24《等比数列》-(共17张)精品PPT课件
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等比数列性质及应用PPT课件
}的前三项为a-2，a+2，a+8， }中，a1=1， a4=8，
则 an=___2_n _ 1__
3. a已92 知等比3 数. 列{an}中，a3·a5·a9·a11 =81,则
a 11
4
一 合作探究 探究案
探究1、已知 a,b,c成等差数列，a+1,b+1,c+4 成等比数列，且a+b+c=15,求a,b,c.
等比数列的性质
20）班
1
预习案
一 问题导学
由等差数列的下标和公式，猜想等比数列的下标和公式：
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
等差数列下标和公式：
等比数列下表和公式：
若n+m=p+q，则am+an=ap+aq 若n+m=p+q，则bn·bm=bp·bq
2
二 知识梳理
1.若 a, G, b 成等比数列，则G2 ab ；其 中G 叫做 a与 b的等比中项 。此时 a与 b
9
本节小结
1、等比数列的性质
性质1：an amqnm
性质2：若 n+m=p+q ，则
an·am=ap·aq
2、等比数列的等比中项
若 a, G, b 成等比数列， 则
G2 ab
10
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
q 2,
an a9 q n9 4 2 n9 2 n7.
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．
等比数列ppt课件
等比数列
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
旧知复习
上节课我们系统的学习了等差数 列的相关知识，本节课我们将要用类 比的数学思想来学习和等差数列仅有 一字之差的等比数列的相关知识。首 先，我们来回顾一下等差数列的定义。
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
大家观察下，下面的一组数列有什么规律？ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64...
教学方法 教学目标
• （5）无穷递缩等比数列各项和公式： • 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝 对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大 时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
• • • • •
(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+……+an B=an+1+……+a2n C=a2n+1+……a3n
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
(前提：q≠ 1) 任意两项am，an的关系为an=am· q^(nm)； 在运用等比数列的前n项和时， 一定要注意讨论公比q是否为1.
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
（3）从等比数列的定义、通项公式、 前n项和公式可以推出： a1· an=a2· an-1=a3· an-2=… =ak· an-k-1，k∈{1,2,…，n}
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
旧知复习
上节课我们系统的学习了等差数 列的相关知识，本节课我们将要用类 比的数学思想来学习和等差数列仅有 一字之差的等比数列的相关知识。首 先，我们来回顾一下等差数列的定义。
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
大家观察下，下面的一组数列有什么规律？ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64...
教学方法 教学目标
• （5）无穷递缩等比数列各项和公式： • 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝 对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大 时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
• • • • •
(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+……+an B=an+1+……+a2n C=a2n+1+……a3n
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
(前提：q≠ 1) 任意两项am，an的关系为an=am· q^(nm)； 在运用等比数列的前n项和时， 一定要注意讨论公比q是否为1.
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
（3）从等比数列的定义、通项公式、 前n项和公式可以推出： a1· an=a2· an-1=a3· an-2=… =ak· an-k-1，k∈{1,2,…，n}
教学目标
教学重点
教学目标 教学内容
教学方法 教学目标
等比数列课件PPT
股票和债券定价
在股票和债券定价模型中， 等比数列用于预测未来的 股价或债券收益率。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学干涉
放射性衰变过程中，原子核的数目按 照一定的比率减少，形成等比数列。
在光学干涉实验中，干涉条纹的形成 与等比数列有关。
声音传播
在声音传播过程中，声波的振动次数 按照一定的比率增加或减少，形成等 比数列。
证明等比数列求和公式
通过数学归纳法，我们可以证明等比数列求和公 式的正确性。
等比数列求和公式的应用
01
02
03
解决实际问题
等比数列求和公式可以应 用于解决一些实际问题， 如存款、贷款、投资等问 题。
简化计算
等比数列求和公式可以用 于简化一些复杂的数学计 算，如组合数、阶乘数的 计算等。
证明数学定理
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用 等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性、递减性、周期性和收 敛性等。这些性质反映了等比数列的内在规律，有助于我们 更好地理解和应用等比数列。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括 通项公式、求和公式和几何画板等。
等差数列的每一项与前一项的差是常数，而等比数列的每一项与前一项的比值是常 数。
等差数列和等比数列在求和、求积等方面都有各自的方法和公式，可以相互转化。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式可以转化 为指数函数的形式，即$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$。
指数函数具有一些特殊的性质， 如指数函数的单调性、周期性 等，这些性质在等比数列中也 有体现。
等比数列课件_ppt
探究三:等比数列来自通项公式由等比数列的定义，有
a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q
2
迭代法
a4 a3q (a1q2 )q a1q3
an an1q a1qn1.(a1 0, q 0)
an a1 qn1 (a1 0, q 0)
3. 等差中项的定义：如果三个数 a 、 G 、 b 成等差数列 ,那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项. 则 . 4.要证明数列 {an } 是等差数列，只要证明，当 n 2 时， .
判断下列数列是否是等差数列：
① －2，1，4，7，10，13，16，19，… ② 8，16，32，64，128，256，… ③ 1，1，1，1，1，1，1，… ④ 243，81，27，9，3，1，，，… ⑤ 31，29，27，25，23，21，19，… ⑥ 1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，… ⑦ 1，－10，100，－1000，10000，… ⑧ 0，0，0，0，0，0，0，… ① ③ ⑤ ⑧是等差数列 ② ④ ⑥ ⑦不是等差数列
16 3 a2 a1q 8. 3 2
16 答：这个数列第一项和第二项分别是 3 和 8.
例题解析
例题4：
1.已知数列 {an } 的通项公式为 an 3 2n ，试问这个数列是等比数列吗？
练习P52
1.2
课堂小结
1.知识内容小结：
等比数列、等比中项的定义； 等比数列的通项公式及推导、应用； 2.思想方法总结： 类比方法、方程的思想
思考： a 、 b 的符号有什么特点？你能用 a 与 b 表示 G 吗？
G b G 2 ab G a G ab
（ a 、 b 同号, G 有两个取值）
a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q
2
迭代法
a4 a3q (a1q2 )q a1q3
an an1q a1qn1.(a1 0, q 0)
an a1 qn1 (a1 0, q 0)
3. 等差中项的定义：如果三个数 a 、 G 、 b 成等差数列 ,那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项. 则 . 4.要证明数列 {an } 是等差数列，只要证明，当 n 2 时， .
判断下列数列是否是等差数列：
① －2，1，4，7，10，13，16，19，… ② 8，16，32，64，128，256，… ③ 1，1，1，1，1，1，1，… ④ 243，81，27，9，3，1，，，… ⑤ 31，29，27，25，23，21，19，… ⑥ 1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，… ⑦ 1，－10，100，－1000，10000，… ⑧ 0，0，0，0，0，0，0，… ① ③ ⑤ ⑧是等差数列 ② ④ ⑥ ⑦不是等差数列
16 3 a2 a1q 8. 3 2
16 答：这个数列第一项和第二项分别是 3 和 8.
例题解析
例题4：
1.已知数列 {an } 的通项公式为 an 3 2n ，试问这个数列是等比数列吗？
练习P52
1.2
课堂小结
1.知识内容小结：
等比数列、等比中项的定义； 等比数列的通项公式及推导、应用； 2.思想方法总结： 类比方法、方程的思想
思考： a 、 b 的符号有什么特点？你能用 a 与 b 表示 G 吗？
G b G 2 ab G a G ab
（ a 、 b 同号, G 有两个取值）
等比数列-课件ppt
(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它
的前一项 的比等于 同一 常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,
等比数列完整ppt
变：等差数列首项为-5，前11项的 平均值为5，若从中抽取一项，余 下10项的平均值为4.6,则抽取的是 第几项。
谢谢观看
3、{an}成A.P, {bn}成 G.P,a1=b1,a2n+1=b2n+1
比较an+1与bn+1的大小。
综合
1、{an}的前n项的和为bn,数列{bn} 的前n项和为cn,且bn+cn=n，nN* (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (2)求{cn}的前n项的和 (3)比较1/an-1与(bn+cn+1)2的大小
2、已知数列{an}中，Sn是它的前n 项和， Sn+1=4an+2,a1=1,设 bn=an+1-2an,
求证：{bn}是等比数列，并求它的 通项公式。
3、正项等比数列｛an｝的首项a1 ＝2-5，其前11项的几何平均数为 25，若前11项中抽取一项后的几 何平均数仍是25，则抽去一项的项 数————
(2)a =18,a =8,求a ,q 求和公式：Sn=kqn-k (q≠1)
2 3、m+n=s+t → am.
通项公式：an=kqn-1
4
1
(2)求{cn}的前n项的和
2: a1<0,q>1
10{kan} 20{an2} 30{an.
(3)a5=4,a7=6,求a9 (2){an}是等比数列，{bn}是等比数列
4、若方程x2-5x+m=0与x210x+n=0的四个根，适当排列后， 恰好组成一个首项为1的等比数列， 则m:n=?
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2 3、m+n=s+t → am.an=as.at
谢谢观看
3、{an}成A.P, {bn}成 G.P,a1=b1,a2n+1=b2n+1
比较an+1与bn+1的大小。
综合
1、{an}的前n项的和为bn,数列{bn} 的前n项和为cn,且bn+cn=n，nN* (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (2)求{cn}的前n项的和 (3)比较1/an-1与(bn+cn+1)2的大小
2、已知数列{an}中，Sn是它的前n 项和， Sn+1=4an+2,a1=1,设 bn=an+1-2an,
求证：{bn}是等比数列，并求它的 通项公式。
3、正项等比数列｛an｝的首项a1 ＝2-5，其前11项的几何平均数为 25，若前11项中抽取一项后的几 何平均数仍是25，则抽去一项的项 数————
(2)a =18,a =8,求a ,q 求和公式：Sn=kqn-k (q≠1)
2 3、m+n=s+t → am.
通项公式：an=kqn-1
4
1
(2)求{cn}的前n项的和
2: a1<0,q>1
10{kan} 20{an2} 30{an.
(3)a5=4,a7=6,求a9 (2){an}是等比数列，{bn}是等比数列
4、若方程x2-5x+m=0与x210x+n=0的四个根，适当排列后， 恰好组成一个首项为1的等比数列， 则m:n=?
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2 3、m+n=s+t → am.an=as.at
《等比数列的性质》课件
《等比数列的性质》PPT 课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索等比数列的性质。等比数列是数 学中非常重要的一个概念，它不仅在实际问题中有广泛应用，同时也是计算 机算法分析和音乐学中来自重要基础。什么是等比数列？
等比数列是一种特殊的数列，每一项与前一项的比相等。通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
等比数列的性质
当$q > 1$时，数列为递增数列； 当$0 < q < 1$时，数列为递减数列； 当$q = -1$时，数列为交错数列； 当$q < -1$且$n$为偶数时，数列为单调递增的正数数列。
$\d frac{a_{m }}{a_{n}} = q^{m-n}$
$S_n = \d frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$q \neq 1$时成立。 • 公比$q$的取值范围： • 比值公式： • 前$n$项和公式：
等比数列的应用
复利问题、电路中的 应用
等比数列在复利问题以及 电路中能够提供有效的计 算方法和分析工具。
计算机算法的时间复 杂度分析
等比数列可以帮助我们分 析和评估计算机算法的时 间复杂度。
音乐领域中的应用
上下行音程的音高可以用 等比数列来表示，为音乐 理论和演奏提供了重要工 具。
思考题
在一个等比数列中，有两个数 $a$ 和 $b$，它们的乘积等于 $ab^m$。请问，这个数列的公比的取值范 围是多少？
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索等比数列的性质。等比数列是数 学中非常重要的一个概念，它不仅在实际问题中有广泛应用，同时也是计算 机算法分析和音乐学中来自重要基础。什么是等比数列？
等比数列是一种特殊的数列，每一项与前一项的比相等。通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
等比数列的性质
当$q > 1$时，数列为递增数列； 当$0 < q < 1$时，数列为递减数列； 当$q = -1$时，数列为交错数列； 当$q < -1$且$n$为偶数时，数列为单调递增的正数数列。
$\d frac{a_{m }}{a_{n}} = q^{m-n}$
$S_n = \d frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$q \neq 1$时成立。 • 公比$q$的取值范围： • 比值公式： • 前$n$项和公式：
等比数列的应用
复利问题、电路中的 应用
等比数列在复利问题以及 电路中能够提供有效的计 算方法和分析工具。
计算机算法的时间复 杂度分析
等比数列可以帮助我们分 析和评估计算机算法的时 间复杂度。
音乐领域中的应用
上下行音程的音高可以用 等比数列来表示，为音乐 理论和演奏提供了重要工 具。
思考题
在一个等比数列中，有两个数 $a$ 和 $b$，它们的乘积等于 $ab^m$。请问，这个数列的公比的取值范 围是多少？
等比数列知识点总结PPT
02
03
定义
等比数列的极限是指当等 比数列的项数趋于无穷大 时，数列的通项趋于的某 个常数。
性质
等比数列的极限存在且唯 一，当且仅当公比的绝对 值小于1。此时，极限值 为首项除以(1-公比)。
应用
等比数列的极限在数学分 析、概率论等领域有着广 泛的应用，如求解某些无 穷级数的和等。
等比数列与其他知识点的综合应用
06
等比数列常见误区与解题技巧
常见误区及避免方法
误区一
忽视等比数列的首项和公比是否 为零。在解决等比数列问题时， 必须注意等比数列的首项和公比 都不能为零，否则会导致数列无
法构成或计算错误。
误区二
混淆等比数列的求和公式与通项 公式。等比数列的求和公式和通 项公式是解决等比数列问题的关 键，混淆两者会导致计算错误。
02
等比数列求和公式
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
有限项求和公式
01
等比数列前n项和公式：$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中 $a_1$是首项，$r$是公比，$n$ 是项数。
02
特别地，当$r = 1$时，前n项和 公式变为：$S_n = na_1$。
技巧三
构造等比数列求解。对于一些看似不是等比数列的问题， 可以通过构造等比数列的方法，将其转化为等比数列问题 进行求解。
经典例题解析
01 例题一
已知等比数列{an}中，a1=2， q=3，求a4。
02 解析
根据等比数列的通项公式 an=a1*q^(n-1)，将a1=2， q=3，n=4代入公式，可得 a4=2*3^(4-1)=54。
利用求和公式进行数学推导和 证明。
高中数学 等比数列课件(完整版).ppt
演示课件
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
等比数列的概念和通项公式17页PPT
(3)a3 20, a6 160, an
(4 )a2 1 0, a3 2 0, a40
(5)a2 10, a4 40, a3
数学必修五第二章
数列
2.已知等比 an的 数通 列项公式
为an 32n,求首a1和 项公q比
补补充充为 思 12..an考 在 在等 等a： 比 比qn数 数,如 其 列 列{{果 中 aaann,q}}都 一 中中aaannn是 个 的 ==222n3不 数 通 -1n0，，的 则则为 列 项a常 a11==公数式，， ，qq==
. .
那么这个数列比 一数 定列 是吗 等？
当a, q其中有一个为0时，
这个数列就不是等比数列
数学必修五第二章
数列
课时小结
1.等比数列定义：
an1 an
q,(q0,nN*)
an q,(q0.n2,nN*) an1
2.等比数列通项公式：
a n a 1q n 1(a 1 0 ,q 0 )
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
是一个关于n的"一次函数"
数学必修五第二章
数列
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要 求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗 麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推， 每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．” 国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满 足发明者的要求了吗？
一个新数列，这个数 还列 是等比数列吗？ 如果是，它的首项和 比公 是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗
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②若存在 a5
0
，根据定义
a6 a5
q ，则分母
出现0，无意义，故一切项都不能为0.
例1.①已知数列 an的通向公式为 an 3 2，n 试问这个数
列是等比数列吗？说明理由.
②若
an
2
3
2n
,n 1 ,n 2
呢？
解：①这个数列是等比数列，以下证明：
n
2, an an1
3 2n 3 2n1
2.4等比数列
一、举例 一个细胞进行有丝分裂，每分裂一次个数就加 倍，问：分裂5次后有多少个细胞？（如图）
细胞分裂次数与个数情况：
分裂次数 1 2 细胞个数 2 4
3 4 5n 8 16 32 2n
观察发现细胞分裂个数组成了下面的数列：
2, 4, 8, , 2n ①
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
a1q n 1 a1q m 1
qn1 qm1
qnm
an a1qn1
a2qn2 amqnm
nm
an amq
例3.等比数列 an中，a2 8, a5 64, 则公比q是多少？
解法一：应用广义通项公式 an amqnm
a5 a2q3
q3 a5 64 8 a2 8
q 2
解法二：化成含有a1 和q的式子，解方程组
2.
是常数
所以，数列是以公比为2的等比数列.
②这个数列不是等比数列
a2 a1
3 22 2
6, a3 a2
3 23 3 22
2
所以，这个数列不是等比数列.
注：①证明一个数列是等比数列应从定义入手 ②证明一个数列不是等比数列，只需举出
三项不成等比即可.
2.等比中项
如果a与b之间插入一个数G ,使a,G,b成等比数列，那 么G叫做a与b 的等比中项.
根据等比数列的定义有
G b G2 ab ,(a 0,b 0,G 0) G ab aG
注：（1）等比中项G有两个；
（2）因为 G2 ab 0 ,故a与b必须同号；
（3）若去掉 a≠0,b≠0且G≠0,则由 G2 得a不b 到
a,G,b成等比数列.
3.通项公式
首项是 a1，公比是 q 的等比数列 an 的通
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
x
y2
8
●
6
4
●
2●
数列an 2n n N 的
图像是函数 y 2x 的 图像上的孤立点.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
一般性结论：
数列
an
a1qn1
a1 q
qn 的图像是函数
y a1 q x (q 1) q
的
图像上的孤立点.
即数列
a1 q
qn
中的各项是函数
18 q 12
3 2
16 a1 3 , a2 a1q 8
4、判断一个数列是等比数列的方法归纳：
（1）定义法：an1 an
q
或
an an1
qn
2
q为常数，且q 0
数列an是等比数列
（2）等比中项法：an21 an an2 或 an2 an1 an1 n 2
数列an是等比数列
y
a1 qx (q 1)的图像上
q
的孤立点的纵坐标.
③方程思想：an a1qn1 中有四个量首项a1 ，公比q ， 项数n,末项 an,要能知三求一.
例2.已知等比数列 an中，a3 12, a4 18, 求 a1 , a2
解：
a3 a4
a1q2 a1q3
12 18
a1q a1q
3 2
项公式为： an a1qn1
①推导：方法一（不完全归纳法）
a2 a1q
a3 a2q a1q q a1q2
a4 a3q a1q2 q a1q3
归纳得到： an a1qn1
方法二（叠乘法）
a2 q , a3 q , a4 q
a1Biblioteka a2a3an q n 2
an1
把以上(n-1)个式子左右相乘：
a2 a1q 8
a5
a1q4
64
a1q4 64 8 a1q 8
q3 8
q 2
三、课堂小结 1、等比数列的定义及证明等比数列的方法：必 须用定义证明
2、等比中项的定义及应用；
3、等比数列的通项公式及其推导方法，特别是 叠乘法要求掌握；
4、判断等比数列的方法： （1）定义法；（2）等比中项公式法；（3）通 向公式.
二、探究
1、等比数列定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0）
用符号语言表示：在数列 an 中，若
an 是等比数列
an1 an
qn
N
则
注:等比数列的公比和任意一项都不能为0.
对①若aann12q=0q，，根则据出定现义分a母ann为1 0，q无则意a义n.1 故 0q≠，0 那么
（3）通项公式法：an
a1q n 1
a1 q
qn
是一个关于n的指数型函数
数列an是等比数列
注：证明一个数列是等比数列要用定义证明
5、性质：等比数列 an首项 a1，公比 q
(1)广义通项公式： m, n N , an amqnm
证明： an a1qn1 , am a1qm1
an am
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也 取不完.” 如果将“一尺之棰”视为一份，则每 日剩下的部分依次为：
1,1 , 1 ,1 , 1 , … ②
2 4 8 16
结合例1得到的数列观察： 2, 4, 8, , 2n ①
这两数列的特点：从第2项起，每一项与前一项的比 都等于同一常数.
我们把这样的数列称为等比数列.
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
a2 a3 a4
an1 an q q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
n1
an qn1
a1
an a1qn1 n 2
因为当n=1时 a1 也满足上式的结论
an a1qn1 n N
18 y
16 14 12 10
● an 2n n 1, 2, 3, 4, ......