3.2.1对数及其运算(二)
[推荐学习]高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第2课时积商幂的对
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3.2.1 对数及其运算第2课时积、商、幂的对数课堂导学三点剖析一、利用对数运算法则的计算问题【例1】计算:(1)lg12.5-lg 85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数的运算法则,要会正用法则,也要会逆用法则,更要会变形用法则.解：(1)lg12.5-lg85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题的具体需要正用及逆用法则,灵活地运用法则.二、对数式的条件求值问题【例2】已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法则变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3的式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值的式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法则的综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分”的方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ =3lg )34(3lg )21109541(--++=511. 解法二:采用“合”的方法.原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯=3lg 3lg 511=511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),∴lgxy=lg(x -2y)2.∴xy=(x -2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4.∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4. 温馨提示对数式化简的两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成若干个对数的代数和,最后进行化简;二是把同底的对数之和合并成一个对数,对真数进行化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题的重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲的方法.各个击破类题演练1计算:(1)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++; (2)21lg 493243-lg 8+lg 245. 解析：(1)8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++ =2lg 6.0lg 13lg 4lg +++ =)26.010lg(2lg ⨯⨯=12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1 计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ 解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3. (2)8.1lg 10lg 3lg 2lg -+ =8.1lg )10lg 9lg 2(lg 21-+ =8.1lg 21018lg =21. 类题演练2已知lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2的值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2. 变式提升2已知3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法则,把log 2487,log 212,log 242拆成若干个对数的代数和,然后再化简. 原式=21log 24237⨯+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数的底数相同,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 24248127⨯⨯=log 221=21-.变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5 =(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。
对数及其运算(二)
1
（2）
lg 5 lg 2 1
1 log 5 3 log 5 0 3
（3）
（4）
log3 5 log3 15 1
例3 计算
7 (1) lg 14 2 lg lg 7 lg 18. 3
例4 已知lg 2 0.3010， 3 0.4771， lg
求 lg 45 .
log a M 1 M 2 M n log a M 1 log a M 2 log a M n .
如果a 0, a 1, M1 0, M 2 0, M n 0, 则
log a M1t1 M 2t2 M ntn t1 log a M1 t2 log a M 2 tn log a M n .
n
nP
np n log a M .
a N x log a N
x
3．基本性质 (1) 负数与零没有对数；
(2) loga1＝0，logaa＝1；
(3) 对数恒等式 a
log a N
= N， log a a = n
n
(4)常用对数lg N，自然对数ln N
课前热身:
⑴ ⑵
log 3 1 log 3 3 log 3 27 4 ln e lg100 3 lg 2 lg5 ?
n
(1) ( 2) ( 3)
说 明： ①简易语言表达： “积的对数＝对数的和” “商的对数＝对数的差” “n次方的对数＝对数的n倍” ②有时逆向运用公式：
如：lg 5 + lg 2 = lg10 = 1. ③真数的取值范围必须是 ：(0, ＋∞).
性质的推广：
1
2
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.2.1 对数及其运算 第2课时 积、商、幂的对数与换底公式
4.3log72-log79+2log7
2
3 2
=
.
解析:原式=log78-log79+log7 9 8
=log7 8 +log7 9
9
8
=log7
8 9
9 8
=log71=0.
答案:0
课堂探究·素养提升
类型一 对数运算性质的应用
【例 1】 计算下列各式的值.
(1) 1 lg 32 - 4 lg 8 +lg 245 ; 2 49 3
=(lg 5)2+(1-lg 5)(1+lg 5)=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1.
类型二 换底公式 【例2】 计算:(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).
思路点拨:由于所给对数的底数不同,无法直接进行计算,可利用换底公 式计算. 解:法一
原式=(log253+ log2 25 + log2 5 )(log52+ log5 4 + log5 8 )
log2 4 log2 8
log5 25 log5125
=(3log25+ 2 log2 5 + log2 5 )(log52+ 2 log5 2 + 3log5 2 )
2 log2 2 3log2 2
=
lg1.8
=1 .
lg1.8
2lg1.8 2 lg1.8 2
方法技巧 利用对数的运算法则解答问题一般有两种思路: (1)正用公式:将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对 数的和、差、积、商,然后化简求值. (2)逆用公式:将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数 的积、商、幂、方根,然后化简求值.
教学设计3：3.2.1 对数及其运算
3.2.1对数及其运算一、教学内容解析本节课是人教B版第三章第二节对数与对数函数中第一小节对数及其运算的第一课时。
对数对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习了指数和指数函数的有关知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。
本节内容的学习主要是为让学生理解对数的概念，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、教学目标设置通过对本节课教材的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标制定出如下三个方面的教学目标：1、知识与技能目标：理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
2、过程与方法目标：通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
小组交流对对数的理解和认识，培养学生合作学习的能力，使学生经历认知逐渐深入的过程。
3、情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们研究数学问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究以及合作交流的能力。
三、学生学情分析我校在营口市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力很强，思维较活跃。
我校的教学模式为小组合作交流学习模式，学生已经养成了小组合作学习的习惯。
即学生通过预习，结合学案，自主学习、探究的模式。
前面学生已经学习了指数和指数函数的有关知识。
在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学重点是：重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化。
难点：对数概念的理解，对数性质的理解。
四、教学策略分析为了最大程度发挥学生的主观能动性，实践人本教育，我校采用“主动、合作、交流”学习方法学习，把学生分成四人小组，分工合作，进行讨论探究逐渐培养学生“会观察”、 “会分析”、“会论证” 、“会合作”的能力。
学案 4： 3.2.1 对数及其运算
3.2.1 对数及其运算1．对数的概念在指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)中，对于实数集R 内的每一个值x ，在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值y ，在R 内都有唯一确定的值x 和它对应．因此，在式子y ＝a x 中，幂指数x 又叫做以a 为底y 的对数．例如：因为42＝16，所以2是以4为底16的对数；因为41＝4，所以1是以4为底4的对数；因为1214=2，所以－12是以4为底12的对数．一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 对数的定义可以从以下三个方面来理解：(1)对数式b ＝log a N 是指数式N ＝a b 的另一种表达形式，其本质相同．对数式中的真数N 就是指数式中的幂值N ，而对数式中的对数b 就是指数式中的指数b ，对数式与指数式中各个量的关系如图所示．(2)对于对数式b ＝log a N ，只有在a ＞0，且a ≠1，N ＞0时才有意义．①当a ＜0，N 为某些数值时，b 不存在，如(－2)x ＝3没有实数解，所以log (－2)3不存在，为此，规定a 不能小于0，并且由指数函数的定义也可知a 不能小于0. ②当a ＝0，且N ≠0时，log a N 不存在，为此，规定a ≠0.③当a ＝1，且N 不为1时，b 不存在，如log 12不存在；而a ＝1，N ＝1时，b 可以为任何实数，不能确定．为此，规定a ≠1.④在log a N ＝b 中，必须N ＞0.这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而在a b ＝N 中，N 总是正数；0和负数没有对数． (3)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：【例1－1】已知A ．3＝log 7mB ．7＝log 3mC ．m ＝log 73D ．m ＝log 37【例1－2】完成下表指数式与对数式的转换．【例1－3】求下列各式中(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log x 27＝34；(3)x ＝log 84.2．对数恒等式与对数的性质(1)根据对数的定义，可得对数恒等式log a Na N ＝.例如3log 535＝等．需注意，当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式log a NaN ＝才适用．(2)根据对数的定义，对数log a N (a ＞0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N ＞0； ②1的对数为0，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 【例2】已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x 等于( )A ．13B C ．4 D3．常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底数10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log 10N 记作lg N .①以后如果没有特别指出对数的底，都是指常用对数．例如：100的对数是2，就是指100的常用对数是2，即lg 100＝2.②常用对数的性质：(ⅰ)lg 1＝0；(ⅱ)lg 10＝1；(ⅲ)10lg N ＝N (N ＞0)． (2)以e 为底的对数叫做自然对数(其中e ＝2.718 28…)．log e N 通常记作ln N . 自然对数有如下性质：①ln e ＝1；②e ln a ＝a (a ＞0)．【例3】有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④4．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N.对于(1)，又可表述为：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和(简言之：积的对数等于对数的和)．此性质可以推广到若干个正因数的积：log a(N1·N2·…·N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k.(2)log a MN＝log a M－log a N.对于(2)，又可表述为：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数(简言之：商的对数等于对数的差)．(3)log a Mα＝αlog a M.对于(3)，又可表述为：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．由(3)可推出对数的几个常用结论：①log a nM＝1n log a M；②log a1M＝－log a M；③log apM n＝np log a M，其中M＞0，n，p∈N＋，n，p＞1.谈重点牢记对数运算法则及其成立的条件1．要把握好对数运算法则及其成立的条件，特别是经常将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆．注意：log a(MN)≠(log a M)(log a N)；log a(M＋N)≠log a M＋log a N；log a MN≠log a Mlog a N.2．指数与对数运算性质对比表：3积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．【例4－1】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5.【例4－2】已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求.点技巧 巧用常用对数的变形由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论． 5．换底公式(1)设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，得x log a b ＝log a N ，所以x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b .即换底公式：log b N ＝log a N log a b.(2)公式作用：利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，这是解决关于对数运算问题的基本思想方法． 【例5－1】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32C ．1D ．2 【例5－2】计算235111log log log 2589⋅⋅.6．对数定义中的隐含条件根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数．因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．【例6】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是________． 7．对数的化简、求值问题 (1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如log 395＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2.二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数． 如，log 395＋log 35＝log 3⎝⎛⎭⎫95×5＝log 39＝2. 三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式．通常是先分别换底，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等． 【例7】求下列各式的值：；(2)2log 32－332log 9＋log 38－log 5125；(3)log 2(1＋log 2(1．点技巧 对数运算法则的灵活运用利用对数运算法则计算时，通常要将底数、真数进行质因数分解，将不同底数化为同底数，在计算过程中常常会逆用运算法则． 8．利用已知对数表示其他对数用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b .解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式． 对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a MN ＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1；N ＞0)．【例8－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( ) A ．a b a + B ．a b b + C ．a a b + D ．ba b+ 【例8－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)点技巧 巧用换底公式巧用换底公式是解决本题的关键，其中“log 182＝log 18189＝1－log 189＝1－a ”是点睛之笔．9．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程log 64⎝⎛⎭⎫x －1516＝－23，将其化为指数式为2315=6416x --，又223233164=(4)=4=16---，则x －1516＝116，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式[f (x )]b ＝n ，这样解关于x 的方程[f (x )]b ＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1.第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根． 【例9－1】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0.辨误区lg2x与lg x2的区别本题中，易混淆lg2x和lg x2的区别，lg2x表示lg x的平方，即lg2x＝(lg x)2，而lg x2＝2lg x.c的值．【例9－2】设log a c，log b c是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logab【参考答案】【例1－1】 D【解析】由于a x ＝N ⇔x ＝log a N ，则3m ＝7⇔m ＝log 37. 【例1－2】(1)log 101 000＝3；(2)32＝9；(3)2x ＝10. 【解析】(1)103＝1 000⇔log 101 000＝3； (2)log 39＝2⇔32＝9； (3)log 210＝x ⇔2x ＝10.【例1－3】解：(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1.∴x ＝51＝5.(2)∵log x 27＝34，∴34x ＝27.∴x ＝43(27)＝34＝81.(3)∵x ＝log 84，∴8x ＝4.∴23x ＝22.∴3x ＝2，即2=3x . 【例2】 C【解析】由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8.∴124x -. 【例3】 C【例4－1】解：(1)原式＝log 1222＋log 123＝log 124＋log 123＝log 1212＝1. (2)原式＝500lg5＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2.【例4－2】解：∵121lg 45=lg 452＝12lg(5×9)＝12(lg 5＋lg 9) ＝12210lg lg 32⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)， 又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，∴lg 45＝12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6.【例5－1】 A【解析】思路一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8===lg 3log 33lg 2lg 33lg 2⋅. 思路二：将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log 9log 9log 82log 32===log 3log 33log 33. 【例5－2】解：原式＝111lglg lg2lg53lg 22lg312lg5lg 2lg32589==lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝－12.【例6】 (－2,0)∪(0,1)【解析】根据对数的定义，得20,10,11,a a a +>⎧⎪->⎨⎪-≠⎩解得－2＜a ＜0或0＜a ＜1.【例7】解：(1)原式＝33322333lg33lg2(lg32lg21)lg3lg2lg103222===34lg32lg21lg32lg212lg 10+-+-+-⨯+-+-.(2)原式＝2log 32－(log 325－log 332)＋log 323－log 553＝2log 32－(5log 32－2)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(3)log 2(1＋log 2(1＝log 2[(1＝log 2[(12－)2]＝2log ＝322log 2＝32. 【例8－1】 B【解析】由换底公式得3lg 6lg(23)lg 2lg 3log 6====lg 3lg 3lg 3a bb⨯++. 【例8－2】解：∵18b ＝5，∴b ＝log 185. ∴1818181836181818181818log 45log (59)log 5log 9log 45======18log 36log (218)log 2log 181log 221log 9a b a b a ba ⨯++++⨯++-+【例9－1】解：原方程可化为lg2x－2lg x－3＝0. 设lg x＝t，则有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3，∴lg x＝－1或3，解得1=10x或x＝1 000，经检验1=10x，x＝1 000均符合题意，所以原方程的根是1=10x，或x＝1 000.【例9－2】解：∵log a c，log b c是方程x2－3x＋1＝0的两根，∴log log=3,log log=1.a ba bc cc c+⎧⎨⋅⎩∴11=3,log loglog log=1,c cc ca ba b⎧+⎪⎨⎪⋅⎩即log log=3,log log=1.c cc ca ba b+⎧⎨⋅⎩∴11log==log loglogac cbcca a bb-5±.。
(统编版)2020高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算同步训练新人教B版必修2
3.2.1 对数及其运算5分钟训练1.对数式x=ln2化为指数式是( ) A.x e =2 B.e x=2 C.x 2=e D.2x=e 答案：B2.以下说法不正确的是( )A.0和负数没有对数B.对数值可以是任意实数C.以a(a ＞0,a≠1)为底1的对数等于0D.以3为底9的对数等于±2 答案：D3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 答案：C 4.log 2487+log 212-21log 242=_____________.答案：21- 解法一：487log 2+log 212-21log 242 =21(log 27-log 248)+log 24+log 23-21log 26-21log 27 =21-log 21621-log 23+2+log 23-2121-log 23=21-.解法二：原式=log 2(21)67112347(-=⨯⨯⨯.10分钟训练 1.式子)5log 211(22+的值为( )A.52+B.52C.2+25 D.1+25答案：B 解析：原式=5222)52(log )5log 1(22==+.2.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N 答案：D解析：在对数运算的性质中，与A 类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中的lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2NMN M 3log =，所以M=N. 3.已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得0112.02.11100011=-ba =1 000.∴ba 11-=1. 解法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011 2=3，∴b a 11-=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 4.若lnx-lny=a,则ln(2x )3-ln(2y )3等于( )A.2aB.aC.23aD.3a答案：D 解析：ln(2x )3-ln(2y )3=3(ln 2x -ln 2y)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a. 5.已知lg6=0.778 2,则102.778 2=______________.答案：600解析：∵lg6=0.778 2,∴100.778 2=6.∴102.778 2=102·100.778 2=100×6=600.6.(1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36; (2)已知log 32=a,3b=5,用a 、b 表示log 330. 解：(1)∵3a=2,∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. (2)∵3b=5, ∴b=log 35. 又∵log 32=a,∴log 330=21log 3(2×3×5) =21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 30分钟训练1.已知a 、b 、c 为非零实数，且3a =4b =6c，那么( ) A.b ac 111+= B.ba c 122+=C.b ac 221+= D.ba c 212+= 答案：B解析：设3a=4b=6c=k ，则a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ，得a 1=log k 3，b1=log k 4，c 1=log k 6.所以ba c 122+=. 2.设x 、y 为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x| A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C解析：①②③不一定成立，④一定成立.3.(探究题)已知f(x 6)=log 2x,那么f(8)的值为( ) A.34 B.8 C.18 D.21 答案：D解析：设t=x 6,则x=61t ,所以f(t)=log 261t ,f(8)=log 2212log 821261==. 4.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f （91）］的值是( )A.9B.91C.-9D.91- 答案：B 解析：f(91)=log 391=-2，f(-2)=3-2=91.5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x ＞1},在映射f:M→N 作用下,点(x,y)与点(log 2x,log 2y)相对应,设u=log 2x,v=log 2y,则N 的集合为( ) A.{(u,v)|u+v=0} B.{(u,v)|u+v=0,u ＞0} C.{(u,v)|u+v=1} D.{(u,v)|u+v=1,v ＞0} 答案：B解析：∵x＞1,∴log 2x ＞0. 又∵xy=1,∴x=y1. 于是log 2x=log 2y1=-log 2y, 从而log 2x+log 2y=0.6.已知log 23=a,log 37=b,则log 1456=_________________. 答案：abab++13解析：由log 23=a,log 37=b,得log 27=ab.log 1456=abab++=++=⨯⨯=137log 17log 3)72(log )87(log 14log 56log 222222.7.式子n a n ana aa a 1log 1log log ++(a ＞0,a≠1)的化简结果是_______________. 答案：-n解析：原式=n aaa na na na 1log log log 11=++--log a a-nlog a a-n 1log a a=n 1-n-n1=-n. 8.已知a 、b 均为正实数,且a 2+b 2=7ab,试证明213lg =+b a (lga+lgb). 证明：∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab.∵a＞0,b ＞0,∴ab ba =+3. ∴21lg 3lg ==+ab b a (lga+lgb).9.已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解：∵二次函数f(x)有最大值,∴lga＜0.又［f(x)］max =aa a a lg 1lg 4lg 44lg 162-=-=3,∴4lg 2a-3lga-1=0. ∴lga=1或lga=41-. ∵lga＜0, ∴lga=41-. ∴a=4110-.10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解：设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2，由题意得⎩⎨⎧==,lg 5.8,lg 2.821N N 因此lgN 2-lgN 1=0.3， 即12lgN N =0.3，∴12N N =100.3≈2. 因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。
19-20版：第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数（创新设计）
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
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5.已知 2m＝5n＝10，则m1 ＋1n＝__1__. 解析 因为m＝log210，n＝log510， 所以m1 ＋1n＝log102＋log105＝lg10＝1.
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第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
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课堂小结
1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正 用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是 利用对数的运算性质进行对数式的化简.
自主学习，积淀基础 题型剖析，互动探究 自主反馈，检测成效
课前预习
自主学习，积淀基础
[知识链接] 在指数的运算性质中： am·an＝am＋n；aamn ＝am－n；(am)n＝amn.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
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[预习导引]
1.对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.那么：
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课堂反馈
课堂达标
自主反馈，检测成效
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1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( C )
A.logax·logay＝loga(x＋y) C.longax＝logan x
B.(logax)n＝nlogax D.llooggaaxy＝logax－logay
解析 根据对数的运算性质知，C正确.
a＋b
a＋b
解得
x＝ ，即 2－a
log3645＝2－a.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
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规律方法 1.利用换底公式可以把不同底的对数化为 同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形 应用. 2.题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对 数式进行互化、统一成一种形式.
高中数学苏教版必修一学案：3.2.1 第2课时 对数的运算及换底公式
第2课时对数的运算及换底公式学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件(重、难点)；2.掌握换底公式及其推论(难点)；3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值(重点)．预习教材P75－78，完成下面问题：知识点一对数运算性质一般地，如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N.【预习评价】1．有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的结论，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？提示有．例如，设log a M＝m，log a N＝n，则a m＝M，a n＝N，∴MN＝a m·a n＝a m＋n，∴log a(MN)＝m＋n＝log a M＋log a N，得到的结论log a(MN)＝log a M＋log a N 可以当公式直接进行对数运算．2．log24，log28，log232之间存在什么关系？提示log24＋log28＝log232＝log2(4×8)，log2328＝log24＝log232－log28，log2324＝log28＝log232－log24.知识点二换底公式一般地，对数换底公式log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1)；特别地：log a b·log b a＝1(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)．【预习评价】思考假设log25log23＝x，则log25＝x log23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？提示把3x＝5化为对数式为：log35＝x，又因为x＝log25log23，所以得出log35＝log25log23的结论．知识点三常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b＝1log b a；(2)log a b·log b c·log c a＝1；(3) ＝log a b；(4)＝mn log a b；(5)＝－log a b. 【预习评价】判断log9(x＋5)＝12log3(x＋5)．()提示√题型一积商幂的对数运算【例1】化简log a x2y 3z.解∵x2y3z＞0且x2＞0，y＞0，∴y＞0，z＞0.log a x2y3z＝log a(x2y)－log a3z＝log a x2＋log a y－log a 3 z＝2log a|x|＋12log a y－13log a z.规律方法使用公式要注意成立条件，log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的．log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N .【训练1】 已知y ＞0，化简log a x yz . 解 ∵x yz ＞0，y ＞0，∴x ＞0，z ＞0.∴log a x yz ＝log a x －log a (yz )＝12log a x －log a y －log a z .题型二 利用换底公式化简、求值【例2】 计算：(1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)．解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2.(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·＝(3＋1＋13)log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．(2)常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，＝m n log a b ，log a b ＝1log b a 等． 【训练2】 (1)(log 29)·(log 34)＝________.(2)log 2125·log 318·log 519＝________.解析 (1)(log 29)·(log 34)＝(log 232)·(log 322)＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4.(2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5＝(－2lg 5)·(－3lg 2)·(－2lg 3)lg 2lg 3lg 5＝－12. ★★答案★★ (1)4 (2)－12互动 题型三 换底公式、对数运算性质综合运用【探究1836解 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .【探究2】 设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．解 由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b ＝log 364，∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1.【探究3】 已知2x ＝3y ＝5z，且1x ＋1y ＋1z ＝1，求x ，y ，z . 解 令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 5，由1x ＋1y ＋1z ＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1，∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56.【探究4】 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x y 的值．解 由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为(x y )2－5x y ＋4＝0，解得x y ＝1或x y ＝4.又x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2，∴x y ＝4，∴log 2x y ＝log 24＝log 216＝4.规律方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．(2)对于这类连等式可令其等于k (k ＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.课堂达标1．lg 8＋3lg 5的值为________．解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3.★★答案★★ 32．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则(lg a b )2的值是________．解析 lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.★★答案★★ 23．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81.★★答案★★ 814．已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n ＝________.解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n ＝log 102＋log 105＝lg 10＝1.★★答案★★ 15．计算：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 27＋lg 8－31g 10lg 1.2.解(1)方法一lg 14－2lg 7 3＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.方法二lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg(73)2＋lg 7－lg 18＝lg14×7(73)2×18＝lg 1＝0.(2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a(MN)＝log a M·log a N，③log a M±log a N＝log a(M±N).。
高中数学三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算
3.2.1 对数及其运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质．2．掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质．3．准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题．4．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识．5．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性． 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用． 课时安排3课时教学过程第1课时 对数概念导入新课思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．①取4次，还有多长？②取多少次，还有0.125尺？(2)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：①(12)4＝？(12)x＝0.125 x ＝？②(1＋8%)x＝2 x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．推进新课新知探究提出问题错误!活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点．对问题②，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标．对问题③，定义一种新的运算．对问题④，借助③，类比到一般的情形．讨论结果：①如下图．②在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．③1813＝1.01x ，2013＝1.01x ，3013＝1.01x，在这几个式子中，要求x 分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，用符号“log”表示对数，即若1813＝1.01x，则x 总以1.01为底的1813的对数就可写成x ＝log 1.011813.其他的可类似得到，x ＝log 1.012013，x ＝log 1.013013，这种运算叫做对数运算．④一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N ，即b ＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．实质上，上述对数表达式，不过是指数式N ＝a b的另一种表达形式． 由此得到对数和指数幂之间的关系：a Nb 指数式a b＝N 底数 幂 指数 对数式log a N ＝b对数的底数真数对数例如：42＝16⇔2＝log 416；102＝100⇔2＝log 10100；214＝2⇔12＝log 42；10－2＝0.01－2＝log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a>0，且a≠1？②根据对数定义求log a 1和log a a a>0，且a≠1的值.③负数与零有没有对数？④alogaN＝N 与log a a b＝ba>0，且a≠1是否成立？⑤什么是常用对数？讨论结果：①这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log (－2)12；若a ＝0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a ＝1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值．综之，就规定了：a ＞0，且a≠1.②log a 1＝0，log a a ＝1.因为对任意a ＞0，且a≠1，都有a 0＝1，所以log a 1＝0. 同样易知：log a a ＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.③因为底数a ＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R ，a b＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数． ④因为a b＝N ，所以b ＝log a N ，a b＝alogaN＝N ，即alogaN＝N.因为a b＝a b，所以log a a b＝b.故两个式子都成立．(alog a N ＝N 叫对数恒等式)常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5；log 103.5简记作lg3.5.例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10.应用示例思路1例1求log 22，log 21，log 216，log 212.解：因为21＝2，所以log 22＝1； 因为20＝1，所以log 21＝0； 因为24＝16，所以log 216＝4； 因为2－1＝12，所以log 212＝－1.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．例2求lg10，lg100，lg0.01. 解：因为101＝10，所以lg10＝1； 因为102＝100，所以lg100＝2； 因为10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5. 解：用科学计算器计算：所以lg2 001≈3.301 2，lg0.061 8≈－1.209 0， lg0.004 5≈－2.346 8，lg395.6≈2.598 2.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是( )(1)若log 5x ＝3，则x ＝15 (2)若log 25x ＝12，则x ＝5 (3)若log x 5＝0，则x ＝ 5 (4)若log 5x ＝－3，则x ＝1125A ．(2)(3)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义．解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果． 对于(1)，因为log 5x ＝3，所以x ＝53＝125，错误； 对于(2)，因为log 25x ＝12，所以x ＝2512＝5，正确；对于(3)，因为log x 5＝0，所以x 0＝5，无解，错误； 对于(4)，因为log 5x ＝－3，所以x ＝5－3＝1125，正确．总之(2)(4)正确．答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2计算：(1)log 927；(2) 43log 81；(3)log (2＋3)(2－3)；(4) 345log625.活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法． 解法一：(1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，所以x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则(43)x＝81,43x ＝34，所以x ＝16.(3)令x ＝log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1，所以(2＋3)x＝(2＋3)－1，x ＝－1. (4)令x ＝345log625，所以(354)x＝625,x 345＝54，x ＝3.解法二：(1)log 927＝log 933＝log 9932＝32.(2) 43log 81＝43log (43)16＝16.(3)log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(4) 345log625＝345log(354)3＝3.点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据.知能训练1．把下列各题的指数式写成对数式：(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝19；(7)(14)－2＝16. 解：(1)2＝log 416；(2)0＝log 31；(3)x ＝log 42；(4)x ＝log 20.5；(5)4＝log 5625；(6)－2＝log 319；(7)－2＝log 1416.2．把下列各题的对数式写成指数式：(1)x ＝log 527；(2)x ＝log 87；(3)x ＝log 43；(4)x ＝log 713；(5)log 216＝4；(6) 31log 27＝－3；(7) 3log x ＝6；(8)log x 64＝－6；(9)log 2128＝7；(10)log 327＝a.解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝13；(5)24＝16；(6)(13)－3＝27；(7)(3)6＝x ；(8)x －6＝64；(9)27＝128；(10)3a＝27.3．求下列各式中x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x)＝1；(4)log 3(lgx)＝0.解：(1)因为log 8x ＝－23，所以x ＝8－23＝(23)－23＝23×(－23)＝2－2＝14； (2)因为log x 27＝34，所以43x ＝27＝33，即x ＝(33)34＝34＝81；(3)因为log 2(log 5x)＝1，所以log 5x ＝2，x ＝52＝25； (4)因为log 3(lgx)＝0，所以lgx ＝1，即x ＝101＝10. 4．(1)求log 84的值；(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值．解：(1)设log 84＝x ，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，所以x ＝23，即log 84＝23； (2)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，根据对数的定义有a m＝2，a n＝3， 所以a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝(2)2·3＝4×3＝12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．拓展提升对于a ＞0，a≠1，下列结论正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N (2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N (3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N (4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2A．(1)(3) B．(2)(4)C．(2) D．(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价．回想对数的有关规定．对(1)若M＝N，当M为0或负数时log a M≠log a N，因此错误；对(2)根据对数的定义，若log a M＝log a N，则M＝N，正确；对(3)若log a M2＝log a N2，则M＝±N，因此错误；对(4)若M＝N＝0时，则log a M2与log a N2都不存在，因此错误．综上，(2)正确．答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．备课资料[备选例题]例1将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值． (1)215－＝15；(2) 2log 4＝x ；(3)3x＝127；(4)(14)x＝64；(5)lg0.000 1＝x.解：(1) 215－＝15化为对数式是log 515＝－12；(2)x ＝2log 4化为指数式是(2)x＝4，即22x ＝22，x2＝2，x ＝4；(3)3x＝127化为对数式是x ＝log 3127，因为3x＝(13)3＝3－3，所以x ＝－3；(4)(14)x ＝64化为对数式是x ＝log 1464，因为(14)x ＝64＝43，所以x ＝－3；(5)lg0.000 1＝x 化为指数式是10x＝0.000 1， 因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x ＝－4. 例2计算3log35＋3log315的值．解：设x ＝log 315，则3x＝15，(312)x ＝21)51(－，所以x ＝3log15. 所以3log 35＋3log 315＝5＋33log15＝5＋15＝655.例3计算a logab·logbc·logcN(a ＞0，b ＞0，c ＞0，N ＞0)．解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.(设计者：路致芳)第2课时 积、商、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化． a b＝N log a N ＝b. 3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式alog a N ＝N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕．思路 2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n＝a mn；ma n＝a nm.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课新知探究提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道a m＝M，a n＝N，a m·a n＝a m＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.,5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m·a n＝a m＋n，设M＝a m，N＝a n，于是MN＝a m＋n，由对数的定义得到M＝a m⇔m＝log a M，N＝a n⇔n＝log a N，MN＝a m＋n⇔m＋n＝log a MN，log a(MN)＝log a M＋log a N.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n，所以m －n ＝log a M N .又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N.所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN，即log a MN＝log a M －log a N.设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义， 所以log a M ＝m ，log a M n＝mn.所以log a M n＝mn ＝nlog a M ，即log a M n＝nlog a M. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN)＝log a M ＋log a N ，① log a MN ＝log a M －log a N ，②log a M n＝nlog a M(n∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0.(6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a≠1，M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0)． (7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例思路1例1用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a (x 3y 5)；(3)log a x yz ；(4)log a x 2y 3z .解：(1)log a xyz ＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y ；(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a 21x －(log a y ＋log a z)＝12log a x－log a y －log a z ； (4)log ax2y 3z＝log a (x 221y 31－z)＝log a x 2＋log a 21y ＋log a 31－z＝2log a x＋12log a y －13log a z.点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.例2计算：(1)lg 5100；(2)lg4＋lg25；(3)(lg2)2＋lg20×lg5.解：(1)lg 5100＝15lg100＝25；(2)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2；(3)(lg2)2＋lg20×l g5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.解：(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52. (3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝lg(33)12＋lg23－3lg(10)12lg3×2210 ＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32. 思路2例1：求下列各式的值．(1)log 525；(2)log 0.41；(3)log 2(47×25)． 解法一：(1)log 525＝log 552＝2； (2)log 0.41＝0；(3)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19.解法二：(1)设log 525＝x ，则5x＝25＝52，所以x ＝2； (2)设log 0.41＝x ，则0.4x ＝1＝0.40，所以x ＝0； (3)log 2(47×25)＝log 2(214×25)＝log 2219＝19，或log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 222＋log 225＝2×7＋5＝19. 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式.例2计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．(1)解法一：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－34232lg＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.(2)解法一：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.解法二：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(1－lg5)2＝2lg10＋lg5[2(1－lg5)＋lg5]＋(1－lg5)2＝2＋lg5(2－lg5)＋(1－lg5)2＝2＋2lg5－(lg5)2＋1－2lg5＋(lg5)2＝3.(3)解法一：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝lg 18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12. 解法二：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg3－12lg 1810＝12lg2＋lg3－122lg3＋lg2－1＝122lg3＋lg2－12lg3＋lg2－1＝12. 点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值. 变式训练 计算：(1)2log 510＋log 50.25；(2)2log 525＋3log 264；(3)log 2(log 216)． 解：(1)因为2log 510＝log 5102＝log 5100，所以2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 552＝2log 55＝2.(2)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4,3log 264＝3log 226＝18log 22＝18，所以2log 525＋3log 264＝22.(3)因为log 216＝log 224＝4，所以log 2(log 216)＝log 24＝log 222＝2.知能训练1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y)，log a (x －y)表示下列各式： (1)log a 3x y 2z ；(2)log a (x·4z 3y 2)；(3)log a (xy 12z －23)；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a (x ＋y x －y ·y)；(6)log a [y xx －y ]3. 解：(1)log a 3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z) ＝13log a x －2log a y －log a z. (2)log a (x·4z 3y 2)＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z. (3)log a (xy 12z －23)＝log a x ＋log a y 12＋log a z －23＝log a x ＋12log a y －23log a z.(4)log a xy x 2－y 2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)(x －y)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)－log a (x －y)．(5)log a (x ＋y x －y ·y)＝log a x ＋y x －y＋log a y ＝log a (x ＋y)－log a (x －y)＋log a y.(6)log a [y x(x －y)]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y)]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y)．2．已知f(x 6)＝log 2x ，则f(8)等于( )A.43 B ．8 C ．18 D.12解析：因为f(x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝632＝212，所以f(8)＝log 2212＝12. 另解：因为f(x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f(x)＝16log 2x. 所以f(8)＝16log 28＝16log 223＝12. 答案：D3．若a ＞0，a≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子正确的个数为( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y) ②log a x －log a y ＝log a (x －y)③log a x y＝log a x÷log a y ④log a (xy)＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A4．若a ＞0，a≠1，x ＞y ＞0，n∈N ＋，下列式子正确的个数为( )①(log a x)n ＝nlog a x ②(log a x)n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x log a y ＝log a x y ⑤n log a x ＝1n log a x ⑥1nlog a x ＝log a n x ⑦log a x n＝nlog a x ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B5．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lgI ，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6.9＝0.6lgI 1，7.8＝0.6lgI 2.因此0.6(lgI 2－lgI 1)＝0.9，即lg I 2I 1＝1.5.所以I 2I 1＝101.5≈32. 因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．拓展提升已知x 、y 、z ＞0，且lgx ＋lgy ＋lgz ＝0，求x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy的值． 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz ＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy ＝t ，则lgt ＝(1lgy ＋1lgz )lgx ＋(1lgz ＋1lgx )lgy ＋(1lgx ＋1lgy)lgz ＝lgx lgy ＋lgx lgz ＋lgy lgz ＋lgy lgx ＋lgz lgx ＋lgz lgy ＝lgx ＋lgz lgy ＋lgx ＋lgy lgz ＋lgy ＋lgz lgx＝－lgy lgy ＋－lgz lgz ＋－lgx lgx ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求． 课堂小结1．对数的运算法则．2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本本节练习B 1、2、3.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．备课资料[备选例题]例 已知a 、b 、c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c . 活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a 、b 、c 的关系，不妨设3a ＝4b ＝6c＝k(k ＞0)，则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．证法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k ＞0.由对数的定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则左边＝2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36，右边＝2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，所以2a ＋1b ＝2c. 证法二：对3a ＝4b ＝6c 同时两边取常用对数得lg3a ＝lg4b ＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6.所以c a ＝lg3lg6＝log 63，c b ＝lg4lg6＝log 64.又2c a ＋c b＝log 6(9×4)＝2，所以2a ＋1b ＝2c. 点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．(设计者：卢岩冰)第3课时 换底公式与自然对数导入新课 思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a≠1，c ＞0，且c≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a.教师直接点出课题．思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题． 推进新课新知探究提出问题①已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？⑦什么是自然对数，如何用计算器计算自然对数？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用．讨论结果：①因为lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3. 不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1,100.301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg3lg2.因此log 23＝lg3lg2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，xlog a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2， 也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x ＝log c b xlog c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a≠1，b ＞0，c ＞0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商． ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg3lg2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．⑦在科学技术中，常常使用以无理数e ＝2.718 28…为底的对数．以e 为底的对数叫做自然对数．logeN 通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN ＝lgN lge ≈lgN 0.434 3，即lnN≈2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数．例如，求ln34(精确到0.000 1)，可用科学计算器计算如下：所以ln34≈3.526 4.应用示例思路1 例1求下列各式的值： (1)log 89·log 2732的值；(2)ln1.解：(1)log 89·log 2732＝lg9lg8×lg32lg27＝2lg33lg2×5lg23lg3＝23×53＝109. (2)因为e 0＝1，所以ln1＝0.例2 (1)求证：log x ylog y z ＝log x z.证明：因为log x ylog y z ＝log x y log x z log x y ＝log x z ，所以log x ylog y z ＝log x z.(2)求证：log an b n＝log a b.证明：因为log an b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a b nlog a a＝log a b ，所以log an b n ＝log a b. 点评：本题的结论可作为公式直接应用.思路2例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a 、b 表示log 4256.(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log 23＝a ，则1a＝log 32， 又因为log 37＝b ，所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p.所以log 32＝13p. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.例2设x 、y 、z∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z；(2)比较3x 、4y 、6z 的大小． 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x 、y 、z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x 、y 、z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x 、y 、z∈(0，＋∞)，所以k ＞1.取对数，得x ＝lgk lg3，y ＝lgk lg4，z ＝lgk lg6， 所以1x ＋12y ＝lg3lgk ＋lg42lgk ＝2lg3＋lg42lgk ＝2lg3＋2lg22lgk ＝lg6lgk ＝1z， 即1x ＋12y ＝1z. (2)解：因为3x －4y ＝(3lg3－4lg4)lgk ＝lg64－lg81lg3·lg4lgk ＝lgk·l g 6481lg3·lg4＜0，所以3x ＜4y.又因为4y －6z ＝(4lg4－6lg6)lgk ＝lg36－lg64lg2·lg6lgk ＝lgk·l g 916lg2·lg6＜0， 所以4y ＜6z.所以3x ＜4y ＜6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析． 例3已知log a x ＝log a c ＋b ，求x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a logac ＋b ＝a logac ·a b ＝c·a b. 解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c＝b ，由对数定义，知x c＝a b ， 所以x ＝c·a b.解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c·a b . 所以x ＝c·a b .点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( ) A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y)＝lgx ＋lgy ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg12.5－lg 58＋lg0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1 拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以xlog c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a. 故log a N ＝log c N log c a .证法二：由对数恒等式，得N ＝alog a N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n＝c mn .两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c≠1，a ＞0且a≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用．前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M. 课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a ＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明． 作业1．已知271log 17＝a ，31log 15＝b ，求log 81175的值． 解：因为271log 17＝log 277＝13log 37＝a ， 所以log 37＝3a. 又因为31log 15＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝nlog 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边． 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料。
3.2.1 对数及其运算(二) 学案(人教B版必修1)
3.2.1 对数及其运算(二)自主学习学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝________________；(2)log a M N＝________； (3)log a M n ＝________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________.3．自然对数(1)以________________为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作________．(2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈____________.对点讲练知识点一 正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④知识点二 对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.知识点三 换底公式的应用例3 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ；(2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝__________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.3．2.1 对数及其运算(二)答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a3．(1)无理数e ＝2.718 28… ln N(2)2.302 6lg N对点讲练例1 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]例2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.例3 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010 ＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数 第2课时 对数的运
第2课时 对数的运算性质及换底公式1.了解对数的换底公式．2.理解对数的运算性质．3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．[学生用书P49]1．如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式一般地，称log a N ＝log c Nlog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)为对数的换底公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12 C ．1 D ．2答案：A3．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea＝________．答案：(1)12(2)0.84.log 29log 23＝________． 答案：2对数的运算性质及应用[学生用书P49]计算下列各式：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.【解】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．1.计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解：(1)法一：原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1] ＝lg (5×2×1012×102) ＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.法二：原式＝2log 32－()5log 32－2＋3log 32－3 ＝2－3＝－1.换底公式的应用[学生用书P50](1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)． 【解】 (1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.(2)法一：因为18b＝5，所以log 185＝b ， 又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.法二：因为log 189＝a ，18b＝5，所以lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.法三：因为log 189＝a ，所以18a＝9. 又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a ＋b.令log 3645＝x ，则36x＝45＝18a ＋b，即36x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫183·183x＝18a ＋b.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1829x＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a.(1)具有换底功能的另两个结论：①log a c ·log c a ＝1，②log an b n＝log a b .(a ＞0且a ≠1，b ＞0，c ＞0且c ≠1)(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．2.(1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________．(2)计算：log22＋log 279＝________．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56.(2)原式＝log 22log 2212＋log 332log 333＝112＋23＝2＋23＝83.答案：(1)56 (2)83对数的综合应用[学生用书P50]若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 【解】 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b 求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．3.(1)方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．(2)已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 解：(1)原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)， 即x 2－x －2＝0， 解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0， 故方程的解是x ＝2.故填x ＝2. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2.1．对对数的运算性质的理解(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． (3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a M N＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍． 2．关于换底公式的两点说明(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2a b的值． [解] 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )， 所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0， 所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2a b＝log 24＝2.(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解． (2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3D ．12 解析：选C.原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析：选A.log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2. 3．(1)log 52·log 79log 513·log 734＝________．(2)log 2()3＋5－ 3－5＝________．解析：(1)原式＝log 132·log 349＝12lg 2－lg 3·2lg 323lg 2＝－32.(2)原式＝12log 2(3＋5－ 3－5)2＝12log 2[]（3＋5）＋（3－5）－2（3＋5）（3－5） ＝12log 2(6－4) ＝12log 22＝12. 答案：(1)－32 (2)124．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz ); (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z； (4)lg x y 2z .解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ；(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ；(3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z ；(4)lgx y 2z＝lg x －lg(y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg125＝lg1 000＝3. 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12B ．9C ．18D ．27解析：选B.由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝log 416＝log 442＝2， 所以lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9，选B.3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 解析：选D.因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B ．a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－aD ．a ＋2b1－a解析：选C.log 512＝lg 12lg 5＝lg （22×3）lg （10÷2）＝lg 22＋lg 3lg 10－lg 2＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .故选C.5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A.因为2x＝3，所以x ＝log 23. 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．已知m >0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100.所以x ＝0. 答案：07．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝58．已知2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：m ＝log 236，n ＝log 336，所以1m ＝log 362，1n ＝log 363，所以1m ＋1n ＝log 366＝12.答案：129．计算下列各式：(1)lg 8＋log 39＋lg 125＋log 319；(2)[log 2(log 216)](2log 36－log 34)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 8＋lg 125＋log 39＋log 319＝lg(8×125)＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫9×19＝lg 1 000＋log 31＝3＋0＝3. (2)原式＝(log 24)(log 336－log 34)＝2log 3364＝2log 39＝4.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 460lg 153－210×2－11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－1－12＝－32.10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2. 经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x＝log 41－x 2x ＋1. 整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0. 当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.[B 能力提升]1.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________． 解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1252.计算log 8(log 242)的值为________．解析：log 8(log 242)＝log 814＝－2log 82＝－23. 答案：－233．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________． 解析：原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132， 整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0， 即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0；解得log b a ＝2或log b a ＝16， 所以b 2＝a 或b 16＝a ， 即b ＝a 或b ＝a 6.答案： b ＝a 或b ＝a 64．(选做题)已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(lg E －11.4)， 得32R ＋11.4＝lg E ， 故E ＝10(32R ＋11.4)．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010， 即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．。
3.2.1对数及其运算
2.不查表,求值. 不查表,求值 不查表
(1).(log 4 3 + log8 3)(log 3 2 + log 9 2) log 1 2
2 5 4
5 — 2
(2). lg 5. log
10
20 + lg 2
4 — 3
(
2
) 3
2
log 3 2 1
能力拓展
(1)已知 log16 3 = m,试用m表示 log 9 16.
2
( 2 ) log 2 128 = 7
1 = 16 2 2 7 = 128
1 2 = 4 1 4 3 = 81
2
4
1 (3) log 2 = 2 4 1 ( 4 ) log 3 = 4 81
求下列各式的值: 例3 求下列各式的值
(1) log264; (2) log3 9 .
1 ___
=4/3 =3
(3)(log 2 125 + log 4 25 + log8 5) (log125 8 + log 25 4 + log 5 2)
=13
例10
已知 log18 2 = a,试用a表示 log 3 2
log 3 2 log 3 2 = 解: 由 log18 2 = log 3 (2 × 9) log 3 18
a (1 + 8%) x = 2a a1.08 x = 2a 即:. 08 x = 2 x = ?? 1
?
1.对数的概念 1.对数的概念
对于实数集R 在指数函数y=a 中,对于实数集R内的 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y x,在正实数集内都有唯一确定的值 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应; 和它对应;
课件4：3.2.1 对数及其运算 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
已知 2lg(3x－2)＝lgx＋lg(3x＋2)，
求 logx 2 2 2的值． [解析] 由 2lg(3x－2)＝lgx＋lg(3x＋2)，得 lg(3x－2)2
＝lg[x(3x＋2)]，∴(3x－2)2＝x(3x＋2)，即 3x2－7x＋2＝0，
解得 x＝13或 x＝2.
当 x＝13，3x－2<0(舍去)，∴x＝2.
故 logx
2
2
7
2＝log228
＝78log22＝78.
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
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第三章 基本初等函数(Ⅰ)
数学表达式
自然语言
loga(MN)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN_
loga(N1·N2·…·Nk) ＝
正因数积的对数等于同一底
l_o_g_a_N_1_＋__lo_g_a_N_2_＋__…__＋__l_o_g_a_Nk 数的各因数__的__对__数__的__和____
(Ni＞0，i＝1,2，…k)
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
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即 lga＋lgb＝2，lga·lgb＝12. ∴(lga＋lgb)·(llggba＋llggab) ＝lga＋lgblg[al·glgab2＋lgb2] ＝(lga＋lgb)lga＋lglgba2·－lgb2lga·lgb ＝2×22－12×12＝12.
logaMN ＝__l_o_g_aM__－__l_o_g_aN__
2020年苏教版高一数学必修1课后练习题：3.2.1对数第2课时(含答案)
对数的运算性质练习1．下列四个命题中，是真命题的有__________．①lg 2lg 3＝lg 5；②lg23＝lg 9；③若log a M＋N＝b，则M＋N＝a b；④若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.2．对于a＞0，a≠1，下列说法中正确的是__________．①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M2＝log a N2，则M ＝N；④若M＝N，则log a M2＝log a N2.3．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝__________.4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝__________.5．已知log b x－log b y＝a，则log b5x3－log b5y3＝______.6．设a＞0，234=9a，则23log a＝__________.7．已知11.2a＝1 000,1.12b＝1 000，则11a b-＝____.8．已知函数f(x)满足：当x≥4时，1()=2xf x⎛⎫⎪⎝⎭；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__________.9．若函数y＝x2＋(log2N)x＋log2N有最小值54-，求正数N.10．设p，q满足log9p＝log12q＝log16(p＋q)，求qp的值．11．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出声压级y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？(3)假设某会场内掌声的声压级为90分贝，求声压P.参考答案1．解析：本题易错选①或②或③.主要原因是对对数函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与①类似的一个错误的等式是lg 2＋lg 3＝lg 5；②中的lg 23表示(lg 3)2，它与lg 32＝lg 9意义不同；③中的log a M ＋N 表示(log a M )＋N ，它与log a (M ＋N )意义不同；④中等式可化为log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M MN N=，所以M ＝N . 答案：④2．解析：在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以只有②正确．答案：②3．解析：令x 5＝t ，则15x t ==.所以151()=lg =lg 5f t t t ．则f (2)＝15lg 2. 答案：15lg 2 4．解析：log 36＝lg6lg2+lg3==lg3lg3a b b+. 答案：a b b+ 5．解析：原式＝(log b 5＋log b x 3)－(log b 5＋log b y 3)＝3log b x －3log b y ＝3a . 答案：3a6．解析：由条件得33242==93a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23log =3a答案：37．解析：由条件得a ＝log 11.21 000＝3lg11.2，b ＝log 1.121 000＝3lg1.12，从而11a b -＝lg11.2lg1.121=333-. 答案：138．解析：∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23+log 312⎛⎫⎪⎝⎭＝23log 31122⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝111=8324⨯.答案：1249．解：y ＝x 2＋(log 2N )x ＋log 2N ＝(x ＋12log 2N )2－14(log 2N )2＋log 2N .所以x ＝－12log 2N 时，y m in ＝log 2N －14(log 2N )2， 即log 2N －14(log 2N )2＝54-.所以(log 2N ＋1)(log 2N －5)＝0.所以log 2N ＝－1或log 2N ＝5. 从而N ＝12或N ＝32. 10．分析：题目中的已知条件是对数式等式，欲求结论是qp的值，因此需要中间量把对数式化为指数式，得关于q p 的一元二次方程，再由求根公式求得qp的值．解：设log 9p ＝log 12q ＝log 16(p ＋q )＝k ，∴p ＝9k ，q ＝12k ，p ＋q ＝16k .∴16k ＝12k ＋9k.∴169k ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋129k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴243k ⎛⎫ ⎪⎝⎭－43k⎛⎫⎪⎝⎭－1＝0. 设43k⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x ，x ＞0，则x 2－x －1＝0，解得1=2x ±.∵x ＞0，∴1=2x .又∵124==93kk k q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1=2q p +.11．分析：(1)由已知条件即可写出声压级y 与声压P 之间的函数关系式；(2)由函数关系式求得当P ＝0.002帕时，声压级y 的值，由此可判断所在区的声音环境；(3)实际上是已知y 的值求P 的值，代入函数关系式，解对数方程可得声压．解：(1)由已知得020l P y gP =(其中P 0＝2×10－5)． (2)当P ＝0.002帕时，50.00220l 210y g -=⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为无害区，环境优良． (3)由题意，得90＝20lg0P P ，则0P P ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。
高中数学第3章3.2.1对数第2课时对数的运算性质讲义必修
第2课时 对数的运算性质学 习 目 标核 心素 养1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1．符号表示如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a M N＝log a M －log a N . 2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数． 3．换底公式一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)，这个公式称为对数的换底公式．4．与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a ＝1(a ，b >0且a ，b ≠1)； (2)log am b n ＝n mlog a b (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． ( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )． ( ) (3)log a (－2)4＝4log a (－2)． ( )『答案』 (1)× (2)× (3)×『提示』根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．2．(1)log2 25－log2254＝________；(2)log2 8＝________.(1)2(2)3『(1)log2 25－log2254＝log225×425＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.』3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.ab『log75＝lg 5lg 7＝ab.』对数运算性质的应用(1)lg 2＋lg 5；(2)log535＋2log122－log5150－log514；(3)『(1－log63)2＋log62·log6 18』÷log6 4.思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．『解』(1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.(2)原式＝log535×5014＋2log12212＝log5 53－1＝2.(3)原式＝『(log6 6－log6 3)2＋log62·log6(2·32)』÷log6 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log6632＋log6 2(log6 2＋log6 32)÷log6 22＝『(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log62·log6 3』÷2log6 2＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．注意对数的性质的应用，如log a 1＝0，log a a＝1，a log a N＝N.3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．1．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；(3)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－5log 5 3.『解』 (1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg (2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log 3 2－(log 3 32－log 3 9)＋3log 3 2－3＝2log 3 2－5log 3 2＋2＋3log 3 2－3＝－1.『例2』 化简：(1)log 2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24； (3)用log a x ，log a y ，log a z 表示log a (xy 2z －12)．思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来． 『解』 (1)log 2(28×82)＝log 2『28×(23)2』＝log 2(28＋3×2)＝log 2 214＝14.(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.(3)log a (xy 2z －12)＝log a x ＋log a y 2＋log a z －12＝log a x ＋2log a y －12log a z .这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log aN.2．化简：(1)log 2(45×82)；(2)log 1327－log 139；(3)用lg x ，lg y ，lg z 表示lgx 2y3z.『解』 (1)log 2(45×82)＝log 2 (210×26)＝log 2 216＝16log 2 2＝16×2＝32. (2)log 1327－log 139＝log 13279＝log 133＝－1.(3)lgx 2y3z＝lg x 2＋lg y －lg 3z ＝2lg x ＋12lg y －13lg z .换底公式及其应用『例3』 (1)已知3a ＝5b＝c ，且a ＋b＝2，则c 的值为________． (2)已知x ，y ，z 为正数，3x＝4y＝6z,2x ＝py . ①求p ；②证明：1z －1x ＝12y.思路点拨：用换底公式统一底数再求解．(1)15 『由3a ＝5b＝c ，得a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b ＝log c 5.又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.』(2)『解』 ①设3x＝4y＝6z＝k (k ＞1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ，解得p ＝2log 34＝4log 32.②证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 而12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2. 故1z －1x ＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式： (1)log am N n＝nmlog a N ；(2)log a b ·log b a ＝1，要注意熟练应用．3．计算：(log 2 125＋log 4 25＋log 8 5)(log 5 2＋log 25 4＋log 125 8)．对数运算在实际问题中的应用我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解． 『解』 设经过x 年，我国国民生产总值是2015年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x. 由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x ＝2， 两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2， 则x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．『解』 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x ＝log 1.078 4＝lg 4lg 1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．含对数式的方程的解法1．对数的运算性质有哪些？『提示』 log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a b ＝log c blog c a，log a Mn＝n log a M ，log am b n＝nmlog a b .2．解对数方程log a M ＝log a N ，应注意什么？『提示』 ⎩⎪⎨⎪⎧M ＝N ，M >0，N >0.『例5』 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y的值．思路点拨：根据对数的运算性质得到x ，y 的关系式，解方程即可． 『解』 lg x ＋lg y ＝lg (xy )＝2lg (x －2y )＝lg (x －2y )2， 由题知，xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －4＝0，故xy ＝1或4.又当x ＝y 时，x －2y ＝－y <0，故舍去，∴xy＝4. ∴log 12 xy ＝log 124＝－2.解含对数式的方程应注意两点 (1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．5．解方程：1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n；②log a (MN )＝log a M ·log a N ；③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．1．如a >0，a ≠1，x >0，y >0，则下列式子正确的是( ) A ．log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y ) B ．log a x －log a y ＝log a (x －y ) C ．log a xy＝log a x ÷log a y D ．log a (xy )＝log a x ＋log a yD 『由对数的运算性质知D 正确．』2．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，那么用a ，b 表示log 8 98＝________.a ＋2b 3a 『log 8 98＝lg 98lg 8＝2lg 7＋lg 23lg 2＝a ＋2b3a.』 3．已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.1 『因为m ＝log2 10，n ＝log 5 10，所以1m ＋1n＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.』4．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．『解』 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.。
3.2.1对数及其运算2教案学生版
3.2.1 对数及其运算(二)【学习要求】1.加深对数的概念;2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式;3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【学法指导】通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数运算法则:log a (MN)＝ log a M ＋ log a N ,log a M N＝ log a M － log a N , log a M n ＝ nlog a M .2.log b N ＝log a N log a b 叫做换底公式,log a m b n ＝n m log a b,log a b ＝1log b a(或 log a b·log b a ＝1 ). 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？探究点一 积、商、幂的对数问题1 指数的运算法则有哪些？问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？(1)设log a 2＝m,log a 3＝n,求a m ＋n ;(2)设log a M ＝m,log a N ＝n,试利用m 、n 表示log a (MN).问题4同样地,由a m ÷a n ＝a m －n 和(a m )n ＝a mn ,也得到对数运算的其他性质:log a M N＝log a M －log a N;log a M n ＝nlog a M(n ∈R) (a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？例1 用log a x,log a y,log a z 表示下列各式:(1)log a xy z ; (2)log a (x 3y 5); (3)log a x yz ; (4)log a x 2y 3z .跟踪训练1计算:(1)lg 5100; (2)log 2(47×25); (3)lg 4＋lg 25; (4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.探究点二 换底公式与自然对数导引 在实际应用中,常常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数呢？如何求log 35?问题1:假设log 25log 23＝x,则log 25＝xlog 23,即log 25＝log 23x ,从而有3x ＝5,进一步可得到什么结论？问题2 如果a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,那么log c b log c a与哪个对数相等？如何证明这个结论？问题3:什么叫做自然对数？自然对数如何表示？例2 已知log 23＝a,log 37＝b,用a,b 表示log 4256.跟踪训练2 求log 89·log 2732的值.例3 计算下列各式的值:(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245; (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.跟踪训练3 (1)已知lg 2＝0.301 0,lg 3＝0.477 1,求lg 45;(2)已知lg x ＝2lg a ＋3lg b －5lg c,求x.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A.log a x·log a y ＝log a (x ＋y)B.(log a x)n ＝nlog a xC .log a x n ＝log a nxD.log a xlog a y ＝log a x －log a y2.log 327＋lg 25＋lg 4＋7＋(－9.8)0＝__________.3.求证:(1)log x ylog y z ＝log x z;(2)log a b n ＝log a b.课堂小结：1.对数的运算法则:如果a>0,a≠1,M>0,N>0有:(1)log a (MN)＝log a M ＋log a N(2)log a MN ＝log a M －log a N(3)log a M n ＝nlog a M (n ∈R)2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log a b ＝log c blog c a (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0).。
人教B版高中数学必修1-3.2.2对数及其运算学案(2)
例1：用 ， ， 表示下列各式：（1） ；（2） ．
例2：求下列各式的值：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4）
例3：已知 ，求下列各式的值（结果保留４位小数）：
(1)lg6 (2) ；(3)
例4:计算：（1） 14 ；
；
（3）
例5：已知 ，求 之间的关系。
变式1．设 ，求 的值。
变式2．已知： ，求
例6．设 ，求： 的值
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.下列等式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
2.如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（）.
A．x=b3－c3
3.若 ，那么（）.
A． B．
C． D．
4.计算：（1） ；
（2） .
5.计算： .
规律总结
（1）_________________________________
(2)______________________________
(3)______________________________
说明：（1）语言表达：“积的对数=对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 ；
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？试着写下吧
本节反思
反思一下本节课，你收获到了什么啊
对数及其运算（2）
分层训练
1．等式 成立的条件（）
A． B．
C． D．
2．若a>0,a≠1,且x>y>0,n∈N,则下列八个等式：①(logax)n=nlogx;②(logax)n= loga(xn);③－logax= loga( );④ = loga( );
18-19 数学新同步课堂必修1第3章 3.2 3.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时对数的运算学习目标：1.理解对数的运算性质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易错点、重点)[自主预习·探新知]1．对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；log a(N1·N2·…·N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k(N i＞0，i＝1,2，…，k)；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M__(n∈R)．2．换底公式与自然对数(1)对数换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．特别地：log a b·log b a＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．(2)自然对数以e为底的对数叫自然对数，log e N通常记作ln_N.思考：如何准确的应用换底公式？[提示](1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n m log a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n∈R .[基础自测]1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a xy ＝log a x ·log a y .( ) (3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )[解析] (1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确； (2)×.根据对数的运算性质可知log a xy ＝log a x ＋log a y ； (3)×.公式log a M n ＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118C ．83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝42log 32·43log 23＝83.] 3．若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．baD ．abD [log 75＝lg 5lg 7＝ab .]4．lg 20＋lg 50的值为__________.【导学号：60462221】3 [lg 20＋lg 50＝lg 1 000＝3.][合 作 探 究·攻 重 难](1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2；(3)log34273＋lg 25＋lg 4＋7log72；(4)2log32－log3329＋log38－52log53.[思路探究]当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．[解](1)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32(lg 2＋lg 3)＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12.(3)原式＝＝－14＋2＋2＝154.(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．提醒：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．[跟踪训练]1．计算下列各式的值：【导学号：60462222】(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[解](1)原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 2＋lg(72×5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.33 (2)设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg108. [思路探究]对数运算⇒对数运算法则的应用．[解](1)log312＝log3(3×4)＝1＋2log32＝a，所以log32＝a－12，log324＝log3(8×3)＝1＋3log32＝1＋3×a－12＝3a－12.(2)因为108＝4×27＝22×33，所以lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3＝a ＋32b .[规律方法] 对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.母题探究：1.(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a ，b 表示lg 95？[解] lg 95＝lg 9－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2) ＝2b ＋a －1.2．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6＝a ，lg 15＝b ”，结果如何？ [解] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋lg 5＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋1－lg 2＝b ，解得⎩⎨⎧lg 2＝a －b ＋12，lg 3＝a ＋b －12，所以lg 108＝12lg 108 ＝12lg(22×33)＝12(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋32lg 3 ＝a －b ＋12＋32×a ＋b －12＝2a －2b ＋2＋3a ＋3b －34＝5a ＋b －14.[探究问题]1．假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？提示：进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23.2．由探究1，你能猜测log c blog ca 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？提示：log c b log ca ＝log ab .假设logc blog ca ＝x ，则log cb ＝x logc a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝ax，则x ＝log a b ，所以log c blog ca ＝log ab .(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值．[思路探究] (1)中两对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，为便于发现关系，可将真数都化为质数进行计算．(2)中各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值．[解] (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4(3－a )3＋a.(2)法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法三：原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.[规律方法] 1.在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ，log am b n ＝n m log a b ，log a a n ＝n ，lg 2＋lg 5＝1等，将会达到事半功倍的效果．[跟踪训练]3．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，求log 3645的值．(用a ，b 表示)【导学号：60462223】[解] log 3645＝lg 45lg 36＝lg 5＋lg 9lg 4＋lg 9＝1－lg 2＋2lg 32lg 2＋2lg 3＝1－a ＋2b2a ＋2b.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a cB [利用对数的换底公式进行验证， log a b ·log c a ＝log c blog ca ·log c a ＝log cb ，则B 正确．]2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4D ．lg 5A [法一：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝(lg 25－lg 16)－2(lg 5－lg 9)＋(lg 32－lg 81)＝2lg 5－4lg 2－2lg 5＋4lg 3＋5lg 2－4lg 3＝lg 2.法二：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.] 3．下列结论正确的是( ) A ．log a (x －y )＝log a x －log a y B ．log a xlog ay ＝log a x －log a yC ．log a xy ＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a xlog ayC [由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确．] 4．求值：log 225·log 3116·log 519＝________. 16 [原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16.]5．计算下列各式的值： 【导学号：60462224】 (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎪⎫322. [解] (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 2lg 5＋lg 2－3lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1.(2)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎪⎫3222＝log 78×989＝log 71＝0.。