3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
3.3 二阶系统的时间响应
由传递函数
1 s
2 X o s n Gs 2 2 X i S s 2n s n
得
2 2 n n 1 X o s Gs X i S 2 2 2 2 s 2n s n s ss 2n s n
下面根据阻尼比的不同取值情况来分析二阶系统的单位阶跃响应。
2 n n 1 1 X o s 2 s s n 2 s n ss n
对其进行拉氏反变换得二阶系统在临界阻尼系统状态下的单位阶跃响应为
t 0 xo t 1 e nt 1 nt ，
其响应曲线如图所示，既无超调，也无振荡。
2s 1 ，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 s 2 2s 1
当输入信号是单位阶跃信号时，x1i t 1t ，X 1i s 1 ，则系统在单位阶跃信号作用
下的输出拉氏变换为
s
X 1o s G s X 1i s
故系统的单位阶跃响应为
2s 1 1 1 1 s s 2 2s 1 s s 12 s 1
2
式中
d n 1 2
称为阻尼自然频率。
当ζ=1时，二阶系统称为临界阻尼系统，其特征方程的根是两个相等的负实根，即
s1, 2 n
3.3.1 二阶系统的数学模型（3）
当ζ＞1时，二阶系统称为过阻尼系统，其特征方程的根是两个不相等的负实根，即
s1, 2 n n 2 1
当输入信号是单位阶跃信号时则系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为故系统的单位阶跃响应为当输入信号为单位脉冲信号时根据线性定常系统的性质可得系统的单位脉冲响应tedt
3.3 二阶系统的时间响应
二阶系统的阶跃响应
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频
率的为衰减速d，度称取为决阻于尼指振数荡函频数率的，幂瞬，态称分量为
衰减系数。
二阶系统的阶跃响应
经过实验知， 过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最
快； 欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升
时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
一、二阶系统的阶跃响应 0 1
当 R(s) 1/ s 时，由传递函数性质有
C(s) R(s)G(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
1 s
s 2 n
2 2 s
s n
2 n
1 s
(s
s )2 d2
(s
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根
单位阶跃响应为
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
c(t) 1
et /T1
et /T2
T2 / T1 1 T1 / T2 1
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周
期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此
时系统为 过阻尼 情况。
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1
n (
1
2
1)
由此可见
1
自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
机械工程控制基础-----填空简答题知识点
1、反馈：输出信号被测量环节引回到输入端参与控制的作用。
2、开环控制系统与闭环控制系统的根本区别：有无反馈。
3、线性及非线性系统的定义及根本区别：当系统的数学模型能用线性微分方程描述时，该系统的称为线性系统。
非线性系统：一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。
根本区别：线性系统遵从叠加原理，而非线性系统不然。
4、传递函数的定义及特点：零初始条件下，系统输出量的拉斯变换与输入量的拉斯变换的比值。
用G〔s〕表示。
特点：1〕、传递函数是否有量纲取决于输入与输出的性质，同性质无量纲。
2〕、传递函数分母中S的阶数必n不小于分子中的S的阶数m，既n=>m ,因为系统具有惯性。
3〕、假设输入已给定，则系统的输出完全取决于其传递函数。
4〕、物理量性质不同的系统，环节和元件可以具有相同类型的传递函数。
5〕、传递函数的分母与分子分别反映系统本身与外界无关的固有特性和系统同外界的关系。
5、开环函数的定义：前向通道传递函数G〔s〕与反馈回路传递函数H(s)之积。
6、时间响应的定义和组成：系统在激励信号作用下，输出随时间的变化关系。
按振动来源分为：零状态响应和零输入响应。
按振动性质：自由响应和强迫响应。
7、瞬态性能指标以及反映系统什么特性：性能指标：上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp、调整时间ts、振荡次数N。
这些性能指标主要反映系统对输入的响应的快速性。
8、稳态误差的定义及计算公式：系统进入稳态后的误差。
稳态误差反映稳态响应偏离系统希望值的程度。
衡量控制精度的程度。
稳态误差不仅取决于系统自身结构参数，而且与输入信号有关。
系统误差：输入信号与反馈信号之差。
9、减少输入引起稳态误差的措施：增大干扰作用点之前的回路的放大倍数K1，以及增加这一段回路中积分环节的数目。
10、频率响应的概念：线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。
11、频率特性的组成：幅频特性和相频特性。
12、稳定性的概念：系统在扰动作用下，输出偏离原平衡状态，待扰动消除后，系统能回到原平衡状态〔无静差系统〕或到达新的平衡状态〔有静差系统〕。
二阶系统的阶跃响应
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1
n t 2 d
n t d
1
ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应
具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
一、二阶系统的阶跃响应
当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
自动控制原理选择填空(含答案)
[标签:标题]篇一：自动控制原理试题库(有答案的)自动控制理论试卷（A/B卷闭卷）一、填空题（每空1 分，共15分）1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过值进行的。
2、复合控制有两种基本形式：即按前馈复合控制。
3、两个传递函数分别为G1(s)与G2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为G(s)，则G(s)为（用G1(s)与G2(s) 表示）。
4、典型二阶系统极点分布如图1所示，则无阻尼自然频率?n?，阻尼比??，该系统的特征方程为，该系统的单位阶跃响应曲线为。
5、若某系统的单位脉冲响应为g(t)?10e?0.2t?5e?0.5t，则该系统的传递函数G(s)为。
6、根轨迹起始于终止于7、设某最小相位系统的相频特性为?(?)?tg?1(??)?900?tg?1(T?)，则该系统的开环传递函数为。
8、PI控制器的输入－输出关系的时域表达式是其相应的传递函数为，由于积分环节的引入，可以改善系统的性能。
二、选择题（每题2 分，共20分）1、采用负反馈形式连接后，则( )A、一定能使闭环系统稳定；B、系统动态性能一定会提高；C、一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除；D、需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。
2、下列哪种措施对提高系统的稳定性没有效果()。
A、增加开环极点；B、在积分环节外加单位负反馈；C、增加开环零点；D、引入串联超前校正装置。
3、系统特征方程为D(s)?s3?2s2?3s?6?0，则系统()A、稳定；B、单位阶跃响应曲线为单调指数上升；C、临界稳定；D、右半平面闭环极点数Z?2。
4、系统在r(t)?t2作用下的稳态误差ess??，说明()A、型别v?2；B、系统不稳定；C、输入幅值过大；D、闭环传递函数中有一个积分环节。
5、对于以下情况应绘制0°根轨迹的是()A、主反馈口符号为“-”；B、除Kr外的其他参数变化时；C、非单位反馈系统；D、根轨迹方程（标准形式）为G(s)H(s)??1。
二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一．实验目的1、学习实验系统的使用方法。
2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。
了解电路参数对环节特性的影响。
3、研究一阶系统的时间常数T对系统动态性能的影响。
4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率nω对系统动态性能的影响。
二．实验内容1．搭建各种典型环节的模拟电路，观测并记录各种典型环节的阶跃响应曲线。
2．调节模拟电路参数，研究参数变化对典型环节阶跃响应的影响。
3．运行Matlab软件中的simulink仿真功能，完成各典型环节阶跃特性的软件仿真研究，并与理论计算的结果作比较。
三．实验步骤1. 典型环节的simulink仿真分析在实验中观测实验结果时，只要运行Matlab，利用Matlab软件中的simulink仿真功能，以及Matlab编程功能，可以完成常见的控制系统典型环节动态响应。
研究特征参量ζ和nω对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(n n n s s s R s C ωζωω++=二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
典型二阶系统的结构图如图所示。
不难求得其闭环传递函数为2222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++==其特征根方程为222n n s ωζω++=0 方程的特征根: 222n n s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++s s s s T s T s 式中, ζ称为阻尼比; n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。
当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。
当ζ=0.1时的仿真结果当ζ=0.3真结果当ζ=1时的结果当ζ=2时的仿真结果三．实验总结结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ζ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ= 0时，出现等幅振荡。
自控原理实验二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一、实验目的1. 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；2. 掌握二阶系统动态性能的测试方法。
二、实验内容1. 观测二阶系统的阻尼比分别在0<ζ<1，ζ=1和ζ>1三种情况下的单位阶跃响应曲线；2. 调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比21=ζ，测量此时系统的超调量p δ、调节时间t s (Δ= ±0.05)；3. ζ为一定时，观测系统在不同n ω时的响应曲线。
三、实验原理1. 二阶系统的瞬态响应用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为2222)()(nn n S S S R S C ωζωω++= (2-1)闭环特征方程：0222=++n n S ωζω其解 122,1-±-=ζωζωn n S ，针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况： 1）0<ζ<1（欠阻尼），22,11ζωζω-±-=n n j S此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图2-1的(a)所示。
它的数学表达式为：)(111)(2βωζζω+--=-t Sin e t C d t n式中21ζωω-=n d ，ζζβ211-=-tg。
2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图2-1中的(b)所示。
3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图2-1的(c)所示。
(a) 欠阻尼(0<ζ<1) (b)临界阻尼(1=ζ) (c)过阻尼(1>ζ)图2-1 二阶系统的动态响应曲线虽然当ζ=1或ζ>1时，系统的阶跃响应无超调产生，但这种响应的动态过程太缓慢，故控制工程上常采用欠阻尼的二阶系统，一般取ζ=0.6~0.7，此时系统的动态响应过程不仅快速，而且超调量也小。
二阶系统的时间响应及动态性能
−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
（3-14）
式（3-12）~式（3-14）给出了典型欠阻
尼二阶系统动态性能指标的计算公式。
可见，典型欠阻尼二阶系统超调量 σ
0 0
只取决于阻尼比 ξ
，而调节时间 ts
则与阻尼比 ξ
和自
然频率ω n 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间 ts 偏于保守。ξω n 一定时，调节时间 ts
s2
+
2ξω
n
s
+
ω
2 n
=
(s
+1
T1 )(s
+1
T2 )
可解出ξ = 1 ຫໍສະໝຸດ (T1 T2 ) 2 T1 T2
（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
5733二阶系统的时间响应及动态性能331二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图36所示其中k分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率是二阶系统重要的特征参数
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
ts
=
3.5 ξω n
=
3.5 0.5 × 10
= 0.7
相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。
二阶系统单位阶跃响应曲线
二阶系统单位阶跃响应曲线二阶系统单位阶跃响应曲线是描述二阶系统对单位阶跃输入信号的响应特性的一种表示方法。
在控制系统理论中，二阶系统是一种常见的系统类型，其具有较为复杂的动态特性。
对于控制系统的设计和分析来说，了解二阶系统单位阶跃响应曲线的形态和特性具有重要的意义。
首先，我们来研究二阶系统单位阶跃响应曲线的基本形态。
通常情况下，二阶系统的单位阶跃响应曲线呈现出一种振荡的形态。
这是因为二阶系统具有两个自由度，存在两个特征根，所以在系统响应中会出现两个频率成分。
这种振荡的形态通常可以用峰值超调量、峰值时间等指标来描述。
其次，我们需要了解二阶系统单位阶跃响应曲线的参数对其形状的影响。
对于一个给定的二阶系统，其单位阶跃响应曲线的形态主要由系统的阻尼比和角频率来决定。
阻尼比描述了系统的阻尼程度，而角频率则决定了系统的振荡频率。
可以通过调节这两个参数来控制二阶系统单位阶跃响应曲线的形状，以达到我们所需的控制效果。
此外，我们还需要关注单位阶跃响应曲线的稳态误差特性。
单位阶跃输入信号的阶跃函数是一个理想的信号，因此我们希望系统在单位时间内能够达到稳态并输出正确的数值。
单位阶跃响应曲线的稳态误差可以通过观察单位阶跃响应曲线在无穷大时间后的稳定值来评估。
对于理想的二阶系统，稳态误差应该为零，即在无穷大时间后，系统输出应该收敛到单位阶跃信号的幅值。
最后，了解二阶系统单位阶跃响应曲线对于控制系统设计和分析具有重要的指导意义。
通过观察和分析单位阶跃响应曲线的形态和特性，我们可以判断系统的稳定性、阻尼程度、振荡频率等，并根据需求进行参数调节和控制器设计。
这有助于我们更好地理解和掌握二阶系统的动态特性，从而提高控制系统的性能和可靠性。
综上所述，二阶系统单位阶跃响应曲线是描述二阶系统动态特性的重要工具。
了解单位阶跃响应曲线的形状和参数对其影响，以及对稳态误差的分析，对于控制系统设计和分析具有指导意义。
通过深入研究和应用单位阶跃响应曲线，我们能够更好地理解和掌握二阶系统的行为，从而设计出更加高效和可靠的控制系统。
二阶系统的阶跃响应
8
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
Step Response
e(t ) r (t ) y (t ) 1 y (t )
Amplitude
1
=0.3,n=10
0.8
e nt 1
2
sin(n 1 2 t )，t 0
3
3.3 二阶系统的阶跃响应
二、典型二阶系统的阶跃响应 1 当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) ，有： s 2 1 n 1 C ( s ) ( s ) 2 2 s s 2 n s n s 2 1 n 1 1 1 c(t ) L [( s) ] L [ 2 ] 2 s s 2 n s n s
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程 中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化 为二阶系统来研究。 2 C ( s) n R( s ) s( s 2 n ) 典型结构的二阶系统如图所示。 2 n 开环传递函数为: G( s) 2 s 2 n s 2 n G( s ) 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n ( s ) 称为典型二阶系统的传递函数， n 称为 称为阻尼系数， 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参 数。
9
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
⒊当 1 时，极点为：
阶跃响应函数为：
2
s1, 2 n
1 n n2 1 1 n C ( s) 2 s s 2n s n 2 s( s n )2 s s n ( s n )2
第三章二阶系统
ωn C ( s) = 2 φ ( s) = R( s ) S + 2ξωn s + ωn 2
2
R(s)
_
ωn
ωn2 S(S+2ξωn)
C(s)
－自然频率（或无阻尼振荡频率） －阻尼比（相对阻尼系数）
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
ξ
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示 二阶系统的动态特性，可以用 ξ 和 ω n 加以描述,二阶系统的特征方程：
(3)过阻尼( ξ > 1 )
S1, 2 = ξω n ± ω n ξ 2 1
ωn 1 C ( s) = = ( S S1 )( S S 2 ) S [ S + ω n (ξ ξ 2 1)][ S + ω n (ξ + ξ 2 1)]S
2
ωn2
A3 A A2 = 1+ + S S + ω n (ξ ξ 2 1) ξ + ω n (ξ + ξ 2 1)
π + (ln ) σ
2
1
= 0.4
2
=
3.14 3 1 0.4
2
= 1.14
R(s)
②闭环传递函数
E(s)
—
K s(Ts + 1)
C(s)
C (s) K = = 2 R ( s ) TS + S + K
K T 1 S2 + S + K T T
ωn
2
K = T
1 T= = = 1.09 2ξω n 2 × 0.4 × 1.14 K = Tω n = 1.09 × 1.14 2 = 1.42
自动控制原理选择题有答案解析
自动控制原理选择题（48学时）1．开环控制方式是按 进行控制的，反馈控制方式是按 进行控制的。
（A ）偏差；给定量 （B ）给定量；偏差（C ）给定量；扰动 （D ）扰动；给定量 （ B ）2．自动控制系统的 是系统正常工作的先决条件。
（A ）稳定性 （B ）动态特性（C ）稳态特性 （D ）精确度 （ A ）3．系统的微分方程为 222)()(5)(dt t r d t t r t c ++=,则系统属于 。
（A ）离散系统 （B ）线性定常系统（C ）线性时变系统 （D ）非线性系统 （ D ）4．系统的微分方程为)()(8)(6)(3)(2233t r t c dt t dc dt t c d dt t c d =+++,则系统属于 。
（A ）离散系统 （B ）线性定常系统（C ）线性时变系统 （D ）非线性系统 （ B ）5．系统的微分方程为()()()()3dc t dr t tc t r t dt dt +=+,则系统属于 。
（A ）离散系统 （B ）线性定常系统（C ）线性时变系统 （D ）非线性系统 （ C ）6．系统的微分方程为()()cos 5c t r t t ω=+,则系统属于 。
（A ）离散系统 （B ）线性定常系统（C ）线性时变系统 （D ）非线性系统 （ D ）7．系统的微分方程为 ττd r dt t dr t r t c t ⎰∞-++=)(5)(6)(3)(,则系统属于 。
（A ）离散系统 （B ）线性定常系统（C ）线性时变系统 （D ）非线性系统 （ B ）8．系统的微分方程为)()(2t r t c =,则系统属于 。
（A ）离散系统 （B ）线性定常系统（C ）线性时变系统 （D ）非线性系统 （ ）9. 设某系统的传递函数为：,12186)()()(2+++==s s s s R s C s G 则单位阶跃响应的模态有： （A ）t t ee 2,-- （B ）t t te e --, （C ）t e t sin - （D ）t t te e 2,-- （ ）10. 设某系统的传递函数为：,22186)()()(2+++==s s s s R s C s G 则单位阶跃响应的模态有：（A ）t t e e 2,-- （B ）t t te e --,（C ）t e t sin - （D ）t t te e 2,-- （ C ）11. 设某系统的传递函数为：,23186)()()(2+++==s s s s R s C s G 则单位阶跃响应的模态有： （A ）t t e e 2,-- （B ）t t te e --,（C ）t e t sin - （D ）t t te e 2,-- （ A ）12.时域中常用的数学模型不包括 。
自动控制原理(第三版)(章 (3)
此时, s1, s2如图3-7(d)所示。
第三章 线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二 阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为
C(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
(3.19)
应曲线如图3-2所示。图中 c() lim c(t) t
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析法 图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种：
延迟时间td：指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时 间。
上升时间tr：若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲 线从稳态值的10%上升到90%所需的时间；对于有振荡的系统, 上升 时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
调量σp可由下式确定:
p
c(tp ) c() c()
100 %
(3.8)
振荡次数N：在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞) 次数的一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时 间tr评价系统的响应速度；σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度； ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简 单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难 的。
第三章 线性系统的时域分析法
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即
C(s) 1 Ts 1
第二章二阶系统阶跃响应第二部分
一、 二阶系统的单位阶跃响应分析
1、什么是二阶系统单位阶跃响应？
二阶系统输入单位阶跃信号的响应，称为二阶系统单位阶跃响应。
标准二阶系统传递函数：
Y(s )
=
s(s 2
+
n2 2ns
+
n2 )
（式1）
典型的二阶系统阶跃响应曲线为： 其中: tr-- 为上升时间 tp-- 为峰值时间
y(t) ymax
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2、仿真实现 （1）不同阻尼比阶跃响应仿真曲线
对应闭环系统传递函数：
(s) =
s2
+
1
2s + 1
(式16)
当ωn=1, 取ζ=0, 0.25 , 0.5, 1.0 , 2.0
时，如图：
结论：
➢ 无阻尼阶跃响应曲线为等幅振荡，此时超调量=100%，稳态时间是无穷大。 ➢ 欠阻尼阶跃响应曲线随值减小超调量增大，稳态时间变长。 ➢ 临界阻尼和过阻尼阶跃响应曲线超调量为零。
Experimental Course Of Automatic Control Theory
**大学 **学院
** University
实验二：二阶系统阶跃响应实验
第二部分：二阶系统阶跃响应的计算方法
主讲内容
1
二阶系统单位阶跃响应的分析
2 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
3
二阶系统阶跃响应的实现
1.02 y(∞) y(∞)
0.98 y(∞) 0.9 y(∞)
ess y(∞)
ts-- 为稳态时间或过渡过程时间
0.1 y(∞)
y(∞) --为稳态值 ess--为稳态误差
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)
(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
(3-13)
第3章 时域分析法 图3-5 一阶系统的动态结构图
第3章 时域分析法
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
设输入
R(s) 1 s
则输出量的拉氏变换为
C(s) (s) 1 1 1 1 1
s Ts 1 s s s 1/T
单位阶跃响应为
1t
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
其中, 由
s2 2 ns n2 0
可求得两个特征根
s1,2 n n 2 1
(3-22)
第3章 时域分析法
1) ξ>1, 过阻尼
ξ>1
时
, 2 1 s1,2=-ξωn±ωn
为两个不相等的负实数根， 即有
C(s)
n2
A1 A2 A3
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
(3-21)
其中， ξ为阻尼比， ωn为无阻尼自然振荡频率， 它们 均为系统参数。
第3章 时域分析法
由式(3-21)可以看出， 二阶系统的动态特性 可以用ξ和ωn这两个参数的形式加以描述。 如果0<ξ<1， 则闭环极点为共轭复数， 并且位于左半s平面， 这时系统 叫做欠阻尼系统， 其瞬态响应是振荡的。 如果ξ=1， 那 么就叫做临界阻尼系统。 而当ξ>1时， 就叫做过阻尼系 统。 临界阻尼系统和过阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 如果ξ=0， 那么瞬态响应变为等幅振荡。
此时系统输出响应的拉氏变换为
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
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1
是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界
o
t
临界阻尼响应
（四）无阻尼（ 0 ）的情况
系统有一对共轭纯虚数极点 p1, 2 j n ,它们在S平面上的位置如 将 0 代入 图所示。
C (t ) 1 e nt (cos d t
C (t ) 1 cos n t
0
2
P 1 n n
1
系统具有实部为正的极点，
P2 n n 2 1
输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。
根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特
点。因此阻尼比
是二阶系统的重要特征参数。
若选取
n t为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。
j
1
2
sin d t )
系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为 [s] C(t) 1 o
n
n
P 1
o
P2
(a)
0
(b)
t
无阻尼时的极点分布和响应
综上所述，不难看出频率
n 和
的物理意义。 d
——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡 n 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。 —— d 分析
如图所示，此时曲线只和阻尼比
有关。
C (t )
0.1
0.3 0.5 0.7
越小，响应特性振荡得越厉害, 随着 增大到一定程度，响应特
性变成单调上升的。
系统无振荡时，以临界阻尼时过 渡过程的时间最短，此时，系统 具有最快的响应速度。
系统在欠阻尼状态时，若阻尼比
2
nt
1
2 [C ( s) (s n ) ] s n n
C (t ) 1 e n te
nt
临界阻尼时极点的分布 C(t)
1 e nt (1 n t )
(t 0)
1
系统的输出响应无超调、无振荡,由零开始单调上升， 最后达到稳态值1，不存在稳态误差。 阻尼状态。
n t ] e cos d t 2
d n t e sin d t £ [ ] 2 2 ( s n ) d
C (t ) 1 e nt (cos d t
1 e
n t 2 2
j
[s]
1 2
P 1
sin d t )
> 1 ）的情况
P2 P 1
0
系统具有两个不相等的负实数极点
2 P 1 1 n n
P2 n n 1
2
1
过阻尼时极点分布
(二)欠阻尼（ 0 1 ）的情况
系统具有一对在S平面的左半部的共轭复 数极点， 2
p1 n j n 1
arctg
1 2
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态和瞬态 两部分组成：
稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；
瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n (即特征根实部）决定； 振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚 部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。
（三）临界阻尼 （ 1 ）的情况
n
n 1 sin d t )
n o
C (t ) 1
e nt 1 2
sin( d t ) t 0
P 2
0 1
欠阻尼时的极点分布
sin 1 2
cos
arccos
在 0.4 ～ 0.8 之间，则系统的过渡 过程时间比临界阻尼时更短，此
0
1
2
nt
二阶系统的阶跃响应
时振荡特性也并不严重。
一般希望二阶系统工作在 0.4 ~ 的欠阻尼状态下，通 0.8 1 常选取 2 作为设计系统的依据。
式中
d n 1 ，称为阻尼自振频率 2
0 1
欠阻尼时的极点分布
1 1
2 2 n
s n n d 1 C ( s) 2 2 2 2 s (s n ) d d (s n ) d
£[
-1
-1
s n ( s n ) 2 d
系统具有两个相等的负实数极点 p1, 2 n ，
j
[s]
n 2 0 1 2 C ( s) 2 s ( s n ) s s n ( s n ) 2
0 [C ( s) s] s 0 1
P 1P 2
n
o
1 {
d [C ( s )( s n ) 2 ]s n 1 ds
2
j
C ( s)
n s ( s n j d )( s n j d )
0 1s 2 2 s ( s n ) 2 d
P 2
p 2 n j n 1 2
[s]
P 1
n
n
n 1 2
o
0 1
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
设系统的输入为单位阶跃函数，则 系统输出响应的拉氏变换表达式为
n2 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 . 2 s 2 n s n s
对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系 统的单位阶跃响应 。 （一） 过阻尼（
j
[s]