《特殊角的三角函数值》导学案

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数锐角三角函数特殊角的三角函数值导学案新人教

特殊角的三角函数值一、【复习准备】1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边)(sin =A ＝____，斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝_____，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______， )(tan 的对边B B ∠=＝______．二、【自主学习】两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的三角函数值，并完成下表：锐角三角函数锐角A 30° 45°60°sinA cosA tanA三、【合作探究】求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°跟踪练习：课本67页练习题四、【课堂检测】班级：姓名： 1．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）． A ．2 B ．3 C ．2 D ．1学习目标1. 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

2. 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式：学习重点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

学习难点30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程cos 45sin 301cos60tan 452︒-︒︒+︒2．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，cosB= 32，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定3．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形4.计算5．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底角为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）A ．B．C．D．【答案】B【解析】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c=b，∴a+c=0，∴ac＜0，∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．故选B.点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0.2．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）A．1101002x x=+B．1101002x x=+C．1101002x x=-D．1101002x x=-【答案】A【解析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：1102x+=100x，故选A．3．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°【答案】A【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．考点：平行线的性质．4．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【答案】B 【解析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．【详解】∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．5．下列分式是最简分式的是（）A．223aa bB．23aa a-C．22a ba b++D．222a aba b--【答案】C【解析】解：A．22233aa b ab=，故本选项错误；B．2133aa a a=--，故本选项错误；C．22a ba b++，不能约分，故本选项正确；D．222()()()a ab a a b aa b a b a b a b--==-+-+，故本选项错误．故选C．点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解答此题的关键．6．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+m 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为(1，0)，则线段AB 的长为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，求出m 的值，将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，得到x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝3，即可解答【详解】将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，得到m ＝3，所以y ＝x 2﹣4x+3，与x 轴交于两点，设A(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)∴x 2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根， ∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝3，∴AB ＝|x 1﹣x 2|＝21212)4x x x x ++（＝2；故选B ．【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△AOB 的三个顶点都在格点上，现将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ，则点A 经过的路径弧AC 的长为（）A ．3π2B ．πC ．2πD ．3π【答案】A【解析】根据旋转的性质和弧长公式解答即可．【详解】解：∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD ， ∴∠AOC ＝90°， ∵OC ＝3，∴点A 经过的路径弧AC 的长＝903180π⨯= 3π2，故选：A ．【点睛】此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．8．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°【答案】B【解析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，∴∠1+∠2=120°．故选B.【点睛】考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．9．若关于x，y的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y+=的解，则k的值为()A．34-B．34C．43D．43-【答案】B【解析】将k看做已知数求出用k表示的x与y，代入2x+3y=6中计算即可得到k的值．【详解】解：59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：214x k=，即7x k=，将7x k=代入①得：75k y k+=，即2y k=-，将7x k=，2y k=-代入236x y+=得：1466k k-=，解得：34k=．故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．10．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4【答案】D【解析】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x﹣1)，得：m+1x=x﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D．二、填空题（本题包括8个小题）11．当x为_____时，分式3621xx-+的值为1．【答案】2【解析】分式的值是1的条件是，分子为1，分母不为1．【详解】∵3x-6=1，∴x=2，当x=2时，2x+1≠1．∴当x=2时，分式的值是1．故答案为2．【点睛】本题考查的知识点是分式为1的条件，解题关键是注意的是分母不能是1.12．如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．【答案】15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为15π．考点：圆锥的计算．13．如果正比例函数3)y k x=-（的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是__．【答案】k>1【解析】根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．【详解】因为正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限，所以k-1＞0，解得：k＞1，故答案为：k＞1．【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限解答．14．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为_____°．【答案】30或1．【解析】根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得∠ADB=∠AD′B=1°，继而可求得∠DAB 的度数，则可求得答案．【详解】解：如图，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=∠AD′B=1°，∵AD=AD′=1，AB=2，∴cos∠DAB=cosD′AB=12，∴∠DAB=∠D′AB=60°，∵∠CAB=30°，∴∠CAD=30°，∠CAD′=1°．∴∠CAD的度数为：30°或1°．故答案为30或1．【点睛】本题考查圆周角定理；含30度角的直角三角形．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°【答案】B．【解析】试题分析：根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD 为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．考点：圆的基本性质、切线的性质．16．函数y ＝22xx -+中，自变量x 的取值范围是_________．【答案】x≤1且x≠﹣1【解析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得结论．【详解】根据题意，得：2020x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得：x≤1且x≠﹣1．故答案为x≤1且x≠﹣1．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．17．如图，在ABC ∆中，5BC AC ==,8AB =,CD 为AB 边的高，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点C 在第一象限，若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动ABC ∆在平面内滑动，设运动时间为t 秒，当B 到达原点时停止运动连接OC ，线段OC 的长随t 的变化而变化，当OC 最大时，t =______.当ABC ∆的边与坐标轴平行时，t =______.【答案】2243255和【解析】（1）由等腰三角形的性质可得AD=BD ，从而可求出OD=4，然后根据当O ，D ，C 共线时，OC 取最大值求解即可；（2）根据等腰三角形的性质求出CD ，分AC ∥y 轴、BC ∥x 轴两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理列式计算即可．【详解】（1）15,,42BC AC CD AB AD BD AB ∴==⊥∴===， 190,,42AOB AD BD OD AB ︒∠==∴==，当O ，D ，C 共线时，OC 取最大值，此时OD ⊥AB.∵,4OD AB OD AD BD ⊥===，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴242OA t AD ===；（2）∵BC=AC ，CD 为AB 边的高，∴∠ADC=90°，BD=DA=12AB=4， ∴22AC AD -，当AC ∥y 轴时，∠ABO=∠CAB ， ∴Rt △ABO ∽Rt △CAD ，∴AO AB CD AC =，即835t =，解得，t=245，当BC ∥x 轴时，∠BAO=∠CBD ， ∴Rt △ABO ∽Rt △BCD ，∴AO AB BD BC =，即845t =，解得，t=325，则当t=245或325时，△ABC 的边与坐标轴平行．故答案为t=245或325．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．18．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为___【答案】3【解析】试题解析：：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3， ∴a ＞1．-24b a=-3，即b 2=12a ， ∵一元二次方程ax 2+bx+m=1有实数根，∴△=b 2-4am≥1，即12a-4am≥1，即12-4m≥1，解得m≤3， ∴m 的最大值为3，三、解答题（本题包括8个小题）19．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A 型和B 型两行环保节能公交车共10辆，若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元，求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？预计在该条线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【答案】（1）购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元．（2）购买A型公交车8辆，则B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【解析】（1）设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元，根据“A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车（10-a ）辆，由“购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【详解】（1）设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元，由题意得24002350x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100150x y =⎧⎨=⎩，答：购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元．（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车（10﹣a ）辆，由题意得100150(10)122060100(10)650a a a a +-⎧⎨+-⎩，解得：283554a ≤≤，因为a 是整数，所以a ＝6，7，8；则（10﹣a ）＝4，3，2；三种方案：①购买A 型公交车6辆，则B 型公交车4辆：100×6+150×4＝1200万元； ②购买A 型公交车7辆，则B 型公交车3辆：100×7+150×3＝1150万元； ③购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆：100×8+150×2＝1100万元；购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】(1) 1000﹣x，﹣10x2+1300x﹣1；（2）50元或80元；（3）8640元.【解析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得销售量y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，销售利润w=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣1．（2）令﹣10x2+1300x﹣1=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣1转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．【详解】解：（1）销售量y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，销售利润w=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣1．故答案为: 1000﹣x，﹣10x2+1300x﹣1．（2）﹣10x2+1300x﹣1=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．（3）根据题意得100010x540 x44-≥⎧⎨≥⎩，解得：44≤x≤46 ．w=﹣10x2+1300x﹣1=﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a=﹣10＜0，对称轴x=65，∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．21．重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度，并补全条形统计图；经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．【答案】【解析】试题分析：（1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数，求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可；（2）设四篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文，用画树状法即可求得结果.试题解析：（1）20÷20%=100，九年级参赛作文篇数对应的圆心角=360°×35100=126°；100﹣20﹣35=45，补全条形统计图如图所示：（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．画树状图法：共有12种可能的结果，七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有6种，∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）=61 122．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.列表法与画树状图法. 22．“十九大”报告提出了我国将加大治理环境污染的力度，还我青山绿水，其中雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在全校学生中抽取400名同学做了一次调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的一种统计图表．对雾霾了解程度的统计表对雾霾的了解程度百分比A．非常了解5%B．比较了解mC．基本了解45%D．不了解n请结合统计图表，回答下列问题：统计表中：m＝，n＝；请在图1中补全条形统计图；请问在图2所示的扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是多少度？【答案】（1）20；15%；35%；（2）见解析;（3）126°．【解析】（1）根据被调查学生总人数，用B的人数除以被调查的学生总人数计算即可求出m，再根据各部分的百分比的和等于1计算即可求出n；（2）求出D的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用D的百分比乘360°计算即可得解．【详解】解：（1）非常了解的人数为20，60÷400×100%=15%，1﹣5%﹣15%﹣45%=35%，故答案为20；15%；35%；（2）∵D等级的人数为：400×35%=140，∴补全条形统计图如图所示：（3）D部分扇形所对应的圆心角：360°×35%=126°．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小23．如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象与一次函数y=﹣12x+4的图象交于A和B（6，n）两点．求k和n的值；若点C（x，y）也在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．【答案】（1）n=1，k=1．（2）当2≤x≤1时，1≤y≤2．【解析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由k=1＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤1时，1≤y≤2．【详解】（1）当x=1时，n=﹣12×1+4=1，∴点B的坐标为（1，1）．∵反比例函数y=kx过点B（1，1），∴k=1×1=1；（2）∵k=1＞0，∴当x＞0时，y随x值增大而减小，∴当2≤x≤1时，1≤y≤2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.24．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．【答案】53米.【解析】先求抛物线对称轴，再根据待定系数法求抛物线解析式，再求函数最大值. 【详解】由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），则据题意得：421.53661baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩，解得：12413ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣124x2+13x+1，∵y=﹣124（x﹣4）2+53，∴飞行的最高高度为：53米．【点睛】本题考核知识点：二次函数的应用. 解题关键点：熟记二次函数的基本性质.25．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．求证：DP是⊙O的切线；若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（22933()22cm.【解析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OD，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．∴∠DOP=180°﹣120°=60°．∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．∴OD⊥DP．∵OD为半径，∴DP是⊙O切线．（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=33cm．∴图中阴影部分的面积221603933333()236022 ODP DOBS S S cm 扇形26．投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；若菜园面积为384m2，求x的值；求菜园的最大面积．【答案】（1）见详解；(2)x=18；(3) 416 m2.【解析】（1）根据“垂直于墙的长度=2-÷总费用平行于墙的总费用垂直于可得函数解析式；（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．【详解】(1)根据题意知，y＝100002002150x-⨯＝－23x＋1003；(2)根据题意，得(－23x＋1003)x＝384，解得x＝18或x＝32.∵墙的长度为24 m，∴x＝18.(3)设菜园的面积是S，则S＝(－23x＋1003)x＝－23x2＋1003x＝－23(x－25)2＋12503.∵－23＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大.∵x≤24，∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416.答：菜园的最大面积为416 m2.【点睛】本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（）．x…1-12…y…1-74-2-74-… A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点【答案】B【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧故选B. 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成. 2．下列计算正确的是（） A ．（a 2）3＝a 6 B ．a 2+a 2＝a 4 C ．（3a ）•（2a ）2＝6aD ．3a ﹣a ＝3【答案】A【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A ．（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项正确； B ．a 2+a 2=2a 2，故本选项错误；C ．（3a ）•（2a ）2=（3a ）•（4a 2）=12a 1+2=12a 3，故本选项错误；D ．3a ﹣a=2a ，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．3．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC长，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为，则鱼竿转过的角度是（）A．60°B．45°C．15°D．90°【答案】C【解析】试题解析：∵sin∠CAB=32262 BCAC==∴∠CAB=45°．∵33362B Csin C ABAC'''∠==='，∴∠C′AB′=60°．∴∠CAC′=60°-45°=15°，鱼竿转过的角度是15°．故选C．考点：解直角三角形的应用．4．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（）A．a+b B．﹣a﹣c C．a+c D．a+2b﹣c 【答案】C【解析】首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．【详解】解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＞0，c﹣b＜0∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c，故答案为a+c．故选A．5．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（）A．正方体B．球C．圆锥D．圆柱体【答案】D【解析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．故选D ．【点睛】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．6．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（）A ．3B ．2C ．23D ．()123+【答案】C【解析】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，由垂径定理得到C 为AB 的中点，再由折叠得到CD=OC ，求出OC 的长，在直角三角形AOC 中，利用勾股定理求出AC 的长，即可确定出AB 的长．【详解】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm ，在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：AC 2+OC 2=OA 2，即AC 2+1=4，解得：3，则3．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．7．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )A ．众数B ．方差C ．平均数D ．中位数【答案】D【解析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少. 故本题选：D. 【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键. 8．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,1．对于这组数据，下列说法错误的是（）A ．平均数是15B ．众数是10C ．中位数是17D ．方差是443【答案】C【解析】解：中位数应该是15和17的平均数16，故C 选项错误，其他选择正确．故选C ．【点睛】本题考查求中位数，众数，方差，理解相关概念是本题的解题关键.9．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2ky x=（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论： ①ΔADB ΔADC S S =； ②当0＜x ＜3时，12y y <； ③如图，当x=3时，EF=83；④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确；∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x=，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误；当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83，选项③正确；当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2，2）、B （3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标分别为（）A ．（4，4）B ．（3，3）C ．（3，1）D ．（4，1）【答案】A【解析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C 点坐标．【详解】∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ， ∴A 点与C 点是对应点，∵C 点的对应点A 的坐标为（2，2），位似比为1：2， ∴点C 的坐标为：（4，4）故选A ．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 __________.【答案】a≤1且a≠0【解析】∵关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，∴()20240a a ≠⎧⎪⎨=--≥⎪⎩，解得：a 1≤， ∴a 的取值范围为：a 1≤且0a ≠ .点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此0a ≠ ；（2）这道一元二次方程有实数根，因此()2240a =--≥ ；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略.12．二次函数()2y ax bx c a 0=++≠中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…32-1-12-12 132 …y…54-2-94-2-54-0 74…则2ax bx c 0++=的解为________．【答案】x 2=-或1【解析】由二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x 轴的另一个交点．继而求得答案.【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），∴此抛物线的对称轴为：直线x=-12， ∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x 轴的另一个交点为：（-2，0），。

导学案25.2.4特殊角三角函数

【学习课题】25.2.4 锐角三角函数（四）【学习课型】新授课【学习课时】1课时【学习目标】1、熟记特殊角的正弦、余弦和正切的函数值，并会由特殊角的三角函数值求出这个角的度数。

2、通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，在求三角函数值的过程中，体会数形结合的思想。

【重难点预测】1、重点：特殊的三角函数值及其由来。

2、难点：运用特殊的三角函数值进行三角函数的计算。

一、自主学习如图，在ABCRt∆中，∠C＝90°，∠B=α，请根据α的不同的值求出它的三角函数值。

α30°45°60°sinαcosαtanαcotα二、课内探究探究点1：特殊三角函数值问题1、求下列各式的值。

（1）2sin30°-cos45°（2）sin60°·cos60°（3）sin230°+cos230°展示点1：计算.（1）cos45°－sin30°（2）tan45°－sin30°·cos60°（3）2230tan45cos探究点2：已知三角函数值求锐角问题1、求满足下列条件的锐角α:(1)cosα=23(2)2sinα=1(3)2sinα－2=0 (4)3tanα－1=0展示点2：1．若sinα=22,则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________.2．若∠A是锐角，且tanA=33,则cosA=_________.3．求满足下列条件的锐角α:（1）cosα-23=0 (2)-3tanα+3=0A AABB BC C C（3）tan （α+10°）=34.已知α为锐角,当αtan 12-无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.三、拓展提升1.等腰三角形的一腰长为6㎝,底边长为63㎝,请你判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形?2.计算：（1）︒+︒︒-︒︒60tan 645cos 30sin 445sin 45tan 2(2)︒︒︒︒︒︒80tan 70tan 50tan 40tan 20tan 10tan3.已知32+是方程01sin 52=+-θx x 的一个根，其中θ为锐角，求θsin 和θcos 。

人教版九年级下《28.1.3特殊角的三角函数值》学案(含答案)

28.1.3 特殊角的三角函数值学案一、新课导入1.课题导入情景：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.（板书课题）2.学习目标（1）推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.（2）能运用30°，45°，60°角的三角函数值进行简单的计算.（3）能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.（4）自学参考提纲：①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求下列各式的值：a.1-2sin30°cos30°;b.3tan30°-tan45°+2sin60°;=-1.c.(cos230°+sin230°)×tan60°.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.②差异指导：根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算，再根据实数的运算法则计算.（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.（3）当A、B为锐角时，若A≠B，则sin A≠sin B，cos A≠cos B,tan A≠tanB.三、评价1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究”的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进行计算.评价作业一、基础巩固（70分）3.(40分)求下列各式的值.（1）sin45°+cos45°;=2.（2）sin45°cos60°-cos45°;（3）cos245°+tan60°cos30°;=2.(4）1-cos30°sin60°+tan30°.的度数.∵∠B 是锐角且tan B =1,∴∠B =45°.∴∠C =180°-∠A -∠B =75°.二、综合应用（20分）是（D ）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形6.(10分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ，CD 为⊙O 的直径，D E ⊥AB 于点E ，三、拓展延伸（10分）7.(10分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α）.（1）求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A 和∠B的大小.解：∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.∴∠A=30°或120°，∠B=30°或120°.又∵sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，。

特殊三角函数导学案

28.1.3特殊角三角函数值设计人：翟小亚审核人：班级：小主人：【学习目标】1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

【学习重点】能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数的灵活运用。

【学习方法】合作展示自学请同学们完成下列题目1、两块三角尺中有几个不同的锐角，分别是、、。

2、分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值填在下表中（小组分工完成）3、请同学们打开课本79页与课本对照表格，然后讨论记忆诀窍。

研学一、请同学们认真分析讨论课本例3完成下列题目1、sin 260°表示，即，等于2、cos 45sin 45︒︒ 计算时可以转化为（）÷（）=（）sin3003、sin600 计算时可以转化为（）÷（）=（）×（）=（）4、计算下列各式的值30° 45°60° sinAcosAtanA1-2sin30°cos30° 3tan30°-tan45°+2sin600 二、请同学们认真分析讨论课本例4完成下列题目1、若sinA=32，则∠A= ；若cosA=32，则∠A= ；若tanA=3，则∠A= 。

2、如图（1），在Rt△ABC中，∠C=900，AB=6，BC=3，求∠A的度数．已知∠A的边和边，可以利用来求。

3、如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求a．已知a的边和边，可以利用来求。

4、在Rt△ABC中，∠C=900，BC=7 AC=21 ，求∠A，∠B的度数。

《第3课时特殊角的三角函数值》导学案 2022年最新word版

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果例3：求以下各式的值．〔1〕cos260°+sin260°．〔2〕-tan45°．例4：〔1〕如图〔1〕，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．〔2〕如图〔2〕，圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的倍，求a ．四、学生展示：一、课本67页第1 题课本67页第 2题二、选择题．1．：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，那么AC 的长是〔〕．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．以下各式中不正确的选项是〔〕． A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是〔〕． A ．2 B ． C ． D ．14．∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么〔〕A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，cosB= 32，那么△ABC 的形状是〔〕A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，那么tana•的值为〔〕．A ．B ．C ．D ． 7．当锐角a>60°时，cosa 的值〔〕．A ．小于12B ．大于12C ．大于 32D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：：2，那么sinA+tanA 等于〔〕． A ．9．梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，假设梯形的高是，•那么∠CAB 等于〔〕A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是〔〕．A ．1B ．0C ．12D ． 3211．假设〔 3 tanA-3〕2+│2cosB- 3 │=0，那么△ABC 〔〕． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，那么α+β=_______． 13．的值是_______． 14．，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•那么底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=52，那么cosA=________．五、课堂小结：要牢记下表：六、作业设置：课本第69页习题28．1复习稳固第3题七、自我反思：本节课我的收获:第2课时一次函数的图象和性质一、学习目标：1、知道一次函数的图象是一条直线，理解正比例函数图象和一次函数图象的关系.2、理解一次函数中k，b对函数图象的影响，掌握一次函数的性质.3、培养大胆猜测，乐于质疑的良好品质，体会合作探究的乐趣.二、重点难点：重点：一次函数的图象和性质难点：对一次函数中的数与形的联系的理解三、学习过程：1、复习、回忆：〔1〕、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？〔2〕、正比例函数的图象是什么形状？〔3〕、正比例函数y=kx〔k是常数，k≠0〕中，k的正负对函数图像有什么影响？2、合作、探究：1、在同一直角坐标系内做出y=-2x、y=2x+3、y=2x-3的图像，比一比这三个函数的图象有什么异同并答复下面的问题：(1)这三个函数的图象形状都是＿＿＿，并且倾斜程度＿＿＿；(2)函数y=－2x图象经过原点，一次函数y=－2x+3 的图象与y轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x向＿＿平移＿＿单位长度而得到；一次函数y=－2x－3的图象与y轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x向＿＿平移＿＿单位长度而得到；归纳：(1) 所有一次函数y=kx+b的图象都是________(2)直线 y=kx+b与直线y=kx__________(3)直线 y=kx+b可以看作由直线y=kx___________而得到2、在同一坐标系中用两点法画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象y观察上面四个一次函数的图象，类比正比例函数y=k x中k的正负对图象的影响,表述一次函数的性质．3、练习检测〔1〕、有以下函数：①y=2x+1, ②y=-3x+4,③y=0.5x,④y=x-6; 其中过原点的直线是________；函数y随x的增大而增大的是__________；函数y随x的增大而减小的是___________；图象在第一、二、三象限的是________ .〔2〕、一次函数y = mx-(m-2), 假设它的图象经过原点，那么m= ;假设它的图象经过一、二、四象限，那么m .〔3〕、对于函数y=mx-3,y随x增大而减小，那么该直线经过象限.〔4〕、一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，画出它的大致图象.。

人教版数学九年级下导学案 28.1 第3课时特殊角的三角函数值

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OBa ．四、学生展示：一、课本67页第1 题课本67页第 2题二、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是（）．A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A ．2 BCD ．14．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，cosB= 32，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana •的值为（）．A ．34B ．43C ．35D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（）．A ．小于12B ．大于12C ．大于 32D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=12，则sinA+tanA 等于（）．A．311..6222B C D +9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC•则∠CAB 等于（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是（）．A ．1B ．0C ．12D ． 3211．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．13．cos 45sin 301cos60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC •的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 52，则cosA=________．六、作业设置：课本第69页习题28．1复习巩固第3题七、自我反思：本节课我的收获:。

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数锐角三角函数特殊角的三角函数值导学案新人教

特殊角的三角函数值一、【复习准备】1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边)(sin =A ＝____，斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝_____，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______， )(tan 的对边B B ∠=＝______．二、【自主学习】两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的三角函数值，并完成下表：锐角三角函数锐角A 30° 45°60°sinA cosA tanA三、【合作探究】求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°跟踪练习：课本67页练习题四、【课堂检测】班级：姓名： 1．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）． A ．2 B ．3 C ．2 D ．1学习目标1. 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

2. 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式：学习重点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

学习难点30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程cos 45sin 301cos60tan 452︒-︒︒+︒2．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，cosB= 32，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定3．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形4.计算5．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底角为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若a+b=3，，则ab等于（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【答案】B【解析】∵a+b=3，∴（a+b）2=9∴a2+2ab+b2=9∵a2+b2=7∴7+2ab=9，7+2ab=9∴ab=1．故选B．考点：完全平方公式；整体代入．2．一、单选题在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【答案】C【解析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．3．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接MM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（）A．21313B．31313C．23D．1313【答案】B【解析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形， ∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ， ∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中BFA DEAABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6，∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF 中，222313BE =+=， ∴3313cos 1313BF EBF BE ∠===．故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．4．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（）A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B ．抛一枚硬币，出现正面的概率C ．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D ．任意写一个整数，它能被2整除的概率【答案】C【解析】解：A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误； B ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；C ．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11123=+≈0.33；故此选项正确； D ．任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误．故选C ．5．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（） A ．20% B ．11%C ．10%D ．9.5%【答案】C【解析】设二，三月份平均每月降价的百分率为x ，则二月份为1000(1)x -，三月份为21000(1)x -，然后再依据第三个月售价为1，列出方程求解即可.【详解】解：设二，三月份平均每月降价的百分率为x ．根据题意，得21000(1)x -=1．解得10.1x =，2 1.9x =-（不合题意，舍去）．答：二，三月份平均每月降价的百分率为10%【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a ，每次降价的百分率为a ，则第一次降价后为a （1-x ）；第二次降价后后为a （1-x ）2,即：原数x （1-降价的百分率）2=后两次数.6．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C ．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．7．如图,在△ABC 中,点D 是AB 边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC 的面积为1,则△BCD 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴12AC AD AB AC ==， ∴2ACD ABCS AD SAC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABCS⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.8．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A 港和B 港相距多少千米. 设A 港和B 港相距x 千米. 根据题意，可列出的方程是（）.A ．32824x x =- B ．32824x x =+ C ．2232626x x +-=+ D ．2232626x x +-=- 【答案】A【解析】通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可．【详解】解：设A 港和B 港相距x 千米，可得方程：32824x x =- 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．9．如图，△A′B′C′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4：9，则OB′：OB 为（）A ．2：3B ．3：2C ．4：5D ．4：9【答案】A【解析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得. 【详解】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴23OBOB'=，故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌【答案】C【解析】试题分析：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C．考点：因式分解.二、填空题（本题包括8个小题）11．随意的抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全相同），那么这粒豆子落在黑色方格中的可能性是_____．【答案】13【解析】根据面积法：求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答．【详解】∵共有15个方格，其中黑色方格占5个，∴这粒豆子落在黑色方格中的概率是515=13，故答案为13．【点睛】此题考查了几何概率的求法，利用概率=相应的面积与总面积之比求出是解题关键．12．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：甲乙丙丁平均数（cm ） 561 560 561 560方差s 2（cm 2）3.5 3.5 15.5 16.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_____．【答案】甲【解析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵==x x x x 甲乙丁丙＞，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵22S S 甲丙＜， ∴选择甲参赛，故答案为甲．【点睛】此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则+a b =________．【答案】11【解析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】∵a ＜28＜b ，a 、b 为两个连续的整数，∴252836＜＜， ∴a ＝5，b ＝6，∴a ＋b ＝11.故答案为11.【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.14．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于__________．【答案】3【解析】试题解析：平移CD 到C′D′交AB 于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD ，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E=，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3.考点：解直角三角形．15．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m 的值为．【答案】1．【解析】试题分析：直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．试题解析：∵x=1是一元二次方程x1-1mx+4=0的一个解，∴4-4m+4=0，∴m=1．考点：一元二次方程的解．16．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交于点E，连接CE，若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是______．【答案】1【解析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=1，继而可得结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC．∵AB=4，BC=6，∴AD+CD=1．∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=1．故答案为1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．17．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝_____cm．【答案】4【解析】∵AB=2cm，AB=AB1，∴AB1=2cm，∵四边形ABCD是矩形，AE=CE，∴∠ABE=∠AB1E=90°∵AE=CE∴AB1=B1C∴AC=4cm．18．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是_____°．【答案】1【解析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝1°＝∠B′CB．【详解】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'∵A'B'⊥AC∴∠A'+∠ACA'＝90°∴∠ACA'＝1°∴∠BCB'＝1°故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：△ACE∽△BDE；BE•DC=AB•DE．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到BE EDAE EC=，由于∠E=∠E ，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到AE ABAC CD=，等量代换得到BE ABED CD=，即可得到结论．本题解析：【详解】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，又∵∠E=∠E，∴△ACE∽△BDE；（2）∵△ACE∽△BDE∴BE EDAE EC=，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴BE ABED CD=，∴BE•DC=AB•DE．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是关键.20．如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．求反比例函数的解析式；在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝kx(k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围．【答案】（1）4yx=；（2）1＜x＜1.【解析】（1）将点A的坐标（1，1）代入，即可求出反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝kx，即反比例函数的图象在一次函数的图象的下方时自变量的取值范围即可．【详解】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n），∴n=﹣1+5，解得：n=1，∴点A的坐标为（1，1）．∵反比例函数y=kx（k≠0）过点A（1，1），∴k=1×1=1，∴反比例函数的解析式为y=4x．联立54y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：14xy=⎧⎨=⎩或41xy=⎧⎨=⎩，∴点B的坐标为（1，1）．（2）观察函数图象，发现：当1＜x＜1.时，反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=kx（k≠0）的值时，x的取值范围为1＜x＜1．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．解题的关键是：（1）联立两函数解析式成二元一次方程组；（2）求出点C的坐标；（3）根据函数图象上下关系结合交点横坐标解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点的坐标是关键．21．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．求一次函数与反比例函数的解析式；求△AOB的面积．【答案】（1）y=-6x，y=-2x-1（2）1【解析】试题分析：（1）将点A 坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC +S△BOC 列式计算即可得解．试题解析：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，=m+8，解得m=﹣6，m+8=﹣6+8=2，所以，点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y=﹣，将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，解得n=1，所以，点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，，解得，所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣1；（2）设AB与x轴相交于点C，令﹣2x﹣1=0解得x=﹣2，所以，点C的坐标为（﹣2，0），所以，OC=2，S△AOB=S△AOC+S△BOC，=×2×3+×2×1，=3+1，=1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．22．尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【详解】如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．23．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B 点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长.【答案】（1）证明见解析；（2）BP=1.【解析】分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．详（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴AP AOAD AB=，即1241BP+=，∴BP=1．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．24．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元．①若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；②如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）【答案】解：（1）22.1．（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：21－[27－0.1（x－1）]=（0.1x＋0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋0.3x=12，整理，得x2＋14x－120=0，解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=2．当x＞10时，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋x=12，整理，得x2＋19x－120=0，解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=3．∵3＜10，∴x2=3舍去．答：要卖出2部汽车．【解析】一元二次方程的应用．（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=22.1．，（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为BC边上一点，以OC为半径的圆O，交AB于D 点，且AD=AC，延长DO交圆O于E点，连接AE.求证：DE⊥AB；若DB=4，BC=8，求AE 的长.【答案】（1）详见解析；（2）62【解析】（1）连接CD，证明90ODC ADC∠+∠=︒即可得到结论；（2）设圆O的半径为r，在Rt△BDO中，运用勾股定理即可求出结论.【详解】（1）证明：连接CD,∵O D O C=∴O D C O CD∠=∠∵AD AC=∴ADC ACD∠=∠90,90,OCD ACD ODC ADC DE AB∠+∠=︒∴∠+∠=∴⊥.（2）设圆O的半径为r，()2224+8,3r r r∴=-∴=，设()22222,84,6,6+662AD AC x x x x AE==∴+=+∴=∴【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．26．观察下列等式：第1个等式：a1212=+，第2个等式：a23223=+第3个等式：a332+3第4个等式：a4525=+-2，…按上述规律,回答以下问题：请写出第n个等式：a n=__________.a1+a2+a3+…+a n=_________.【答案】（1）n a =（21．【解析】（1）根据题意可知，11a ==，2a ==32a ==-42a ==，…由此得出第n 个等式：a n=（2）将每一个等式化简即可求得答案．【详解】解：（1）∵第1个等式：11a ==，第2个等式：2a ==第3个等式：32a ==- 第4个等式：42a ==，∴第n 个等式：a n=（2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（)()(+++++n+1=1．=1．【点睛】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列各式计算正确的是( ) A=B．6=C．3=D2=【答案】B【解析】AB，∴本选项正确；C选项中，∵，∴本选项错误；D≠ 故选B.2．如果一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，那么这组数据的中位数为（） A ．5 B ．6C ．7D ．9【答案】B【解析】直接利用平均数的求法进而得出x 的值，再利用中位数的定义求出答案．【详解】∵一组数据1，7，x ，9，5的平均数是2x ，∴679525x x ++++=⨯，解得：3x =，则从大到小排列为：3，5，1，7，9，故这组数据的中位数为：1．故选B ．【点睛】此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出x 的值是解题关键． 3．下列运算正确的是（）A ．a 3•a 2=a 6B ．a ﹣2=﹣21aC ．D ．（a+2）（a ﹣2）=a 2+4【答案】C【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．【详解】A 、a 3•a 2=a 5，故A 选项错误；B 、a ﹣2=21a，故B 选项错误；C 、C 选项正确；D 、（a+2）（a ﹣2）=a 2﹣4，故D 选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【答案】B【解析】∵在5.5～6.5组别的频数是8，总数是40，∴=0.1．故选B．5．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°【答案】C【解析】分析：作AC对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．详解：作AC对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=12∠AOC=12×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4【答案】D【解析】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．7．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：4a+2b+c ＜0，2a+b ＜0，b 2+8a ＞4ac ，a ＜﹣1，其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】由抛物线的开口向下知a<0，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得c>0，对称轴为x=2ba-<1，∵a<0，∴2a+b<0，而抛物线与x 轴有两个交点,∴2b −4ac>0，当x=2时，y=4a+2b+c<0，当x=1时，a+b+c=2.∵244ac b a- >2，∴4ac−2b <8a ，∴2b +8a>4ac ，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c<0，③a−b+c<0. 由①，③得到2a+2c<2，由①，②得到2a−c<−4，4a−2c<−8，上面两个相加得到6a<−6，∴a<−1.故选D.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 中，a 的符号由抛物线的开口方向决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；b 的符号由对称轴位置与a 的符号决定；抛物线与x 轴的交点个数决定根的判别式的符号，注意二次函数图象上特殊点的特点.8．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．【答案】C【解析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】A 、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误； B 、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误； C 、关于反比例函数y=-4x，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确；D、关于反比例函数y=-4x，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．9．若点（x1，y1），（x2，y 2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣1x图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x1【答案】D【解析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y1＜0＜y2＜y3判断出三点所在的象限，故可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣1x中k＝﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵y1＜0＜y2＜y3，∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限，∴x2＜x3＜x1．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．10．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H,下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF,其中正确的结论A．只有①②. B．只有①③. C．只有②③. D．①②③.【答案】D【解析】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A=∠BDF=60°．又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGC=∠DGC=60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM=CN，则△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．S四边形CMGN=1S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=12CG ，CM=32CG，∴S四边形CMGN=1S△CMG=1×12×12CG×32CG=CG1．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF=1FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=1AE，∴FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF．故选D．二、填空题（本题包括8个小题）11．对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为__．【答案】1≤a≤1【解析】根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围．【详解】解：∵二次函数y＝x1﹣4x+4＝（x﹣1）1，∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x＝﹣4222ba-=-=，把y＝0代入解析式可得：x＝1，把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x1＝1，所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，故可得：1≤a≤1，故答案为：1≤a≤1．【点睛】此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．【答案】5.【解析】试题解析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：222243BC CE+=+考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．13．已知点A(2,0),B(0,2),C(-1,m)在同一条直线上,则m的值为___________. 【答案】3【解析】设过点A（2，0）和点B（0，2）的直线的解析式为：y kx b=+，则202k bb+=⎧⎨=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为：2y x=-+，∵点C（-1，m）在直线AB上，∴(1)2m--+=，即3m=.故答案为3.点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由已知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值.14．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED 的正切值等于__________．【答案】1 2【解析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．【详解】解：∵∠E=∠ABD，∴tan∠AED=tan∠ABD=ACAB=12．故选D．【点睛】本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．15．已知a、b 是方程x2﹣2x﹣1＝0 的两个根，则a2﹣a+b 的值是_______．【答案】1【解析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2-2a=1、a+b=2，将其代入a2-a+b 中即可求出结论．【详解】∵a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，∴a2-2a=1，a+b=2，∴a2-a+b=a2-2a+（a+b）=1+2=1．故答案为1．【点睛】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于-ba、两根之积等于ca是解题的关键．16．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．【答案】（2，﹣3）【解析】根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).【详解】抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.故答案为（2，﹣3）【点睛】本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.17．若a:b=1:3，b:c=2:5，则a:c=_____. 【答案】2∶1【解析】分析：已知a 、b 两数的比为1：3，根据比的基本性质，a 、b 两数的比1：3=（1×2）：（3×2）=2：6；而b 、c 的比为：2：5=（2×3）：（5×3）=6：1；，所以a 、c 两数的比为2：1．详解：a ：b=1：3=（1×2）：（3×2）=2：6； b ：c=2：5=（2×3）：（5×3）=6：1；，所以a ：c=2：1；故答案为2:1．点睛：本题主要考查比的基本性质的实际应用，如果已知甲乙、乙丙两数的比，那么可以根据比的基本性质求出任意两数的比．18．已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣1的图象上，如果m ＞n ，那么a____0(用“＞”或“＜”连接)．【答案】>；【解析】∵2y ax 2ax 1=--=a(x-1)2-a-1， ∴抛物线对称轴为：x=1，由抛物线的对称性，点（-1，m ）、（2，n ）在二次函数2y ax 2ax 1=--的图像上， ∵|−1−1|＞|2−1|，且m ＞n ， ∴a>0.故答案为>三、解答题（本题包括8个小题）19．手机下载一个APP 、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷•某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为14a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a 的值．【答案】（1）7000辆；（2）a 的值是1．【解析】（1）设一月份该公司投入市场的自行车x 辆，根据损坏率不低于10%，可得不等量关系：一月初投入的自行车-一月底可用的自行车≥一月损坏的自行车列不等式求解；（2）根据三月底可使用的自行车达到7752辆，可得等量关系为：（二月份剩余的可用自行车+三月初投入的自行车）×三月份的损耗率=7752辆列方程求解. 【详解】解：（1）设一月份该公司投入市场的自行车x 辆， x ﹣（7500﹣110）≥10%x ，解得x≥7000，。

九年级数学导学案第3课时特殊角的三角函数

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，63，求∠A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ．四、学生展示：一、课本67页第1 题课本67页第 2题二、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是（）． A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A ．2B 3C 2D ．14．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，cosB= 32，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（）．A ．34B ．43C ．35D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（）．A ．小于12B ．大于12C ．大于 32D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（）．A ．32313331.32B C D +++9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC 3，•则∠CAB 等于（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是（）．A ．1B ．0C ．12D ． 3211．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．13．cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 52，则cosA=________．六、作业设置：课本第69页习题28．1复习巩固第3题七、自我反思：本节课我的收获:。

2023年人教版九年级数学下册第二十八章《特殊角的三角函数值》导学案

新人教版九年级数学下册第二十八章《特殊角的三角函数值》导学案【明确目标】1．掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．2．能够根据，30°、45°、60°角的三角函数值，求出相应锐角的大小．3．经历探索，30°、45°、60°角的三角函数值的过程，并能进行有关的推理．在探索的过程中，进一步体会三角函数的意义，增强其数学应用能力．【自主预习】三角尺是我们学习中的常用工具，请每位同学拿出自己的学习用品——一副三角尺，思考并回答以下问题：(1)仔细观察，这两块三角尺各有几个锐角?它们分别等于多少度?(2)每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系?如果设每块三角尺较短的边长为1(如图)，那么你能说出三角形中未知边的长度吗?阅读教材P65～67，自学探究“例3”与“例4”．并完成自主预习区．1．填写下表：2．sin30°的值是( )A．0 B．1 C．12D．14【合作探究】活动1 新知探究：30°、45°、60°角的三角函数值(1)在30°、45°、60°、90°角的三角形中，分别求出30°、45°、60°角的三角函数值．(2)建立表格，发现规律，便于记忆，同时讨论一下三角函数的增减性．活动2 新知应用学生独立学习教材P66—67例3、例4．小组讨论(1)例1 求下列各式的值；①cos230°+sin230°；②cos45tan60 sin45-．例2 如图所示，在高为2m，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2m，共需地毯的面积为(434)+m2，则α为多少度?【当堂反馈】教材P67练习第1、2题．知识点一特殊角的三角函数值的计算1．计算cos30°＝( )A．12-B．22C．32D．32．3tan30°的值等于( )A．3B．33C．33D．323．计算：sin260°+cos60°－tan45°＝__________．4．计算：(1)sin45°+cos60°；(2)cos30°·tan60°－tan45°；(3)sin230°+cos230°；(4)2·sin45°+sin30°·cos60°．知识点二由三角函数值求特殊角5．若∠A是锐角，tanA＝33，则∠A＝__________；若cosα－32＝0，则锐角α的度数为__________．6．已知∠B为锐角，且1－2sinB＝0，则co等于( )A．3B．32C．3或32D．17．如果△ABC中，sinA＝co＝22，则下列最确切的结论是( )A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【拓展提升】1．若4cos2α－(2+23)cosα+3＝0，则锐角α＝__________.2．化简2cos652cos651-+＝__________.3．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝______．④(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想；(2)已知：∠A为锐角(cosA>o)且sinA＝35，求cosA．【课后检测】1．计算2sin45°的值等于( )A．2B．1 C．22D．122．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA+sinB＝1，则∠A的度数是( ) A．30°B．45°C．60°D．不能确定3．在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA－12|+(sinB－22)2＝0，则∠C＝__________.4．已知α是锐角，且满足2cos2α+3cosα－2＝0，则α的度数是________.5．计算：⑴(6－π)0+(－15)－1－3tan30°+|3⑵|32°+tan60°－(－13)－112π－3)0⑶3tan30°－212tan60+tan 60-+cos30°·cos45°⑷2－1－3tan30°+(2－1)0+12+cos60°6．先化简，再求值：2122121a a a a a a +-÷+--+，其中a ＝6tan30°－2.7．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E.⑴求证：AC 平分∠DAB ；⑵若∠B ＝60°，CD ＝23，求AE 的长.8．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P.⑴求证：AP 是⊙O 的切线；⑵若OC ＝CP ，AB ＝6，求CD 的长.。

特殊角的三角函数值

九年级数学30°45°60°角的三角函数值导学案（总第课时）主备人郭玉鹏审核任雪峰 2014年 __ 月___日学习目标1、能记住30度、45度、60度角的三角函数值．2、会进行含有30度、45度、60度角的三角函数的计算．3.、能够根据30度、45度、60度角的三角函数值说出相应的锐角的大小。

重点：记住30度、45度、60度角的三角函数值．．难点：三角函数的有关计算．教学过程：【新知探索】假如∠A=30°,你能求出sin30°,cos30°,tan30°吗？假如∠A=45°，你能求出sin45°、cos45°、tan45°吗？归纳一下：观测：观查有没有什么规律？【典型例题】1．已知∠A为锐角，cosA= ，你能求出sinA和tanA吗?2．求锐角 a 的度数:3．已知:如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=2，BD= .分别求出△ABC、△ACD、△BCD中各锐角4．如图，在△ABC中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB的长.课后练习：一．二．1．填空：（1）（2）2．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且有，则△ABC的形状是________________.3. 在△ABC中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______4.已知α为锐角，且sinα=53,则sin(90°-α)=_5．计算下列各式的值：（1）（2）（3）112)4cos30|3-⎛⎫++-⎪⎝⎭°(4)11|sin452-⎛⎫+-+⎪⎝⎭°教后反思：tan45︒-sin30︒cos60︒=________;cos45︒tan230︒=________.2sin30︒+3cos60︒-4tan45︒cos30︒sin45︒+sin30︒cos45︒|tanB-3|+(2sinA-3)2=0232sin2=-α1tan3=-α33九年级数学解直角三角形导学案（总第课时）主备人郭玉鹏审核任雪峰 2014年 __ 月___日一、学习目标：1. 在直角三角形中，会根据已知元素求未知元素。

特殊角三角函数导学案.doc

教学目标、重点、难点1、推导并熟记30°、45。

60°角的三角函数值，并能根据这函数值说出对应锐角的度数。

2、熟练计算含30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

重点：记住三角函数值并能运用进行有关计算。

难点：三角函数值的推导过程。

年级九年级课题城关一中导学案科目数学设计者时间 2012、特殊角的三角函数（3）倒数关系教学导航一、复习导入1、复习直角三角形边角之间的关系。

2、复习同角之间的函数关系。

（1）平方关系（2）商的关系二、思考探究1、<1>RTAABC 中，ZC=90°、ZA=30°你想到了什么重要结论？将你的结论写在导学单上。

<2>引导学生画图，合作探究以上结论。

2、如图，观察一副三角尺：<1>它们其中有几个锐角？是多少度？<2>你能分别求出这几个锐角的正弦值，余弦值，正切和余切值吗？ <3>请问同学们动手很快求出。

<4>提示学生设出短边的长短。

三、归纳总结1、总结30°、45°、60°的三角函数值。

<1>提醒学生一定要熟记。

（注意找规律熟记）<2>帮学生分析理解函数值随角度的变化规律。

锐角a sin a cos a tan a cot a30°45°60°四、完成道学单中练习计算题五、典例分析1、学习例1,使学生会根据题目条件求出角度。

2、合作完成例2<1>分清坐标与线段的关系。

<2>提示学生构建直角三角形。

六、应用拓展1、将实际问题数学化<1>将秋千实物图与抽象图帮学生建立对应关系，进行数学化。

<2>帮同学找摆角<3>构建直角三角形<4>认识最高位置OC,最低位置OA进而求差。

新人教版初中数学九年级下册28.1第3课时特殊角的三角函数值公开课优质课导学案

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【学习目标】⑴能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB a．四、学生展示：一、课本67页第1 题课本67页第 2题二、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35 ，AB=15，则AC 的长是（）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是（）．A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）． A ．2 B．1 4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90° 5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB=32，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形 D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（）．A ．34B ．43C ．35D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（）．A ．小于12B ．大于12C ．大于 3 2D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=12，则sinA+tanA 等于（）．A．1.2B C D9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC•则∠CAB 等于（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是（）．A ．1B ．0C ．12D ． 3211．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．13．cos 45sin 301cos60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______． 15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB=52，则cosA=________．五、课堂小结：要牢记下表：六、作业设置：课本第69页习题28．1复习巩固第3题七、自我反思：本节课我的收获。

人教版九年级下册 28章锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值导学案

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果例3：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，，求∠A 的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OBa ．四、学生展示：一、课本67页第1 题课本67页第 2题二、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是（）．A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A ．2 BCD ．14．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，cosB= 32，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana •的值为（）．A ．34B ．43C ．35D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（）．A ．小于12B ．大于12C ．大于 32D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=12，则sinA+tanA 等于（）．A．311..6222B C D +9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC，•则∠CAB 等于（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是（）．A ．1B ．0C ．12D ． 3211．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______．13．cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC •的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 52，则cosA=________．五、课堂小结：要牢记下表：六、作业设置：课本第69页习题28．1复习巩固第3题七、自我反思：本节课我的收获:教案(学案)的基本格式及要领一、教学目标1、知识与能力2、过程与方法 33、情感、态度与价值观二、【教学重点、难点】1、本课教学内容的框架结构2、重点3 、难点：三、【道具使用】PPt 直尺三角板等，根据教材内容定。

7.3 特殊角的三角函数导学案

（2）cos 45°＋tan60°cos30° 2．已知值，求角．（1）已知 tanA＝ 3 ，求锐角 A 的度数．（2）已知 2cosA－ 3 ＝0 ，求锐角 A 的度数． 3．确定值的范围．（1）在 Rt△ABC 中∠C＝90°，当锐角 A＞45°时， sinA 的值（）
2 2 3 2
若有答不全的，教师(或其他学生)补充．
3）．你能求出 sin30 ° ， cos30 ° ， tan30 ° 的函数值吗？学生板演
B
A
C
教师引导学生完成 30°角的三角函数值的求解过程，并对其求解方法进行总结． 4）．若∠A＝45°，你能求出 sin45°，cos45°，tan45°的函数值吗？ 5）．若∠A＝60°，你能求出它的三角函数值吗？教师指名学生板书，师生共同评价．
A．0°＜∠A＜30° C．0°＜∠A＜60°
（2）当∠A 为锐角，当 sin A 是（）
A．0°＜∠A＜30° C．45°＜∠A≤60°
B．30°＜∠A＜45° D．60°＜∠A≤90°
师生共同分析，解决问题，强调范围类题目解题方法
能力提升如图，在△ABC 中，已知 BC＝1＋ 3 ，∠B＝60°， ∠C＝45°，求 AB 的长．
分。 (优/良/一般/差)
这结课是在。
4．经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生推理能力和计算能力．本课时重点难点或学习重点。: 通过推理得 30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体学习建议会三角函数的意义．学习难点: 特殊角的三角函数的运用
本课时教学资源的使用
学习过程多媒体
投影仪
章节与主题主备人使用人本课时学习目标或学习任务

特殊角的锐角三角函数值导学案

C B A C B
课题：28．1锐角三角函数（3）
【导学过程】
一、自学提纲：
一个直角三角形中，一个锐角∠A 的正弦是怎么定义的？
它的余弦是怎么定义的？它的正切是怎么定义的？
二、合作交流：
思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？填入下表。

三、教师点拨：
60°
30° 45°
归纳结果
课堂练习：1.求下列各式的值．
（1）1－2 sin30°cos30°
（3）（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
2.求适合下列各式的锐角α.
01s inα2(2)=-
1212cosα(3)=+ （4）已知2cos α- =0（α为锐角），求tan α
cos6011sin 60tan 30++
四、学生展示：
五、课堂小结：
六、作业设置：
1.课本第69页第3题。

2.熟记特殊角的三角函数值。

︒+-⋅45sin 23213化简： 020*******cos 2145sin 24）（）（计算：-+-+︒-︒⋅
5.求适合下列各式的锐角α.
sin α
+1=2 (2)3tan α=
七、自我反思：本节课我的收获: 。

小组课外讨论：观察特殊角的三角函数表，请你说说你从表中发现的一些规律。

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