《运筹学》清华大学出版社 复习资料及练习题
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s i rs ri ri
七、灵敏度分析
灵敏度分析的任务： 灵敏度分析的任务：确定各个变量使得最 优解保持不变的变化范围； 优解保持不变的变化范围；以及在最优解 改变的时候求出相应的最优解。 改变的时候求出相应的最优解。
（1）非基变量 i的价值系数 i的变化范围， ）非基变量x 的价值系数C 的变化范围， 使最优解保持不变。 使最优解保持不变。
原问题（或对偶问题） 原问题（或对偶问题） 目标函数 max m个 个 约 束 条 件 ≤ ≥ = n个 个
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 个 ≥0 ≤0 无约束 n个 个 变 量
变 量
≥0 ≥ ≤0 ≤ 无约束 = 约束条件右端项 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数变量的系数
三、单纯形方法
对于具有两个以上决策变量的线性规划问题， 对于具有两个以上决策变量的线性规划问题， 我们采用单纯形方法进行求解。具体过程是： 我们采用单纯形方法进行求解。具体过程是： （1）建立单纯形表：在单纯形表中，务必使 ）建立单纯形表：在单纯形表中， 基变量的价值系数为零， 基变量的价值系数为零，则检验数行是价值系 数行的相反数； 数行的相反数；
约 束 条 件
六、对偶单纯形法
基本要求：检验数 σ ≥ 0 资源常数存在负值。 基本要求： ；资源常数存在负值。 解法： 解法： 列出对偶单纯形表； 列出对偶单纯形表； 将基变量在目标函数中系数化为零， 将基变量在目标函数中系数化为零，检验数为 新目标函数中系数的相反数； 新目标函数中系数的相反数； 0 则当前解为最优解； 判断， 判断，若 σ ≥ 0, b′ ≥ ，则当前解为最优解； 中存在负项，则进行迭代， 若 σ ≥ 0, 且b′ 中存在负项，则进行迭代，确定出 基和进基变量； 基和进基变量；
基解、基可行解、 基解、基可行解、可行基
对于某一特定的基B 非基变量取0值的解， ⊙对于某一特定的基B，非基变量取0值的解， 称为基解。 称为基解。
⊙满足非负约束条件的基解，称为基可行解。 满足非负约束条件的基解，称为基可行解。 与基可行解对应的基，称为可行基。 ⊙与基可行解对应的基，称为可行基。
考虑检验数 σj = cj -∑ ci aij j = 1,2,……,n 设 ck 变化为 ck + ∆ck σk’= ck + ∆ck -∑ ci aik = σk+ ∆ck 则最优解不变； 只要 σk’≤ 0 ，即 ∆ck ≤ - σk ，则最优解不变；
（1）若 ck 是非基变量的系数 ）
某最优单纯形表如下
只要对所有非基变量 σj’≤ 0 ，即 则最优解不变； σj ≤ ∆cs asj ，则最优解不变； 否则， 否则，将最优单纯形表中的检验数 σj 用 σj’ 取代，继续单纯形法的表格计算。 取代，继续单纯形法的表格计算。
max
Z = 5 x1 + 4 x2 x 2 ≤ 90 x 2 ≤ 80 x 2 ≤ 45 ≥ 0
∆ci ≤ σ i
（2）基变量 i的价值系数 i的变化范围， ）基变量x 的价值系数C 的变化范围， 使最优解保持不变。 使最优解保持不变。
： ：
∆ci
−σ −σ j j max arj > 0 ≤ ∆ci ≤ min aij < 0. arj arj
则当前解为最优解（ （2）若检验数 ） σ ≥ 则当前解为最优解（当 0, 前解是基变量取相应的资源常数b 前解是基变量取相应的资源常数b，非基变量 取为零）；若存在检验数 σ < 0 ，则要进行 取为零）；若存在检验数 ）； 相应的换基， 迭代； 相应的换基，即：迭代；
（3）迭代计算 ） 进基：确定换入基的变量： ①进基：确定换入基的变量： σ k = max{σ j | σ j > 0} ②出基：确定换出变量，由下面的关系确定： 出基：确定换出变量，由下面的关系确定：
习题课
一、线性规划问题的标准形式
LP问题的数学模型的标准形式为 LP问题的数学模型的标准形式为： 问题的数学模型的标准形式为
max Z = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn
a11x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 2n n 2 21 1 22 2 LL s.t a x + a x + L+ a x = b mn n m m1 1 m2 2 x j ≥ 0, ( j = 1,2,L, n)
bi aik > 0 θL = min aik
③以主元进行迭代，目标：主元化为1，该列的 以主元进行迭代，目标：主元化为 ， 其余元化为零。 其余元化为零。 （4）再一次判定当前解是否为最优解。 ）再一次判定当前解是否为最优解。
四、人工变量法
对于约束条件中没有阶单位阵的线性规划， 对于约束条件中没有阶单位阵的线性规划，通 过引入适当的人工变量，再加以求解。 过引入适当的人工变量，再加以求解。 （1）大M法 ） 法 针对标准形约束条件的系数矩阵中不含单位矩 阵的处理方法。 阵的处理方法。 在大M法中 引入的人工变量的价值系数为-M， 法中， 在大 法中，引入的人工变量的价值系数为 ， 而相应的约束条件系数向量为单位向量。 而相应的约束条件系数向量为单位向量。
基、基向量、基变量 基向量、
⊙设r(A)=m,并且B是A的m 阶非奇异的子矩阵 r(A)=m,并且B 并且 det(B)≠0),则称矩阵 则称矩阵B （det(B)≠0),则称矩阵B为线性规划问题的一 个基。 个基。 矩阵B= B=（ 其列向量P ⊙矩阵B=（P1，P2…Pm) ，其列向量Pj称为对 应基B的基向量。 应基B的基向量。 与基向量P 相对应的变量x 就称为基变量， ⊙与基向量Pj相对应的变量xj就称为基变量， 其余的就称为非基变量。 其余的就称为非基变量。
, xk 出基： 为第r行对应的变量 行对应的变量； 出基：记 br′ = min{bi′ bi′ < 0}为第 行对应的变量； σ σ = min a < 0 为进基变量； 进基： 进基： a ，为进基变量； a 以 ars为主元进行迭代。目标：将主元化为1， 为主元进行迭代。目标：将主元化为 ， 该列的其余元化为0。 该列的其余元化为 。
xn+i ≥ 0
称为松弛变量
∑a x
ij
∑a x
ij
j
− xn+i = bi
j
xn+i ≥ 0
称为剩余变量
3、变量无符号限制的问题
当某一个变量x 没有非负约束时， 当某一个变量xj没有非负约束时，可以令 xj = xj’- xj” 其中： 其中：xj’≥0，xj”≥0 ，
4、右端项有负值的问题
当某一个右端项系数为负b 当某一个右端项系数为负 bi<0 ， 则把该等 式约束两端同时乘以得到： 式约束两端同时乘以-1，得到：
变化范围使最优基不变： bk 变化范围使最优基不变：
∆bk
b′ max − i β ik
βik
b′ > 0 ≤ ∆bk ≤ min − i β ik
βik
< 0
k = 1, 2,L, m
1、目标函数中系数C发生变化 、目标函数中系数 发生变化
其中常数项
bi ≥ 0,
(i = 1,2,L, m)
1、极小化目标函数的问题
Min Z = - Max Z’ 2、约束条件不是等式的问题 、 引进一个新的变量x 引进一个新的变量 n+i ，使它等于约 束右边与左边之差。 束右边与左边之差。
∑a x
ij
Biblioteka Baidu
j
≤ bi
≥ bi
∑a
ij
x j + xn+i = bi
cj XB x3 x1 x2
b 25 35 10
5 x1 0 1 0 0
c2 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 2 1 -1 c2 - 5
0 x5 -5 -1 2 5 - 2c2
σ4 = c2－5 ≤ 0 σ5 = 5－2c2 ≤ 0 － 5/2 ≤ c2 ≤ 5 最优解X 35，10，25， 保持不变。 最优解X*=（35，10，25，0，0）保持不变。
2、 右端项 发生变化 、 右端项b发生变化
0 这就是说， 这时如还保持 B b ≥ ，这就是说，当发生 变化△ 得到的是基本可行解。 变化△br后，得到的是基本可行解。
−1
CB 0 0 ┇ 0 -z
XB xn+1 xn+2 ┇ xn+m b1 b2 ┇ bm f
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 c1 c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
（2）二阶段法
两阶段法它是将加入人工变量后的线性规划 问题分成两阶段求解。 问题分成两阶段求解。 第一阶段：先求解一个目标函数中只含有人 第一阶段：先求解一个目标函数中只含有人 工变量的线性规划问题 的线性规划问题。 工变量的线性规划问题。 第二阶段：从第一阶段的最终单纯形表出发， 第二阶段：从第一阶段的最终单纯形表出发， 去掉人工变量，按原问题的目标函数， 去掉人工变量，按原问题的目标函数，继续寻 找原问题的最优解。 找原问题的最优解。
0 X 5 1 /5 -2 /5 -1 /5
0 X5 1/5 -2/5 -1/5
b 2/5 11/5
0 -4+Δc3 X3 X4 -1/5 -2/5 7/5 -1/5 -9/5+Δc3 -8/5
CI CB -3 -2
XB X2 X1 σj
b 2/5 11/5
-2 X1 0 1 0
-3 X2 1 0 0
-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi
二、线性规划问题解的概念
线性规划标准型的矩阵形式： 线性规划标准型的矩阵形式：
Max Z =CX s.t. AX=b X≥0
（1） （2） （3）
解、可行解、最优解 可行解、
⊙满足约束条件（2）的X，称为线性规划问题 满足约束条件（
的解。 的解。 满足约束条件（ ⊙满足约束条件（2）与（3）的X，称为线性规 划的问题可行解。 划的问题可行解。 满足目标函数（ 的可行解X ⊙满足目标函数（1）的可行解X，称为线性规 划的问题最优解。 划的问题最优解。
0 -4+Δc3 X3 X4 -1/5 -2/5 7/5 -1/5 -9/5+Δc3 -8/5
0 X5 1/5 -2/5 -1/5
要保持最优解不变， 要保持最优解不变，∆ck ≤ - σk 可得到ΔC 原最优解不变。 可得到ΔC3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
（2）若 cs 是基变量的系数 ）
4 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 2 1 -1 -1 0 x5 -5 -1 2 -3
x1 + 3 2 x1 + x1 + x1 , x2
最优单纯形表 cj
CB 0 5 4 XB x3 x1 x2 b 25 35 10 5 x1 0 1 0 0
CB 0 5 c2
两阶段法的第一阶段求解的目的： 两阶段法的第一阶段求解的目的： 为判断原问题有无可行解。 一、为判断原问题有无可行解。 二、若有则可求得原问题的一个初始基本可行 再对原问题进行第二阶段的计算。 解，再对原问题进行第二阶段的计算。
五、 建立对偶规划的要点
⑴原规划是极大化，则对偶规划是极小化； 原规划是极大化，则对偶规划是极小化； 原规划的价值系数是对偶规划中的资源常数； ⑵原规划的价值系数是对偶规划中的资源常数； ⑶原规划与对偶规划的约束条件系数矩阵为矩阵 的转置关系； 的转置关系； 原规划中的第个决策变量无非负限制， ⑷原规划中的第个决策变量无非负限制，则对偶 规划中的第个约束条件为等式； 规划中的第个约束条件为等式； 原规划中的第个决策变量非正， ⑸原规划中的第个决策变量非正，则对偶规划中 的第个约束条件取反向不等式； 的第个约束条件取反向不等式；
C I CB -3 -2
CI CB -3 -2
X B X 2 X 1 σ j
XB X2 X1 σj
b 2 /5 1 1 /5
-2 X 1 0 1 0
-2 X1 0 1 0
-3 X 2 1 0 0
-3 X2 1 0 0
-4 X 3 -1 /5 7 /5 -9 /5
0 X 4 -2 /5 -1 /5 -8 /5
七、灵敏度分析
灵敏度分析的任务： 灵敏度分析的任务：确定各个变量使得最 优解保持不变的变化范围； 优解保持不变的变化范围；以及在最优解 改变的时候求出相应的最优解。 改变的时候求出相应的最优解。
（1）非基变量 i的价值系数 i的变化范围， ）非基变量x 的价值系数C 的变化范围， 使最优解保持不变。 使最优解保持不变。
原问题（或对偶问题） 原问题（或对偶问题） 目标函数 max m个 个 约 束 条 件 ≤ ≥ = n个 个
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 个 ≥0 ≤0 无约束 n个 个 变 量
变 量
≥0 ≥ ≤0 ≤ 无约束 = 约束条件右端项 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数变量的系数
三、单纯形方法
对于具有两个以上决策变量的线性规划问题， 对于具有两个以上决策变量的线性规划问题， 我们采用单纯形方法进行求解。具体过程是： 我们采用单纯形方法进行求解。具体过程是： （1）建立单纯形表：在单纯形表中，务必使 ）建立单纯形表：在单纯形表中， 基变量的价值系数为零， 基变量的价值系数为零，则检验数行是价值系 数行的相反数； 数行的相反数；
约 束 条 件
六、对偶单纯形法
基本要求：检验数 σ ≥ 0 资源常数存在负值。 基本要求： ；资源常数存在负值。 解法： 解法： 列出对偶单纯形表； 列出对偶单纯形表； 将基变量在目标函数中系数化为零， 将基变量在目标函数中系数化为零，检验数为 新目标函数中系数的相反数； 新目标函数中系数的相反数； 0 则当前解为最优解； 判断， 判断，若 σ ≥ 0, b′ ≥ ，则当前解为最优解； 中存在负项，则进行迭代， 若 σ ≥ 0, 且b′ 中存在负项，则进行迭代，确定出 基和进基变量； 基和进基变量；
基解、基可行解、 基解、基可行解、可行基
对于某一特定的基B 非基变量取0值的解， ⊙对于某一特定的基B，非基变量取0值的解， 称为基解。 称为基解。
⊙满足非负约束条件的基解，称为基可行解。 满足非负约束条件的基解，称为基可行解。 与基可行解对应的基，称为可行基。 ⊙与基可行解对应的基，称为可行基。
考虑检验数 σj = cj -∑ ci aij j = 1,2,……,n 设 ck 变化为 ck + ∆ck σk’= ck + ∆ck -∑ ci aik = σk+ ∆ck 则最优解不变； 只要 σk’≤ 0 ，即 ∆ck ≤ - σk ，则最优解不变；
（1）若 ck 是非基变量的系数 ）
某最优单纯形表如下
只要对所有非基变量 σj’≤ 0 ，即 则最优解不变； σj ≤ ∆cs asj ，则最优解不变； 否则， 否则，将最优单纯形表中的检验数 σj 用 σj’ 取代，继续单纯形法的表格计算。 取代，继续单纯形法的表格计算。
max
Z = 5 x1 + 4 x2 x 2 ≤ 90 x 2 ≤ 80 x 2 ≤ 45 ≥ 0
∆ci ≤ σ i
（2）基变量 i的价值系数 i的变化范围， ）基变量x 的价值系数C 的变化范围， 使最优解保持不变。 使最优解保持不变。
： ：
∆ci
−σ −σ j j max arj > 0 ≤ ∆ci ≤ min aij < 0. arj arj
则当前解为最优解（ （2）若检验数 ） σ ≥ 则当前解为最优解（当 0, 前解是基变量取相应的资源常数b 前解是基变量取相应的资源常数b，非基变量 取为零）；若存在检验数 σ < 0 ，则要进行 取为零）；若存在检验数 ）； 相应的换基， 迭代； 相应的换基，即：迭代；
（3）迭代计算 ） 进基：确定换入基的变量： ①进基：确定换入基的变量： σ k = max{σ j | σ j > 0} ②出基：确定换出变量，由下面的关系确定： 出基：确定换出变量，由下面的关系确定：
习题课
一、线性规划问题的标准形式
LP问题的数学模型的标准形式为 LP问题的数学模型的标准形式为： 问题的数学模型的标准形式为
max Z = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn
a11x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 2n n 2 21 1 22 2 LL s.t a x + a x + L+ a x = b mn n m m1 1 m2 2 x j ≥ 0, ( j = 1,2,L, n)
bi aik > 0 θL = min aik
③以主元进行迭代，目标：主元化为1，该列的 以主元进行迭代，目标：主元化为 ， 其余元化为零。 其余元化为零。 （4）再一次判定当前解是否为最优解。 ）再一次判定当前解是否为最优解。
四、人工变量法
对于约束条件中没有阶单位阵的线性规划， 对于约束条件中没有阶单位阵的线性规划，通 过引入适当的人工变量，再加以求解。 过引入适当的人工变量，再加以求解。 （1）大M法 ） 法 针对标准形约束条件的系数矩阵中不含单位矩 阵的处理方法。 阵的处理方法。 在大M法中 引入的人工变量的价值系数为-M， 法中， 在大 法中，引入的人工变量的价值系数为 ， 而相应的约束条件系数向量为单位向量。 而相应的约束条件系数向量为单位向量。
基、基向量、基变量 基向量、
⊙设r(A)=m,并且B是A的m 阶非奇异的子矩阵 r(A)=m,并且B 并且 det(B)≠0),则称矩阵 则称矩阵B （det(B)≠0),则称矩阵B为线性规划问题的一 个基。 个基。 矩阵B= B=（ 其列向量P ⊙矩阵B=（P1，P2…Pm) ，其列向量Pj称为对 应基B的基向量。 应基B的基向量。 与基向量P 相对应的变量x 就称为基变量， ⊙与基向量Pj相对应的变量xj就称为基变量， 其余的就称为非基变量。 其余的就称为非基变量。
, xk 出基： 为第r行对应的变量 行对应的变量； 出基：记 br′ = min{bi′ bi′ < 0}为第 行对应的变量； σ σ = min a < 0 为进基变量； 进基： 进基： a ，为进基变量； a 以 ars为主元进行迭代。目标：将主元化为1， 为主元进行迭代。目标：将主元化为 ， 该列的其余元化为0。 该列的其余元化为 。
xn+i ≥ 0
称为松弛变量
∑a x
ij
∑a x
ij
j
− xn+i = bi
j
xn+i ≥ 0
称为剩余变量
3、变量无符号限制的问题
当某一个变量x 没有非负约束时， 当某一个变量xj没有非负约束时，可以令 xj = xj’- xj” 其中： 其中：xj’≥0，xj”≥0 ，
4、右端项有负值的问题
当某一个右端项系数为负b 当某一个右端项系数为负 bi<0 ， 则把该等 式约束两端同时乘以得到： 式约束两端同时乘以-1，得到：
变化范围使最优基不变： bk 变化范围使最优基不变：
∆bk
b′ max − i β ik
βik
b′ > 0 ≤ ∆bk ≤ min − i β ik
βik
< 0
k = 1, 2,L, m
1、目标函数中系数C发生变化 、目标函数中系数 发生变化
其中常数项
bi ≥ 0,
(i = 1,2,L, m)
1、极小化目标函数的问题
Min Z = - Max Z’ 2、约束条件不是等式的问题 、 引进一个新的变量x 引进一个新的变量 n+i ，使它等于约 束右边与左边之差。 束右边与左边之差。
∑a x
ij
Biblioteka Baidu
j
≤ bi
≥ bi
∑a
ij
x j + xn+i = bi
cj XB x3 x1 x2
b 25 35 10
5 x1 0 1 0 0
c2 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 2 1 -1 c2 - 5
0 x5 -5 -1 2 5 - 2c2
σ4 = c2－5 ≤ 0 σ5 = 5－2c2 ≤ 0 － 5/2 ≤ c2 ≤ 5 最优解X 35，10，25， 保持不变。 最优解X*=（35，10，25，0，0）保持不变。
2、 右端项 发生变化 、 右端项b发生变化
0 这就是说， 这时如还保持 B b ≥ ，这就是说，当发生 变化△ 得到的是基本可行解。 变化△br后，得到的是基本可行解。
−1
CB 0 0 ┇ 0 -z
XB xn+1 xn+2 ┇ xn+m b1 b2 ┇ bm f
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 c1 c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
（2）二阶段法
两阶段法它是将加入人工变量后的线性规划 问题分成两阶段求解。 问题分成两阶段求解。 第一阶段：先求解一个目标函数中只含有人 第一阶段：先求解一个目标函数中只含有人 工变量的线性规划问题 的线性规划问题。 工变量的线性规划问题。 第二阶段：从第一阶段的最终单纯形表出发， 第二阶段：从第一阶段的最终单纯形表出发， 去掉人工变量，按原问题的目标函数， 去掉人工变量，按原问题的目标函数，继续寻 找原问题的最优解。 找原问题的最优解。
0 X 5 1 /5 -2 /5 -1 /5
0 X5 1/5 -2/5 -1/5
b 2/5 11/5
0 -4+Δc3 X3 X4 -1/5 -2/5 7/5 -1/5 -9/5+Δc3 -8/5
CI CB -3 -2
XB X2 X1 σj
b 2/5 11/5
-2 X1 0 1 0
-3 X2 1 0 0
-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi
二、线性规划问题解的概念
线性规划标准型的矩阵形式： 线性规划标准型的矩阵形式：
Max Z =CX s.t. AX=b X≥0
（1） （2） （3）
解、可行解、最优解 可行解、
⊙满足约束条件（2）的X，称为线性规划问题 满足约束条件（
的解。 的解。 满足约束条件（ ⊙满足约束条件（2）与（3）的X，称为线性规 划的问题可行解。 划的问题可行解。 满足目标函数（ 的可行解X ⊙满足目标函数（1）的可行解X，称为线性规 划的问题最优解。 划的问题最优解。
0 -4+Δc3 X3 X4 -1/5 -2/5 7/5 -1/5 -9/5+Δc3 -8/5
0 X5 1/5 -2/5 -1/5
要保持最优解不变， 要保持最优解不变，∆ck ≤ - σk 可得到ΔC 原最优解不变。 可得到ΔC3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
（2）若 cs 是基变量的系数 ）
4 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 2 1 -1 -1 0 x5 -5 -1 2 -3
x1 + 3 2 x1 + x1 + x1 , x2
最优单纯形表 cj
CB 0 5 4 XB x3 x1 x2 b 25 35 10 5 x1 0 1 0 0
CB 0 5 c2
两阶段法的第一阶段求解的目的： 两阶段法的第一阶段求解的目的： 为判断原问题有无可行解。 一、为判断原问题有无可行解。 二、若有则可求得原问题的一个初始基本可行 再对原问题进行第二阶段的计算。 解，再对原问题进行第二阶段的计算。
五、 建立对偶规划的要点
⑴原规划是极大化，则对偶规划是极小化； 原规划是极大化，则对偶规划是极小化； 原规划的价值系数是对偶规划中的资源常数； ⑵原规划的价值系数是对偶规划中的资源常数； ⑶原规划与对偶规划的约束条件系数矩阵为矩阵 的转置关系； 的转置关系； 原规划中的第个决策变量无非负限制， ⑷原规划中的第个决策变量无非负限制，则对偶 规划中的第个约束条件为等式； 规划中的第个约束条件为等式； 原规划中的第个决策变量非正， ⑸原规划中的第个决策变量非正，则对偶规划中 的第个约束条件取反向不等式； 的第个约束条件取反向不等式；
C I CB -3 -2
CI CB -3 -2
X B X 2 X 1 σ j
XB X2 X1 σj
b 2 /5 1 1 /5
-2 X 1 0 1 0
-2 X1 0 1 0
-3 X 2 1 0 0
-3 X2 1 0 0
-4 X 3 -1 /5 7 /5 -9 /5
0 X 4 -2 /5 -1 /5 -8 /5