河海大学概率论与数理统计3习题三参考答案

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概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章)

P(X=0,Y=3)=1/8 P(X=2,Y=1)=3/8
X Y 0 1 2 3
P(X=1,Y=1)=3/8 P(X=3,Y=3)=1/8
3 1/8 0 0 1/8 1 0 3/8 3/8 0
例
一个口袋中有三个球，依次标有数字1， 2， 2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求( X , Y ) 的联合分布列.
Probability
华南农业大学理学院应用数学系

第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其概率分布第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第三章
二维随机变量及其分布
二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布
§3.1 二维随机变量及其联合分布
RY
0
X(e)
x
二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点
（x，y） A
随机事件
y

(a,b)
X X
a, Y b a, Y b
Y)D
( X , ( X ,
Y ) ( a, b )
X
x
a, Y b

二维随机变量的联合分布函数
定义若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.
表格形式
X
Y
x1
x2
p11 p12 p21 p22
。。。...
... 。。。
y1
y2
。。。
。。。...
yj p1 j
... 。。。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P （3）求{}5.1<X P ；（4）求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计课后答案

经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)完整的答案习题一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M).解 (1) ={正面，反面} △{正，反} (2) ={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) ={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) ={x；0 ≤x≤ m}.2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A＝“偶数点”， B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于 5 的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. = { ,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = { ,3,5}, C = { ,2,3,4}, D = {2,4}. 1 1 1 解 A 与 B 为对立事件，即 B＝ A ；B 与 D 互不相容；A ? D，C ? D.3.事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件 B 及 B－C 的含义，并且用 Ai(i＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. B－C 表示三个车间都完成生产任务4.如图 1－1，事件 A、B、C A＋B＋C，AC＋B，C－AB 用解 A + B = A + AB 图 1－1 B = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 B = A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3 C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 都相容，即ABC≠Φ，把事件 A＋B，一些互不相容事件的和表示出来. A + B + C = A + AB + A BC B ? C = A1 A2 A3 AC + B = B + ABC 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件，与 D 是互不相容事 C 件.6.三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A、B、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图 1－2，事件 ABC＝Φ，但是 A 与 B 相容. AB，D＝A+B，F＝A－B.说明事7.事件 A 与 B 相容，记 C＝图 1－2 件 A、C、D、F 的关系.C ? AB = A BC + ABC + ABC 2 解由于 AB ? A ? A+B， A－B ? A ? A+B，与 A－B 互不相容， A＝AB＋(A－B).因 AB 且此有 A＝C+F，C 与 F 互不相容，8.袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A 的样本点数目 2 ＃A＝ C51C31 .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝ C5+3 ，由古典概率公式有 D ? A ? F，A ? C. P(A)＝ # A = #? 1 1 C5C3 15 = C82 28(其中＃A，Ω 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，＃余下同)9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为＃ B = C52 . P( B) = 1－P( B) = 1 ? C52 9 = 2 C8 1410.抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率.“三次中既有正面又有反面出现” 则 A 表示三次均为正面或 , 解设事件 A 表示三次均为反面出现.而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此 P ( A) = 1 ? P( A) = 1 ? ＃A 2 3 = 1? = #? 8 411. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件 A 表示“门锁能被打开” 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打.开门锁. P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? C2 8 ＃A = 1－ 7 = 2 ＃? C10 15 从 9 题－11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12.一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解设事件 A 表示“四张花色各异” B 表示“四张中只有两种花色”.； # 4 1 1 1 1 = C52，A = C13C13C13C13， # 2 1 3 1 2 2 # B = C（C 2 C13C13＋C13C13 ） 4 P( A) = P( B) = # A 134 = 4 = 0.105 # C52 # B 6 7436＋6048 （） = = 0 . 300 4 # C52 13.口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚， 3 解求总值超过壹角的概率.设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. # 1 = C 10 ，＝C 2 C83＋C 2 3 C5＋C 32 C52 ) #A(C 3 1 2 5 ＃A 126 P( A)＝＝＝0.5 ＃ 25214.袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A＝“三次都是红球” △“全红” B＝“全白” ，， C ＝“全黑” D＝“无红” E＝“无白” ，，， F＝“无黑” G＝“三次颜色全相同” ，， H＝“颜色全不相同” I＝“颜色不全相同”.， 3 解＃Ω＝3 ＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，＃D＝＃E＝＃F＝23＝8，＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = P ( D) = P ( E ) = P ( F ) = 1 27 8 27 P(G ) = 3 1 6 2 24 8 = , P( H ) = = , P( I ) = = 27 9 27 9 27 9 15.一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率.解设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 1 ＃Ω＝126，＃A＝ C64C12112 P( A) = # A 21780 ＝＝0.0073 # 12 6 16.事件 A 与 B 互不相容，计算 P ( A + B) .解由于 A 与 B 互不相容，有 AB＝Φ，P(AB)＝0 17.证 P( A + B) = P( AB) = 1 ? P( AB) = 1.设事件 B ? A，求证P(B)≥P(A）.∵B ? A ∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A) 18.已知 P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)， P(A－B)＝0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B ＋ A ).解由于 A－B 与 AB 互不相容，且 A＝(A-B)＋AB，因此有 P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a ＋b P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P( B ＋ A )＝1-P(AB)＝1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.，则 A 表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本解设事件 A 表示“取到废品” 4 3 点数目为＃ A ＝ C46 ，因此 P(A)＝1-P( A )＝1- ＃A ＝1－C46 3 3 ＃ C50 ＝0.2255 20.已知事件 B ? A，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求 a 的取值范围.解因 B ? A，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb, ? a≥b，又因 P(A)＞0，P(B)≤1，可得 b＞1，a≤e，综上分析 a 的取值范围是： 1＜b≤a≤e 21.设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件 A，B，均有AB ? A ? A+B 且 P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B) 22.一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以 365 天计算).解设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目为＃ A ＝ 3 6 4 1 0 0 ，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为 P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 364100 = 1? #? 365100 = 0.2399 23.从5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”. P ( A) = 1 1 1 1 # A C54C2C2C2C2 80 = = 4 # C10 210 24.某单位有 92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有 85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” B 表示“订阅杂志” ，，依题意 P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜ A )＝0.85 P(A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P(A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.92＋0.08×0.85＝0.988 P(A B )＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058 25.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学成绩优秀，表示外语成绩优秀， P(A)＝P(B)＝0.4， (AB)＝0.28， P(A｜ B 若 P 求 B)，P(B｜A)，P(A＋B).解P(A｜B)＝ P( AB) = 0.28 = 0.7 P( B) 0 .4 P(B｜A)＝ P( AB) = 0.7 P ( A) P ( A) = 1 ? P ( A) = 0.62 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52 26.设 A、B 是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1， 5 P(A｜B)＋P( A ｜ B )＝1.求证 P(AB)＝P(A)P(B).证∵P ( A｜ B )＋P ( A ｜ B )＝1 且 P ( A｜B )＋P( A ｜ B )＝1 ∴P ( A｜B )＝P (A｜ B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ? P ( AB ) = = P( B) 1 ? P( B) P( B) P(AB)〔1-P(B)〕＝P( B)〔P( A)-P( AB)〕整理可得 P(AB)＝P( A) P( B) 27.设 A 与 B 独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率 P (B).解 P( A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P( A)＋P( A ) P( B) ?0.7＝0.4＋0.6P( B ) ? P( B )＝0.5 28.设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为什么? 解因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故 A 与B 不可能互不相容. 29.某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率.，解设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” i＝1，2，3，显然 A1，A2，A3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一个” 则 A＝A1A2A3＋ A1 A2A3＋A1 A2 A3＋A1A2 A3 ，，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8 P( A)＝ [P( A1 )]3 + 3[P( A1 )]2 P( A1 ) ＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.896 30.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448 31.某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” i＝1，2，…，m，则， P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P(Am)＝0.58m－1 × 0.42 32.一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝ 1 ，设事件 B 4 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然 B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且 B ＝A1＋A2＋A3＋A4. P( B )＝P(A1＋A2＋A3＋A4) 4 ＝∑ p( Ai ) ? ∑ P( Ai Ai ) + ∑ P( Ai A j Ak ) ? P( A1 A2 A3A4 ) i =1 1≤i＜j ≤ 4 1≤i＜j＜k ≤ 4 6 P(AiAj) = P(Ai)P(Aj｜Ai) =1×1 = 4 3 1 (1 ≤ i＜j ≤ 4) 12P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj) = 1 × 1 × 1 = 1 （1≤i＜j＜k≤4）P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ×P(A4｜A1A2A3) 4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P ( B ) = 4 × ? C 4 × + C4 × ? = 4 12 24 24 8 3 P( B) = 1 ? P( B) = 8 4 3 2 24 = 1 × 1 × 1 ×1 = 1 24 33.在 1，2，…，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am＝“该数可以被 m 整除”，m＝2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3).解依题意 P(A2)＝ 1 ，P(A3)＝ 1 2 3 P(A2A3)＝P(A6)＝ 1 6 P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3) ＝1+1?1 = 2 2 3 6 3 2 6 3 P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝ 1 ? 1 = 134.甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件 A、B、C 分别表示“甲投中”“乙投中”“丙投中” 、、，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” i ＝0,1,2,3,依题意，， P( A0 ) = P( A B C ) = P( A) P( B ) P(C ) P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6 = 0.336 P(A2)=P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) =0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 = 0.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3) ＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188 (2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P( A0 )＝1－P (A0)＝0.976 35.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问谁先投中的概率较大，为什么? 解设事件A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n－1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”. P( A) = P( A1 ) + P( A1 B 2 A3 ) + P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) + … = 0.4＋0.6 × 0.5 × 0.4＋(0.6 × 0.5) 2 × 0.4＋… = 0.2×0.3×0.4× = 0.024 7 = 计算得知 P(A)＞0.5，P( A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大. 36.某高校新生中，北京考生占 30％，京外其他各地考生占 70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占 80％，而京外学生以英语为第一外语的占 95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” B 表示“任选一名学生，以英，语为第一外语”.依题意 P(A)＝0.3，P( A )＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜ A )＝ 0.95.由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.905 37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件 A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见 A1，A2，A3 两两互不相容，其和为Ω.设事件 B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病” ，依题意： P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2， P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005 3 ＝∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 0 .4 4 = 1 ? 0 .3 7 ＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 ＝0.0035 38.一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这个机床停机的概率.解设事件 A 表示“机床加工零件A” ，则 A 表示“机床加工零件B” ，设事件 B 表示“机床停工”. P ( B ) = P ( A ) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A) 1 2 = 0.3 × + 0.4 × = 0.37 3 3 39.有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 3 个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号球与 1 个 3 号球，Ⅱ号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，Ⅲ号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么? 解设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” Bi 表示第二次取到 i 号球，i＝1，2，， 3.依题意，A1，A2，A3 构成一个完全事件组. P ( A1 ) = 1 1 , P ( A2 ) = P ( A3 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A1 ) = P ( B3 | A1 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A2 ) = P ( B3 | A2 ) = 2 4 1 1 1 , P ( B2 | A3 ) = , P ( B3 | A3 ) = 2 3 6 P ( B1 | A1 ) = P ( B1 | A2 ) = P ( B1 | A3 ) = 8 应用全概率公式P( B j ) = ∑ P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P( B1 ) = 1 , 3 i =1 2 P ( B2 ) = 13 11 , P( B3 ) = 48 48 .因此第二次取到 1 号球的概率最大.40.接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” B 表示“受检人被查有甲种疾病” ，，由 37 题计算可知 P(A)＝0.0035，应用贝叶斯公式 P( A | B) = P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) 0.0035 × 0.95 = 0.0035 × 0.95＋0.9965 × 0.01 = 0.25 41.甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件 A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工”“乙机床加工”“丙，，机床加工” B 表示“废品” ，，应用贝叶斯公式有 P( A1 | B) = P( A1 ) P( B | A1 ) i =1 ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 3 0.5 × 0.06 3 = 0.5 × 0.06＋0.3 × 0.1＋0.2 × 0.05 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车 4 种交通工具，其概率分别为 5％， 15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100％， 70％，60％与 90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示外出人“乘坐飞机”“乘坐火车”“乘坐轮，，船”“乘坐汽车” B 表示“外出人如期到达”.，， P( A2 | B) = P( A2 ) P( B | A2 ) ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 4 = 0.15 × 0.3 0.05 × 0 + 0.15 × 0.3 + 0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.1 =0.20943.接 39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39 题计算知 P(B1)＝ 1 ，应用贝叶斯公式 2 1 1 × P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) = = = 1 P( B1 ) 2 244.一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已9 知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i＝0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中无次品” ，先计算P ( B ) 10 10 2 1 C99 C98 P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai ) = × (1 + 10 + 10 ) i =0 3 C100 C100 1 P( A0 | B) = = 0.37 3P ( B )45.设一条昆虫生产 n 个卵的概率为pn = λn n! e ?λ n=0, 1, 2, … 其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0＜p＜1).如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少? 解设事件 An＝“一个虫产下几个卵” n＝0，1，2….BR＝“该虫下一代有 k 条，虫” k＝0，1，….依题意，P( An ) = pn = λn n! e ?λ 0 ? P( Bk | An ) = ? k k n?k ?Cn p q ∞ k＞n 0≤k ≤n ∞ 其中 q=1－p.应用全概率公式有 P( Bk ) = ∑ P ( An ) P( Bk | An ) = ∑ P( An ) P( Bk | An ) n =0 n=k ∞ =∑ n=l n! λ ?λ e p k q n?k n! k !( n ? k ) ! n (λp ) k ?λ ∞ (λq) n? k e ∑ k! n= k (n ? k ) ! 由于∑ (λq) ∞ (λ q ) n ? k = e λq ，所以有n = k ( n ? k ) ! n ? k =0 ( n ? k ) ! = n?k ∑ ∞ P( Bk ) = ( λ p ) k ? λ λq ( λ p ) p ? λp e e = e k! k k = 0, 1, 2,L 10习题二 1.已知随机变量 X 服从 0－1 分布，并且P{X≤0}＝0.2，求 X 的概率分布.解 X 只取 0 与 1 两个值， {X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2， {X ＝1}＝1－P{X P P ＝0}＝0.8.2.一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2 三个值.由古典概型公式可知 C m C 2? m P { X = m } = 5 215 (m = 0, 1, 2) C20 依次计算得 X 的概率分布如下表所示： X P 0 21 38 1 15 38 2 2 383.上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X 件，求随机变量 X 的概率分布.解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，取到非优质品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有 9 ?3? P{X = 0} = ? ? = 4 ? 16 ? 6 1 ? 1 ?? 3 ? P { X = 1 } = C 2 ? ?? ? = 4 ?? 4 ? 16 ? 1 ?1? P { X = 2 }= ? ? = 4 ? 16 ? 2 24.第 2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值.且事件{X = n}表示抽取 n 次，前 n－1 次均未取到优质品且第 n 次取到优质品，其概率为 ? 3 ? ? 1 .因此 X 的概率分布为 ? ? n ?1 ?4? 4 1?3? P {X = n } = ? ? 4?4? n ?1 n = 1, 2, …5.盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y .解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P { X =1 }= P {X = 2 } = × = 4 12 11 3 2 9 9 P { X = 3 }= × × = 12 11 10 220 44 11 P { X = 4 }= 3 2 1 9 1 × × × = 12 11 10 9 220 (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值. 3 P {Y = 0 }= P { X =1 }= 4 9 P {Y =1 }= P { X = 2 }= 44 9 P {Y = 2 }= P { X = 3 }= 220 1 P {Y = 3 }= P { X = 4 }= 2206.上题盒中球的组成不变，若一次取出 3 个，求取到的新球数目 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C33 1 P {X = 0 } = 3 = C12 1 9 220P {X = 1 } = P {X = 2 } = P {X = 3 } = CC 27 = 3 C12 220 1 C92C3 108 = 3 220 C12 3 C9 84 = 3 C12 220 2 37.已知 P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, …, 求 p 的值.∞ 解根据∑ P { X = n }＝1 , 有n =1 1 = ∑ Pn = n=1 ∞ p 1? p 解上面关于 p 的方程，得 p ＝0.5. 8.已知 P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, …，求 p 的值. 2 解 p2 + p4 + p6 + … = p 2 = 1 1? p 解方程，得p= ± 2 /29.已知 P{X＝n}=cn, n=1, 2, …, 100, 求 c 的值.100 解 1 = ∑ cn = c ( 1 + 2 + … + 100 ) ＝5050 c n =1 解得 c＝1/5050 .10.如果 pn＝cn＿2，n=1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么? ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 解∑ pn = c ∑ 12 , 由于级数∑ 12 收敛, 若记∑ 12 =a,只要取 c = 1 , 则有∑ pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn＞0.所以它可以是一个离散型概率分布.11.随机变量 X 只取 1, 2, 3 共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求 X 的概率分布.解设 P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d.由概率函数的和为 1，可知 a= 1 , 但是 a－d 与 a+d 均需大于零, 3 因此｜d｜＜ 1 , X 的概率分布为 3 X 1 2 3 12 P 1 －d 3 1 3 3 1 +d 3 其中 d 应满足条件：0＜｜d｜＜ 1 12.已知 P { X 解∞ m =1 = m }= ∞ cλ ?λ ,m e m! m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数 c. 1 = ∑ p{X = m} = ∑ ∞ cλm ?λ e m =1 m ! = eλ 由于∑ ∞ λm m =0 m ! = 1+ ∑ ∞ λm , 所以有 m =1 m !13.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为 0.4 及 0.5，求： (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布； (2)甲投篮次数 X 的概率分布； (3)乙投篮次数 Y 的概率分布.解设事件 Ai 表示在第 i 次投篮中甲投中，表示在第 j 次投篮中乙投中，=1, 3, j i 5, …, j=2, 4, 6,…,且 A1, B2, A3, B4，…相互独立. (1) P{Z = 2k ? 1} = p{A1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 } = (0.6×0.5) k ?1 ·0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, … P{Z = 2k } = p( A1 B1 L A2 k ?3 B 2 k ? 2 A2 k ?1 B2 k ) k = 0.5×0.6×(0.6×0.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, … (2) P{X = n} = p{A1 B1 L A2 n?3 B 2n?2 A2 n?1 } + p A1 B1 L A 2 n ?3 B 2 n ?2 A2 n?1 B2 n = (0.6 × 0.5) n?1 (0.4 + 0.6 × 0.5) = 0.7 × 0.3n?1 n = 1, 2, K (3) P { Y = 0 } = P( A1 ) = 0.4 P { Y = n } = P A1 B1 K A 2 n?1 B2 n + P A1 B1 K A 2 n?1B 2 n A2 n+1 = (0.6 × 0.5) n?1 × 0.6 × (0.5 + 0.5 × 0.4) = 0.42 ×0.3n?1 n = 1, 2，K cλm ?λ ∑1 m ! e = c(e λ ? 1)e ?λ = c(1 ? e ?λ ) = 1 m= 1 解得c= 1 ? e ?λ { } { } { }14.一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为 0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为 0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目 X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X ＝0 } ＝0.4 P { X＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 2 P { X＝2 } ＝0.6 ×0.4＝0.144 P { X＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ?sin x , f ( x) = ? ? 0, x ∈ [ a , b] ，其他. 13 问 f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1) a = 0 , b = π ; (2) a = 0 , b = π ; (3) a = π , b = 3 π . 2 2 解π 在〔0, π 2 〕与〔0, π〕上，sinx≥0,但是∫ 0π sin xdx ≠ 1, ? π ? 上,sinx ? ? 3 2 ∫ 0 sin xd x = 1, 而在?π, ? 2 ≤0.因此只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数. 16. ?x ? x , ? e 2c f ( x) = ? c ? 0, ? 2 x＞0 ，x ≤ 0.其中 c＞0，问 f(x)是否为密度函数，为什么? 解易见对任何x∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又∫ +∞ 0 x ? 2c e dx = 1 c x2 f(x)是一个密度函数. 17.解 ?2 x , f ( x) = ? ? 0， a＜x ＜a + 2.其他.问 f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a 的值；若不是，说明理由.如果 f ( x )是密度函数，则 f ( x )≥0，因此a≥0，但是，当a≥0 时， 2 a +2 ∫ a 2 × dx = x | a = 4 a + 4 ≥ 4 a+2 由于∫+∞ f ?∞ ( x) dx 不是 1，因此 f ( x )不是密度函数.a ＜ x＜+ ∞ , 其他. 18.设随机变量 X～f ( x ) 2 ? , ? f ( x ) = ? π ( 1 + x2 ) ? 0, ? 确定常数 a 的值，如果 P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求 b 的值.解+∞ 2 2 2 π dx = arctan x ∫ = ( ? arctan a) 2 a π (1 + x ) a π π 2 2 ?π ? 解方程 ? －arctana ? =1 π ?2 ? ∫ +∞ 得 a = 0 b P { 0 ＜ x ＜ b } = ∫0 f ( x ) dx = 2 2 arctan x |b = arctan b 0 π π 解关于 b 的方程：2 arctanb=0.5 π 得 b=1.19.某种电子元件的寿命 X 是随机变量，概率密度为 ?100 ? f ( x ) = ? x2 ? 0, ? x ≥ 100 , x＜100 . 3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了 150 小时后仍能使线路正常工作的概率. 14 解串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作.而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示“线路正常工作” ，则 P ( A ) = [ P ( X ＞150) ]3 2 + ∞ 100 P { X ＞ 150 }＝∫ 150 dx = 2 x 3 8 P( A)= 27 20.设随机变量 X～f ( x )，f ( x )＝Ae－|x|，确定系数 A；计算 P { |X | ≤ 1 }.∞ 解 1 = ∫ ?+∞ Ae ? | x | dx = 2 A ∫ 0+∞ e ? x dx = 2 A 解得 A＝1 2 1 ?1 1 1 ?| x| e dx = ∫ e ? x dx 0 2 P {| X | ≤1 }= ∫ 21.设随机变量 Y 服从〔0, 5〕上的均匀分布，求关于 x 的二次方程 4x2＋4xY+Y+2=0 有实数根的概率.解 4x2+4xY+Y+2=0.有实根的充分必要条件是△＝b2－4ac =16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥0 设事件 P(A)为所求概率.则P ( A) = P {16Y 2 ? 16Y ? 32 ≥ 0 } = P { Y ≥ 2 } + P { Y ≤ ?1 } =0.6 22.设随机变量 X ～ f ( x )， ? c , ? f ( x) = ? 1 ? x 2 ? 0, ? | x | ＜1，其他.= 1 ? e ?1 ≈ 0.632 确定常数 c，计算P ? | X | ≤ 1 ? .? ? ? 2? 解 1 = ∫?1 1 c 1? x 2 dx = c arcsin x |1 1 = cπ ? c =1 π 1? 1 2 dx = arcsin x ? = 21 2 ? ∫? 2 π 1 ? x 2 π 1 1 2 0 ? P ? | X |≤ ? = 1 3 23.设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为 ? 0, ? F ( x) = ? A x , ? 1, ? x＜0 ， 0＜x＜1 , x ≥ 1.确定系数 A，计算P { 0 ≤ X ≤ 0.25 }，求概率密度 f ( x ).解连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，F F (1－0)，有 A＝1. (1)＝ 15 ? 1 , ? f ( x ) = ?2 x ? 0, ? 0＜x＜1 , 其他. P { 0 ≤ X ≤ 0.25 } = F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) = 0.5 24.求第 20 题中 X 的分布函数 F ( x ) .解 F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ ?x∞ 1 e ? | t | dt 2 当t ≤ 0 时， F ( x ) = ∫ ?∞ x 1 t 1 e dt = e x 2 2 当 t＞0 时， x 1 01 x1 F ( x ) = ∫ ?∞ e ? | t | dt = ∫ ?∞ e ?t dt + ∫0 e -t dt2 22 1 1 1 ?x ?x = + (1 ? e ) = 1 ? e 2 2 2 25.函数(1+x2)－1 可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因 F (－∞)＝ 1 ≠ 0.a ,确定 a 的值；求分布函数 26.随机变量 X ～ f ( x )，并且 f ( x ) = 2 π (1+ x ) F ( x )；计算 P { | X | ＜1 } .解 1 = ∫ ?∞ +∞ a a ∞ dx = arctan x +∞ = a ? π ( 1+ x2 ) π 因此a =1 F ( x) = ∫ ?∞ x 1 1 dt= arctan t ?x∞ 2 π ( 1+ t ) π 1 1 = + arctan x 2 π 1 1 1 1 P { | X | ＜1 } = ∫ ?1 dx = 2 ∫ 0 dx 2 π ( 1+ x ) π ( 1+ x2 ) 2 1 = arctan x 01 = π 2 27.随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： A ? , ?1 ? F ( x) = ? x 2 ? 0, ? x＞2 ，x ≤ 2.确定常数 A 的值，计算P { 0 ≤ X ≤ 4 } .解由 F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得1? A =0, 4 A=4 P { 0 ≤ X ≤ 4 } = P { 0＜X ≤ 4 } = F ( 4 ) ? F ( 0 ) = 0.75 f 28.随机变量 X～f ( x )， ( x )＝ A , 确定 A e x + e?x 的值；求分布函数 F ( x ) . 16 解 1 = ∫ ?∞ 因此A ex ∞ dx = A ∫ ? ∞ dx e x + e ?x 1 + e2x π = A arctan e x ∞∞ = A ? 2 A＝ 2 ，π ∞ ?∞ F (x)=∫ 2 2 dt = arctan et π ( et + e ?t ) π 2 = arctan e x π x x ?∞ 29.随机变量 X～f ( x )， ? 2x ? , 0＜x ＜a f ( x ) = ? π2 ? 0 , 其他.其他 ? 确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) .解1 = ∫0 a 2x x2 dx = 2 2 π π a 0 = a2 π2 因此，a = π 当 0＜x＜π 时，F ( x ) ∫0 2t x2 dt = 2 π2 π ?0, x ≤ 0 ? 2 ?x F ( x) = ? 2 , x＜π 0＜?π ?1, x ≥ π ? x 30.随机变量 X 的分布函数为 ?0 , ? F ( x ) = ? a 2 x 2 + 2ax + 2 ?ax e , ?1 ? 2 ? x≤0 x＞0 (a＞0) 求 X 的概率密度并计算 P ? 0＜X＜ 1 ? . ? ? ? a ? 解当x ≤0 时，X 的概率密度 f ( x ) ＝0；当 x ＞ 0 时，f ( x ) ＝F′ ( x ) ? 0, ?f ( x ) = ? a 3 x 2 ?ax e , ? ? 2 x≤0, 0. x＞ 31.随机变量 X 服从参数为 0.7 的 0－1 分布，求 X2，X2－2X 的概率分布.解 X2 仍服从 0－1 分布，且 P { X2＝0 } ＝P { X＝0 } ＝0.3，P{X2＝1}＝P{X 1 ? 1 ? 1 ? ? P ? 0＜x＜ ? = P ? 0＜x ≤ ? = F ( ) ? F ( 0 ) a ? a ? a ? ? 5 ?1 = 1 ? e ≈ 0.08 2 17 ＝1}＝0.7 X2－2X 的取值为－1 与 0 , P{X2－2X＝0} ＝P { X ＝0 } ＝0.3 P { X2－2X＝－1 } ＝1－P { X＝0 } ＝0.7 32.已知 P { X＝10n } ＝P { X＝10-n }＝ 1n , n = 1 , 2 , K , 解 Y=lgX，求 Y 的概率分布. Y 的取值为±1, ±2 , … P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } = 1 3 3 3 P { Y=－n } =P { lgX=－n } =P { x=10-n } ＝ 1 n＝1 , 2 , … 33. X 服从〔a , b〕上的均匀分布，Y=ax+b (a≠0)，求证 Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为 fY ( y ) ，X 的概率密度为 fX ( x )，只要 a ≠ 0， y = ax + b 都是 x 的单调函数.当 a ＞ 0 时，Y 的取值为〔a2+b , ab+b〕, x=h( y)= 1 1 ( y ? b ) , h′ ( y ) = x ′ = y a a 1 f Y ( y ) = h′ ( y ) f X [ h ( y ) ] = , y ∈ [ a 2 + b , ab + b ], a (b?a ) 当y ∈ [ a 2 + b , ab + b ] 时， fY ( y ) =0.类似地，若 a＜0，则 Y 的取值为〔 ab+b ,a2+b 〕? ?1 , ? f Y ( y) = ? a(b ? a) ? 0, ? ab + b ≤ y ≤ a 2 + b , 其他.因此，无论 a＞0 还是 a＜0，ax+b 均服从均匀分布. 34.随机变量 X 服从〔0 , π 2 〕上的均匀分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度 fY ( y ).解 y=cosx 在〔0, h′ ( y ) = ?1 1? y 2 π 2 〕上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosy 2 π , fx ( x ) = 0＜ y ＜1 , 其他., 0 ≤ x ≤ π 2 .因此 2 ? , ? fY ( y ) = ? π 1 ? y 2 ? 0， ? 35.随机变量 X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =｜lnX｜，分别求随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) .解 y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny 可导，且x′y = 1 , fX ( x ) =1 y 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有 18 ?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ? 1＜ y ＜ e , 其他.在(0 , 1)内 lnx ＜ 0｜lnx｜=-lnx 单调，且 x = e ? z ，x′z＝－e ? z ，因此有 ?e ? z ， fz ( z ) = ? ? 0, 0 ＜ z ＜+ ∞, 其他. 36.随机变量 X～f ( x ) ， ?e ? x , f (x)=? ? 0, x＞0 x≤0 Y = X , Z = X2 , 分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fy ( y ) 与 fZ ( z ) .解当 x ＞ 0 时，y = x 单调，其反函数为x = y2 , x′y = 2y ?2 y e ? y , ? fY ( y ) = ? ? 0, ? 2 y＞0 , y ≤ 0. z 当 x ＞ 0 时 z＝x2 也是单调函数，其反函数为 x = ? 1 ? e ? f z ( z) = ? 2 z ? 0, ? z , x′ z= 1 2 z z＞0 ，z ≤ 0. (x)= 2 37.随机变量 X～f ( x )，当x ≥ 0 时, f π (1 + x 2 ) , Y=arctanX , Z = 解 1 X ,分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 与 fz ( z ) . ? 2? 其反函数x=tany , x′ y=sec2y 在? ? 0, π ? 内由于 y = arctanx 是单调函数，? ? π 2 2 f Y ( y ) = sec y = π (1 + tan 2 y ) π 即 Y 服从区间(0 , π )上的均匀分布. 2 1 z = 在 x＞0 时也是 x 的单调函数，其反函数 x= 1 x z 2 恒不为零，因此，当 0 ＜ y ＜ 2 时，, x′ z = ?1 . 2 z 因此当 z＞0 时，fz ( z ) = ?1 2 2 = 2 z π [ 1+ ( 1 )2 ] π ( 1 + z 2 ) z 2 ? , z＞0 ? f z ( z ) = ? π(1 + z 2 ) ? 0, z≤0 ? 19 即Z = 圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横 38.一个质点在半径为 R，坐标 X 的密度函数 fX ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为 M，弧 M A 的长记为 L，显然 L 是一个连续型随机变量，L 服从〔0，πR〕上的均匀分布.?1 , ? f L ( l ) = ? πR ? 0, ? 0 ≤ l ≤ πR ，其他. 1 X 与 X 同分布.M 点的横坐标 X 也是一个数，且图 2-1 随机变量，它是弧长 L 的函 X ＝Rcosθ ＝ Rcos 函数 x = Rcosl / R 是 l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝Rarccos x R ′ lx = ?R R2 ? x2 L R 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有fX ( x ) = ?R R ?x 2 2 ? 1 1 = πR π R 2 ? x 2 当 x ≤ －R 或x ≥ R 时，fX ( x ) ＝0 . 39.计算第 2 ,3 , 5 , 6 , 11 各题中的随机变量的期望.解根据第 2 题中所求出的 X 概率分布，有EX = 0 × 21 15 2 1 + 1× + 2 × = 38 38 38 2 亦可从 X 服从超几何分布，直接计算EX = n N1 5 1 = 2× = N 20 2 + 1× 6 1 1 + 2× = 16 16 16 2 1 亦可从 X 服从二项分布(2， )，直接用期望公式计算：4 1 1 EX = np = 2 × = 4 2 9 9 1 + 3× + 4× = 1 .3 4 44 220 220 (2) EY = 0 × 3 +1 × 9 + 2 × 9 + 3 × 1 = 0.3 4 44 220 220 1 27 在第 6 题中，EX = 0 × +1 × + 2 × 108 + 3 × 84 = 2.25 220 220 220 220 1 ?1 ? ?1 ? 在第 11 题中， EX = 1 × ? ?d ? + 2 × + 3 × ? + d ? 3 ?3 ? ?3 ? 在第 3 题中EX = 0 × 9 在第 5 题中(1) EX = 1 × 3 + 2 × 20 = 2 + 2d 0＜｜d｜＜ 1 3 40. P { X = n } = c , n=1, 2, 3, 4, 5, 确定 C 的值并计算 EX.解n c c c c c 137c =1 ∑ =c+ + + + = n =1 n 2 3 4 5 60 5 C= 60 137 5 n =1 EX = ∑ n ? 41.随机变量X 只取－1, 0, 1 三个值，且相应概率的比为 1 : 2 : 3，计算 EX.解设 P { X ＝－1 } ＝ a，则 P { X ＝0 } ＝2a, P { X＝1 } ＝3a ( a＞0 ) ，因 a + 2a + 3a = 1 , 故 a ＝1/6 EX = ?1 × c 300 = 5C = n 137 42.随机变量 X 服从参数为 0.8 的 0－1 分布，通过计算说明 EX2 是否等于 ( EX )2 ? 解 EX ＝P { X＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64 EX2＝1×0.8＝0.8＞( EX )2 43.随机变量 X～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e- | x |，计算 EXn，n 为正整数.解当 n 为奇数时，x n f EX n = ∫ ?∞ 0.5x ne ? | x | dx = 0 +∞ 1 2 3 1 + 0 × + 1× = 6 6 6 3 ( x ) 是奇函数，且积分∫ 0 x n e ? x dx 收敛，因此∞ 当 n 为偶数时，EX n = ∫ ?∞ 0.5x n e ? | x | dx = 2∫ 0 0.5x n e ? x dx = ∫0 +∞ +∞ +∞ x n e ? x dx = Γ ( n + 1 ) = n ! 44.随机变量 X～f ( x ) ，? x, ? f ( x) = ?2 ? x , ? 0, ? n 0 ≤ x ≤1, 1＜x ＜2 , 其他.其他计算 EX (n 为正整数) .解EX n = ∫ ?∞ x n f ( x )dx = ∫ 0 x n+1dx + ∫ 1 ( 2 ? x ) x n dx 1 2 +∞ = 1 2 1 + ( 2 n+1 ?1 ) ? (2 n+ 2 ) ? 1 n + 2 n +1 n+2 2 n+2 ? 2 = ( n +1) ( n + 2 ) 45.随机变量 X～f ( x ) ，?cx b , f (x)=? ? 0, 0 ≤ x ≤1, 其他.其他 c =1 b +1 b,c 均大于 0，问 EX 可否等于 1，为什么? 解而EX = ∫ 0 cx b +1dx = 1 b ∫ ?∞ f ( x )dx = ∫ 0 cx dx = 1 +∞ c b+2 21 由于方程组 ? c ?b + 1 = 1 ? ? ? c =1 ?b + 2 ? 无解，因此 EX 不能等于 1. 46.计算第 6，40 各题中 X 的方差 DX .解在第 6 题中，从第 39 题计算知 EX＝ 9 ， 4 27 4 × 108 9 × 84 1215 EX = + + = 220 220 220 220 2 DX＝EX2－( EX )2≈0.46 在第 40 题中，已计算出 EX＝300 , 137 c 5 EX 2 = ∑ n 2 × = ∑ cn = 15c n =1 n n=1 900 = 137 5 DX=EX2-(EX)2≈1.77 47.计算第 23，29 各题中随机变量的期望和方差.解在第 23 题中，由于 f ( x ) ＝ 1 （0＜x＜1）,因此2 x 1 1 EX = ∫ 0 dx = 3 2 x 2 x 1 1 EX 2 = ∫ 0 dx = 5 2 x x DX = EX2－( EX )2 =4 45 π 在第 29 题中，由于 f ( x ) ＝ 2x ( 0＜x＜π ) , 因此2 EX = ∫ 0 2x 2 dx = π 2 π 3 2x3 π2 π EX 2 = ∫ 0 2 dx =π 2 π 2 2 DX＝EX2－( EX )2= π 解∞ EY= ∫ ?+∞ yfY ( y ) dy = ∫ 01 2 18 dy = 2 π 48.计算第 34 题中随机变量 Y 的期望和方差.2y π 1? y 2 EY2= ∫ 01 2 2y π 1? y2 dy = 1 2 DY= 1 ? 4 π2 ? 8 = π2 2π 2 49.已知随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： 22 F ( x ) 0, ? ? 2 ?1 + x + x , 2 = ?2 ? 2 ? 1 + x－ x ， ?2 2 ? 1, ? x＜ ? 1，? 1 ≤ x＜0 ，0 ≤ x ＜1，x ≥ 1.计算 EX 与 DX .解依题意，X 的密度函数 f ( x ) 为： ?1 + x , ? f ( x ) = ?1 ? x , ? 0，? ? 1 ≤ x＜0 ，0 ≤ x＜1，其他.解EX＝∫ ?01 x ( 1 + x ) dx + ∫ ?01 x ( 1 ? x ) dx = 0 EX2= ∫ ?01 x 2 ( 1 + x ) dx + ∫ 01 x 2 ( 1 ? x ) dx = 1 DX= 16 6 50.已知随机变量 X 的期望 EX＝μ，方差 DX＝σ2，随机变量 Y = 和 DY .解 EY = 1 ( EX－μ ) ＝0 σ X ?? σ , 求EY DY = DX σ2 =1 1 ) 4 51.随机变量 Yn～B ( n, 并画出概率函数图. ,分别就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn 的概率分布表，解 Y1 P Y3 P Y4 P 0 3 4 1 1 4 Y2 P 1 27 64 0 9 16 1 6 16 2 1 16 0 27 64 2 9 64 3 1 64 0 81 256 1 108 256 2 54 256 3 12 256 4 1 256 Y8 0 1 2 3 4 5 6 78 23 P 6561 1749 2041 1360 5670 1512 252 24 a a 6a 2a 8a a a a a 其中a = 1/65536 .图略. 52.设每次试验的成功率为 0.8，重复试验 4 次，失败次数记为 X，求 X 的概率分布.解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为 P ( X＝m ) ＝C44?m × 0.84?m × 0.2m ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表 X P 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 53.设每次投篮的命中率为 0.7，求投篮 10 次恰有 3 次命中的概率；至少命中 3 次的概率.解记 X 为 10 次投篮中命中的次数，则 X～B ( 10 , 0.7 ) . 3 P { X = 3 } = C10 0.7 3 0.37 ≈ 0.009 P { X ≥ 3 }= 1? P { X = 0 }? P { X = 1 }? P { X = 2 } =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38 ≈0.9984 54．掷四颗骰子，求“6 点”出现的平均次数及“6 点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6 点”出现次数为 X，则 X～B（4， 1 ）.6 EX = np =2 3 55．已知随机变量 X～B（n, p），并且 EX=3，DX=2，写出 X 的全部可能取值，并计算P { X ≤ 8 } .解根据二项分布的期望与方差公式，有 ?np = 3 ? ?npq = 2 5 ，其 X 的最可能值为〔 6 5 625 P { X = 0 } = ( )4 = 6 1296 500 若计算 P { X = 1 } = ，显然 P { x = 2 } , P { x = 3 } , 1296 P { x = 4 } 概率更小.由于 np + p = np + p 〕=0 解方程，得q= 2 ，p= 1 ，n=9 . 3 3 X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .P { X ≤ 8 }= 1? P { X = 9 } = 1－( 1 ) 9 ≈ 0.9999 56．随机变量 X～B（n，p）EX=0.8，EX2=1.28，问 X 取什么值的概率最大，其，概率值为何? 解由于 DX = EX2－(EX)2=0.64, EX=0.8, 即 3 24 ?npq = 0.64 ? ?np = 0.8 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于 np+p=1，因此 X 取 0 与取 1 的概率最大，其概率值为 P { X = 0 } = P { X = 1 } = 0.8 4 = 0.4096 57．随机变量 X～B（n, p）Y=eaX，计算随机变量 Y 的期望 EY 和方差 DY .，解随机变量 Y 是 X 的函数，由于 X 是离散型随机变量，因此 Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有i EY = ∑ e ai P｛X = i｝∑ e ai C n p i q n?i = i=0 n i =0 n n ∑ C (e p ) q = i =0 i n a i n i =0 n?i = (e a p + q ) n EY 2 = ∑ (e ai ) 2 P｛X = i｝ i ∑ C n (e 2 a p) i q n ?i = (e 2 a p + q) n = i =0 n DY = (e 2 ap + q) n ? (e ap + q ) 2 n 58.从一副扑克牌（52 张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量 X，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求 X，Y 的概率分布以及期望和方差.解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布 B（4， 1 ）.2 P ｛X = m｝ = C C C m 26 4?m 26 4 52 1 1 (m = 0,1,2,3,4) P｛Y = m｝ C 4m ( ) m ( ) 4?m (m = 0,1,2,3,4) = 2 2 具体计算结果列于下面两个表中. X P Y P EX = n 0 1 2 3 4 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 0 1/16 59.随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，查表写出概率 P｛X = m｝m = 0,1,2,3,4 并与 , 上题中的概率分布进行比较.X N1 26 = 4× =2 N 52 N N N ?n 26 26 48 16 DX = n 1 ? 2 ? = 4× × × = N N N ?1 52 52 51 17 1 EY = np = 4 × = 2 DY = npq = 1 2 P 0 1 2 3 4 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 60．从废品率是 0.001 的 100000 件产品中，一次随机抽取 500 件，求废品率不超过 0.01 的概率.解设 500 件中废品件数为X，它是一个随机变量且 X 服从 N=100000， N1 =100， n=500 的超几何分布.由于 n 相对于 N 较小，因此它可以用二项分布 B 500，（ 0.001）近似.又因在二项分布 B（500，0.001）中，n=500 比较大，而 p=0.001 非常小， 25 因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np=0.5.? X P? ≤ 0.001 } = P｛X ≤ 5｝ ? 500 5 0 .5 m e ?0.5 = 0.999986 ≈ ∑ m = 0 m! 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有 0.8 个疵点，若规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值 10 元；疵点数大于 1 不多于 4 为二等品，价值 8 元；4 个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解设 X 为一件产品表面上的疵点数目，（1） P｛X＞4｝= 1 ? P｛X ≤ 3｝= 1 ? ∑ P｛X = m｝ 0.0014 = m=0 3 （2）设一件产品的产值为 Y 元，它可以取值为 0，8，10.EY = 0 × P｛Y = 0｝ 8 × P｛Y = 8｝ 10 × P｛Y = 10｝ + + 1 ｝ = 8P｛＜X ≤ 4｝ 10 P｛X ≤ 1 + = 8 × 0.1898 + 10 × 0.8088 ≈ 9.61(元) 62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有 2 个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ，4 页中没有印刷错误的页数为 Y ，依题意， P｛X = 1 = P｛X = 2｝｝即λe ? λ = λ22! e ?λ 解得λ=2，即 X 服从λ=2 的泊松分布. p = P｛X = 0｝ e ?2 = 显然 Y～B (4, e ?2 ) 63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率.解设 X 为粮仓内老鼠数目，依题意 P｛X = 1 = 2 P｛X = 2｝｝P｛Y = 4｝p 4 = e ?8 = λe ? λ = 2 × λ2 2! e ?λ 解得λ=1. P｛X = 0｝ e ?1 = 64．上题中条件不变，求 10 个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解接上题，设 10 个粮仓中有老鼠的粮仓数目为 Y，则 Y～B（10，p），其中 P = X＞0｝ 1 ? P｛X = 0｝ 1 ? e ?1 , q = e ?1 ｛ = = P｛Y ≤ 2｝= P｛ Y = 0｝ P｛ Y = 1 + P｛ Y = 2｝ + ｝ = e ?8 (36e ?2 ? 80e ?1 + 45) ，65．设随机变量 X 服从 [2, 3] 上的均匀分布，计算 E(2X)，D（2X） D(2 X )2 . 26 解 1 76 , EX 2 = DX + ( EX ) 2 = 12 12 1 E(2X)=5，D(2X)=4DX= ，3 2 2 2 D (2 X ) = D (4 X ) = 16 DX = 16 EX 4 ? ( EX 2 ) 2 211 3 EX 4 = ∫ 2 x 4 dx =5 211 5776 1504 DX 2 = EX 4 ? ( EX 2 ) 2 = ? = 5 144 720 1504 D (2 X ) 2 = 16 DX 2 = 45 EX=2.5，DX= [ ] 66．随机变量 X 服从标准正态分布，求概率P X ≤ 3｝ P 2.35 ≤ X ≤ 5｝P X ≤ 1｝P X ≤ ?7｝., ｛ ,｛ , ｛｛解P X ≤ 3｝= Φ (3) = 0.9987 ｛ P 2.35 ≤ X ≤ 5 = Φ (5) ? Φ (2.35) = 0.0094 ｛｝P X ≤ 1 = Φ (1) = 0.8413 ｛｝P X ≤ ?7 = 1 ? Φ (7) = 0 ｛｝ 67．随机变量 X 服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的 a 的数值： = （2）P{ X ≤ a} = 0.9; （1） P｛X ≤ a｝ 0.9; ；（3）P{X ≤ a} = 0.97725; （4）P{ X ≤ a} = 0.1; 解（1）P { X ≤ a} = Φ (a) = 0.9 ，查表得 a=1.28 （2）P { X ≤ a} = 2Φ (a ) ? 1 = 0.9 ，得Φ（a）=0.95，查表得 a=1.64 （3）P { X ≤ a} = Φ (a) = 0.97725 ，查表得 a =2 （4）P{ X ≤ a} = 2Φ(a) ? 1 = 0.1 ，得Φ (a)= 0.55，查表得 a = 0.13 68.随机变量 X 服从正态分布 N (5,2 2 ) ，求概率 P{5＜X ＜8}, P{X ≤ 0} , P{ X ? 5 ＜2}.解 ?8?5? ?5?5? P{5＜X＜8} = Φ ? ? ?Φ ? ? ?2 ? ? 2 ? = Φ (1.5) ? Φ (0) = 0.4332 P {X ≤ 0} = Φ (? 2.5) = 1 ? Φ (2.5) = 0.0062 ? X ?5 ? P{ X ? 5 ＜2} = P ? ≤ 1? = 2Φ (1) ? 1 2 ? ? =0.6826 69．随机变量 X 服从正态分布N ( ? ,σ 2 ) ，若 P{X＜9} = 0.975 , P{X＜2} = 0.062 ，计算μ 和σ 的值，求 P{X＞6}. ?9?? ? 解 P{X＜9} = Φ ? ? = 0.975 ? σ ? ?2?? ? ? ? ?2? P{X＜2} = Φ? ? = 0.062, Φ? ? = 0.938 ? σ ? ? σ ? 查表得：27 ?9 ? ? ? σ = 1.96 ? ? ? ? ? 2 = 1.54 ? σ ? 解以μ 和σ 为未知量的方程组，得μ =5.08，σ=2. P{X＞6} = 1 ? P{X ≤ 6} = 1 ? Φ (0.46) =0.3228 70．已知随机变量 X～N (10,2 2 ) ， P{X ? 10＜c} = 0.95 ， P{X＜d} = 0.023 ，确定 c 和 d 的值.? X ? 10 c ? P{ X ?10 ＜c} = P ? ＜? 2? ? 2 = 2Φ ? c ? ? 1 = 0.95 ? ? ?2? ?c? Φ ? ? = 0.975 ， ?2? 查表得 c = 1.96, c = 3.92 2 ? d ? 10 ? P{X＜d} = Φ ? ? = 0.023 ? 2 ? 解 ? 10 ? d ? ? = 0.977 ? 2 ? 查表得 ? 10 ? d ? = 2, d = 6 ? ? ?2 ? Φ? 71．假定随机变量 X 服从正态分布N ( ? ,σ 2 ) ，确定下列各概率等式中 a 的数值：（1）P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.9; （2）P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.95; （3） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.99; 解 ? X ?? ? P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = P ? ＜a ? ? σ ? =2Φ(a) -1 （1）2Φ (a)-1=0.9，Φ (a)=0.95，a=1.64；（2）2Φ (a)-1=0.95，Φ (a)=0.975, a=1.96；（3）2Φ (a)-1=0.99，Φ (a)=0.995，a=2.58. 72．某科统考的考试成绩 X 近似服从正态分布 N (70, 10 2 ) , 第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少分? 解P{X ≥ 60} ≈ 1 ? P{X ≤ 60} = 1 ? Φ ? 60 ? 70 ? ? ? ?10 ? = Φ (1) = 0.8413.设参加统考人数为 n，则 100 =0.8413，n= 100 ≈ 19 n 0.8413 设第 20 名成绩约为 a 分，则P{X ≥ a} = 20 ≈ 0.1681 n 28 P{X ≤ a} = 0.8319 ? a ? 70 ? ? = 0.8319 ? 10 ? 查表得 a ? 70 = 0.96 10。

《概率论与数理统计》(第三版)课后习题答案

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论与数理统计习题解答(第3章)

习题三（A ）三、解答题1. 设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1，1，2，现从口袋中无放回地连续摸出两个球，以X ，Y 分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求(X ，Y )的分布律．解：(X ，Y )取到的所有可能值为(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： P {X =1，Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1}=2/3⨯1/2=/3， P {X =1，Y =2}= P {X =1}P {Y =2|X =1}=2/3⨯1/2=1/3， P {X =2，Y =1}= P {X =2}P {Y =1|X =2}=1/3⨯2/2=1/3. (X ，Y )的分布律用表格表示如下：2．设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的，2支是红的，现从中随机抽取2支，以X ，Y 分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求： (1) X 和Y 的联合分布律；(2) P {X ，Y } ∈ A }，其中A = {(x ，y )| x + y ≤ 1}．解：X ，Y 所有可能取到的值是0， 1， 2(1) P {X =i ， Y =j }=P {X =i }P {Y =j |X =i }=282223C C C C j i j i --， i ， j =0，1，2， i +j ≤2 或者用表格表示如下：(2)P{(X ，Y )∈A }=P {X +Y ≤1}=P {X =0， Y =0}+P {X =1，Y =0}+P {X =0，Y =1}=3/28+9/28+6/28=9/14.3．设事件B A 、满足,21)|(,21)|(,41)(===A B P B A P A P 记X ，Y 分别为一次试验中A ，B 发生的次数，即⎩⎨⎧=不发生，发生A A X 0,1，⎩⎨⎧=不发生，发生，B B Y 0 1，求：二维随机变量(X ，Y )的分布律．解：因为P (A )=1/4，,21)|(=A B P 由P (B |A )=2/14/1)()()(==AB P A P AB P 得P (AB )=1/8，由P (A |B )=2/1)()(=B P AB P 得P(B)=1/4.(X ，Y )取到的所有可能数对为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，则 P {X =0，Y =0}=)(1)()(B A P B A P B A P -===1-P (A )-P (B )+P (AB )=5/8, P {X =0，Y =1}=)(B A P =P (B -A )=P (B )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =0}=)(B A P =P (A -B )=P (A )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =1}=P (AB )=1/8.4．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10 ,),(其它y x Axy y x f 试求： (1) 常数A (2) P {X = Y } (3) P {X < Y }(4) (X ，Y )的分布函数．解：(1)由归一性知：1=，故A=4(2) P {X =Y }=0, (3) P {X <Y }=.(4)F (x ，y )=即F (x ，y )=5．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其它0,20,10 ,3),(2y x xyx y x f求P {X + Y ≥ 1}．解：P{X+Y ≥1}=7265)3(),(102121=+=⎰⎰⎰⎰-≥+dydx xy x dxdy y x f xy x 6．将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次中出现正面的次数，以Y 表示3次中出现正面的次数，求X ，Y 的联合分布律及(X ，Y )的边缘分布律．解：X 的所有可能取值为0，1，2，Y 的所有可能取值为0，1，2，3. P {X =0，Y =0}=0.53=0.125; P {X =0，Y =1}=0.53=0.125P {X =1，Y =1}=25.05.05.0212=⨯C ， P {X =1，Y =2}=25.05.05.0212=⨯C P {X =2，Y =2}=0.53=0.125， P {X =2，Y =3}==0.53=0.125 X ，Y 的分布律及边缘分布律可用表格表示如下：Y X 0 1 2 3 P i . 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.250.52 00.125 0.125 0.25P .j0.125 0.375 0.375 0.125 1解法2：,21)21()21(}|{}{},{22⨯=======-iiiC i X j Y P i X P j Y i X P.1,0,3,2,1,0,2,1,0=-==i j j i7．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y 求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-+∞-∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f xxy X ⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(0y y ye y y dx e dx y x f y f y y yY 8．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,01,),(22y x y cx y x f 求：(1) 确定常数c(2) 边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：⎩⎨⎧<≤≤=0,01,),(22x y x y cx y x f(1)214212),(1104211122cdx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞-∞+∞-所以 c=21/4(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎩⎪⎨⎧<==⎰⎰∞+∞-其它其它，,01||,8)1(2101||,421),()(42122x x x x ydy x dy y x f x f x X⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰-∞+∞-其它其它，,010********),()(252y y y ydx x dx y x f y f y yY 9．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线y = 0，x = 1，x = e 2围成，二维随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：2|ln 12211===⎰e e D x dx xS (X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，故f (x ，y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它，0),(,21),(Dy x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰∞+∞-其它（,01,21),()210X e x dy dy y x f x f x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤≤-=-===--∞+∞-⎰⎰⎰其它（10,0),11(2121,2121),()221112X 2y e e y y dx e dx dx y x f x f y e 10．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f 试求条件概率密度f (y | x )．解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f)0)(( )(),()|(|>=x f x f y x f x y f X X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<===⎰⎰∞+∞-其它,010,233),()(20x x xdy dy y x f x f x X当0<x ≤1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,00,233)(),()|(2|xy x x x f y x f x y f X X Y即，⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=其它,010,2)|(|x y x x y f X Y11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它,0,10,1),(xy x y x f 求条件概率密度f (x | y )．解：⎩⎨⎧<<<=其它,0||,10,1),(xy x y x f⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤+===⎰⎰⎰-∞+∞-0,10,1),()(11y y dx y y dx dx y x f y f y y Y当y ≤0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<+==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X当y >0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X所以，⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==其它,01||0,||11)(),()|(|x y y x f y x f y x f Y Y X12．已知随机变量Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,5)(4y y y f Y 在给定Y = y 条件下，随机变量X 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其它,010,3)(32y x y x y x f 求概率P {X > 0.5}．解：由)(),()|(|x f y x f y x f Y Y X =得 ⎩⎨⎧<<<<==其它,00,10,15)()|(),(2|yx y yx y f y x f y x f Y Y X644715),(}5.0{15.0125.0===>⎰⎰⎰⎰+∞+∞∞-xdydx yx dydx y x f X P 13．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为试分别求),max(Y X Z =和),min(Y X W =的分布律．解：Z =max(X ，Y )，W =min(X ，Y )的所有可能取值如下表Z =max(X ，Y )，W =min(X ，Y )的分布律为14．设X 和Y 是相互独立的随机变量，且)(~),(~θθE Y E X ，如果定义随机变量Z 如下：⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z ,0,1 求Z 的分布律．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X θθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f yY θθ 由独立性得X ，Y 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它,00,0,1),(2y x e y x f yx θθ 则P {Z =1}=P {X ≤Y }=211),(002==⎰⎰⎰⎰∞++-≤xyx yx dydx edxdy y x f θθ P {Z =0}=1-P {Z =1}=0.5故Z 的分布律为15．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )；并问X 与Y 是否独立？解：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π⎪⎩⎪⎨⎧<-===⎰⎰---∞+∞-其它，01||,121),()(222112x x dy dy y x f x f x x X ππ 同理，⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它，01||,12)(2y y y f Y π显然，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立16．设随机变量X 和Y 相互独立，试在以下情况下求Y X Z +=的概率密度， (1) )1,0(~),1,0(~U Y U X ； (2) )1(~),1,0(~Exp Y U X ．解：(1)⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(Y y y f利用卷积公式：⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(求f Z (z ))()(x z f x f Y X -=⎩⎨⎧+<<<<其它,01,10,1x z x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤-===-=⎰⎰⎰-∞+∞-其它2110,02,)()()(110z z z dx z dx dx x z f x f z f z z Y X Z(2) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(Y y y e y f y 利用卷积公式：⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎩⎨⎧+<<>=--其它,01,0,)()(y z y y e y f y z f y Y X⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--=≥<≤=-----⎰⎰其它其它110,0,)1(,1110,0,,10z z e e e z z dy e dy e z zzz y z y17．设)1,1(~),1,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，求}1{≤+Y X P ．解：由定理3.1（P75）知，X +Y ~N (1，2)，故5.0)0(}21121{}1{=Φ=-≤-+=≤+Y X P Y X P 18．设随机变量(X ，Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-. ,0;0,0,)(21),()(其它y x e y x y x f y x(1) 问X 和Y 是否相互独立？ (2) 求Y X Z +=的概率密度．解：(1) )1(21)(21),()0)(X +=+==-+∞+-+∞∞-⎰⎰x e dy e y x dx y x f x f x y x （(x>0) 同理，)1(21)(+=-y e y f yY y>0 显然，)()x (),(y f f y x f Y X =，所以X 与Y 不相互独立 (2).利用公式⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(，被积函数⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=---+-其它其它,0,0,21,00,0,)(21),()(xz x ze x z x e x z x x z x f z x z x所以⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(，⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤>=≤>=--⎰0,00,210,00,2120z z e z z z dx ze z z z19. 设某系统L 由两个相互独立的系统L 1，L 2联合而成，各连接方式如图所示．已知L 1，L 2的使用寿命X 与Y 分别服从参数为α，β 的指数分布，求以下各系统L 使用寿命Z 的分布函数及概率密度．解：并联时，系统L 的使用寿命Z=max{X ，Y} 因X ~Exp (α)，Y ~Exp (β)，故⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X αα， ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f y Y ββ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F xX α， ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y β ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--==--0,00),1)(1()()()(z z e e z F z F z F z z Y X Z βα⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---0,00,)11(11)(11z z e e e z f z z z Z βαβαβαβα 串联时，系统L 的使用寿命Z =min{X ，Y }⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,1)](1)][(1[1)(11z z e z F z F z F z Y X Z βα ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,11)(11z z e z f zZ βαβα （B ）1．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，求a ，b 的值．解：P {X =0}=a +0.4，P {X +Y =1}=P {X =1，Y =0}+P {X =0，Y =1}=a +b. P {X =0，X +Y =1}=P {X =0，Y =1}=a 由于{X =0}与{X +Y =1}相互独立，所以 P {X =0， X +Y =1}=P {X =0} P {X +Y =1}即 a =(a +0.4)(a +b ) (1) 再由归一性知：0.4+a +b +0.1=1 (2) 解(1)，(2)得 a =0.4， b =0.1 2．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它 ,010,10 ,2),(y x y x y x f (1) 求P {X > 2Y }(2) 求Z = X + Y 的概率密度f Z (z )．解: (1) 247)2(),(}2{10202=--==>⎰⎰⎰⎰>xyx dydx y x dxdy y x f Y X P (2) 利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞∞--=),()(计算⎩⎨⎧<-<<<-=-其它,010,10,2),(x z x z x z x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<<-=-=⎰⎰⎰-∞+∞-2,021,)2(10),22,021,)2(10,)2(),()(2110z z z z z z z dx z z dx z dx x z x f z f z z Z （3．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其它,020,4101,21)(x x x f X令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量(X ，Y )的分布函数，求 (1) Y 的概率密度)(y f Y ；(2) )4,21(-F ．解：(1) F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y } 当y <0时，f Y (y )=0当y ≥0时，)()(}{)(y F y F y X y P y F X X Y --=<<-=从而，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧-+=4041,8110,83)]()([21)(y y y y y y f y f yy f X X Y ，(2) F (-1/2，4)=P {X ≤-1/2，Y ≤4}= P {X ≤-1/2，X 2≤4} =P {-2≤X ≤-1/2}=4121)(211212==⎰⎰----dx dx x f X 4．设(X ，Y )为二维离散型随机变量，X 和Y 的边缘分布律分别如下：如果1}0{==XY P ，试求 (1) (X ，Y )的分布律； (2) 问X 与Y 是否独立．解：P {XY ≠0}=1-P {XY =0}=0 即 P {X =-1，Y =1}+P {X =1，Y =1}=0由概率的非负性知，P {X =-1，Y =1}=0，P {X =1，Y =1}=0由边缘分布律的定义，P {X =-1}= P {X =-1，Y =0}+ P {X =-1，Y =1}=1/4 得P {X =-1，Y =0}=1/4再由P {X =1}= P {X =1，Y =0}+ P {X =1，Y =1}=1/4 得P {X =1，Y =0}=1/4再由P {Y =1}=P {X =-1，Y =1}+ P {X =0，Y =1}+ P {X =1，Y =1}= P {X =0，Y =1} 知P {X =0，Y =1}=1/2最后由归一性得：P {X =0，Y =0}=0(X ，Y )的分布律用表格表示如下：(2) 显然，X 和Y 不相互独立，因为P {X =-1，Y =0}≠ P {X =-1}P {Y =0}5．设随机变量X 与Y 相互独立，且),(~),,(~2ππσμ-U Y N X ，求Z = X + Y 的概率密度（计算结果用标准正态分布分布函数)(x Φ表示）．解：X 与Y 相互独立，利用卷积公式dx x z f x fz f Y XZ ⎰+∞∞--=)()()(计算,21)(222)(σμσπ--=x X ex f ⎪⎩⎪⎨⎧-∈=其它,0),(,21)(πππy y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=---其它,0,221)()(222)(ππππσσμx z e x z f x f x Y X⎰⎰⎰+---+---+∞∞-==-=ππσμπππσμπσππσz z x z z x Y X Z dx edx edx x z f x f z f 22222)(212)(21221)()()()]()([21}{21ππππππ--+=+<<-=z F z F z X z P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φσμπσμππz z 21 6．设二维随机变量(X ，Y )在矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f S ．解：(X ，Y )～Ｕ(G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,21),(Gy x y x f设F (x )和f (s )分别表示S =XY 的分布函数和密度函数 F (s )=P {XY <s} s<0时，F S (s)=0s ≥0时，⎪⎩⎪⎨⎧+≥=⎰⎰⎰⎰s s xs S dydxdydx s F 010*******,1, 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+<=2,12,2ln 220,0s s s s s s F S于是，S =ＸY 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,2ln 21)(s ss f S 7．设随机变量X 与Y 相互独立，其中X 的分布律为而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g ．解：由全概率公式： F U (u )=P {U ≤u }={X +Y ≤u }=P {X =1}P {X +Y ≤u |X =1}+ P {X =2}P {X +Y ≤u |X =2} = P {X =1}P {1+Y ≤u }+ P {X =2}P {2+Y ≤u } =0.3⨯F Y (u -1)+0.7⨯F Y (u -2)所以，f U (u ) =0.3⨯f Y (u -1)+0.7⨯f Y (u -2)8．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它，，,020,10 ,1),(x y x y x f 求：(1) (X ，Y )的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )； (2) Y X Z -=2的概率密度)(z f Z ；解：(1) ⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,1),(x y x y x f⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,2,010,1),()(20x x x dy dy y x f x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,020,21,020,1),()(12y yy dx dx y x f y f y Y (2) ⎰⎰≤-=≤-=≤=zy x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F 2),(}2{}{)(如图所示，当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥2时，F Z (z)=1 当0≤z<2时:411)(212222020z z dydx dydx z F z xz x zx Z -=+=⎰⎰⎰⎰- 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=2,120,40.0)(2z z z z z z F Z 所以Z 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=20,21,0)(z zz f Z 其它 9．设随机变量X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在X = x （0 < x < 1）的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求： (1) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (2) Y 的概率密度； (3) 概率P {X + Y > 1}．解：(1) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它,010,0,1)|(|x x y xx y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<<==其它（,010,1)()|),(|x y xx f x y f y x f X X Y(2) ⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,ln ,010,1),()(1y y y dx x dx y x f y f y Y (3) 2ln 11),(}1{P 15.011-===≥+⎰⎰⎰⎰-≥+xx y x dydx xdxdy y x f Y X10. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的分布律为31}{==i X P ，（i = – 1，0，1），Y 的概率密度为⎩⎨⎧<≤=其它,010,1)(y y f Y ，记Y X Z +=，求：(1) 求}021{=≤X Z P (2) 求Z 的概率密度)(z f Z ．解：(1) P {Z ≤1/2|X =0}=P {X +Y ≤1/2|X =0}=P {Y ≤1/2}=1/2 (2) 由全概率公式：F Z (z )=P {Z ≤z }=P {X +Y ≤z }=P {X =1}P {X +Y ≤z |X =1} +P {X =0}P {X +Y ≤z |X =0}=P {X =-1}P {X +Y ≤z|X =-1} = P {X =1}P {1+Y ≤z }+P {X =0}P {Y ≤z }=P {X =-1}P {-1+Y ≤z } =1/3⨯[F Y (z -1)+ F Y (z )+ F Y (z +1)]从而，f Z (z ) =1/3⨯[f Y (z -1)+ f Y (z )+ f Y (z +1)]=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其它,021,31z11．设X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;0,10 ,3),(其它x y x x y x f 试求Y X Z -=的概率密度．解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3).(xy x x y x f⎰⎰-≥=-≥=≤-=≤=zx y Z dxdy y x f Z X Y P z Y X P z Z P z F ),(}{}{}{)(如图，当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥1时，F Z (z )=1当0≤z<1时:22333)(3100z z xdydx xdydx z F z xz x zxZ -=+=⎰⎰⎰⎰-综上得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=1,010,2230,0)(3z z z z z z F Z 12Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它,010),1(23)(2z z z f Z12．设X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布N (0，1)，试求22Y X Z +=的分布．解：,21)(22x X ex f -=π,21)(22y Y ey f -=π22221)()(),(y x Y X e y f x f y x f +-==π}{}{)(22z y x P z Z P z F Z ≤+=≤=当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥0时，220222222222121),(}{)(z zr z y x Z erdrd edxdy y x f z Y X P z F --≤+-===≤+=⎰⎰⎰⎰πθπ所以，Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它,00,)(22z ze z f z Z。

概率论与数理统计教程(答案及课件)chapter3

,
则有
1 PZ x 2
e
x
du x
故
于是
Z
X

~ N 0 , 1 .
X ~ N , 2
X x FX x P X x P x
根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
2
设 X~ N ( , 2 ) ,
X 的分布函数是
2σ 2
F x
x 1 e 2πσ
( t μ )2
dt , x
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和
σ不同时，是不同的正态分布。下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
3
标准正态分布
7 （3）求P 1 X 2
解
kx , x f ( x ) 2 , 2 0,

0 x3 3 x4 其它
(1) 由
0
1 f ( x )dx 1得k 6
3
4
x
F x
x

f t dt , x
x2 x1
f ( x )dx
利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率
4
若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
5. 对连续型 r.v X , 有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ，故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3

概率论与数理统计第3章课后题答案

概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：（1）P( a)；（2）P( a)；（3）P( a)；（4）P( a) 解：（1）P( a) F(a 0) F(a)；（2）P( a) F(a 0)；（3）P( a)=1-F(a)；（4）P( a) 1 F(a 0)。

3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1） x（2）0 x ，在其它场合适当定义；（3）- x 0，在其它场合适当定义。

解：（1）F(x)在（- , ）设随机变数具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p( x),证明：对任意的a 0,有（1）F( a) 1 F(a)12ap(x)dx；（2）P（ a) 2F(a) 1；（3）P( a) 2 1 F(a) 。

证：（1）F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 （2）P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx；ap(x)dx 2 p(x)dx，由（1）知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1；12ap(x)dx。

（3）P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0是两个常数，且a b 1。

证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F1(x)与F2(x1) F2(x2)，于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数，当x1 x2时，F1(x1) F1(x2)，又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以，F(x)也是分布函数。

河海大学概率论与数理统计3习题三参考答案

概率统计——习题三参考解答（1）;（2）互不相容；（3）相互独立；（4）相互对立；设事件A 表示“任意取出的100个灯泡都是好的”，i B 表示“1000个灯泡中有i 个坏灯泡”，i=0,1,2,3,则 3,2,1,0,9.0)|(,41)(10010001001000=≈==-i C C B A P B P i i i i 于是，由全概率公式得 439.341)|()()(30⨯==∑=i i i B A P B P A P 再由贝叶斯公式得： 29.0)()|()()|(000==A PB A P B P A B P （1）由∑∑∞=λ∞==λ===00!}{1k kk ae k a k X P ，得λ-=e a ；（2）由∑==++==312738)2789432()32(1k k a a a ，得3827=a ；（3）.2,!2}2{}1{!12=λ∴λ=====λλ-λ-e X P X P e Θ 22432!42}4{--===∴e e X P （1）a ．Λ,2,1,1=-k p q k ； b ．Λ,1,,11+=---r r k qp C r k r r k ；（2）.10,,2,1,0,)7.01(7.01010Λ=--k C k k k由于=p P {调整设备}=2639.0)1.01)(1.0()1.01()1.0(19110100010≈----C C ，故 .4,3,2,1,0,)1(}{44=-==-k p p C k X P k k k每个错字出现在每页上的概率为=p 1/500，500个错字落在这本书上可看成做了500次贝努里试验，从而一页上出现错字的数量服从参数为500，1/500的二项分布B （500，1/500）利用泊松定理计算，?=500?1/500=1，得P {指定一页上至少有三个错字}=1? P {该页上至多有两个错字}.0803.0251)21(1!1111120=-=++-=λ-≈----=λ-∑e e e e e k k k （1）7015678!44844=⨯⨯⨯==C C P ；（2）由于P （成功三次）0003.0)7011()701(73310≈-=C ，可见他（她）猜对的概率仅为万分之三，此概率太小，按实际推断原理（小概率原理），可认为他（她）确有区分能力。

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《概率论与数理统计》习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第三章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r kb a C C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A AA ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，20 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

概率论与数理统计第三、四章答案

概率论与数理统计第三、四章答案第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。

概率论与数理统计第三、四章答案

第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果<见下表>,按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,〔1〕计算圆半径的期望值；〔2〕(2)E R π是否等于2ER π？〔3〕能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能用,又该如何计算？其结果是什么？解〔1〕100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯= 〔2〕由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==〔3〕因为22()()E R E R ππ≠,所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4．连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ,求k 和a 的值解由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差〔参看习题二第16题〕。

概率论与数理统计（第三版）课后答案习题

概率论与数理统计（第三版）课后答案习题第四章随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用ξ，η ξ 0 1 2 3 η 0 1 2 p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2 解：因为E ξ=0?0.7+1?0.1+2?0.1+3?0.1=0.6;E η=0?0.5+1?0.3+2?0.2=0.7。

故就平均来说，甲机床要优于乙机床。

2. 连续型随机变量ξ的概率密度为f x kx x k a a()(,)=<<>??0100其它又知E ξ=0.75，求k , a 之值。

解：首先由密度函数性质知11,1,1)(=+∴==??∞+∞-∞+∞-a kdx kx dx x f a 即；又E ξ=0.75，即有 75.02,1,75.0)(1=+∴==??∞+∞-+∞+∞-a k dx kx dx x xf a 即；由上述两式可求得k =3, a =2。

3.已知随机变量ξ的分布律为ξ -1 0 2 3 p 1/8 1/4 3/8 1/4求解：E ξ=(-1)?(1/8)+0?(1/4)+2?(3/8)+3?(1/4)=11/8; E ξ2=(-1)2?(1/8)+02?(1/4)+22?(3/8)+32?(1/4)=31/8;E (1-ξ)2=(1-(-1))2?(1/8)+(1-0)2?(1/4)+(1-2)2?(3/8)+(1-3)2?(1/4)=17/8 或者， E (1-ξ)2=E (1-2ξ+ξ2)=1- (E 2ξ)+E ξ2=17/8。

4. 若ξ的概率密度为f x e x ()||=-12。

求(1)E ξ，(2)E ξ2 。

解：(1)dx xe E x ?∞∞--=||21ξ中因e -|x |为偶函数，x 为奇函数，故x e -|x |为奇函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上+∞<=Γ===∞+--∞∞-∞∞-1)2(||21)(||0||dx xe dx e x dx x f x xx故E ξ=0。

《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题3

第三章多维随机变量及其分布1.设二维随机变量(ξ，η)只能取下列数组中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。

且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。

2.再从袋中任取一球。

设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。

以ξ，η分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(ξ，η)的联合分布律。

解：(ξ，η)的可能性取值为数对(1，2)、(2，1)、(2，2)，先计算取每一数对的概率： P {(ξ，η)=(1，2)}=(1/3)⨯1=1/3；P {(ξ，η)=(2，1)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； P {(ξ，η)=(2，2)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； 3.一整数n ξ=ξ(n )是能整除n 的正整数的个数，η=η (n )是能整除n 的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出ξ和η联合分布律。

解：依题意有：n ：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ξ(n )：1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 η(n )：0 1 1 1 1 2 1 1 1 2因此ξ=1，2，3，44.设随机变量(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-===⎰⎰---∞+∞-.,0,1,121),()(21122其它x x dy dy y x f x f x x ππξ(1)确定常数k ； (2)求}3,1{<<ηξP ； (3)求}5.1{<ξP ； (4)求}4{≤+ηξP 。

解：(1) 由概率密度的性质知：⎰⎰=--20421)6(dy y x k dx ,即 8k =1 ∴ k =1/8;(2) }3,1{<<ηξP 8/38/)6(1032=--=⎰⎰dy y x dx ; (3) }5.1{<ξP 32/278/)6(5.1042=--=⎰⎰dy y x dx ;(4)dxdy y x f P G ⎰⎰=≤+),(}4{ηξ32)6(814220=--=⎰⎰-dy y x dx x。

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。

解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >，解得，29a =。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。

解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-；（2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞；（3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。

3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。

解：由(,)X Y 的分布律，得（1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=；（2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。

概率论与数理统计习题三答案

百度文库-让每个人平等地提升自我《概率论与数理统计》习题及答案习题三1•将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值•试写出X和Y的联合分布律•2•盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数•求X和Y的联合分布律•3•设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为si nxsiny, 0 F(x，y)=0,n -x ,02n y 2其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域Ox ,—4 6ny 3 内的概率【解】如图P{0 Xn n n, Y }公式(3,2)4 6 3n n n n nF(-) F(-) F(0,刁4 3 4 6 3F (0, n6nsin —4手(3 1).4n in3 冗冗冗63 6题3图sin ^I si n - sin 0|si n - sin01 sin - JT说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4•设随机变量(X , Y )的分布密度f (x , y )=Ae (3x 4y) 0,x 0,y 0, 其他.求：(1)(2) (3) 【解】(1)得(2) 常数A ;随机变量(X , Y )的分布函数; P{0 <X<1 , 0<Y<2}.A=12由定义,F(x, y)⑶ P{0 XP{0 X1 0 5•设随机变量(2 12e 0f (x, y)dxdy 0 0Ae®4y)Adxdy1^10 0,1,0 xf (u, v)dudvy12e (3u 4v)dudvY 2}1,0 Y 2}(3x 4y)dxdy (1Y )的概率密度为 f (x , y ) = k(60,(1e 3)(1x y),8\e ) e 3x )(1 e 4y ) y 0,x 0, 0,其他0.9499.x 2,2 y 4,其他.(1) (2) (3) (4) k ; 【解】(1)由性质有确定常数求 P{ X v 1, Y v 3}; 求 P{ X<}; 求 P{X+Y W 4}.(2) P{X 1,Y⑶ P{X 1.5}f (x, y)dxdy3}1x 1.51.52 40 2k(6X y)dydx 8k 1,f(x,y)dydx312§k(6 x y)dydx f (x,y)dxdy如图 a =D138f (x, y)dxdydx(4) P{X Y 4}Y2dx4 1-(6 x y)dy2 8f(x,y)dxdy如图b f (x, y)dxdyD24 x 1 2(6 x y)dy .2 8 32732题5图X在（0,）上服从均匀分布,6•设X和Y是两个相互独立的随机变量，Y的密度函数为5yf Y( y) = 5「y o, ( 0,其他.求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y今＜}・题6图【解】（1）因X在（0 ,上服从均匀分布，所以X的密度函数为丄f x (x) 0.2 ,、0,0 x 0.2,其他.所以f Y (y)f(x, y)X,Y 独立 f15y5e0.2 0,5e 5y 0,25e 5y 0,y 0,其他.0 其他.x 0.2且 y 0, (2) P(Y X)f (x,y)dxdy 如图y x0.2 x 5dx 25e - ydy 0 725e 5y dxdy-1=e 7.设二维随机变量（X ，Y ）0.3679.的联合分布函数为F (x , y )(1 0,4xe 求（X ，Y ）的联合分布密度【解】f (x, y)2F(x, y)8e (4x 2y)D0 2( 5e 5x)(1e 2y ), 5)dxx 0, y 0, 其他.8•设二维随机变量（ 0,0,y 其他.0, 求边缘概率密度【解】f X（X ）x4.8y(2 x)dy0,f Y (y)X ，Y ）f ( X ,的概率密度为4.8y(2 0,x), 1,0 y x,其他.f (x, y)dyf (x, y)dx 1y4.8y(2 x)dx 0,2.4x 2(2 0,x), 0 其他. 1,y 2), 0其他.y 1, 2.4 y(3 4y 0,4题9图f (x. y)=0,求边缘概率密度f (x, y)dy y, 其他.题8图9•设二维随机变量（X，Y）的概率密度为【解】f x（x）f Y(y)x0,e y dy e x0,f (x,y)dxy e y dx0,ye0,10.设二维随机变量（X，Y）(1)(2)【解】（1）0, 其他.y o,其他.y\1y=x" w锣o X题10图的概率密度为2cx y,f( x，y)=0,y 1,其他•试确定常数c；求边缘概率密度•21f x(x) f (x, y)dxdy如图f (x, y)dxdyD1dx-1f (x, y)dy12 42cx ydy c 1.x 21f Y(y)11.设随机变量(X,求条件概率密度【解】f x(X)所以1 212 .x2 x ydyx 40,f (x, y)dxy 21 2 —xydx y 40,Y)的概率密度为f(x.f Y i X (y | x),f (x, y)dyx1dyx0,f Y(y)2x,f Yix(y |x)21 2x80,(1 ), 1 x 1,其他.7 27y ,0,y) = 10,f x I Y其他.其他.y 1,x, 0 x 1,其他.(x| y).题11图1,f(x, y)dxf(x,y)11dxy11dxy0,y, 1 y 0,y, 0 y 1,丄2x0, 其他.,|y| 1,f x(x)百度文库-让每个人平等地提升自我12.袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y. （1）求X 与Y 的联合概率分布；（2）X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表XJ345P{X X i }111 22 336 \ 亠3亠3—10C 5 10C 5 1010 211 2 2 310c5 10 10 311 1~210C 5 10P{Y y i }丄2_610101013.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为f xY （x|y ）f （x,y ） f Y（y ）11 r~y o,y x 1, y x 1, 其他.（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布; （2） X 与Y 是否相互独立？（2）因 P{X 故X 与Y 不独立1}卜{丫 3}_6 丄 6 1 10 10 100 10P{X 1,Y 3},(2)因P{X 2}]P{Y 0.4} 0.2 0.8 0.16故X与Y不独立.14•设X和Y是两个相互独立的随机变量，0.15 P(X 2,Y 0.4),f Y (y)=X 在(0,1 y/22e ,0,1)上服从均匀分布,y 0,其他.Y的概率密度为(1) 求X和Y的联合概率密度；(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,1, 0 x 1,【解】(1)因f X(x)0,其他；故f (x, y)X, Y独立f X (x)试求f Y(y)a有实根的概率.1 2e 220,y 1,y/2x 1,y 0,2(2)方程a 2Xa Y 0有实根的条件是(2X)24Y 0故从而方程有实根的概率为:P{X2Y} f (x, y)dxdyx21 e0 21 •厂[0.1445.1dxy/2dy(1) (0)]15•设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计)从同一分布，其概率密度为，并设X和Y相互独立，且服1000f( x) = F0,x 1000,其他.求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数F z(z)XP{Z z} P{X 2}(1)当Z W0寸，F z(z) 0F z(z)x=1000时,y=6) z103dyz(如图a)yz 106103x2y22 2x ydxdy103106, z2 3 dy -y zy 2(2) 当0<z<1时，(这时当dxx y -zLOGO仙(如图题15图103z■ y⑶当Z》1时, (这时当y=103时，x=103z)106~~2~2x X yy -zF z(z) dxdyb)zy 106dy 103 2 2 dx10 x y103106103 3zydy2zf z(z)1丄2z 1,20,z 1,其他.f z(z)1尹12,0,1,z 1,其他.16•设某种型号的电子管的寿命 (以小时计)近似地服从N( 160, 202)分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率.只,【解】设这四只寿命为X i(i=1,2,3,4)，则X i~N ( 160, 202), 从而P{min(X1,X2,X3,X4)180}X i之间独立P{X1 180}]P{X2 180}P{X3 180}] P{X4180}[ 1 [ 1 P{X1 180}] ]1P{X1 4180}]4(1)] (0.158) 4P{X2 180}] |[1 P{X3 180}] |[1 P{X 180}]180 160200.00063.[117•设X, Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X=k}=p (k), k=0, 1, 2,…，P{Y=r}=q (r), r=0 , 1, 2 ,…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为iP{Z=i}= p(k)q(ik 0k) , i=0, 1, 2,….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以{Z i} {X Y i}{X 0,Y i} 1,Y i 1} …U{X i，Y 0}P{Z i}iP{Xk 0k,Y k}X,Y 相互独立P{X k}|p{Y i k}ip(k)q(ik 0k)18•设X, Y是相互独立的随机变量，数为2n, p的二项分布•【证明】方法一：X+Y可能取值为它们都服从参数为n, p的二项分布•证明Z=X+Y服从参0, 1，2，…，2n.kP{ X Y k} P{X i,Yi 0k i}方法二：设俘，…,；w'律‘，，…为均服从两点分布（参数为 P ）,则X=川+国+…+ 屮，Y= w ' +' +•••■+', X+Y= w + w +…+ （n+ w' ' +•••■+', 所以，X+Y 服从参数为（2n,p ）的二项分布.*12345 \0 0123(2) 求V=max (X , Y )的分布律； (3) 求U=min (X , Y )的分布律； (4)求W=X+Y 的分布律.P(X i)|p{Yk i}ki 02nipq2nk 2np q【解】(1) P{X 2|Y 2}P{X 2,Y2}P{Y 2} P{X 2,Y2}5P{X i,Y 2}i 00.05 10.25 2P{Y 3|X 0}P{Y 3, X 0} P{X 0} (2) P{Vi}P{X 0,Y3} 3P{X 0,Y j}j 0P{max( X,Y) i} P{Xk 0i,Y k}0.01 1 0.033P{X i,Y i}iP{X k,Y k 0P{X i,Y i}i}, i 0,123,4,5所以V 的分布律为(3) P{U i}P{min( X,Y) i}P{X ，i,Y i}P{X i,Y i} \35i 0,1,2,3,/ P{X i,Yk}P{X k,Y i}k ik i 1于是U=mi n(X,Y) 01 23P /题20图【解】因（X , Y ）的联合概率密度为1 2 2 22， x y R ,R0, 其他.f(x,y)d y 0 y xf(x,y)dy xn dn 4R 12rdr 0 n R 25—n4 d n 412 rdr 0n R 2V=max(X,Y) 0 P2345f (x, y)(1) P{Y 0|Y X}P{Y 0,Y X} P{Y X}百度文库-让每个人平等地提升自我63/8 3;1/2 4;⑵ P{M 0} P{max( X,Y) 0}1P{max( X,Y)0}P{X 0,Y0} 1 f (x, y)dx 0 \ y 011321.设平面区域D 由曲线在区域D 上服从均匀分布，求（ y=1/x 及直线y=0， x=1,x=e 2所围成， X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在 x=2处的值为多少?二维随机变量（X , Y ）2 e1【解】区域D 的面积为 S o□dx 1 xIn2.（X,Y ）的联合密度函数为f(x,y)1 20, ,0其他.（X , Y ）关于X 的边缘密度函数为f x (X ) 1/x120,dy丄2x其他.y 1y 2y 3P{ X=x i }= p iX 1 x 21/81/8P{ Y=y j }= p j1/611 \ 所以 f X （2）^. 422.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处2【解】因P{Y y j }P jP{X1冷丫 y j },X ，Y ）联合分布律及关于 X 和故P{Y 比} P{X yd P{X X 2,Y yd, 从而 P{X x 1,Y y 1}1 丄 8 24而X与Y独立，故p{x X i}|p{Y y j} P{X X i，Y y i},1 1从而P{X x,} —P{X 为，丫y,}6 241 1 1即：P{X x,} / .24 6 4 、又P{X 为} P{X x,,Y y,} P{X x,,Y y?} P{ X x,,Y 『3},1 1 1即一一—P{X 为丫y3),4 24 8 '1 从而P{X %,Y y3}祛同理P{Y y?} 1-, P{X2X2,Y y?}383 1 1 1 又P{Y y j} 1 .故P{Y y3} 1 -j 1 6 2 3.同理P{X X2} 3 4.从而P{XX2,丫y3} P{Y y3} P{X1 1 1x1,Y y3} 3 112 4故23•设某班车起点站上客人数' X服从参数为久?>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p ( 0<p<1 ),且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.【解】(1) P{Y m |X n} C m p m(1 p)n m,0 m n, n 0,1,2,川.(2) P{X n,Y m} P{X n}|p{Y m|X n}mmn m 胆 nC n p (1 p).訂，n m n,n 0,1,2,i||.1 224•设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为 X~，而丫的概率密度为f(y),0.3 0.7求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【解】设F (y )是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为G(u) P{X Y u} 0.3P{X Y u|X 1} 0.7P{X Y u|X 2} /0.3P{Y u 1|X1} 0.7P{Y u 2|X2}、由于X 和Y 独立，可见\G(u) 0.3P{Y u 1} 0.7P{Y u 2}0.3F(u 1) 0.7F(u2).由此，得U 的概率密度为g(u) G(u) 0.3F (u 1)0.7F (u 2) 0.3f(u 1) 0.7f (u2).于是有因为X ，推得1 f(x) 3 0,Y 相互独立，所以 f (x, y)3, f(y)0,x 1 9 0,3;3,00,y 0,x 3,yP{max{ X,Y} 1}-93, 0 y 3,0, y 0,y 3.3, 3.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= ,P{ Y< 0X w 0}=,记Z=X+Y.求:26.(1)a,b,c 的值；(2)Z的概率分布；(3)P{X=Z}.解(1)由概率分布的性质知，a+b+c +=1 即a+b+c =.由E(X) 0.2，可得/ a c 0.1. \再由/ P{Y 0X 0} P{X °，Y 0}色Z 0.5,P{X 0} a b 0.5得 a b 0.3.解以上关于a，b，c的三个方程得a 0.2,b 0.1,c 0.1 .⑵Z的可能取值为2，1，0，1，2，P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.2，P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 0,Y 1} 0.1，0.3，P{Z 0} P{X 1,Y 1} P{X 0,Y 0} P{X 1,Y 1}P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 0,Y 1} 0.3，P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.1，即Z的概率分布为。

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