利用导数讨论超越方程根的问题

y
f x极大值 = f 1 = 6 0
01
3
x
故 f x 的极大值在 x 轴的下方，如图 1，即 f x
的图象与 x 轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选C 。
（图 1）
例 2、已知函数 f x x3 3bx2 2b3在 , 0 上是增函数，在 0, 2 上是减函数，若
利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题
湖北省仙桃市第八中学 杜好军
导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如
x3 6x2 9x 10 0 ，x2 2ln x x 2 x +2 方程的根的问题时，我们利用导数这一工
具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并 求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐
ax2 bx c 0 求根得解。如 x3 3x2 2 0 ；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我
们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。
例 1、方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根的个数是 （ ）
A 、3 B 、2 C 、1
D 、0
分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，
2 b 1
二、有关超越方程根的问题：
这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与 x 轴的交
点，则可化难为易。很快得解。
例 3、证明方程 x2 2ln x x 2 x +2 有惟一解。 分析：这一方程形式比较复杂，观察易知 x 1 是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导
含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。
一、有关三次方程根的问题：
对 Ax3 Bx2 Cx D 0 的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根 x0 ，然后转化
为 x x0 ax2 bx c 0 ， 再 展 开 ， 应 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 a,b, c 。 再 对
数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求 解。
证明：移项得： x2 2ln x x 2 x 2 =0
令 f x x2 2ln x x 2 x 2 x 0
y

f ' x 2x 2 1 1
2x2 2 x
f x 16 恰有一解，求实数 b 的取值范围。
分析：此题给出函数的单调区间，求参数 b 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它
应包含题中给出的单调区间，初步得出 b 的范围。又据 f x 16 恰有一解，即函数
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值16 对应惟一 x 值。可先由单调性画出 f x 草图，然后数形结合分析求解。
解： 函数 f x x3 3bx2 2b3 在 , 0 上是增函数，在 0, 2 上是减函数
由 f ' x 3x2 6bx 0 得 x ,0 2b, ， y
b 0 ， f ' x 3x2 6bx 0 得 x 0, 2b
故方程 x2 2ln x x 2 x +2 有惟一解 x 1。
例 4、若关于 x 的方程 x 12 ln x 12 x2 x a 在0, 2 上恰好有两个相异的实根，
求实数 a 的取值范围。
分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数
根，只需 f x 的图象与Байду номын сангаасx 轴在0,1 和 1, 2 上各有一个交点。如图 4
f 0 0
所以有：

f
1

0

f

2

0
a 1 0 即 1 a 1 2 ln 2 0
2 a 1 2 ln 3 0
解之得： 2 2ln 2 a 3 2ln 3
由题意 0, 2 0, 2b
2 2b 即 b 1 ①
又 f x 在 ,0 和 2b, 上递增，
0
2b
x
在 0, 2b 上递减。如图 2
（图 2）
f x 在0, 2b 的值域为 f 2b, f 0 即 2b3, 2b3 据图 2 可知，若 f x 16 恰有一解，只需 2b3 16 得 b 2 结合①
画出其草图，数形结合分析求解。
解：令 f x = x3 6x2 9x 10 则 f ' x = 3x2 12x 9
f ' x = 3 x 1 x 3 当 x 1或 x 3时 f ' x 0 f x 为增函数
当1 x 3 时 f ' x 0 f x 为减函数
通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为 这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单
调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与 x 轴的交点情况，挖 掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。
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判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与 x 轴的交点情况，挖掘出隐含条
件即可得解。
解：方程可化为 x a 1 ln x 12 0
y
令 f x x a 1 ln x 12 x 0 , 2
则 f ' x 1 2 x 1
x 1 x 1
由 f ' x 0 得1 x 2， f ' x 0得0 x 1
0
1
2x
f x 在 1, 2上递增，在0,1 上递减。
（图 4）
要使关于 x 的方程 x 12 ln x 12 x2 x a 在0, 2 上恰好有两个相异的实
x
x
x
x
x 1 2x x 2x x 2
f ' x
x
x 0 2x x 2 x x 2 0 x
当 x 1 0 即 x 1时 ， f ' x 0 ， f x 为增函数
0
1
x
（图 3）
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当 x 1 0 即 0 x 1时， f ' x 0 ， f x 为减函数。 f x极小值 f 1 0 如图 3，此时图象与 x 轴相切。与 x 轴只有惟一交点