2-3斜面上的平抛运动
高中物理平抛运动的知识点详细介绍
高中物理平抛运动的知识点详细介绍平抛运动是高中物理的重要知识点，一般会出现在物理的大题上，下面店铺的小编将为大家带来物理平抛运动的介绍，希望能够帮助到大家。
高中物理平抛运动的知识点物体以一定的初速度沿水平方向抛出，如果物体仅受重力作用，这样的运动叫做平抛运动。
平抛运动是匀变速曲线运动。
平抛运动可看作水平方向的匀速直线运动以及竖直方向的自由落体运动的合运动。
其实，这里平抛运动，就是数学中讲到的抛物线(二次曲线)中“抛物”二字的由来了。
平抛运动的公式(1)平抛运动的位移公式(2)平抛运动的分速度公式平抛运动轨迹是二次函数的证明前文中讲到了，平抛运动轨迹与是数学中讲到的抛物线一致。
下面我们来给大家做一个证明。
我们知道抛物线轨迹是二次曲线(函数y 关于自变量x的二次曲线)，下面我们来对抛物线轨迹做一个证明，证明其也是二次函数关系。
这是新课标改革新添加的内容，在大纲版中没有涉及。
前面已经提及，做平抛运动的物体，在水平与竖直两个方向上的位移公式如下：水平方向x=v0t;(1)竖直方向y=½gt2;(2)把(1)中的t=x/v0带入到(2)中，不难得到这样的结论y=gx2/(2v02)我们可以将其写成y=kx2的形式;其中k=g/(2V02)。
显然，y与x这两个位移量之间是二次线性关系，且此函数图像过原点。
这个二次函数(y=ax2+bx+c)的特点是b和c均为零。
平抛运动的三种典型轨迹分析(1)落到斜面上示意图如下图所示，这种情况下，同学们要列出唯一方程。
因为根据题中限制，要求的是平抛运动轨迹与斜面直线相交。
需写出唯一方程，这种情况下在N点满足y和x的比例，等于θ角的正切值。
(2)垂直打到斜面上示意图如图所示，这种情况下要从速度方程入手。
题中的垂直落到，指的是速度的问题，速度的方向与斜面所在直线垂直。
因此，满足的是在P点，物体的合速度方向与水平速度方向的夹角与斜面夹角互余。
(3)距离斜面最远示意图如下图所示，这种情况下，满足的是B点合速度的方向与斜面方向平行。
斜面类平抛运动知识点总结
斜面类平抛运动知识点总结一、斜面类平抛运动的基本概念1. 斜面类平抛运动的定义斜面类平抛运动是指物体在一个倾斜角度的斜面上进行平抛运动的过程。
在该运动过程中，物体的平抛轨迹既包括水平方向运动，又包括斜面上的运动。
2. 基本参数在斜面类平抛运动中，一般会涉及到以下几个基本参数：- 初速度（v0）：物体在斜面上的初速度，包括水平方向速度、竖直方向速度和斜面方向速度。
- 初角度（θ）：物体的初速度与斜面法线的夹角。
- 初位置（x0，y0）：物体的初始位置坐标。
- 加速度（a）：物体在斜面上的加速度，包括水平方向加速度和斜面方向加速度。
- 时间（t）：物体在斜面类平抛运动中的运动时间。
3. 运动规律斜面类平抛运动遵循以下几个基本的运动规律：- 牛顿运动定律：物体在斜面上的平抛运动符合牛顿运动定律，即物体在斜面上会受到斜面法线方向的支持力和重力的作用。
- 运动方程：斜面类平抛运动可以用运动方程来描述，包括物体在水平方向和斜面方向上的位移、速度和加速度的关系。
- 动能和重力势能转化：斜面类平抛运动过程中，物体的动能和重力势能会相互转化，这是斜面类平抛运动的一个重要特点。
二、斜面类平抛运动的相关公式在斜面类平抛运动中，涉及到一些基本公式和物理规律，下面列举几个重要的公式：1. 物体在斜面上的加速度斜面类平抛运动中，物体在斜面上的加速度可以用以下公式来计算：a = g*sin(θ)其中，a为物体在斜面上的加速度，g为重力加速度，θ为斜面的倾角。
2. 物体在水平方向上的运动距离斜面类平抛运动中，物体在水平方向上的运动距离可以用以下公式来计算：x = v0*cos(θ)*t其中，x为物体在水平方向上的位移，v0为物体的初速度，θ为斜面的倾角，t为运动时间。
3. 物体在竖直方向上的运动距离斜面类平抛运动中，物体在竖直方向上的运动距离可以用以下公式来计算：y = v0*sin(θ)*t - 0.5*g*t^2其中，y为物体在竖直方向上的位移，v0为物体的初速度，θ为斜面的倾角，t为运动时间，g为重力加速度。
斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动多角度引申河北省鸡泽县第一中学 许童钰 057350平抛运动是“曲线运动〞的重点，也是我们接触到的非常典型的曲线运动。
化曲为直是我们解决问题的根本思路。
应用平抛运动的规律解题的首先是将平抛物体的运动正确地沿两个方向分解为两个简单运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
根据运动的独立性原理决定了水平方向与竖直方向的两个分运动互不影响；而分运动之间、以及分运动和合运动之间的等时性那么是联系各分运动、以及分运动和合运动的桥梁，所以求解平抛运动的时间成为解决平抛运动问题的关键。
【例1】如图1所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α =53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，斜面顶端与平台的高度差h=，重力加速度g=10m/s 2，sin53° = 0.8，cos53°= 0.6，求⑴小球水平抛出的初速度v 0是多少？ ⑵斜面顶端与平台边缘的水平距离s 是多少？⑶假设斜面顶端高H = ，那么小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？【解析】〔1〕由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否那么小球会弹起，所以v y = v 0tan53°v y 2= 2gh代入数据，得v y = 4m/s ，v 0 = 3m/s 〔2〕由v y = gt 1得t 1 =s =v 0t 1 = 3× =〔3〕小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a =mg sin53° m= 8m/s 2初速度 υ = υ02 + υy 2 = 5m/sHsin53°=vt 2 +1 2a t 22代入数据，整理得 4t 22+ 5t 2 - 26 = 0 解得 t 2 = 2s 或t 2 = 134s 〔不合题意舍去〕 所以t = t 1 + t 2 =s 二、在斜面上的平抛运动【例2】 如图3所示，将质量为m 的小球从倾角为的光滑斜面上A 点以速度水平抛出〔即平行CD 〕，小球沿斜面运动到B 点。
斜面上的平抛运动
二 、抛 出点不在 斜面上的 平 抛 运 动
例 ２．一 质 量 为 ｍ 的 小 球 ，以 初速 度 沿 水平 方 向
豳 ６
射 出，恰好垂直地射 到一倾角 为 ３０￣的固定斜 面上 ，并立 即
反方 向弹 回。已 知反 弹 速度
的大小是入 射速 度的 ３ ，求
圈 ７
在碰撞 中斜面对小球 的冲量大小 。
向与斜 面平行时 ，离斜面最远 ，如 图 ２所示。
ｔａｎ口 ＝ 上
设小球的整个飞行时 间为 ，将 小球 的运 动按 常 规分解 为水平方 向的匀速直线运动和竖直方 向的
自由落体运动 ，则 ：
＝ ０Ｔ Ｙ 寺 ｇＴ２
联立 以上三式得 ：
ｔ ：
２ｖｏｔБайду номын сангаасｎ ａ Ｔ： — —
二 、激趣导入法 。即通过 游戏 、谜语 、诗歌 、对联 等引入新课 。这种 引课 方法可使学生对数学 课有极 大的兴趣 ，课堂气氛 活跃 ，使学 生 尝到学 习 的乐趣 。 如《有理数的乘方》可这样设计 ：以小组合作 的方式 ， 把厚 ０．１毫米 的纸依次折叠并计算 纸的厚度 。引导 学生观察 、发现纸张 厚度 所发生 的变 化是 在成倍 地 增加 。同时提 出问题 ：继续折 叠 ２０次 、３０次 ，会有多 厚？教师作 出假设 ：如果一层楼按 高 ３米计 算 ，折叠 ２０次有 ３４层 楼 高 ，折叠 ３０次 有 １２个珠 穆 朗玛 峰 高 。这一惊人 的猜想使学生精神集 中 、思维活跃 ，进 人最佳状 态。
常见 的斜面上 的平 抛运动 可以分 为两种情 况 ，即抛
出点在 斜面上的平抛运动 和抛 出点不在斜面上 的平
抛 运动。
一 、 抛 出点在斜面上的平抛运动 例 １．如图 １所示 ，在倾 角
小球在斜面平抛的规律
小球在斜面平抛的规律当小球在斜面上以水平方向进行平抛时，我们可以分析小球在水平方向和竖直方向上的运动规律。
首先，水平方向上的运动是匀速直线运动。
因为小球在水平方向上不受任何水平力的作用，只受到竖直方向上的重力作用。
而重力只对小球的竖直运动起作用，并不影响小球在水平方向的运动。
其次，竖直方向上的运动是自由落体运动。
小球在竖直方向上受到重力的作用，因此竖直方向上的运动是加速运动。
根据重力加速度公式g=9.8m/s²，小球在竖直方向上的运动速度会不断增加，而且方向是向下的。
由于斜面的倾角不同，小球在斜面上的平抛运动规律也会有所不同。
当斜面倾角为0度时，即斜面与水平面平行时，小球的平抛运动退化为水平抛体运动。
小球在水平方向上的速度保持不变，而在竖直方向上的速度会以重力加速度g向下增加。
当斜面倾角为45度时，即斜面的角度为最大角度时，小球在水平方向上的速度和竖直方向上的速度是相等的。
小球在斜面上进行平抛运动时，水平方向上的速度和竖直方向上的速度都保持不变。
当斜面倾角小于45度时，小球在水平方向上的速度大于竖直方向上的速度，小球会沿着斜面向下运动，但速度逐渐减小。
在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作用逐渐增大。
当斜面倾角大于45度时，小球在水平方向上的速度小于竖直方向上的速度，小球会沿着斜面向上运动，但速度逐渐减小。
在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作用逐渐减小。
综上所述，当小球在斜面上进行平抛运动时，水平方向上的运动是匀速直线运动，而竖直方向上的运动是自由落体运动。
而斜面的倾角决定了小球在斜面上的平抛运动的特点，包括速度的大小和变化规律。
平抛运动与斜面模型
平抛运动与斜面模型平抛运动是一种古老的物理模型，它描述了当一个物体以一定的初速度被投掷出去时，沿着水平方向运动，并受到重力的作用而沿着竖直方向下落的运动状态。
这种运动状态被称为平抛运动，是物理学中比较简单的一种运动状态，也是一些很有用的实际问题中的基础。
平抛运动的数学模型是基于牛顿的力学定律和基本运动学公式建立的。
当一个物体以初速度v0在地面上被投掷出去时，它会以固定的速度沿水平方向移动，其水平速度不变，可以用以下方程表示：x = v0t其中，x为物体沿水平方向移动的距离，t为运动的时间。
如果物体受到重力的作用，它将沿竖直方向运动，竖直方向的速度将会发生改变。
物体的竖直运动可以由以下公式描述：y = v0t - 1/2gt^2其中，y为物体沿竖直方向下落的距离，g为重力加速度，t为运动的时间。
在这个运动状态中，物体沿着抛出角度的曲线运动，其运动轨迹可以表示为：y = xtanθ-1/2gx²/(v0cosθ)²其中，θ为抛出角度，在这个运动状态中，这个抛出角度是重要的参数之一，它会影响物体的运动轨迹。
如果初始速度v0和抛出角度θ已经确定，我们就可以使用这些公式来计算出物体在任意时间和任意位置的运动状态。
平抛运动模型有许多实际运用，其中之一是对于物体的落点的预测。
在一些体育比赛中，比如说击球运动、投掷项目等，通过预测体育器材的抛出速度和角度，运动员可以估算出它们的运动轨迹和落点。
此外，平抛运动模型也被广泛应用于医院等领域，在判断怪物或人的跳跃速度、分析运动员的动作时我们需要用到平抛运动模型。
斜面模型是一种质点受到斜面力作用而在斜面上滑动的物理模型。
当一个物体放置在斜面上后，受到位置和重力的相互作用，它在斜面上沿着向下的方向开始滑动，这种滑动称为斜面运动。
斜面运动的模型包含了许多因素，比如物体的重量、斜面的夹角、摩擦系数等，这些因素都会影响物体在斜面上的滑动状态。
基于运动学和力学原理，可以把这些因素纳入斜面运动的数学模型中。
斜面上的平抛
2．速度与斜面平行的时刻 (1)竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角的正切． (2)该时刻是全运动过程的中间时刻． (3)该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为 1∶3. (4)该时刻之前与该时刻之后斜面方向上的位移之比为 1∶1. 对于涉及斜面的平抛运动问题， 要注意由斜面给出的隐含 信息，主要是利用好斜面的倾角，如下面的变式题．同时，要 特别注意平抛运动的有关推论和斜面的综合应用．
平抛运动与斜面结合的问题一般是研究物体从斜面顶端平 抛到落回斜面的运动过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖 探究点一 涉及斜面的平抛运动问题 直方向上分解，求解的关键在于深刻理解给出的与斜面相关联 的隐含条件．最重要的状态是物体落回斜面和速度与斜面平行 两个时刻，这两个状态典型的运动特征如下： 1．落回斜面的时刻 (1)位移的方向沿斜面方向， 即竖直度与水平速度之比等于斜面倾角正切的两倍．
专题02 平抛运动的描述——解析版
专题2 平抛运动的描述（教师版）一、目标要求二、知识点解析1．平抛运动的定义将物体以一定的速度抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动；做抛体运动的物体只受到重力作用，既加速度g不变，因此抛体运动一定是是匀变速运动．抛体运动开始时的速度叫做初速度．如果初速度是沿水平方向的，这个运动叫做平抛运动．平抛运动是匀变速曲线运动．平抛运动的特征：①具有水平方向的初速度②只受重力作用2．平抛运动的基本规律(1)水平方向：匀速直线运动．(2)竖直方向：自由落体运动，加速度为g．3．平抛运动的运动规律v的方向相同；竖直方向为y轴，正方向向下；物以抛出点为原点取水平方向为x轴，正方向与初速度(,)，下面将就质点任意时刻的速度、位移进行讨论．体在任意时刻t位置坐标为P x yy(1)速度公式：水平方向和竖直方向速度：0x y v v v gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此物体的实际速度为：0y x v v gtv v tan α⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩(2)位移公式水平方向和竖直方向位移：0212x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此实际位移为：02S y gt x v tan θ⎧⎪==⎪⎨⎪==⎪⎩注意：显然，位移和速度的夹角关系为：12tan tan θα=，即v 的反向延长线交于OA 的中点O ’．这一结论在运算中经常用到．(3)轨迹公式 由0x v t =和212y gt =可得2202g y x v =，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线． 4．平抛运动的几个重要结论(1)运动时间：t =(2)落地的水平位移：x x v t v ==，即水平方向的位移只与初速度0v 和下落高度h 有关．(3)落地时速度：v =0v 和下落高度h 有关平抛运动 (4)两个重要推论：表示速度矢量v 与水平方向的夹角，故 表示位移矢量与水平方向的夹角，故 ①平抛运动中，某一时刻速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍． ②根据示意图，我们可知，平抛运动中，某一时刻速度的反向延长线与x 轴的交点为水平位移的中点． 5．求解平抛运动飞行时间的四种方法(1)已知物体在空中运动的高度，根据212h gt =，得到t = (2)已知水平射程x 和初速度0v ，也可以求出物体在空中运动的时间0x t v =(3)已知物体在空中某时刻的速度方向与竖直方向的夹角θ与初速度0v 的大小，根据0v gttan θ=可以求得时间．(4)已知平抛运动的位移方向与初速度方向的夹角α及初速度0v 的大小，根据200122gtgt v t v tan α==可求出时间．6．类平抛运动有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某个方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动．对这种运动像平抛又不是平抛，通常称为平抛运动，处理方法与平抛运动一样，只是a 不同而已．如图所示倾角为θ．一物块沿上方顶点P 水平射入，而从右下方顶点Q 离开．xα0tan y xv gt v v α==θ21tan tan 222x x y gt gt x v t v θα====7．斜面上的平抛运动解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，若已知斜面倾角，则相当于间接告诉合速度或者合位移的方 向．这个类问题主要就是将平抛运动规律与几何知识综合起来．①当物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角．一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向(角度)关系进行求解．例如：两个相对的斜面，倾角分别为037和053，在顶点把两个小球以相同初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，是求解A 、B 两个小球落到斜面上的时间之比是多少．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,== b ：由于物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角可知：tan y x θ=，()201tan 2gt v t θ=，0tan v t g θ2=，所以：tan 379tan 5316A B t t ︒==︒ ②当物体的起点在斜面外，落点在斜面上 解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，是垂直打到斜面上，所以水平方向的速度和竖直方向的速度有以下关系：0tan yv v θ=根据这个公式再加上水平方向和竖直方向的位移关系就可以方便的求解．例如：在倾角为37°的斜面底端的正上方H 处平抛一个小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,==，由图可知， 2012tan 37H gt v t-︒=. b ：由速度关系得：0tan 37v gt ︒=，解之得：0v = 8．斜抛运动的基本概念(1)定义：斜向上或斜向下抛出的物体只在重力(不考虑空气阻力)作用下的运动叫做斜抛运动． (2)斜抛运动的特点：水平方向速度不变，竖直方向仅受重力，加速度为g ．(3)斜抛运动的分解：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下 抛运动的合运动． (4)斜抛运动的方程如图所示，斜上抛物体初速度为v ，与水平方向夹角为θ，则速度：x yv v v v gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩位移：212x v t y v t gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩轨迹方程：可得：xt v cos θ=，代入y 可得2222gx y x v tan cos θθ=-可以看出：y ＝0时 (1)x ＝0是抛出点位置．(2)22v x gsin θ=是水平方向的最大射程．(3)飞行时间：2v t gsin θ=三、考查方向题型1：平抛运动的基本规律典例一：(多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是( ) A ．落地时间仅由抛出点高度决定B ．抛出点高度一定时，落地时间与初速度大小有关C ．初速度一定的情况下，水平飞出的距离与抛出点高度无关D ．抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度大小成正比 【答案】AD【解析】AB ．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由 h =212gt 得 t则知平抛运动的时间由抛出点高度决定，与初速度无关，故A 正确，B 错误；CD ．平抛运动的水平距离 x =v 0t=v 抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度的大小成正比，故C 错误，D 正确．题型2：平抛运动的计算典例二：（2020江苏·多选）如图所示，小球A 、B 分别从2l 和l 的高度水平抛出后落地，上述过程中A 、B 的水平位移分别为l 和2l 。
斜面上平抛
斜面上平抛运动问题斜面上的平抛运动问题一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tanα＝2tanβ，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝2tanφ。
证明：如右图所示，由平抛运动规律得tanθ＝v yv x＝gtv0，tanφ＝y0x0＝12·gt2v0t＝gt2v0，所以tanθ＝2tanφ。
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如右图所示，tanφ＝y0 x0tanθ＝2tanφ＝y0 x0/2即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点。
注意：(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
(2)它们与水平方向的夹角关系为tanθ＝2tanφ，但不能误认为θ＝2φ。
【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθC．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ[解析]竖直速度与水平速度之比为：tanφ＝gtv0，竖直位移与水平位移之比为：tanθ＝gt22v0t，故tanφ＝2tanθ，D正确。
(注意：只要落点在斜面上，该结论与初速度大小无关)关于物体在斜面上运动，若选取鞋面为参照物时，我们可以更具所需将速度沿加速度方向和垂直于加速度方向分解、将加速度沿速度方向和垂直于速度方向分解或者两者同时进行分解从而进行有效阶梯【典例精析】：如右图所示，足够长斜面OA的倾角为θ，固定在水平地面上，现从顶点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球在飞行过程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？解法一：常规分解方法(不分解加速度)当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大。
2020学年新教材高中物理 科学思维系列——落点在斜面上的平抛运动 新人教版必修第二册
科学思维系列——落点在斜面上的平抛运动1．顺着斜面抛：如右图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角．结论有：(1)速度方向与斜面夹角恒定；(2)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0；(3)运动时间t＝2v0tan θg.2．对着斜面抛：如右图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角．结论有：(1)速度方向与斜面垂直；(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝v0v y＝v0gt；(3)运动时间t＝v0g tan θ.3．平抛运动的关键词转化：【典例1】 如图所示，滑雪运动员以20 m/s 的水平速度从一山坡飞出，问经过多长时间又落到斜坡上？已知斜坡与水平面成45°角，取g ＝10 m/s 2.【解析】 将位移分解，x ＝v 0t ，y＝12gt 2.故tan 45°＝y x＝12gt2v 0t ＝gt2v 0.将v 0＝20 m/s 代入上式得t ＝4 s 【答案】 4 s[拓展] 滑雪运动员落到斜坡上时，求滑雪运动员运动的位移，落到斜坡上时速度的大小和方向与v 0夹角的正切值．解析：水平方向上由x ＝v 0t 得x ＝80 m ．竖直方向上由y ＝12gt 2得y ＝80 m ．故滑雪运动员沿斜坡运动的合位移为80 2 m ，约等于113 m.竖直方向上由v y ＝gt 得v y ＝40 m/s.落到斜坡上时，以水平速度和竖直速度为邻边作平行四边形如图所示，解得v 合＝v 2x ＋v 2y ＝202＋402m/s ＝20 5 m/s.设合速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v x ＝4020＝2， 答案：20 5 m/s 2【典例2】 [2019·四川成都九校高一下期中联考]如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一枚炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则轰炸机的飞行速度为( )A.12gh B.2gh 2C.ghD.2gh【解析】设炸弹离开轰炸机后在空中运动的时间为t ，山坡倾角为θ，击中目标时速度为v ′，由平抛运动规律有v ′sin θ＝v ，v ′cos θ＝gt .因为炸弹垂直击中山坡上的目标A ，可得htan θ＝vt ，联立解得v ＝gh ，故C 正确． 【答案】 C【易错分析】 本题炸弹离开轰炸机后做初速度为v 的平抛运动，最终垂直击中山坡上的目标，则h vt＝tan θ，本题学生可能由于不能从题给条件“垂直击中山坡上的目标A ”提取有效信息，造成错解．变式训练1[2019·郑州检测](多选)从同一点沿水平方向抛出的A 、B 两个小球能落在同一个斜面上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则小球初速度 v A 、v B 的关系和运动时间t A 、t B 的关系分别是( )A ．v A >vB B ．v A <v BC ．t A >t BD ．t A <t B解析：A 小球下落的高度小于B 小球下落的高度，所以根据y ＝12gt 2知t ＝2yg，故t A<t B ，C 错误，D 正确；根据x ＝vt 知，B 的水平位移较小，时间较长，则水平初速度较小，故v A >v B ，A 正确、B 错误．答案：AD变式训练2 [2018·全国卷Ⅲ]在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍 解析：如图所示，可知：x ＝vt ，x ·tan θ＝12gt 2则x ＝2tan θg·v 2，即x ∝v 2甲、乙两球抛出速度为v 和v2，则相应水平位移之比为4：1，由相似三角形知，下落高度之比也为4：1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2：1，则可得落至斜面时速率之比为2：1.答案：A 变式训练3[2019·浙江温州九校联考]如图所示，倾角θ＝30°的斜面AB ，在斜面顶端B 向左水平抛出小球1，同时在底端A 正上方与B 点等高度处C 水平向右抛出小球2，小球1、2同时落在P 点，P 点为斜边AB 的中点，则( )A ．小球2一定垂直撞在斜面上B ．小球1、2的初速度可以不相等C ．小球1落在P 点时速度方向与斜面的夹角为30°D ．改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向都平行解析：两个小球同时做平抛运动，又同时落在P 点，说明运动时间相同，水平位移大小相等，由x ＝v 0t ，知初速度相等，小球1落在斜面上时，有tan θ＝12gt 2v 0t ＝gt2v 0，小球2落在斜面上的速度与竖直方向的夹角的正切值tan α＝v 0gt ＝12tan θ，故α≠θ，所以小球2没有垂直撞在斜面上，故A 、B 错误；小球1落在P 点时速度与水平方向的夹角正切值tan β＝gt v 0＝2tan θ＝233<3，则有β<60°，则小球1落在P 点时速度方向与斜面的夹角为β－θ<60°－30°＝30°，所以小球1落在P 点时与斜面的夹角小于30°，故C 错误；根据tanβ＝2tan θ知，改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角相同，相互平行，故D 正确．答案：D。
2023届浙江高三物理高考复习专题模型精讲精练 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型(解析版)
第16讲 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型一.知识总结斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论） (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝2v 0tan θg 。
(4)位移与初速度的二次方成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫s ＝2v 20tan θg cos θ。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
2．常见的模型分解位移，构建3.类平抛运动模型（1）模型特点：物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。
如果物体只在重力场中做类平抛运动，则叫重力场中的类平抛运动。
学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打基础。
（2）.类平抛运动与平抛运动的区别做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a ＝g ；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a ＝F 合m 。
（3）求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a 分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向上列方程求解。
（4）求解类平抛运动问题的关键(1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，正确求出加速度。
(2)确定是研究速度，还是研究位移。
斜面上平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tan α＝2tan β，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。
证明：如右图所示，由平抛运动规律得tan θ＝v y v x ＝gt v 0， tan φ＝y 0x 0＝12·gt 2v 0t ＝gt 2v 0， 所以tan θ＝2tan φ。
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如右图所示，tan φ＝y 0x 0tan θ＝2tan φ＝y 0x 0/2即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点。
注意：(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
(2)它们与水平方向的夹角关系为tan θ＝2tan φ，但不能误认为θ＝2φ。
【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上， 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θC ．tan φ＝tan θD ．tan φ＝2tan θ[解析]竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝gt v 0，竖直位移与水平位移之比为：tan θ＝gt 22v 0t，故tan φ＝2tan θ， D 正确。
物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型
物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型模型一 水平地面上空h 处的平抛运动 由h ＝12gt 2知t ＝2hg，即t 由高度h 决定．甲模型二 半圆内的平抛运动(如图甲) 由半径和几何关系制约时间t ： h ＝12gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t .模型三 斜面上的平抛运动乙1．顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移 x ＝v 0t y ＝12gt 2 tan θ＝yx 可求得t ＝2v 0tan θg丙2．对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度 v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt v 0可求得t ＝v 0tan θg模型四 对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)丁水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同． t ＝d v 0例1 如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )A ．1 m/sB ．2 m/s C.3 m/sD ．4 m/s【解析】 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如图所示．第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确． 【答案】 AD例2 如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点【解析】 如图所示，过b 点做水平线be ，由题意知小球第一次落在b 点，第二次速度变为原来的2倍后，轨迹为Oc ′，c ′在c 的正下方be 线上，故轨迹与斜面的交点应在bc 之间．据运动规律作图越直观，对解决问题越有利．【答案】 A[高考真题]1. (2015·课标卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h ＜v ＜L 1g6hB.L 14gh ＜v ＜ (4L 21＋L 22)g6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g6h D.L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h【解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动． 当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 212①L 12＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝L 14g h当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有124L 21＋L 22＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22④联立③④得v 2＝12(4L 21＋L 22)g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h，选项D 正确．【答案】 D2.(2016·上海卷，23)如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC 是位于竖直平面内以O 为圆心的一段圆弧，OA 与竖直方向的夹角为α.一小球以速度v 0从桌面边缘P 水平抛出，恰好从A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽．小球从P 到A 的运动时间为 ________ ；直线P A 与竖直方向的夹角β＝ ________ .【解析】 据题意，小球从P 点抛出后做平抛运动，小球运动到A 点时将速度分解，有tan α＝v y v x ＝gt v 0，则小球运动到A 点的时间为：t ＝v 0tan αg ；从P 点到A 点的位移关系有：tan β＝v 0t 12gt 2＝2v 0gt ＝2tan α＝2cot α，所以P A 与竖直方向的夹角为：β＝arctan(2cot α)．【答案】v 0tan αgarctan(2cot α) 3.(2014·江苏卷，6)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A 球水平抛出，同时B 球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有( )A ．两球的质量应相等B ．两球应同时落地C ．应改变装置的高度，多次实验D ．实验也能说明A 球在水平方向上做匀速直线运动【解析】 小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动．A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．【答案】 BC[名校模拟]4．(2018·山东师大附中高三模拟)如图所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )A ．A 、B 的运动时间相同 B ．A 、B 沿x 轴方向的位移相同C ．A 、B 运动过程中的加速度大小相同D ．A 、B 落地时速度大小相同【解析】 设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝12g sin θ·t 22可得：t 1＝2hg，t 2＝2hg sin 2θ，故t 1＜t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1＜x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C 错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋(gt 1)2＝v 20＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋(a 2·t 2)2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确． 【答案】 D5．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P 点以v 0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g ，若小球落到斜面上，则此过程中( )A ．小球飞行时间为2v 0tan θgB ．小球的水平位移为2v 20tan θgC ．小球下落的高度为2v 20sin θgD ．小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x 三式得t ＝2v 0tan θg ，水平位移x ＝2v 20tan θg，小球下落高度y ＝12gt 2＝2v 20tan 2θg.小球落在斜面上，速度方向斜向右下方，不可能与斜面垂直．A 、B 正确．【答案】 AB6．(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，位于同一高度的小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为45°的斜面上的C 点，小球B 恰好垂直打到斜面上，则A 、B 到达C 点的速度之比为( )A ．2∶1B ．1∶1 C.2∶ 5D ．5∶2 2【解析】 对于A 球：x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，x ＝y ，t ＝2v 1g ，v A ＝v 21＋v 2y ＝5v 1；对于B 球：v 2＝v y ＝g ·t ＝2v 1，v B ＝22v 1，所以v 1∶v 2＝5∶2 2.【答案】 D课时作业(十一) [基础小题练]1.(2018·山东临沂高三上学期期中)在一次投球游戏中，某同学调整好力度，将球水平抛向放在地面的小桶中，结果球飞到小桶的右方(如图所示)，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为( )A ．减小初速度，抛出点高度不变B ．增大初速度，抛出点高度不变C ．初速度大小不变，提高抛出点高度D ．初速度大小不变，降低抛出点高度 【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，得x ＝v 02yg，球飞到小桶右方，说明水平位移偏大，可使高度不变，减小v 0，或v 0不变，降低高度，A 、D 正确．【答案】 AD2．从同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A 和B ，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两球在空中相遇，则必须( )A ．两球的初速度一样大B ．B 球初速度比A 大C ．同时抛出两球D ．先抛出A 球【解析】 小球在竖直方向上做自由落体运动，由h ＝12gt 2，两小球从同一高度抛出在空中某处相遇，则两小球下落时间相同，故说明两小球从同一时刻抛出，C 正确，D 错误；由x ＝v 0t ，A 球的水平位移大，说明A 的初速度大，A 、B 错误．【答案】 C3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s 2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )A. 6 m/s<v ≤2 2 m/s B ．2 2 m/s<v ≤3.5 m/s C. 2 m/s<v < 6 m/s D ．2 2 m/s<v < 6 m/s【解析】 根据平抛运动规律有：x ＝v t ，y ＝12gt 2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：v t ＝12gt 2，得v ＝12gt ，如果落到第四台阶上，有：3×0.4<12gt 2≤4×0.4，代入v ＝12gt ，得 6 m/s<v ≤2 2 m/s ，A 正确．【答案】 A4．一带有乒乓球发射机的乒乓球台水平台面的长是宽的2倍，中间球网高h ，发射机安装于台面左侧边缘的中点，发射点的高度可调，发射机能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，不计空气阻力，当发射点距台面高度为3h 且发射机正对右侧台面的外边角以速度v 1发射时，乒乓球恰好击中边角，如图所示；当发射点距台面高度调为H 且发射机正对右侧台面以速度v 2发射时，乒乓球恰好能过球网且击中右侧台面边缘，则( )A.H h ＝43，v 1v 2＝176 B ．H h ＝21，v 1v 2＝176C.H h ＝43，v 1v 2＝23D ．H h ＝21，v 1v 2＝23【解析】 设乒乓球台宽为L ，乒乓球的运动是平抛运动，当以速度v 1发射时，由平抛规律知3h ＝12gt 21，(2L )2＋⎝⎛⎭⎫L 22＝v 1t 1，联立解得v 1＝L217g6 h；同理，当以速度v 2发射时，H ＝12gt 22，2L ＝v 2t 2，H －h ＝12gt 23，L ＝v 2t 3，联立解得H ＝43 h ，v 2＝L 3g 2h ，所以H h ＝43，v 1v 2＝176，A 正确． 【答案】 A5．(2018·山东师大附中高三上学期二模)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )A. 3gR2 B ． 33gR2 C.3gR2D ．3gR3【解析】 画出小球在B 点速度的分解矢量图．由图可知，tan 60°＝v 0gt ，R (1＋cos 60°)＝v 0t ，联立解得：v 0＝33gR2，选项B 正确． 【答案】 B6.如图所示，在距地面高为H ＝45 m 处，有一小球A 以初速度v 0＝10 m/s 水平抛出，与此同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度同方向滑出，B 与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.4，A 、B 均可视为质点，空气阻力不计(取g ＝10 m/s 2)．下列说法正确的是( )A ．小球A 落地时间为3 sB ．物块B 运动时间为3 sC ．物块B 运动12.5 m 后停止D ．A 球落地时，A 、B 相距17.5 m 【解析】 根据H ＝12gt 2得，t ＝2H g＝ 2×4510s ＝3 s ，故A 正确；物块B 匀减速直线运动的加速度大小a ＝μg ＝0.4×10 m/s 2＝4 m/s 2，则B 速度减为零的时间t 0＝v 0a ＝104 s＝2.5 s ，滑行的距离x ＝v 02t 0＝102×2.5 m ＝12.5 m ，故B 错误，C 正确；A 落地时，A 的水平位移x A ＝v 0t ＝10×3 m ＝30 m ，B 的位移x B ＝x ＝12.5 m ，则A 、B 相距Δx ＝(30－12.5)m ＝17.5 m ，故D 正确．【答案】 ACD[创新导向练]7．休闲运动——通过“扔飞镖”考查平抛运动知识飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动．一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小．现有一靶的第10环的半径为1 cm ，第9环的半径为2 cm ……以此类推，若靶的半径为10 cm ，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5 m ，将飞镖对准第10环中心以水平速度v 投出，g ＝10 m/s 2.则下列说法中正确的是( )A ．当v ≥50 m/s 时，飞镖将射中第8环线以内B ．当v ＝50 m/s 时，飞镖将射中第6环线C ．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v 至少为50 2 m/sD ．若要击中靶子，飞镖的速度v 至少为25 2 m/s【解析】 根据平抛运动规律可得，飞镖在空中飞行有：x ＝v t ，h ＝12gt 2，将第8环半径为3 cm 、第6环半径为5 cm 、第10环半径为1 cm 、靶的半径为10 cm 代入两式可知正确选项为B 、D.【答案】 BD8．科技前沿——轰炸机上的投弹学问我国自主研制的“歼十五”轰炸机完成在航母上的起降．如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此不能算出( )A ．轰炸机的飞行速度B ．炸弹的飞行时间C ．轰炸机的飞行高度D ．炸弹投出时的动能【解析】 由图可得炸弹的水平位移为x ＝htan θ.设轰炸机的飞行高度为H ，炸弹的飞行时间为t ，初速度为v 0.炸弹垂直击中山坡上的目标A ，则根据速度的分解有tan θ＝v 0v y ＝v 0gt ，又H －h x ＝12gt2v 0t ＝gt 2v 0，联立以上三式得H ＝h ＋h 2tan 2θ，可知能求出轰炸机的飞行高度H ，炸弹的飞行时间t ＝2(H －h )g ，轰炸机的飞行速度等于炸弹平抛运动的初速度，为v 0＝xt，故A 、B 、C 均能算出；由于炸弹的质量未知，则无法求出炸弹投出时的动能，故D 不能算出．【答案】 D9．体育运动——乒乓球赛中的平抛运动知识在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示．不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )A ．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B ．球1的速度变化率小于球2的速度变化率C ．球1的飞行时间大于球2的飞行时间D ．过网时球1的速度大于球2的速度【解析】 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动．重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v 2＝2gh 得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B 错误；由h ＝12gt 2可得两球飞行时间相同，C 错误；由x ＝v t 可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确．【答案】 AD10．体育运动——足球运动中的平抛运动规律(2015·浙江卷，17)如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )A ．足球位移的大小x ＝ L 24＋s 2B ．足球初速度的大小v 0＝ g 2h (L 24＋s 2) C ．足球末速度的大小v ＝g 2h (L 24＋s 2)＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s【解析】 足球位移大小为x ＝(L2)2＋s 2＋h 2＝L 24＋s 2＋h 2，A 错误；根据平抛运动规律有：h ＝12gt 2,L 24＋s 2＝v 0t ，解得v 0＝g 2h (L 24＋s 2)，B 正确；根据动能定理mgh ＝12m v 2－12m v 20可得v ＝v 20＋2gh ＝g 2h (L 24＋s 2)＋2gh ，C 错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tan θ＝s L 2＝2sL ，D 错误．【答案】 B[综合提升练]11．(2016·浙江卷，23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示，P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系． 【解析】 (1)打在中点的微粒32h ＝12gt 2①t ＝3h g② (2)打在B 点的微粒v 1＝L t 1，2h ＝12gt 21③v 1＝Lg 4h④ 同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h⑤ 微粒初速度范围Lg4h≤v ≤L g 2h⑥ (3)由能量关系12m v 22＋mgh ＝12m v 21＋2mgh ⑦代入④、⑤式L ＝22h ⑧ 【答案】 (1)3hg(2)L g4h≤v ≤L g 2h(3)L ＝22h12.如图所示，倾角为37°的斜面长l ＝1.9 m ，在斜面底端正上方的O 点将一小球以v 0＝3 m/s 的速度水平抛出，与此同时静止释放顶端的滑块，经过一段时间后小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块．(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：(1)抛出点O 离斜面底端的高度； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ.【解析】 (1)设小球击中滑块时的竖直速度为v y ，由几何关系得v 0v y ＝tan 37°设小球下落的时间为t ，竖直位移为y ，水平位移为x ，由运动学规律得 v y ＝gt ，y ＝12gt 2，x ＝v 0t设抛出点到斜面最低点的距离为h ，由几何关系得 h ＝y ＋x tan 37° 由以上各式得h ＝1.7 m.(2)在时间t 内，滑块的位移为x ′，由几何关系得 x ′＝l －xcos 37°， 设滑块的加速度为a ，由运动学公式得x ′＝12at 2，对滑块由牛顿第二定律得 mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma ， 由以上各式得μ＝0.125. 【答案】 (1)1.7 m (2)0.125。
斜面上平抛
斜面上平抛在中学物理中，平抛运动是曲线运动的一种典型物理模型，是高考的重要内容，如去年上海卷第30题，江苏卷第14题，北京卷第22题，全国1卷第18题，重庆卷第24题等，其中北京及全国卷考的就是斜面上平抛问题。
通常研究平抛运动时，是将平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来研究，但对“斜面类”平抛，若从斜面的倾角和初末速度的倾角入手，即抓住“斜面倾角的正切”、“速度倾角的正切”，比常规分解会显得更加快捷。
一平抛运动中关于位移和速度倾角的几个重要推论第一，位移倾角的正切。
如图1所示，平抛运动中关于位移和速度倾角有以下几个重要推论：二典型应用举例例1，先以初速度v1水平抛出一小球落到倾角为θ的斜面上的A点，此时速度与斜面间的夹角为α1；再以较大的初速度v2抛出另一小球落到斜面上的B点，此时速度与斜面间的夹角为a2。
则下列说法正确的是（）。
A．a1＞a2 B．a1＜a2C．a1＝α2 D．a1与a2的大小关系不确定解析：由图2可知，在A点，速度与水平方向的夹角为θ＋a1，由“推论3”得tan（θ＋a1）＝2tanθ即a1是一个只与θ有关的物理量，与初速度无关，选C。
例2，如图3所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落在B 点。
求：（1）AB间的距离；（2）物体在空间飞行的时间；（3）从抛出开始，经多长时间小球与斜面间的距离最大。
解析：（1）（2）两问的解答方法与例3相同，第（3）问，资料采用的方法是把平抛运动分解为沿斜面与垂直于斜面两个方向分解，则当物体沿垂直于斜面方向速度为零时，与斜面距离最大。
此方法虽然思路简单，但对于斜抛都不要求的教材来说较难。
笔者认为，根据几何关系，当抛体与斜面距离最远时，速度的方向与斜面AB平行，更简洁明了。
且由“推论2”直接得到抛体离斜面最远时的飞行时间t＝v0tan30°/g。
拓展：（1）物体从A运动到B，飞行时间tAB可由“推论1”得tAB＝2 v0 tan30°/g，即tAB＝2t，表明达到最大位移所用的时间恰好为飞行总时间的一半（把平抛运动分解为沿斜面与垂直于斜面两个方向分解时，也容易得到这一结论）。
力学斜抛运动与平抛运动
力学斜抛运动与平抛运动力学是研究物体运动和力的学科，斜抛运动和平抛运动是力学中常见的两种运动方式。
斜抛运动和平抛运动在日常生活和工程应用中都有广泛的应用。
本文将对斜抛运动和平抛运动的特点和相关理论进行介绍和比较，以帮助读者更好地理解和应用这两种运动方式。
一、斜抛运动斜抛运动是指物体在重力的作用下，以一定的初速度和一定的发射角度从斜面上空抛出后的运动。
在斜抛运动中，物体同时具有垂直方向和水平方向上的速度分量。
1. 特点斜抛运动的特点如下：(1) 抛体在垂直方向上受重力的作用，速度逐渐增大，运动轨迹呈自由落体运动；(2) 抛体在水平方向上速度恒定，受到水平方向的惯性作用，运动轨迹是一条直线；(3) 飞行的距离和落点位置与初速度的大小和抛射角度有关。
2. 运动规律斜抛运动的规律可以用以下公式表示：t^2，其中y为垂直方向的位移，V0y为初始速度在垂直方向上的分量，t为时间，g为重力加速度；(2) 物体在水平方向上的位移与时间的关系：x = V0x * t，其中x为水平方向的位移，V0x为初始速度在水平方向上的分量。
二、平抛运动平抛运动是指物体在不受外力干扰的情况下，以一定的初速度从水平面上抛出后的运动。
在平抛运动中，物体只有水平方向上的速度分量。
1. 特点平抛运动的特点如下：(1) 抛体在垂直方向上受重力的作用，速度逐渐增大，运动轨迹呈自由落体运动；(2) 抛体在水平方向上速度恒定，受到水平方向的惯性作用，运动轨迹是一条直线；(3) 抛体的飞行距离与初速度的大小有关，与抛射角度无关。
2. 运动规律平抛运动的规律可以用以下公式表示：t^2，其中y为垂直方向的位移，V0y为初始速度在垂直方向上的分量，t为时间，g为重力加速度；(2) 物体在水平方向上的位移与时间的关系：x = V0x * t，其中x为水平方向的位移，V0x为初始速度在水平方向上的分量。
三、斜抛运动与平抛运动的比较斜抛运动和平抛运动在运动规律和特点上有一些区别，主要表现在以下几个方面：1. 初速度分量不同：斜抛运动有垂直方向和水平方向上的速度分量，而平抛运动只有水平方向上的速度分量。
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斜面上的平抛运动一、斜面上的平抛运动○顺着斜面运动（斜面足够长）<落到斜面>1.【典型例题】如图所示，斜面倾角为θ，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到斜面B点，求：①AB间的距离；②物体在空中飞行的时间；2.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为（）答案：B 〔同类题〕3. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。
设一位运动员由山坡顶部的A 点沿水平方向飞出，到山坡上的B 点着陆。
如图所示，已知运动员水平飞行的速度为v 0=20m/s ，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面。
(取g=10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)求:(1)运动员在空中飞行的时间t ; (2)AB 间的距离s 。
答案:(1)3s (2)75m解析:(1)设运动员从A 到B 时间为t ，则有x =v 0t y =gt 2由数学关系知tan θ=y /x 所以t =3s 。
(2)A 、B 间的距离为:s = m =75m 。
〔STS 〕跳台滑雪4. 如图所示，在足够长的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4 答案：B解析：因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝12gt 21v 0t 1＝12gt 222v 0t 2，所以t 1t 2＝12。
〔延展题〕变初速度5. ［多选］如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 、e 五个点，ab ＝bc ＝cd ＝de ，从a 点以初速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点，速度方向与斜面之间的夹角为θ。
若小球从 a 点以2v0 速度水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（）A．小球将落在c点与d点之间B．小球将落在e点C．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角大于θD．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角等于θ答案：BD解析：小球落在斜面上时，速度方向与斜面间的夹角相同，D正确；小球落在e点时，下落高度为落在b点下落高度的4倍，时间为2倍，而水平速度加倍，则水平位移加倍，B 正确。
〔延展题〕变初速度6.［多选］如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd，从a点以初动能E K0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点，速度方向与斜面之间的夹角为θ；若小球从a点以初动能 2E K0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（）A．小球将落在c点B．小球将落在c下方C．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角大于θD．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角等于θ答案：AD〔延展题〕变初速度7.如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（）A．1：1 B．1：3C．16：9 D．9：16答案：D〔延展题〕变倾角8.如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速度v0向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为()A．1∶3B．1∶3C.3∶1 D．3∶1答案：B解析：设a 、b 两球运动的时间分别为t a 和t b ，则tan 30°＝12gt a 2v 0t a ＝gt a2v 0，tan 60°＝12gt b 2v 0t b＝gt b 2v 0，两式相除得：t a t b ＝tan 30°tan 60°＝13。
〔延展题〕变倾角9. (2014·孝感模拟)倾角为θ的斜面，长为l ，在顶端水平抛出一个小球，小球刚好落在斜面的底端，如图所示，那么小球的初速度v 0的大小是（ ）g g A.cos B.cos sin 2sin g g C.sin D.sin 2cos cos θθθθθθθθll ll答案：B解析：小球运动为平抛运动，水平方向为匀速直线运动x =v 0t ，竖直方向y =gt 2。
由斜面的几何关系可得，x =l cos θ，y =l sin θ，解得t =02sin x cos g v cos g t 2sin 2sin gθθ==θθθ，＝，l l ll B 对。
〔异类题〕位移三角10. 如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经3.0 s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g 取10 m/s 2)求： (1)A 点与O 点的距离L ；(2)运动员离开O 点时的速度大小． 答案：(1)75 m (2)20 m/s解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝12gt 2A 点与O 点的距离L ＝gt22sin 37°＝75 m(2)设运动员离开O 点时的速度为v 0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos 37°＝v 0t解得v 0＝Lcos 37°t ＝20 m/s〔异类题〕位移三角11. ［多选］倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB ∶BC ∶CD=5∶3∶1，由此可判断（ ）A .A 、B 、C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B .A 、B 、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度的夹角之比为1∶1∶1C .A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D .A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 答案：BC解析：由于沿斜面AB ∶BC ∶CD =5∶3∶1，故三个小球竖直位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A 项错误;斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α=2tan θ，与小球抛出时的速度大小和位置无关，因此B 项正确;同时tan α=，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C 项正确;三个小球的运动轨迹(抛物线)在D 点相切，因此不会在空中相交，D 项错误。
〔异类题〕位移三角切入12. 【2008·高考全国卷I 】如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。
物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（ ）A.θϕsin tan =B.θϕcos tan =C.θϕtan tan =D.θϕtan 2tan = 答案：D解析：竖直速度与水平速度之比为：0tan v gt=ϕ，竖直位移与水平位移之比为：tv gt0221tan =θ ，故θϕtan 2tan =，D 正确。
考点：推论 <离斜面最远>13. 【典型例题】如图所示，从倾角为θ的斜坡顶端以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，设斜坡足够长，则①从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？②小球抛出后离开斜坡的最大距离H 是多少?答案：θθ2gcos sin v 220 14. 芬兰小将拉林托以两跳240.9分的成绩在跳台滑雪世界杯芬兰站中获得冠军．如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，拉林托从助滑雪道AB 上由静止开始滑下，到达C 点后水平飞出，落到滑道上的D 点，E 是运动轨迹上的某一点，在该点拉林托的速度方向恰好与轨道CD 平行，设拉林托从C 到E 与从E 到D 的运动时间分别为t 1、t 2，EF 垂直CD ，则（ ） A ．t 1＝t 2，CF ＝FD B ．t 1＝t 2，CF <FDC ．t 1>t 2，CF ＝FD D ．t 1>t 2，CF <FD答案：B解析：将拉林托的运动分解为平行于滑道CD 的匀加速直线运动和垂直于滑道CD 方向的类似竖直上抛运动，则由类似竖直上抛运动的对称性可知t 1＝t 2，因在平行CD 方向拉林托做匀加速运动，所以CF <FD ，B 对． 〔延展题〕 （斜面不够长）15. ［多选］如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O 有一小球，从静止释放，运动到底端B 的时间为t 1，若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A 点，经过的时间为t 2，落到斜面底端B 点，经过的时间为t 3，落到水平面上的C 点，经过的时间为t 4，则（ ） A .t 2>t 1 B .t 3>t 2 C .t 4>t 3 D .t 1>t 4答案：BD解析：设斜面高为h ，底角为θ，则当小球沿斜面下滑时，其加速度a =gsin θ，由=a得t 1=，小球平抛时，由h =gt 2得t 3=t 4=>t 2=，故t 1>t 3=t 4>t 2，选项A 、C 错误，B 、D 正确。
16. ［多选］如图所示，小球从倾角为θ的斜面顶端A 点以速率v 0做平抛运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若小球落到斜面上，则v 0越大，小球飞行时间越长B ．若小球落到斜面上，则v 0越大，小球末速度与竖直方向的夹角越大C ．若小球落到水平面上，则v 0越大，小球飞行时间越长D ．若小球落到水平面上，则v 0越大，小球末速度与竖直方向的夹角越大 答案：AD解析：若小球落到斜面上，则v 0越大，水平位移越大，小球竖直位移也越大，小球飞行时间越长，选项A 正确，无论平抛运动的初速度v 0为多大，若小球落到斜面上，小球末速度与竖直方向的夹角相等，选项B 错误；若小球落到水平面上，无论v 0为多大，小球飞行时间都相等，选项C 错误；若小球落到水平面上，小球末速度与竖直方向的夹角的正切值为tan α＝v 0v y，v y 大小恒定，故v 0越大，夹角α越大，选项D 正确。
（斜面内侧抛）17. 如图所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB 与水平地面间的夹角为45°，A 点到地面的距离为1 m ．已知重力加速度g 取10 m/s 2，空气的阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m 的C 点以水平速度v 0跳出，要到达蛛丝，水平速度v 0至少为（ ） A ．1 m/s B ．2 m/s C ．2.5 m/s D ． 5 m/s答案：B解析：由平抛运动规律，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，如图所示由几何关系有：x ＝y ＋0.2 m ，在D 点，速度方向与AB 平行，则有v 0＝gt ，联立解得：t ＝0.2 s ，v 0＝2 m /s .考点：位移三角，速度三角○对着斜面运动18. 【典型例题】如图所示，以v 0＝9.8 m/s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上．可知物体完成这段飞行所用的时间是（ ）A.33 s B.233 s C. 3 s D ．2 s答案：C解析：根据题意，可知物体与斜面相撞时的速度v t 跟竖直方向的夹角等于θ(θ＝30°)，如图所示．根据平抛运动性质，将v t 分解成水平分量和竖直分量：v t ·sin θ＝v 0，v t ·cos θ＝gt 可知物体在空中飞行的时间t ＝v 0gcot θ＝3 s ．选项C 正确．19. 【典型例题】［多选］如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是（ ）A ．若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0cot θgB ．若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0cot θgC ．若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0cot θgD ．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为t ＝2v 0tan θg答案：AB解析：小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与水平方向的夹角为π2－θ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝y x ＝gt 2v 0，即t ＝2v 0cot θg ，A 正确，D 错误；小球垂直击中斜面时，速度与水平方向的夹角为π2－θ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝gt v 0，即t ＝v 0cot θg ，B 正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2，联立两式得t ＝2v 0tan θg ，C 错误。