详解傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换与小波变换在信号去噪中的应用
傅里叶变换与小波变换在信号去噪中的应用
傅里叶变换和小波变换是研究信号处理的基本技术，在信号去噪中都有应用。
1. 傅里叶变换：傅里叶变换是根据信号的复数表达，首先将时间和频率分离，把一段时间的信号映射到它的频谱上。
在信号处理时，可以利用它分离需要保留的部分信号和多余噪声，具体可以采用以下步骤：
（1）利用傅里叶变换将原始信号变换到频域；
（2）在频域上滤波处理，滤除多余的噪声；
（3）利用傅立叶逆变换将处理后的信号再变换回时域，获得处理后的信号。
2. 小波变换：小波变换是研究信号处理的重要技术，与傅里叶变换类似，它可以把时间和频率分离，把一段时间的信号映射到它的小波变换频谱上。
特别是它可以满足时空局部性，把一段时间内不同时间段和不同频率段的信号分离，提高频谱分析的精度，这在信号去噪方面特别有用。
另外，它还有把信号去噪后的特点：对离散的非定时噪声的去除效果比傅里叶变换的去除效果好。
若想实现信号去噪，可以按照以下步骤：
（1）将原始信号变换到频域，可以采用傅里叶变换或者小波变换；
（2）在频域上滤波处理，滤除多余的噪声；
（3）将处理后的信号再变换回时域，特别是对于小波变换，可以利用它把信号去噪后的特点：对离散的非定时噪声的去除效果比傅里叶变换的去除效果好。
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换和小波变换都是信号处理领域中常见的数学工具。
傅里叶变换能够将一个信号分解成若干个正弦和余弦函数，这些正弦和余弦函数在频域中表示了信号的频率和振幅特征。
小波变换则是通过将信号与一组基函数进行内积运算，得到各个频带上的信号能量，从而实现信号的时频分析。
相较于傅里叶变换，小波变换具有多分辨率的特点，能够更细致地描述信号的时域与频域信息。
在信号处理、图像处理、通信等领域，这两个变换被广泛地使用。
傅立叶变换与小波变换的比较
傅立叶变换与小波变换的比较傅立叶分析和小波分析都是数字信号处理中常用的基本方法。
它们俩的共同点，都是用一些基本的东西（fourier是用sin和cos，小波是用不同的wavelet，如haar）来组合出各种各样的函数。
傅立叶分析是联系时域（或者是空间域）与频率域的纽带，是一种纯频域的应用最为广泛的信号分析方法，它在频域具有完全准确的定位性，但在时域无任何分辨能力。
换句话说就是，傅立叶分析反映了整个信号全部时间内的整体频域特性。
小波分析，顾名思义，就是又小又波动的分析。
“小”是指它在时域都具有紧支集或近似紧支集，这使得小波母函数在时频域都具有较好的局部特征（紧密集中）；“波动”是指小波函数具有正负交替的波动性。
若要用一句话来概括二者，可大致描述为：傅立叶分析是一种能在频域对信号进行准确分析的高效方法，小波则是针对傅立叶分析在时域上的不足而提出的，可以局部集中地在时频域对信号进行分析的方法。
通俗地说，傅立叶能联系空间（时间）域和频率域，但是不能有尺度的变化，另外，它对于频率域上反转对应回时域的某处却缺乏相应的处理能力，这是它的缺点。
也就是说，它可以告诉你，信号中的哪个频率高，但是无法告诉你具体高多少，哪个位置高，为什么这么高，却不能立刻告诉你。
小波就不一样了，具有多尺度特性，可以把频率强度和位置（时刻）联系起来，一定程度上解决了傅立叶分析分析的缺点。
小波分析已经在很多信号分析领域取得了出色的应用。
这并不是说小波分析方法可以替代傅立叶分析分析方法。
如果是单纯进行频率域上面的分析就没有必要使用小波分析方法，使用傅立叶方法更简单，效果也更好。
其实如果仅仅是为了简单的用一用小波的话，只要知道数字滤波器是怎么回事就会做小波分析了。
简单的说，在普通工程应用中，小波分析就是对一个序列做一次滤波就完了，只不过它这个滤波不一定是为了平滑减噪之类的，它滤波的结果在不同领域有不同的用途，比如说在语音信号压缩领域，就是利用它滤波以后，有很多0这样一个特点来达到压缩的目的，在信号奇异性检测领域，就是利用它滤波之后，原来的信号有突变的地方，滤波结果是一个较大的值，而没有突变的地方，滤波结果是接近于0的值，不过原本小波分析和傅立叶分析一样，都是很复杂的数学分析，只不过Mallet这个人通过一些方法证明了这个分析可以通过一个简单的滤波操作来完成，所以以后的工程应用中只要直接滤波就行了。
从傅里叶到小波变换
参考来源：
1.耿则勋，邢帅，魏小峰.小波变换及在遥感图像处理中的应用.测绘出版社； 2.博客https:///enjoy_pascal/article/details/81478582； 3.维基百科https:///wiki/Fourier_series#History； 4.THE WAVELET TUTORIAL 5.等
二、快速 傅里叶变换 （插曲篇）
…..
复数轴
i
-1 -i
1
实数轴
若干次方后为1 1，-1，i，-i
三、短时傅里叶变换
左加右减
From wavelet tutorial
海森堡测不准原理
FROM THE WAVELET TUTORIAL
四、小波变换
不是傅里叶变换，没有加窗操作
小波家族庞大，类型丰富
小波基本应用实例：
[1]申莎莎.基于小波变换与傅里叶变换对比分析及其在信号去噪中的应用 [J].山西师范大学学报（自然科学版）， 2018,32（3）：27-32. （1）作者分析了傅里叶变换与小波变换的基本区别，阐述了二者之间的联系和各自的优缺点。 （2）作者利用matlab对小波变换的不同阈值选取方式下的信号去噪进行对比分析，发现小波变换能有效对信号进 行消噪。
[2]王延仓，张兰，王欢，等.连续小波变换定量反演土壤有机质含量[J].光谱学与光谱分析，2018,38（11）：
3521-3527. （1）作者利用连续小波变换对原始土壤有机质高光谱反射率数据进行预处理，发现经预处理后的高光谱反射率数
据在反演土壤有机质精度上有所提高。
（2）研究表明在连续小波算法下，5nm光谱分辨率预测精度最高，其次为80nm光谱分辨率的宽波段，经小波变换 分解后估测土壤有机质含量的最佳精度可提高 19%，宽波段最佳精度提高10%。说明连续小波变换可以用于宽波段 数据的分析。
傅里叶变换及小波分析(修改后)
图像处理
1.基于小波变换的图像压缩
基于二维小波分析的图像压缩方法有很多, 比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、 小波变换矢量量化压缩等。二维小波分析 用于图像压缩是小波应用的 一个重要方面。 一个图像做小波分解后,可得到一系列 不同 分辨率的子图像。不同分辨的子图像对应的 频率 是不同的。高分辨率(即高频)子图像上
，这就要求 (t) 具
2.要求 (t)dt 0 ，表明 (t) 具有波动性。
R
总之，(t)是像波一样的快速衰减函数，形如小
的波，这就是(t) 称为小波的原因。
构造小波的意义
小波变换在分析诊断信号有着自身的显著优势， 然而并不是每个小波都能分析处理任意的信号， 运用小波有很强的选择性，针对不同的信号需 要应用符合其条件的小波，如何选择小波是小 波研究中的热点和难点问题。
小波变换
小波变换是在傅立叶分析的基础上发展起来的， 作为时—频分析方法，小波分析比傅立叶分析 有着许多本质性的进步。
小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时 局部化的分析方法，无论分析低频或者高频信 号，它都能自动调节时—频窗，以适应实际分 析的需要，它在低频部分具有较高的频率分辨 率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高 的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉 为分析信号的显微镜。
2.在汽车主动防撞雷达中应用
线性调频信号用于汽车主动防撞雷达中，匹 配傅里叶变换快速算法，可准确识别信号的 峰值，即使在较低信噪比条件下，仍具有较 强的信号检测和识别能力，体现了匹配傅里 叶变换快速算法的优越性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.汽车零部件形状精度检测诊断
4.汽车减速箱中主振源检测
傅立叶变换的局限性：
傅立叶变换是信号分析和处理的理论基础， 有着非凡的意义，起着重大的作用。但是傅立 叶变换有它明显的缺陷，信号任何时刻的微小 变化会牵动整个频谱。实际信号往往是时变信 号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是 很重要的。人们通过预先加窗的方法即采用短 时傅立叶变换，用时间窗的一段信号来表示它 在某个时刻的特性，显然，窗越宽，时间分辨 率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时， 又会减低频率分辨率。因此短时傅立叶变换不 能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比异同IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
傅里叶变换与小波变换区别
傅里叶变换的特点：
对于数据信号的去噪,傅立叶变换是将信号完全的放在频率域中分析,但无法给出信号在每一个时间点的变化情况,无论信号在时间轴上任何一点产生突变,都将会影响到整个频域的信号。
因此,傅立叶变换不能有效的区分出信号中出现的尖峰是由突变部分还是不平稳白噪声引起的。
小波变换的特点
小波变换是以某些特定的函数为基,将数据信号展开成级数系列,它是空间(时间)和频率的局部变换,因此,小波变换可同时在时域和频域中对数据信号进行多尺度联合分析,从而能有效地从信号中提取信息。
对于数据信号的去噪,由于小波分析可以同时在时域和频域中对信号进行联合分析,并且它具有多尺度细化分析的功能。
因此,我们可以在不同的分解层上和不同的小波基函数下对信号的突变部分和噪声进行有效的区分,从而实现信号的消噪。
五种傅里叶变换的比较
五种傅里叶变换包括常规的傅里叶变换（FT）、短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）、希尔伯特变换（HT）和希尔伯特黄变换（HHT）。
它们的主要区别和联系如下：
1. 傅里叶变换（FT）：将一个以时间t为自变量的连续的信号f(t)转换为以频率为自变量的函数F(jf)，该函数是复数形式的。
此变换的前提是信号是平稳的，即其频率特性不会随时间变化。
2. 短时傅里叶变换（STFT）：在傅里叶变换的基础上，对每个时间段内的信号进行傅里叶变换，从而得到该时间段的频谱。
STFT可以处理非平稳信号，因为其可以将信号的时间依赖性和频率依赖性分开。
3. 小波变换（WT）：与傅里叶变换类似，小波变换也是将信号分解成不同的频率成分。
不同的是，小波变换使用的是小波基，可以更好地适应处理非平稳信号。
4. 希尔伯特变换（HT）：对一个信号进行希尔伯特变换可以得到该信号的解析信号，该解析信号可以更好地表示信号的相位信息。
5. 希尔伯特黄变换（HHT）：是一种用于处理非线性和非平稳信号的变换，其基于经验模式分解（EMD），可以将信号分解成一系列固有模式函数（IMF）。
每个IMF都可以进行希尔伯特变换，从而得到该IMF的相位信息。
总的来说，五种傅里叶变换都是为了更好地处理和解析信号，选择哪种变换取决于具体的应用场景和信号的性质。
小波变换 傅里叶变换
小波变换傅里叶变换
小波变换和傅里叶变换都是信号处理中常用的数学工具。
它们用于将一个信号从时域转换到频域，以便更好地理解和分析信号。
傅里叶变换是一种经典的频域分析工具，它将信号分解成一系列正弦波的叠加，得到信号的频谱。
傅里叶变换的缺点是无法提供时间信息，只能给出频率信息。
此外，由于傅里叶变换是一种全局变换，无法适应信号的局部特性。
小波变换是一种局部变换，它可以分解信号成多个不同尺度和频率的小波。
与傅里叶变换不同，小波变换可以提供时间和频率信息，因此更适用于分析非平稳信号。
此外，小波变换还具有多分辨率特性，使得可以在不同尺度上观察信号。
总的来说，小波变换和傅里叶变换都有各自的优缺点。
在不同的应用场景中，可以根据需要选择合适的变换方法来分析信号。
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小波与傅里叶的区别
小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标 ，而且还有时间的指标 。也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 ，在不同时刻 ，小波系数也是不同的。这样就克服了上面所述的第一个不足。
由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。
小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。
根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。
为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。
选择小波函数的“四项原则”。
小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是 连续。由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。
为了克服以上两点局限性，这就要求：
（1） 将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。
（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。
小波分析之前，大家曾尝试着用加窗傅里叶变换，加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减小 ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
傅里叶变换 小波变换 通俗解释
傅里叶变换小波变换通俗解释
傅里叶变换和小波变换是数字信号处理中常用的两种技术，它们可以用来分析和处理信号的频率和时间特征。
傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的方法。
它通过将信号分解成一系列不同频率的正弦波和余弦波的叠加，来揭示信号的频率成分。
傅里叶变换的结果是一个频率谱，它表示了信号在不同频率上的能量分布。
小波变换是一种时频分析方法，它可以同时分析信号的时间和频率特征。
小波变换通过将信号分解成一系列不同尺度和位置的小波函数的叠加，来揭示信号的时频特征。
小波变换的结果是一个时频图，它表示了信号在不同时间和频率上的能量分布。
简单来说，傅里叶变换和小波变换都是将信号分解成一系列基本函数的叠加，以揭示信号的频率和时间特征。
傅里叶变换主要关注信号的频率特征，而小波变换则同时关注信号的时间和频率特征。
小波变换与傅里叶变换的对比与选择
小波变换与傅里叶变换的对比与选择在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。
它们可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
虽然它们都是频域分析的方法，但是它们在处理信号时具有不同的特点和优势。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比，并讨论在不同情况下的选择。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的方法。
它将信号表示为一系列正弦和余弦函数的和，这些正弦和余弦函数称为频谱成分。
傅里叶变换可以帮助我们理解信号中的频率成分，并且可以用于滤波、降噪和频谱分析等任务。
然而，傅里叶变换有一个明显的缺点，即它无法提供关于信号在时间上的局部特征的信息。
相比之下，小波变换是一种同时提供时域和频域信息的方法。
小波变换将信号分解为一系列不同尺度和位置的小波函数，这些小波函数可以表示信号的局部特征。
小波变换可以帮助我们捕捉信号中的瞬时变化和局部特征，对于非平稳信号的分析更具优势。
小波变换在图像处理、语音识别和压缩等领域有广泛的应用。
那么，在实际应用中，我们应该选择使用哪种变换方法呢？这取决于信号的性质和我们关注的问题。
如果我们只关心信号的频率成分，而不需要考虑信号的局部特征，那么傅里叶变换是一个简单而有效的选择。
例如，在音频信号的频谱分析中，傅里叶变换可以帮助我们确定音频信号中的主要频率分量，从而实现音乐识别和音频合成等任务。
然而，对于非平稳信号或需要考虑信号的局部特征的情况，小波变换更适合。
例如，在图像处理中，我们经常需要检测和分析图像中的边缘、纹理和细节等局部特征。
小波变换可以提供关于图像不同频率和不同位置的局部特征信息，从而帮助我们实现图像增强、边缘检测和纹理分析等任务。
此外，小波变换还具有多分辨率分析的特点。
通过选择不同尺度的小波函数，我们可以在不同的频率范围内对信号进行分析。
这种多分辨率分析可以帮助我们从不同的角度理解信号的特征。
例如，在语音识别中，我们可以使用小波变换来提取不同频率范围内的声音特征，从而提高语音识别的准确性。
小波变换与傅里叶变换的比较与应用
小波变换与傅里叶变换的比较与应用在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。
它们都可以将信号从时域转换到频域，从而帮助我们分析和处理信号。
然而，它们在原理、性质和应用方面存在一些差异。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行比较，并探讨它们在实际应用中的差异和优势。
首先，让我们来了解一下小波变换和傅里叶变换的基本原理。
傅里叶变换是一种将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的方法。
它通过将信号与一系列正弦和余弦函数进行内积运算，得到信号在频域上的表示。
傅里叶变换的优势在于它可以提供信号的频谱信息，帮助我们了解信号的频率成分。
与之相比，小波变换是一种将信号分解成不同尺度和位置的小波基函数的方法。
小波基函数是一组具有局部性质的函数，它们可以在时域和频域上同时提供信息。
通过对信号进行小波变换，我们可以得到信号在时域和频域上的局部特征，从而更好地理解信号的时频性质。
在性质方面，傅里叶变换具有平移不变性和线性性质。
也就是说，傅里叶变换可以保持信号的相对位置和线性叠加关系。
这使得傅里叶变换在信号滤波、频谱分析和图像处理等领域有着广泛的应用。
然而，傅里叶变换的一个缺点是它无法提供信号的时间信息，这在某些应用中可能是不可忽视的。
相比之下，小波变换具有多尺度分析和局部性质。
小波变换可以提供信号在不同尺度上的时频信息，因此在信号分析和处理中具有更高的分辨率和精度。
此外，小波变换还可以捕捉信号的瞬时特征，对于非平稳信号的处理更加有效。
因此，小波变换在信号压缩、图像处理和模式识别等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，小波变换和傅里叶变换可以相互结合，发挥各自的优势。
例如，在音频信号处理中，我们可以使用傅里叶变换来获取信号的频谱信息，然后使用小波变换来对频谱进行分析和处理。
这种组合可以帮助我们更好地理解和处理音频信号的时频特性。
此外，小波变换还可以应用于图像处理和压缩。
由于小波变换具有多尺度分析的特性，它可以提供更好的图像细节保留和压缩效果。
小波变换比傅里叶变换好在哪里_小波变换与傅里叶变换详解
小波变换比傅里叶变换好在哪里_小波变换与傅里叶变换详解小波变换与傅里叶变换有什么区别吗？小波变换与傅里叶变换哪个好？我们通过小波变换与傅里叶变换的详细解读、小波变换与傅里叶变换的区别、傅里叶变换缺点方面来解析。
小波变换与傅里叶变换的区别傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分析。
小波分析中，利用联合时间一尺度函数分析信号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进行时频域分析。
傅里叶变换的不足
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。
而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。
尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信有天生缺陷。
它只能获取一段信总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。
因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
小波变换与傅里叶变换详解从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。
小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。
下面就按照傅里叶--》短时傅里叶变换--》小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。
一、傅里叶变换关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换傅里叶变换是信号处理领域常用的一种数学方法，用于将信号在不同频率上的成分分离开。
它是将一个信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换的原理是将一个函数在时间域上的表示转换为频域上的表示。
傅里叶变换可以将一个时域上的信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这种分解使得我们可以更好地理解信号的频域特性。
傅里叶变换的公式定义如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)是频率域上的复值函数，f(t)是时域上的实值函数，ω是角频率。
傅里叶变换有许多应用领域，例如音频和图像处理。
在音频处理中，傅里叶变换可以将一个音频信号分解成不同的频率成分，从而实现声音的频谱分析和滤波。
在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像分解成不同空间频率上的成分，从而实现图像的频域滤波和增强。
然而，傅里叶变换的一个主要缺点是它只能提供信号的频域表示，而不能提供信号的时域信息。
这导致了傅里叶变换在处理一些时变信号时的不足。
为了解决这个问题，人们发展出了一种叫做短时傅里叶变换（STFT）的方法。
短时傅里叶变换将傅里叶变换应用到一小段信号上，然后将这些小段信号的频域表示拼接起来。
这样一来，就可以得到信号在不同时间窗口上的频域表示，从而更好地了解信号在时间和频率上的变化。
短时傅里叶变换的公式定义如下：STFT(x, t, ω) = ∫[x(τ) * w(τ - t) * e^(-iωτ)] dτ其中，x是信号，t是时间，ω是角频率，w是窗函数。
短时傅里叶变换的应用非常广泛。
在语音处理中，短时傅里叶变换可以将一个信号分解成不同时间窗口上的频谱成分，从而实现语音的时频分析和合成。
在音乐处理中，短时傅里叶变换可以实现音乐信号的节拍检测和音高分析。
在图像处理中，短时傅里叶变换可以提取图像的纹理特征和边缘信息。
然而，短时傅里叶变换在处理一些时变信号时也存在一些问题。
例如，窗口函数的选择会影响到短时傅里叶变换的结果。
深度解析小波变换与傅里叶变换的区别和联系
深度解析小波变换与傅里叶变换的区别和联系如果有人问我，如果傅里叶变换没有学好（深入理解概念），是否能学好小波？答案是否定的。
如果有人还问我，如果第一代小波变换没学好，能否学好第二代小波变换？答案依然是否定的。
但若你问我，没学好傅里叶变换，能否操作（编程）小波变换，或是没学好第一代小波，能否操作二代小波变换？答案是肯定的。
一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基(正弦或余弦)，与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。
(时频能量守恒)。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换(DTFT)，频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数(DFS)，时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换(DFT)。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件(从-INF到+INF积分为零)的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
傅里叶变换 小波变换 s变换
傅里叶变换小波变换 s变换
傅里叶变换、小波变换、s变换都是信号处理中常用的数学工具，具体用途和特点如下：
傅里叶变换（Fourier Transform）。
傅里叶变换是将一个复杂的信号（如语音或图像）分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的加权和。
傅里叶变换的主要应用包括信号滤波、频域分析、信号压缩等。
傅里叶变换的缺点是无法捕捉时域上的短时变化，因此在处理非稳态信号时表现较差。
小波变换（Wavelet Transform）。
小波变换是一种基于小波函数的信号分析技术，可以将信号分解成一组不同频率和时间分辨率的子信号。
小波变换的主要应用包括信号压缩、边缘检测、图像处理等。
相对于傅里叶变换，小波变换具有更好的时频局域性，在处理非稳态信号时表现更优。
s变换（s-Transform）。
s变换是一种时域与频域相结合的信号分析技术，在信号分析中可以同时获取信号的时间域和频域信息。
与傅里叶变换和小波变换不同的是，s变换可以处理具有非稳态性质的信号，如短时脉冲、斜坡信号等。
s变换的主要应用包括滤波、特征提取、信号检测等。
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详解傅里叶变换与小波变化希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。
如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。
考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。
有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。
另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。
我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。
我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。
要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。
要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。
很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。
变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。
如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。
那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。
小波变换自然也不例外的和basis有关了。
再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。
既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。
一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。
比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。
而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。
总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。
好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。
当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。
接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。
傅立叶级数最早是Joseph Fourier这个人提出的，他发现，这个basis 不仅仅存在与vector space，还存在于function space。
这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。
在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。
你的vector basis 可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。
唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。
好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。
我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样again，这是一个无限循环的函数。
其中的1，cosx,sinx,cos2x…..这些，就是傅立叶级数。
傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。
为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。
那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？现在先复习一下vector正交的定义。
我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：那什么是function正交呢？假设我们有两个函数f(x)和g(x)，那是什么？我们遵循vector的思路去想，两个vector求内积，就是把他们相同位置上对应的点的乘积做一个累加。
那移过来，就是对每一个x 点，对应的f和g做乘积，再累加。
不过问题是，f和g都是无限函数阿，x又是一个连续的值。
怎么办呢？向量是离散的，所以累加，函数是连续的，那就是…….积分！我们知道函数内积是这样算的了，自然也就容易证明，按照这个形式去写的傅立叶展开，这些级数确实都是两两正交的。
证明过程这里就不展开了。
好，下一个问题就是，为什么它们是正交basis如此重要呢？这就牵涉到系数的求解了。
我们研究了函数f，研究了级数，一堆三角函数和常数1，那系数呢？a0,a1,a2这些系数该怎么确定呢？好，比如我这里准备求a1了。
我现在知道什么？信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都求和cosx的内积，即：然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！所有就简化为这样，a1就求解出来了。
到这里，你就看出正交的奇妙性了吧:)好，现在我们知道，傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。
傅立叶所用的function basis是专门挑选的，是正交的，是利于计算coefficients的。
但千万别误解为展开变换所用的basis都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的非正交多项式。
有了傅立叶变换的基础，接下来，我们就看看什么是小波变换。
首先来说说什么是小波。
所谓波，就是在时间域或者空间域的震荡方程，比如正弦波，就是一种波。
什么是波分析？针对波的分析拉（囧）。
并不是说小波分析才属于波分析，傅立叶分析也是波分析，因为正弦波也是一种波嘛。
那什么是小波呢？这个”小“，是针对傅立叶波而言的。
傅立叶所用的波是什么？正弦波，这玩意以有着无穷的能量，同样的幅度在整个无穷大区间里面振荡，像下面这样：那小波是什么呢？是一种能量在时域非常集中的波。
它的能量是有限的，而且集中在某一点附近。
比如下面这样：这种小波有什么好处呢？它对于分析瞬时时变信号非常有用。
它有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。
恩，以上就是通常情况下你能在国内网站上搜到的小波变换文章告诉你的。
但为什么呢？这是我希望在这个系列文章中讲清楚的。
不过在这篇文章里，我先点到为止，把小波变换的重要特性以及优点cover了，在下一篇文章中再具体推导这些特性。
小波变换的本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的basis来表示信号方程。
每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个scaling function，中文是尺度函数，也被成为父小波。
任何小波变换的basis函数，其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移后的集合。
下面这附图就是某种小波的示意图：从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
这样的好处是，小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。
对于这点，我们会在之后详细阐述。
小波展开的形式通常都是这样（注意，这个只是近似表达，严谨的展开形式请参考第二篇）：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：1.小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。
这个和傅立叶级数有很大区别。
后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。
2.围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。
这个特性是得益于小波变换是二维变换。
我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是，而小波级数是。
3.从信号算出展开系数a需要很方便。
普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。
有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。
小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。
可能看到这里，你会有点晕了。
这些特性是怎么来的？为什么需要有这些特性？具体到实践中，它们到底是怎么给小波变换带来比别人更强的好处的？计算简单这个可能好理解，因为前面我们已经讲过正交特性了。
那么二维变换呢？频域和时域定位是如何进行的呢？恩，我完全理解你的感受，因为当初我看别的文章，也是有这些问题，就是看不到答案。
要说想完全理解小波变换的这些本质，需要详细的讲解，所以我就把它放到下一篇了。
接下来，上几张图，我们以一些基本的信号处理来呈现小波变换比傅立叶变换好的地方，我保证，你看了这个比较之后，大概能隐约感受到小波变换的强大，并对背后的原理充满期待:)假设我们现在有这么一个信号：看到了吧，这个信号就是一个直流信号。
我们用傅立叶将其展开，会发现形式非常简单：只有一个级数系数不是0，其他所有级数系数都是0。
好，我们再看接下来这个信号：简单说，就是在前一个直流信号上，增加了一个突变。
其实这个突变，在时域中看来很简单，前面还是很平滑的直流，后面也是很平滑的直流，就是中间有一个阶跃嘛。
但是，如果我们再次让其傅立叶展开呢？所有的傅立叶级数都为非0了！为什么？因为傅立叶必须用三角波来展开信号，对于这种变换突然而剧烈的信号来讲，即使只有一小段变换，傅立叶也不得不用大量的三角波去拟合，就像这样：看看上面这个图。
学过基本的信号知识的朋友估计都能想到，这不就是Gibbs现象么？Exactly。
用比较八股的说法来解释，Gibbs现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛所引起的，即使在N趋于无穷大时，这一现象也依然存在。
其实通俗一点解释，就是当变化太sharp的时候，三角波fit不过来了，就凑合出Gibbs了:)接下来我们来看看，如果用刚才举例中的那种小波，展开之后是这样的：看见了么？只要小波basis不和这个信号变化重叠，它所对应的级数系数都为0！也就是说，假如我们就用这个三级小波对此信号展开，那么只有3个级数系数不为0。