1大数定律

b
a
f ( x)dx ?
两种收钱方式。无穷大 ？势？可测集？
勒贝格积分-----测度论
设
f ( x) 是可测集E上的可测函数，对于
f ( x) 0
的情况，g ( x ) 是任意一个满足
0 g ( x) f ( x) 的简单函数
让
g ( x)
变动，有：

E
f ( x)dm sup
P{25 X 30} P{
P{1.29 X 20 15
25 20 15

X 20 15

30 20 15
}
2.58}
Φ(2.58) Φ(1.29)
0.9951 0.9015 0.0936
例4 某电视机厂每周生产 10000台电视机，但它的显像 管车间的正品率为 0.8 ，为了能以 0.997 的概率保证出
则称 随机变量 序列 Y1 , Y2 ,, Yn , 依概率收敛于a， 记为
Yn a（n ）
P
几乎处处收敛
定积分的定义 1.定义 在 [a, b]中 任 意 插 入 若 干 个 分点
设 函 数 f(x)在 [a ,b]上 有 界 ，
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
若 当 λ 0时 ， 和 S总 趋 于 确 定 的极限I
则称I为函数 f ( x )在区间 [a, b]上的定积分
记作

b
a
f ( x )dx 即 f ( x )dx I lim
a

b
0
f ( )x
i i 1
n
i
0，x为无理数 狄利克雷函数 f ( x) 1，x为有理数
0 g f

E
g ( x)dm sup
0 g f k 1
y me
k
n
k
,
ek E ( g yk ) 为互不相交的可测集
a（n ） ，g（x）是连续 性质 1.设 Yn
P
函数，则
P g（Yn） g（a）（n ）
a（n ） ，Yn b（n ） ， 2.设 X n
-
e
-t 2 2
dt
定理表明：当n充分大时，标准化随机变量
X
i 1
n
i
nμ
近似服从标准正态分布.
ζ n
由此可知：对于独立的随机变量序列 X n ，
不管 X i ( i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同
分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充
分大时，这些随机变量之和
E ( X i2 ) 1 0.3 1.2 2 0.2 1.5 2 0.5 1.713
D( X i ) E（X i2） [ E（X i） ]2 1.713 1.29 2 0.0489
由独立同分布中心极限定理知：
X
i 1
300
300 1.29近似 ~ N ( 0， 1） ) 300 0.0489
由独立同分布中心极限定理, 有
X 200 近似 ~ N( 0 ， 1） 15
(1)
X 200 180 200 P{ X 180} P{ } 15 15
X 200 P{ 1.33} 1 Φ(1.33) 15
Φ(1.3) 0.9082
(2)
0 200 X 200 200 200 } P{0 X 200} P{ 15 15 15
却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从
正态分布。-----用于回归分析 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是 正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我
们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化 的随机变量
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
厂的电视机都装上正品显像管，该车间每周应生产多
定理4 （辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …相互独立，服从同一分布，
具有相同的数学期 望E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对于任给
正数ε >0 ，总成立
1 n lim P{| X i μ | ε } 1 n n i 1
即
1 n P X μ（ n ） i n i 1
定理2（契比雪夫大数定律的特殊情形）
设随机变量序列X1,X2, …相互独立，并且具有相同
的数学期望和方差，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2,i=1,2, …,则对 任给的ε>0，总成立
1 n lim P{| X i μ | ε } 1 n n i 1
即
1 n P Xi μ（n ） n i 1
推论
设随机变量序列X1,X2, …相互独立，服从同
一分布，且具有相同的k 阶矩 E（X ik） μk ， i 1， 2， 则对任给正数ε>0，总成立
1 n k lim P{| X i μ k | ε } 1 n n i 1
即
1 n P k X μ（ i k n ） n i 1
X 200 P{13.33 0} Φ(0) Φ( 13.33) 15 Φ(0) [1 Φ(13.33)] 0.5 （1 1） 0.5
例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋
糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机
变量，它取1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别
i
即
X
iwk.baidu.com1
300
i
387
近似
3.8301
~ N ( 0， 1） )
P{ X i 400} P{
i 1
300
X
i 1
300
i
387
3.8301
400 387 } 3.8301
P { i 1
X
300
i
387
3.8301
3.39} 1 Φ( 3.39)
解：设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数， 则
E ( X k ) 2, D( X k ) 1.5 2 , k 1,2,,100
又 X 1 , X 2 ,, X 100 相互独立，
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数,则
X Xk ,
k 1 100
E ( X ) 200, D( X ) 225,
为0.3，0.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入
至少达400 (元)的概率 解：设第i只蛋糕的价格为Xi，i=1,2,…,300,则Xi的分 布律为 Xi P 1 1.2 1.5
0.3
0.2
0.5
E ( X i ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29
案.试问一位完全不会的学生，想凭着猜测的方法回答
此200题中的80题，而答对25题至30题的概率是多少？
解: 设答对的题数为X，则 X~B(80,0.25),
E ( X ) 80 0.25 20， D( X ) 80 0.25 0.75 15，
X 20 近似 ~ N ( 0， 1） ) 15
学期望：E(Xi)=μi，并且都具有被同一常数C所限制的
方差：D(Xi)= ζ 2 <C,i=1,2, …,则对任给的ε>0，总成立
i
1 n 1 n lim P{| X i μ i | ε } 1 n n i 1 n i 1
即
n 1 n 1 P X μ （ i i n ） n i 1 n i 1
分布
N n , n 2
X
i 1
n
i
近似地服从正态
例1.炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中 的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差 为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,
求100 次轰击中
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
的标准化随机变量 分布. 由此可知：当n很大，0<p<1是一个定值时（或 者说，np(1-p)也不太小时），服从二项分布B（n，p) 的随机变量 Yn 近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).
Yn np
np(1 p)
近似服从标准正态
例 3 某次课堂测验，有 200 道选择题，每一题有 4 个答
数理统计
第一节
大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律
随机变量序列依概率收敛于常数 定义 设 Y1 , Y2 ,, Yn , 是一个随机变量序列， a 是
一个常数，若对于任给的正数>0, 总成立
lim P {| Yn a | ε } 1
n
P P
g（x , y）是二元连续函数，则
g（X n，Yn） g（a，b）（n ）
P
三个常见的大数定律
定理1（贝努利大数定律）
设n重贝努里试验中事件A发生的次数为μn，A
在每次试验中发生的概率为 p ，则对任给的ε>0，总
成立
μn lim P {| p | ε } 1 n n
把区间 [a , b]分 成n个 小 区 间
[ x 0 , x1 ], [ x1 , x 2 ], [ x n 1 , x n ]
各个 小区间 的长度 依次 为
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , , xn xn xn1
在每个小区间 [ xi 1 , xi ]上任取一点 i ( x i 1 i x i ),
定理2的意义 具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算 术平均值依概率收敛于数学期望.当 n 足够大时, 实验 结果的算术平均几乎是一常数. 因此，在实际应用中，当试验次数足够大时,可用 独立重复试验结果的算术平均数来估计随机变量的
数学期望.----大样本
定理3（契比雪夫大数定律的一般情形） 设随机变量序列X1,X2, …相互独立，它们都具有数
μn P p（n ） n
即：
贝努里大数定律的意义
nA 在概率的统计定义中, 事件A 发生的频率 “ 稳定于” n
nA 事件A 在一次试验中发生的概率是指：频率 与 p n
有较大偏差
nA n p ε
是小概率事件, 因而在 n 足够
大时可以用频率近似代替 p . 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的 方法.
定理3的意义 定理表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共
1 n 1 n 同的上界，则 X i 与其数学期望 E ( X i ) 偏差很 n i 1 n i 1
小的概率接近于1. 1 n 即当n充分大时， X i差不多不再是随机的了，取值 n i 1
接近于其数学期望的算术平均的概率接近于1.
这一节我们介绍了大数定律
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本 的性质之一：
平均结果的稳定性
它是随机现象统计规律的具体表现.在理论和实际 中都有广泛的应用.
第二节
中心极限定理
客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量
相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小
因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，
1 0.9997 0.0003
定理2(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）
设n重贝努利试验中事件A发生的次数为μn,事 件A在每次试验中发生的概率为p,则对于任给实 数x,总成立
lim P{
n
μ n np np(1 p)
x}

x
1 2π

e
t2 2
dt
定理表明：若 Yn 服从二项分布，当n很大时， Yn
作函数值f( ξ xi的 i )与小区间长度 Δ
乘 积 f( ξi ) Δ xi(i 1,2,3, ,n)
并作和 S
记
i 1 max{x1 , x 2 ,, x n }
f ( )x
i
n
i
如果不论对 [a, b]怎样分法，
也不论小区间 [ x i 1 , xi ]上点 i 怎样取法，
k 1 n
n
D( X k )
k 1
的极限分布. 下面介绍常用的三个中心极限定理。
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，且 E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，i=1,2,…，则
n
lim P {
X
i 1
n
i
nμ
ζ n
x}

x
1 2π