平面几何命题与立体几何命题的类比

平面几何命题与立体几何命题的类比

著名的哲学家康德曾经讲过：“每当理智缺乏可靠论证思路的时候，类比就像一位大师指引我们前进。”这段话深刻地说明了类比推理的重要性。现在新课程标准已经把类比推理当作合情推理的一种重要形式，要求学生掌握，高考也已经把类比推理作为一个重要的内容来考察。

立体几何与平面几何的教学应统一起来，不仅仅是因为立体几何中的许多问题需要转化成平面几何中的问题来完成，更重要的立体几何与平面几何研究问题的思路与方法是相似的，而且许多定理在平面中成立，在空间中也成立。但是，有些命题在平面中成立，在空间中不成立。应注意区别。如果在教学过程中注意类比，那么不但有助于理解定理的适用范围，梳理和理解对于几何命题的认识，有助于大学学习射影几何——笛沙革原理。

教师在教学过程中应注意研究整理，研究它的思维过程体现了逻辑思维中的类比思维，类比是进行合情推理的一种重要方法。在数学中，类比是发现概念﹑方法﹑定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。并将此意识渗透给学生，培养学生用联系的观点，对立统一的观点认识事物，这也从一个侧面，体现了数学的结构美﹑对称美﹑和谐美。如果学生能体会到数学的美感，那么他学习数学的兴趣就会越来越浓，热情会越来越高。正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且拥有至高的美。”

为了便于学生在学习过程中进行对比，培养学生类比推理的能力，在教学过程中我尝试设立了平面几何与立体几何命题的专题课，师生共同探讨，下面把学生归纳的部分命题列举如下：

一、平面几何与立体几何都成立的命题

1、两点之间线段最短，两点确定一条直线；

2、平行于同一条直线的两条直线平行；

3、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，并且方向相同，那么

这两个角相等；

4、如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条直

线；

5、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

6、垂线段最短；

7、连接四边形各边中点得到的四边形为平行四边形；

注：三角形全等和相似以及关于圆的性质等平面几何命题，在空间中的同一个平面上仍然成立，在此从略。

二、在平面几何中成立，在立体几何中不成立的命题

1、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

2、垂直于同一条直线的两条直线平行；

3、四条边相等的四边形是菱形；

注：对于这些命题的梳理，可以帮助学生不至于把平面几何的命题直接引入到立体几何，造成负迁移，给学习造成困难。

三、在平面几何中成立，在立体几何中有类似的命题

教材已经列举了三角形和四面体的类比，球和圆的类比，平行四边形和平行六面体的类比，许多命题例如勾股定理、余弦定理、三角形的中位线性质定理等都可以推广到空间，在这里只列举关于平行、垂直方面的命题，其它从略。

阿蒂亚（Michael Atiyah）曾经说过：“G. Mackey有次对我说的话，我认为是很正确的。在数学的某个领域中，重要的东西常常不是技术上最困难的即最难证的东西，而常常是较为初等的部分。因为这些部分与其他领域、分支的相互作用最广泛，即影响面最大。……数学是有机的思想的整合体。数学不同分支之间丰富多样的相互影响，预想不到的联系和令人惊奇的相关性质是最为诱人深思的。甚至可以说，数学的本质在很大程度上是归拢各种不同事物的艺术。从社会学和数学史角度来看，数学是连续的人类的活动。数学的主要存在理由，是它有能力通过抽象化过程，将思想从一个领域转移到另一个领域。”