高中数学复合函数练习题
高考数学 高考试题教学运用与探究 破解复合函数方程 试题
换元法破解复合函数方程的解本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
复合函数是高考的重点和热点内容之一，可以全面考察学生对函数概念和性质的理解，考察函数与方程、转化与化归、数学结合、分类讨论等数学思想，是高中数学的一个难点．如何破解复合函数的有关问题呢？此类问题的破解途径是主要借助于换元法，应用数形结合的数学思想进展求解．【例1】函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对()0,x ∈+∞都有()44f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，那么()f x =_____．【分析】由于函数具有单调性，函数值为4的值只有一个，()4f x x-必定为一个常数，因此，可以借助于换元法求解函数的解析式..【解析】因为函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，所以()4f x x-为一个常数； 令()4,t f x x =-那么()4f t =，且()4,f x t x=+所以()4f t t t=+，即44t t =+，解得：2t =．故4()2,f x x =+答案为4()2f x x=+．【点评】一般地，此类复合函数方程的问题的解决方法是结合函数的图象与性质，应用函数与方程、数形结合的数学思想，结合换元法，灵敏赋值，进而探求函数的解析式.【变式1】()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，那么(2)f = .【例2】〔2021〕假设函数()y f x =在0x x =处获得极大值或者极小值,那么称0x 为函数()y f x =的极值点.a b ，是实数,1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点.(1)求a 和b 的值；(2)〔略〕(3)设()()()h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.【分析】函数()y h x =的零点亦即函数对应方程()()ff x c =的解．此题是复合函数的零点问题，势必要借助于换元法，令()t f x =，转化为函数()f t c =的解的问题，应用数形结合的数学思想讨论()f t c =的解的各种情形，最后，根据所求的t 的值，再次应用数形结合的数学思想求解()f x t =的解．【解析】解:(1) 3()3f x x x =-. (2) (略)(3)首先，复原复合函数的复合过程. 令()f x t =,那么()y f t c =-. 其次，研究内层函数的单调性.因为3()3f x x x =-,()()()=311f'x x x +-，所以，当(),1x ∈-∞-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,1x ∈-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,x ∈+∞时,3()3f x x x =-单调递增，()()()()212,122f f f f -==--==如下图：再次，研究外层函数()y f t c =-的零点，即对应方程()f t c =的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.关于x 的函数()[]()2, 2y f t c t =-∈-的零点情况，即方程()[]()2, 2f t c t =∈-的解的情况. 当2c =时，()2f t =-的两个不同的根为122,1t t =-=，此时，()12f x t ==-有两个解，()21f x t ==有三个解，故()y h x =有5个解；注意到()y f t =是奇函数，()2f t =也有5个解.当2c <时，()f t c =的三个不同的根为()123,,2,2t t t ∈-，此时，()()12,2f x t =∈-有三个解，同理，()()22,2f x t =∈-有三个解，()()32,2f x t =∈-有三个解，故()y h x =有9个解；综上所述,当2c =时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 【评注】复合函数的零点的个数问题主要考察数形结合思想和分类讨论思想，综合性较强，全方位地考察分析问题和解决问题的才能.此类问题的解决的三个环节是：〔1〕复原复合函数的复合过程； 〔2〕研究内层函数的单调性；〔3〕研究外层函数的零点，即对应方程的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.【变式2】设函数()()()220log 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为 ． 【变式3】函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称．据此可推测，对任意的非零实数,,,,,,a b c m n p 关于x 的函数()()2y mf x nf x p =++的零点不可能是A. {}1,2B. {}1,5C. {}1,2,3,4D. {}1,4,16,64【变式4】函数()()()12212x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ ，关于x 的方程()2()0f x bf x c ++=的有三个解123,,x x x ，那么222123x x x ++= .【例3】关于x 的函数()()22211f x x x k =---+，给出以下四个命题：①存在实数k ，使得函数恰有2个零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个零点.其中假命题的个数是 〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【分析】函数()y f x =的零点亦即函数对应方程()0f x =的解．复合函数()y f x =的零点问题，令21t x =-(0)t ≥，转化为函数()20y t t k t =-+≥的零点问题．而含有参数的方程()20y t t k t =-+≥的解的个数须转化为两个函数()212,0y k y t t t ==-≥的图象的交点的个数来求解，进而借助于数形结合、分类讨论思想数学思想加以解决．【解析】首先，复原复合函数的复合过程；令21t x =-(0)t ≥，那么函数()20y t t k t =-+≥；其次，研究内层函数的单调性； 作出函数21y x =-的图象，如图：程再次，研究外层函数()20y t t k t=-+≥的零点，即对应方解.()20k t t t =-+≥的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的此〔1〕当0k <时，方程()20k t t t =-+≥有一个解1t >，时，211t x =->有2解，故函数()y f x =有2解；〔2〕当0k =时，方程()20k t t t =-+≥有两个解121,0t t ==，此时，2110t x =-=有2解，2211t x =-=有3解，故函数()y f x =有5解；〔3〕当104k <<时，方程()20k t t t =-+≥有两个解()12,0,1t t ∈，此时，()2110,1x t -=∈有4解，()2210,1x t -=∈也有4解，故函数()y f x =有8解；〔4〕当14k =时，方程()20k t t t =-+≥有一个解12t =，此时，2112x -=有4解，故函数()y f x =有4解；〔5〕当14k >时，方程()20k t t t =-+≥无解，故函数()y f x =无解. 应选A.【评注】数形结合的思想，其本质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的互相转化，可以使代数问题几何化，几何问题代数化．复合函数的零点问题，实际上就是复合函数对应方程的解的个数问题，假设是仅从方程的角度考虑，难以奏效，而从函数图象的角度来考虑却轻松获解，这也就是思维的灵敏性．【变式5】关于x 的函数()sin sin 29438xx f x a a a =⋅+⋅+-有零点，那么a 的取值范围〔 〕A.0>a 或者8-≤aB.0>aC.3180≤<a D.2372318≤≤a【变式6】〔2021年〕函数()32f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，假设()112f x x x =<，那么关于x 的函数()()2320f x af x b ++=的解的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【变式7】函数()()()()333log 22log 52log 2x x x f x a =-+---，求函数()y f x =的零点个数.变式训练提示：变式1【提示】因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()3xf x -为一个常数；设()3x f x m -=，那么()4f m =，()3xf x m =+。
高中数学复合函数练习题
第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D ，即，所以的作用范围为D ，又f 对作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得，E 为的定义域。
例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e ） 例2. 若函数，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知即f 的作用范围为，又f 对f(x)作用所以，即中x 应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即，由此得所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知解得，f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以，即的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f 对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。
2020高中数学 检测(四)复合函数求导及应用(含解析)2-2
课时跟踪检测（四）复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一简单复合函数求导问题1．y＝cos3x的导数是（)A．y′＝－3cos2x sin x B．y′＝－3cos2xC．y′＝－3sin2x D．y′＝－3cos x sin2x解析:选A 令t＝cos x，则y＝t3,y′＝y t′·t x′＝3t2·（－sin x)＝－3cos2x sin x。
2．求下列函数的导数．(1）y＝ln（e x＋x2);（2）y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x。
解：(1）令u＝e x＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝错误!·（e x＋x2）′＝错误!·(e x＋2x)＝错误!。
（2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·（2x＋3）′＝2×102x＋3ln 10。
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－错误!(1－cos 4x)＝错误!＋错误!cos 4x.所以y′＝错误!′＝－sin 4x。
对点练二复合函数与导数运算法则的综合应用3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x解析：选B y′＝（x2）′cos 2x＋x2（cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·（2x）′＝2x cos 2x－2x2sin 2x。
4．函数y＝x ln(2x＋5）的导数为（)A．ln(2x＋5)－错误!B．ln(2x＋5)＋错误!C．2x ln（2x＋5) D．错误!解析：选B y′＝[x ln（2x＋5）]′＝x′ln（2x＋5）＋x［ln（2x＋5)］′＝ln(2x＋5）＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln（2x＋5）＋错误!。
高中数学：求解复合函数定义域
高中数学：求解复合函数定义域
函数的定义域是函数的灵魂，是研究函数及应用函数解决问题的基础，处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识，因此求函数的定义域是最关键的问题。
但对于求复合函数的定义域，大部分同学感到很棘手，下面着重谈谈复合函数定义域的求法。
一、已知的定义域，求的定义域
例1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。
分析：函数的定义域是式子当中x的取值范围，确保两个函数中整体x，的取值范围相同。
解析：依题意有，
∴。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是使函数的的取值范围。
二、已知的定义域，求的定义域
例2、已知函数的定义域为，求的定义域。
解析：∵的定义域为，
∴，。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是函数的值域。
三、已知的定义域，求的定义域
例3、已知函数的定义域为，求的定义域。
分析：应由确定的范围，求出函数的定义域，进而再求的定义域，它是例1和例2的综合应用。
解析：因为的定义域是（，0），即其中的x 应满足，所以，的定义域为（1，2），所以函数应满足，于是有或，所以或，故原函数的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则可得的值域为B，那么函数的定义域是使的的取值范围。
高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题单选题1、若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则必有（ ）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增 答案：A分析：根据条件可得当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，从而可判断. 由f(a)−f(b)a−b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.2、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞) 答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意； 若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)， ∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4；综上所述：a 的取值范围为[0,4]. 故选：C.3、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B4、已知幂函数y =x m 2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则满足(a +1)−m3<(3−2a )−m 3的a 的取值范围为（ ）A ．(0,+∞)B ．(−23,+∞) C ．(0,32)D ．(−∞,−1)∪(23,32)答案：D分析：由条件知m 2−2m −3<0，m ∈N ∗，可得m ＝1．再利用函数y =x −13的单调性，分类讨论可解不等式. 幂函数y =x m2−2m−3(m ∈N ∗)在(0,+∞)上单调递减，故m 2−2m −3<0，解得−1<m <3．又m ∈N ∗，故m ＝1或2．当m ＝1时，y =x −4的图象关于y 轴对称，满足题意； 当m ＝2时，y =x −3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1． 不等式化为(a +1)−13<(3−2a )−13，函数y =x −13在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，故a +1>3−2a >0或0>a +1>3−2a 或a +1<0<3−2a ，解得a <−1或23<a <32．故应选：D ．5、已知函数f (x +1)的定义域为(−1,1)，则f (|x |)的定义域为（ ） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(0,2) C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−12,0) 答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 依题意函数f (x +1)的定义域为(−1,1)， −1<x <1⇒0<x +1<2， 所以0<|x |<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x−5)f(x−1)<0的解集为（）A．(−2,52)∪(4,+∞)B．(4,+∞)C．(−∞,−2)∪[52,4]D．(−∞,−2)答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x−5>0f(x−1)<0、{2x−5<0f(x−1)>0求解集即可. 由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，对于(2x−5)f(x−1)<0，当{2x−5>0f(x−1)<0，即{x>52x−1<−3或{x>52x−1>3，可得x>4；当{2x−5<0f(x−1)>0，即{x<52−3<x−1<3，可得−2<x<52；综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞).故选：A7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1， 故选：C 8、函数f (x )=√−x 2+5x+6x+1的定义域（ ）A ．(−∞,−1]∪[6,+∞)B ．(−∞,−1)∪[6,+∞)C ．(−1,6]D ．[2,3] 答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x +6≥0x +1≠0得出定义域.{−x 2+5x +6≥0x +1≠0，解得−1<x ⩽6即函数f (x )的定义域(−1,6] 故选：C 多选题9、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C[0,1]项错误，D项正确．故选：ABD10、下列各组函数是同一函数的是（）A．y=|x|x与y=1B．y=√(x−1)2与y=x−1C．y=(√x)2x 与y=(√x)2D．y=x3+xx2+1与y=x答案：CD分析：根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.对于A：函数y=|x|x的定义域为x≠0，函数y=1定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数y=√(x−1)2定义域为R，化简可得y=|x−1|，与y=x−1解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数y=(√x)2x 定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，函数y=(√x)2定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，故为同一函数；对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为R，化简可得y=x，与y=x为同一函数.故选：CD11、如图所示是函数y=f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A．函数f(x)的定义域为[−4,4)B．函数f(x)的值域为[0,+∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应答案：BD分析：利用函数的图象判断.由图象知：A.函数f(x)的定义域为[−4,0]∪[1,4)，故错误；B.函数f(x)的值域为[0,+∞)，故正确；C. 函数f(x)在[−4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故正确；故选：BD12、已知函数y=(m−1)x m2−m为幂函数，则该函数为（）A．奇函数B．偶函数C．区间(0,+∞)上的增函数D．区间(0,+∞)上的减函数答案：BC分析：由幂函数的概念可得m的值，根据幂函数的性质可得结果.由y=(m−1)x m2−m为幂函数，得m−1=1，即m=2，则该函数为y=x2，故该函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，故选：BC.13、已知函数f(x)是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，当x∈(0,4]时，f(x)的图象如图所示，那么满足不等式f(x)−3x+1−3≥0的x的可能取值是（）3A ．－4B ．－1C ．12D ．2 答案：AC分析：把“求f(x)−3x+1−33≥0的解集”转化为“求f (x )≥3x −1的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集．因为函数f (x )是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，由题意，画出函数f (x )在[−4,0)∪(0,4]上的图象（如图），在同一坐标系内画出y =3x −1的图象，因为f (2)=89，所以f (−2)=−f (2)=−89=3−2−1，又f (1)=2=31−1，所以f (x )的图象与y =3x −1的图象交于(−2,−89)和(1,2)两点，f (x )−3x+1−33≥0即为f (x )≥3x −1，由图象可得，只需−4≤x ≤−2或0<x ≤1，故A ，C 可能取到故选：AC ． 填空题14、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________. 答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增， 根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).15、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果表示区间端点连线斜率的负数，−f(b)−f(a)b−a在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.16、已知幂函数f(x)的图象过点(3,13)，则此函数的解析式为______．答案：f(x)=x−1##f(x)=1x分析：设出幂函数f(x)，代入点(3,13)即可求解.由题意，设f(x)=xα，代入点(3,13)得13=3α，解得α=−1，则f(x)=x−1.所以答案是：f(x)=x−1.解答题17、已知函数f(x)=x2x2+1(1)证明：f(x)为偶函数；(2)判断g(x)=f(x)+x的单调性并用定义证明；(3)解不等式f(x)−f(x−2)+2x>2答案：(1)证明见解析(2)g(x)为R上的增函数，证明见解析(3)(1,+∞)分析：（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）首先得到g(x)的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）证明：f(x)的定义域为R，又f(−x)=(−x)2(−x)2+1=x2x2+1=f(x)，故f(x)为偶函数；（2）解：g(x)=f(x)+x=x2x2+1+x，所以g(x)为R上的增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1>x2，g(x1)−g(x2)=x12x12+1+x1−(x22x22+1+x2)=x1−x2+x12x12+1−x22x22+1=x1−x2+x12(x22+1)−x22(x12+1) (x12+1)(x22+1)=x1−x2+x12−x22(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)[1+x1+x2(x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+x12+x22+1+x1+x2 (x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)].∵x1>x2，∴x2−x2>0，又x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)>0，∴(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)]>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)为R上的增函数；（3）解：不等式f(x)−f(x−2)+2x>2，等价于f(x)+x>f(x−2)+2−x=f(2−x)+2−x即g(x)>g(2−x)，∵g(x)为R上的增函数，∴x>2−x，解得x>1，故不等式的解集为(1,+∞).18、函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)<0，且f(1)=13．（1）证明f(x)是奇函数；（2）证明f(x)在R上是单调递增函数；（3）若f(x)+f(x−3)≥−1，求实数x的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[0,+∞)．分析：（1）先用赋值法求出f(0)=0，令y=−x，即可根据定义证明f(x)是奇函数；（2）利用定义法证明f(x)是R上的增函数；（3）先把f(x)+f(x−3)≥−1转化为f(2x−3)≥f(−3)，利用单调性解不等式即可．（1）令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，解得f (0)=0，令y =−x ，则f (0)=f (x )+f (−x )，即f (x )+f (−x )=0，即f (−x )=−f (x )， 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数；（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，因为当x <0时，f (x )<0，所以f (x 1−x 2)<0，则f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)+f (−x 2)=f (x 1−x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数；（3）由f (1)=13，得f (2)=23，f (3)=1，又由f (x )是奇函数得f (−3)=−1. 由f (x )+f (x −3)≥−1，得f (2x −3)≥f (−3)，因为函数f (x )是R 上的增函数， 所以2x −3≥−3，解得x ≥0，故实数x 的取值范围为[0,+∞)．。
高中数学函数基础练习题
高中数学函数基础练习题
1. 一元二次函数
a. 已知一元二次函数的顶点坐标为（2，-3），过该点的切线
方程为y=2x+1。
求该函数的解析式。
b. 若一元二次函数经过点（1，2）和（3，-4），求该函数的
解析式。
2. 指数函数
a. 已知指数函数的解析式为y=2^x，求使得y=8的x的取值。
b. 若指数函数的解析式为y=3^x，求使得y=1/27的x的取值。
3. 对数函数
a. 已知对数函数的解析式为y=log2(x)，求使得y=4的x的取值。
b. 若对数函数的解析式为y=log5(x)，求使得y=1/125的x的取值。
4. 三角函数
a. 已知三角函数y=sin(x+π/6)，求使得y=1的x的取值。
b. 已知三角函数y=cos(2x+π/3)，求使得y=0的x的取值。
5. 合并函数
a. 已知函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=x^2，h(x)=√(x+7)，求函数f(x)=h(g(x))的解析式。
6. 组合函数
a. 已知函数f(x)=2x^3-3x+1，求函数g(x)=f(f(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=√(x+1)，求函数f(x)=g(g(x))的解析式。
7. 复合函数
a. 已知函数f(x)=3x+5，g(x)=2x-1，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=3x-2，h(x)=2x+4，求函数f(x)=g(h(x))的解析式。
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3 简单的复合函数的导数
复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每 次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为 止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．
课时学案
题型一 明确复合关系
例 1 指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(2－x2)3；
(2)y＝sinx2；
(3)y＝cosπ4－x； (4)y＝lnsin(3x－1)．
2．若可导函数 f(x)满足 f′(3)＝9，则 f(3x2)在 x＝1 处的导数 值为_____54___．
解析 ∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)， ∴f(3x2)在 x＝1 处的导数值为 6×1×f′(3)＝54.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝sin22x＋π3； (2)y＝cos22x；
【解析】 (1)设 y＝u2，u＝－2x＋1，则 y′x＝y′u·u′x＝2u·(－ 2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设 y＝eu，u＝x－1，则 y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
(3) 设
y ＝ log2u ， u ＝ 2x ＋ 1 ， 则
y′x
＝
y′u
·
u
′
x
＝
2 uln2
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－12(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－32·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点4，12处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－ 12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156. ∴曲线在点4，12处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x ＋16y－28＝0.
【解析】 (1)函数的导数 f′(x)＝12· 3x12＋1·6x＝ 3x32x＋1， 则曲线在点(1，2)处的切线斜率 k＝f′(1)＝ 33＋1＝32，则对应 的切线方程为 y－2＝32(x－1)， 即 3x－2y＋1＝0. (2)y′＝x(1－x2)－32，令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1.
复合函数的几个重要问题例析
合函数的单调性．
例 ４ 已 知 函 数 ｙ＝ｌｏｇ（ａ ｘ２－ ｋｘ－ ｋ）（ ０＜ａ＜１） 在 区
间（ － ∞， １－ " ３ ） 上是增函数， 求实数 ｋ 的范围． 分析 条件中的函数由对数函数与二次函数
复合而成的， 其中对数函数是单调递减函数， 根据复
合函数的复 合 规 律 知 要 使 条 件 中 的 函 数 ｙ＝ｌｏｇ（ａ ｘ２－ ｋｘ－ ｋ） 是增函数， 则应使二次函数为减函数 ， 由 此 建
（
）
Ａ．（ｆ １） ＜（ｆ ５ ） ＜（ｆ ７ ） ２２
Ｂ．（ｆ ７ ） ＜（ｆ １） ＜（ｆ ５ ）
２
２
Ｃ．（ｆ ７ ） ＜（ｆ ５ ） ＜（ｆ １） ２２
Ｄ．（ｆ ５ ） ＜（ｆ １） ＜（ｆ ７ ）
２
２
解析 此题是复合函数奇偶性的运用， 由函数
（ｆ ｘ＋２） 是 偶 函 数 ， 得 （ｆ ｘ＋２） ＝（ｆ － ｘ＋２） ， 所 以 函 数 ｙ＝
３
３
由ｙ＝（ １ ） ｕ 和 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ 复 合 而 成 的 ， 其 中 ｙ＝（ １ ） ｕ
３
３
是单调递减函数， 故 （ｆ ｘ） ＝（ １ ） ｘ２－２ｘ 的 单 调 递 减 区 间 ３
是二次函数 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ 的单调递增区间， 由于 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ
在（ １， ＋∞） 是单调递增函数， 故函数 （ｆ ｘ） ＝（ １ ） ｘ２－２ｘ 的 ３
者
专
答案 （ － ∞， － ２） ．
业Ｓ
４．复 合 函 数 的 周 期 性
精心策划
函数 ｕ＝ｇ（ ｘ） 是集合 Ｒ 上的周期函数， ｕ∈Ｍ， （ｆ ｕ） 高 在 Ｍ 上有定义， 则 复 合 函 数 ｙ＝［ｆ ｇ（ ｘ） ］ 也 是 Ｒ 上 的 考
专题22复合函数的零点问题-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(原卷版)
个整数解，则实数a的最大值为（）
A．2B．3C．5D．8
5.（2020·吉林长春）函数f(x)2sinxsin2x在0,2的零点个数为（）
A．2B．3C．4D．5
6.（2018·辽宁期中）定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1x)f(1x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝f(x)－ae－在区间[2018,2018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是
.
10.（2020·霍邱县）已知函数fxxefx2tfx30tR
x2
，若关于x的方程有两个不等实
数根，则t的取值范围为．
第22题复合函数的零点问题
一．题源探究·黄金母题
设函数f(x)
若x0是ff
周期点．
1x, 0xa,
a（a为常数且a0,1
11x,ax1
1a
xx的零点但不是fxx的零点，则称x0
）
为
．
f
(x)
的二阶周期点，求函数
f
(x)
的二阶
【试题来源】2013年高考江西卷改编．
【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．
4个交点，求出参数a
的范围
考向2有关分段函数的复合函数的零点
2x2
,x1
已知函数fx{2
log2x1,x1
Fxffx2fx3的零点个数是（）
2
A．4B．5C．6D．7
，
则
函数
【温馨提醒】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．
考向3二次函数型复合函数的零点问题
已知f(x)=x，若关于的方程f(x)2t(2b+ㄮ)f(x)+b2+b=0恰
高中数学第一章导数及其应用1.2.2复合函数的导数及导数公式的应用习题课件新人教a选修2_2
d＝|2－40＋＋13|＝ 5， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.
答案：A
二、填空题：每小题5分，共15分． 7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂 直，则a＝________.
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
课时2 复合函数的导数及导数公式的应用
作业 ①理解复合函数的概念．②掌握复合函数求导的
目标 方法与步骤，会求一些简单的复合函数的导数．
作业 设计
限时：40分钟 满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．函数y＝2sin3x的导数是( )
A．2cos3x
)
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
D．ex＋e－x
解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．
答案：A
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离
是( )
A. 5
B．2 5
C．3 5
D．0
解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－ y＋3＝0平行．
B．－2cos3x
C．6sin3x
D．6cos3x
解析：y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.
答案：D
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( ) A．ln(2x＋5)－2x＋x 5 B．ln(2x＋5)＋2x2＋x 5 C．2xln(2x＋5)
人教版高中数学必修一 第一章 1.2.2 复合函数问题练习(含答案)
( x1 2 x1 3) ( x 2 2 x 2 3) = ( x 2 x1 )( x 2 x1 2)
∵ x 2 x1 3
2
2
2
∴ x 2 x1 0
2
x2 x1 2 0
又底数 0
∴ ( x1 2 x1 3) > ( x 2 2 x 2 3) ∴ y 2 y1 0 即 y 2 y1
2
整理得 y x 7 x 6 ，
g ( x) x 2 7 x 6 ．
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造 方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设 f ( x)满足f ( x) 2 f ( ) x, 求 f ( x) ．
三 复合函数定义域问题 (1)、已知
n(n 1) ， 2
f ( x)
的定义域 ，所以 ，E 为 的作用范围为 D，又 f 对 的定义域。 的定义域为_____________。 ，所以 的作用范围为（0，1）
思路：设函数
的定义域为 D，即
x x 2 x x 4 则 2 ，解得： ， y y 6 y y 3 2
点 M ( x , y ) 在 y g ( x) 上 ， y x 2 x ．
把
x x 4 2 代入得： 6 y ( x 4) ( x 4) ． y 6 y
① 1得 ：
式 中 的 x＝ 1， 2， …， n－ f (2) f (1) 2，f (3) f (2) 3， ，f (n) f (n 1) n
将上述各式相加得： f ( n) f (1) 2 3 n ，
高中数学课时素养评价5.._5..3导数的四则运算法则简单复合函数的导数含解析选择性第二册
十五导数的四则运算法则简单复合函数的导数(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·秦州高二检测)函数f(x）=x—2ln x,则f′（1）=（）A。
—1 B。
1 C。
2 D.-2【解析】选A.根据题意,f(x)=x—2ln x，其导数f′(x)=1-，则f′(1)=1—2=-1.2。
（2020·福州高二检测）已知函数f（x）=,则f′(x）= (）A. B.C。
D。
【解析】选C。
根据题意，f(x）=，则f′（x）==。
3。
(2020·高安高二检测）f(x)=x（2 018+ln x)，若f′（x0)=2 020,则x0等于（）A.e2B。
1 C.ln 2 D。
e【解析】选D.f（x)=x（2 018+ln x）,则f′（x）=2 019+ln x,所以f′（x0)=2 019+ln x0=2 020,所以x0=e。
4.（2020·兰州高二检测）已知f(x)=sin x+cos x+，则f′等于（）A。
—1+ B.1+C.1 D。
—1【解析】选D。
f′(x）=cos x-sin x,故f′=cos —sin =—1。
二、填空题(每小题5分,共10分)5。
(2020·南通高二检测）已知函数f(x）=(x+a）ln x，f′(x）是函数f(x)的导函数.若f(1)=f′(1)，则实数a的值为________。
【解析】根据题意,函数f(x)=(x+a)ln x,则f(1)=(1+a）ln 1=0,则f′(x）=(x+a）′ln x+（x+a）(ln x）′=ln x+,则f′(1）=ln 1+1+a=1+a，则有1+a=0，解得a=-1.答案:—16。
(2020·全国Ⅰ卷）曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.【解题指南】设切线的切点坐标为(x0，y0）,对函数求导，利用y′=2，求出x0，代入曲线方程求出y0,得到切线的点斜式方程，化简即可.【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0）,y=ln x+x+1，y′=+1，y′=+1=2，x0=1,y0=2,所以切点坐标为（1，2)，所求的切线方程为y—2=2(x—1），即y=2x.答案：y=2x三、解答题（每小题10分，共20分)7.求下列函数的导数:（1)y=x.（2)y=.(3）y=cos （3x—2).(4）f(x)=3x2+xcos x+lg x。
高中数学必修1复习讲座第八讲抽象函数与复合函数
学8高中数学必修1复习讲座第八讲抽象函数与复合函数1 1、函数不等式问题：例1：已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
练习1、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
2、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。
3、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。
4. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。
（1）判断f(x)的单调性；（2）设，，若，试确定a的取值范围。
5．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅（Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围。
2．复合函数大致图象问题 例3函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).例4．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）ADy=f(x)oyxy=g(x)oyxoyxoyx oyx oyxA B C D练习1、函数y＝x33x－1的图象大致是()2已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()3已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≥2，x－13，x<2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．5、若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2＋4x＋1，x<0，2e x，x≥0，则f(x)的“友好点对”有________个．习题1．（2014·福建卷）若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()2．（2014·湖北卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 3．（2014·山东卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 4．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A B C D5．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )． A ．2对B ．5对C ．6对D ．无数对6．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )．7．函数＝ln 1|2x－3|的大致图象为(如图所示) ()．8．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a的值为________．9．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．10．讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．11．已知函数f(x)＝x1＋x.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．12．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．13．设函数f (x )＝x ＋1x (x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．。
高中数学求复合函数定义域方法及复合函数苏教版必修2
练习，已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域
（该题实质是将上面两个合成了一个题，答案：0≤x≤1 -1≤2x-1=t≤1 f(t)定义域为[-1，1]，f(3x)有意义-1≤3x≤1∴f(3x)的定义域为[-1/3，1/3] ）
例1、求下列函数的定义域。⑴y= ⑵y=
解：⑴式子有意义，则|x|-x>0 |x|>x，定义域为(-∞，0)
⑵由题意 定义域为{x|x≥-5，且x≠-3}
说明：1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合
2，定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明。
练习：求下列函数的定义域：1，y= 2,y=
(答案：1，{x|x∈R,且x≠±1}；2，{x|xx∈R,且x≠1,2,3}
例2，某工厂的统计资料显示，产品的次品率p与日产量x件的关系如下：
x
1
2
3
4
5
……
98
p
2/99
1/49
2/97
1/48
5/95
……
1
又知，每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失 元(a>0),将该厂的日盈利额M元表示为日产量x的函数。
[总之]今天的主要内容是：
1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合；定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明
2，实际问题除了原式外，还要根据实际情况确定函数的定义域
复合函数题型及解法
复合函数题型及解法一、引言复合函数是高中数学中的重要知识点，也是考试中经常出现的题型。
本文将详细介绍复合函数的概念、性质、求导法则以及解题方法，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
二、概念1. 复合函数的定义设有两个函数f(x)和g(x)，则当g(x)的值域恰为f(x)的定义域时，可以构成一个新的函数h(x)，称为f(x)与g(x)的复合函数，记作h(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的图像复合函数h(x)=f(g(x))在平面直角坐标系上的图像可以通过以下步骤确定：（1）先画出g(x)在x轴上对应的图像；（2）将g(x)在x轴上对应的点代入f(x)中求出相应y值；（3）将得到的所有点连成一条曲线即为h(x)在平面直角坐标系上对应的图像。
三、性质1. 复合函数具有结合律，即(h◦g)◦f=h◦(g◦f)2. 若f(x)和g(x)都可导，则(f◦g)(x)'=f'(g(x))·g'(x)四、求导法则1. 链式法则设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，有：dy/dx=dy/du·du/dx=f'(u)·g'(x)2. 反函数求导法则设y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：dy/dx=1/(dx/dy)3. 对数函数求导法则设y=loga(u)，u=g(x)，则y=loga(f(x))，有：dy/dx=[loga(e)/loga(u)]·du/dx五、解题方法1. 确定复合函数的形式根据题目所给条件，确定复合函数的形式，即确定f(x)和g(x)。
2. 求出复合函数的导数根据链式法则或其他求导法则，求出复合函数的导数。
3. 利用已知条件解方程将所求未知量代入已知条件中，解出方程。
4. 检验答案是否符合实际意义将所得答案代入原方程中检验是否符合实际意义。
六、例题分析1. 已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2-1，求f(g(2))解：将g(2)=2^2-1=3代入f(x)中得到f(g(2))=2×3+3=9。
05-专项拓展训练 与指数函数有关的复合函数问题高中数学必修一北师大版
=
5 −1
−
5 +1
= − ,所以 是奇函数,故C正确.当
∈ −1,0 时, = [ ] = −1,当 ∈ [0,1)时, = [ ] = 0,
所以 的值域是{−1,0},故D正确.
类型4 形如
= + − + ± − + > , ≠ 的函数
+ ⋅ + > , ≠ 的函数
3.函数 = 2 + + 1 > 0, ≠ 1 在[−1,1]上的最大值为13，则实
1
3或
数的值为_____.
3
【解析】 令 = ,则 > 0.令 = + + 1 = ( +
称轴为直线 =
2
4
2
6
3
当0 < − < ,即−3 < < 0时, 的最小值为 − ,令
2
2
2
2
2
−
=
−
+ 2 = 1,即2 = 4,所以 = −2.
2
4
2
综上, = −2.
,令
【练后反思】求复合函数 = 的单调区间,首先要求出函数的定义
域,然后把函数分解成 = , = ,由 和 的单调性,求出复合
2
1
− ，所以
2
1 2
)
2
+
3
，其图象的对
4
= 2 + + 1在 0, +∞ 上单调递增.①若 > 1
高中数学《简单复合函数的导数》知识点讲解及重点练习
5.2.3 简单复合函数的导数学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点 复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考 函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．( √ )2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.( × )3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.( √ )一、求复合函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解 (1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝12 (1－3x)5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2).(3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x ；(2)y ＝5log 2(1－x )；(3)y ＝sin (2x ＋π3).解 (1)()12=12,y x --设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2.(3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝(sin u )′(2x ＋π3)′＝cos u ·2＝2cos (2x ＋π3).二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝ln 3x e x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos (2x ＋π2)sin (2x ＋π2).解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos (2x ＋π2)sin (2x ＋π2)＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝(－12x sin 4x )′＝－12sin 4x －x 2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin 2x 3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(3)y ＝x ln(1＋x )．解 (1)方法一 ∵y ＝1－cos 23x 2，∴y ′＝(12－cos 23x 2)′＝13sin 23x .方法二 y ′＝2sin x 3cos x 3·13＝23sin x 3cos x 3＝13sin 23x .(2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A.5 B ．25 C ．35 D ．0答案 A解析 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1，∴0=|x x y'＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是5.(2)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 ．答案 1解析 由f (x )＝ln x ＋k e x，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ．答案 2 14解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－1 2 .∴S＝12×12×1＝14.1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( ) A．y＝u n，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝t n，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝t n答案 AD2．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于( )A．3(2 020－8x)2B．－24xC．－24(2 020－8x)2D．24(2 020－8x)2答案 C解析 y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x答案 B解析 y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝ .答案 3 2解析 ∵f′(x)＝33x－1，∴f′(1)＝33－1＝32.5．曲线y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为．答案 x＋y－1＝0解析 ∵y ′＝－12－x ＝1x －2，∴y ′| x ＝1＝11－2＝－1，即切线的斜率是k ＝－1，又切点坐标为(1,0)．∴y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.1．知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)下列函数是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos (x ＋π4)C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 BCD解析 A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数，其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成．2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( )A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5答案 B解析 ∵y ＝x ln(2x ＋5)，∴y ′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5.3．函数y ＝x 3e cos x 的导数为( )A ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos xB ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin xC ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e sin xD ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x sin x答案 B解析 y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x .4．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案 C解析 ∵y ＝x e x －1，∴y ′＝e x －1＋x e x －1，∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C.5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 B解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有Error!由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是 ．答案 y ′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′(π9)sin 3x ＋cos 3x ，则f ′(π9)＝ .答案 33解析 ∵f (x )＝f ′(π9)sin 3x ＋cos 3x ，∴f ′(x )＝f ′(π9)·3cos 3x －3sin 3x ，令x ＝π9可得f ′(π9)＝f ′(π9)×3cos π3－3sin π3＝32 f ′(π9)－3×32，解得f ′(π9)＝33.8．点P 是f (x )＝(x ＋1)2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是 ，此时点P 的坐标为 ．答案 728 (－12，14)解析 与直线y ＝x －1平行的f (x )＝(x ＋1)2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最短．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2(x 0＋1)＝1，∴x 0＝－12，y 0＝14.即P (－12，14)到直线y ＝x －1的距离最短．∴d ＝|－12－14－1|(－1)2＋12＝728.9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln(e x ＋x 2)；(2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解 (1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln 10.(3)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2 x ·cos 2 x ＝1－12sin 2 2x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x .∴y ′＝－sin 4x .10．曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解 ∵y ＝e sin x ，∴y ′＝e sin x cos x ，∴y ′|x ＝0＝1.∴曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.又直线l 与x －y ＋1＝0平行，故直线l 可设为x －y ＋m ＝0.由|m －1|1＋(－1)2＝2得m ＝－1或3.∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13 B.12 C.23D ．1答案 A解析 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是(23，23)，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )A.π4 B.π2 C.3π4 D. 7π8答案 CD解析 因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x＋2.因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈[3π4，π).13．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝ .答案 π6解析 ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0，∴tan φ＝33，又0<φ<π，∴φ＝π6.14．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ．答案 y ＝－2x －1解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，所以切线方程为y ＝－2x －1.15．已知f (1x )＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1(1＋x )2 D ．－1(1＋x )2答案 D解析 由f (1x )＝x1＋x ＝11x ＋1，得f (x )＝1x ＋1，从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D.16．(1)已知f (x )＝e πx sin πx ，求f ′(x )及f ′(12)；(2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程．解 (1)∵f (x )＝e πx sin πx ，∴f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx＝πe πx (sin πx ＋cos πx )．∴f ′(12)＝2e sin +cos 22πππ⎛⎫π ⎪⎝⎭2e .π=π(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知0=|0.x x y'=又y ′＝－2x (1＋x 2)2，∴0=|x x y'＝－2x 0(1＋x 20)2＝0.解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0,1)，切线方程为y －1＝0.。
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第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知f x ()的定义域，求[]fg x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]fg x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得xe ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11(){}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x作用，作用范围不变，所以xE E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x xx ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248-=-，知x x 2280->f x ()的定义域为()4，+∞（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。
例5. 若函数f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (log)2的定义域为____________。
解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥， f的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，（二）同步练习：1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。
答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。
答案：]9,3[-3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。
答案：)23,1()0,21(⋃- 三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
（4）例题演练 例1、 求函数)32(log 221--=x x y解：定义域130322-<>⇒>--x x x x 或。
单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y <∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.（5）同步练习：1．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞）答案：B 2找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x；（2）.2322++-=x x y答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),23[+∞上是减函数。
（2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。
3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。
答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。
变式练习一、选择题 1．函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（）A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D2．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23） D ．（23，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B 3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为（ ）A ．4B ．1或41C ．1或4D ．41 错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有xy ＝41或yx ＝1．答案：选B 正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ．答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，21） B ．（0，21） C ．（21，＋∞） D ．（0，＋∞）解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A5．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数．答案：C 二、填空题已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜32（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（31）x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝31log x则f （2x －x 2）＝31log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减；μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1） 8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0， 则不等式f （l og 4x ）的解集是______．解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （21）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21． 答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题 10．设函数f （x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－，（1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23．（2）令μ（x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x x 2323lg ＋－是减函数，所以f （x ）＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－是减函数．（3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f （x ）的反函数f －1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（52，0）。