第二类换元法

(1) ( 2) ( 3)
a x
2
2

a2 x2 x2 a2
1 4. 当分母的阶较高时，可 采用倒代法，令x . t
例4 求
x( x 7 2)dx
1
1 1 解 令 x dx 2 dt , t t 6 1 t 1 t 2 dt dt x( x 7 2)dx 1 7 7 1 2t t 2 t 1 1 1 7 7 ln | 1 2t | C ln | 2 x | ln | x | C . 14 14 2
“先凑后换，不如不换” 一步到位 但有的问题还得先换. 令x ( u) f [ (u)] (u)du F ( u) C f ( x ) dx
回代u 1 ( x )
F [ 1 ( x )] C
第二类换元法
使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换：
1. 被积函数含有根式 n ax b .
回代
2( x ln 1 x ) C
2. 当被积函数含有两种或两种以上根式
n
k
x ,, l x 时，
可采用令 x u（其中 n 为各根指数的最小公倍数） 1 dx. 例2 求 2 3 x x 6 dx 6u 5 du, 解 令 xu 2 1 1 u 5 dx 6 u du 6 du 3 4 2 3 u u x x 1 u

a 2 x 2 dx (a 0)
说明：以上三个例子所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下： 当被积函数中含有 可令 x a sin u , u ( , ) 2 2 可令 x a tan u , u ( , ) 2 2 可令 x a secu , u (0, 2 )
2 2 2
2
例3 求
a x u 解 令 x a sin u， u ( , ) , 2 2 a x 2 2 2 2 dx a cos udu a x a cos u 2 2 2 2 a cos u a cos udu a cos udu 则 a x dx a2 a2 1 (1 cos 2u)du ( u sin 2u) C 2 2 2 x a2 x2 sin u , cos u a a 2 sin 2u 2 sin u cos u 2 x a 2 x 2 a 2 a x 1 2 2 2 2 a x dx arcsin x a x C 2 a 2
作 业 P207习题4-2 2(36)(38)(42)
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上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
第二类换元法
第一类换元法
g( x ) dx
恒等变形（凑）
f [ ( x )]d ( x )
回代u ( x )
代换u ( x )
f (u)du F ( u) C
F [ ( x )] C .
第二类换元法
第二类换元法
思考：求

1 dx 1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。 该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二类换元法
思考：求 解 令 所以

1 dx 1 x
x t2
xt 则
dx 2tdt
1 2t (1 t ) 1 去根号 dx dt 2 dt 1 x 1 t 1 t 1 2 (1 )dt 2( t ln 1 t ) C 1 t

u2 1 1 1 6 du 6 u 1 du 1 u 1 u 1 2 6( u u ln | 1 u |) C 2
回代
3 3 x 6 6 x 6 ln | 1 6 x | C
3. 被积函数含有根式 a x 或 x a
1 例1. 求 dx 1 x

解
令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu 1 2u ( u 1) 1 1 x dx 1 udu 2 1 u du 1 2[ (1 )du] 2( u ln 1 u ) C 1 u