安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设a 是实数，且112a i i +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．22．若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A ．充分而不必要条件B 必要而不充分条件 B ．充要条件C ．既不充分又不必要条件3．已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．[)2,+∞4．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（ ）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥ 5．利用数学归纳法证明11112n n n +++++…*11(,2n N n+<∈且2n ）时，第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是（ ）A ．增加了121k +这一项 B ．增加了121k +和122k +两项C ．增加了121k +和122k +两项，同时减少了1k这一项 D ．以上都不对6．在四面体O ABC -中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（ ）A ．111244a b c -+ B ．1122a b c -+ C ．111244a b c ++ D ．111424a b c ++ 7．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞ C ．[)4,-+∞ D ．[)4,+∞ 8．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则224b a+的最小值为（ ）A ．3B ．1CD ．29．过点()引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.A ．3B ．3-C ．3± D10．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3211．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为（ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．12⎤⎥⎣⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．22⎣⎦D ．,33⎣⎦二、填空题 13．某产品的广告投入x （万元）与销售额y （万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x （万元）与相应的销售额y （万元）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为20.75y x =+，则表中a 的值为_______.14．已知四边形ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方体ABCD 内随机取一点P ，则使得点P 到O 点的距离大于1的概率为________.15．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.16．在菱形ABCD 中， 3A π=， AB =将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，三棱锥P BCD -的外接球心为O ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为__________．三、解答题17．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h )的频率分布表.（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数,,x y z 的值（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.18．已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点00(,)x y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ､B ，求证：直线AB 过定点.19．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.20．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ．（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，DE =DE BF >120ABC ∠=︒.（1）当BF 长为多少时，平面AEF ⊥平面CEF ？（2）在（1）的条件下，求二面角E AC F --的余弦值.22．已知动点C 是椭圆Ω：221(1)x y a a+=>上的任意一点，AB 是圆G ：229(2)4x y +-=的一条直径（A ，B 是端点），CA CB ⋅的最大值是314. （1）求椭圆Ω的方程；（2）已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点12,F F ，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆Ω于P ，Q 两点.在线段2OF 上是否存在点(),0M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案1．B【分析】利用复数的四则运算化简原式，再根据复数是实数，令虚部为0，求a 的值.【详解】()()()()11111222a i a i a a ai i i i --===-++-， 所以原式112222a a i ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为112a i i +++是实数，所以1022a -=，解得：1a =. 故选：B2．A【解析】由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A.3．A【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数6,23log ,2a x x y x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值，根据程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，分类讨论可得答案．【详解】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数6,23log ,2a x x y x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值.当2x ≤时，64y x =-+≥恒成立，当2x >时，由3log 4a y x =+≥可得log 1a x ≥对任意的()2,x ∈+∞恒成立，可得1log 21aa >⎧⎨≥⎩，解得12a <≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,2.故选：A ．【点评】关键点点睛：解本题的关键在于由3log 4a x +≥对任意的()2,x ∈+∞恒成立得出对数函数的单调性以及关于实数a 的不等式进行求解.4．D【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ， m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确； 对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂，而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误．故选：D ．【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．5．C【解析】当n k =时，左端1111122k k k k=+++⋯+++，那么当1n k =+时 左端111111222122k k k k k =++⋯+++++++，故第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是增加了121k +和122k +两项，同时减少了1k 这一项，故选C.6．C【分析】E 为AD 的中点，则有1122OE OA OD =+， D 为BC 的中点，则有1122OD OB OC =+ 逐步代入计算即可【详解】1122OE OA OD =+()111222OA OC OB ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦111244a b c =++ 故选：C【点睛】选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．7．C【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题，分0x =和0x ≠两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题.当0x =时，则有10-≥，不合乎题意；当0x ≠时，由2410ax x +-≥，可得214ax x ≥-，则有221414x a x x x -≥=-， 22141244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，等号成立， 所以，4a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是[)4,-+∞.故选：C.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.8．D【分析】由双曲线的离心率为3和222c a b =+，求得228b a =，化简2228212442b a a a a a ++==+，结合基本不等式，即可求解.【详解】 由题意，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3，即3c a =，即3c a =， 又由222c a b =+，可得228b a =，所以22282122442b a a a a a ++==+≥=， 当且仅当122a a =，即12a =时，“=”成立. 故选：D.【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.9．A【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程0kx y -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率..【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解.由于y =()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，如图所示，11sin 22ACB S AOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时，AOBS取得最大值，此时AB =，点O 到直线l 的距离为2，则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°方法二：由y ，得()2210x y y +=≥.所以曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则01k <<，直线l的方程为(0y k x -=+，即0kx y -+=. 则原点O 到l的距离d =，l 被半圆截得的半弦长为=则ABO S ==△==令211t k =+，则ABO S =△， 当3t 4=，即21314k =+时，ABOS 有最大值为12. 此时由21314k =+，解得3k =故选：A 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB ⊥时，此时AOB 的面积最小，即用斜率k 表示面积，求最值，得到直线的斜率. 10．B 【详解】F （2，0）,K （-2，0），过A 作AM ⊥准线，则|AM|=|AF|， ∴|AM|，三角形APM 为等腰直角三角形， 设A （m 2，）（m ＞0）,由AM MK =得22m =+，解得2m = 则△AFK 的面积=4×m•12m=8, 故选B. 11．B 【解析】由线面角的定义及题意可得1112112sin sin AA DD PD PEθθ=⇔=，即12PD PE =，以线段1D E为x 轴，其中垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系xOy ，设12,(,)AA P x y =，则11(D E E D =，所以2222(4(4x y x y +=++，即222330x y +++=，则动点P 的轨迹是圆，故应选答案B ． 点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用． 12．A 【分析】根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率. 【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b+=联立解得22222()Aa cb x c-=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 2sin ()2sin [,]A A a a c a a cAF c e x c x c e e e ααα---=∴-=∴=∈因此222222()()()a a c b a c e c e--≤≤，解得22222222()()()2()a c b a c a c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即22,20a a c ac ≤--≥，即21,12012e e e ≤--≥≤≤，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题. 13．9 【分析】因为样本中心点(),x y 在回归直线上，可求出234y =，代入可求出a 的值. 【详解】样本中心点(),x y 在回归直线上，52x =，代入得234y =，由35623944a a +++=⇒=. 故答案为：9. 【点睛】方法点睛：（1）在原始数据中求出x ，代入回归直线，可求出y ； （2）在原始数据中计算y ，建立参数和y 的关系式； （3）解出参数值即可. 14．14π-【分析】画出图形，由已知条件求出到点O 的距离大于1的点对应的图形的面积，然后利用几何概型的概率公式求解即可 【详解】解：如图，由已知可知长方形ABCD 的面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，则圆在长方形ABCD 内部的面积为2π， 所以点P 到O 点的距离大于1的概率为22124ππ-=-， 故答案为：14π-【点睛】此题考查几何概型的概率的计算，解此题的关键是找出到O 点的距离大于1的点对应图形的面积，属于基础题 15．5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得， 2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍）， 所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解. 16．112π 【分析】推导出BCD ∆是等边三角形，过球心O 作'OO ⊥平面BCD ，则'O 为等边BCD ∆的中心，BD 的中点为E ，求出4,OE OC ==P BCD -的外接球的半径为R ，即R =P BCD -的外接球的表面积.【详解】四边形ABCD 是菱形，3A π=，∴BCD ∆是等边三角形，过球心O 作'OO ⊥平面BCD ，则'O 为等边BCD ∆的中心，BD 的中点为E ，23PEC π∠=，得3OEC π∠=，4AB =16,23AE EC EO EC ∴=='==，在Rt OEO ∆'中，由3OEC π∠=，可得4OE =.在OEC ∆中，2222cos 28OC OE EC OE EC OEC =+-⋅⋅∠=，即OC =P BCD -的外接球的半径为R ，即R =， 三棱锥P BCD -的外接球的表面积为24112==S R ππ. 故答案为：112π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查三棱锥、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题. 17．（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）35. 【分析】（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；（2）先根据频率分布表求出z 的值，再根据高二年级学生样本人数计算出x ，从而得到其频率y 的值；（3）记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为123,,b b b ，先列出从这5名高二学生中任选3人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解. 【详解】解：（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050660540n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人. （2）由题意0.2050z=，解得10z =， 50(57128)8x z =-++++=，0.1650xy ==. （3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ，故63()105P A ==，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35. 【点睛】（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有： ①n N =样本容量该层抽取的个体数总体个数该层个体数；②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比； （2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数n ； ②求出事件A 所包含的基本事件个数m ；③代入公式mP n =，求出概率值. 18．（1）00221x x y ya b+=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知直接类比求解即可；（2）根据（1），根据题意，得到方程组，根据方程组的特征求出A ､B 两点坐标特征，最后可以求出直线AB 过定点.【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为00221x x y ya b+=. （2）设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ， 由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=， 通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⋅⎧+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪+⋅=⎪⎩，∴A ，B 满足方程：12xty +=，∴直线AB 恒过点：1020xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，即直线AB 恒过点(2,0).19．（1）证明过程见解析；（2【分析】（1）根据矩形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合棱锥的等积性、线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）在矩形ABCD 中，连接BM ，所以90D C ︒∠=∠=，因为2AB AD =，M 为DC 的中点，所以三角形ADM 和三角形BCM 是等腰直角三角形， 因此有45DMA CMB ︒∠=∠=,所以90AMB ︒∠=，即MB AM ⊥,在棱锥D ABCM -，取AM 中点N ，连接,DN CN ，因为三角形ADM 是等腰直角三角形，所以DN AM ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，所以DN ⊥平面ABCM ，而BM ⊂平面ABCM ，所以DN BM ⊥， 又因为,,DNAM N DN AM =⊂平面ADM ，所以BM ⊥平面ADM ，而AD ⊂平面ADM ，所以BM AD ⊥；（2）设1AD =，所以2AB =，M 为DC 的中点，因此1DM MC ==,在等腰直角三角形ADM 中，111222DN AM ====，在直角梯形ABCM 中，2BN ===, 由（1）可知中：DN ⊥平面ABCM ，而,BN CN ⊂平面ABCM ， 所以,DN BN DN CN ⊥⊥，因此DB ===， 显然有222DA DB AB +=，所以三角形DAB 是直角三角形.由余弦定理可知：2CN ===在直角三角形DCN 中，DC === 因为//,MC AB AB ⊂平面DAB ，所以//MC 平面DAB ，因此点,M C 到平面DAB 的距离相等，设为d ，因此有：1111111213332322M DAB D ABM DABABMV V Sd S DN d --=⇒⋅=⋅⇒⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：d =，设CO ⊥平面DAB ，垂足为O ，连接OD ，显然CO d ==CDO ∠直线DC 与平面DAB 所成角,所以sin3CO CDO CD ∠===.因此直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值为3.20．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果； （2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23xt y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211y y k k x x 并化简即可得出结果.【详解】（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ， 所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23x t y ，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=，21632480t t ∆=++>，124yy t +=，12812y y t =--，则1212122212122222111144y y y y k k y y x x 1212161622481284y y y y t t ，故12k k ⋅为定值2-.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12y y +、12y y 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 21．(1)见解析；（2）二面角E-AC-F . 【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量垂直列方程组，解得各面法向量，根据平面垂直得两法向量数量积为零，解得BF 长，（2）利用方程组先解出各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系求结果. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD. 取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE. ∵DE ⊥平面ABCD ，∴OG ⊥平面ABCD. ∴OG ，AC ，BD 两两垂直.∴以AC ，BD ，OG 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），设，由题意，易求，∴，设平面AEF ，平面CEF 的法向量分别为，由1n AE ⊥，1n AF ⊥，得1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴11111100y y mz ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1111232226322z x m m y x m ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩. 令122x m ，∴.同理可求.若平面AEF ⊥平面CEF ，则120n n ⋅=， ∴，解得m =或m =（舍），即BF 时，平面AEF ⊥平面CEF. （2）当2m =时，，∴0EF AF ⋅=，0EF CF ⋅=，∴EF ⊥AF ，EF ⊥CF ， ∴EF ⊥平面AFC ， ∴平面AFC 的一个法向量为，设平面AEC 的一个法向量为，则00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得0y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令2z =，得4y =，∴.从而.故所求的二面角E-AC-F 22．（1）2215x y +=；（2）存在，80,5⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）设点C 的坐标为(),x y ， 由,CA CG GA CB CG GB CG GA ，又()0,2G ，可得27(1)44CA CBa y y a，其中[]1,1y ∈-，讨论1a >和3a >时 CA CB ⋅的最大值可得答案；（2）设点()()1122,,,,P x y Q x y PQ 的中点坐标为()00,x y ，代入椭圆方程两式相减， 得0212105x y y x x y -=--，从而直线PQ 的方程为()00005x y y x x y -=--，将点2F 的坐标代入PQ 的方程得()000025x y x y -=--，假设在线段2OF 上存在点()(),002M m m <<，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是()00005y y y x x x -=-，将点(),0M m 代入可得答案. 【详解】（1）设点C 的坐标为(),x y ，则221x y a+=，由,CACG GA CB CG GB CG GA ，又()0,2G ，可得22229(2)4CA CB CGGA x y 222971(2)(1)444a y y a y y a，其中[]1,1y ∈-. 因为1a >，故当412(1)ya ，即13a 时，取1y =-，得CA CB ⋅有最大值727(1)444a a --+++=，与条件矛盾； 当412(1)y a =>--，即3a >时，CA CB ⋅的最大值是74(1)1644(1)a a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-， 由条件得74(1)163144(1)4a a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=-，即27100a a +=-，解得5a =或2a =（舍去）. 综上所述，椭圆Ω的方程是2215x y +=.（2）设点()()1122,,,,P x y Q x y PQ 的中点坐标为()00,x y ，则满足222212121,155x x y y +=+=，两式相减，整理得()021*********x y y x x x x y y y -+=-=--+，从而直线PQ 的方程为()00005x y y x x y -=--，又右焦点2F 的坐标是()2,0， 将点2F 的坐标代入PQ 的方程得()000025x y x y -=--， 因为直线l 与x 轴不垂直，故22000250x x y -==，从而002x <<.假设在线段2OF 上存在点()(),002M m m <<，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是()00005y y y x x x -=-，将点(),0M m 代入得()00005y y m x x -=-，得045m x =，从而80,5m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆、直线与圆的位置关系，第二问的关键点是求出PQ 的直线方程，利用垂直平方特征求出答案，点差法设而不求减少了运算量，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。