AC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠P AC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．证明：连AB ．∵ ∆PBC ∽∆PDB ， ∴ BD BC =PD PB ，同理，AD AC =PD P A ． ∵ P A=PB ，∴ BD AD =BC AC． ∵ ∠BAC=∠PBC=∠DAQ ，∠ABC=∠ADQ ．∴ ∆ABC ∽∆ADQ ． ∴ BC AC =DQ AQ ．∴ BD AD =DQ AQ．∵ ∠DAQ=∠PBC=∠BDQ ． ∴ ∆ADQ ∽∆DBQ ．∴ ∠DBQ=∠ADQ=∠P AC ．证毕．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．解：当3l 、3m 、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数，设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N *，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．证明：设点集为V ＝{A 0，A 1，…，A n －1}，与A i 连线的点集为B i ，且|Bi |＝b i ．于是1≤b i ≤n －1．又显然有i ＝0n －1∑b i ＝2l ≥q (q +1)2+2．O Q CD B AP若存在一点与其余点都连线，不妨设b 0＝n －1．则B 0中n －1个点的连线数l －b 0≥12q (q +1)2+1－(n －1) (注意：q (q +1)＝q 2+q ＝n －1)＝12(q +1)(n －1)－(n －1)+1＝12(q －1)(n －1)+1 ≥12(n －1)+1≥[12(n －1)]+1．(由q ≥2) 但若在这n －1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n －1个点内至多连线[n －12]条，故在B 0中存在一点A i ，它与两点A j 、A k (i 、j 、k 互不相等，且1≤i ，j ，k )连了线，于是A 0、A j 、A i 、A k 连成四边形．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i+2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式) ＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即(n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入)得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ① 但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．② (nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③ 又(nq －q －n +3－b 0)、(nq －q +2－b 0)、q (n －b 0－1)、(q +1)(n －b 0)均为正整数，从而由②、③得， q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)＜(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)． ④ 由①、④矛盾，知原命题成立．又证：画一个n ×n 表格，记题中n 个点为A 1，A 2，…，A n ，若A i 与A j 连了线，则将表格中第i 行j 列的方格中心涂红．于是表中共有2l 个红点，当d (A i )＝m 时，则表格中的i 行及i 列各有m 个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红．由已知，表格中必有一行有q ＋2个红点．不妨设最后一行前q ＋2格为红点．其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点．若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n －1行的前q ＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n 行及前q ＋2列，则至多去掉q ＋2＋(n －1)＝q ＋2＋q 2＋q ＝(q ＋1)2＋1个红点．于是在余下(n －1)×(n －q －2)方格表中，至少有2l －(q ＋1)2－1＝q (q ＋1)2＋2－(q ＋1)2－1＝(q －1)(q ＋1)2＋1＝q 3＋q 2－q 个红点．设此表格中第i 行有m i (i ＝1，2，…，n －1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝i ＝1n －1∑C 2 m i ．其中n －1＝q 2＋q ．(由于当n ＞k 时，C 2n ＋C 2k ＜C 2 n ＋1＋C 2k －1，故当红点总数为q 3＋q 2－q 个时，可取q 2行每行取q 个红点，q 行每行取q －1个红点时i ＝1n －1∑C 2 m i 取最小值，由下证可知红点数多于此数时更有利于证明．即) 但 q 2C 2q ＋q C 2q －1≤i ＝1n －1∑C 2 m i ．由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2m i≤C 2 q 2－1．所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。

2003年全国各地高考试题-解析几何高考题选

2003年解析几何高考题选一、选择题1．与曲线11-=x y 关于原点对称的曲线为（）(2003年辽宁1）A ．xy +=11B ．xy +-=11C ．xy -=11D ．xy --=112．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（）（2003年全国理5） A ．2 B ．22- C ．12- D ．12+3．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为（）（2003年全国文1）A ．x y 21-= B ．x y 21=C ．x y 2-=D ．x y 2=4．抛物线y=ax 2 的准线方程是y=2，则a 的值为（）（2003年天津文2）A ．81 B ．－81 C ．8 D ．－85．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（）（2003年天津文6）A ．3 B ．26 C ．36 D ．336．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a byax by ax 与的曲线大致是( ) （2003年北京春文9）7.在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是（）（2003年安徽春理1）A.2360x y --=B.3260x y --=C.3260x y -+=D.2360x y -+= 8.圆22460x y x y +-+=截x 轴所得的弦与截y 轴所得的弦的长度之比为( ) （2003年安徽春理3） A. 23B. 32C. 49D.949．已知直线1)0(022=+≠=++yxabc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形（）（2003年北京春理10）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在10．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）（2003年安徽春理12）A ．95B ．91C ．88D ．75二、填空题1.椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>在第一象限部分的一点P ,以P 点横坐标作为长轴长,纵坐标作为短轴长作椭圆2C ,如果2C 的离心率等于1C 的离心率,则P 的坐标为（2003年安徽春理15）y yy yx x x x A B C D2、直线y=1与直线3y =+的夹角为。

2003高二级期末数学复习测试解析几何1

2003年高二年级期末数学复习测试解析几何1
1、求焦距为6，离心率为
5
3的椭圆标准方程为。

2、两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0），并且经过点P （23,25-）的椭圆方程为；的双曲线非方程为。

3、点M （4,512）为椭圆125222=+y m
x 上一点，则点M 到准线的距离为。

4、从椭圆的焦点看短轴的两端点的视角为o
60，则椭圆的离心率为。

5、（1）等轴双曲线的一个焦点是),0,6(1-F 则它的标准方程为；渐近线方程为。

（2）双曲线32822=-y x 的共轭双曲线的渐近线方程为；准线方程为。

6、求以椭圆15
82
2=+y x 的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为。

7、通过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点，作x 轴的垂线，则垂线与双曲线交点的坐标为，两交点间的距离为，交点与两焦点的距离为。

8、与焦点A （5，0）及定直线5
16:=
x l 的距离之比是5：4的点的轨迹方程为。

9、根据k 的取值范围说明方程14
92
2=-+-k y k x 所表示的曲线。

10、双曲线的渐近线方程为x y 2
1±
=，焦点在x 轴上，焦距为10，求双曲线的方程。

大学《空间解析几何》期末考试复习

大学《空间解析几何》期末考试复习第一节空间直角坐标系与向量的概念思考题：1. 求点与轴，平面及原点的对称点坐标. 解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.2. 下列向量哪个是单位向量？（1），（2），（3）. 解：（1）, 不是单位向量. （2）, 是单位向量. （3）, 不是单位向量.3. 自由向量具有什么样的特征？答：自由向量的特征是大小相等，方向相同，但起点不定. 4. 试举几个现实生活中能用向量描述的量？答：如力，速度，位移，力矩等.5. 与向量平行的单位向量有几个? 如何去求？试举例说明.答：与向量平行的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向.例如：若={1，1，1}，则与平行的单位向量为),,(z y x M x xOy ),,(z y x M x ),,(1z y x M --xOy ),,(2z y x M -),,(3z y x M ---k j i r ++={}1,0,121-=a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31b 13111222≠=++=r r ∴1)21(0)21(222=-++=a a ∴33)31()31()31(222=++=bb ∴a a a aa a. 习作题：1. 求平行于={1，1，1}的单位向量. 解：与平行的单位向量为.2. 求起点为，终点为的向量的坐标表达式及.解：==,.3. 求点到点之间的距离. 解：距离.4. 求使向量与向量平行.解：由得得. 5. 求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式. 解： ==.6. 求与向量={1，5，6}平行，模为10的向量的坐标表达式. 解：, 故 .第二节向量的点积与叉积{}1,1,131±=±a a aa {}1,1,131±=±a a )1,2,1(A )1,18,19(--B AB ||AB AB j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--{20,20,0}--2200)20()20(||222=+-+-=AB )15,10,5(1M )45,35,25(2M 775)1545()1035()525(222=-+-+-==d λ}5,1,{λ=a }50,10,2{=b b a //5051012==λ51=λy a a j j 10)(10-=-⋅{0,10,0}-a b }6,5,1{6210==a a a {}6,5,16210100±=±=a b思考题:1. 若为单位向量，则是单位向量吗？答：不一定是.因为,若不垂直，则不是单位向量.2. 向量, 问有关系吗？答：, 故.3. 如何求同时垂直于向量的向量？答：因为既垂直于又垂直于，故(为常数). 习作题: 1. 求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与, , 轴之间的夹角分别为，则, , . , , . 2.求同时垂直于向量和轴的单位向量.解：记, 故同时垂直于向量与轴的单位向量为. 3. 求与平行且满足的向量.a 与b b a ⨯^^),(sin ),(sin b a ba b a b a ==⨯a 与b b a ⨯a a a ⋅=2a a 与2a a a ⋅=2 22||a a =b a 与c b a ⨯a b )(b a c ⨯=λλ)1,2,1(M OMOM x y z γβα,,211)2(11cos 22=++==α22cos ==OM β21cos ==OM γ3π=∴α4π=β3π=γ{}8,6,3-=a y {}3,0,8010863--=-=⨯=kj ij a b a y {}3,0,8731--±=±b b k j i a ++=1=⋅x a x解：因, 故可设，再由得，即，从而.4. ，，，求，，，及，，，.解：依题意，，，，故，，.，，，.5. ，求及. 解：,. 6. 证明向量与向量垂直. 证明：, ，即与垂直.平面与直线思考题:1. 写出下列平面方程：（1）平面，（2）过轴的平面,（3）平行与的平面, （4）与，，轴正向截距相等的平面.x a //{}λλλλ,,==a x 1=⋅x a 1=++λλλ31=λ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31x {}0,0,1=a {}0,1,0=b )1,0,0(=c b a ⋅c a ⋅c b ⋅a a ⨯b a ⨯c a ⨯c b ⨯i a =j b =k c =0=⋅=⋅j i b a 0=⋅=⋅k i c a 0=⋅=⋅k j c b 0=⨯=⨯i i a a k j i b a =⨯=⨯j k i c a -=⨯=⨯i k j c b =⨯=⨯}}{{1,2,2,21,1==b a ,b a ⋅b a ⨯6122121=⨯+⨯+⨯=⋅b a }{0,3,3122211-==⨯kj ib a }{1,0,1=a }{1,1,1-=b 01110)1(1=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 2π),(^=∴b a a b xOy z zox x y z解：（1）,（2）（为常数）, （3） (为常数), （4） . 2. 用一般式表示空间直线的表达式是否惟一，直线与有何关系？答：用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一，因为过两平面相交直线的任意两个不同的平面的联立方程组均可表示这条直线.直线与平行.3. 在什么条件下，可以确定一个平面的方程？答：只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量，即可确定一个平面的方程. 4. 在什么条件下，可以确定一条直线的方程？答：只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量，即可确定一条直线的方程.5. 由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么？答：关键点是确定直线的方向向量.主要步骤是：①定点，由一般式方程任取直线上一点；②定向，由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量，最后写出点向式方程.0=z 0=+by ax b a ,c y =c a z y x =++)0(>a ⎩⎨⎧=+++=+++0,022221111D z C y B x A D z C y B x A ⎩⎨⎧=-=+32,0y x y x ⎩⎨⎧=+=-032,0y x y x ⎩⎨⎧=-=+320y x y x ⎩⎨⎧=+=-0320y x y x6. 若平面方程为，则满足下列条件的平面有何特点，且作图形：（1）, (2), (3), (4). 答：（1）平面过原点, （2）平面过轴,（3）平面平行于坐标面, （4）平面即为坐标面. 以上各题图形如下：0=+++D Cz By Ax 0=D 0==D A 0==B A 0===D B A 0=++Cz By Ax 0=+Cz By x 0=+D Cz xOy 0=z xOy xyz O(1)( 2)7. 在直线方程中有的分母为零时应如何理解？答：分母为零时，应理解为分子也为零.习作题：1. 写出过点且以为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为.2. 求过三点的平面方程. 解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3. 求过点且与平面平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为,pz z n y y m x x 000-=-=-()3,2,10M {}1,2,2=n ()()()032212=-+-+-z y x ()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 0=+++d cz by ax C B A ,,d c b a -===1=++z y x ()1,0,01243=++z y x }2,4,3{=n从而其方程为, 即 .4. 写出过点且以为方向向量的直线方程. 解：方程为.5. 求过两点的直线方程.解：取直线的方向向量，则直线的方程为. 6. 求过点且与直线平行的直线的方程. 解：依题意，可取的方向向量为，则直线L 的方程为. 7. 求直线的点向式方程.解：令=0，可解得直线上一点,取直线的方向向量,所以直线的点向方程为：.8. 求直线与平面的夹角.解：直线的方向向量，平面的法向量. 设直线与平面的夹角为，则, 故 .()()()0120403=-+-+-z y x 2243=++z y x ()1,1,10M {}2,3,4=a 213141-=-=-z y x ()()2,1,2,1,2,1B A s {}1,1,1AB ==-111211-=--=-z y x ()1,1,1433221-=-=-z y x L L {}4,3,2=s 413121-=-=-z y x ⎩⎨⎧=+-=++032,1z y x z y x z 012(,,0)33M {}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i34312111--=-=3132431-=--=-z y x 23121z y x =-=-0=+-z y x {}2,3,2=s {}1,1,1-=n ϕ()()511111232121312sin 222222=+-+⋅++⨯+-⨯+⨯=⋅⋅=ns n s ϕ511arcsin =ϕ第四节曲面与空间曲线思考题:1. 方程代表何曲面，分别与平面和的交线为何？答：方程代表圆锥面，与平面的交线是坐标面内的两条角平分线，与平面=1 的交线是平面=1内的双曲线，与平面=2的交线是平面=2内的圆.几种常见的二次曲面的名称及直角坐标系下的方程如何？答：（1）球面方程为, （2）柱面母线平行于轴的柱面方程为，母线平行于轴的柱面方程为，母线平行于轴的柱面方程为,（3）旋转曲面以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为，以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为222y x z +=1,0==y x 2=z 222x y z +=0=x ⎩⎨⎧==0,22x y z yOzy⎩⎨⎧+==,1122x z y y z ⎩⎨⎧==+2,422z y x z ()()()2202020R z z y y x x =-+-+-x ()0,=z y f y ()0,=z x g z ()0,=y x h x (),22=+±x z y f y, 以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为.投影柱面是如何定义的？其主要用途是什么？答：过空间曲线上的每一点作同一坐标面的垂线所形成的柱面, 称为关于这一坐标面的投影柱面，其主要用途是确定空间曲线的范围. 习作题:指出下列方程所表示的几何图形的名称，并画草图.（1）（2）, （3）, （4）.答：（1）平行于轴的直线, （2）母线平行于轴的椭圆柱面, （3）以轴为旋转轴的旋转抛物面, （4）两相交平面. 各题图形如下：()0,22=+±y z x g z ()0,22=+±z y x h C C ⎩⎨⎧=+=-,02,05z x 254322=+y x z y x 422=+022=-x z y z z yzOzxyO5 -2分别求曲线在面及面的投影. 解：消去变量，得, 故曲线在面内的投影曲线为消去变量，得=1,.故曲线在面内的投影为 .求绕轴旋转所得旋转曲面的方程？解：方程为. ⎩⎨⎧=+=1,22z y x z xOy yOz z 122=+y x xOy ⎩⎨⎧==+,1,122zy x x z 12≤y yOz ⎩⎨⎧==0,1x z )11(≤≤-y 2y z =z 22y x z +=x y zO (3)xyz O (4)4.曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何？答：旋转曲面方程为，它称为旋转抛物面.5. 画出曲面与所围空间图形.⎩⎨⎧==0,52y x z x x z y 522=+221y x z --=22y x z +=。

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准甄选范文

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷号：B20130314一、单项选择题(将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分)1、设),,(),,,(321321b b b B a a a A ==是两个三维向量，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=609406203B A T,则=T AB （B ）().6A ().9B ().15C ().12D 2、下列矩阵中，（ D ）不是正交矩阵。

）（A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001）（B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ）（C ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21232321）（D ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22222222 3、二次型32232221321232),,(x tx x x x x x x f +++=是正定的，则t 的取值范围是（ C ）（A ）55<<-t (B )55>-<t t 或(C) 66<<-t (D ) 66>-<t t 或4、已知3阶方阵A 的3个特征值分别为10±，，则下列命题不正确的是（C ））（A 矩阵A 为不可逆矩阵；）（B矩阵A 与对角阵相似；）（C 1和1- 所对应的特征向量是正交的；）（D 方程组0=Ax 的基础解系由一个向量组成。

5、直线:l 182511+=--=-z y x 与平面:π032=+-+z y x 的夹角为( A )）（A6π ）（B4π）（C 3π）（D2π二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、设A 为3阶矩阵，将A 的第2列的2-倍加到第1列上得到矩阵B ,若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321B ,则矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛98236514325 2、设4阶矩阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩=*)(A R 0 .3、设矩阵A 满足042=-+E A A ,其中E 为A 同阶的单位矩阵，则=--1）（E A E A+24、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20224312a A ，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则=a 2 。

2003级高等数学试题(B卷)解答

广州大学2003-2004学年第一学期考试卷高等数学（B 卷）参考解答及评分标准一．填空题（每小题3分，共30分）1．设sin ,0()1,0kxx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则k =1.2．当0x →时，1cos 2x -与2Ax 为等价无穷小，则A =2.3．函数22y x x =-+的间断点为x =2.4．曲线21x x y e =-的水平渐近线为0y =.5．已知(1,2)为曲线32y ax bx =+的拐点，则(,)a b =(1,3)-.6． (3)xy x e =-的极值点为x =2.7．设2()x f x e dx =⎰=x. 8．设{1,0,2},{3,2,1}a b =-= ，则(2)a b a +⋅=9.9．设{1,0,2},{3,2,1}a b =-= ，则(2)a b a +⨯={4,7,2}-.10．将yoz 平面上曲线221y z -=绕z 轴旋转一周所成的曲面方程为 2221x y z +-=.班级姓名学号1．arcsin y x x =+dy解：arcsin (2)y x x x '=++-。

3分 arcsin x =。

4分arcsin dy xdx =。

6分2． 21ln sin ()xy x -=，求y ' 解：1ln 1ln 2sin (sin )x xy x x --''=⋅。

2分 1l n 1l n 1l n2s i n c o s ()x x x x x x---'=⋅。

4分2l n 22(1l n )s i n x x x x--=。

6分3．设()y y x =是由方程1sin 0yt xy dt t -=⎰确定，求dydx解：将方程两边对x 求导，得 sin 0yy xy y y''+-=。

4分解得 2sin dy y y dx y xy'==-。

09级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案

《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(100221)一、单项选择（每小题2分，共10分）1.C2.A3.B4.D5.C 二、填空题（每小题2分，共12分）1.800,2.O,3. 4,4. 20y z +=,5. 4I -,6. 5. 三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 123111111111001/2(,,,)022102210101/2110102120011A αααβ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6 分向量组秩为3，8 分 1231122βααα=-+ 10分2.解 2111||432(1)(3)003I A λλλλλλ+---=-=---，特征值为1231,3λλλ===4 分21121011,422001,2(0)0020000I A k k λξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-→=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时特征向量，6 分 411101/213,3402013,6(0)0000002I A k k λξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=→-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时特征向量，8 分 A A 只有两个线性无关的特征向量，因此不可与对角矩阵相似。

10 分3.解二次型对应的矩阵11212t A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭１５3 分 212110,10||11t P P t t t =>==->⇔<，5 分311412(54)005125t P tt t t -==-+>⇔-<<-8 分故二次型为正定的充要条件为405t -<<。

10 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解 22(23)()2||||3||||9u v a b a b a a b b ⋅=+⋅-=+⋅-=-,222||||()()||||2||||3v a b a b a a b b =-⋅-=-⋅+=, ⋅=-=Pr j ||||v u v v u (3+3+2)2.解 110(1,1,2)111i j ks ==---,3 分 1(0,3,1)n = , 1112(5,1,3)031i j kn s n =⨯=--=-6 分所求的平面方程 5360x y z -+-=。

(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

解析几何试卷及答案

《解析几何》期末试卷及答案一、填空（每题3分，共30分）11=, 2=⋅，则摄影= 2 。

2．已知不共线三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 则三角形ABC 的 BC 边上的高为 8 。

3．，= 时+平分，夹角。

4．自坐标原点指向平面：035632=-++z y x 的单位法矢量为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,31,92 。

5．将双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z b y 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 122222=-+c z b y x 。

6．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 与X 轴重合，则系数满足的条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00,02211221121A C A C C B C B D D 。

7．空间曲线⎩⎨⎧=+=-00422z x z y 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=242t z t y t x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=242t z t y tx 。

8．直纹曲面0222=-+z y x 的直母线族方程为 ⎩⎨⎧-=-=+)()()(y w y x u uyz x w ，或⎩⎨⎧=--=+sy y x t y t z x s )()()( 。

9．线心型二次曲线0),(=y x F 的渐近线方程为 0131211=++a y a x a 。

10．二次曲线027522=+-++y x y xy x 在原点的切线为 021=+-y x 。

二、选择题（每题3分，共15分）1. 二次曲线0126622=-++++y x y xy x 的图象为（ B ）A 椭圆型B 双曲型C 无心型D 线心型 2. 点O 到平面0522:=++-z y x π的距离为（ D ）A 5B 95C 56D 353. 设,,a b c 满足关系0a b c ++=，则c a b b c a ⨯+⨯+⨯=（ C ）A 、0B 、0C 、3()a b ⨯D 、b c ⨯ 4. 若直线11112x y z λ-+-==，与11111x y z++==相交，则必有（ B ）。

空间解析几何第三版答案

空间解析几何第三版答案【篇一：空间解析几何复习资料含答案】1. 求点m(a,2. 设 a(?3,3. 证明 a(1,b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点对称点的坐标． x,2)与b(1,?2,4)两点间的距离为29，试求x． 2,3)b(3,1,5) c(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．4. 设?abc的三边?，?，?，三边的中点依次为d，e，f，试用向量表示，，，并证明：??? ．5. 已知：a?i?j?2k，b?3i?j?k求2a?3b，2a?3b．6. 已知：向量与x轴，y轴间的夹角分别为??60，??1200求该向量与z轴间的夹角?．7. 设向量的模是5，它与x轴的夹角为0?，求向量在x轴上的投影．43,5)，c(3,?1,?2)计算：2?3，8. 已知：空间中的三点a(0,?1,2)，b(?1,?4．9. 设a??2,10. 设：??2,0,?1?，b??1,?2,?2?试求a?b，2a?5b，3a?b． ?2,1?，试求与a同方向的单位向量．11. 设：?3?5?2，?2?4?7，?5??4，?4?3?试求（1）在y轴上的投影；（2）在x轴和z轴上的分向量；（3．12. 证明：(?)?(?)??．13. 设：a??3,??220,?1?，b???2,?1,3?求?，(?)． ?????????14. 设a?2i?xj?k，b?3i?j?2k且a?b求x15. 设??0,1,?2?，??2,?1,1?求与和都垂直的单位向量．0)，b(?2,1,3)，c(2,?1,2)求?abc的面积．16. 已知：空间中的三点a(1,1,17. （1）设∥求? （2??1求?18.?3?5，试确定常数k使?k，?k相互垂直．?19. 设向量与互相垂直，(a?c)??3?，(b?c)??6?1?2?3?．20. 设：??3?5，??2??3求a?b21. 设：a?3i?6j?k，b?i?4j?5k求（1）a?a；（2）(3?2)?(?3)；（3）a与b的夹角．?22. 设：(?)?23. 设：a??1,?6?1?．?（1）a?b；（2）a?b；（3）cos(?)． ?1,2?，???1,?2,1?，试求： 24.?3?26?72，求a?b．25. 设a与b相互垂直，?3?4，试求（1）(a?b)?(a?b)；（2）(3a?b)?(a?2b)．26. 设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a27. 已知：求（1）（2）（3）4） ?3?2?，???2，a?b；a?i?b．(?2)?(2?3)；(?)?28. 求与a??2,2,1?b???8,?10,?6?都垂直的单位向量．29. 已知：a??3,?6,?1?，b??1,4,?5?，c??3,?4,12?求(a?c)b?(a?b)c在向量上的投影．30. 设：a?b?c?d，a?c?b?d且b?c，a?d证明a?d与b?c必共线．31. 设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向量a与b的夹角．32. 设：??2,?3,6????1,2,?2?向量在向量与?342，求向量的坐标．?33.?4?3，(a?b)?34. 求过点p0(7,35. 过点p0(1,36. 过点m(1,37. 过点a(3,?6求以?2和?3为边的平行四边形面积． 2,?1)，且以??2,?4,3?为法向量的平面方程． 0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程．?3,2)且垂直于过点a(2,2,?1)与b(3,2,1)的平面方程． ?1,2)，b(4,?1,?1)，c(2,0,2)的平面方程．38. 过点p0(2,1,1)且平行于向量??2,1,1?和??3,?2,3?的平面方程．39. 过点mo（1，?1，1）且垂直于平面x?y?z?1?0及2x?y?z?1?0的平面方程．40. 将平面方程 2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（?3，1，?2）及z 轴；（2）过点a（?3，1，?2）和b（3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点a（3，1，?5）；（4）过点p1（1，?5，1）和p2（3，2，?2）且垂直于x z 面． 42. 求下列各对平面间的夹角（1）2x?y?z?6， x?y?2z?3；（2）3x?4y?5z?9?0，2x?6y?6z?7?0．43. 求下列直线方程（1）过点（2，?1，?3）且平行于向量???3，?2，1?；（2）过点mo(3，4，?2)且平行z 轴；（3）过点m1（1，2，3）和m2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程?x?2y?3z?4?0?x?2y?2?3x?2z?1?0 （1）?；（2）?；（3）? 3x?2y?4z?8?0y?z?4y?z?0???45. 将下列直线方程化成参数式方程?x?6z?1??x?5y?2z?1?0? （1）?；（2）?25． 5y?z?2???y?2?046. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x?y?2z?1?0及x?2y?z?1?0 的直线方程．x?4y?3z??的平面方程． 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1????48. 求通过两直线与的平面方程． 1?12?12147. 求过点（3，1，?2）且通过直线64．求下列各对直线的夹角（1）x?1yz?4x?6y?2z?3????，； 1?2751?1（2）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0，?．?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0?x?7y?z?0 相互平行． ?x?y?z?2?0?x?1yz?1??49. 证明直线与4?1350. 设直线 lx?1y?3z?4?? 求n为何值时,直线l 与平面2x?y?z?5?0 平行？ 1?2n51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0的夹角为52. 设直线l在平面?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面?的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ?． 3?y?z?1?0 x?2z?0??x?2y?z?1?0 与 ??x?y?z?1?0?2x?y?z?0 平行的平面方程． ??x?y?z?054. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0的距离，求它的轨迹方程．55. 直线l:??2x?y?1?0 与平面?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线l与平面??3x?z?2?0的交点，若平行，求直线l与平面?的距离．?x?3?4tx?1yz?5???56. 设直线l经过两直线l1:，l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线l1与l2都?18?3?z??11?10t?垂直，求直线l的方程．57. 已知直线：l1:??x?y?z?1?0?1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相交，求直线l的方程．及点 p(3，?2x?y?z?4?058. 方程：x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．?z2?5x60. 将曲线：? 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程． ?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线：?绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．?z?062. 说明下列旋转曲面是怎样形成的x2y2z2y22x??z2?2；（1???10；（2）（3）（4） x2?y2?z2?1；(z?a)2?x2?y2．434363. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形x2y2z222?1．??1；（3）z?4x；（4）4y? （1）3x?4y?1；（2）32322自测题 (a)(一) 选择题1．点m(4,?1,5)到 x y 坐标面的距离为（）a．5b．4 c．1d．422．点a(2,?1,3)关于y z 坐标面的对称点坐标（）a．(2,?1,?3)b．(?2,?1,3)c．(2,1,?3) d．(?2,1,?3)3．已知向量a??3,5,?1?,b??2,2,2?,c??4,?1,?3?，则2a?3b?4c?（）a．?20,0,16?b．?5,4,?20?c．?16,0,?20? d．??20,0,16?4．设向量?4?2?4，?6?3?2，则(3?2)(?3)=（）a．20 b．?16c．32 d．?325．已知：a(1,2,3),b(5,?1,7),c(1,1,1),d(3,3,2)，则prja．4 b．1 c．cd?ab= （） ?1 d．2 26．设?2????2?，则(?)?(?)?（）a．?i?3j?5k b．?2i?6j?10kc．2?6?10 d．3i?4j?5k7．设平面方程为x?y?0，则其位置（）a．平行于x 轴 b．平行于y 轴 c．平行于z 轴 d．过z 轴．8．平面x?2y?7z?3?0与平面3x?5y?z?1?0 的位置关系（）a．平行 b．垂直 c．相交 d．重合9．直线x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3?0的位置关系（） ?2?73 a．平行 b．垂直c．斜交d．直线在平面内10．设点a(0,?1,0)到直线???y?1?0 的距离为（） ?x?2z?7?0c．a．5 b．(二) 填空题 1611d． 58【篇二：空间解析几何及向量代数测试题及答案】=txt>一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点o(0,0,0),a(1,0,0),b(0,1,1),c(0,0,1)组成的四面体的体积是___??___. 2.已知向量a?(1,1,1),b?(1,2,3),c?(0,0,1),则(a?b)?c=__(-2,-1,0)____.?????????x?y3.点(1,0,1)到直线?的距离是3x?z?0?4.点(1,0,2)到平面3x?y?2z?1的距离是___________. ?x2?y2?z?05.曲线c:?对xoy坐标面的射影柱面是___x2?x?y2?1?0____,?z?x?1对yoz坐标面的射影柱面是__(z?1)2?y2?z?0_________,对xoz坐标面的射影柱面是____z?x?1?0__________.?x2?2y6.曲线c:?绕x轴旋转后产生的曲面方程是__x4?4(y2?z2)_____，曲线?z?0c绕y轴旋转后产生的曲面方程是___x2?z2?2y_______________. x2y2z27.椭球面???1的体积是_____??????____________.9425二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点p(a,b,c)作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解: 设点p(a,b,c)在平面z?0上的射影点为m1(a,b,0)，在平面x?0上的射影???????点为m2(0,a,b)，在平面y?0上的射影点为m3(a,0,c)，则m1m2?(?a,0,c)，???????m1m3?(0,?b,c)x?a??????????????于是m1，m1m2，m1m3所确定的平面方程是?ay?b0?bzc?0 c即 bc(x?a)?ac(y?b)?abz?0 .?x?y?0?x?y?02.已知空间两条直线l1:?,l2:?.z?1?0z?1?0??(1)证明l1和l2是异面直线;(2)求l1和l2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l1的标准方程是v1?{1,?1,0} l2的标准方程是xyz?2??，l2经过点m2(0,0,2)，方向向量v2?{1,1,0}，于110xyz?1??，l1经过点m1(0,0,?1)，方向向量1?10是003???????(m1m2,v1,v2)?1?10?6?0，所以l1和l2是异面直线。

解析几何试卷及答案整理

《解析几何》期末试卷及答案一、填空 (每题3分，共30分) 1 .若 a =1, a 6 = 2 ,则摄影 a b= _______ 2 ___________________2 •已知不共线三点A(1,2,3),B(2,1,_5),C(3,2,_5)则三角形ABC 的 BC 边上的高为 __8 ______ 。

3. a , b 满足 ____ a = b ____________ , 时a+ b 平分 a , b 夹角。

4. 自坐标原点指向平面：2x • 3y • 6z — 35 =0的单位法矢量为以 x+z) =t(_y) 、t(x _ y) = sy5. 将双曲线 r 2 2 y z1丿尹一 C 2 * T 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 I x 0x 2y 2b 22z_1一 2 - * 1C6. 直线丿Ax+B q y+C q Z + D d =0 ；x+B ：；+C ：z + D 2=0与X 轴重合，则系数满足的条件为 D i 0G ¥C2C1 A19 A2=0 =0=D 2 = 0, 7.空间曲线「一的参数方程为 x + z =0X - -t 4y = 2t 或彳 y = -2t z 二 t 2x - -t 4oZ =t 28 .直纹曲面x 2 • y 2 -z 2=0的直母线族方程为"w(x + z) = uyU(x — y) = w(—y)，或 ______2 12 9’三、计算题(6X 5=30分)1.已知 a J 3,2,11, 20,-12,'6,5,0；①试证a, b , c 共面 ②把c 分解为a , b 的线性组合3 2= (a,b,c) = O -1 6 5而a , b 不共线，所以c 可以分解为a , b 的线性组合c = 2a-b即(x -1) -2(y 2) (x -1)=0 , 整理得x -2y - 6 =02. 3. 4. 5. A 椭圆型B 双曲型 C 无心型D 线心型点O 到平面二：2x — y 2z 0的距离为（D ） 5 A 5 B5C 9设a, b,c 满足关系a b c A 、b)若直线亍二次曲线 A 、 1 :1F(x, y)上相交，贝U 必有（1-2xy y 2 1:2-1 =0的渐近方向为（、1 : -1 、1 : -22.求与平面x y ■ z - 5 =0垂直且通过直线l :--1 y2 z-1 23的平面二的方程x -1 y 2 z -1解平面兀的方程为1 1 1=0 ,2 =24 +6 —30 =0，二 a , b , c 共面将点 p 6,2,8 代入得 w:u =1: 2 , s = 0 所以，过点p 6,2,8的两条直母线方程为——y + — —2=03 4 空亠z_1=0 k 3 2 2 求通过点p 4,0, -1且与x 轴平行的直线的参数式、对称式、一般式及摄影式方程所求直线的参数式方程为对称式方程为口y =0 z = -1=0 与 12 : x 2 2xy • y 2- x • y = 0 的公共直径对于 h : x 2 _xy _ y 2 _x _ y 二 0 , I 2 --13. 求过单叶双曲面-丫92 …2 2--1上点p 6,2,8的两条直母线方程 4 162 2单叶双曲面—乂9 4 2-1上的两族直母线方程为 16 x zy w( ) = u(1 )3 4u (△- Z) =w(1 --) x z y s(：+T=t(1—彳) 一 x z 、 ” y 、 t(— -—) = s(11 -- =02x -- =0.3 44.般式方程为*y = 0 Z - -5.1 1 °x——y__=0 1 342 2 解出中心坐标为(丄,-3)--x-y-—=0 5 5.2 2求两条二次曲线h : x2 - xy - y2 - x - y5-一丄0为中心型4x =3t 72.证明直线 x -1z -5 -3与直线 y =2t2共面并求它们所在的平面的方程而对于 12 : x 2 2xy y 2 - x y = 0， 12专，为无心型，它的 2渐近方向为X ：丫二-a 12 : a 11因此公共直径方程为 -1=0 即 5x 5y 2 = 0四、证明题（2X 5=10分）1.设L 、M 、N 分别是△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,证明：三中线矢量AL BM CN 可以构成一个三角形•1 1 — 证明因为 AL (AB AC), BM (BA BC),CN =2 2 1-(CA CB)2所以AL BM CN 1 ■ I1 ' ’ 1 _ ・(AB AC) (BA BC) (CA CB) 因此ALBMCN 可以构成一个三角形.证明因为■:二x -1 y 2 -3z _5=0, 整理得 2x -18y -15Z-37 =0五、利用坐标变换化简二次曲线 x 2 - xy ■ y 2■ 2x -4y = 0 并作图(15 分)解因为I 237 所以曲线为中心二次曲线，解方程组41x y 2 1F (x, y) x y -2 = 0F 1(x, y)二1=0…2或者写成标准形式22=1得中心的坐标为x=0,y=2，取（0,2）为新的原点，作移轴原方程变为 x'2 -x' y'- y'2 -4 = 0 再转轴消去x'y'项'设旋转角为「则就一需=01 -tan2 ：2ta n _：s 从而可取「4,所以得转轴公式为1x "2 3宀"这是一个椭圆，它的图形如图所示9. ________________________________________ 线心型二次曲线F(x,y)=0的渐近线方程为 __________________ a 11x a 12y a 1^ 0110. ______________________________________________ 二次曲线5x 27xy y^x 2^0在原点的切线为 _______________________________________________________= 36 -24 • 48 -36 -48 • 24 =0，所以两直线共面而它们所在的平面方程为(x"-y")(x" y")经转轴后曲线的方程化简为最简形式‘X = x' y =--x ^0 _________________________________________________2二、选择题(每题3分，共15分)1. 二次曲线x2 6xy y2 6x 2y-^0的图象为(B )。

空间解析几何复习题答案

2 2 2 ⎧ ⎪x + y = a （3） ⎨ 。 2 2 2 ⎪ x + z = a ⎩ 8.4.2 分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线 2 2 2 ⎧ ⎪ 2 x + y + z = 16 ⎨ 2 2 2 ⎪ ⎩x + z − y = 0
的柱面方程。答案：母线平行于 x 轴的柱面方程： 3 y 2 − z 2 = 16 ；母线平行于 y 轴的柱面方程： 3x 2 + 2x 2 = 16 。 8.4.3 求在 yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）。 ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⎧ y 2 + z 2 =1 ⎧x 2 + y 2 + z 2 = 1 答案： ⎨ ；⎨ ； ⎪ 。 ⎨ 2 2 ⎪ ⎩x = 0 ⎩x = 0 ⎩y + z =1 8.4.4 指出下列方程所表示的曲线 ⎧ x 2 + y 2 + z 2 + 25 （1） ⎨ ⎩x = 3 ⎧ x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 （3） ⎨ ； ⎩ x = −3 ⎧ x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 30 （2） ⎨ ； ⎩z = 1 ⎧ y 2 + z 2 − 4x + 8 = 0 （4） ⎨ ； ⎩y = 4
4 3⎞ ⎛ 4 3⎞ 答案： ⎛ ⎜ 0, , − ⎟ , ⎜ 0, − , ⎟ 5⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 5 8.2.7 已知 | a |= 3, | b |= 26, | a × b |= 72 ，计算 a ⋅ b 。答案： ±30 8.2.8 已知 | a |= 3, | b |= 5 ，问 λ 为何值时 a + λb 与 a − λb 互相垂直？ 3 5 8.2.9 已知向量 a = 2i − 3 j + k , b = i − j + 3k 和 c = i − 3 j ，计算（1） (a ⋅ b)c − (a ⋅ c )b ；（2） (a + b) × (b + c ) ；答案： ± 答案：（1）（-3，-13，-33）；（2）（4，-1，-4）；（3）7

空间解析几何答案

空间解析几何复习题（答案）1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 4．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,315．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=()2,8,3--=AC()4,6,5---=（1）(),,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T（3）因为()222，，-=，()444--=，，k j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯()()216161622=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 6．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得03=++D C A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x7．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x8．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x9．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x10．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m 11．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 12．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A13．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

03级理论力学期末统考试题B.

03级理论力学期末统考试题B答案一、是非题1. √2. ×3. ×4. ×5. ×二、选择题1. ②2. ②，④3. ①，②，①，②4. ④5. ③三、填空题1. 当AB 垂直于x 轴时，力系简化为一个过A 、B 两点的合力；当AB 不垂直于x 轴时，力系简化结果为主矢、主矩为零。

2. 67.26m =ϕ，5023.0tan m =ϕ。

3. ϕsin g a -=；ϕcos g a n =; ϕρcos /20g v = 。

5.)(2↑ωg pl ；226ωg pl ；242αω+gpl ；)(32逆时针αg pl 。

四、计算题取整体为研究对象，有∑=0A m ：0)3.02(1=+-⋅P F Ex ，)(kN 3.2N 2300→==Ex F 。

再取杆ED 为研究对象，有∑=0B m ：，因此011=⋅-⋅+⋅Ex Ey F F r P )(kN 2↑=Ey F 。

再取整体为研究对象，有∑=0x F ：)(kN 3.2,0←-==+Ax Ex Ax F F F ；∑=0yF：)(kN1,0↓-==-+Ay Ey Ay F P F F 。

五、计算题以AB 上A 点为动点，动系与OC 固连，由点的速度合成定理r e a v v v +=作速度平行四边形，其中：)(←=u v a ，ϕsin u v e =，所以l u lu AO v e OC2245sin === ω（逆时针）；六、计算题由题给条件有)(2↑==l l v B ω，由A v ，B v 方向找出作平面运动的AB 杆的速度瞬心为O ，因此有rad/s 12==l v B AB ω（逆时针），l OA v AB A =⋅=ω，OA 杆角速度rad/s 1==OAvA OA ω（逆时针）。

以B 为基点，由基点法n BA BA B n A A a a a a a ++=+ττ作加速度矢量图，其中：)(42←==l l a B ω,)(2↓=l a OA n A ω，l a OA A ατ=,AB a AB BA ατ=,AB a AB n BA 2ω=；相应的投影方程为θθθτsin cos sin B nBA n A A a a a a +-=-，注意到51cos ,52sin ==θθ，由此有)(2←=l a A τ，所以，OA 杆的角加速度为2rad/s 2==OAa A OAτα（逆时针）。