第7章 线性预测和最优线性滤波器

k
)
am1(k) am (m)am* 1(m k),1 k m 1, m 1, 2,L , p
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
5. 反射系数递推公式
递推公式为：
Kp ap ( p)
Am1(z)
Am1
(z) KmBm 1 Km 2
(
z)
,
m
1,
2,L
,
p
详细公式为：
Km am (m)
k 0
k 0
p
z p a*p (k )zk z p A*p (z1) k 0
bp (k) a*p ( p k), k 0,1,L , p
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
直接型FIR滤波器的全零点格型滤波器等效：
f0 (n) g0(n) x(n)
fm (n) fm1(n) Km gm1(n 1), m 1, 2,L , p
即p阶线性预测器的输出是一个白噪声序列。
▲
■
7.2 前向线性预测
结论：对于给定的随机信号 x(n)，若其最佳前向线性
预测器的阶次等于 x(n)的AR模型阶次时，其前向线性 预测误差为白噪声序列。所以阶次等于AR模型阶次的 最佳前向预测误差滤波器实际上是AR模型的逆系统，
即白化滤波器。
w(n)
H(z) 1
▲
■
7.2 前向线性预测
其预测误差为 p f p (n) x(n) xˆ(n) x(n) ap (k)x(n k) (a) k 1
——称此预测器为p阶前向线性预测器。
令误差的均方值最小，即求
E
f
p
(n)
2
0
由此解得
ap (k)
E x(n i) f p (n) 0 i 1, 2,L , p
am1 (k )
am (k) Kmbm (k) 1 Km 2
am (k)
am (m)am* (m 1 am (m) 2
k)
,
m 1, 2,L , p
▲
■
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
不能精确使预测误差为零，而只能从统计意义 上做到最优预测，使预测误差的均方值最小。
实际获得的信号是带噪声干扰的，这使得预测 和滤波紧密相连，称为带滤波的预测或预测滤 波。不考虑噪声干扰时的预测或不带滤波的预 测为纯预测。
▲
■
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
1. 信号之间的关联性
信号之所以能够预测，在于数据间存在不同 程度的关联性。预测就是利用数据前后的关联性， 根据其中一部分推知其余部分。显然数据间关联 越密切，预测越准确；完全不关联，则无法预测。
▲
■
7.1 线性预测的依据和特点
1. 信号之间的关联性
周期信号：只要知道一个周期，则以后的 信号就可以按照第一个周期完全无误地预 测出来。 白噪声信号：由于其前后毫无关联，使预 测无所依据而无法预测。 平稳随机信号：均值为常数，自相关函数 只与时间间隔有关，可以进行预测。
x(n) x(n)
w(n)
H -1(z) A(z)
A(z)
图a AR(p)模型
图b 预测误差模型
▲
■
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
▲
■
7.1 线性预测的依据和特点
2. 系统惯性
(n)
x(n)
H (z)
x(n) (n)hn
H (z) 是有惯性的系统，因而 x n是有色的。
▲
■
7.1 线性预测的依据和特点
3. 随机信号预测特点
只能利用随机信号的统计规律作为预测的依据， 也就是说随机信号之所以能够预测在于其存在 某些统计上的规律。
rx (0) ap (k)rx (k) k 1
(c)
联立式(b)与式(c)得
▲
■
7.2 前向线性预测
矩阵 形式
p
rx (i) k1 ap (k)rx (i k)
p
i 1, 2,L , p (d)
rx (0) k1 ap (k)rx (k) EPf
rx (0)
rx (1)
4. 预测系数递推公式
递推关系：
Am (z)
Am1
(
z)
Km
z
B 1 m1
(
z),
m
1,
2,L
,p
m
m1
m1
am (k)zk
am1(k )zk Km
a* m1
(m
1
k
)z
(
k
1)
k 0
k 0
k 0
具体如下：
am (0) 1, am (m) Km
am
(k)
am1(k )
K
m
a* m1
(m
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
重点和要求
1. 前向预测概念 2. 预测器格型表示 3. 前向预测中的正规方程的解法 4. 维纳滤波器理论及其设计方法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.2 前向线性预测
➢ 前向线性预测 ➢ 后向线性预测 ➢ 格形滤波器
▲
■
7.2 前向线性预测
已知n时刻以前的p个信号数据 x(n p),
x(n p 1),L , x(n 1) ，用这p个数据来线性预测
n时刻信号 x(n) 的值，如图所示，预测值为
p
xˆ(n) ap (k)x(n k) k 1
(n)
gl*
(n)
0, 0 Emb ,
l l
m m
1
➢ 前后向预测滤波器的其他性质，教材633页
▲
■
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
▲
Bm (n)
K
* m
Am1
(
z
)
z
1Bm
1
(
z
),
m
1, 2,L
,
p
从上式可以推出：
Am (z)
Am1 (
z)
Km
z
B 1 m1
(
z),
m
1,
2,L
,p
m
m1
m1
am (k)zk
am1(k )zk Km
a* m1
(m
1
k
)z
(k
1)
k 0
k 0
k 0
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
前向预测滤波器性质：
➢ 白化性质
➢ 预测滤波器是 最小相位系统
首先我们阐述白化性质，回忆AR过程的Yule-Walker方
程：
p
ak rx (m k)
mq
rx
(m)
k
1 p
ak
rx
(m
k
)
2 w
0mq
k 1
rx*(m)m 0
▲
■
7.2 前向线性预测
（d）式与AR模型参数的正则方程式极其相似，有
k 0
其MMSE为 ap (0) 1
Fm (z) Fm1(z) Km z1Gm1(z), m 1, 2,L , p
Gm (n)
K m*
Fm1
(z)
z
G 1 m1
(
z),
m
1, 2,L
,
p
把它们都除以X(z)得到
A0 (z) B0 (z) 1
Am (z) Am1(z) Km z1Bm1(z), m 1, 2,L , p
gm (n)
K
* m
f
m1
(n)
g
m1
(n
1),
m
1,
2,L
,p
其中 Km 为反射系数， gm (n) 为后向预测误差。
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
全零点格型滤波器和前后向预测器误差的关系：
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
3. 格型滤波器的Z域表示 格型滤波器的时域表达式为
f0 (n) g0(n) x(n) fm (n) fm1(n) Km gm1(n 1), m 1, 2,L , p gm (n) Km* fm1(n) gm1(n 1), m 1, 2,L , p
k 1
对应的最小均方误差和前向预测器相同。
p
EPb EPf rx (0) ap (k)rx (k) k 1 ▲
EPb
=min[
b P
]
■
7.3 后向线性预测
后向预测滤波器性质：
➢ 最大相位系统性质
Bp (z) z p A*p (z1)
Ap (z) 具有最小相位
➢ 后向预测误差的正交性
E
gm
p
bp (k)x(n k),bp ( p) 1 k 0
▲
■
7.3 后向线性预测
后向预测器也可用直接型FIR滤波器结构或格型 结构实现，其对应系数和前向滤波器的关系如下：
bp (k) a*p ( p k), k 0,1,L , p
预测误差可以表示为
g p (n) x(n p) xˆ(n p)
将式(a)代入上式，得
▲
■
7.2 前向线性预测
p
rx (i) ap (k)rx (i k) i 1, 2,L , p
(b)
k 1
由最小均方误差的表达式及正交性原理可求得最
小的均方误差为
EPf
min[
f P
]
E
f
p
(n)
2
Leabharlann Baidu
E (x(n) xˆ(n)) f p (n)
E x(n) f p (n) E x(n) x(n) xˆ(n) p
第七章 线性预测和最优线性滤波器
7.1 线性预测的依据和特点 7.2 前向线性预测 7.3 后向线性预测 7.4 预测器与格型滤波器关系 7.5 最优化正规方程解法
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.1 线性预测的依据和特点
• 信号之间的关联性 • 系统的惯性 • 随机信号预测特点
▲
■
7.1 线性预测的依据和特点
Bm (n)
K
* m
Am 1 (
z)
z
B 1 m1
(
z
),
m
1,
2,L
,
p
其对应的矩阵形式为
Am Bm
(z) (z)
1Km*Kzmz1
1
Am 1 ( Bm1 (
z) z)
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
4. 预测系数递推公式
A0 (z) B0 (z) 1
Am (z) Am1(z) Km z1Bm1(z), m 1, 2,L , p
7.3 后向线性预测
用同一组数据 x(n p 1),L , x(n 1) x(n),
来同时实现前向和后向预测，则后向预测器表示
为
p 1
xˆ(n p) bp (k)x(n k)
k 0
预测误差
g p (n) x(n p) xˆ(n p)
p 1
x(n p) bp (k)x(n k) k 0
p 1
x(n p) bp (k)x(n k) k 0
p
*
x(n p) ap (k)x(n p k)
k 1
▲
■
7.3 后向线性预测
对应的均方误差为
b P
E
g p (n)
2
rx (0)
p 1
bp (k)rx (k)
k 0
仿照前向预测器的推导方法，最小化均方误差可
导出：
p
rx (l) ap (k)rx (l k) l 1, 2,L , p
M
rx ( p)
rx (1)
L
rx (0)
L
M
O
rx ( p 1) L
rx ( p) rx ( p 1)
M
1
a1
M
E
f p
0
M
rx
(0)
a
p
0
——前向线性预测的Wiener-Hopf方程
解此方程则得p阶线性预测器的最佳参数 ap (k)
及 EPf 。
▲
■
7.2 前向线性预测
相应的z变换的表达式为
F0 (z) G0 (z) X (z)
Fm (z)
Fm1(z)
K
m
z
G 1 m1
(
z),
m
1, 2,L
,
p
Gm (n)
K
* m
Fm1
(
z
)
z
1Gm
1
(
z
),
m
1, 2,L
,
p
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
3. 格型滤波器的Z域表示
它们z变换的表达式为
F0 (z) G0 (z) X (z)
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
预测误差可以表示成直接型FIR滤波器
p
Ap (z) ap (k)zk k 0
▲
■
7.4 预测器与格形滤波器关系
前后向预测误差滤波器系数之间关系的z域表示：
Gp(z) Bp(z)X (z)
Bp
(z)
Gp (z) X (z)
Gp (z) G0 (z)
p
p
Bp (z) bp (k)zk a*p ( p k)zk
ap (k) a(k)，Epf
2 w
成立。这说明，对于同一个
p阶的AR随机信号 x(n) ，其AR模型和同阶的最
佳线性预测器模型是等价的。所以有
p
f p (n) x(n) xˆ(n) x(n) ap (k)x(n k)
m
k 1
(f )
x(n) a(k)x(n k) w(n)
k 1
7.6 用于滤波和预测维纳滤波器
7.5 最优化正规方程解法
1. 正规方程
前向预测误差均方值最小化得到的预测器系数为正规方
程，即
p
rx (l) ap (k)rx (l k),l 1, 2,L , p
k 1
其对应的紧凑形式为 p
ap (k)rx (l k) 0,l 1, 2,L , p