(完整版)对偶单纯形法详解
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2.3 对偶单纯形法
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
XB
-3 y1
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
2 -1 -1
-3 -9 0 y1 y2 y3
1 1 -1 0 -3 -1 0 -6 -1
00 y4 y5
00 10 01
4、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 3y1 9 y2
MaxZ 3y1 9 y2
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
化为
y1 y2 y3 2
标准型
→
s.t.
y1 y1
4 7
y2 y2
y4 y5
3 3
y1 0, y2 0
y1, , y5 0
→迭代→另一个可行基（对应另一个基 本可行解），直至所有检验数≤0为止。
所有检验数≤0意味着
CN CB B1N 0 YA C ，
说明原始问题的最优基也是对偶问题的可行 基。换言之，当原始问题的基B既是原始可 行基又是对偶可行基时，B成为最优基。
定理2-5 B是线性规划的最优基的充要条件 是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
素
a
' lk
为主元素。
若 值吗al'j？为0 ,要什计么算？最小比
按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢 运算），将主元素变成1，主元列变成单位向 量，得到新的单纯形表。
循环以上步骤，直至求出最优解。
3、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33
保持为基本 可行解
原问题
初始基本 可行解
始终满足解 的可行性
三、对偶单纯形法的实施
1、使用条件： ①检验数全部≤0；
②解答列至少一个元素 < 0；
2、实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每 一次迭代过程中取出基变量中的一个负分量 作为换出变量去替换某个非基变量(作为换入 变量),使原始问题的非可行解向可行解靠近。
3 4
x1, x2 , x3, பைடு நூலகம்4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
通过逐步迭代实现对偶可行(检验数行≤0)。 2、 对偶单纯形法思想：
换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原始可行（b列≥0，从非可行解变成 可行解）。
对偶单纯形法的思想（图示）
始终满 足对偶 可行性
最优解 基本可行性 对偶可行性
保持对偶可行性 初始对偶可行解
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
3 4
x1, x2, x3 0
化为标准型 →
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3 4
x1, x2, x3, x4, x5 0
将两个等式约束两边分别乘以-1，得
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
CB
XB
0
x4
-2 x1
cj xj b
-1
2
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 -5/2 1/2 1 -1/2 1 -1/2 3/2 0 -1/2
cj-zj
比
0
0 -4 -1 0 -1
值 --- -4/-5/2 --- -1/-1/2
CB
XB
-3 x2
-2 x1
cj xj b
即
min i
( B 1b) i
( B 1b) i
0
(B1b)l ,则选xl出基，
相应的行为主元行。
然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原始问题的不可行性。
如果
min j
c
j
al'j
z
j
al'j
0
ck zk
a
' lk
(最小比值原则),则选 xk 为换入变量 , 相应 的列为主元列 , 主元行和主元列交叉处的元
3、计算步骤：
①建立初始单纯形表，计算检验数行。
解答列≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
至少一个元素<0,转下步;
至少一个检验数>0
解答列≥0——原始单纯形法； 至少一个元素<0,另外处理；
基变换：
先 确 定 换 出 变 量 —— 解 答 列 中 的 负 元 素 （一般选最小的负元素）对应的基变量出基；
Max Z CX
LP原问题: AX b
s.t.
X
0
若B是A中的一个基
可行基
对偶可行基
B对应的解是基 本可行解，则B 是可行基
若单纯形乘子 Y CBB1 是对偶问题的可行解， 则B是对偶可行基
的CB可B行1 解是对偶问题
等价
检验数 N 0
YA C CBB-1A C C CBB-1A 0 N 0
证明： C CBB-1A 0
(CB MCN ) CBB-1 (BMN) 0
(CB MCN ) (CBB-1BMCBB-1N) 0 (CB CBB-1BMCN CBB-1N) 0
CB CBB-1B 0 CN CBB-1N 0
N 0
单纯形法的求解过程就是：
在保持原始可行的前提下(b列保持≥0)，
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
-3
-1 -4 0 1 0
-3
-1 -7 0 0 1
0
-3 -9 0 0 0
值 -3/-1 -9/-1 --- --- ---
CB
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
XB
-3 y1
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
2 -1 -1
-3 -9 0 y1 y2 y3
1 1 -1 0 -3 -1 0 -6 -1
00 y4 y5
00 10 01
4、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 3y1 9 y2
MaxZ 3y1 9 y2
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
化为
y1 y2 y3 2
标准型
→
s.t.
y1 y1
4 7
y2 y2
y4 y5
3 3
y1 0, y2 0
y1, , y5 0
→迭代→另一个可行基（对应另一个基 本可行解），直至所有检验数≤0为止。
所有检验数≤0意味着
CN CB B1N 0 YA C ，
说明原始问题的最优基也是对偶问题的可行 基。换言之，当原始问题的基B既是原始可 行基又是对偶可行基时，B成为最优基。
定理2-5 B是线性规划的最优基的充要条件 是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
素
a
' lk
为主元素。
若 值吗al'j？为0 ,要什计么算？最小比
按主元素进行换基迭代（旋转运算、枢 运算），将主元素变成1，主元列变成单位向 量，得到新的单纯形表。
循环以上步骤，直至求出最优解。
3、举例——用对偶单纯形法求解LP：
MinW 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33
保持为基本 可行解
原问题
初始基本 可行解
始终满足解 的可行性
三、对偶单纯形法的实施
1、使用条件： ①检验数全部≤0；
②解答列至少一个元素 < 0；
2、实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每 一次迭代过程中取出基变量中的一个负分量 作为换出变量去替换某个非基变量(作为换入 变量),使原始问题的非可行解向可行解靠近。
3 4
x1, x2 , x3, பைடு நூலகம்4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
通过逐步迭代实现对偶可行(检验数行≤0)。 2、 对偶单纯形法思想：
换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原始可行（b列≥0，从非可行解变成 可行解）。
对偶单纯形法的思想（图示）
始终满 足对偶 可行性
最优解 基本可行性 对偶可行性
保持对偶可行性 初始对偶可行解
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
3 4
x1, x2, x3 0
化为标准型 →
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
3 4
x1, x2, x3, x4, x5 0
将两个等式约束两边分别乘以-1，得
MaxZ 2x1 3x2 4x3
s.t.
2xx112xx223xx33xx45
CB
XB
0
x4
-2 x1
cj xj b
-1
2
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 -5/2 1/2 1 -1/2 1 -1/2 3/2 0 -1/2
cj-zj
比
0
0 -4 -1 0 -1
值 --- -4/-5/2 --- -1/-1/2
CB
XB
-3 x2
-2 x1
cj xj b
即
min i
( B 1b) i
( B 1b) i
0
(B1b)l ,则选xl出基，
相应的行为主元行。
然后确定换入变量——原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原始问题的不可行性。
如果
min j
c
j
al'j
z
j
al'j
0
ck zk
a
' lk
(最小比值原则),则选 xk 为换入变量 , 相应 的列为主元列 , 主元行和主元列交叉处的元
3、计算步骤：
①建立初始单纯形表，计算检验数行。
解答列≥0——已得最优解； 检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
至少一个元素<0,转下步;
至少一个检验数>0
解答列≥0——原始单纯形法； 至少一个元素<0,另外处理；
基变换：
先 确 定 换 出 变 量 —— 解 答 列 中 的 负 元 素 （一般选最小的负元素）对应的基变量出基；
Max Z CX
LP原问题: AX b
s.t.
X
0
若B是A中的一个基
可行基
对偶可行基
B对应的解是基 本可行解，则B 是可行基
若单纯形乘子 Y CBB1 是对偶问题的可行解， 则B是对偶可行基
的CB可B行1 解是对偶问题
等价
检验数 N 0
YA C CBB-1A C C CBB-1A 0 N 0
证明： C CBB-1A 0
(CB MCN ) CBB-1 (BMN) 0
(CB MCN ) (CBB-1BMCBB-1N) 0 (CB CBB-1BMCN CBB-1N) 0
CB CBB-1B 0 CN CBB-1N 0
N 0
单纯形法的求解过程就是：
在保持原始可行的前提下(b列保持≥0)，
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
-3
-1 -4 0 1 0
-3
-1 -7 0 0 1
0
-3 -9 0 0 0
值 -3/-1 -9/-1 --- --- ---
CB