第九章 概率论与数理统计

例2 已知机床加工得到的某零件的尺寸服从期望为20cm，标 准差1.5cm的正态分布， （1）任意抽取一个零件，求它的尺寸在[19,22]内的概率 （2）若规定尺寸不小于某一标准值的零件为合格产品， 要使合格概率为0.9，如何确定这个标准值？ （3）独立取25个组成一个样本，求样本均值在[19,22]内 的概率 用matlab编程计算如下 p=normcdf(22,20,1.5)-normcdf(19,20,1.5) x0=norminv(0.1,20,1.5) p1=normcdf(22,20,1.5/5)-normcdf(19,20,1.5/5)
（3）表示分布形状的统计量 偏度和峰度 ）表示分布形状的统计量--偏度和峰度 统计上用偏度g1和峰度g2分别描述数据的对称性和形状， 偏度g1和峰度g2分别定义为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MATLAB命令实现 命令实现 MATLAB中，假设x是已知的数据（行向量或列向量），则 skewness(x) %返回x的偏度， kurtosis(x) %返回峰度。
[λ , ∆λ ] = exp fit ( x, Pci )
[λ , ∆λ ] = poissfit ( x, Pci )
[u , σ , ∆u , ∆σ ] = normfit ( x, Pci )
2 2
（2）分布假设检验 ）
T 已知实测数据 x = [ x1 , x2 ,L , xn ]
推测该数据满足什么分布，并求出该分布的参数 正态分布的检验
基本概念 总体：人们研究对象的全体，又称为母体。 总体 个体：总体中的每一个基本单位。 个体 样本：从总体中随机产生的若干个个体的集合。 样本 样本容量：从总体中随机取得的一批数据的规模大 样本容量 小。 统计的任务是由样本推断总体。 统计的任务
2、数据的整理——频数表和直方图 、数据的整理 频数表和直方图 将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这 称为频数，由此 组数据在每个区间中出现的次数，称为频数 称为频数 得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为 直方图，或频 纵坐标，画出一个台阶形的图，称为直方图 直方图 数分布图。 Matlab命令实现 Matlab命令实现 [N,Y]=hist(data,k) %频数表 频数表 hist(data,k) %直方图 直方图 其中，数组（行、列均可）data的频数表。它将区间 [min(data),max(data)]等分为k（缺省时k设定为10），N返回 k个小区间的频数，Y返回k个小区间的中点。
模型的建立
V (n) = ∫ [(b − a) x − (a − c)(n − x)]p( x)dx + ∫ (b − a)np( x)dx
0 n
n
∞
模型的求解（解析解） 模型的求解（解析解）
n ∞ dV = (b − a )np (n) − ∫ (a − c) p ( x)dx − (b − a )np (n) + ∫ (b − a ) p ( x)dx 0 n dn
4、数理统计分析方法 、 （1）参数估计与区间估计 ） 若一实测数据 x = [ x1 , x2 ,L , xn ]T 且已知这些数据满足某种分布
问题：如何求出这些分布的参数及其置信区间
[n, p, ∆n, ∆p ] = binofit ( x, Pci )
[a, b, ∆a, ∆b] = unifit ( x, Pci )
第九章 概率论与数理统计
引言
随着科学技术的发展和普及，数据信息越来越大 量和频繁地进入人们的日常生活中 杂乱、浩瀚的数据如果不及时地进行有效地整理和 分析，既不能发挥它们的作用，还会造成很大的负担 概率论是统计的理论基础，本实验结合统计的基本 概念，介绍概率论的一些相关知识和介绍简单概率模 型的建立和求解
1 S = [ ∑(Xi − X ) ] n i =1
n
2 1 2
方差是标准差的平方s2。 方差 极差是x=(x1,x2,…xn)的最大值与最小值之差 极差 MATLAB命令实现 命令实现 MATLAB中，假设x是已知的数据（行向量或列向量），则 std（x）%返回x的标准差, var（x）%返回方差, range（x）%返回极差。
四、实例的建模与求解
模型的建立
V (n) = ∫ [(b − a) x − (a − c)(n − x)]p( x)dx + ∫ (b − a)np( x)dx
0 n
n
∞
模型的求解（解析解） 模型的求解（解析解）
n ∞ dV = (b − a )np (n) − ∫ (a − c) p ( x)dx − (b − a )np (n) + ∫ (b − a ) p ( x)dx 0 n dn
中位数：是将数据由小到大排序后位于中间位置的 中位数 那个数值。 MATLAB命令实现 命令实现 MATLAB中，假设x是已知的数据（行向量或列向量），则 mean(x) %返回x的均值， median(x) %返回中位数。
标准差、 （2）表示变异程度统计量 标准差、方差和极差 ）表示变异程度统计量—标准差 为了描述数据的这种分散程度（统计上称变异程度）， 变异程度） 变异程度 统计上引入标准差概念 标准差
[ H , s] = jbtest ( x, α )
[ H , s] = lillietest ( x, α )
H=0,说明满足正态分布，s是显著水平
其它分布假设检验
[ H , s ] = kstest ( x, cdffun, α )
其中，吃 cdffun为两列的数组，第一列是自变量即x， 第二列是要检验的分布函数在自变量处的值即F（x） F x
（5）指数分布 ）
背景问题：一些电器元件的寿命、排队模型中的服务时 间等可认为服从指数分布。
3、Matlab统计工具箱中的概率分布函数 、 统计工具箱中的概率分布函数 MATLAB统计工具箱中有20种概率分布，上述几种分 布列出命令的字符：
工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令的字符是:
当需要某个分布的某类运算功能时，将分布字符和功能字符 连接起来，就得到所需要的命令。
三、统计量分析
1、数据的收集与样本概念 、 数据的收集 某银行为使顾客感到亲切以吸引更多的资金，计划对柜台 的高度进行调整。银行随机选了50名顾客进行调查，测量 每个顾客感觉舒适时的柜台高度，表2为得到的数据，
位顾客感觉舒适的高度（ 表2 50位顾客感觉舒适的高度（单位：厘米） 位顾客感觉舒适的高度 单位：厘米）
Matlab命令小结 命令小结
例1，柜台高度调查数据，要求求出各个统计量
X =[100 110 136 97 104 100 95 120 119 99 ... 126 113 115 108 93 116 102 122 121 122 ... 118 117 114 106 110 119 127 119 125 119 ... 105 95 117 109 140 121 122 131 108 120 ... 115 112 130 116 119 134 124 128 115 110]; x1=mean(X),x2=median(X) % 各个统计量 x3=range(X),x4=std(X) x5=skewness(X),x6=kurtosis(X)
假定a=0.8元，b=1元，c=0.75元，为报童提供最佳决策
分析
报童每天购进报纸数量n固定，每天报纸的需求量随机， 报童每天的利润也是随机的。只能以长期售报过程中每天 的平均利润最大为目标，确定最佳决策。 数学模型近似：可以通过历史数据得到每天需求量为r的 天数所占的百分比，记做f(r) 决策变量：报童每天购进报纸的份数n n 平均利润： V（n）
= − ∫ (a − c) p( x)dx + ∫ (b − a) p( x)dx
0 n
n
∞
令导数等于零，得到
∫ ∫
n
0 ∞
p( x)dx
n
(b − a) = p( x)dx (a − c)
b−a ∫−∞ p( x)dx = b − c
n
二、随机变量的概率分布及其随机数生成
1、概率密度函数、分布函数和分位数（逆概率分布） 、概率密度函数、分布函数和分位数（逆概率分布）
3、数据的描述——统计量 、数据的描述 统计量
假设有一个容量为n的样本（即一组数据）,记作 x=(x1,x2,…,xn), 需要对它进行一定的加工，才能 提取有用的信息，用作对总体（分布）参数的估 用作对总体（ 用作对总体 分布） 统计量就是加工出来的、反映样本数 计或检验。统计量 计或检验 统计量 量特征的函数，它不含任何未知量。 （1）表示位置的统计量 平均值和中位数 ）表示位置的统计量--平均值和中位数 平均值（简称均值）： 平均值
例1，银行柜台高度 ，
Matlab程序
X =[100 110 136 97 104 100 95 120 119 99 ... 126 113 115 108 93 116 102 122 121 122 ... 118 117 114 106 110 119 127 119 125 119 ... 105 95 117 109 140 121 122 131 108 120 ... 115 112 130 116 119 134 124 128 115 110]; [N,Y]=hist(X) % 频数表 hist(X), % 直方图
= − ∫ (a − c) p( x)dx + ∫ (b − a) p( x)dx
0 n
n
∞
令导数等于零，得到
∫ ∫
n
0 ∞
p( x)dx
n
(b − a) = p( x)dx (a − c)
b−a ∫−∞ p( x)dx = b − c
n
Matlab实现 实现 clear all; %newsboy a=0.8;b=1;c=0.75; q=(b-a)/(b-c); r=[3 9 13 22 32 35 20 15 8 2]; rr=sum(r); x=110:20:290; % 需求量取表中小区间的中点 rbar=r*x'/rr % 计算均值 s=sqrt(r*(x.^2)'/rr-rbar^2) % 计算标准差 n=norminv(q,rbar,s) % 用逆概率分布计算n