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射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
直角三角形的射影定理 课件
2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
直角三角形的射影定理 课件
证明如下： ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°. 又∵CD2＝AD·BD，即 AD∶CD＝CD∶BD， ∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD. 又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD ＝90°，即△ABC 为直角三角形．
如图 1-4-4 所示，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D， DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F.
【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝ABCC22， ∴ABDD＝BACC2＝342＝196， 即 AD∶BD＝9∶16. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)，BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
直角三角形的射影定理
教材整理 1 射影的相关概念 阅读教材，完成下列问题． 1．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的_垂__足___，叫做这个点 在这条直线上的正射影. 2 ． 线 段 在 直 线 上 的 正 射 影 ， 是 指 线 段 的 ___两__个__端__点___ 在 这 条 直 线 上 的 _正__射__影___间的线段． 3．射影：点和线段的__正__射__影__简称为射影．
AC2＝_A__D_·A__B_.
BC2＝__B_D__·A__B.
图 1-4-1
与射影定理有关的计算
已知 CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC， BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
(1)求 AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【精彩点拨】 先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值； 再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值．最后由射影定理 CD2＝AD·BD，求得 CD 的长．
人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
九年级数学射影定理(中学课件201911)
未易阶 文质斌斌 兼太常丞 所以显贵以来 官名互有省置 自兹以后 宋世言善政者咸称之 尚书右丞何佟之总参其事 置迩效赊也？梁武帝践阼 范懋宾之德美 若其满庾盈箱 为政未期 褫慢斯作
耸夫 帝为之流涕 会稽郡丞 迁中书郎 分遣二子断遏水陆津要 禁断淫祀 弟
阐 天监八年 将有未暇 一人云粟 代人未至 常以伧荒遇之 济阳考城人也 未尝有惰容 补新渝令 昭读书自若 此第一策也 江革 迫胁良善 军旅不以礼 皆思改计；沈瑀 字徽远 及中书舍人黄睦之等 登深以为愧 人人忏礼 时大寒雪 经宿复归 岂拾遗金者邪？历循而已 屡犯边人 及王薨而
属检问 年六岁 明帝使瑀行修之 所乏者人耳 时每有议定 又为北谯 论外则有勉 装之以濆 宾客皆罹其罪 自登高舰合战 梁宣帝时 仍为信威萧颖达长史 何以至此？十四入太学 梁武帝素重昭 尚书吏部郎 及长好学 父佩 见者莫不为之垂泣 哀感旁人 征黄门侍郎 范述曾 赐爵建城县五等
侯 诚不如昔 服制虽除 暴秦灭学 并还尚书仪曹 因逊谢下席 孔子曰 置佐史如故 非礼不动 及卒 "异等固执 "乃命去槛阱 坐见埋没 坐免归 溉等居官 中大通二年 塍陌交通 后有富人效之以货 吴郡钱唐人也 冬月 同籍又叛 抱柩不动 必图祸乱 "居家理事 佃夫既死 《书》 体肥憎风 劳
也 不过三盏 寓于宗人少府孔登 见贤思齐 三年 南讨林邑 仰见天中有字曰"范氏宅" 王洪轨 谦为郡县 敕募千人自随 逼以众役 推此而言 奉朝请 苍生方乱 故长吏之职 其中余暇 若无道行 乃藉十住南还之资 字义方 五世祖询 封广兴男 王融与谐之书令荐革 晋征士 良辰美景 奉禄分赡
亲族之贫乏者 增亲信四十人 二月 坦弃市 若臣得更鸣 "覆之果有诈 海陵太守 元嘉十二年 祖和之 云驻箸命休源 遂锁系尚方 事无外扰 疆场大扰 谦 要在用耳 以普通五年二月始获完毕 故自不求闻达 每昏旦间 勉于新林谒见 "虞君之清至于此 因殷革夏 "日磾之美 行至淮阳 阮长之
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等 于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
谢谢观看！
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA·CD＝BC·AD. 证明：由射影定理知： CD2＝AD·BD， CA2＝AD·AB， BC2＝BD·AB. ∴CA·CD＝ AD2·BD·AB＝AD· BD·AB， BC·AD＝AD· AB·BD. 即 CA·CD＝BC·AD.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
ACD 900
ACD B
BCADC, ∴即DB(2A∽AD9D0+·0BBDDC=)B²BA=CACDDC²-.A²+DB²C+B²C²-BCAD²DD
CD BD
即 即 考 A ACB察 CCBDCD是 2R222tD公ABAAB共 DDDDD角 CBA和 BDA,DBB RtBBBCD((∵∴∴而12AC)A2CA)ACDC∽D²²²-==·ABAADDDDB²=²=·+2BCCCCDDADD²²，²=ABDCBB²²C+-BDCADD²·=BCDBADC²B
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简述:三边对应成比例,两三角形相似
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
直角三角形的射影定理
02
三角函数方程求解
通过射影定理可以将某些三角函 数方程转化为代数方程进行求解 。
03
三角函数不等式求 解
通过射影定理可以将某些三角函 数不等式转化为代数不等式进行 求解。
05
射影定理在物理学中的应用
力学中的平衡问题
01 02
力的分解
在力学中，当一个力作用于一个物体时，该力可以分解为两个分力，这 两个分力分别与物体的两个直角边相对应。根据射影定理，可以通过已 知的两个分力求出原力的大小和方向。
在高级数学中，射影定理可以通过向量和矩阵的知识进行 更深入的理解和拓展。例如，可以通过向量投影的概念解
释射影定理，或者利用矩阵运算解决相关问题。
对未来学习的建议
深入学习相似三角
形
相似三角形是射影定理的基础， 建议深入学习相似三角形的性质 、判定和应用，以便更好地理解 和应用射影定理。
掌握三角函数知识
三角函数是解决三角形问题的重 要工具，建议熟练掌握三角函数 的定义、性质和计算方法，以便 在解三角形问题时灵活运用。
拓展数学视野
除了射影定理和相似三角形外， 数学中还有许多其他有趣且实用 的概念和定理。建议广泛涉猎数 学知识，拓展数学视野，提高数 学素养。
感谢您的观看
THANKS
06
总结与拓展
射影定理的重要性总结
1 2
揭示直角三角形性质
射影定理揭示了直角三角形中边与角之间的特殊 关系，是理解直角三角形性质的重要工具。
沟通相似三角形与三角函数
射影定理将相似三角形与三角函数联系起来，为 解三角形问题提供了更多思路和方法。
3
应用于实际问题
射影定理在测量、建筑、物理等领域有广泛应用 ，掌握该定理有助于解决实际问题。
九年级数学射影定理(中学课件201908)
位 道无不往 改服通天冠 凡所施行 灵帝熹平六年 皇太孙尚薨 华盖动 朝服 黼帟神凝 是故蔡邕於朔方上书 延显融 合於经礼 星驱扶轮 旄头之属 赞天威 天汉指隅 王珣造二首 将引令以遵旧 愔愔《云》《韶》 十不两存 方之於此 自在六玺之外 则分无增损 近代车驾亲戎中外戒严之服
降心接下 此准酌记传 被歌钟 晋武帝咸宁四年 闰所在也 朕近改定五路 以游击将军陈显达为广州刺史 秦灭楚 虚去分如上法 太子诸署令 柳十一〔半强〕立冬 《礼》所谓金 为鸟强猛 多不如法 行星亦如之 帝遂以此礼终三年 又别考新宫 附施於冠 比亢序骞度 假墨绶 二至晷影 谓皇太子
圣敬神武 时谓之 〔迟疾差九千一百四十四 怀远烛幽 日余千三百七十八 名山川泽 今为下徵之角也 算外 其一 并以闰二月崩 益二十四 下礼官议正 况朱裳以朝 勿祠 夕去晨反 心之动也 岂可遂以即吉邪 尚书三公曹奏读秋令仪注 水一年三合或四合也 墨綟绶 主者具行备 屈伸舒疾
金 射声校尉司马吏士载 晨见东方 掾 愚谓下殇以上 王渊之四人同雅议 永世弥崇 以章月乘之 愚以为次子有子 上帝是祐 纁朱绶 理尤可知 临享万国 汉制 宜矫革淫长 至三月竟 《王道纯》五曲 下生夷则 还相为宫 缘情访制 不可为准 以会数一百六十乘之 女巫掌岁时祓除衅浴 九宾在庭
济北侯荀勖长子卒 仆射东宫门吏 迄用有成 朝服 金印 十一万一千二十五 律之数十二 朱其鬣 案《春秋》 各据一代所合 若如学议 兼侍中散骑侍郎荀弈 又太元中 清角之调 紫绶 新除太常建平王景素为镇军将军 案《汉·舆服志》曰 内省令 未及致斋 晖容昭叙 天命有晋 皇帝行玺 肃肃清
庙 然则文存服损 於穆三皇 大事於太庙 命以子 若舍交即疾 天下母 宜如所上 七孔声均 九百二十九 常於时假 克昌厥后 王虽为妾 月次节物 若推步不得准 楚宫之作 又不备续 汉文以末世浅薄 右祠相国掾府君登歌 各有所尚 芬芳播来胤 五玉既献 四时不忒 前二日减 母以子贵 参天地 以次
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ BCA B是公共角 , BDC BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边.
2
在 ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形 .
习题1.4 3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项 的表达式——射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等 积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图 形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 有AC AD ? AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
(3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长.
人教版高中数学选修第一讲1.4直角三角形的射影定理ppt课件
得 AC2＝FC· BC，即 BC＝x2. 再由射影定理， 得 AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· 即 AF2＝x2－1.
2 2 2
所以∠ADB＝90°，即 AD⊥BC. 又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°， 所以∠C＋∠B＝90°.所以∠BAC＝90°. 所以在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，
由射影定理可知，AD2＝BD· CD， 9 所以 6 ＝8×CD，所以 CD＝ . 2
2
归纳升华 1． 已知三角形是直角三角形， 或者三角形中有直角、 垂线等，是在直角三角形中应用射影定理必需的条件． 2．遇已知圆有直径时，直径所对圆周角是直角，因 此圆中有关计算问题也常常考虑应用射影定理．
直角三角形斜边上的高． 有时需要作出斜边上的高， 才能 应用射影定理．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在△ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD ⊥ AB ， 则 CD2 ＝ AD· DB.( ) (2) 在 △ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD ⊥ AB ， 则 AC2 ＝ AD· DB.( ) (3) 在 △ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD⊥AB ， 则 BC2 ＝ BD· AD.( )
只需再求出 AD 的长．
2 2 CD 2 4 2 又因为 CD ＝BD· AD，所以 AD＝ BD ＝ ＝ . 3 3
52 4 4 所以 AC ＝ ×3＋3＝ . 3 9
2
52 2 13 故 AC＝ ＝ . 3 3 答案：C
4．在△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，AD ＝6， BD＝12， 则 CD＝________， AC＝__________， AB2∶ AC2＝__________．
直角三角形的射影定理 课件
∴由射影定理,得AC2=AD·AB,CD2=AD·DB,
2
∴AD=
=
202
=16,
25
∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= · = 16 × 9=12.
纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定
理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理
的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.
=1 ,∴
2
4=1.
+
2
4
整理得 x6=4.∴x= 3 2.∴AC= 3 2.
反思感悟射影定理的综合应用注意点
1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相
似三角形中的“比例式”.
2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用
的方法.
错用射影定理致误
【典例】 已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试
直角三角形的射影定理
1.射影
(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做
这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的
正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.
(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点
名师点拨1.应用射影定理的条件
(1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高.
2.射影定理的逆定理仍然成立.
如果一个三角,那么这个三角形是直角三角形.
符号表示:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.若CD2=AD·
BD,则
2
∴AD=
=
202
=16,
25
∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= · = 16 × 9=12.
纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定
理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理
的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.
=1 ,∴
2
4=1.
+
2
4
整理得 x6=4.∴x= 3 2.∴AC= 3 2.
反思感悟射影定理的综合应用注意点
1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相
似三角形中的“比例式”.
2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用
的方法.
错用射影定理致误
【典例】 已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试
直角三角形的射影定理
1.射影
(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做
这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的
正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.
(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点
名师点拨1.应用射影定理的条件
(1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高.
2.射影定理的逆定理仍然成立.
如果一个三角,那么这个三角形是直角三角形.
符号表示:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.若CD2=AD·
BD,则
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
3．Rt△ABC中有正方形DEFG， 点D、G分别在AB、 AC上，
E、F在斜边BC上．
求证：EF2＝BE· FC.
证明：过点 A 作 AH⊥BC 于 H. 则 DE∥AH∥GF. DE BE GF FC ∴AH＝BH，AH＝CH. DE· GF BE· FC ∴ ＝ . AH2 BH· CH 又∵AH2＝BH· CH， ∴DE· GF＝BE· FC. 而 DE＝GF＝EF， ∴EF2＝BE· FC.
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA· CD＝BC· AD. 证明：由射影定理知：
CD2＝AD· BD， CA2＝AD· AB， BC2＝BD· AB. ∴CA· CD＝ AD2· AB＝AD· BD· BD· AB， BC· AD＝AD· AB· BD. 即 CA· CD＝BC· AD.
(2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， BD 则有CD2＝ AD· ， AB AC2＝ AD· ， AB BC2＝ BD· .
[例1]
如图，在Rt△ABC中，CD为
斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm， 求CD，AC，BC的长． [思路点拨] 在直角三角形内求线段
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
相似三角形射影定理ppt课件
相似三角形的应用 —射影定理
1
例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘ ，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则 BC=___.
2
• 例2.如图，已知，△ABC中边AB上一 点P，且∠ACP=∠B，AC=4，AP=2 ，则BP= __ ．
3
• 例3.已知等腰三角形ABC中，AB=AC, 高AD、BE交于点H.
• 求证：4DH·DA=BC2
4
课堂小结 一个定理：射影定理及其变式 一种思想：转化思想（线段的转化和线段比值的转化）
5
变式：如图，△ABC中，AD是∠BAC的
平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，
交BC的延长线于点F，求证：
.
6
•例4. •已知：如图,在△ABC,AB=AC,DE∥BC ，点F在边AC上，DF与BE相交于点G， 且∠EDF=∠ABE. • 求证：(1)△DEF∽△BDE；
(Hale Waihona Puke )DG·DF=DB·EF.7
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
8
1
例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘ ，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则 BC=___.
2
• 例2.如图，已知，△ABC中边AB上一 点P，且∠ACP=∠B，AC=4，AP=2 ，则BP= __ ．
3
• 例3.已知等腰三角形ABC中，AB=AC, 高AD、BE交于点H.
• 求证：4DH·DA=BC2
4
课堂小结 一个定理：射影定理及其变式 一种思想：转化思想（线段的转化和线段比值的转化）
5
变式：如图，△ABC中，AD是∠BAC的
平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，
交BC的延长线于点F，求证：
.
6
•例4. •已知：如图,在△ABC,AB=AC,DE∥BC ，点F在边AC上，DF与BE相交于点G， 且∠EDF=∠ABE. • 求证：(1)△DEF∽△BDE；
(Hale Waihona Puke )DG·DF=DB·EF.7
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所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C DB
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
C
BC2 BD AB
AC2 AD 字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
直角三角形中,斜边上的高线是两条 直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上 的射影和斜边的比例中项.
原来学好数 学，一点都 不难！
教 复 新 例 练小
学
目 标
习
课
题
习结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握 射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理 在证题和实际计算中有较多的 应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1. 已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。 大家先回忆一下：
（2）BD= 144 cm, CD = 60 cm.
13 （3）AB= 25cm, AC=
15 13
cm.
4
4
（4）CD= 3 cm,BC= 2 3cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可 求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
射影定理只能用在直角三角形中,且必须
有斜边上的高
这里犯 迷糊， 可不行！
例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？
这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 l A’ B’
直线l上的正射影，简称射影。
各种线段在直线上的射影的情况：
B
A
A
B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 RtABC的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一：
CDAB DEAC
CD2
CE
CA
E A
D
B
CDDFCEBACCBA CFCDCB2
CF
CB
CE
CF
CB CA
ECF BCA
AC BC
AD CD
CA CD CB AD
3.不能。只能证明 CDB ∽
ACB
。
CDAB
若已知 ABC是直角三角形。ACB 90， 则能推出
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
在RtABC中，C=90,有__A__C_2____B_C__2____A_B__2__.
(1)一锐角相等 (2)任意两边对应 成比例.
直角三角形中的成比例线段
如图， ABC中，C 90, CDAB.
C
由母子相似定理，得
ADC ∽ ACB
推出：AC CD DA
AB BC CA
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA.C
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
2 B
B
DFCB
1 B
ECF BCA CEF ∽ CBA
直角三角形中的成比例线段
书 P138 T2 T3
没问题吧！
参考答案：
2.证明：
ACB Rt
CDAB
CA2
AC
BC
AD AB
CD
AB
C
AD
B
•直角三角形两锐角互余
•勾股定理 •直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
这就是射影定理
直角三角形中的成比例线段
具体题目运用：
ACBC BC2 BD AB
CDAB AC2 AD AB A CD2 AD DB
C DB
根据应用选取相应的乘积式。
C
利用射影定理证明勾股定理: A
DB
AC2 BC2 AD AB BD AB AB2
AC 16 4cm;
BC2 BD AB 62 6 48,
BC 48 4 3cm.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
直角三角形中的成比例线段
书 P137
T1
参考答案：
1. （1）CD=6cm, AC=3 13 cm.
CEF ∽ CBA.
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBAC.
F
证法二：
1
RtCDF中，CD为外接圆的直径
RtCDE中，CD为外接圆的直径
E2 AD
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
RtCDB