人教版初中数学《平方差公式》精美版
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人教版数学八年级上册平方差公式精品课件
ab
= 49－4m4
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找一找、填一填
(7ab3b)(7ab3b)
(a-b)(a+b) a b a2-b2
(1+x)(1-x) 1 x 12-x2 (-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2 (1+a)(-1+a) a 1 a2-12 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
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⑴ 102×98= (100＋2)(100－2)=9996
⑵
50
2 3
×49
1 3
=
(50＋
23)(50－
23)=2499
5 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
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合理加括号 相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
讨论
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你能根据图15.2-1中的面积说 明平方差公式吗?
a b
S1 S2
a 图15.2-1
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b b
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(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
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(1) 803×797;(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 803×797
= 49－4m4
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找一找、填一填
(7ab3b)(7ab3b)
(a-b)(a+b) a b a2-b2
(1+x)(1-x) 1 x 12-x2 (-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2 (1+a)(-1+a) a 1 a2-12 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
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⑴ 102×98= (100＋2)(100－2)=9996
⑵
50
2 3
×49
1 3
=
(50＋
23)(50－
23)=2499
5 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
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合理加括号 相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
讨论
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你能根据图15.2-1中的面积说 明平方差公式吗?
a b
S1 S2
a 图15.2-1
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b b
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(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
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(1) 803×797;(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 803×797
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人教版八年级上册14.2.1平方差公式 教学课件
计算
(1) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
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拓展提升
2、化简 (x y)( x y)( x2 y2 ) (x4+y4 )
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )(x4+y4 )
❖
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
❖
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b)= (a)2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（2）(3+2a)(－3+2a)= (2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)= (-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）51×49= (50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= (9x2－16) - (6x2+5x -6)
❖
1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
2．请同学们阅读课本107页思考并讨论．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
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(4) (x+y)(x-y)(x2+y2)
①平方差公式中的a、b 可代表数、单项式、多 项式；②要符合公式的 结构特征才能运用平方 差公式。
❖ 平方差公式
(1) 23×17= (2) 102×98= (3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=
❖ 平方差公式
❖1、本节课你有何收获？ ❖2、通过本节课学习，你有何感受? ❖3、你还有什么疑惑?
平方差公式
❖ 乘法公式
(1) 23×17= (2) 102×98= (3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=
❖ 乘法公式
算一算: (1) (x+1)(x-1) = x2-1 (2) (m+2)(m-2) = m2-4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2-1 观察算式的结构特征,你发现了什么规律? 计算出结果后,你又发现了什么规律?
公式吗?
a
a-b
a-b
a
b
b
❖ 平方差公式
(a b)(a b) a2 b2
❖ 平方差公式
下列多项式乘法中，能否用平方差公式计算？
(1)(2a 3b)(2a 3b) （能） 使用公式时，
关键要找准a
(2)(2a 3b)(2a 3b)（不能） 与b，公式左 边积的两个因
(3)(2a
3b)(2a
=(-x)2－(2y)2
=(2a)2－b2 =4a2－b2.
= x2－4y2
❖ 平方差公式
应用探究 协作交流 培养能力
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当
怎样改正？
(1) (2x+3)(2x－3)=2x2－9；（×）
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(4 )x (x 1 ) (2 -x )2 ( x )
(5 )(a1b )a (-1b )-(3 a-2 b )3 ( a 2 b ) 22
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
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(6)(xy)(xy) 43 43
(7) (15m2)n 5 (m2 n 1)
1.（2X － y)(－y － 2X ） 2.（ab－ c)(ab ＋ c ） 3.（－4k＋ mn)(-4k － mn ） 4. 104×96
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小结
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 .1平方差 公式 课件
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( A )
A.(-a+b)(-a-b)
B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(-a+c)(a-c)
2.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( C )
感谢观看，欢迎指导！
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
D.(-2b-5)(2b-5)
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口答：
①（x ＋ 4)( x－4） =x2 － 16 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）= 1 －4a2 ③（m＋ 6n)( m－6n）= m2 － 36n2 ④（5y ＋ z)(5y－z） = 25y2 － z2
(5 )(a1b )a (-1b )-(3 a-2 b )3 ( a 2 b ) 22
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(6)(xy)(xy) 43 43
(7) (15m2)n 5 (m2 n 1)
1.（2X － y)(－y － 2X ） 2.（ab－ c)(ab ＋ c ） 3.（－4k＋ mn)(-4k － mn ） 4. 104×96
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小结
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平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
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1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( A )
A.(-a+b)(-a-b)
B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(-a+c)(a-c)
2.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( C )
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A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
D.(-2b-5)(2b-5)
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口答：
①（x ＋ 4)( x－4） =x2 － 16 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）= 1 －4a2 ③（m＋ 6n)( m－6n）= m2 － 36n2 ④（5y ＋ z)(5y－z） = 25y2 － z2
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= 20172 － (2017－1)×(2017+1) = 20172－ （20172－12 )
= 20172 － 20172+12 =1.
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6.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3， 其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1.
m2-n2 y2-x2
4a2-b2 x4-y4
位置变化
符号变化 系数变化 指数变化
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3.口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= _____b_2_-_a_2 (2)(a-b)(b+a)= _______a_2_-_b2 (3)(-a-b)(-a+b)= ______a_2_-b2 (4)(a-b)(-a-b)= ________b_2-a2
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例2 计算：
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5);
(2) 102×98 . 解： (1) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =- 4y + 1.
当x＝2时，
原式=2×22-1=7.
不符合平方差公 式运算条件的 乘法，按乘法 法则进行运算.
（2）102×98 = （100＋2）(100－2) = 1002-22 = 10 000 – 4 =9996.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
= 20172 － 20172+12 =1.
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6.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3， 其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1.
m2-n2 y2-x2
4a2-b2 x4-y4
位置变化
符号变化 系数变化 指数变化
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3.口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= _____b_2_-_a_2 (2)(a-b)(b+a)= _______a_2_-_b2 (3)(-a-b)(-a+b)= ______a_2_-b2 (4)(a-b)(-a-b)= ________b_2-a2
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例2 计算：
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5);
(2) 102×98 . 解： (1) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =- 4y + 1.
当x＝2时，
原式=2×22-1=7.
不符合平方差公 式运算条件的 乘法，按乘法 法则进行运算.
（2）102×98 = （100＋2）(100－2) = 1002-22 = 10 000 – 4 =9996.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
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= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
人教版初中数学二年级上册《平方差公式》图文课件
C 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x) C.(-2y-x)(x+2y) B.(-x+2y)(-x-2y) D.(-2b-5)(2b-5)
3、灵活运用平方差公式计算：
1、(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2); 2、(x+y)(x-y)(x2+y2);
特征:
两个二项 式相乘
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
(相同项)2-(相反项)2
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
说明:
公式中的a,b可以表示 一个单项式也可以表示一个多项式.
P108课后练习
1、下面各式的计算对不对？如果 不对，应当怎样改正？
(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2 (2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 X2 - 4 4 4 - 9a2
= y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
看课本P108要求
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
两个数的和 与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是(A A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a)
)
C.(2a-3b)(3a+2b)
D.(a-b+c)(b-a-c)
学习目标：
1、理解平方差公式及其结构特征 2、能熟练应用平方差公式进行计算
1、多项式乘多项式法则： 2、计算 （1）(x+1)(x-1) = x2 - 1
2- 4 m （2）(m+2)(m-2) =
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分析:
（2）(3x2)(3x2)
（3
2
x）
2
2
(3)(x12y)(x12y)
（ x）2
（1
2
y ）2
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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四、公式运用
练习：第108页的练习第1题.
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x2)(x2)x22 ( 3 a 2 ) ( 3 a 2 ) ( 3 a ) 2 2 2 9 a 2 4
设计意图：考查学生对平方差公式的结构的掌握情况
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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五、“最强大脑”秘密
设计意图：进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，
并为下一节内容的学习埋下伏笔。
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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九、牛刀小试
1、作业P112 第1题 2、 数学探究 天龙住宅小区的花园，起初被设计为边长为 a 米的正方形， 后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移 x(x a)米， 而西边往西平移 x 米. 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a 的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a 的圆的面积，正六边形的面积。由此 你有什么新的发现？
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
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人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
例3、提高与应用
（1）、4a 1 4a 1 16a2 1
（2）、运用平方差公式简便计算: 992 - 1
（3）、已知 x²-y²=8 , x+y=-4 ，求x-y的值。
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
计算：
1002 992 982 972 ... 42 32 22 12 解：原式= (100 99)(100 99)
若a2 b2 1 , a b 1
4
2
求：a+b的值
先化简，再求值：
xy 2xy 2 2x2 y2 2 xy
其中：x 10, y 1 25
⑴ (2+a)(a-2) ⑶ (-4k+3)(-4k-3) ⑸ (-x-1)(x+1)
⑵ (3a+2b)(3a-2b) ⑷ (1-x)(-x-1) ⑹ (x+3)(x-2)
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
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例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . (3) 51×49; (4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3) (3x-2).
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
14.2.1 平方差公式
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
(1) (x+1)(x−1)==；xx22−−112 (2) (m+2)(m−2)=；m2−422;
(3) (2x+1)(2x−1)==；4(2xx2 )−2 −1 1; 2 (4) (x+5y)(x−5y)==；xx22−−2(5y2)2;
(名师整理)最新人教版数学八年级上册第14章第2节第1课时《平方差公式》精品课件
例2 计算
(1)102×98 （100 2）（100 2） (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
做课本108页练习1、2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
1、（ n+m)( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
例1 运用平方差公式计算：
（1）(3x 2y)(3x 2 y) (2)( x 2 y)( x 2 y)
解：（1）原式 (3x)2 （2 y）2 9x2 4y2
（2）原式 (-x)2 (2 y）2 x2 4y2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
从这个正方形纸板上，
剪下一个边长为b的小正方
ห้องสมุดไป่ตู้
形，如图1，拼成如图2的长
图1
方形，请分别表示它们的面
积，你发现了什么？
(a+b)(a－b) = a2－b2
图2
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的 小正方形，如图，再沿虚线剪开，可以拼成什 么图形？能验证公式吗？
——牛顿
课后作业
1 . 从课后习题中选取； 2 . 完成练习册本课时的习题.
（2） (32xx 25)(3x 2)
你发现变化前和变化后有什么不同？
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2
= a2－ b2 .
(a+b)(a-b)=a2-b2
(1)102×98 （100 2）（100 2） (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
做课本108页练习1、2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
1、（ n+m)( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
例1 运用平方差公式计算：
（1）(3x 2y)(3x 2 y) (2)( x 2 y)( x 2 y)
解：（1）原式 (3x)2 （2 y）2 9x2 4y2
（2）原式 (-x)2 (2 y）2 x2 4y2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
从这个正方形纸板上，
剪下一个边长为b的小正方
ห้องสมุดไป่ตู้
形，如图1，拼成如图2的长
图1
方形，请分别表示它们的面
积，你发现了什么？
(a+b)(a－b) = a2－b2
图2
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的 小正方形，如图，再沿虚线剪开，可以拼成什 么图形？能验证公式吗？
——牛顿
课后作业
1 . 从课后习题中选取； 2 . 完成练习册本课时的习题.
（2） (32xx 25)(3x 2)
你发现变化前和变化后有什么不同？
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2
= a2－ b2 .
(a+b)(a-b)=a2-b2
(人教版八上) 数学 课件 平方差公式
(1) 左边两个二项式是： 两项的和与这两项差的乘积
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
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想一想：这些计算结果有什么特点？
新知讲解
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
这里的两数可以是两个单项式 也可以是两个多项式等．
新知应用
填一填
(a－b)(a+b)
a
b
(1+x)(1－x)
1
x
(－3+a)(－3－a) －3 a
(m2+(m2－n) m2 n
=－4y+1.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
人教版初中数学《平方差公式》精美 版
人教版初中数学《平方差公式》精美 版2
新知应用
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x=1，y=2. 解：原式=4x2－y2－(4y2－x2) =4x2－y2－4y2＋x2 =5x2－5y2. 当x=1，y=2时， 原式=5×12－5×22=－15.
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新知应用
例1 利用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (－x+2y)(－x－2y)； (3) (－2a－b)(b－2a)； (4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－22 =9x2－4； (2)原式= (－x)2－(2y)2 =x2－4y2； (3)原式=(－2a)2－b2 =4a2－b2； (4)原式=(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2.
(a+b－1)(a+b+1) a+b 1
a2－b2 12－x2 (－3)2－a2 (m2)2－n2 (a+b)2－12
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新知应用
眼疾手快
口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)= b2－a2 ； (2)(a－b)(b+a)= a2－b2 ； (3)(－a－b)(－a+b)= a2－b2 ； (4)(a－b)(－a－b)= b2－a2 .
平方差公式
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x＋3)( x＋5)
=x2＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
新知引入
探究发现
面积相等吗？
a米
5米
(a-5)米
a米 5米
相等
(a+5)(a－5)=a2－52
新知引入
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x＋1)(x－1)=xx2－2－11，2 ②(m＋2)(m－2)=mm22－－2222 ③(2m＋1)(2m－1)=4(m2m2－)2－12 12 ④(5y＋z)(5y－z)=25(5yy2－)2－z2z2
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随堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
2.计算(2x+1)(2x－1)等于( A )
A．4x2－1 B．2x2－1 C．4x－1
D．4x2+1
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归纳总结
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全
相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
解：原式=(2a+3)(2a－3)
原式= 20152－ (2015－1)(2015+1)
=(2a)2－32 =4a2－9 (3) (x－y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
=20152－(20152－12)
=1
原式=(x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4－y4)(x4+y4)
=x8－y8.
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课堂总结
内容
平方差公式
注意
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(a+b)(a－b)=a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差.
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应 用时，只有两个二项式的积才有可能应 用平方差公式；对于不能直接应用公式 的，可能要经过变形才可以应用.
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的
正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1__0___．
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随堂练习
4.利用平方差公式计算：
(1) (3+2a)(－3+2a)；
(2) 20152－2014×2016.
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新知应用
例2 计算: (1) 102×98；(2) (y+2)(y－2)－(y－1)(y+5) .
解: (1) 原式=(100＋2)(100－2) = 1002－22 =10000－4 =9996；
(2) 原式= y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5
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归纳总结
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以 是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先 将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具 有整除性或倍数关系．
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新知应用
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是10的整数倍吗？
解：原式=9n2－1－(9－n2) =10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2－1. ∵n为正整数， ∴n2－1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
新知讲解
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
这里的两数可以是两个单项式 也可以是两个多项式等．
新知应用
填一填
(a－b)(a+b)
a
b
(1+x)(1－x)
1
x
(－3+a)(－3－a) －3 a
(m2+(m2－n) m2 n
=－4y+1.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
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新知应用
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x=1，y=2. 解：原式=4x2－y2－(4y2－x2) =4x2－y2－4y2＋x2 =5x2－5y2. 当x=1，y=2时， 原式=5×12－5×22=－15.
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新知应用
例1 利用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (－x+2y)(－x－2y)； (3) (－2a－b)(b－2a)； (4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－22 =9x2－4； (2)原式= (－x)2－(2y)2 =x2－4y2； (3)原式=(－2a)2－b2 =4a2－b2； (4)原式=(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2.
(a+b－1)(a+b+1) a+b 1
a2－b2 12－x2 (－3)2－a2 (m2)2－n2 (a+b)2－12
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新知应用
眼疾手快
口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)= b2－a2 ； (2)(a－b)(b+a)= a2－b2 ； (3)(－a－b)(－a+b)= a2－b2 ； (4)(a－b)(－a－b)= b2－a2 .
平方差公式
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x＋3)( x＋5)
=x2＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
新知引入
探究发现
面积相等吗？
a米
5米
(a-5)米
a米 5米
相等
(a+5)(a－5)=a2－52
新知引入
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x＋1)(x－1)=xx2－2－11，2 ②(m＋2)(m－2)=mm22－－2222 ③(2m＋1)(2m－1)=4(m2m2－)2－12 12 ④(5y＋z)(5y－z)=25(5yy2－)2－z2z2
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随堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
2.计算(2x+1)(2x－1)等于( A )
A．4x2－1 B．2x2－1 C．4x－1
D．4x2+1
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归纳总结
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全
相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
解：原式=(2a+3)(2a－3)
原式= 20152－ (2015－1)(2015+1)
=(2a)2－32 =4a2－9 (3) (x－y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
=20152－(20152－12)
=1
原式=(x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4－y4)(x4+y4)
=x8－y8.
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课堂总结
内容
平方差公式
注意
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(a+b)(a－b)=a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差.
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应 用时，只有两个二项式的积才有可能应 用平方差公式；对于不能直接应用公式 的，可能要经过变形才可以应用.
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的
正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1__0___．
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随堂练习
4.利用平方差公式计算：
(1) (3+2a)(－3+2a)；
(2) 20152－2014×2016.
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例2 计算: (1) 102×98；(2) (y+2)(y－2)－(y－1)(y+5) .
解: (1) 原式=(100＋2)(100－2) = 1002－22 =10000－4 =9996；
(2) 原式= y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5
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归纳总结
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以 是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先 将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具 有整除性或倍数关系．
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新知应用
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是10的整数倍吗？
解：原式=9n2－1－(9－n2) =10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2－1. ∵n为正整数， ∴n2－1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．