周期分岔与混沌现象
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X(j+1,:)=u.*(X(j,:)-X (j,:).^2); End plot(u,X(150:end,:),'r.')
保留所有的X值，每次计 算的X值生成矩阵的一行 元素，最后作图，程序可
初值的影响
混沌现象有个特点，就是初值的微小变化将引起结果的完全不同，它说明混沌现 象的不可预测性。
x=u*(x-x^2); a=[i,i+1] b(1,1)=x x2=u*(x-x^2) b(1,2)=x2
plot(a,b,'r:*') hold on
end for i=11:60
x=u*(x-x^ 2);
plot(i,x,'r:*') hold on
end end
for j=1:2 x=input('输入初值=')
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
费根鲍姆常数
利用分岔点的u值，计 算相邻分岔点的间距 之比，所得的极限值 叫做费根鲍姆常数，
这是一个普适常数，所 有系统通过倍周期分 岔进入混沌时，都会 遵循这个规律。
F
lim n n1 n n1 n
4.669201661
李雅普诺夫指数
对于稳定的周期n，有李雅普诺夫指数小于0，对于倍周期分岔点李雅普诺夫指数 等于0，混沌状态李雅普诺夫指数大于0，所以李雅普诺夫指数由负变正表明 运动向混沌转变。
x=0.7; for j=1:4
subplot(2,2,j) u=input('输入增殖 系数系数u=') for i=1:10
数 预测次年的昆虫
数目 其数学表达式
为
初值相同，增殖系数不同时的结果
改变初值的情况
费根保姆图
为了研究增殖系数对分叉现象的影响，可以取相同的初值对所有的增殖系数进 行计算。
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4ຫໍສະໝຸດ Baidu
0.3
0.2
0.1
0
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
费根保姆图作图思路
方法是给定x的初值，对不同的u值计算新的x，共循环250次，循环计算150 次后开始画图。计算所得的x值是矩阵，行标对应循环次数，列标对应u值。 使用矢量化编程以后，对所有的u值同时计算一次新的x值，得到矩阵x中的一 列元素。所得图形即为费根鲍曼图。
两个做费根保姆图的程序
u=2.6:0.001:4; x=0.6; for j=1:150,
x=u.*(x-x.^2); end for i=1:100
x=u.*(x-x.^2); plot(u,x,'r.') hold on; end
不保留旧的x值，而是 直接用它作图，能节 省内存
u=2.6:0.001:4; X=ones(250,1401); X(1,:)=0.6*X(1,:); for j=1:250,
u=3.8 for i=1:60;
x=u*(x-x.^2); a=[i,i+1]; b(1,1)=x; x2=u*(x-x.^2); b(1,2)=x2;
switch j case(1)
plot(a,b,'r:.') case(2) plot(a,b,'b:.')
end hold on end end
可以是连续的，也可以是分类的。通过logistic回归分析，就可以大致了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。
Logistic模型简介：Lo
gistic模型是一个描 述自然界生物种群中 昆虫数目变化的数学
xn1 (xn xn2 )
模型，它由上一年的 昆虫数目 及增殖系
(0 4,0 x 1)
周期分岔与混沌现象
主要内容
又称logistic回归分析，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率， 等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这 里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，为两分类变量，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既
保留所有的X值，每次计 算的X值生成矩阵的一行 元素，最后作图，程序可
初值的影响
混沌现象有个特点，就是初值的微小变化将引起结果的完全不同，它说明混沌现 象的不可预测性。
x=u*(x-x^2); a=[i,i+1] b(1,1)=x x2=u*(x-x^2) b(1,2)=x2
plot(a,b,'r:*') hold on
end for i=11:60
x=u*(x-x^ 2);
plot(i,x,'r:*') hold on
end end
for j=1:2 x=input('输入初值=')
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
10
20
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50
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费根鲍姆常数
利用分岔点的u值，计 算相邻分岔点的间距 之比，所得的极限值 叫做费根鲍姆常数，
这是一个普适常数，所 有系统通过倍周期分 岔进入混沌时，都会 遵循这个规律。
F
lim n n1 n n1 n
4.669201661
李雅普诺夫指数
对于稳定的周期n，有李雅普诺夫指数小于0，对于倍周期分岔点李雅普诺夫指数 等于0，混沌状态李雅普诺夫指数大于0，所以李雅普诺夫指数由负变正表明 运动向混沌转变。
x=0.7; for j=1:4
subplot(2,2,j) u=input('输入增殖 系数系数u=') for i=1:10
数 预测次年的昆虫
数目 其数学表达式
为
初值相同，增殖系数不同时的结果
改变初值的情况
费根保姆图
为了研究增殖系数对分叉现象的影响，可以取相同的初值对所有的增殖系数进 行计算。
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4ຫໍສະໝຸດ Baidu
0.3
0.2
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2.6
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3.2
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3.6
3.8
4
费根保姆图作图思路
方法是给定x的初值，对不同的u值计算新的x，共循环250次，循环计算150 次后开始画图。计算所得的x值是矩阵，行标对应循环次数，列标对应u值。 使用矢量化编程以后，对所有的u值同时计算一次新的x值，得到矩阵x中的一 列元素。所得图形即为费根鲍曼图。
两个做费根保姆图的程序
u=2.6:0.001:4; x=0.6; for j=1:150,
x=u.*(x-x.^2); end for i=1:100
x=u.*(x-x.^2); plot(u,x,'r.') hold on; end
不保留旧的x值，而是 直接用它作图，能节 省内存
u=2.6:0.001:4; X=ones(250,1401); X(1,:)=0.6*X(1,:); for j=1:250,
u=3.8 for i=1:60;
x=u*(x-x.^2); a=[i,i+1]; b(1,1)=x; x2=u*(x-x.^2); b(1,2)=x2;
switch j case(1)
plot(a,b,'r:.') case(2) plot(a,b,'b:.')
end hold on end end
可以是连续的，也可以是分类的。通过logistic回归分析，就可以大致了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。
Logistic模型简介：Lo
gistic模型是一个描 述自然界生物种群中 昆虫数目变化的数学
xn1 (xn xn2 )
模型，它由上一年的 昆虫数目 及增殖系
(0 4,0 x 1)
周期分岔与混沌现象
主要内容
又称logistic回归分析，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率， 等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这 里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，为两分类变量，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既