高数11_3格林公式(黑白)

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11-3 格林公式及其应用

P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
Q Q L P d x Q d y D ( x x )d xd y
0
返回
【说明】根据定理2 , 若在某区域内
P Q , 则 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
D 是 X-型域且 Y-型域
------格林公式
返回
一、格林公式
D D
单连通区域
复连通区域
返回
定理1 设有界闭区域 D 由分段光滑曲线L围成，
P ( x , y )、 ( x , y ) 在D上具有连续的偏导数 Q Q P ) dxdy Pdx Qdy ( 则 L x y D 其中 L的方向指D的边界线的正向
第三节格林公式及其应用
一、格林公式二、格林公式简单应用三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件四、小结
返回
一、格林公式
回顾：一元微积分学中最基本的公式—牛顿、莱布尼兹公式：
b a
F ( x )dx F ( b) F ( a )
D L
返回
问题：能否推广到二重积分？
( ? )dxdy ( ? )dx
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
u ( x, y)
( x, y) ( x0 , y0 ) x
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
y y0

§11.3 格林(Green)公式

y
下面证明如图，
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，则
(Ⅰ) 沿任一闭曲线L的积分
(Ⅱ) 曲线积分
与路径无关；
（Ⅲ）存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy；
（Ⅳ）在G内
证明略.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，如何求 u (x, y)？
此时，积分与路径无关，只与起点和终点有关，如图，记
1. 区域的连通性
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
例 D1,D2为图中浅色区域.
D2 D1
单连通区域
复连通区域
1. 格林（Green）公式
L
D
L
Dl
边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时，区域 D 总在他的左边。
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的

高等数学(下册)第11章第3讲格林公式及其应用(1)

接
2 dxdy , BA : y 0,dy 0,
上
D
(ex cos y y 1)dx (x ex sin y)dy BA
1 (ex 1)dx e e1+2 1
I e e1 2.
注：用格林公式，如果不是封闭曲线要添加辅助线，一般是有向的平行于坐标轴的直线或折线.
y
sin
2x
2( x 2
1) sin
x cos
x
dx
= π sin 2x x2 sin 2x sin 2x dx π x2 sin 2xdx 1 π x2d cos 2x
0
0
20
1 x2 cos 2x π 1
π
π2 1
2x cos 2xdx
π
xd sin 2x
2
0 20
例
3
计算
L
2xy 3y x2 y2
dx
x2 x2
5x y2
dy，其中L为圆周x2
y2
a2按逆时针方向绕行.
例11.12拓展
解
2xy 3y dx x2 5x dy
L x2 y2
x2 y2
此时不能用格林公式可以用格林公式
1 a2
2xy 3ydx
L
x2 5x
dy
1 a2
y 1 x2
B（-1,0） O
A（1,0）x
12
一、格林公式及其应用
例5
计算曲线积分 sin 2xdx 2(x2 1) ydy，其中L 是曲线y sin x 上 L
从点(0，0)到点(π，0)的一段.
同步习题11.2，提高1 2讲例题
解
法1
sin 2xdx 2(x2 1) ydy

微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关

例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有件连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15

11-(3)格林公式及其应用(重新学习)

区域 ) 高等数学A(下）
34 - 2
2020年1月20日
一、格林公式 2、边界曲线的正向
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,
区域D总在他的左边.
高等数学A(下）
34 - 3
2020年1月20日
一、格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
例4. 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中 L 为 L
由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y
P Q ，
Q ( x2 y4 ) 2x
y x
D1
y
L
l D1
or
x
高等数学A(下）

2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
r2
d
2π
34 - 15
2020年1月20日
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
C
B
Q(x, y) x2 y2
D
则Q 2 x, P x
x
y
O
Ax
( x3 xy)dx ( x2 y2 )dy L

(2x x)dxdy

格林公式知识点总结

第三节格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用教学重点：格林公式教学难点：格林公式的应用教学内容：一、Green 公式单连通区域.设D 为单连通区域，若D 内任一闭曲线所围的部分都属于D .称D 为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）.规定平面D 的边界曲线L 的方向，当观看者沿L 行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1. 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=⎰-L Qdy Pdx .L 为D 的取正向的边界曲线.即格林公式既为x - 型又为y -型区域2L ：)(2x y ϕ=∵y P∂∂连续，证：对⎰⎰∂∂D dxdy y P=dyy y x P dx x x b a ⎰⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{1121⎰-ϕϕ1L ：)(1x y ϕ= 又⎰⎰⎰+=21L L L Pdx Pdx Pdx=dxx x P ba⎰)](,[11ϕ+dxx x P ba⎰)](,[21ϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{2111⎰-ϕϕ∴⎰⎰⎰=∂∂-LD Pdx dxdy y PyxlLoyxL 1L 2ab对于y -型区域，同理可证 ⎰⎰∂∂D dxdy y Q=⎰L Qdx ∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,D D D D 上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证.几何应用，在格林公式中，取x Q y P =-=,，⎰⎰Ddxdy2=⎰-Lydx xdy∴21=A ⎰-L ydx xdy说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立2）记法⎰-L ydx xdy =⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y x3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分.4）几何应用.例1．计算⎰++-Cdy y x dx x y )3()( L ：9)4()1(22=-+-y x解：原式=⎰⎰=-D dxdy π18)13(， 3=∂∂x Q ，1=∂∂y P例1．计算星形线⎩⎨⎧==t a y t a x 33sin cos 围成图形面积)20(π≤≤t⎰⎰⋅+⋅=-=π202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dtt t a t a t t a t a ydx xdy A L=832a π二平面上曲线积分与路径无关的条件1）与路无关：是G 为一开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，若G 内任意指定两点B A ,及G 内从A 到B 的任意两条曲线21,L L⎰⎰+=+21L L Q d yP d x Q d y P d x 恒成立，则称⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关.否则与路径有关.例1．⎰-++Ldy y x dx y x )()( 1L ：从)1,1(到)3,2(的折线2L 从)1,1(到)3,2(的直线解：⎰+1L QdyPdx =25)1()2(2131=++-⎰⎰dx x dy y 32L ：)2(23-+=x y ,即 12-=x y⎰-++2)()(L dyy x dx y x =25)]1(2)12[(21=-+-+⎰dx x x x定理：设),(y x P ，),(y x Q 在单连通区域D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线C ，⎰+CQdy Pdx =0. （2）对内任一曲线L ，⎰+LQdyPdx 与路径无关（3）在D 内存在某一函数),(y x μ使Qdy Pdx y x d +=),(μ在D 内成立.（4）x Qy P ∂∂-∂∂，在D 内处处成立. 证明：（1）⇒（2）在D 内任取两点B A ,，及连接B A ,的任意两条曲线⋂AEB ，⋂AGB ∴⋂⋂+=BGA AGB C 为D 内一闭曲线知⎰+CQdyPdx ，由（1）⎰⋂+AGBQdyPdx +⎰⋂+BEAQdy Pdx =0即⎰⋂+AGBQdy Pdx =⎰⋂+BEAQdyPdx∴（2）⇒（3）若⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关.当起点固定在（0,yx ）点，终点为),(y x 后，则⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx 是y x ,的函数，记为),(y x u .下证：),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx 的全微分为),(y x du =Qdy Pdx +.∵),(y x P ，),(y x Q 连续，只需证),(y x P x u =∂∂， ),(y x Q y u =∂∂，由定义=∂∂x u x y x u x x u x ∆-∆+→∆),()(lim 0=∆+),(y x x u ⎰∆++),(),(00y x x y x QdyPdx =),(y x u +⎰∆++),(),(y x x y x QdyPdx=),(y x u +⎰∆+xx xPdx∴-∆+),(y x x u ),(y x u =⎰∆+xx xPdx =x P ∆，),(y x x P P ∆+=θ)10(≤≤θoyx(2,3)(1,1)L2L1oyxEBAGx ∆),(000y x M oyxM(x,y)N(x+,y)即),(y x P x u =∂∂，同理),(y x Q y u =∂∂.（3）⇒（4）若),(y x du =Qdy Pdx +，往证y P ∂∂=x Q ∂∂，=P x P∂∂，=Q y Q ∂∂y x P y P ∂∂∂=∂∂，x y Qx Q ∂∂∂=∂∂，由Q P ,具有连续的一阶偏导数=∂∂∂y x u 2x y u ∂∂∂2 故y P ∂∂=x Q ∂∂（4）⇒（1）设C 为D 内任一闭曲线，D 为C 所围成的区域.⎰+CQdyPdx =dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=0.例2．曲线积分⎰-++=Lx y dyy xe dx x e I )2()(， L 为过)0,0(，)1,0(和)2,1(点的圆弧.解：令x e P y+=，y xe Q y2-=，则ye x Q=∂∂，ye y P =∂∂ ∴I 与路径无关. 取积分路径为AB OA +.=I ⎰+OAQdyPdx +⎰+ABQdyPdx=⎰⎰-++201)2()1(dy y e dx x y=272-e例2．计算⎰+-Cy x ydxxdy 22，（1）c 为以)0,0(为心的任何圆周.（2）c 为以任何不含原点的闭曲线. 解：（1）令22y x y P +-=，22y x x Q +=，22222)(y x x y y P +-=∂∂，22222)(y x x y x Q +-=∂∂，∴在除去)0,0(处的所有点处有y P ∂∂=x Q∂∂，做以0为圆心，r为半径作足够小的圆使小圆含在C 内，∴⎰⎰++rC CQdyPdx =0，即=+⎰CQdy Pdx θθπd r r x r ⎰+202222sin cos =π2≠0（2）∵y P ∂∂=x Q∂∂ ∴=+⎰C Qdy Pdx 0 三、二元函数的全微分求积oyxBAoyx∵ ⎰+C QdyPdx 与路径无关，则Qdy Pdx +为某一函数的全微分为),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx =⎰+xx QdyPdx 0+⎰+yy QdyPdx 0注：),(y x u 有无穷多个.例3．验证：ydy x dx y x cos )sin 2(++是某一函数的全微分，并求出一个原函数.解：令y x P sin 2+=，y x Q cos =y x Q cos =∂∂，y y P cos =∂∂∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取)0,0(),(00=y x ，⎰+=),()0,0(),(y x Q d yP d x y x u =⎰⎰+x yydy x xdx 00cos 2=y x x sin 2+例5．计算⎰-+-Cx x dym e y dy my e y )3()(23，c 为从E 到F 再到G ，⋂FG 是半圆弧解：令my e y P x-=3， m e y Q x-=23m e y y P x -=∂∂23，x e y y Q23=∂∂，m y Px Q =∂∂-∂∂添加直线GE，则，原式+⎰+GEQdy pdx =⎰⎰-Dmdxdy=])22(211221[2π⋅+⋅⋅-m =)41(π+-m ∴原式=m )41(π+-⎰-310dx =)41(π+-m 例6．设)(x f 在),(+∞-∞上连续可导，求dy y x f y y x dx y y x f y L L ⎰⎰++)],([),(1222，其中为从点)32,3(A 到)2,1(B 的直线段. ),(00y x ),(y x oyx),(y x )0.(x oyxo yxF (2,1)E (1,0)G (3,0)oy xB A C解；令y y x f y P ),(12+=， ]1),([22-=y x f y y x Q222),(1)],(),(2[y y x f y y y x f xy y x yf y P --'+=∂∂=2321),(),(y y x f xy y x f y -+=∂∂x Q ='+-)],([]1),([13222y x f y y x y x f y y 2321),(),(y y x f xy y x f y -+x Q y P ∂∂=∂∂，故原积分与路径无关，添CB AC +构成闭路，∴原式+0=+⎰⎰AC BC∴原式=⎰⎰+AC CB =dx x f dy y f y y )]32(941[23]1)([11322322++-⎰⎰ dy y y f dx x f ⎰⎰-++=132322]1)([)]32(3223[u x =3241)()(2323223223213-=+++⎰⎰y dy y f du u f x练习：1.证明：若)(u f 为连续函数，而C 为无重点的按段光滑的闭曲线，则)()(22=++⎰ydy xdx y xf c.2.确定的n 值，使在不经过直线0=y 的区域上，dy y y x x dx y y x x I c nc n ⎰⎰+-+=222222)()(与路径无关，并求当C 为从点)1,1(到点)2,0(B 的路径时I 的值.21-=n ，21-=I3．设),(y x f ，),(y x g 为L 上的连续函数，证明dsg f gdy fdx L L ⎰⎰+≤+22小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积.2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可.作业：P153 2，3，5。

高等数学格林公式课件

他近处的部分总在他的
左边. 单连通区域的边界曲线L的正向: 逆时针方向.
设复连通区域 D 的边界曲线为 = L + l 1 + l2 + · · · + ln 的正向：复合闭路 (如图)
外边界L 为逆时针方向；内边界
li
( i 1, 2, , n)
为顺时针方向.
4. 格林公式定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段光滑闭曲线围成, 函数有连续一阶偏导数, 则
D
D
3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
3 d (1 2 ) d
0 0
2π
R
3π ( 2 R 2 R4 ) 2
注 I 3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
？ 3 (1 R 2 ) d x d y
y
A(1,1)
B(0,1)

D
Q P ( ) d xd y x y
D
P dx Qd y
D
yx
o
x
2 y ？
将二重积分转化为曲线积分

D

P dx Qd y
P ？ Q xe 0, Q
解令 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有
y2
作位于 D 内圆周
l : x 2 y2 r 2,
顺时针.
l x
l的参数方程为： x r cos y r sin : 2 0
y L
O
记 D1 由 L 和 l 所围成的区域,
L l 封闭，正向 .
应用格林公式,得

113格林公式

反过来，由在 G 内沿闭曲线的曲线积分为零也可推
得在区域 G 内曲线积分与路径无关.
5/11/2019
20
2.平面曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)
在G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积分 Pdx Qdy在G 内
L
与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
14
y
例 3 计算 e y2dxdy,其中 D是
B 1
A
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点的三
角形闭区域.
o
1
x
解：令 P 0, Q xe y2 , 则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
e y2dxdy
Q(s,t)dy u(x, y)
y0
或
y
y0 Q(x0 ,t)dt
x1 P(s,t)dt u(x, y)
x0
5/11/2019
24
例 6 验证：在整个 xOy 面内， 4sin xsin3y cos xdx 3cos3y cos 2xdy
是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数.
5/11/2019
23
值得一提的是，由定理 y 3 的充分性证明过程知，
B(x, y)
如果 P Q， y x
A( x0 , y0 )
o
C(x, y0 )
x
那么 B(x,y) P(s,t)ds Q(s,t)dt A( x0 , y0 )
x
y

x0 P(s, y0 )ds

高等数学课件--D11_3格林公式

2012-10-12
同济版高等数学课件
定理2 目录上页下页返回结束
证明 (2) (3) 在D内取定点与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
C ( x x, y )
则
dy 1 y
2
O (1,0)
x y
( x,0 )
x

π 2
arctan
2012-10-12
同济版高等数学课件
目录上页下页返回结束
例7. 设质点在力场由 A( 0, ) 移动到
2 π
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
y
k
L
A L
O
解: W F d s
L
r
( y dx x d y) 2
Q x P y
L
Dn

k 1 n
Dk

d xd y
O
x

k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
2012-10-12
同济版高等数学课件
定理1 目录上页下页返回结束
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
Pd x Qd y

L2
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pd x Qd y 0 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 .
B (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 L Pd x Qd y Pd x Qd y Pd x Qd y AB 与路径无关, 只与起止点有关. A

D11_3格林公式

第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章*三、全微分方程L D区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,),(y x P ),(y x Q ∫∫∫+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d ( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,∫∫∫+=∂∂∂∂LDyxyQ x P y x QP d d d d 或一、格林公式证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D )()(:21ϕϕ⎩⎨⎧≤≤≤≤d y c y x y D )()(:21ψψ则y x x Q D d d ∫∫∂∂∫=dcy y y Q d )),((2ψ∫∂∂)()(21d y y xx Q ψψ∫=CBE y y x Q d ),(∫−CAE y y x Q d ),(∫=CBEy y x Q d ),(∫+EACyy x Q d ),(∫−dcyy y Q d )),((1ψ∫=dcy d O d c y xECBA b a D即y x xQD d d ∫∫∂∂∫=L y y x Q d ),(同理可证y x yP D d d ∫∫∂∂−∫=L xy x P d ),(①②①、②两式相加得:()∫∫∫+=∂∂−∂∂LD y Q x P y x y Px Q d d d dL2) 若D 不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1D nD 2D ()∑∫∫=∂∂−∂∂=n k D y x yPx Q k1d d ()y x yPx Q Dd d ∂∂−∂∂∫∫∑∫=∂+=nk D kyQ x P 1d d ∫+=LyQ x P d d 为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示k k D D ∂证毕yxO推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积∫−=Lxy y x A d d 21格林公式∫∫∫+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d 例如, 椭圆π)20(sin cos :≤≤⎩⎨⎧==θθθb y a x L 所围面积∫−=L xy y x A d d 21∫+=π2022d )sin cos (21θθθab ab ab π=例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明d d 22=+∫y x x y x L证: 令,,22x Q y x P ==则yPx Q ∂∂−∂∂利用格林公式 , 得y x x y x Ld d 22∫+022=−=x x ∫∫=Dy x d d 00=例2. 计算,d d e2∫∫−Dyy x 其中D 是以 O (0,0) , A (1,1) ,B (0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令, 则2e,0yx Q P −===∂∂−∂∂yP x Q 利用格林公式 , 有∫∫−D yy x d d e2∫∂−=Dyy x d e 2y x OAyd e2∫−=yy yd e102∫−=)e 1(211−−=2e y−xy =yx)1,1(A )1,0(B D O例3. 计算,d d 22∫+−L y x xy y x 其中L 为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解: 令,022时则当≠+y x 22222)(y x xy x Q +−=∂∂设 L 所围区域为D ,,)0,0(时当D ∉由格林公式知0d d 22=+−∫L y x xy y x ,22yx yP +−=22y x x Q +=y P ∂∂=y xLOθθθd sin cos π2022222∫+=rr r π2=,)0,0(时当D ∈在D 内作圆周,:222r y x l =+取逆时针方向,1D , 对区域1D 应用格∫+−L y x xy y x 22d d ∫+−−l y x x y y x 22d d ∫−+−=l L yx xy y x ∪22d d 0d d 01==∫∫y x D ∫∫+−=+−∴l L y x x y y x y x x y y x 2222d d d d L 1D l记 L 和 l ¯ 所围的区域为林公式 , 得yxO二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2. 设D 是单连通域 ,),(),,(y x Q y x P 在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0d d ∫=+L y Q x P (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分(3)y Q x P d d +),(y x u yQ x P y x u d d ),(d +=(4) 在 D 内每一点都有.xQ y P ∂∂=∂∂∫+L y Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L ,有.0d d ∫=+L y Q x P (2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分∫+L y Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关.说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为设21,L L ∫∫+−+21d d d d L L y Q x P y Q x P ∫+=1d d Ly Q x P ∫−++2d d L yQ x P ∫−+=21d d L L y Q x P ∪0=2L ∫+=2d d L yQ x P ∫+∴1d d L y Q x P 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))∫+=B A y Q x P d d ∫+AB y Q x P d d AB 1L(2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分(3)y Q x P d d +),(y x u y Q x P y x u d d ),(d +=∫+Ly Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即在D 内取定点),(00y x A 因曲线积分∫+=),(),(00d d ),(y x y x yQ x P y x u ),(),(y x u y x x u u x −∆+=∆则),(y x P =x u x u xx ∆∆=∂∂∴→∆0lim ),(lim 0y x x P x ∆+=→∆θ∫∆++=),(),(d d y x x y x y Q x P ∫∆+=),(),(d y x x y x xP xy x x P ∆∆+=),(θ同理可证y u ∂∂),,(y x Q =因此有y Q x P u d d d +=和任一点B ( x , y ),与路径无关,),(y x x C ∆+),(y x B ),(00y x A 有函数(4) 在 D 内每一点都有.xQ yP ∂∂=∂∂(3)y Q x P d d +),(y x u y Q x P y x u d d ),(d +=在 D 内是某一函数的全微分,即xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22所以设存在函数 u ( x , y ) 使得y Q x P u d d d +=则),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D 内每一点都有x Q y P ∂∂=∂∂xy u x Q yx u y P ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂∴22,证明 (4) ⇒ (1)设L 为D 中任一分段光滑闭曲线,D D ⊂′(如图) ,上因此在D ′xQ y P ∂∂≡∂∂利用格林公式 , 得y x xQx Q y Q x P L D d d )(d d ∂∂−∂∂=+∫∫∫′D D ′L0=所围区域为证毕(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0d d ∫=+L y Q x P (4) 在 D 内每一点都有.x Qy P ∂∂=∂∂说明:根据定理2 , 若在某区域D 内,xQy P ∂∂=∂∂则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P d x + Q d y 在域 D 内的原函数:D y x ∈),(00及动点,),(D y x ∈y y x Q x y x P y x u y x y x d ),(d ),(),(),(),(00+=∫∫=xx x y x P 0d ),(0或∫=y y y y x Q y x u 0d ),(),(0则原函数为∫+y y yy x Q 0d ),(∫+x x xy x P 0d ),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yx 0y 0x O xy4) 若已知 d u = P d x + Q d y ,则对D 内任一分段光滑曲∫+=B Ay y x Q x y x P d ),(d ),(AB u=)()(A u B u −=线 AB ,有yy x Q x y x P ABd ),(d ),(+∫注: 此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4). ∫∫=babax F x x f )(d d )(DAB它类似于微积分基本公式:∫=BAu d ())()(x f x F =′其中)()()(a F b F x F ab −==yA xL 例4. 计算,d )(d )3(22y x y x y x L−++∫其中L 为上半24x x y −=从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AO D 它与L 所围原式y x y x y x AOL d )(d )3(22−++=∫∪∫∫=Dy x d d 4∫−+++OAyx y x y x d )(d )3(22∫+402d xx 圆周区域为D , 则O例5. 验证y y x x y x d d 22+是某个函数的全微分, 并求出这个函数.证: 设,,22y x Q y x P ==则xQ y x y P ∂∂==∂∂2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y ) 使yy x x y x u d d d 22+=∫+=),()0,0(22d d ),(y x yy x x y x y x u )0,(x +=0y y x y d 02∫=yy x yd 02∫2221yx =)0,0(),(y x例6. 验证22d d yx xy y x +−在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函数 , 并求出它.证: 令2222,y x xQ y x y P +=+−=则)0()(22222>∂∂=+−=∂∂x yQ y x x y x P 由定理 2 可知存在原函数∫+−=),()0,1(22d d ),(y x yx xy y x y x u +=0)0(arctan >=x xyx y ∫+y y x y x 022d )0,(x )0,1(),(y x Ox y )0,(x )0,1(),(y x O ∫+−=),()0,1(22d d ),(y x yx xy y x y x u ∫+=y y y 021d yxy y arctan1arctan arctan −+=yx arctan 2π−=∫+−x y x x y 122d 或),1(y )0(arctan>=x xy例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :x y cos 2π=由)2π,0(A 移动到,)0,2π(B 求力场所作的功W解:)d d (2∫−=L y x x y r k 令,,22rx k Q r y k P −==则有)0()(22422≠+−=∂∂y x ry x k y P x Q∂∂=可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关..)(22y x r +=其中),(2x y rkF −=s F W Ld ∫⋅=L B Ay x O:AB )d d (2y x x y r kW AB −=∫θθθd )cos (sin 202π2+−=∫k )02π:(sin 2π,cos 2π→==θθθy x k 2π=思考: 积分路径是否可以取?OB AO ∪取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !LB A y xO 转内容小结判别: P , Q 在某单连通域D 内有连续一阶偏导数,,xQ y P ∂∂=∂∂D y x ∈),(③为全微分方程则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x , y )2. 由 d u = 0 知通解为 u (x , y ) = C .*三、全微分方程使若存在),(y x u y y x Q x y x P y x u d ),(d ),(),(d +=则称0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 为全微分方程.③),(y x yxO 例8. 求解0d )33(d )35(222324=+−+−+y y y x y x x y y x x 解: 因为=∂∂y P 236y y x −,xQ ∂∂=故这是全微分方程. ,0,000==y x 取则有x x y x u xd 5),(04∫=yy y x y x yd )33(0222∫+−+5x =2223y x +3y x −331y+因此方程的通解为Cy y x y x x =+−+332253123)0,(x 法10d )33(d )35(222324=+−+−+y y y x y x x y y x x 求解法2 此全微分方程的通解为 yu ∂∂,)(2y y =′ϕC y x u =),(x u ∂∂, 则有)(d )35(),(324y x y y x x y x u ϕ+−+=∫待定，)()(233225y y y x y x x ϕϕ+−+=两边对 y 求导得④yu ∂∂⑤由④得与⑤比较得331)(yy =ϕ取因此方程的通解为C y y x y x x =+−+33225312332435y y x x −+=22233y y x y x +−=)(3322y y x y x ϕ′+−=例9. 求解0d 1d )(2=−+y x x xy x 解:21x y P =∂∂∵∴ 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解.将方程改写为0d d d 2=−−xx y y x x x 即()(),0d 21d 2=−x y x 故原方程的通解为()021d 2=−xyx 或Cxyx =−221,xQ ∂∂=思考: 如何解方程?0d d )(3=−+y x x y x 这不是一个全微分方程 ,,12x就化成例9 的方程 .,0),(≠=y x µµ使d ),(),(d ),(),(=+y y x Q y x x y x P y x µµ为全微分方程,),(y x µ则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注:若存在连续可微函数积分因子.内容小结1. 格林公式∫+L y Q x P d d2. 等价条件在 D 内与路径无关.yP x Q ∂∂=∂∂在 D 内有yQ x P u d d d +=yx y P x Q D d d ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=∫+Ly Q x P d d 对 D 内任意闭曲线 L 有0d d =+∫Ly Q x P 在 D 内有设 P , Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有为全微分方程0d d =+y Q x P思考与练习1. 设,4:,1:222412=+=+y x l y x L 且都取正向, 问下列计算是否正确 ?∫+−L y x x y y x 22d 4d )1(∫+−=l y x x y y x 22d 4d ∫−=l x y y x d 4d 41∫∫=Dσd 541π5=∫+−L y x x y y x 22d d )2(∫+−=l y x x y y x 22d d ∫−=l x y y x d d 41∫∫=D σd 241π2=提示:时022≠+y x y P x Q ∂∂≠∂∂)1(y P x Q ∂∂=∂∂)2(LO 2y1x2lD2. 设,)56,4(),(42234y y x xy x y x u −+=grad ).,(y x u 求提示:=),(d y x u x xy x d )4(34+y y y x d )56(422−+),(y x u O y x),(y x )0,(x x x x d 04∫=y y y x y d )56(0422∫−+C +551x =322y x +C y +−5x xy x d )4(34+y y y x d )56(422−+∫=),()0,0(y x C+作业P212 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ;*8 (2), (4), (7) ; 9∫∫′′−C C C ∪D O yx a a −C 备用题 1. 设 C 为沿[]y x a x y x a x x a y C d )ln(2d 22222+++++∫222a y x =+从点),0(a 依逆时针),0(a −的半圆, 计算解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =3π21a =∫−−a a ya y d )ln 2(∫∫⎢⎣⎡=D 222x a y a ++222x a y +−y x d d ⎥⎦⎤C ′到点D2. 质点M 沿着以AB 为直径的半圆, 从 A (1,2) 运动到+=∫∫D y x d d 2点B (3, 4),到原点的距离,解: 由图知故所求功为AB y x x y d d +−=∫AB (∫=BA ∪AB []x x x d )1(31∫++−2π2−=锐角,其方向垂直于OM , 且与y 轴正向夹角为AB ∫+))d d (y x x y +−)1(21334−+=−−x y AB 的方程F 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) ,),(x y F −=F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,s F W d ⋅=∫O ),(y x M B A y x,0)1,0(,1=∈F C F 3. 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关 , 故有x F x F x sin cos +−xF x y F y sin sin +=即因此有]d cos d sin [),(y x x x y y x F L −∫0),(=y x F .)(x f y =x y F F y x tan =−x y y tan =′10==x y xy cos 1=x sec =]sin ),([]cos ),([x y y x F yx y x F x ∂∂=−∂∂y ′。

同济大学《高等数学》第六版：D11_3格林公式共36页PPT

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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
36
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
同济大学《高等数学》第六版：D11_3格 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。林公式
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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Байду номын сангаас
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇

高数格林公式

2
通过格林公式，可以将二重积分转化为曲线积分来计算，这在某些情况下可以大大简化计算过程。
3
此外，格林公式还揭示了平面区域内向量场与标量场之间的关系，为多元函数微积分中的场论问题提供了有力工具。
与场论初步知识联系
01
场论是研究向量场和标量场的数学分支，而格林公式正是场论中的一个基本定理。
02
04
培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
02 格林公式基本概念
曲线积分与路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
若在所有以A、B为端点的光滑曲线族上，曲线积分∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的值都是相同的，则称此曲线积分与路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
径为平面区域D的边界曲线。
格林公式的证明需要运用到微积分基本定理和斯托克斯定理等相关知识。
学习目标与要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
掌握格林公式的基本形式和证明方法，理解其几何意义和物理应用。
02
能够熟练运用格林公式解决平面区域上的二重积分和曲线积分问题。
03
了解格林公式在电磁学、流体力学、热力学等领域的应用实例，提高解决实际问题的能力。
高数格林公式
目录
• 引言 • 格林公式基本概念 • 格林公式证明方法 • 格林公式应用举例 • 格林公式与相关知识点联系 • 拓展与延伸
01 引言
背景与意义
格林公式是高等数学中的一个重要概念，它揭示了平面区域上二元函数与其偏导数之间的
关系。
在实际应用中，格林公式被广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域，是解决复杂物理问题的有力工具。

数学分析之格林公式

y
1
A
∂Q ∂ 2 4 = (x + y ) = 2x ∂x ∂x
∂P ∂Q , 即 = ∂y ∂x
1 2 1 4
o
1
x
23 故原式 = ∫0 x dx + ∫0 (1 + y )dy = . 15
区域连通性的分类
为平面区域, 设D为平面区域如果内任一闭曲线所围成为平面区域如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域为平面单连通区域, 的部分都属于则称为平面单连通区域否则称为复连通区域. 则称为复连通区域
∫ Pdx + Qd y
L
与路径无关, 的起点及终点有关. 与路径无关只与 L 的起点及终点有关 (iii) 是 D 内是某一函数即 d u( x, y) = P dx + Q d y 的全微分, 的全微分,
∂ P ∂Q (iv) 在 D 内处处成立 . = ∂ y ∂x
(ii) 证明 (i) 设 L , L2 为D 内任意两条由到B 的有向分段光滑曲内任意两条由A 1 线, 则
= ∫ F cos α ds − G cos β ds
L
= ∫ F sin(τ , x )ds − G cos(τ , x )ds
L
= ∫ F cos( n, x )ds + G cos( n, y )ds
L
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy D
=∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy
∫∫ (
D
∂Q ∂ P ) dxd y − ∂x ∂ y
D1
D 1
D2
= ∫∫
+ ∫∫

11-(3)格林公式及其应用

其中L为一无重点且不过原点
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D,
y L
D
(1) 当(0,0) D时, 由格林公式知
o
高等数学A(下）
x
41 - 14
Monday, January 25, 2016
例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. (2) 当(0,0) D时, 在D 内作圆周l : x 2 y 2 r 2 ,取逆时针方向, 记 L 和 l ¯ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格林公式 , 得
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
C ( x x, y )
则
x u u( x x, y) u ( x, y )

( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
D
高等数学A(下）
41 - 12
Monday, January 25, 2016
例3. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 可以直接用二重积分来计算解: 令P 0, Q x e
y2
y
B(0,1) A(1,1)
,则
D
O
yx
x
1 x2
Q( x, y )d y
CBE
EAC
Q( x, y )d y
①
即
高等数学A(下）
41 - 5
Monday, January 25, 2016

高数格林公式例题解析

高数格林公式例题解析
（原创版）
目录
1.概述高数格林公式
2.格林公式的证明
3.格林公式的应用
4.例题解析
5.总结
正文
1.概述高数格林公式
高数格林公式，又称为高斯公式，是高数中的一个重要公式。

它是一
个矢量分析公式，用于计算空间曲线上的切向量场和法向量场。

格林公式
在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

2.格林公式的证明
格林公式的证明过程较为复杂，涉及到高深的数学知识，这里不再赘述。

需要注意的是，格林公式的成立依赖于向量场的无旋性质。

3.格林公式的应用
格林公式在解决许多高数问题中都有着重要的作用，它可以用来求解
矢量场的旋度，也可以用来求解无旋场的散度。

此外，格林公式还可以用
来求解一些复杂的偏微分方程。

4.例题解析
例如，考虑一个在空间中的曲线 C，其参数方程为 r(t)={x(t), y(t), z(t)}，t 在 [a,b] 上变化。

我们可以用格林公式来求解该曲线的切向量
场和法向量场。

首先，我们需要求出曲线 C 的参数方程的导数，即切向量场。

根据链式法则，我们可以得到：
dx/dt = (dx/dr) * (dr/dt)
dy/dt = (dy/dr) * (dr/dt)
dz/dt = (dz/dr) * (dr/dt)
然后，我们可以用格林公式来求解切向量场的旋度，从而得到法向量场。

最后，我们可以用法向量场来求解曲线 C 上的曲率。

5.总结
高数格林公式是高数中的一个重要公式，它在解决许多高数问题中都有着重要的作用。