说课稿：互为反函数的函数图象间的关系
高中数学必修一《互为反函数的函数图象间的关系》优秀教学设计
归纳总结:函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称.
教学软件演示两函数图象关于直线y=x对称.
求反函数,画图.
观察思考并作出猜想
求反函数,画图.
观看动画演示,总结得出互为反函数的函数图象间的关系.
通过设疑,创设问题情境,激发学生学习兴趣.
采用动画演示功能创设生动、形象、直观的教学情景，来帮助同学理解和掌握，降低教学难度,使学生充分完成感性认识到理性认识的过渡.
教学环节
课
堂
练
习
教师活动
引导学生运用所学知识解题,板书解题思路.
点评学生解题情况
媒体运用
微机操作和演示
学生活动
练习1:已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f-1(x)，则方程f(x)=0有解x=a，且f(x)>x(x∈D)的充要条件是y=f-1(x)满足( )
A.f-1(a)=0且f-1(x)<x,x∈A
B.f-1(0)=a且f-1(x)>x,x∈A
C.f-1(0)=a且f-1(x)<x,x∈A
D.f-1(a)=0且f-1(x)>x,x∈A
练习2:若点A(1,2)既在函数
f(x)=的图象上，又在y=f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.
练习3:已知函数
教学设计
课题：互为反函数的函数图象间的关系
教材分析：
这一节与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，了解互为反函数的函数图象间的关系并应用其解题，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后指、对函数的教学做好准备 , 起到承上启下的重要作用。
互为反函数的函数图像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数：如果对于函数y=f(x)来说，其反函数存在的话，那么对于y的每一个值，x都有唯一 确定的值与之对应，那么此时y就是x的函数，我们称x为自变量，y为因变量，称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题，例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像，可以证明一些数学定理，例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像，可以深入了解函数的性质，
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中，有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示，例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时，它们的图像会以原点为中心对称。 例如，函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时，一个向左或向右移动，另一 个则以相反的方向移动，保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中，许多算法涉及到优化问题，而优化问题常常需要求解反函数。因此，进一步研究反函数 与机器学习之间的关系，有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数 y 2 x，若将之转化为用y 来表示 x 即：x log 2y ，将其中y作为自变量，x作为R 中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y 2x x log y（ y (0,)）y log x（ x (0, )）的反函数，习惯上我们把函数22，记作，即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。
通常我们将原函数记作y f ( x)，反函数记作y f1(x)。
因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题 2 取y 2x图象上的几个点，如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题 3 如果点P（x, y ）x的图象上，那么P（ x , y ）x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗？为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ，并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数（ 1） yx1( x1)2x 1（ 2） y3x 解：（ 1）由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成： y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意：如果不注明反函数定义域，得出y ( x1)2 是错误的 .（ 2 ） 由 y2x 1（ x 3） y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ，改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明：一般地，求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时，直接解出 x f 1 ( y) ，cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围，已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1， 2)，它的反函数图象也过此点，求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一：由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时， ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1，2)既在函数 f (x) 上，也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得： a 3, b 72a∴函数 f (x) ＝ 3x7(x7 )3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线 y x 的对点为 (2，1)，可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2， 1)∴得到2 a b1 2 ab解得： a3, b7∴函数 f (x) ＝3x 7 (x7 )3巩固练习：1．函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是（）A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2．设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于（）4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113．设 a 0, a 1 ，函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于（）a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4．点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是（）A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5．已知 函数 f (x) ( 1) x1 ，则 f 1( x) 的图象只可能是（）y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6．设 f ( x)x21(0x 1)，则 f 1 ( 5 )．2x ( 1 x0)47．若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称，且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上，则 f ( x)．x1x R,且 x 18．给定实数 a，a≠0，且 a≠1，设函数y1．试证明：这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1． A ，2． A ， 3． B， 4． D， 5．C，6．1． 7． f (x)( 3 ) x．28．证明：先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax－1)=x－1，即 (ay－ 1)x=y－ 1．假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax－ a=ax－ 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay－ 1≠ 0．因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f － 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称，所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。
高中数学教师说课稿--互为反函数的函数图象间的关系(王洪军)
课题：互为反函数的函数图像间的关系●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点再换一个位置行吗？〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B法可能有OB=OG,BD=GD等。
▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。
变化时(y●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2)x∈的反函数的图像吗？怎么画？(R〇学生活动由上题学生不难得出做y=x 的对称图像（教师配合动画演示）●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？▲ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称。
（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。
习题精炼，深化概念●引导设问9根据图像判断函数xy 2=有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才能有反函数？〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。
总结反思，纳入系统： 内容总结：1、()y x 0,在原函数图像上，那么(y 0,x 0)在反函数图像上。
2、()y x 00,与(y 0,x 0)关于y=x 对称。
3、原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称。
思想总结：由特殊到一般的思想，数形结合的思想 个特殊的函数图像得出一般结论的。
我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。
这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。
而我对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用()y x 0,在原函数图像上，那么(y 0,x 0)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究()y x 00,与(y 0,x 0)的关系。
经讨论研究可得出结论“()y x 00,与(y 0,x 0)关于y=x 对称”。
《互为反函数的两个函数图象之间的关系》教学设计
《互为反函数的两个函数图象之间的关系》教学设计一.教材地位和作用：《互为反函数的两个函数图象之间的关系》是新课程标准人教A版必修一中课后探究与发现的内容，本课是在学生已经学习了指数函数和对数函数的性质图象之后，教材独立抽出的探究内容，虽位于教材的课后探究部分，但地位不容忽视，它承接了指数函数和对数函数性质的运用，又在其基础上加深了推导和联系，同时，本节内容为后期学习与导函数有关的距离问题中起到铺垫作用，是连接指数函数、对数函数与导数的一个衔接点，在高考中的地位不容忽视.二.教学目标：（1）知识与技能目标：了解互为反函数的两个函数图象之间的关系，并且能利用这一关系解决求参数，定义域和值域的问题.（2）过程与方法：由特殊例子出发，经过教师的引导，让学生探索得到互为反函数的两个函数图象间的关系，并在此过程中渗透数形结合的思想.（3）情感态度与价值观：通过探究互为反函数的两个函数图象之间的关系的过程，让学生体会用数形结合的方法解决数学问题的重要性，并感受数学的对称美，进而激发学生学习数学的兴趣.三.重点和难点：（1）重点：互为反函数的两个函数图象之间的关系，原函数与反函数的几个重要性质的推导和应用.（2）难点：原函数的定义域和值域之间的关系的推导和运用.四.学情分析：学生在学习了指数函数和对数函数的图象和性质之后，对不同的函数图象的性质和特征有了一定的了解，但知识层面还停留在单一的指数函数或者对数函数的图象的阶段，还不能够准确的探究归纳出两种图象之间的联系，所以，数形结合的思想和归纳概括、总结新知识的能力还有待训练，同时，运用图象来解决难题的方法有待学习和提高.五.教学方法：引导、合作探究法六.教学过程：1.温故知新（1）反函数存在性的判断：只有一一映射的函数才具有反函数，也就是一个对应一个的函数才具有反函数.教师活动：板书本课标题，并通过微课小视屏复习知识点—反函数的存在性判断的方法.学生活动：同教师一起复习回顾上节课所学的知识，快速回想判断一个函数是否存在反函数的方法，并通过视屏来检验自己上节课所学成果.（2）求一个函数（原函数）的反函数的步骤：①反解②互换自变量与因变量的位置③写出反函数的定义域.教师活动：抽学生口答求原函数的反函数的三步骤，并根据学生的回答情况给予反馈.学生活动：积极回答老师的问题，假如有问题的同学可以快速参考上节课所做的课堂笔记.2.提出问题（1）探究：求一次函数的反函数，并在坐标纸上画出原函数和反函数的图象，思考两函数的图象之间可能存在的对称关系.解：第一步：反解，由知，，第二步：互换自变量与因变量的位置，把互换位置后可以得到，第三步：写出反函数的定义域，所以，原函数的反函数为.（2）探究：求指数函数的反函数，并在坐标纸上画出原函数和反函数的图象，思考两函数的图象之间可能存在的对称关系.第一步：反解，由知，，第二步：互换自变量与因变量的位置，把互换位置后可以得到，第三步：写出反函数的定义域，所以，原函数的反函数为.3.探究新知（1）思考：根据坐标纸上的两个函数图象，思考是否原函数的图象过点，反函数的图象就过点？为什么？学生活动：小组讨论，探究思考老师提出的问题，并积极交流，共享方法.教师解答：由上一节课所学的知识，已知原函数的解析式，求其反函数的过程知存在对应关系：对于的自变量取时，函数值，所以曲线过点；对于，取时，，所以曲线一定过点.性质一：若原函数的图象过点，则反函数的图象必过点.例1：已知（1,2）既在的图象上，又在其反函数的图象上，求的值.解：由（1,2）在反函数的图象上，知（2,1）在的图象上，又因为点（1,2）在的图象上，所以，解得.例2：已知函数的图象经过点（1,7），其反函数的图象经过点（4,0），则的表达式为 .解：由（4，0）在反函数的图象上，知（0,4）在的图象上，又因为点（1,7）在的图象上，所以，即，解得，综上，.课堂练习：变式训练1：已知在定义域内存在反函数，且，求的值.变式训练2：已知函数的反函数的图象经过点（1，4），求的值.性质二：若原函数的定义域是，值域为，则反函数的定义域是，值域为.例3：设函数，则的定义域为（ ）A. B. C. D.例4：求函数的值域.（利用原函数与反函数的性质来求）答案：课堂练习：变式训练3：已知函数互为反函数，求的值.解：因为互为反函数，所以的定义域和值域相反，一方面，的定义域为，值域为，另一方面，的定义域为，值域为，所以，，则，函数过，则过，所以.综上，.性质三：原函数的图象与反函数的图象关于直线对称.例5：设点在曲线上，点在曲线上 ，则的最小值为（ ）A. B.C. D.变式训练4：设，又函数的图象关于对称，求的值.解：因为，则，所以，则.又因为函数的图象关于对称，所以函数互为反函数，令，即，解得，由原函数与反函数的性质可知， .4.课堂小结：由学生归纳总结本节课的内容：（1）复习回顾原函数和反函数的图象得出的过程；（2）归纳概括原函数与反函数的图象之间的关系；（3）熟记原函数和导函数的图象之间的三个性质.。
【全国百强校】黑龙江省实验中学高中数学：互为反函数的函数图象间的关系 说课稿.doc
《互为反函数的函数图象间的关系》说课稿各位评委、老师大家好：我说课的题目是《互为反函数的函数图像间的关系》，内容选自高中数学第一册第节。
一、教材理解：老教材对这一关系的处理给出了严密的证明，而新教材对这节课内容的处理是通过画一个特殊的函数图像得出一般结论的。
这样处理虽然可以是学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论的理解并不深刻，同时也不利于培养学生严密的数学思维。
我认为通过对互为反函数的函数图像间的关系的深入研究，不仅有利于培养学生的创造性思维，更重要的是可以使学生学会处理函数图像间对称问题的基本思路和方法。
因此，我对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下做了一些变动。
通过上课，我认为收到了很好的效果。
二、学情分析：黑龙江省实验中学是省重点高中，所授课班级是学校理科试验班，学生的基础较好，探究能力较强。
因此在这节课的教学中，对原函数和反函数图像的这一对称关系作了较深入的研究。
根据上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标：、知识与技能：（）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。
（）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。
、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。
根据教学目标，应有一个让学生参与实践——发现规律——总结特点——归纳结论的探索认知过程。
特确定本节课的教学重点：互为反函数的函数图像间的关系。
难点：如何探究图像间的对称关系。
为了突出重点，突破难点，我采用了如下教学方法和教学手段：教学方法：启发探究与学生自主探究相结合教学手段：计算机辅助教学并设计了如下五个教学环节：创设情境，引入新课 提出问题，探究问题 习题精炼，深化概念总结反思，纳入系统 布置作业，承上启下。
互为反函数的函数图象间的关系
互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中，函数是一个关系，它将一组输入值映射到一组输出值。
互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时，两个函数所得的结果可以彼此对应，互相抵消，使得最终结果回到原先的输入。
本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。
2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数，如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x，那么函数 f 和 g 互为反函数。
简单来说，互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作，使得最终结果回到原先的输入。
3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数，那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。
具体可以分为以下几种情况：3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。
这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相同的结果，从而形成图象重合。
3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时，函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。
这是因为通过倒置关系，将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相反的结果，从而形成图象相互倒置。
3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称，则它们的图象在该直线上对应。
这是因为对称轴为直线 y=x 时，函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作，使得最终结果回到原先的输入，并保持图象在该直线上的对应关系。
4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。
定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系：f(g(x)) = loga(a^x) = x，g(f(x)) = loga(a^x) = x。
“互为反函数的函数图象间的关系”教学教案
“互为反函数的函数图象间的关系”教学教案1．复习，“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例。
反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。
求出函数y＝x3的反函数。
2．新课。
先让学生用几何画板画出y＝x3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。
有局部学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象（图1）：教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反响。
生2：这是y＝x3的反函数y＝的图象。
师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。
（学生展开讨论，但找不出原因。
）师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。
（生1将他的制作过程重新重复了一次。
）生3：问题出在他选择的次序不对。
师：哪个次序？生3：作点Ｂ前，选择xA和xA3为Ｂ的坐标时，他先选择xA3，后选择xA，作出来的点的坐标为（xA3，xA），而不是（xA，xA3）。
师：是这样吗？我们请生1再做一次。
（这次生1在做的过程中，按xA、xA3的次序选择，果然得到函数y＝x3的图象。
）师：看来问题确实是出在这个地方，那么请同学再想想，为什么他采用了错误的次序后，恰好得到了y＝x3的反函数y＝的图象呢？（学生再次陷入思考，一会儿有学生举手。
）师：我们请生4来告诉大家。
生4：因为他这样做，正好是将y＝x3上的点Ｂ（x，y）的横坐标x与纵坐标y交换，而y＝x3的反函数也正好是将x与y交换。
师：完全正确。
下面我们进一步研究y＝x3的图象及其反函数y＝的图象的关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系？（多数学生答复可由y＝x3的图象得到y＝的图象，于是教师进一步追问。
）师：怎么由y＝x3的图象得到y＝的图象？生5：将y＝x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y＝的图象。
师：将横坐标与纵坐标互换？怎么换？（学生一时未能明白教师的意思，场面一下子冷了下来，教师不得不将问题进一步明确，初中数学教案《“互为反函数的函数图象间的关系”教学案例》。
高中数学必修一《探究与发现 互为反函数的函数图像间的关系》优秀教学设计
教材：人教A版2003课标版必修一册上2.2探究与发现互为反函数的函数图像间的关系一、教材分析古希腊生物学家普罗塔戈说过：“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把需被点燃的火把。
”因此，教师不应是“灌输者”，而应是“点火者”。
数学教学要充分发挥学生的主动性,启发学生积极主动地探索数学的奥妙,实现自主学习。
《新课标》也要求：教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在动手实践、自主探索、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
因此新课程理念下的高中数学教学应打破传统，从“灌输式”转变为“探究式”，将教学过程变成师生共同探索知识的过程。
在教学中教师要重视探索过程，采用问题教学法和主体性学习的教学模式，始终以学生的独立思考、自主探索、合作交流来开展数学学习活动，充分调动学生学习积极性，从而习得知识、经验和方法，提高学习兴趣，培养学习能力，形成情感、态度、价值观。
探究课是指教师运用探究技能让学生通过主动探索，相对独立地进行科学发现或创造，并由此获得科学活动的实际体验和经验。
数学课程标准强调，要培养学生的创新意识、实践能力。
学生的创新意识是在主动探索知识的过程中得到培养的，学生的实践能力是在运用知识解决问题的实践能力活动中得到发展的。
“探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展”。
所以在课堂教学中实施探究性学习，势在必行.“探究与发现互为反函数的函数图像间的关系”是人教A版2003课标版必修一册上2.2节的探究与发现内容,教学需要一个课时，本节课是在学生学习完指数函数和对数函数定义与性质后淡淡的说了反函数定义,而我想有意识的培养学生的探究与归纳能力，从而设计了这节课！二、学情分析：从基础知识的角度看，学生在前面已经学习了函数的定义、对指数函数和对数函数的定义和性质、会画基本的函数图像、反函数的定义，因此具备了学习该部分内容的基础。
但由于高一学生还没有全面的适应高中的学习，观察归纳能力还有待提高，所以有必要让学生参与实践，用几何画板演示由特殊到一般的动态过程，发现规律，总结特点、归纳方法，让学生亲身经历探索认知过程。
互为反函数的函数图象间的关系教学设计
互为反函数的函数图象间的关系教学设计Teaching design of the relationship between f unction images of reciprocal functions互为反函数的函数图象间的关系教学设计前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
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互为反函数的函数图象间的关系一、教学目标1.理解并掌握互为反函数的函数图像间的关系定理，运用定理解决有关反函数的问题，深化对互为反函数本质的认识．2.运用定理画互为反函数的图像，研究互为反函数的有关性质，提高解函数综合问题的能力．3.提高学生的形象思维与抽象思维相结合的逻辑思维能力，培养学生数形结合的数学思想和转化的数学思想．二、教学重点互为反函数的函数图象间的关系和数形结合的数学思想三、教学难点互为反函数的函数图象间的关系四、教学方法启发式教学方法五、教学手段多媒体课件六、教学过程（一）复习：1．求反函数的步骤（1解 2换 3注明）2．求出下列函数的反函数① y=2x+4（x∈r）（y=x/2 -2 x∈r）② y=6-2x （x∈r）（y=3- x/2 x∈r）③ y=x2（x≥0）（y=x1/2 x≥0）（二）新课导入1．分别将上述三个函数与其反函数的图象做在同一个直角坐标系中2．分析各图中互为反函数的函数图象间的关系3．给出定理：函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f –1（x）图象关于直线y=x对称4．讲解例一：例1 求函数y=x3 （x∈r）反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象。
互为反函数的函数图象间的关系课件
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称，则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x， 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y， 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称，则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数，然后解出x，得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域，然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质，以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交，那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$，
当它们在$(a,b)$相交时，必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称，那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质，可以深入了解原函数的性质，如单调
高中数学必修一《互为反函数的两个函数图像之间的关系》优秀教学设计
互为反函数的两个函数图像之间的关系一、教材分析：本节课是《数学（1）》（人教A 版）第二章第二节后探究与发现内容，这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，可以让学生接受、理解反函数的概念，体会互为反函数的两个函数图像之间的关系，又可使学生加深对函数基本概念的理解。
二、学情分析：学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。
通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程.三、教学目标分析：知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。
（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。
（3）情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。
四、教学重点与难点教学重点：互为反函数的两个函数图像之间的关系教学难点：反函数的定义和求法.五、教学过程设计（一）创设情景、提出问题设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s ,若以t 为自变量可得指数函数x y a =，若以s 为自变量可得对数函数log a y x =那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.（二）师生互动、探究新知探究点一指数函数与对数函数的关系为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数2x y =及2log y x =的图象.问题1：函数2x y =及2log y x =的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？答：函数2x y =的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数2log y x =的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数2x y =的定义域和值域分别是函数2log y x =的值域和定义域.问题2 ：取函数2x y =的图象上的几个点，如：1231(1,),(0,1),(1,2),2P P P -123,,,P P P 关于直线y x =的对称点坐标是什么？它们在函数2log y x =的图像上吗？为什么？答：123,,,P P P 关于直线y x =的对称点坐标分别为'''1231(,1),(1,0),(2,1),2P P P -每个点坐标满足2log y x =，它们在函数2log y x =的图像上问题3 ： 如果点000(,)P x y 在2x y =的图象上，那么000(,)P x y 关于直线y x =的对称点坐标是什么？它在函数2log y x =的图像上吗？为什么？答：利用对称性可知000(,)P x y 关于直线y x =的对称点坐标分别为'000(,)P y x ，因为002x y =，所以020log x y =，即点'000(,)P y x 在函数2log y x =的图像上。
最新高教版数学教案——互为反函数的图象间的关系
互为反函数的图象间的关系教学目标：1. 了解互为反函数的两函数图象之间的关系：关于＝对称.2．会利用互为反函数的两图象之间的对称关系作出一个函数反函数的图象.3．通过观察函数图象，渗透存在反函数的一个出数图象的特点，进一步渗透一一对应的思想.教学重点：互为反函数的两函数图象之间的关系.教学难点：反函数图象的画法.教学过程：一、新课导入将一个函数＝(∈)解得＝()(∈())，这时两函数的图象完全相同，如果将＝()(∈())中的、交换后，得＝()(∈())，它的图象与原来函数的图象有什么样的关系呢？这就是这节课我们要学习的内容.二、讲解新课我们先看一个例子.函数＝2，它的反函数的自变量如果仍用表示，即，显然它与＝2的图象是同一个函数(图1).但是对于交换、之后的反函数，有对于函数上的任一点(、)，点(、)一定在它的图象上，反之亦然，这样的两个点(、)与(、)有什么特点呢？连结，我们可以看到直线＝垂直平分线段，这就是说，点(、)和(，)关于直线＝对称(图2).我们将在第六章再严格证明这个性质.一般地有＝(∈)与它的反函数＝()(∈())的图象关于直线＝对称.三、课堂练习第84页练习第2题.(学生完或练习后，可和学生一起总结函数＝3＋2的反函数的画法有两种：一是先求出反函数＝后，再画图象；二是画出＝3＋2的图象后(或不画出图象，根据分析知其图象为一直线)取图象上两点(0，2)，(1，5)，找出其关于＝的对称点(2，0)与(5，1).过两点作直线，即得反函数图象，也可以画出＝3＋2的图象后，作它关于＝对称的图形，但较麻烦，在一个函数的反函数不容易表达或根据表达式不容易画出图形时，用后面的方法画反函数图象较为有利.)四、课堂小结1．函数与其反函数的图象关于＝对称.2．反函数图象的画法.五、课外作业.1．复习3.4.2节课文2．书面作业：第84页练习第2，3题，第86页习题3－1 B第5，6题.。
互为反函数的两个函数图像间的关系
4、怎样求一个函数的反函数？
（1）求原函数的值域 （2）反解：y = f(x)得 x = f(y) （3）互换：x、y互换位置，得y=f -1(x) （4）写定义域：根据原来函数的值域，写出反函数
及其定义域.
问题2：如果任意点
P0 x0 ,
思考1:如果两函数的图像关于直线y=x对称， 那么这两个函数有什么关系？
思考2：如果一个函数的图像关于y=x对称， 那么它的反函数是什么？
例1：已知函数 f x 2x 4 ,求 f 15 的值？
例2：求函数y=2x-2（x∈R）的反函数，并 根据原函数和它的反函数的图象关系画出 函数图像。
课堂小结
1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称且单调性相同;
2.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数.
3.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身，反之也成立。
4.求反函数的步骤：
（1）反解：y = f(x)
互为反函数的两个函数 图象之间的以把这个 函数的值域作为一个新的函数的定义域，而把 这个函数的定义域作为新的函数的值域，我们 称这两个函数 互为反函数 。
2、点P(m,n)与点Q(n,m)有怎样的位置关系？ 关于直线y=x对称
3、指数函数 y ax a 0且a 1与对数函数
及其反函数 y loga xa 0且 1 也成立吗？为什么？
5
4 4
3
y=axy=(aa>x1) 3 2 2 0<a<1 1
1
-4 -4
-2 -2
2
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图像之间的关系【教材位置】必修1《基本初等函数（Ⅰ）》第76页.【基础知识】学习函数的相关知识.【教学目标】1、了解反函数的概念意义2、掌握互为反函数的两个函数图像的性质3、了解反函数的求法，会求一些函数的反函数4、培养良好的学习兴趣5、通过函数x y 2=，与函数x y 2log =的研究，体验从特殊到一般的思维发展过程【教学过程】一、反函数的概念1、指数函数x a y =)10(≠>a a 且与对数函数x y a log =)10(≠>a a 且是互为反函数.2、反函数的概念：设函数y=f(x)(x ∈A)的值域为C ，如果反解得到的确定了一个从集合C 到集合A 的映射，则由这个映射所确定的函数就称为函数y=f(x)(x∈A)的反函数。
记为y=f -1(x)(x ∈C) . 显然，y=f(x)(x ∈A)与y=f -1(x)(x ∈C)互为反函数. 函数y ＝f(x)的定义域是它的反函数y ＝f -1(x)的值域；函数y ＝f(x)的值域是它的反函数y ＝f -1(x)的定义域.在y ＝f(x)与y ＝f -1(x)中，x 、y 所处的地位相同，但表示的量的意义不同.反函数实质上也是函数.反函数是相对于原函数而言，换句话说，反函数不能脱离原函数而单独存在.二、求反函数1、观察函数x y 2=中x 、y 与函数x y 2log =中x 、y 的关系.2、反函数求解步骤：(1)从方程y ＝f(x)中解出x ＝f -1(y)；(2)将x 、y 互换，得到y ＝f -1(x)；(3)根据y ＝f(x)的值域，写出y ＝f -1(x)的定义域.注意：步骤(3)是因为我们已经习惯于用x 表示自变量，用y 表示因变量.关键在于理解反函数的对应法则.例1 求下列函数的反函数：（1）12-=x y ；（2）x y =.三、反函数的存在性1、怎样的函数才有反函数.例如函数2x y =的定义域为R ，值域为[)+∞,0.如果由2x y =解出y x ±=，对于y 在[)+∞,0上任一个值，通过式子y x ±=，x 在R 上有两个值和他对应，故x 不是y 的函数.所以函数2x y =没有反函数.2、结论1：如果函数y=f(x)在区间(a ，b)上单调，则在(a ，b)上存在反函数.从映射角度说，只有当构成函数的映射是一一映射时，这个函数才有反函数. 注意：(1)函数单调是函数存在反函数的充分不必要条件，也就是说，一个函数不单调，也有可能存在反函数，比如反比例函数xy 1=在(-∞，0)∪(0，+∞) 上并不单调，但是在定义域(-∞，0)∪(0，+∞)内存在反函数.三、互为反函数间的关系1、观察函数x y 2=的定义域、值域与函数x y 2log =的定义域、值域关系.2、结论2：原函数与反函数的定义域值域互换.3、求函数x y 2=上的点），（）、，（、21C 10B )21,1(-A 关于直线x y =的对称点///C B A 、、，并观察点///C B A 、、是否在函数x y 2log =的图像上.4、观察函数x y 2=上的点),(00y x P 关于直线x y =的对称点/P 是否在函数x y 2log =的图像上.5、那么指数函数x a y =)10(≠>a a 且的图像与其反函数x y a log =)10(≠>a a 且的图像有何关系？其他互为反函数的两个函数图象又有何关系？6、结论3：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x 对称.四、其他性质1、若y ＝f(x)(x ∈A)，与y ＝f-1(x)(x ∈C)互为反函数，则有2、f ［f -1(x)］＝x(x ∈C)；3、f -1［f(x)］＝x(x ∈A)；4、互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性；5、奇函数若有反函数，则其反函数也是奇函数；6、具有单调性的函数必有反函数；7、两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定在直线y ＝x 上.。
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课题：互为反函数的函数图像间的关系
(说课稿)
教学过程设计
创设情景，引入新课
1、复习提问反函数的概念。
〇学生活动学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还是函数
提出问题，探究问题
一、画出y=3x-2)
(R
x∈的图像，并求出反函数。
●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？
〇学生活动学生很容易回答
原函数y =3x-2中反函数3
2
+
=
y
x
中
y:函数x：自变量 x:函数y：自变量
●引导设问2在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y0与之对应，即
()y
x
,在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？
〇学因为y0=3x0-2成立，所以3
2
+
=
y
x成立即(y
,x0)在反函数图像上。
●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B
再换一个位置行吗？
〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。
学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。
▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当()y
x
,在y =3 x-2图像变化时(y0,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。
●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2)
(R
x∈的反函数的图像吗？怎么画？
〇学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。
●引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？ 〇学生活动由前面容易得出（关于y=x 对称）
●引导设问6若把l /
当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？
〇学生活动由图中可以看出l l /
,关于y=x 相互对称所以他的反函数图像应是l ，另外由上节课原函数与反函数互为反函数也可得。
●引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是x y 3
=
的图像，请你猜想出它的反函数图像。
〇学生活动由上题学生不难得出做y=x 的对称图像（教师配合动画演示）
●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？
▲ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于
y=x 这条直线对称。
（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一
个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。
习题精炼，深化概念
●引导设问9根据图像判断函数x y 2
=有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才
能有反函数？
〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。
总结反思，纳入系统： 内容总结：
1、
()y x 0
,在原函数图像上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上。
2、()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称。
3、原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称。
思想总结：
由特殊到一般的思想，数形结合的思想 布置作业，承上启下
个特殊的函数图像得出一般结论的。
我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。
这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。
而我
对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用
()y x 0
,在原函数图像
上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究()y x 0
,与(y 0
,x 0
)的关系。
经讨论研究可得出结论“()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称”。
进而通过任意点的对称得出
原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。
具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2)(R x ∈的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数y =3x-2中
y:函数x ：自变量，反函数32+=y x 中x:函数y ：自变量。
问题2：在原函数定义域
内任给定一个x 0都有唯一的一个
y
与之对应，即()y x 0
0,在原函数图像上，那么哪一点在
反函数图像上？对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出(y 0
,x 0)在反函数图像上。
问题3：若连结B
()y x 0
,，G (y 0
,x 0
)，则BG 与y=x 什么关系？点B 与点G 什么关系？为什
么？点B 再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重在帮助学生理解()y x 0
,与(y 0
,x 0
)
为什么关于y=x 对称，突出本课重点和难点。
其它环节具体见教案。