函数的奇偶性第二课时

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函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件

f(x)＝－f(－x)． (2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如 f(1)＝f(－1)，再验证． (3)可考虑 f(x)在[－2,2]上的单调性．
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0，由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三函数的奇偶性与周期性例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1

函数的奇偶性课程设计

函数的奇偶性课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；2. 学生能运用奇偶性对函数图像进行对称变换，并解决相关问题；3. 学生了解奇偶性在现实生活中的应用，如对称美、物理规律等。

技能目标：1. 学生能运用数学语言和符号准确表达函数的奇偶性；2. 学生能通过绘制图像，观察和分析函数的奇偶性；3. 学生能运用奇偶性简化计算和证明过程，提高解题效率。

情感态度价值观目标：1. 学生通过探究函数奇偶性，培养对数学美的欣赏和热爱；2. 学生在解决实际问题的过程中，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学习的积极性；3. 学生在合作交流中，培养团队精神和互帮互助的品质，提高沟通能力。

分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程将目标分解为以下具体学习成果：1. 学生能够独立判断给定函数的奇偶性，并给出合理解释；2. 学生能够运用奇偶性解决一些简单的数学问题，如计算、证明等；3. 学生能够举例说明奇偶性在现实生活中的应用，并分享自己的发现和感悟。

二、教学内容本节课依据课程目标，选择以下教学内容：1. 函数奇偶性的定义及判定方法：- 函数的奇偶性概念引入；- 奇函数、偶函数的定义；- 判断函数奇偶性的方法及举例。

2. 函数图像的对称变换：- 利用奇偶性对函数图像进行对称变换；- 分析变换后的图像特点。

3. 函数奇偶性在实际问题中的应用：- 生活中的对称现象与函数奇偶性的联系；- 数学问题中运用奇偶性简化计算和证明。

教学大纲安排如下：第一课时：函数奇偶性的定义及判定方法。

1. 复习函数的基本概念；2. 介绍奇函数、偶函数的定义；3. 通过实例讲解判断函数奇偶性的方法。

第二课时：函数图像的对称变换。

1. 学习利用奇偶性对函数图像进行对称变换；2. 分析变换后的图像特点。

第三课时：函数奇偶性在实际问题中的应用。

1. 探讨生活中的对称现象与函数奇偶性的联系；2. 解决数学问题中运用奇偶性的实例。

函数的奇偶性

函数的奇偶性（第一课时）2010.11教学目的使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性．教学过程一、引入新课(教师用小黑板出示两题，指定两学生在黑板上各演算一题．)（1）已知：函数F(x)=-x 4+x 2-2 求：f(x)(2) 已知：函数G(x)=x +3x 1 生甲：F(-x)=-x 4+x 2-2生乙：G(-x)=-x -3x 1 师：从上面两题的结果，我们可以得到什么启示呢？(启发一下)当自变量互为相反数时，两函数值之间有何关系？生：f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)．师：对！我们还必须注意到：刚才所说的两个等式f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)是对函数定义域内任意一个x(不是某些x)而言的．这里函数f(x)与g(x)的定义域分别是R 、{x|x∈R 且x≠0}(即为非零实数)．这是函数关系中一个很重要的性质．由它就可从自变量取正值时函数的变化情况推断出函数在整个定义域内的变化情况．具有这一性质的函数，当然不止这两个．因此，有必要对这类函数作进一步的讨论．[对学生来说，函数的奇偶性，是一个比较陌生的概念，不像单调性那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，安排了两个板演题，引导他们发现这一性质，以便自然地给出概念．这也是对学生观察、分析、归纳能力的一种培养．选取函数g(x)，是为了使学生认识到奇(偶)函数的定义域不局限于R，也不局限于一个区间，以防止学生在认识上产生片面性．]二、给出定义师：这就是今天这一节课的内容．[彩色粉笔板书课题：“函数的奇偶性”．接着，挂上事先写好的关于奇(偶)函数的定义的小黑板，并请口齿清楚、声音宏亮的一位同学朗读一遍，教师轻轻一同随读．]师：前面的函数f(x)与g(x)，就奇偶性来说，分别是什么函数？生：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数．师：对！显然，反过来，如果函数f(x)是奇函数，那么对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)；如果函数f(x)是偶函数，那么对于函数f(x)定义域内任意一个x都有f(－x)=f(x)．[在这里提一下：“显然，反过来……”这一段话，既是加深学生对奇偶性概念的理解，也是使学生明确：作为定义，它具有纯粹性、完备性两个方面的意义．]师：如何来判断一个函数f(x)是不是奇(偶)函数，即函数f(x)奇偶性的基本特征是什么？生：基本特征：等式f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是否成立？师：很好！基本特征是判断一个函数是不是奇(偶)函数的主要依据，但必须注意，等式是不是对定义域M中所有x都成立．如果对于M内所有的x，f(－x)=－f(x)[或f(-x)=f(x)都成立，那么f(x)就是奇（偶）函数，如果在M ,满足f(-x)≠-f(x)或f(-x)≠f(-x),那么f(x)就不是内有某个x奇（偶）函数。

人教A版高中数学必修一课件《三角函数的图象与性质》三角函数(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)

15
三角函数奇偶性的判断【例 2】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
16
[思路点拨]
17
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
24
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f53π；再依据f(x)是偶函数和x∈0，π2，f(x) ＝sin x求值．
25
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝ sinπ2＋2x＝cos 2x是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
32
[提示] (1)×.因为对任意 x，sin23π＋x与 sin x 并不一定相等． (2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数 f(x)＝5 是周期函数，就不存在最小正周期． (3)×.函数 y＝ sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶． [答案] (1)× (2)× (3)×
23
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
() A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正
周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则f53π等于( )

高一上学期数学人教B版必修第一册第三章函数小结(第2课时)

四、函数模型在实际生活中的应用
用数学知识解决实际应用问题的基本思路可以用下图表示：
实际应用问题
找出问题中存在的数量关系
分析、转化、抽象
翻译成应用问题的结论
转化为数学问题
得出数学问题的结论
通过对数学问题的解答
建立数学模型
四、函数模型在实际生活中的应用
例 5 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当 S 中 x%(0 x 100%) 的成员
②当 0 a 1时， y a 与 f (x) 的图象有唯一交点.
三、通过分析函数图像求参数的值或取值范围
已知函数
f
(x)
x2
2x,
x a,
x,
x a.
（3）若函数 f (x) 的图象与直线 y a 只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是 ____.
③当 a 1时， y a 与 f (x) 的图象没有交点
（3）若函数 f (x) 的图象与直线 y a 只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是 ____.
三、通过分析函数图像求参数的值或取值范围
已知函数
f
(x)
x2
2x,
x a,
（1）当 a 1时，函数 f (x) 的值域是 ____；
x,
x a.
分析：（1）当 a 1时，
x2 2x, f (x)
30,
0 x 30
自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
f
x
2x
1800 x
90,
(单位:分钟),
30 x 100
而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:

《3.1.3函数的奇偶性》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人教B版19必修第一册

《3.1.3 函数的奇偶性》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 能够运用奇偶性性质，解决相关数学问题。

3. 提高学生对函数性质的理解和掌握，为后续函数学习打下基础。

二、教学重难点1. 教学重点：理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 教学难点：如何引导学生运用奇偶性性质解决实际问题。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、函数图像等。

2. 制作PPT课件，包含概念引入、方法讲解、例题分析、练习题等环节。

3. 搜集相关数学问题，以便学生运用奇偶性性质进行解答。

4. 确定教学方法，采用讲授与讨论相结合，引导学生自主探究。

四、教学过程：1. 导入新课：教师展示一些函数图像（如：y=x^2, y=x^3, y=sinx等），引导学生观察图像特征。

随后，教师提出疑问：“对于这些函数，它们是否有某些共性？”以此引发学生对函数奇偶性的思考。

设计意图：通过直观的函数图像，引发学生对奇偶性的初步感知，为后续教学做好铺垫。

2. 探索奇偶性的定义：教师引导学生逐步推导奇偶性的定义，并解释其含义。

在此过程中，教师可借助具体函数进行说明，帮助学生理解。

例如，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

设计意图：通过逐步推导，帮助学生理解奇偶性的定义，并强调定义中的关键条件。

3. 实例分析：教师展示一些具体的奇偶函数图像，引导学生观察并分析它们的性质。

学生可尝试用自己的语言描述奇偶函数的特征，如单调性、对称性等。

设计意图：通过实例分析，帮助学生加深对奇偶性概念的理解，并锻炼其分析能力。

4. 探究奇偶性的应用：教师引导学生思考奇偶性在数学及其他领域中的应用，如代数问题、几何问题等。

学生可分组讨论，交流想法，最后由教师进行总结。

函数的奇偶性第二课时全文

则a f (2), b f ( ), c f (5)的
大小关系是________
三、单调奇偶综合题
4、f ( f (2a 3) 0,求a的取值范围。
练习1: 设f (x)是R上的偶函数，在(-,0)上单增，且f (a 1) f (2a 3),求a的取值范围。
C.(, 1) (1, ) D.(1, 0) (0,1)
,
结论：
1.奇函数在对称区间单调性相同 2.偶函数在对称区间单调性相反
偶函数也有此性质吗?
二、奇偶性的一些应用 1、设f (x)为定义在R上的奇函数，当x 0时， f (x) 2x 2x b(b为常数), f (1) ______
2、设函数f (x) (x 2)(x a) 为奇函数， x
则a _______
三、单调奇偶综合题
3、若f (x)为偶函数，且在(-,0)上是减函数，
（第二课时）
一、“知一半，求一半”
1、已知y f (x)是定义在R上的偶函数，当x 0, f (x) x2 2x+1 求：当x 0时，f (x)的解析式；
2、已知y f (x)是定义在R上的奇函数，当x 0, f (x) x2 2x+1 求：f (x)的解析式。
思考:如果奇函数当x=0有意义,则f(0)= 0
练习2: 设f (x)是R上的偶函数，在(-,0)上单增，且f (a2 a 1) f (a2 2a 3), 求a的取值范围。
5.已知f (x)是奇函数，且在区间（0，+）
上单增，f (1)=0，则 f (x) f (x) 0的 x
解集为（
）
A.(1, 0) (1, )
B.(, 1) (0,1)

《函数奇偶性》公开课教案

公开课教案授课内容：1.3.2 函数的奇偶性教学设计授课班级：14学前教育2班授课类型：新授课授课时间：课时：1教材分析：函数的奇偶性选自高等教育出版社基础模块第二章第三节《函数的性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。

从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。

而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。

因此，本节课的内容是十分重要的。

学情分析：授课对象为高一学前教育（2）班的学生，从学生现有的学习能力来看，具有一定的分析问题和解决问题的能力学生只有少数，但是他们也能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。

教学目标：1.知识与技能目标：通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。

2. 过程与方法目标：通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。

3.情感态度与价值观目标：在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重难点：重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。

难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

教法分析：为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。

在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。

教学过程：一、复习旧知（1）点Ｐ（ a, b)关于 x 轴的对称点的坐标为P'（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数；（2）点Ｐ（ a, b)关于 y 轴的对称点的坐标为P'（ - a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数；（3）点Ｐ（ a, b) 关于原点对称点的坐标为P'（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数．二、新课导入通过课件展示两组具有对称性的图片，让学生感受生活中的对称美。

《3.1.3函数的奇偶性》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人教B版2019必修第一册

《3.1.3 函数的奇偶性》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 能够运用奇偶性性质解决一些数学问题。

3. 培养观察、分析和抽象概括的能力，提高数学素养。

二、教学重难点1. 教学重点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 教学难点：灵活运用奇偶性性质解决实际问题。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、函数图像等。

2. 制作PPT课件，包含案例分析、知识点讲解、练习题等。

3. 收集或自创有关奇偶性的实际问题，以便进行案例教学。

4. 确定教学内容的逻辑顺序，设计合理的教学环节。

四、教学过程：**1. 导入新课*** 回顾：之前学过的函数有哪些特性？* 提问：函数图象的特征由哪些因素决定？* 讲解：函数的对称性，介绍奇偶性概念。

**2. 探索新知*** 观察图形：展示一些函数的图象，让学生观察并找出对称轴。

* 提出问题：对称轴与函数特性有什么关系？* 讨论：引导学生归纳出奇偶性的定义。

* 练习：给出一些练习题，让学生加深对定义的理解。

**3. 知识扩展*** 讲解：奇偶性定义的延伸，包括性质和判定方法。

* 提问：如何判断函数的奇偶性？* 举例：举出一些奇偶性变化的例子，让学生分析。

* 讨论：引导学生讨论奇偶性的应用，如对称性的应用。

**4. 实践活动*** 布置作业：让学生自己画出一些函数的图象，并观察其奇偶性。

* 讲解：如何利用对称性进行解题。

* 讨论：学生展示自己的作业，并分享解题心得。

**5. 课堂小结*** 回顾本节课的主要内容，包括奇偶性的定义、性质、判定方法等。

* 强调重点和难点，引导学生思考如何将奇偶性应用到实际问题中。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解并掌握函数的奇偶性的概念和性质。

2. 能够根据函数的奇偶性判断函数的对称性。

3. 学会运用奇偶性解决实际问题。

二、教学重难点1. 重点：理解函数的奇偶性概念和性质，能够运用奇偶性判断函数的对称性。

1.3.2 奇偶性第二课时课件(人教A版必修1)

－1<1－x<1 ∴f(1－x)<f(3x－1)⇔－1<1－3x<1⇔ 1－x>3x－1
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
0<x<2 0<3x<2 x<1 2
0<x<2 0<x<2 3 ⇔ 1 x< 2
1 ，∴0<x< . 2
1 即不等式解集为x|0<x<2
课前自主学习

课堂讲练互动
课后智能提升
第2课时奇偶性的应用
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用． 2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题．
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
自学导引
0 1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝__. 2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有增最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且最小值－M 有__________. 3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则增函数有f(x)在(0，＋∞)上是_______．
点评：函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性，解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
2．设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x) 单调递减，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围．解：∵g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，且在[0,2]上单调递减，∴g(x)在[－2,0]上单调递增，又∵g(1－m)<g(m)，

奇偶性说课稿

各位评委老师，大家好！我是数学号选手，今天我要进行说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节第二课时《奇偶性》。

我将从教材分析；教学目标分析；教法、学法分析；教学过程四个方面来陈述我对本节课的设计方案。

恳请在座的专家评委批评指正。

一、教材分析1、教材的地位和作用本节课主要对函数奇偶性的学习；它是在学习函数表示方法，图像法的基础上进行学习的，同时又为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；它是历年高考的热点和难点问题2、教材重、难点（依据新课程标准的要求，我确定以下内容为教学的重点和难点）教学重点：函数奇偶性的定义及几何意义教学难点：函数奇偶性的证明方法重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破.二、教学目标（依据新的教学理论，我以以下三维目标为教学目标)知识与技能：1、理解函数奇偶性的图像和定义；2、掌握利用函数图像和奇偶性的定义判断，证明函数奇偶性的方法.过程与方法：1、通过对函数奇偶性的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察，归纳，抽象和概括的能力以及语言表达能力;2、通过对函数奇偶性的证明，提高学生的推理论证能力.情感态度与价值观：在解决实际问题的过程中，体会奇偶性的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识.三、教法学法分析1、教法分析“教有法而无定法”，只有方法得当才会有效。

新课程标准要求教师是教学的组织者、引导者、合作者。

在课堂教学中，教师要改变传统方式，变“带着知识走向学生”为“带着学生走向知识”；在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。

本着这一原则，在教学过程中我主要采用学案教学方法，结合开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法。

2、学法分析“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的掌握。

学生作为教学活动的主体，在学习过程中参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。

函数奇偶性完整(公开课课件)ppt课件

精品课件
21
(3)f(x)=0 (xR)
解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0，又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数．
(4) f(x)=x+1
解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数.
临沂三中李法学
精品课件
3
教学目标
➢1、理解奇函数、偶函数的概念； ➢2、函数奇偶性的判断； ➢3、奇、偶函数图象的性质
【重点】函数奇偶性的概念
【难点】函数奇偶性的判断
精品课件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
观察下列两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
这两个函数的图像
（2）当自变量x取一对相反数时,相应的
说明f(-x)与f(x)都有意义，
即-x、x必须同时属于定义域，
因此偶函数的定义域关于原点对称的。
精品课件
7
思考：（1）下列函数图像是偶函数的图像吗?
y
y
y
。
1
x
1x
-1 1
x
f (x) x2
f(x)x2 x(,1] f(x)x2（x1） x(,1] [1,)
（2）下列说法是否正确，为什么？
①若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数． ②若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
● f(x)就叫做偶函数.
● 2、奇函数的图象关于
对称。
● 二、判断正误：
● 1、偶函数的图形不一定关于y轴对称…………（）

《3.3.2函数的奇偶性》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块上册

《函数的奇偶性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《函数的奇偶性》这一课的学习，使学生掌握函数奇偶性的概念，能够识别和判断给定函数的奇偶性，并能利用函数的奇偶性解决简单的数学问题。

同时，通过作业练习，加深学生对函数奇偶性理论的理解和应用能力。

二、作业内容本次作业内容主要围绕《函数的奇偶性》这一主题展开，具体包括以下几个部分：1. 基础知识回顾：复习函数的概念、定义域、值域等基础知识，为学习奇偶性打下基础。

2. 奇偶性概念理解：通过例题和练习题，让学生理解并掌握函数奇偶性的定义和判断方法。

3. 函数奇偶性判断：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生判断给定函数的奇偶性。

4. 奇偶性应用实践：结合实际生活问题，设计应用题，让学生运用函数的奇偶性解决实际问题。

5. 作业总结与拓展：引导学生总结本次作业的收获和不足，提出改进意见，并布置拓展题，鼓励学生进行自主学习和探索。

三、作业要求1. 作业量适中：本次作业量适中，既要保证学生能够充分练习，又要避免过多作业导致学生疲劳。

2. 难度梯度设计：从基础知识回顾到实际应用，难度逐步提升，让学生逐步掌握函数的奇偶性。

3. 注重实践应用：设计的应用题要贴近生活实际，让学生感受到数学在生活中的作用。

4. 作业格式规范：要求学生按照规定的格式完成作业，如使用规范的数学符号、书写清晰的解题步骤等。

5. 独立思考与合作学习相结合：鼓励学生独立思考，但也要允许学生之间进行交流和讨论，共同解决问题。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生的作业完成情况，从知识掌握、解题思路、解题步骤、答案正确性等方面进行评价。

2. 评价方式：采用教师评价、学生自评和互评相结合的方式，全面了解学生的作业情况。

3. 反馈与指导：针对学生在作业中出现的错误和不足，及时给予反馈和指导，帮助学生改正错误，提高解题能力。

五、作业反馈1. 教师反馈：教师对学生的作业进行批改和评价后，及时向学生反馈作业情况，指出学生的优点和不足。

函数奇偶性的应用(第二课时) 教案

第三章函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质3.2.2 奇偶性【素养目标】1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．【重点】利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．【难点】运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题．第二课时函数奇偶性的应用要点整合夯基础基础知识知识点一函数奇偶性的性质1．奇、偶函数代数特征的灵活变通由f (－x )＝－f (x )，可得f (－x )＋f (x )＝_0_或()()f x f x -=__-1_(f (x )≠0)；由f (－x )＝f (x )，可得f (－x )－f (x )＝__0__或()()f x f x -=__1__(f (x )≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有_____(0)0f =____，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数f (x )是偶函数，那么__()(||)f x f x =___. 思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，故－f (x )＝f (x )，所以f (x )＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f (x )＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数奇偶性与单调性的联系由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____，而偶函数的图象关于y 轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用思考3：设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是_____()(3)(2)f f f π->>-_____. 解析：∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f (π)>f (3)>f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2).典例讲练破题型题型探究类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式【例1】(1)已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋3(其中a 、b 为常数)，若f (3)＝2015，则f (－3)＝___2009-_____.(2)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．【解析】(1)法1：设g (x )＝f (x )－3，则g (x )＝ax 3－bx ，显然g (x )为R 上的奇函数．又g (3)＝f (3)－3＝2015－3＝2012，所以g (－3)＝－g (3)，即f (－3)－3＝－2012，解得f (－3)＝－2009.法2：f (x )＋f (－x )＝6，f (－3)＝6－f (3)＝6－2015＝－2009. (2)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－x ＋1＝－x 3－x ＋1. 又∵f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴x <0时，f (x )＝x 3＋x －1.又f (x )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.∴331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩【通法提炼】(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x 在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f (x )与f (－x )的关系求f (x ).(2)本题中是求x ∈R 时的函数解析式，不要忘记x ＝0的特殊情况.【变式训练1】(1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( B ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(2)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则x <0时，f (x )＝_2x x -_____. 【解析】(1)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.① f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.② 由①＋②得g (1)＝3，故选B. (2)设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x .又∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝x 2－x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2－x .类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1：比较大小【例2】若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则3()2f -与25(2)2f a a ++的大小关系是( C )A ．235()(2)22f f a a ->++B ．235()(2)22f f a a -<++C ．235()(2)22f f a a -≥++D ．235()(2)22f f a a -≤++【解析】因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以2335()()(2)222f f f a a -=≥++.【通法提炼】奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断. 【变式训练2】已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( D )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10) 【解析】由题易知y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，则f (x )的图象的对称轴为x ＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f (6)<f (7)，f (6)＝f (10)<f (9)，f (7)＝f (9)>f (10)．故选D.命题视角2：解不等式【例3】设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．【分析】由于f (x )是奇函数，可得f (x )在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f (1－m )<f (m )转化为具体的不等式组求解．【解析】因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，所以f (x )在[－2,2]上是减函数．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于122212m mm m ->⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩解得112m -≤<.所以实数m 的取值范围是1[1,)2-.【通法提炼】解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.【变式训练3】已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<1()3f 的x 的取值范围是( A )A.12(,)33B.12[,)33C.12(,)23D.12[,)23【解析】因为f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象(如图)由f (2x －1)<1()3f得－13<2x －1<13.解得1233x <<.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用【例4】函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且满足对于定义域内任意的x 1，x 2都有等式f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立． (1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明．(3)若f (4)＝1，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (－6)≤3. 【解析】(1)令x 1＝x 2＝1得，f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：令x 1＝x 2＝－1，则f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f (－x )＝f (x )，又定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，∴f (x )为偶函数． (3)∵f (4)＝1，又f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴f (4)＋f (4)＝f (4×4)＝f (16)， ∴f (16)＋f (4)＝f (16×4)＝f (64)，∴f (64)＝f (4)＋f (4)＋f (4)，∴f (64)＝3.∴f (3x ＋1)＋f (－6)≤3等价于f (－6(3x ＋1))≤3，∴f (|－6(3x ＋1)|)≤f (64)，∴310|6(31)|64x x +≠⎧⎨-+≤⎩解得x ∈351129[,)(,]9339---.【通法提炼】对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f (1)，f (0)，f (－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f (x )与f (－x )或f (x 2)与f (x 1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断. 【变式训练4】已知定义在(－1,1)上的奇函数2()1ax b f x x +=+是增函数，且12()25f =. (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0.【解析】(1)因为2()1ax bf x x +=+是定义在(－1，1)上的奇函数，则f (0)＝0，得b ＝0. 又因为12()25f =，则2122115()12aa =⇒=+.所以2()1xf x x =+.(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是增函数，由f (t －1)＋f (2t )<0，得f (t －1)<－f (2t )＝f (－2t )．所以有02 11111 12122 1213ttt tt tt⎧⎪<<-<-<⎧⎪⎪⎪-<-<⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<-⎩⎪<⎪⎩解得0<t<1 3 .故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为{t|0<t<13 }．课堂达标练经典1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f()，b＝f(2π)，c＝f(32)的大小关系是( C )A．b<a<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<a<b【解析】f(x)为偶函数，则a＝f()＝f)．322π<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴3()()22f f fπ<<，即a<c<b.2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝( C )A．3x－1 B．3x＋1C．－3x－1 D．－3x＋1【解析】设x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－3x－1.又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( D )A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3)C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4)【解析】∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)．又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)．4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是___(,0)-∞__________．【解析】∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．【解析】∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，∴f(3a－10)<－f(4－2a)，∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，∴f(3a－10)<f(2a－4)．又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．课时作业 A 组素养自测一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】因为x >0时，f (x )＝x 2＋1x，所以f (1)＝1＋1＝2.又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A ．2．已知f (x )＝ax 7－bx 5＋cx 3＋2，且f (－5)＝m ，则f (5)＋f (－5)的值为( A ) A ．4 B ．0 C ．2m D ．－m ＋4【解析】由f (－5)＝a (－5)7－b (－5)5＋c (－5)3＋2＝－a ·57＋b ·55－c ·53＋2＝m ，得a ·57－b ·55＋c ·53＝2－m ，则f (5)＝a ·57－b ·55＋c ·53＋2＝2－m ＋2＝4－m . 所以f (5)＋f (－5)＝4－m ＋m ＝4.故选A ．3．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )等于( A ) A ．x ＋x 4 B ．－x －x 4 C ．－x ＋x 4 D ．x －x 4 【解析】当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)．则f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，x ∈(0，＋∞)．从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f (x )＝x ＋x 4.故选A ． 4．偶函数y ＝f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则有( A )A ．f (－π)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f (－1)B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝⎛⎭⎫π3D ．f (－1)>f (－π)>f ⎝⎛⎭⎫π3【解析】由题意，得f (－π)＝f (π)，f (－1)＝f (1)．又函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且1<π3<π，所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (π)，即f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (－π)．故选A ． 5．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f (7)＝6，则f (x )( B ) A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6 C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6【解析】由f (x )是偶函数，得f (x )的图象关于y 轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B ．6．若偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式()()0f x f x x+->的解集为( B )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】∵f (x )为偶函数，∴()()2()0f x f x f x x x +-=>，∴xf (x )>0，∴0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．故选B ．二、填空题7．设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为f (x )＝x ＋2.【解析】由题意知f (x )在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f (x )＝kx ＋b ，代入解得k ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x ＋2.8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1，若f (2)＝3f (－1)，则m ＝－115. 【解析】∵x >0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1， ∴f (2)＝5＋2m ，f (1)＝2＋m ，又f (－1)＝－f (1)＝－2－m ，由f (2)＝3f (－1)知，5＋2m ＝－6－3m ，∴m ＝－115.9．已知函数f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x >0时，f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的值域是[－3，－2)∪(2,3]．【解析】∵函数f (x )为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f (x )在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．三、解答题10．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1.(1)求f (－1)的值；(2)求当x <0时函数的解析式；(3)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数．【解析】(1)因为f (x )是偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝2－1＝1.(2)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝2－x－1.又因为f (x )为偶函数，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－1＝－2x －1.(3)证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1－⎝⎛⎭⎫2x 1－1＝2x 2－2x 1＝2x 1－x 2x 1x 2. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 1)>f (x 2)．因此f (x )＝2x－1在(0，＋∞)上是减函数．11．已知函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f ⎝⎛⎭⎫－52与f ⎝⎛⎭⎫74的大小．【解析】(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵令x 1＝x 2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f ((－1)×(－1))＝f (－1)＋f (－1)， ∴2f (－1)＝0，∴f (－1)＝0. ∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1－f (x 1) ＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫52，由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝⎛⎭⎫52>f ⎝⎛⎭⎫74.∴f ⎝⎛⎭⎫－52>f ⎝⎛⎭⎫74.B 组素养提升12．若函数y ＝f (x )是偶函数，定义域为R ，且该函数图象与x 轴的交点有3个，则下列说法正确的是( A )①3个交点的横坐标之和为0；②3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；③f (0)＝0；④f (0)的值与函数解析式有关．A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③【解析】由于偶函数图象关于y 轴对称，若(x 0,0)是函数与x 轴的交点，则(－x 0,0)一定也是函数与x 轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而①③正确． 13．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于( B ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．1.5 D ．－1.5【解析】由已知，可得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (2＋3.5)＝－[－f (3.5)]＝f (3.5)＝f (2＋1.5)＝－f (1.5)＝－f (2－0.5)＝－[－f (－0.5)]＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 14．奇函数f (x )满足：①f (x )在(0，＋∞)内单调递增；②f (1)＝0.则不等式x ·f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【解析】∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数，f (1)＝0. ∴f (x )在(－∞，0)上是增函数，f (－1)＝0. 当x >0时，f (x )>0 即f (x )>f (1)，∴x >1，当x <0时，f (x )<0，即f (x )<f (－1)，∴x <－1. ∴x ·f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)写出函数f (x )，x ∈R 的增区间； (2)求函数f (x )，x ∈R 的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2，x ∈[1,2]，求函数g (x )的最小值．【解析】(1)f (x )的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (2)设x >0，则－x <0，∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x . ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x ≤0，x 2－2x x >0.(3)由(2)知g (x )＝x 2－(2＋2a )x ＋2，x ∈[1,2]，其图象的对称轴为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ；当1<a ＋1<2，即0<a <1时，g (x )min ＝g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1；当a ＋1≥2，即a ≥1时，g (x )min ＝g (2)＝2－4A ．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ≤0，－a 2－2a ＋10<a <1，2－4a a ≥1.课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．。

函数奇偶性课程设计

函数奇偶性课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 能够运用奇偶性对函数图像进行对称分析，理解奇偶性在图像上的表现。

3. 掌握奇偶函数的性质，如奇函数的导数为偶函数，偶函数在关于原点对称的区间上的性质。

技能目标：1. 能够独立判断给定函数的奇偶性，并作出相应的图像。

2. 能够运用奇偶性简化函数运算，解决实际问题。

3. 能够运用奇偶性分析实际问题中的对称性，提出解决问题的策略。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对函数奇偶性的兴趣，激发其探索数学规律的欲望。

2. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力，使其善于发现事物的对称美。

3. 培养学生面对问题时的合作精神，使其在团队中发挥积极作用。

课程性质：本课程为高中数学课程，以理论讲解和实践操作相结合的方式进行。

学生特点：学生已具备一定的函数知识基础，具有一定的逻辑思维能力和观察能力。

教学要求：教师需引导学生主动参与课堂，通过实例分析、小组讨论等形式，使学生掌握函数奇偶性的相关知识，并能将其应用于实际问题。

同时，关注学生的情感态度价值观的培养，提高其数学素养。

二、教学内容1. 函数奇偶性的定义及判定方法：- 函数的奇偶性定义- 判断函数奇偶性的步骤- 特定类型的函数奇偶性判定（如幂函数、指数函数、对数函数等）2. 函数奇偶性图像分析：- 奇函数图像的特点- 偶函数图像的特点- 利用奇偶性绘制函数图像3. 奇偶函数的性质及应用：- 奇函数的导数为偶函数的性质- 偶函数在关于原点对称的区间上的性质- 奇偶性在简化函数运算中的应用4. 实际问题中的对称性分析：- 识别实际问题中的对称性- 利用函数奇偶性解决实际问题- 对称性在物理、几何等领域的应用案例教学内容安排：第一课时：函数奇偶性的定义及判定方法第二课时：函数奇偶性图像分析第三课时：奇偶函数的性质及应用第四课时：实际问题中的对称性分析教材章节关联：《高中数学》下册，第三章“函数的性质”，第三节“函数的奇偶性”。

新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时函数奇偶性的应用

第二课时函数奇偶性的应用课标要求 1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.素养要求 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.2.通过函数图像的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.一、函数的单调性与奇偶性1.思考从两个偶函数的图像中，能否找出偶函数的图像在对称区间上单调性的关系吗？提示偶函数的图像在对称区间上的单调性相反.2.填空(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同.(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反.温馨提醒(1)上述结论可简记为“奇同偶异”.(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.3.做一做(1)若定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(3)，f(4)，f(－π)的大小关系为________.答案f(3)<f(－π)<f(4)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝________.答案x＋x2二、奇、偶函数的运算性质及对称问题1.思考函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)的奇偶性是怎样的？提示依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，所以f(x)g(x)是奇函数.2.填空(1)奇偶函数的运算性质在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.(2)函数的对称轴与对称中心①若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝a 是f(x)的对称轴.②若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.温馨提醒奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设f(x)，g(x)有公共的定义域，则有下列结论：3.做一做判断正误(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(√)(2)若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于x＝a＋b2对称.(√)(3)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(√)(4)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数.(×)提示不一定是偶函数，因为只有自身的图像关于y轴对称的函数才是偶函数.(5)若偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝3.(√)题型一利用奇偶性求函数解析式角度1求对称区间上的解析式例1 (1)已知函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.(2)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.答案(1)x(x＋1)(2)2x2＋3x－1解析(1)设任意x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).(2)设任意x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.角度2构造方程组求解析式例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式.解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝1x－1，①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(①－②)÷2，得g(x)＝xx2－1.思维升华已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).训练1 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解(1)设任意x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f (x )是R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝x 2－x .又∵函数定义域为R ，∴f (0)＝0，综上可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x <0，x 2－x ，x ≥0.(2)∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.① 用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2， ∴f (x )－g (x )＝－2x ＋x 2，② (①＋②)÷2，得f (x )＝x 2； (①－②)÷2，得g (x )＝2x . 题型二函数奇偶性的应用角度1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小例3 若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (2)的大小关系为________.答案 f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)解析 ∵对任意实数x 总有 f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数， ∴f (2)＝f (－2).又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－32<－1， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1).思维升华比较大小的方法：①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 角度2 利用奇偶性、单调性解不等式例4 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f (x )在区间[0，3]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围；(2)设定义在[－2，2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围.解 (1)因为f (x )是奇函数且f (x )在[0，3]上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上是减函数.所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－3≤m ≤3，－3≤1－m ≤3，解得－2≤m <12，即m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，12.(2)∵g (x )在[－2，2]上为偶函数，且x ≥0时为减函数，∴g (1－m )≤g (m )⇔g (|1－m |)<g (|m |)⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |>|m |⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，（1－m ）2>m 2⇒－1≤m <12.即m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－1≤m <12.思维升华利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.训练2 (1)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4]D.[1，3](2)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图像如图所示，则关于x 的不等式f (x )g (x )<0的解集是________.答案 (1)D (2)(－4，－2)∪(0，2) 解析 (1)∵f (x )为奇函数，f (1)＝－1， ∴f (－1)＝1. ∵－1≤f (x －2)≤1， ∴f (1)≤f (x －2)≤f (－1).又∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. (2)设h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f(x)g(x)＝－h(x)，又h(x)＝f(x)g(x)的定义域为(－4，4)，∴h(x)是奇函数，补全f(x)，g(x)的图像(图略)，由图像可知：当－4<x<－2时，f(x)>0，g(x)<0，此时h(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，g(x)>0，此时h(x)<0，∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).故答案为(－4，－2)∪(0，2).题型三奇偶性与对称性的综合应用例5 (1)求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图像关于x＝－1对称.证明任取h∈R，∵f(－1＋h)＝－(－1＋h)2－2(－1＋h)＋1＝－h2＋2，f(－1－h)＝－(－1－h)2－2(－1－h)＋1＝－h2＋2，∴f(－1＋h)＝f(－1－h)，∴f(x)的图像关于x＝－1对称.(2)对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称；②若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；③函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图像关于直线x＝1对称；④若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于坐标原点对称. 其中正确结论的序号为________.答案①②解析∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称，而f(x－1)的图像是将f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，∴f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称，故①正确.若g(x)＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴②正确.由图像的对称性知函数y＝f(x＋1)的图像与函数y＝f(1－x)的图像关于y轴对称，∴③不正确.∵f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x＋2)＝－f(x＋4)，∴f(x)＝f(x＋4).又f(4－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图像关于y轴对称，故④不正确.思维升华(1)要证明函数f(x)的图像关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x)；(2)要证明函数f(x)的图像关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.(3)函数f(x)的图像关于直线对称若函数f(x)对定义域内任一x，都有①f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；②f(x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图像关于直线x＝a2对称；③f (a ＋x )＝f (b －x )⇔y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称. (4)函数f (x )的图像关于点对称若函数f (x )对定义域内任一x ，都有①f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称； ②f (x )＝－f (a －x )⇔y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0对称；③f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称.训练3 (1)证明函数f (x )＝xx ＋1的图像关于点(－1，1)对称.证明函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞). 任取x ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∵f (－1＋x )＋f (－1－x )＝－1＋x－1＋x ＋1＋－1－x－1－x ＋1＝－1＋x x ＋1＋xx ＝2，即f (－1＋x )＋f (－1－x )＝2×1，由函数对称的性质知f (x )的图像关于点(－1，1)对称.(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )为奇函数，函数f (x ＋3)关于直线x ＝1对称，则下列式子一定成立的是( ) A.f (x －2)＝f (x ) B.f (x －2)＝f (x ＋6) C.f (x －2)·f (x ＋2)＝1 D.f (－x )＋f (x ＋1)＝0答案 B解析令F (x )＝f (2－x )，∵f (2－x )为奇函数，∴F (－x )＝－F (x )，即f (2＋x )＝－f (2－x )，∴即f (x )的图像关于点(2，0)对称，令G (x )＝f (x ＋3)，G (x )图像关于直线x ＝1对称，即G(1＋x)＝G(1－x)，f[(1＋x)＋3]＝f[(1－x)＋3]，f(4＋x)＝f(4－x)，即f(x)的图像关于直线x＝4对称，f(x)＝f[4＋(x－4)]＝f[4－(x－4)]＝f(8－x)，用x＋6换表达式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，又－f(2＋x)＝f(2－x)，即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴－f(x)＝f(x＋4)，用x＋4换表达式中的x，则－f(x＋4)＝f(x＋8)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)的周期为8，故选B.[课堂小结]1.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).3.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心是转化.一、基础达标1.已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上是()A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定答案 B解析由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图像(略)知，在区间(2，5)上为减函数.2.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是()A.f(－3)>f(－1)B.f(0)<f(5)C.f(－1)<f(3)D.f(2)>f(0)答案AC解析∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立.3.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)＝()A.－26B.－18C.－10D.10答案 A解析设g(x)＝x5＋ax3＋bx，函数g(x)定义域为R.∵g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.∵f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26.4.已知奇函数f (x )在(－∞，0)上的解析式为f (x )＝x (1＋x )，则f (x )在(0，＋∞)上( )A.最大值－14B.最大值14C.最小值－14D.最小值14答案 B解析法一当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14， ∴f (x )有最小值－14，∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )有最大值14.法二当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x (1－x ).又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， ∴当x >0时，f (x )有最大值14.5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23.6.如果函数F (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x >0，f （x ），x <0是奇函数，则f (x )＝________. 答案 2x ＋3解析设x<0，∴－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.又∵F(x)为奇函数，∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又∵f(2)＝0，∴f(x)<0⇔f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，∴x>2或x<－2.8.若函数f(x)＝x2－2ax＋3图像的对称轴为x＝1，则当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为________.答案[2，6]解析由对称轴为x＝1得a＝1.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，∴f(x)∈[2，6].9.已知y＝f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝1f（x）在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论.解F(x)在(－∞，0)上是减函数.证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，∴f(－x2)<f(－x1)<0.①又∵f(x)是奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝f（x2）－f（x1）f（x1）·f（x2）>0，即F(x1)>F(x2)，∴F(x)＝1f（x）在(－∞，0)上是减函数.10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.(1)求b值；(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围. 解(1)∵函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，∴f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意).(2)∵函数f(x)在[0，2]上是增函数，又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是增函数.∵f(m)＋f(m－1)>0，∴f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，∴m－1>－m，①又需要不等式f (m )＋f (m －1)>0在函数f (x )定义域内有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，－2≤m －1≤2② 解①②得12<m ≤2，∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 二、能力提升11.已知定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，且f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112的大小关系为( ) A.f (4)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112 B.f (－1)<f (4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112 C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f (4)<f (－1) D.f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f (4) 答案 A解析函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则函数y ＝f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (4)＝f (0)， ∵f (x )在(－∞，2)上单调递减，－32<－1<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32>f (－1)>f (0)，即f (4)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112. 12.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，当－1≤x ≤0时，f (x )＝x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝________. 答案 18 18解析由函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，得f (－x ＋1)＝f (x ＋1).又f (x )为奇函数，所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝18. 13.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围.解 (1)∵a >b ，∴a －b >0，由题意得f （a ）＋f （－b ）a －b>0， ∴f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－b )＝－f (b )，∴f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b ).(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，且为奇函数，∵f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，∴f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，∴1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.∴实数m 的取值范围为(－∞，4].三、创新拓展14.证明：若函数y ＝f (x )的图像关于点M (a ，b )对称，则f (2a －x )＝2b －f (x )，反之亦成立.证明设函数y ＝f (x )的图像上任意一点P (x ，f (x ))关于点M (a ，b )对称的点为P ′(2a －x ，2b －f (x ))，当且仅当P′(2a－x，2b－f(x))在函数y＝f(x)的图像上时，有f(2a－x)＝2b－f(x).若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则点P′(2a－x，2b－f(x))在函数f(x)的图像上，∵点P′(2a－x，2b－f(x))与点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称，∴函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称.。

《函数的奇偶性》示范课教学课件【高中数学】

目标检测
（2）从奇函数的定义出发，证明函数y＝f（x）是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．
3
3．（1）从偶函数的定义出发，证明函数y＝f（x）是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
答案：（1）必要性：设P（x，y）是函数f（x）图象上任意一点，则y＝f（x）．记点P关于y轴对称点为Q，则Q（－x，y）．因为函数f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x），即y＝f（－x），所以点Q在函数图象上，所以函数f（x）的图象关于y轴对称．
（3）f（x）＝x＋；（4）f（x）＝．
解：（－x∈R，
函数f（x）＝x4为偶函数．
且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
新知探究
解：（2）函数f（x）＝x5定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，
函数f（x）＝x5为奇函数．
第一步，求函数的定义域I．
第二步，判断定义域是否关于原点对称．
若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；
若是，则进行第三步．
第三步，∀x∈I，计算f（－x）．
若f（－x）＝f（x），则为偶函数；
若f（－x）＝－f（x），则为奇函数；
若f（－x）与f（x）既不相等也不相反，则既不是奇函数也不是偶函数．
新知探究
追问2 思考
（1）判断函数f（x）＝x3＋x的奇偶性．
（2）图是函数f（x）＝x3＋x图象的一部分，你能根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
（3）一般地，如果知道y＝f（x）为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？
（2）因为是奇函数，所以图象关于原点中心对称，
我们可以先将图象沿着y轴翻折，
问题3 观察函数f（x）＝x2和g（x）＝2－|x|的图象（如图），思考以下问题：

函数的奇偶性说课稿

函数的奇偶性说课稿各位老师：大家早上好。

我今天说课的内容是人民教育出版社出版的普通高中标准实验教科书数学必修一第一章第三节第二课时——奇偶性。

下面我将会从教材内容、教学目标、教学方法、教学过程四个方面向大家介绍我对本节课的理解与设计。

不妥之处，敬请指教。

一、教材分析“函数的奇偶性”是新课标人教版《数学1》第一章第三节的教学内容。

学习本节课的内容需要运用到几何中对称的概念。

1.教材的地位和作用“函数的奇偶性”是函数的一条重要性质，从知识结构上看，函数的奇偶性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质，解决各种问题中都有广泛的应用。

2.教学重点和难点重点：奇偶函数形式化的定义。

难点：奇偶函数形式化定义的认识和理解。

用定义判定函数的奇偶性。

二、教学目标分析1.知识与技能：理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法。

2.方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感态度与价值观：在学习中，体验数学的美感，培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

三、教学方法分析教法分析：为了更好的把握教学内容的整体性和联系性，在教学中应启发引导，以问题为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的、对学生的数学思维有适度启发的问题，能引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。

学法分析：让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。

让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。

四、教学过程分析我设置的教学换届分别是概念导入、概括归纳、概念辨析、课堂练习、小结作业等。