人教版初中数学《平方差公式》精美版

(a+b－1)(a+b+1) a+b 1
a2－b2 12－x2 (－3)2－a2 (m2)2－n2 (a+b)2－12
人教版初中数学《平方差公式》精美 版
新知应用
眼疾手快
口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)= b2－a2 ； (2)(a－b)(b+a)= a2－b2 ； (3)(－a－b)(－a+b)= a2－b2 ； (4)(a－b)(－a－b)= b2－a2 .
想一想：这些计算结果有什么特点？
新知讲解
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
这里的两数可以是两个单项式 也可以是两个多项式等．
新知应用
填一填
(a－b)(a+b)
a
b
(1+x)(1－x)
1
x
(－3+a)(－3－a) －3 a
(m2+n)(m2－n) m2 n
人教版初中数学《平方差公式》精美 版2
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新知应用
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是10的整数倍吗？
解：原式=9n2－1－(9－n2) =10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2－1. ∵n为正整数， ∴n2－1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的
正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1__0___．
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人教版初中数学《平方差ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式》精美 版2
随堂练习
4.利用平方差公式计算：
(1) (3+2a)(－3+2a)；
(2) 20152－2014×2016.
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课堂总结
内容
平方差公式
注意
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(a+b)(a－b)=a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差.
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应 用时，只有两个二项式的积才有可能应 用平方差公式；对于不能直接应用公式 的，可能要经过变形才可以应用.
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归纳总结
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全
相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
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新知应用
例1 利用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (－x+2y)(－x－2y)； (3) (－2a－b)(b－2a)； (4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－22 =9x2－4； (2)原式= (－x)2－(2y)2 =x2－4y2； (3)原式=(－2a)2－b2 =4a2－b2； (4)原式=(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2.
平方差公式
复习回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x＋3)( x＋5)
=x2＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
新知引入
探究发现
面积相等吗？
a米
5米
(a-5)米
a米 5米
相等
(a+5)(a－5)=a2－52
新知引入
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x＋1)(x－1)=xx2－2－11，2 ②(m＋2)(m－2)=mm22－－2222 ③(2m＋1)(2m－1)=4(m2m2－)2－12 12 ④(5y＋z)(5y－z)=25(5yy2－)2－z2z2
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归纳总结
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以 是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先 将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具 有整除性或倍数关系．
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随堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
2.计算(2x+1)(2x－1)等于( A )
A．4x2－1 B．2x2－1 C．4x－1
D．4x2+1
解：原式=(2a+3)(2a－3)
原式= 20152－ (2015－1)(2015+1)
=(2a)2－32 =4a2－9 (3) (x－y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
=20152－(20152－12)
=1
原式=(x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4－y4)(x4+y4)
=x8－y8.
=－4y+1.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
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新知应用
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x=1，y=2. 解：原式=4x2－y2－(4y2－x2) =4x2－y2－4y2＋x2 =5x2－5y2. 当x=1，y=2时， 原式=5×12－5×22=－15.
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新知应用
例2 计算: (1) 102×98；(2) (y+2)(y－2)－(y－1)(y+5) .
解: (1) 原式=(100＋2)(100－2) = 1002－22 =10000－4 =9996；
(2) 原式= y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5