高中数学复合函数练习题
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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f
［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知
f x ()的定义域，求[]f
g x ()的定义域
思路：设函数
f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f
的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范
围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f
g x ()的定义域。
例1. 设函数
f u ()的定义域为（0，1）
，则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数
f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f
的作用范围为（0，1）
又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 解得x e ∈()1，，故函数 f x (ln )的定义域为（1，e ） 例2. 若函数f x x ()= +1 1 ，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：由 f x x ()= +1 1 ，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩ 1 1(){}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域 思路：设 []f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。 例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 即函数 f x ()的定义域为[]-15， 例4. 已知f x x x ()lg 22 2 48 -=-，则函数 f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由 f x x x ()l g 2 2248-=-，知x x 2 2 8 0->f x ()的定义域为 ()4，+∞ （3）、已知 []f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域 思路：设 []f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x () 作用，作用范围不变，所以h x E () ∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。 例5. 若函数 f x ()2的定义域为[]-11 ，，则f x (log )2 的定义域为____________。 解析： f x ()2的定义域为[]-11 ，，即[]x ∈-11，，由此得2 122x ∈⎡⎣⎢⎤ ⎦ ⎥， f 的作用范围为 122，⎡⎣⎢⎤⎦ ⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[ ] x ∈24 ， 即 f x (lo g )2的定义域为 [ ] 24 ， （二）同步练习： 1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数 )x (f 2 的定义域。答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。答案：]9,3[- 3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。答案：) 23,1()0,2 1(⋃- 三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数 ))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数 )(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数. 证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21 因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, ) (22x g u =即),(,21,21 d c u u u u ∈>且 因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数 ))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：