安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末数学

（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设a 是实数，且

112a i i +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．2

2．若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的

A ．充分而不必要条件

B 必要而不充分条件 B ．充要条件

C ．既不充分又不必要条件

3．已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(]1,2

B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．()1,2

D ．[)2,+∞

4．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）

A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥

B ．m α⊥，n α⊥，则//m n

C ．m α⊥，m n ⊥，则//n α

D ．m n ⊥，//n α，则m α⊥ 5．利用数学归纳法证明11112n n n +++++…*11(,2n N n

+<∈且2n ）时，第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是（ ）

A ．增加了

121

k +这一项 B ．增加了121k +和122k +两项

C ．增加了121k +和122k +两项，同时减少了1k

这一项 D ．以上都不对

6．在四面体O ABC -中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（ ）

A ．111244

a b c -+ B ．1122a b c -+ C ．111244a b c ++ D ．111424

a b c ++ 7．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞ C ．[)4,-+∞ D ．[

)4,+∞ 8．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则224b a

+的最小值为（ ）

A ．3

B ．1

C

D ．2

9．过点()

引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.

A ．3

B ．3-

C ．3± D

10．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且

AK =，则AFK ∆的面积为（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为（ ）

A ．直线的一部分

B ．圆的一部分

C ．椭圆的一部分

D ．抛物线的一部分

12．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢

⎥⎣⎦

，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）

A ．12⎤⎥⎣⎦

B ．2⎫⎪⎪⎣⎭

C ．22⎣⎦

D ．,33⎣⎦

二、填空题 13．某产品的广告投入x （万元）与销售额y （万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x （万元）与相应的销售额y （万元）的几组对应数据如表所示：

若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为20.75y x =+，则表中a 的值为_______.

14．已知四边形ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，

在长方体ABCD 内随机取一点P ，则使得点P 到O 点的距离大于1的概率为________.

15．在双曲线22

221x y a b

-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.

16．在菱形ABCD 中， 3A π

=， AB =将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，

若二面角P BD C --的大小为23

π，三棱锥P BCD -的外接球心为O ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为__________．

三、解答题

17．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h )的频率分布表.

（1）求该校高二学生的总数；

（2）求频率分布表中实数,,x y z 的值

（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.

18．已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.

（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22

222:1(0)x y C a b a b

+=>>上一点00(,)x y 的切线方程；

（2）已知椭圆2

2:16

x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ､B ，求证：直线AB 过定点.

19．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .

（1）求证：BM AD ⊥；