利用导数讨论超越方程根的问题
超越函数导数求解技巧
超越函数导数求解技巧超越函数指的是不满足任何有限次代数方程的函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等等。
由于这些函数的性质较为复杂，常常需要应用一些特殊的技巧来求解它们的导数。
下面我们来介绍一些常用的超越函数导数求解技巧。
1. 基本求导法则超越函数的导数求解通常还是依据基本的求导法则进行操作。
例如，指数函数的导数等于函数自身乘以对数的底数e，即f'(x) = e^x；对数函数的导数等于函数自身对于自变量的倒数，即 f'(x) = 1/x；三角函数的导数等于函数自身的导数乘以另一个三角函数，例如sin(x) 的导数是cos(x)。
这些基本的求导法则在超越函数的导数求解中是非常重要的基础。
2. 复合函数求导法当超越函数以复合函数的形式出现时，我们可以应用复合函数求导法来求解导数。
复合函数求导法是应用链式法则的一种特殊情况，即如果y = f(g(x))，那么y 对于x 的导数可以表示为 f'(g(x)) * g'(x)。
例如，当需要求解 e^x^2 的导数时，我们可以令 u = x^2，那么e^u = e^(x^2)，然后利用链式法则求导。
e^x^2 对于 x 的导数可以表示为 e^u 对于 u 的导数乘以u 对于 x 的导数，即 2x * e^(x^2)。
复合函数求导法可以帮助我们降低超越函数的复杂度，简化求导的过程。
3. 对数导数法则对数函数的导数求解也有一些特殊的技巧。
常用的对数导数法则有：- 自然对数函数的导数：ln(x) 对于 x 的导数是 1/x。
- 一般对数函数的导数：log_a(x) 对于x 的导数是1/(x*ln(a))。
这些对数导数法则可以帮助我们更方便地求解对数函数的导数，特别是当指数函数和对数函数同时出现时。
4. 反函数求导法则当超越函数与其反函数同时出现时，我们可以应用反函数求导法则。
反函数求导法则是应用链式法则的一种特殊情况，即如果 y = f^-1(x)，那么 y 对于 x 的导数可以表示为 1/f'(f^-1(x))。
导数中分类讨论的三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -； 当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x -=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
超越方程解法
超越方程解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：超越方程解法是数学领域中一个重要而复杂的问题，涉及到超越函数和代数方程的结合。
超越函数是指不满足任何有理方程的函数，例如指数函数、对数函数、三角函数等。
超越方程是指含有超越函数的方程，通常无法用有限次的代数运算解出其根。
解决超越方程需要运用一系列的数学方法和技巧，进行推导和化简，找到其解的近似值或特殊形式。
在数学中，解方程是一项基本的任务，从一次方程到高次方程，数学家们都提出了各种解法，例如直接代入法、配方法、求根公式等。
超越方程的解法却不那么直接和简单。
因为超越函数的性质决定了它们不会在有限的有理运算下得到解，因此需要运用更加复杂的方法来解决超越方程。
下面我们将介绍几种常用的超越方程解法。
一种常见的超越方程解法是利用级数展开法。
级数展开是将一个函数表示成无穷级数的形式，通过截断级数来近似表示原函数。
对于一些复杂的超越函数，可以通过级数展开来简化计算和解析。
当我们遇到指数函数或对数函数的方程时，可以尝试使用泰勒级数或泰勒-麦克劳林级数来将函数近似成一个无穷级数，然后通过截断级数来求解方程的近似解。
另一种常见的超越方程解法是利用变换和化简。
有些超越方程看似复杂，但通过适当的变换和化简可以得到简单的形式，从而更容易求解。
通过代换、换元、分式分解等方式，可以将原方程转化成更简单的形式，进而找到其解。
在这个过程中，需要灵活运用各种代数技巧，将原方程变形成更易处理的形式。
还有一些特殊的超越方程解法，例如利用积分和微分方程的方法。
有些超越方程可以转化成微分方程的形式，通过求解微分方程来得到原方程的解。
这种方法通常适用于一些特殊的超越方程，需要一定的数学知识和技能。
超越方程解法是一个复杂而又有趣的数学问题，需要数学家们不断探索和研究。
通过不断的实践和思考，我们可以运用各种数学方法和技巧来解决超越方程，挖掘其中的数学奥秘。
希望通过本文的介绍，读者能对超越方程解法有更深入的了解，并对数学问题更加感兴趣和热爱。
高中数学大题难题专题23 超越方程反解
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程,也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数,与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式,也很难求得解析解．在探求诸如0109623=-+-x x x ,,我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数,并求其定义域． 2、求导数,得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．4、数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值． （1）求实数a 的值;（2）设()()()22ln F x x x x f x =+--,其导函数为()F x ',若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <,设线段CD 的中点为(),0N s ,试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数,再根据()20f e-'=,解得1a =,最后列表验证（2,因为,利用21112ln 0x x x --=,22222ln 0x x x --=得,确定方程解的情况（2）由（1）知函数()22lnF x x x x=--．∵函数()F x图象与x轴交于两个不同的点()()12,0,,0C xD x,（12x x<）,∴21112ln0x x x--=,22222ln0x x x--=．．∵120x x<<,∴01t<<,又01t<<,∴()0u t '>,∴()u t 在()0,1上是増函数,则()()10ut u <=,即()0F s '=不成立．故s 不是()0F x'=的根． 例2（1）当3,2a b ==时,求函数()f x的单调区间; （2其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率立,求实数a 的取值范围．（3）当0,1a b ==-时,方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解,求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数()'f x 然后在函数的定义域内解不等式()'0f x >和间, ()'0f x <的区间为单调减区间;（2）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的,,;（3）先把握()f x mx =有唯一实数解,,再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域;②对()f x 求导;③令()'0f x >,解不等式得x 的范围就是递增区间;令()'0f x <,解不等式得x 的范围就是递减区间． 例3．已知函数（）（1）讨论的单调性;（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数,求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出,分两种情况讨论,分别令 得增区间,令得减区间;（2）,令,利用导数研究其单调性,结合零点定理可得结果．试题解析： （1）,当时,在上单调递减,在单调递增;当时,在上单调递增,在单调递减;（2）依题意,,令,则,令,则,即在上单调递增．又,,存在唯一的,使得．当, 在单调递增;当,在单调递减．,,,且当时,,又,,．故要使不等式解集中有且只有两个整数,的取值范围应为．【同步训练】1（R t ∈）,且()f x 的导数为()f x '．（Ⅰ）若()()2F x f x x =+是定义域内的增函数,求实数t 的取值范围;（Ⅱ）若方程()()222f x f x x x +=--'有3个不同的实数根,求实数t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需()0f x '≥,,求出()min g x 即可得结果;（Ⅱ）原方程等价于,结合图象可得结果．令()0h x '=,解得3x =-或1x =． 列表得：因此当3x <-时,;当31x -<<时,;当1x >时,因此实数t 的取值范围是2．已知函的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值;（2）令若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =,求证： 121x x <．【思路引导】（1）对函数求导,由题可设切点坐标为()0,0x ,由原函数和切线的斜率为0可得方程组,解方程组得a 值;（2）,利用导数与函数单调性的关系,判断()g x 的单调性,再构造函利用导数判断出()G x 的单调性,最后可令1201x x <<<,利用()G x 单调性可得结论．()()(),1{,01h x x g x h x x ≥=-<<且()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增,()10g =,当1x >时记函数()y f x ='的导函数为()y f x ='',则3．已知函数()()ln f x a x x =+（0a ≠）,()2g x x =．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线． ①求实数a 的值;②若方程()f x mx =在区间,求实数m 的取值范围． （2）当01a <<时,求证：对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数1x , 2x ,都有【思路引导】（1）①首先求函数()f x 的图象在1x =处的切线, ()'12f a =,又因为切点为()1,a ,所以切线方程为2y ax a =-,于是问题转化为直线2y ax a =-与函数()g x 图象相切,于是可以根据直线与抛物线相切进行解题;②问题转化为方程ln x x mx +=在区间,参变量分离得研究()t x 的单调性、极值,转化为直线y m =与()y t x =有且只有一个交点,（2）当01a <<时, ()f x 在[]1,2上单调递增, ()2g x x =在[]1,2上单调递增,设1212x x ≤<≤,则()()12f x f x <, ()()12g x g x <,于是问题转化为()()()()2211f x g x f x g x -<-,构造函数()()()F x f x g x =-,通过函数()F x 在[]1,2上单调递减,可以求出a 的取值范围．, ()'0t x >,函数单调递增, (),e +∞, ()'0t x <,函数单调递减,且(),x e ∈+∞时, ()1t x >,证明：（2）不妨设1212x x ≤<≤,则()()12f x f x <, ()()12g x g x <, 可化为()()()()2121f x f x g x g x -<- ∴()()()()2211f x g x f x g x -<-设()()()F x f x g x =-,即()()2ln F x a x x x =+-,∴()F x 在[]1,2上单调递减,,在[]1,2上恒成立,∴1a ≤, 从而,当01a <<时,命题成立． 4．已知函数()()ln , 2.718f x x x e ==．（1）设()()()2216g x f x x e x =+-++, ①记()g x 的导函数为()g x ',求()g e ';②若方程()0g x a -=有两个不同实根,求实数a 的取值范围;（2）若在[]1,e 上存在一点0x 使()()20011m f x x ->+成立,求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）①对()g x 进行求导,将e 代入可得()g e '的值;②对()g x 进行二次求导,判断()g x '的单调性得其符号,从而可得()g x 的单调性,结合图象的大致形状可得a 的取值范围;（2）将题意转化为题意等价于()h x 在[]1,e 上的最小值小于0,对()h x 进行求导,对导函数进行分类讨论,判断单调性得其最值．（2）由题可得()2000ln 11m x x x ->+,∴000011ln m x x x x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭,∴00001ln 0m x m x x x +-+<,1m则()h x 在[]1,e 上的最小值小于0, 1,当1m e +≥时,即1m e ≥-, ()h x 在[]1,e 上递减,所以()0h e <,2,当11m +≤即0m ≤, ()h x 在[]1,e 递增,∴()10h <解得2m <-; 3,当11m e <+<,即01m e <<-,此时要求()10h m +<又()0ln 11m <+<, 所以()0ln 1m m m <+<,所以()()12ln 12h m m m m +=+-+>此时()10h m +<不成立,综上2m <-或点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值,同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题,正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上,利用导数与0的关系得到函数的单调区间,也是在高考中的必考内容也是基础内容;注意存在性问题与恒成立问题的区别． 5．已知函数()()233xf x x x e =-+⋅．（1）试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,(2)t t ->-上为单调函数;（2）若t 为自然数,则当t 取哪些值时,方程()()0f x z x R -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根,并求出相应的实数z 的取值范围． 【思路引导】（1）先求函数导数,根据导函数零点确定函数单调区间,再根据[]2,t -为某个单调区间的子集得t 的取值范围,（2）结合三次函数图像确定t 的取值范围：当2t≥,且t N ∈时,方程()0f x z -=在[]2,t -上有可能有三个不等实根,再根据端点值大小确定实数z 的满足的条件：()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-,最后解不等式可得实数z 的取值范围．只需满足()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-即可．且()()()2230f t f e f ≥=>=, 因而()()()()()2102f f f f f t -<<<≤,所以()()10f z f <<,即3e z <<,综上所述,当2t≥,且t N ∈时,满足题意,此时实数z 的取值范围是(),3e ．6是函数()f x 的一条切线． （1）求a 的值;（2都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,求b 的取值范围;（3）已知方程()f x cx =有两个根1212,()x x x x <,若()1220g x x c ++=,求证: 0b <． 【思路引导】（1）对函数()f x 求导,设直与函数()f x 相切与点()2000,ln (0)x xax x +>,根据导数的几何意义可得2）对任意的1[1,x ∈都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,只需要()1f x 的值域是()2g x 值域的子集,利用导数的方法分别求()1f x 、()2g x 的值域,即可求出b 的取值范围;（3）根据题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得, ,所以令则()0,1t ∈,对()h t 求导,判断()h t 的单调,证明0b <．(2) 由（1）得()21ln 2f x x x =-,所以()211'x f x x x x -=-=,当(1x ∈, ]e 时, ()0f x <,所以()f x 在1,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减,所以当(1x ∈,]e 时, ()min f x f =()e122e=-, ()()()222min1111,'12x f x f g x x x-+==-=-+=,当[]1,4x ∈时, ()'0g x >,所以()g x 在[]1,4上单调递增,所以当[]1,4x ∈时, ()()()()min max 1712,44g x g b g x g b ==+==+,依题意得11,222e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦172,4b b ⎡⎤⊆++⎢⎥⎣⎦,所以1222{17142e b b +≤-+≥-,解得193422e b -≤≤--．(3) 依题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得,所以,方程()1220g x x c ++=可转化为7．已知函数（为自然对数的底数,）,,．（1）若,,求在上的最大值的表达式;（2）若时,方程在上恰有两个相异实根,求实根的取值范围;（3）若,,求使的图象恒在图象上方的最大正整数．【思路引导】(1)先求函数导数,根据定义域以及取值分类讨论导函数是否变号,确定函数单调性,进而确定函数最值,(2)作差函数,求导得原函数先减后增,因此要有两个相异实根,需极小值小于零,两个端点值大于零,解不等式可得的取值范围; (3)实际为一个不等式恒成立问题,先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值）,再研究最小值恒大于零问题,继续求导研究函数单调性,并结合零点存在定理限制或估计极点范围,最后范围确定最大正整数．试题解析：(1) 时,,;①当时,,在上为增函数,此时,②当时,,在上为增函数,故在上为增函数,此时③当时,,在上为增函数,在上为减函数,若,即时,故在上为增函数,在上为减函数, 此时若,即时,在上为增函数,则此时, 综上所述：（2）,,∴在上单调递减,在上单调递增,∴在上恰有两个相异实根,,实数的取值范围是,8．设函数．（1）求函数的单调区间;（2）若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值;（3）若方程,有两个不相等的实数根,比较与0的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时,,单调增区间为点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据,所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小．(3)证明：因为是方程的两个不等实根,由(1)知．不妨设,则,．两式相减得,即．所以．因为,点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式．（2）根据条件,寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．。
[精品]关于超越方程的解法
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[精品]关于超越方程的解法[精品]关于超越方程的解法超越方程，也叫高斯-切比雪夫方程（Gauss-Chebyshev Equation），是一类特殊的微分方程，最早由德国数学家克劳德·高斯和俄国数学家切比雪夫提出。
这类方程有如下形式：$$(1+x^2)y'' - 2xy' + (a^2 - n^2/x^2)y = 0$$其中$n$叫做超越序数，$a$是常数。
这类方程有两个特性：1. 当$n=0$时，上述方程是一个常微分方程，称为“球形”方程；2. 当$n\neq0$时，上述方程是一个非常微分方程，称为“超越方程”。
超越方程可以用来描述流体动力学中的各种现象，在许多物理学、化学和工程问题中都有广泛的应用，因此有必要对其解法作出详细的讨论。
首先，我们需要考虑的是超越方程的通解，其形式如下：$$y(x) = C_1 \cdot x^n \cdot U_n(x) + C_2 \cdot x^n \cdot V_n(x)$$其中$C_1$和$C_2$是常数，$U_n(x)$和$V_n(x)$是超越函数，形式如下：$$U_n(x) = \cos(n \arctan x)$$$$V_n(x) = \frac{\sin(n \arctan x)}{x}$$由于超越方程的通解只能求出一般解，所以我们还需要对其进行特殊化，以求出特殊解。
对于超越方程，有几种常见的特殊解：（1）当$C_1=0$时，得到奇函数解：$$y_1(x) = C_2 \cdot x^n \cdot V_n(x)$$（2）当$C_2=0$时，得到偶函数解：$$y_2(x) = C_1 \cdot x^n \cdot U_n(x)$$（3）当$C_1=C_2$时，得到正弦解：$$y_3(x) = C_1 \cdot x^n \cdot (U_n(x) +V_n(x))$$（4）当$C_1=-C_2$时，得到余弦解：$$y_4(x) = C_1 \cdot x^n \cdot (U_n(x) -V_n(x))$$以上就是超越方程的解法，如果想要详细了解，可以查看相关论文或者数学书籍。
导数压轴-超越函数的探讨(有详细解答)
（2） 换元处理 （3） 分离函数比较(提取公因式，分离超越式)
例题分析
三角函数
例 1. 已知 f x e1x a cos x,a R (1) 若函数 y f x 在0, 存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围
(2)
若
f
2
0
，证明：对于
则有 a
2
sin(
x
4
)min
，因为在
0,
上所以
a
1
即可
对于第二问来说由
f
2
0
我
们不
难得到
a=0 ， 进 一 步 则 不 等 号 左 边 即 为
ex2 cosx 1 2e1x sin x cos xcosx 1 0
即
解析几何导数专题
cos
x
1 (ex2
2e1x
sin
x
cos
x)
非是去绝对值后进行求导探求极值点，但是这道题里面难点就在于 a 是参数且
求导后无法得出具体的极值点，结合之前讲的放缩技巧，我们可以先一步使用绝
对值不等式有 a cos2x a 1cos x 1 a cos x a 1cos x 1 ，此时还带着
三 角 函 数 ， 因 此 我 们 继 续 使 用 三 角 函 数 放 缩 即 可 当 a1 有
0
而又因为在
x
1,
1 2
上
cos
x
1
0
恒
成 立 所 以 即 证 (ex2 2e1x sin x cos x) 0 即 可 ， 即 e2x1 2
2
sin(x
4
)
在
利用导数解决方程根的问题说课课件ppt课件
（二）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、 总结、运用，培养学生发现问题，研究问题 和解决问题的能力。让学生利用图形直观启 迪思维，来完成从感性认识到理性思维的一 个飞跃。
10
2005年全国2文21
设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a 当a在什么范围内取值时，曲线y f (x)与x轴仅有一个交点。
解：f (x) 3x2 2x 1若f (x) 0,则x 1 ,或x 1 3
当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表：
x , 1 1
1 ,1
1
3 3 3
f (x)
+
0
-
0
1, +
f (x) 极大值 极小值
所以f (x)的极大值是f ( 1) 5 a,极小值是f (1) a 1. 3 27
在2，3内x lg x 1 0有且仅有一个实根。
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[设计意图]通过练习让学生掌握利用导数的应 用判断函数零点的解题方法。并引导学生探索 利用导数判断方程根的情况的理论根据，如果 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函 数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点也就是方 程f（x）＝0在区间（a，b）上有且只有一根
掌握函数零点存在性的判断。
②通过对问题的分析，体会用函数的角度
去思考方程的根的问题，使学生理解动与静的
辨证关系。
③在函数与方程的联系中体验数形结合思
想和转化思想的意义和价值，体会函数知识的
核心作用。培养学生发现问题、分析问题、解
决问题的能力
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3．情感态度与价值观： 在学习过程中，使学生体验数学的科学价值
解法一：将方程等价变形为lg x 1 ,在坐标系内画出函数f (x) lg x x
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题导数是微积分中的一个重要概念，它可以描述函数的变化率，并在解决不等式问题中起到重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨如何利用导数证明或解决不等式问题。
让我们回顾一下导数的定义。
对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数f'(x)表示函数在该点的斜率，即函数曲线在该点的切线的斜率。
导数可以用极限定义来求取，即f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h利用导数证明不等式的方法有很多种，下面我们将分别介绍其中的几种常用方法。
第一种方法是利用导数的性质，结合数学推理和几何直观来证明不等式。
具体做法是首先求出函数f(x)在给定区间的导数f'(x)，然后根据导数的符号来判断函数的增减性。
如果导数f'(x)在该区间上恒大于零，则说明函数在该区间上是单调递增的；如果导数f'(x)在该区间上恒小于零，则说明函数在该区间上是单调递减的。
通过分析函数的增减性，我们可以得到不等式的证明。
举个例子，假设需要证明函数f(x) = x^2 + 1在区间[0, +∞)上是单调递增的。
首先求出函数的导数f'(x) = 2x，然后根据导数的符号来判断函数的增减性。
在区间[0, +∞)上，导数f'(x)恒大于零，即2x > 0，所以函数f(x)在该区间上是单调递增的。
我们可以得出结论：对于任意的x1, x2 ∈ [0, +∞)，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，即 x1^2 + 1 < x2^2 + 1。
第二种方法是利用极值点来解决不等式问题。
我们知道，在函数f(x)的极值点处，导数f'(x)等于零。
如果我们能够找到函数的所有极值点，并根据导数的符号来判断函数在各个区间上的增减性，那么我们就可以得到不等式的解。
第三种方法是利用导数的性质和中值定理来解决不等式问题。
中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题-----超越方程反解难巧妙构造变简单
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题-------- 超越方程反解难巧妙构造变简单导数研究超越方程【题型综述】超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如 x3 6x 2 9x 10 0 ，x 2 2 ln x x 2 x 2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决． 此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域． 2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况求解．【典例指引】例 1．已知函数 f x ax xlnx 在 x e2 处取得极小值．（1）求实数 a 的值；（ 2 ） 设 F x x2 x 2 lnx f x ， 其 导 函 数 为 F x ， 若 F x 的 图 象 交 x 轴 于 两 点C x1, 0, D x2, 0 且 x1 x2 ，设线段 CD 的中点为 N s, 0 ，试问 s 是否为 F x 0 的根？说明理由．【思路引导】 （1）先求导数，再根据 f e20，解得a1 ，最后列表验证（2）即研究F x1 2x2 0是否成立，因为F x1 2x2 x1x2x14 x21，利用x12 2lnx1 x1 0，x22 2lnx2 x2 0得x1x22lnx1 lnx2 x1 x21 ，所以F x1 2x2 2lnx1 lnx2 x1 x2x14 x2=0，转化为 lnt2t 1t 10．其1中 t x1 ，最后利用导数研究函数 u t lnt 2t 1 单调性，确定方程解的情况x2t 1（2）由（1）知函数 F x x2 2lnx x ．∵函数 F x 图象与 x 轴交于两个不同的点 C x1, 0, D x2, 0 ，（ x1 x2 ），∴ x12 2lnx1 x1 0 ， x22 2lnx2 x2 0 ．两式相减得x1x22lnx1 lnx2x1 x21Fx 2x 2 1．xF x1 2x2 x1x2x14 x21 2lnx1 lnx2x1 x2x14 x2．下解 2lnx1 lnx2 4 0 ．即 ln x1 2 x1 x2 0 ．x1 x2x1 x2x2 x1 x22令tx1 x2，∵ 0x1x2，∴ 0t 1 ，即 lnt2t 1t 10．令 u t lnt2t 1t 1， u t 1 tt4 12t 12 t t 12．又 0 t 1 ，∴ ut 0 ，∴ u t 在 0,1 上是増函数，则 u t u 1 0 ，从而知 x14 x22lnx1 lnx2 x1 x20，故F x1 2x2 0 ，即Fs0不成立．故 s 不是 F x 0 的根．例 2．设函数 f x lnx 1 ax2 bx2（1）当 a 3,b 2 时，求函数 f x 的单调区间；（2）令 F x f x 1 ax22 bx a (0 xx 3) ，其图象上任意一点 P x0 , y0 处切线的斜率 k1 2恒成立，求实数 a 的取值范围．（3）当 a 0,b 1 时，方程 f x mx 在区间 1, e2 内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数 f ' x 然后在函数的定义域内解不等式 f ' x 0 和 f ' x 0, f ' x 0 的区间为单调增区间， f ' x 0 的区间为单调减区间；（2）先构造函数 F x 再由以其图象上任意一点 P x0 , y0 为切点的切线的斜率k1 2恒成立，知导函数k1 2恒成立，再转化为a 1 2x02x0 max求解；（3）先把握f x mx 有唯一实数解，转化为 m 1 lnx 有唯一实数解，再利用单调函数求解．x3【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数 f x 的单调性的步骤：①确定函数 f x 的定义域；②对f x 求导；③令 f ' x 0 ，解不等式得 x 的范围就是递增区间；令 f ' x 0 ，解不等式得 x 的范围就是递减区间．例 3．已知函数（）（1）讨论 的单调性；4（2）若关于的不等式 【思路引导】的解集中有且只有两个整数，求实数 的取值范围．（1）求出 ，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当 时， 在上单调递增，在单调递减；上单调递减，在单调递增；当 时， 在（2）依题意，，令，则，令，则，即 在上单调递增．又 存在唯一的， ，使得， ．当，在 单调递增；当，在单调递减．，，，且当 时，，又，，．故要使不等式解集中有且只有两个整数， 的取值范围应为．【同步训练】1．已知函数 f x te2x x 1 （ t R ），且 f x 的导数为 f x ．25（Ⅰ）若 F x f x x2 是定义域内的增函数，求实数 t 的取值范围；（Ⅱ）若方程 f x f x 2 2x x2 有 3 个不同的实数根，求实数 t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需fx0 ，即 t1 22x1 e2xgx恒成立，求出gx min即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于t x2x7 2 e2x，研究函数hx x2x7 2 e2x的单调性，结合图象可得结果．令 h x 0 ，解得 x 3 或 x 1 ．列表得：x , 3 3 3,1 1 1, h x 00hx增极大减极小增6值值由表可知当 x 3 时， h x 取得极大值 5 e6 ；2当 x 1 时， h x 取得极小值 3 e2 ．2又当 x 3 时， x2 x 7 0 ， e2x 0 ，此时 h x 0 ．2因此当x 3时，hx 0,5 2e6 ；当3 x 1时，hx 3 2e2,5 2e6 ；当x 1时，hx 3 2e2, ，因此实数t的取值范围是 0,5 2e6 ．2．已知函数fx3ax 2lnx2的图象的一条切线为x轴 ．（ 1 ） 求 实 数a的 值 ；（ 2 ） 令3g x f x f x ，若存在不相等的两个实数 x1, x2 满足 g x1 g x2 ，求证： x1x2 1．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为 x0 , 0 ，由原函数和切线的斜率为 0 可得方程组，解方程组得 a 值；（2）由题知 g x 2 3 x3 2 1 x 1 lnx ，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系， x判断gx的单调性，再构造函数Gxgxg 1 x ，利用导数判断出Gx的单调性，最后可令0 x1 1 x2 ，利用 G x 单调性可得结论．7gxh{ hx x,x 1,0 x 且1gx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，g 1 0 ，当 x 1 时， 0 1 1， x记Gx gxg 1 x hxh 1 x fxf xf 1 x f 1 x ，记函数 y f x 的导函数为 y f x ，则Gx f xf x 1 x2f 1 x 1 x2f 1 x 83．已知函数 f x a x lnx （ a 0 ）， g x x2 ．（1）若 f x 的图象在 x 1 处的切线恰好也是 g x 图象的切线．①求实数 a 的值；②若方程fxmx 在区间1 e, 内有唯一实数解，求实数 m的取值范围． （ 2 ） 当 0 a 1 时 ， 求 证 ： 对 于 区 间 1, 2 上 的 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x1 ， x2 ， 都 有f x1 f x2 g x1 g x2 成立．【思路引导】（1）①首先求函数f x 的图象在x 1 处的切线，f'xa 11 x ，f'12a，又因为切点为 1, a ，所以切线方程为 y 2ax a ，于是问题转化为直线 y 2ax a 与函数 g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程xlnxmx在区间1 e, 内有唯一实数解，参变量分离得9m 1 lnx x，设 t x 1 lnx ，xx 1 e, ，研究tx的单调性、极值，转化为直线ym与ytx有且只有一个交点，（2）当 0 a 1时， f x 在1, 2上单调递增， g x x2 在1, 2上单调递增，设1 x1 x2 2 ，则 f x1 f x2 ， g x1 g x2 ，于是问题转化为 f x2 g x2 f x1 g x1 ， 构造函数 F x f x g x ，通过函数 F x 在1, 2上单调递减，可以求出 a 的取值范围．∵t'x1 lnx x2，∴ 1 e,e ，t ' x 0 ，函数单调递增，e, ，t ' x 0 ，函数单调递减，∵t 1 e 1e，t e 1 1 ，且 x e, 时，etx 1，∴m1e,11 1 e ；证明：（2）不妨设1 x1 x2 2 ，则 f x1 f x2 ， g x1 g x2 ， ∴ f x1 f x2 g x1 g x2 可化为 f x2 f x1 g x2 g x1 ∴ f x2 g x2 f x1 g x1 设 F x f x g x ，即 F x a x lnx x2 ，∴ F x 在1, 2上单调递减，10∴ F ' x ax a 2x2 0 恒成立，即 a 2x2 在1, 2上恒成立，2x 1∵2x2 x 1 1 x2 1 2 2 1 4 1，∴ a1，从而，当 0 a 1时，命题成立．4．已知函数 f x xlnx,e 2.718 ．（1）设 g x f x x2 2e 1 x 6 ，①记 g x 的导函数为 g x ，求 ge ；②若方程 g x a 0 有两个不同实根，求实数 a 的取值范围； （2）若在1, e 上存在一点 x0 使 m f x0 1 x02 1 成立，求实数 m 的取值范围．【思路引导】（1）①对 g x 进行求导，将 e 代入可得 ge 的值；②对 g x 进行二次求导，判断 g x 的单调性得其符 号 ， 从 而 可 得 g x 的 单 调 性 ， 结 合 图 象 的 大 致 形 状 可 得 a 的 取 值 范 围 ；（ 2 ） 将 题 意 转 化 为x01 x0 mlnx0m x0 0 ，令 h xx1 x mlnx m x，题意等价于 h x 在1, e 上的最小值小于0，对h x 进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．11（2）由题可得 m x0lnx01x02 1，∴ m lnx01 x0 x01 x0，∴x01 x0 mlnx0m x00，令 h x x 1 mlnx m ，则 h x 在1, e 上的最小值小于 0，xx又hxx1x x2m1，1，当 m 1 e 时，即 m e 1， h x 在1, e 上递减，所以 h e 0 ，解得 m e2 1 ；e 12，当 m 1 1 即 m 0 ， h x 在1, e 递增，∴ h 1 0 解得 m 2 ；3，当1 m 1 e ，即 0 m e 1，此时要求 h 1 m 0 又 0 ln 1 m 1，所以 0 mln 1 m m ，所以 h 1 m 2 m mln 1 m 2 此时 h 1 m 0 不成立，综上 m 2 或 m e2 1 ． e 1点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与 0 的关系得到函数的单调区12间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别． 5．已知函数 f x x2 3x 3 ex ．（1）试确定 t 的取值范围，使得函数 f x 在2,t(t 2) 上为单调函数； （2）若 t 为自然数，则当 t 取哪些值时，方程 f x z 0 x R 在2,t 上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数 z 的取值范围．【思路引导】 （1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据 2, t 为某个单调区间的子集得 t 的取值 范围，（2）结合三次函数图像确定 t 的取值范围：当 t 2 ,且 t N 时，方程 f x z 0 在2,t 上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数 z 的满足的条件： z max f 2, f 1, min f 0, f t ，最后解不等式可得实数 z 的取值范围．只需满足 z max f 2, f 1, min f 0, f t 即可．因为f213 e2,f0 3,f1 e,f2 e2 ，且ft f2 e23f0 ，因而 f 2 f 1 f 0 f 2 f t ，13所以 f 1 z f 0 ，即 e z 3 ，综上所述，当 t 2 ,且 t N 时，满足题意，此时实数 z 的取值范围是 e,3 ．6．已知函数 f x lnx ax2, g x 1 x b ，且直线 y 1 是函数 f x 的一条切线．x2（1）求 a 的值；（2）对任意的 x1 1, e ，都存在 x2 1, 4，使得 f x1 g x2 ，求 b 的取值范围；（3）已知方程 f x cx 有两个根 x1, x2 (x1 x2 ) ，若 g x1 x2 2c 0 ，求证: b 0 ．【思路引导】（ 1 ） 对 函 数 f x 求 导 ， f ' x 1 2ax 1 2ax2 ， 设 直 线 y 1 与 函 数 f x 相 切 与 点xx2 x0, lnx0 ax02( x00) ，根据导数的几何意义可得，2ax02 1 0{x0lnx0ax021 2x0 1，解得{ a12，求出 a1 2；（2）对任意的 x1 [1, e] ，都存在 x2 1, 4，使得 f x1 g x2 ，只需要 f x1 的值域是 g x2 值域的子集，利用导数的方法分别求 f x1 、 g x2 的值域，即可求出 b 的取值范围；（3）根据题意得{f f x2 x1 cx2 cx1,两式相减得，c lnx2 lnx1 x2 x1x2 x12，所以1 x1b x2 x1 2lnx1 lnx2 x2 x1 x1 x2 2lnx1 x2 1x2 x1，令 tx1 x2，则 t 0,1 ，则 b x2x12lnt1 1 t t，x2令 h t 2lnt 1 t ,t 0,1 ，对 h t 求导，判断 h t 的单调，证明 b 0 ．1 t14(2) 由（1）得 f x lnx 1 x2 ，所以 f ' x 1 x 1 x2 ，当 x (1， e] 时， f x 0 ，所以2xx f x 在 1, e 上 单 调 递 减 ， 所 以 当 x (1 ，e] 时 ， f x f mine 1e ， 22f x minf11 2,g'x1 x21 1 x2 x2，当 x 1, 4 时，g ' x 0 ，所以 g x 在1, 4上单调递增，所以当 x 1, 4 时，gx ming12 b, gx maxg417 4b，依题意得1 2e 2,1 2 2b,17 4b 2 ，所以{17b b1 2 e 2 1，解得19 4b3 2e 2．42 (3)依题意得{f f x2 x1 cx2 cx1,两式相减得lnx2lnx11 2x22 x12 c x2 x1 ，所以c lnx2 lnx1 x2 x1x2 x12，方程g x1 x2 2c 0可转化为7．已知函数（ 为自然对数的底数，），，．（1）若，（2）若 时，方程，求 在 上的最大值 的表达式； 在 上恰有两个相异实根，求实根 的取值范围；15（3）若，，求使 的图象恒在 图象上方的最大正整数 ．【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域 以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大 于零，解不等式可得 的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用 导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制 或估计极点范围，最后范围确定最大正整数 ． 试题解析：(1)时，,；①当 时，， 在 上为增函数，此时，②当 时，，在故 在 上为增函数，此时③当 时，，在上为增函数， 上为增函数，在上为减函数，若，即 时，故 在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时， 在 上为增函数，则此时，综上所述：（2） ∴在 ∴，，上单调递减，在上单调递增，在 上恰有两个相异实根，实数 的取值范围是16， ，8．设函数．（1）求函数 的单调区间； （2）若函数 有两个零点，求满足条件的最小正整数 的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根 ，比较与 0 的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去 ,对 进行讨论, 时，，单调增区间为． 时,有增有减;(2) 函数 有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得 的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由17可解得,代入分析只需比较,利用导数可得最值,即可判定大小．大小, 设 ,构造函数(3)证明：因为 是方程不妨设，则两式相减得即的两个不等实根，由(1)知 ．，．，．所以．因为，18点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．19。
高考中用导数求解有关不等式的三类问题
高考中用导数解决有关不等式的三类综合问题导数是研究函数性质的一种重要工具，例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求极大(小)值、求函数的值域等等.而在处理有关不等式的综合性问题时往往需要利用函数的性质。
因此，很多时侯可以利用导数作为工具去研究函数的性质，从而解决很多不等式问题.下面结合近几年高考试题具体讨论导数在解决与不等式有关的三类综合问题时的作用.归，去具体研究二次函数的图像与性质。
2009年宁夏海南数学文：已知函数3223()39f x x ax a x a =--+，若14a >，且当[]1,4x a ∈时，)('x f ≤a 12恒成立，试确定实数a 的取值范围.解析：'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于a x =对称. 若'11,()4a f x <≤则在[1,4a]上是增函数，从而 '()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a =由'22|()|12,1236912,f x a a x ax a a ≤-≤--≤得于是有'2'2(1)36912,(4)1512.f a a a f a a a =--≥-=≤且 由''14(1)121,(4)120.35f a a f a a a ≥--≤≤≤≤≤得由得 所以11414(,1][,1][0,],(,].43545a a ∈-∈I I 即 若1>a ,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12f a a a x a f x a =>∈≤故当时不恒成立.所以使'|()|12([1,4])f x a x a ≤∈恒成立的实数a 的取值范围是14(,].45二、利用导数证明不等式（一）利用导数得出函数单调性后，证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）. 高考中，在证明不等式时，根据不等式的特点，常常把不等式通过移项，适当变形，让不等号一端变为0后，把另一端构造成一个新函数,用导数研究该函数的单调性,再用函数单调性达到证明不等式的目的.2013年辽宁高考数学理第21题：已知函数x x x ax x g ex x f x cos 212)(,)1()(32+++=+=-，当]1,0[∈x 时， 求证：xx f x +≤≤-11)(1 解析：要证]1,0[∈x 时，x e x x -≥+-112）（，只需证明x x e x e x )1(1-≥+-）（ . 记=)(x h x x e x e x )1(1--+-）（，则)()('x x e e x x h --=， 当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，因此)(x h 在]1,0[上是增函数，故0)0()(=≥h x h .所以]1,0[∈x 时，x x f -≥1)(．要证]1,0[∈x 时，xe x x +≤+-1112）（，只需证明1+≥x e x . 记1)(--=x e x K x ，则1)('-=x e x K ，当)1,0(∈x 时，0)('>x K ，因此)(x K 在]1,0[上是增函数，故0)0()(=≥K x K .所以]1,0[∈x 时，xx f +≤11)(，． 综上，]1,0[∈x 时，x x f x +≤≤-11)(1． 当待证明的不等式中变量较多时，往往把其中一个作为主要的变量，其他的视作常量处理，去构造辅助函数处理，易于打开解题突破口.2004年全国高考数学理压轴题： 已知x x x g ln )(=,b a <<0,证明：<0()()2()()ln 22a b g a g b g b a ++-<- 证明：()ln g x x x =，'()ln 1g x x =+，设()()()2()2a x F x g a g x g +=+-， 则'''()()2[()]ln ln 22a x a x F x g x g x ++=-=-， 当a x <<0时'()0F x <，因此)(x F 在),0(a 内为减函数当a x >时'()0F x >，因此)(x F 在),(+∞a 上为增函数从而，当a x =时，)(x F 有极小值)(a F因为0)(=a F ,a b >,所以0)(>b F ,即0()()()2a b g a g b g +<+-. 设()()()ln 2G x F x x a =--,则'()ln ln ln 2ln ln()2a x G x x x a x +=--=-+ 当0>x 时,'()0G x <,因此)(x G 在),0(+∞上为减函数，因为0)(=a G ,a b >,所以0)(<b G .即<0()()2()()ln 22a b g a g b g b a ++-<- （二）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.2013年课标全国Ⅱ高考数学理第21题：已知函数)ln()(m x e x f x +-=，当2≤m 时，证明:0)(>x f .解析：当2≤m ，),(+∞-∈m x 时，)2ln()ln(+≤+x m x ，故只需证明当2=m 时，0)(>x f .当2=m 时，函数21)('+-=x e x f x 在）（+∞-,2单调递增． 又0)0(,0)1(''><-f f ，故0)('=x f 在）（+∞-,2有唯一实根0x ，且)0,1(0-∈x ．当),2(0x x -∈ 时，0)('<x f ；当)(0∞+∈，x x 时，0)('>x f ， 从而当0x x =时，)(x f 取得最小值．由0)(0'=x f 得0e x ＝012x +，00)2ln(x x -=+， 故02)1(21)()(020000>++=++=≥x x x x x f x f 综上，当2≤m 时，0)(>x f . 三、利用导数解不等式一旦运用导数得到具体或抽象函数的单调性，再利用单调性的定义，结合函数值的大小关系，就可以得到自变量的大小关系，使得目标不等式获解。
导数的综合应用(方程的根的问题)
导数的综合应用（方程的根的问题）
锦囊妙计：1、方程的根就是函数的零点，也就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，因 此研究方程的根的问题，可以转化为函数的零点问题，通过研究函数的图象加以解决。
2、在讨论函数的大致图像时，利用导数，得到函数的单调性；以及极值和最值的情况，然后讨论交点的情况，从而得到方程根的情况。
1、设函数b x x x x f +-+-
=3
43431)(23，关于x 的方程)(x f =0在区间1[，]3上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围
2、已知函数23)(23+-=x x x f ，关于x 的方程)(x f =c 在区间1[，]3上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围
3、设a 为实数，函数
a x x x f ++-=3)(3
（1）求)(x f 的极值
（2）是否存在实数a ，使得方程)(x f =0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由
4、设函数56)(3+-=x x x f R x ∈
（1）求函数)(x f 的单调区间和极值
（2）若关于x 的方程)(x f =a 有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围
作业：
1、求方程04962
3=-+-x x x 的根的个数。
3.若函数f(x)=x3-x2-x 与直线y=a 有3个不同的公共点，求实数a 的取值范围.
.]2,0[2
5)(,)1ln()(:32的取值范围求实数有两个不等的实数根，在区间的方程若关于已知b b x x f x x x x x f +-=--+=
.2,10762.223）内根的个数在区间（判断方程=+-x x。
考前归纳总结导数中的有关方程根的问题
导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+-求方程()()f x g x =的根的个数. 解： 令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =-当1x -→-时，()h x →-∞， 当1x +→-时，()h x →+∞当x →-∞时，()h x →+∞， 当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的 个数问题其实质也是方程根的问题。
例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值 范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意； 当0a ≠时，2321b b x x a a ++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<， 当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点. 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2） 因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得0x x ==作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为02x x =±=当383[(0,){}x ∈时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于 x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。
超越方程反解难,巧妙构造变简单 高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)
【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．在探求诸如0109623=-+-x x x ，22ln 22+-=-x x x x 方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域．2、求导数，得单调区间和极值点．3、画出函数草图．4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．【典例指引】例1．已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）设()()()22ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由．【思路引导】（1）先求导数，再根据()20f e -'=，解得1a =，最后列表验证（2）即研究1202x x F +⎛⎫=⎪⎝⎭'是否成立，因为121212412x x F x x x x +⎛⎫=+--⎪+⎭'⎝，利用21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-，所以()121212122ln ln 42x x x x F x x x x -+⎛⎫=- ⎪-+⎭'⎝=0，转化为()21ln 01t t t --=+．其中12x t x =，最后利用导数研究函数()()21ln 1t u t t t -=-+单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数()22ln F x x x x =--．∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ，（12x x <），∴21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=．两式相减得()1212122ln ln 1x x x x x x -+=+-()221F x x x-'=-．学*()1212121212122ln ln 4412x x x x F x x x x x x x x -+⎛⎫=+--=-⎪+-+⎝⎭'．下解()1212122ln ln 40x x x x x x --=-+．即()1212122ln 0x x x x x x --=+．令12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，即()21ln 01t t t --=+．令()()21ln 1t u t t t -=-+，()()()()22211411t u t t t t t -=-=+'+．又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在()0,1上是増函数，则()()10u t u <=，从而知()1212122ln ln 40x x x x x x --+<+-，故1202x x F +⎛⎫< ⎪⎝⎭'，即()0F s '=不成立．故s 不是()0F x '=的根．学*例2．设函数()21ln 2f x x ax bx =--（1）当3,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）令()()21(03)2a F x f x ax bx x x =+++<≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）先求导数()'f x 然后在函数的定义域内解不等式()'0f x >和()()'0,'0f x f x 的区间为单调增区间，()'0f x <的区间为单调减区间；（2）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，知导函数12k ≤恒成立，再转化为200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭求解；（3）先把握()f x mx =有唯一实数解，转化为ln 1xm x=+有唯一实数解，再利用单调函数求解．【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间．例3．已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令得增区间，令得减区间；（2），令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意，，令，则，学*令，则，即在上单调递增．又，，存在唯一的，使得．当，在单调递增；当，在单调递减．，，，且当时，，又，，．学*故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为．【新题展示】1．【2019山西祁县中学上学期期末】已知函数,．若（1）求实数的值；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）得到xlnx k，令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解析】所以当时，，即的值域为．所以使方程有实数解的的取值范围．2．【2019浙江台州上学期期末】设函数，R．（Ⅰ）求函数在处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求出函数在处的导数后可得切线方程．（Ⅱ）参变分离后求函数的最小值可得的最大值．（Ⅲ）因为，故无零根，参变分离后考虑的图像与直线总有两个不同的交点，从而得到实数的取值范围．【解析】（Ⅰ），.且，所以在处的切线方程为.所以.（其中）所以的最大值为.（ⅰ）当时，即时，则，即在，单调递增，且当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.此时对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.（ⅱ）当时，有两个非负根，，所以在，，单调递增，单调递减，所以当时有4个交点，或有3个交点，均与题意不合，舍去.（ⅲ）当时，则有两个异号的零点，，不妨设，则在，单调递增；在，单调递减.当时，的取值范围为，当时，的取值范围为，所以当时，对任意的实数，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有，，得.由，得，即.所以，，.故.所以.所以当或时，原方程对任意实数均有且只有两个解.3．【2019浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数.（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.（2）求证：当时，.【思路引导】（1）关于的方程在内有两个不同的实数根等价于，x与y=a有两个不同的交点；（2）要证当时，即证【解析】（2）证明：，由得在上单调递增，又,根据零点存在定理可知，存在，使得当时，，f（x）在上单调递减；当时，，f（x）在上单调递增；故.由，得到，即，，故，其中，令，，由，得到在上单调递减，故，即，综上：有当时，.【同步训练】1．已知函数()21e2xf x t x -=--（R t ∈），且()f x 的导数为()f x '．（Ⅰ）若()()2F x f x x =+是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）若方程()()222f x f x x x +=--'有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）只需()0f x '≥，即()()2121e 2x t x g x ≤-=恒成立，求出()min g x 即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于227e 2x t x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，研究函数()227e 2x h x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调性，结合图象可得结果．令()0h x '=，解得3x =-或1x =．列表得：x (),3-∞-3-()3,1-1()1,+∞()h x '+0-0+()h x 增极大值减[来源:]极小值增由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值65e 2-；当1x =时，()h x 取得极小值23e 2-．又当3x <-时，2702x x +->，2e 0x >，此时()0h x >．学*因此当3x <-时，()650,e 2h x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当31x -<<时，()2635e ,e 22h x -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；当1x >时，()23e ,2h x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，因此实数t 的取值范围是650,e 2-⎛⎫ ⎪⎝⎭．2．已知函数()322ln 3f x ax x =--的图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令()()()g x f x f x =+'，若存在不相等的两个实数12,x x 满足()()12g x g x =，求证：121x x <．【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为()0,0x ，由原函数和切线的斜率为0可得方程组，解方程组得a 值；（2）由题知()32211ln 3g x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断()g x 的单调性，再构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用导数判断出()G x 的单调性，最后可令1201x x <<<，利用()G x 单调性可得结论．()()(),1{,01h x x g x h x x ≥=-<<且()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()10g =，当1x >时，101x<<，学*记()()()()()1111G x g x g h x h f x f x f f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''，记函数()y f x ='的导函数为()y f x =''，则()()()221111G x f x f x f f x x x x ⎛''''''⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎝'⎭⎭3．已知函数()()ln f x a x x =+（0a ≠），()2g x x =．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．①求实数a 的值；②若方程()f x mx =在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）当01a <<时，求证：对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立．【思路引导】（1）①首先求函数()f x 的图象在1x =处的切线，()1'1f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()'12f a =，又因为切点为()1,a ，所以切线方程为2y ax a =-，于是问题转化为直线2y ax a =-与函数()g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程ln x x mx +=在区间1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有唯一实数解，参变量分离得ln 1x m x =+，设()ln 1x t x x =+，1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，研究()t x 的单调性、极值，转化为直线y m =与()y t x =有且只有一个交点，（2）当01a <<时，()f x 在[]1,2上单调递增，()2g x x =在[]1,2上单调递增，设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，于是问题转化为()()()()2211f x g x f x g x -<-，构造函数()()()F x f x g x =-，通过函数()F x 在[]1,2上单调递减，可以求出a的取值范围．∵()21ln 'x t x x -=，∴1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭，()'0t x >，函数单调递增，(),e +∞，()'0t x <，函数单调递减，∵11t e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11t e e=+，且(),x e ∈+∞时，()1t x >，∴[]11,11m e e ⎧⎫∈-⋃+⎨⎬⎩⎭；证明：（2）不妨设1212x x ≤<≤，则()()12f x f x <，()()12g x g x <，∴()()()()1212f x f x g x g x -<-可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-∴()()()()2211f x g x f x g x -<-设()()()F x f x g x =-，即()()2ln F x a x x x =+-，∴()F x 在[]1,2上单调递减，∴()22'02ax a x F x +-=≤恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立，∵22221111124x x x =-≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴1a ≤，从而，当01a <<时，命题成立．4．已知函数()()ln , 2.718f x x x e == ．（1）设()()()2216g x f x x e x =+-++，①记()g x 的导函数为()g x '，求()g e '；②若方程()0g x a -=有两个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上存在一点0x 使()()20011m f x x ->+成立，求实数m 的取值范围．【思路引导】（1）①对()g x 进行求导，将e 代入可得()g e '的值；②对()g x 进行二次求导，判断()g x '的单调性得其符号，从而可得()g x 的单调性，结合图象的大致形状可得a 的取值范围；（2）将题意转化为00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln m h x x m x x x =+-+，题意等价于()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，对()h x进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．（2）由题可得()2000ln 11m x x x ->+，∴000011ln m x x x x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭，∴00001ln 0mx m x x x +-+<，令()1ln mh x x m x x x=+-+，则()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，又()()()()211x x m h x x='+-+，1，当1m e +≥时，即1m e ≥-，()h x 在[]1,e 上递减，所以()0h e <，解得211e m e +>-；2，当11m +≤即0m ≤，()h x 在[]1,e 递增，∴()10h <解得2m <-；3，当11m e <+<，即01m e <<-，此时要求()10h m +<又()0ln 11m <+<，所以()0ln 1m m m <+<，所以()()12ln 12h m m m m +=+-+>此时()10h m +<不成立，综上2m <-或211e m e +>-．学*点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与0的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．5．已知函数()()233x f x x x e =-+⋅．（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,(2)t t ->-上为单调函数；（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0f x z x R -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据[]2,t -为某个单调区间的子集得t 的取值范围，（2）结合三次函数图像确定t 的取值范围：当2t ≥,且t N ∈时，方程()0f x z -=在[]2,t -上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数z 的满足的条件：()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-，最后解不等式可得实数z 的取值范围．只需满足()(){}()(){}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-即可．因为()()()()22132,03,1,2f f f e f e e-====，且()()()2230f t f e f ≥=>=，因而()()()()()2102f f f f f t -<<<≤，所以()()10f z f <<，即3e z <<，学*综上所述，当2t ≥,且t N ∈时，满足题意，此时实数z 的取值范围是(),3e ．6．已知函数()()21ln ,f x x ax g x x b x =+=++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线．（1）求a 的值；（2）对任意的11,x e ⎡⎤∈⎣⎦，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（3）已知方程()f x cx =有两个根1212,()x x x x <，若()1220g x x c ++=，求证:0b <．【思路引导】（1）对函数()f x 求导，()2112'2ax f x ax x x+=+=，设直线12y =-与函数()f x 相切与点()20000,ln (0)x x ax x +>，根据导数的几何意义可得，200200210{12ax x lnx ax +=+=-，解得01{12x a ==-，求出12a =-；（2）对任意的1[1,x ∈e ，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，只需要()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，利用导数的方法分别求()1f x 、()2g x 的值域，即可求出b 的取值范围；（3）根据题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得，212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，所以()()1211221121122212ln ln 2ln 1x x x x x b x x x x x x x x x ---=--=++，令12xt x =，则()0,1t ∈，则()2112ln 1t b x x t t --=-+，令()()12ln ,0,11th t t t t-=-∈+，对()h t 求导，判断()h t 的单调，证明0b <．(2)由（1）得()21ln 2f x x x =-，所以()211'x f x x x x -=-=，当(1x ∈，时，()0f x <，所以()f x在⎡⎣上单调递减，所以当(1x ∈，时，()min f x f=122e=-，()()()222min1111,'12x f x f g x x x -+==-=-+=，当[]1,4x ∈时，()'0g x >，所以()g x 在[]1,4上单调递增，所以当[]1,4x ∈时，()()()()min max 1712,44g x g b g x g b ==+==+，依题意得11,222e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦172,4b b ⎡⎤⊆++⎢⎥⎣⎦，所以1222{17142eb b +≤-+≥-，解得193422e b -≤≤--．(3)依题意得()()2211{f x cx f x cx ==,两式相减得()()()222121211ln ln 2x x x x c x x ---=-，所以212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，方程()1220g x x c ++=可转化为7．已知函数（为自然对数的底数，），，．（1）若，，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．【思路引导】(1)先求函数导数，根据定义域以及取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围；(3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．试题解析：(1)时，,；①当时，，在上为增函数，此时，②当时，，在上为增函数，故在上为增函数，此时③当时，，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述：（2），，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上恰有两个相异实根，，实数的取值范围是，8．设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．【思路引导】(1)先求函数导数,再求导函数零点,根据定义域舍去,对进行讨论,时，，单调增区间为．时,有增有减;(2)函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小,设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小．(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知．不妨设，则，．两式相减得，即．所以．因为，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．21。
超越方程如何通过超越方程求解数学问题
超越方程如何通过超越方程求解数学问题超越方程是指含有超越函数的方程，与代数方程不同，超越方程的解不是代数数，而是无法用有限次四则运算构造得出的数。
超越方程在数学问题的求解中有着重要的作用，本文将详细介绍超越方程如何应用于数学问题的求解过程。
一、超越方程的基本概念和性质在介绍超越方程在数学问题求解中的应用之前，我们首先来了解一下超越方程的基本概念和性质。
超越方程通常可以表示为f(x)=0的形式，其中f(x)是一个含有超越函数的函数表达式。
超越方程的解通常无法用有限次四则运算表示，但我们可以利用一些近似方法来求得它们的数值解。
超越方程的解可以是有限个，也可以是无穷个，取决于方程的具体形式和条件。
二、利用超越方程求解数学问题的过程1. 制定数学问题模型在利用超越方程求解数学问题之前，首先需要将数学问题转化为超越方程的形式。
我们可以通过分析问题的性质和条件，建立相应的超越方程模型。
2. 寻找适当的超越方程方法根据数学问题的特点，我们需要选择适当的超越方程方法来求解。
常用的超越方程求解方法包括牛顿法、二分法、迭代法等。
3. 进行数值计算求解根据选择的超越方程求解方法，进行数值计算求解。
通过迭代运算，逐步逼近超越方程的解，直至满足求解精度要求。
4. 验证和解释数学问题的解求解得到超越方程的解后，需要进行验证和解释，确保解符合原始数学问题的要求。
通过数学推导和分析，解释超越方程的解在数学问题中的意义。
三、超越方程在数学问题中的应用实例下面以一个具体的数学问题为例，说明超越方程如何应用于数学问题的求解过程。
例题：求解方程sin(x)=x的解。
1. 制定数学问题模型将方程sin(x)=x重新整理为超越方程f(x)=sin(x)-x=0。
2. 寻找适当的超越方程方法对于这个超越方程，我们可以选择牛顿法来求解。
牛顿法是一种逐步逼近的方法，通过不断迭代来求解超越方程的解。
3. 进行数值计算求解利用牛顿法进行数值计算，不断迭代得到超越方程的解。
利用导数讨论超越方程根的问题
通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为 这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单
调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与 x 轴的交点情况，挖 掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。
第3页共3页
判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与 x 轴的交点情况，挖掘出隐含条
件即可得解。
解：方程可化为 x a 1 ln x 12 0
y
令 f x x a 1 ln x 12 x 0 , 2
则 f ' x 1 2 x 1
x 1 x 1
利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题
湖北省仙桃市第八中学 杜好军
导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如
x3 6x2 9x 10 0 ，x2 2ln x x 2 x +2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工
具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并 求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐
y
f x极大值 = f 1 = 6 0
01
3
x
故 f x 的极大值在 x 轴的下方，如图 1，即 f x
的图象与 x 轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选C 。
（图 1）
例 2、已知函数 f x x3 3bx2 2b3在 , 0 上是增函数，在 0, 2 上是减函数，若
f x 16 恰有一解，求实数 b 的取值范围。
分析：此题给出函数的单调区间，求参数 b 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它
导数压轴8-超越函数的探讨教师
0
，即有
gx
0
。而
因 为 e2x1 2x 2 和 g x 0 的 取 等 条 件 不 一 样 ， 所 以 我 们 有
e2 x1 2
2
sin(x
4
)
证毕。
总结回顾
我们不难看出，整道题里面最具有亮点的也就是原题的第二问中证明
e2 x1 2
2
sin(x
4
)
a
1 5
，
当
0
a
1 5 ，即无极小值，因为
g1
a
g1
2
3a ，即有
g1
g1
所以 A g1 2 3a
当
1 5
a
1，即有极小值点
t
1 a 4a
，因为
g1
a
g1
2
3a
g1 g1
并且因为
g
1 a 4a
x
1
sin
x
3
x cos
1 sin x
x
4
ln
3
2x
令
t
x
0,
2
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解析几何导数专题
有 因 为 1 sin x 恒 大 于
0
进而
令
所以 0,1 上存在唯一 t0 有 gt0 0 所以0,t0 gt 单调递增，t0,1 gt 单调递减，又因为 g0 g1 0
例解导函数超越方程
例解导函数超越方程作者：章建荣来源：《知识窗·教师版》2014年第05期导数在高考数学中占据着重要地位，其中包括导数的概念和几何意义，以及以导数为工具，研究函数的单调性、极值、最值、导数的运用，而对数函数和指数函数恰恰是常见的导数载体。
在这类函数问题中求导根确定单调区间时，常常会遇到不能求出导根的问题，俗称超越方程不能正常求根，这是近年来的热门考点，也是高考数学的重点。
解决此类问题，通常需要学生使用函数构造法，根据函数的单调性，结合函数图像，用二分法确定导根的范围求解，渗透了分类讨论、数形结合、函数与方程的思想。
例1.（2014年南昌市一模卷）如图1所示，已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图像经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）。
（1）求实数a、b的值；（2）若k∈Z，且对任意x>1恒成立，求k的最大值。
解：（1）∵f（1）=1，∴a=1。
此时，f（x）=x-bxlnx，f'（x）=1-b（1+lnx）依题意可知：f'（e）=1-b（1+lne）=3，所以，b=-1。
（2）由（1）可知：f（x）=x+xlnx，当x>1时，设，则设h（x）=x-2-lnx，则，h（x）在（1，+∞）上是增函数，因为h（3）=1-ln30，所以，存在xo∈（3，4），使h（xo）=0。
当x∈（1，xo）时，h（x）点评：导函数方程中，x-2-lnx=0是对数和一次函数的超越方程，不能正常求解，只有通过构造函数，确定根所在的范围，才能求解，其中体现了化归的思想、分类讨论的思想和数形结合的思想。
例2.（2013年全国新课标卷）如图2所示，已知函数f（x）=ex-ln（x+m）。
（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（2）当m≤2时，证明f（x）>0。
（1）解：f（x）=ex-ln（x+m） f'（0）=ex -m=1，定义域为（-1，+∞），。
压轴大题巧突破 利用导数研究函数的零点或方程的根课件 文课件
＋c (e＝
【化整为零】 第(2)问基础问题1： 方程|ln x|＝f(x)中既有指数，也有对数，如何求解？
求方程|ln x|＝f(x)根的个数，应构造函数g(x)＝|ln x|－ f(x)，转化为判断函数g(x)零点的个数问题．
11 分
压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根
教你如何规范解答 不失分
b．当 x∈(0,1)时，由(1)知
g
x
＝－ln
x－xe－2x－c≥－ln
x－
1e－1＋c 2
>－ln
x－1－c，
③
要使 g(x)>0，只需－ln x－1－c>0，即 x∈(0，e－1－c)；
所以 c>－e－2 时，g(x)有两个零点，
压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根
教你如何规范解答 不失分
当 g 1 ＝－e－2－c<0，即 c>－e－2 时， ②
a．当 x∈(1，＋∞)时，由(1)知
g
x
＝ln
x－xe－2x－c≥ln
x－
1e－1＋c 2
>ln
x－1－c，
③
要使 g(x)>0，只需使 ln x－1－c>0， 即 x∈(e1＋c，＋∞)；
分
③处易忽视
处取得最大值，不能将不等式适当
易错 点三
改变，从而无法判断g(x)的符号，导致解题失误或解题步骤不完
整而失分
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压轴大题巧突破（四）利用导数研究函数的零点或方程的根
教你如何化整为零 破难题
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证明：移项得： x2 2ln x x 2 x 2 =0
令 f x x2 2ln x x 2 x 2 x 0
y
f ' x 2x 2 1 1
2x2 2 x
解： 函数 f x x3 3bx2 2b3 在 , 0 上是增函数，在 0, 2 上是减函数
由 f ' x 3x2 6bx 0 得 x ,0 2b, ， y
b 0 ， f ' x 3x2 6bx 0 得 x 0, 2b
含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。
一、有关三次方பைடு நூலகம்根的问题：
对 Ax3 Bx2 Cx D 0 的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根 x0 ，然后转化
为 x x0 ax2 bx c 0 ， 再 展 开 ， 应 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 a,b, c 。 再 对
y
f x极大值 = f 1 = 6 0
01
3
x
故 f x 的极大值在 x 轴的下方，如图 1，即 f x
的图象与 x 轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选C 。
（图 1）
例 2、已知函数 f x x3 3bx2 2b3在 , 0 上是增函数，在 0, 2 上是减函数，若
通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为 这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单
调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与 x 轴的交点情况，挖 掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。
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利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题
湖北省仙桃市第八中学 杜好军
导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如
x3 6x2 9x 10 0 ，x2 2ln x x 2 x +2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工
具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并 求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐
由 f ' x 0 得1 x 2， f ' x 0得0 x 1
0
1
2x
f x 在 1, 2上递增，在0,1 上递减。
（图 4）
要使关于 x 的方程 x 12 ln x 12 x2 x a 在0, 2 上恰好有两个相异的实
f x 16 恰有一解，求实数 b 的取值范围。
分析：此题给出函数的单调区间，求参数 b 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它
应包含题中给出的单调区间，初步得出 b 的范围。又据 f x 16 恰有一解，即函数
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值16 对应惟一 x 值。可先由单调性画出 f x 草图，然后数形结合分析求解。
判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与 x 轴的交点情况，挖掘出隐含条
件即可得解。
解：方程可化为 x a 1 ln x 12 0
y
令 f x x a 1 ln x 12 x 0 , 2
则 f ' x 1 2 x 1
x 1 x 1
根，只需 f x 的图象与 x 轴在0,1 和 1, 2 上各有一个交点。如图 4
f 0 0
所以有：
f
1
0
f
2
0
a 1 0 即 1 a 1 2 ln 2 0
2 a 1 2 ln 3 0
解之得： 2 2ln 2 a 3 2ln 3
画出其草图，数形结合分析求解。
解：令 f x = x3 6x2 9x 10 则 f ' x = 3x2 12x 9
f ' x = 3 x 1 x 3 当 x 1或 x 3时 f ' x 0 f x 为增函数
当1 x 3 时 f ' x 0 f x 为减函数
ax2 bx c 0 求根得解。如 x3 3x2 2 0 ；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我
们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。
例 1、方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根的个数是 （ ）
A 、3 B 、2 C 、1
D 、0
分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，
2 b 1
二、有关超越方程根的问题：
这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与 x 轴的交
点，则可化难为易。很快得解。
例 3、证明方程 x2 2ln x x 2 x +2 有惟一解。 分析：这一方程形式比较复杂，观察易知 x 1 是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导
x
x
x
x
x 1 2x x 2x x 2
f ' x
x
x 0 2x x 2 x x 2 0 x
当 x 1 0 即 x 1时 ， f ' x 0 ， f x 为增函数
0
1
x
（图 3）
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当 x 1 0 即 0 x 1时， f ' x 0 ， f x 为减函数。 f x极小值 f 1 0 如图 3，此时图象与 x 轴相切。与 x 轴只有惟一交点
由题意 0, 2 0, 2b
2 2b 即 b 1 ①
又 f x 在 ,0 和 2b, 上递增，
0
2b
x
在 0, 2b 上递减。如图 2
（图 2）
f x 在0, 2b 的值域为 f 2b, f 0 即 2b3, 2b3 据图 2 可知，若 f x 16 恰有一解，只需 2b3 16 得 b 2 结合①
故方程 x2 2ln x x 2 x +2 有惟一解 x 1。
例 4、若关于 x 的方程 x 12 ln x 12 x2 x a 在0, 2 上恰好有两个相异的实根，
求实数 a 的取值范围。
分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数