2-3斜面上的平抛运动

斜面上的平抛运动
一、斜面上的平抛运动
○顺着斜面运动
（斜面足够长）
<落到斜面>
1.【典型例题】如图所示，斜面倾角为θ，小球从A点以初速度v0
水平抛出，恰好落到斜面B点，求：
①AB间的距离；
②物体在空中飞行的时间；
2.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，
它落到斜面上B点所用的时间为（）
答案：B 〔同类题〕
3. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。

设一位运动员由山坡顶部的A 点沿水平方向飞出，到山坡上的B 点着陆。

如图所示，已知运动员水平飞行的速度为v 0=20m/s ，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面。

(取g=10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)求:
(1)运动员在空中飞行的时间t ; (2)AB 间的距离s 。

答案:(1)3s (2)75m
解析:(1)设运动员从A 到B 时间为t ，则有
x =v 0t y =gt 2
由数学关系知tan θ=y /x 所以t =3s 。

(2)A 、B 间的距离为:
s = m =75m 。

〔STS 〕跳台滑雪
4. 如图所示，在足够长的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4 答案：B
解析：因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝
12gt 21
v 0t 1
＝12
gt 22
2v 0t 2，所以t 1t 2＝1
2。

〔延展题〕变初速度
5. ［多选］如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 、e 五个点，ab ＝bc ＝cd ＝de ，从a 点以初速
度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点，速度方向与斜面之间的夹角为θ。

若小球从 a 点以2v0 速度水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（）
A．小球将落在c点与d点之间
B．小球将落在e点
C．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角大于θ
D．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角等于θ
答案：BD
解析：小球落在斜面上时，速度方向与斜面间的夹角相同，D正确；小球落在e点时，下落高度为落在b点下落高度的4倍，时间为2倍，而水平速度加倍，则水平位移加倍，B 正确。

〔延展题〕变初速度
6.［多选］如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd，从a点以初动能E K0水
平抛出一个小球，它落在斜面上的b点，速度方向与斜面之间的
夹角为θ；若小球从a点以初动能 2E K0水平抛出，不计空气阻
力，则下列判断正确的是（）
A．小球将落在c点
B．小球将落在c下方
C．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角大于θ
D．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角等于θ
答案：AD
〔延展题〕变初速度
7.如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个小球以同样大
小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计
空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（）
A．1：1 B．1：3
C．16：9 D．9：16
答案：D
〔延展题〕变倾角
8.如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速度v0向左、向右
水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30°和
60°，则两小球a、b运动时间之比为()
A．1∶3B．1∶3
C.3∶1 D．3∶1
答案：B
解析：设a 、b 两球运动的时间分别为t a 和t b ，则tan 30°＝12gt a 2v 0t a ＝gt a
2v 0，tan 60°＝12gt b 2v 0t b
＝
gt b 2v 0，两式相除得：t a t b ＝tan 30°tan 60°＝1
3。

〔延展题〕变倾角
9. (2014·孝感模拟)倾角为θ的斜面，长为l ，在顶端水平抛出一个小球，小球刚好落在斜面的底端，如图所示，那么小球的初速度v 0的大小是（ ）
g g A.cos B.cos sin 2sin g g C.sin D.sin 2cos cos θθθ
θθ
θθ
θ
l
l l
l
答案：B
解析：小球运动为平抛运动，水平方向为匀速直线运动x =v 0t ，竖直方向y =gt 2。

由斜面的几何关系可得，x =l cos θ，y =l sin θ，解得t =
02sin x cos g v cos g t 2sin 2sin g
θθ==θθθ
，＝，l l l
l B 对。

〔异类题〕位移三角
10. 如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经3.0 s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g 取10 m/s 2)求： (1)A 点与O 点的距离L ；
(2)运动员离开O 点时的速度大小． 答案：(1)75 m (2)20 m/s
解析：(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有
Lsin 37°＝12
gt 2
A 点与O 点的距离L ＝gt
2
2sin 37°
＝75 m
(2)设运动员离开O 点时的速度为v 0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos 37°＝v 0t
解得v 0＝Lcos 37°
t ＝20 m/s
〔异类题〕位移三角
11. ［多选］倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛
出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB ∶BC ∶CD=5∶3∶1，由此可判断（ ）
A .A 、
B 、
C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B .A 、B 、
C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度的夹角之比为1∶1∶1
C .A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D .A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 答案：BC
解析：由于沿斜面AB ∶BC ∶CD =5∶3∶1，故三个小球竖直位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A 项错误;斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α=2tan θ，与小球抛出时的速度大小和位置无关，因此B 项正确;同时tan α=
，所以
三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C 项正确;三个小球的运动轨迹(抛物线)在D 点相切，因此不会在空中相交，D 项错误。

〔异类题〕位移三角切入
12. 【2008·高考全国卷I 】如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。

物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（ ）
A.θϕsin tan =
B.θϕcos tan =
C.θϕtan tan =
D.θϕtan 2tan = 答案：D
解析：竖直速度与水平速度之比为：0
tan v gt
=
ϕ，竖直位移与水平位移之比为：t
v gt
0221tan =θ ，故θϕtan 2tan =，D 正确。

考点：推论 <离斜面最远>
13. 【典型例题】如图所示，从倾角为θ的斜坡顶端以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，设斜坡足够长，则
①从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？
②小球抛出后离开斜坡的最大距离H 是多少?
答案：θ
θ2gcos sin v 2
20 14. 芬兰小将拉林托以两跳240.9分的成绩在跳台滑雪世界杯芬兰站中获得冠军．如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，拉林托从助滑雪道AB 上由静止开始滑下，到达C 点后水平飞出，落到滑道上的D 点，E 是运动轨迹上的某一点，在该点拉林托的速度方向恰好与轨道CD 平行，设拉林托从C 到E 与从E 到D 的运动时间分别为t 1、t 2，EF 垂直CD ，则（ ） A ．t 1＝t 2，CF ＝FD B ．t 1＝t 2，CF <FD
C ．t 1>t 2，CF ＝F
D D ．t 1>t 2，CF <FD
答案：B
解析：将拉林托的运动分解为平行于滑道CD 的匀加速直线运动和垂直于滑道CD 方向的类似竖直上抛运动，则由类似竖直上抛运动的对称性可知t 1＝t 2，因在平行CD 方向拉林托做匀加速运动，所以CF <FD ，B 对． 〔延展题〕 （斜面不够长）
15. ［多选］如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O 有一小球，从静止释放，运动到底端B 的时间为t 1，若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A 点，经过的时间为t 2，落到斜面底端B 点，经过的时间为t 3，落到水平面上的C 点，经过的时间为t 4，则（ ） A .t 2>t 1 B .t 3>t 2 C .t 4>t 3 D .t 1>t 4
答案：BD
解析：设斜面高为h ，底角为θ，则当小球沿斜面下滑时，其加速度a =gsin θ，由=a
得t 1=
，小球平抛时，由h =gt 2得t 3=t 4=
>t 2=，故t 1>t 3=t 4>t 2，选项
A 、C 错误，
B 、D 正确。

16. ［多选］如图所示，小球从倾角为θ的斜面顶端A 点以速率v 0做平抛运动，则下列说法正确的是（ ）
A ．若小球落到斜面上，则v 0越大，小球飞行时间越长
B ．若小球落到斜面上，则v 0越大，小球末速度与竖直方向的夹角越大
C ．若小球落到水平面上，则v 0越大，小球飞行时间越长
D ．若小球落到水平面上，则v 0越大，小球末速度与竖直方向的夹角越大 答案：AD
解析：若小球落到斜面上，则v 0越大，水平位移越大，小球竖直位移也越大，小球飞行时间越长，选项A 正确，无论平抛运动的初速度v 0为多大，若小球落到斜面上，小球末速度与竖直方向的夹角相等，选项B 错误；若小球落到水平面上，无论v 0为多大，小球飞行时间都相等，选项C 错误；若小球落到水平面上，小球末速度与竖直方向的夹角的正切值为tan α＝v 0v y
，v y 大小恒定，故v 0越大，夹角α越大，选项D 正确。

（斜面内侧抛）
17. 如图所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB 与水平地面间的夹角为45°，A 点到地面的距离为1 m ．已知重力加速度g 取10 m/s 2，空气的阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m 的C 点以水平速度v 0跳出，要到达蛛丝，水平速度v 0至少为（ ） A ．1 m/s B ．2 m/s C ．2.5 m/s D ． 5 m/s
答案：B
解析：由平抛运动规律，x ＝v 0t ，y ＝1
2gt 2，如图所示由几何关系有：x ＝y ＋0.2 m ，在D 点，
速度方向与AB 平行，则有v 0＝gt ，联立解得：t ＝0.2 s ，v 0＝2 m /s .
考点：位移三角，速度三角
○对着斜面运动
18. 【典型例题】如图所示，以v 0＝9.8 m/s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上．可知物体完成这段飞行所用的时间是（ ）
A.
3
3 s B.233 s C. 3 s D ．2 s
答案：C
解析：根据题意，可知物体与斜面相撞时的速度v t 跟竖直方向的夹角等于θ(θ＝30°)，如图所示．根据平抛运动性质，将v t 分解成水平分量和竖直分量：
v t ·sin θ＝v 0，v t ·cos θ＝gt 可知物体在空中飞行的时间
t ＝v 0g
cot θ＝
3 s ．选项C 正确．
19. 【典型例题】［多选］如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是（ ）
A ．若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0cot θ
g
B ．若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0cot θ
g
C ．若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0cot θ
g
D ．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为t ＝2v 0tan θ
g
答案：AB
解析：小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与水平方向的夹角为π
2
－θ，则
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝y x ＝gt 2v 0，即t ＝2v 0cot θg ，A 正确，D 错误；小球垂直击中斜面时，速度与水平
方向的夹角为π2－θ，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ＝gt v 0，即t ＝v 0cot θg ，B 正确；小球击中斜面中点时，令
斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2
，联立两式得t ＝2v 0tan θ
g ，
C 错误。

20. 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）
A ．tan θ
B ．2tan θ
C ．1tan θ
D ．1
2tan θ
答案：D
解析：如图所示，设小球抛出时的初速度为v 0，则
v x ＝v 0
① v y ＝v 0cot θ ② v y ＝gt ③ x ＝v 0t
④ y ＝v 2y
2g
⑤ 解①②③④⑤得：y
x ＝
1
2tan θ
，D 正确．
考点：速度三角，推论
21. 『高三综合』 (2018·青岛模拟)如图所示是研究平抛运动的实验装置，正方形白纸ABCD 贴在方木板上，E 、F 、H 是对应边的中点，P 是EH 的中点。

金属小球从倾斜轨道上由静止开始下滑，从F 点开始做平抛运动，恰好从C 点射出。

以下说法正确的是( ) A ．小球的运动轨迹经过P 点 B ．小球的运动轨迹经过PH 之间某点
C ．若将小球在轨道上的释放高度降低3
4，小球恰好由E 点射出
D ．若将小球在轨道上的释放高度降低3
4，小球恰好由BE 中点射出
答案：C
解析：小球从F 点开始做平抛运动，其轨迹是抛物线，则过C 点做速度的反向延长线一定与水平位移交于FH 的中点，而延长线又经过P 点，所以轨迹一定经过PE 之间某点，故A 、B 错误；设正方形白纸的边长为2h ，则平抛运动的水平位移x ＝2h ，时间t ＝
2h
g
，初速度
v ＝2gh ，若将小球在轨道上的释放高度降低34
，则到达F 点的速度变为原来的一半，即v ′
＝
2gh
2
，时间不变，水平位移变为x ′＝h ，小球恰好由E 点射出，故C 正确，D 错误。

考点：位移三角，推论，动能定理
22. 如图所示，A 、D 分别是斜面的顶端、底端，B 、C 是斜面上的两个点，AB ＝BC ＝CD ，E 点在D 点的正上方，与A 等高，从E 点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B 点，球2落在C 点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（ ）
A ．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B ．球1和球2动能增加量之比为1∶3
C ．球1和球2抛出时初速度之比为22∶1
D ．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2 答案：C
解析：因为AC =2AB ，则AC 的高度差是AB 高度差的2倍，根据2
12
h gt
，解得球1和球2运动的时间比为1：根号2．故A 错误；根据机械能守恒定律，mgh =△E k ，知球1和球2动能增加量之比为1：2．故B 错误；AC 在水平方向上的位移是AB 在水平方向位移的2倍，结合x =v 0t ，解得初速度之比为22：1．故C 正确；平抛运动的物体只受重力，加速度为g ，故两球的加速度相同．故D 错误。

【名师点睛】本题主要考查了平抛运动，属于中等难度的题目。

平抛运动与斜面相结合的问题，一致是大型考试中的重难点，解决这类问题的关键是充分理解斜面的倾角的作用，根据几何关系和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律解决问题。

考点：位移三角，几何
23. ★(2018·邯郸一中调研)如图，斜面AC 与水平方向的夹角为α，在A 点正上方与C 等高处水平抛出一小球，其速度垂直于斜面落到D 点，则CD 与DA 的比为( )
A.1tan α
B.12tan α
C.1
tan 2α D.12tan 2α
答案：D
解析：设小球水平方向的速度为v 0，将D 点的速度进行分解，水平方向的速度等于平抛运动的初速度，通过几何关系求解，得竖直方向的末速度为v 2＝v 0
tan α
，设该过程用时为t ，则
DA 间水平距离为v 0t ，故DA ＝
v 0t cos α；CD 间竖直距离为v 2t 2，故CD ＝v 2t 2sin α，得CD DA ＝1
2tan 2α
，故D 正确。

考点：速度三角，几何
24. 『高三综合』如图所示，一小球以速度v 0从倾角为α＝53°的斜面顶端A 处水平抛出，垂直落到在斜面底端与斜面垂直的挡板上的B 点，已知重力加速度为g ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）
A ．小球到达
B 点的速度大小为5
4
v 0
B ．斜面的长度为4v 20
5g
C ．小球到达B 点时重力的瞬时功率为5
3
mgv 0
D ．B 点到水平面的高度为8v 20
25g
答案：D
解析：由小球以速度v 0从倾角为α＝53°的斜面顶端A 处水平抛出，垂直落到在斜面底端与斜面垂直的挡板上的B 点，知挡板与水平面的夹角为37°，落到挡板上时的速度v B ＝
v 0
sin 37°＝53v 0，A 错误；竖直速度为v y ＝v 0tan 37°＝43v 0，所以在B 点时重力的瞬时功率为mgv y ＝43
mgv 0，C 错误；平抛下落的高度为h ＝v 2y 2g ＝8v 209g ，平抛的时间为t ＝v y g ＝4v 0
3g ，水平位移为x ＝v 0t ＝4v 203g ，
所以斜面的长度为L ＝h
sin 53°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4v 20
3g －h tan 53°sin 37°＝68v 2045g
，B 错误，B 点到水平面的高
度为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4v 20
3g －h tan 53°cos 37°sin 37°＝8v 2025g ，D 正确。

考点：速度三角，功率，几何
25. ★如图所示是倾角为45°的斜坡，在坡底P 点正上方Q 处以速度v 0水平向左抛出一个小球A ，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t 1，小球B 从同一点Q 处自由下落，下落至P 点的时间为t 2，不计空气阻力，则t 1：t 2为（ ） A ．1：2 B ．1： 2 C ．1：3 D ．1：3
答案：D
解析：对小球A ，设垂直落在斜坡上对应的竖直高度为h ，则有h ＝gt 212，h v 0t 1＝v y
2v 0＝12，解
得小球A 的水平位移为2h ，所以小球B 运动时间t 2对应的竖直高度为3h ，即3h ＝gt 22
2
，t 1
t 2＝1
3.
考点：速度三角，推论，几何，多体
26. (2015·重庆三校联考)如图所示，倾角为37°的斜面长l ＝1.9 m ，在斜面底端正上方的O 点将一小球以速度v 0＝3 m/s 水平抛出，与此同时释放在顶端静止的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块(小球和滑块均视为质点，重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。

求：
(1)抛出点O 离斜面底端的高度； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。

答案：(1)1.7 m (2)0.125
解析：(1)设小球击中滑块时的速度为v ，竖直速度为v y
由几何关系得：v 0v y
＝tan 37°①
设小球下落的时间为t ，竖直位移为y ，水平位移为x ，由运动学规律得 v y ＝gt ② y ＝1
2gt 2③
x ＝v 0t ④
设抛出点到斜面最低点的距离为h ，由几何关系得 h ＝y ＋x tan 37°⑤
由①②③④⑤得：h ＝1.7 m
(2)在时间t 内，滑块的位移为s ，由几何关系得
s ＝l －x
cos 37°
⑥
设滑块的加速度为a ，由运动学公式得s ＝1
2at 2⑦
对滑块，由牛顿第二定律得 mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma ⑧ 由①②④⑥⑦⑧得：μ＝0.125 考点：速度三角，动力学，多体 “落地水平面”的设定
27. 如图所示，斜面上a 、b 、c 三点等距，小球从a 点正上方O 点抛出，做初速为v 0的平抛运动，恰落在b 点。

若小球初速变为v ，其落点位于c ，则（ ） A ．v 0<v <2v 0 B ．v ＝2v 0 C ．2v 0<v <3v 0 D ．v >3v 0
答案：A
解析 如图所示，M 点和b 点在同一水平线上，M 点在c 点的正上方。

根据平抛运动的规律，若v ＝2v 0，则小球落到M 点。

可见以初速2v 0平抛小球不能落在c 点，只能落在c 点右边的斜面上，故只有选项A 正确。

28. 如图所示，斜面上有a ，b ，c ，d 四个点，ab=bc=cd.从a 点正上方的O 点以速度v 水平
抛出一个小球，它落在斜面上b 点.若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ） A ．b 与c 之间某一点 B ．c 点
C ．c 与d 之间某一点
D ．d 点 答案：A
解析：如图所示，作c 点在竖直方向的投影点c′，则以2v 抛出的小球应落在c′点，所以碰上斜面的话，就应在b 与c 之间.
二、弧面上的平抛运动
29. 【典型例题】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g ，则AB 之间的水平距离为（ ） A.v 20tan αg
B.2v 20tan αg
C.v 20g tan α
D.2v 20g tan α
答案：A
解析：由小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道可知小球速度方向与水平方向夹角为α.由tan α＝gt /v 0，x ＝v 0t ，联立解得AB 之间的水平距离为x ＝v 20tan αg
，选项A 正确．
考点：速度三角
30. 如图所示为四分之一圆柱体OAB 的竖直截面，半径为R ，在B 点上方的C 点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D 点与圆柱体相切，OD 与OB 的夹角为60°，则C 点到B 点的距离为（ ） A ．R B ．R 2
C ．3R 4
D ．R 4
答案：D
解析：设小球平抛运动的初速度为v 0，将小球在D 点的速度沿竖直方向和水平方向分解，则有v y v 0
＝tan 60°，得
gt v 0
＝3。

小球平抛运动的水平位移x ＝R sin 60°，x ＝v 0t ，解得v 20＝
Rg
2
，
v 2y
＝
3Rg 2。

设平抛运动的竖直位移为y ，v 2y ＝2gy ，解得y ＝3R 4，则BC ＝y －(R －R cos 60°)＝R
4
，
D 选项正确。

考点：速度三角
31. (2014·宝鸡模拟)如图所示，在水平放置的半径为R 的圆柱体的正上方的P 点将一个小球以水平速度v 0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q 点沿切线飞过，测得O 、Q 连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（ ） A ．t = B ．t = C ．t =
D ．t =
答案：C
解析：小球做平抛运动，tan θ==
，则时间t =
，选项A 、B 错误;在水平方向上
有Rsin θ=v 0t ，则t =，选项C 正确，选项D 错误。

考点：速度三角
32. (2018·商丘一中押题卷)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点。

O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( ) A ．3gR
2 B ．33gR
2 C ．3gR
2
D ．
3gR
3
答案：B
解析：飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，则知速度与水平方向的夹角为30°，则有：
v y ＝v 0tan 30°，
又v y ＝gt ，则得：v 0tan 30°＝gt ，t ＝
v 0tan 30°
g
① 水平方向上小球做匀速直线运动，则有：
R ＋R cos 60°＝v 0t ②
联立①②解得：v 0＝ 33gR
2。

考点：速度三角，几何
33. (2018·沧州一中月考)如图，竖直平面内有一段圆弧MN ，小球从圆心O 处水平抛出；若
初速度为v a ，将落在圆弧上的a 点；若初速度为v b ，将落在圆弧上的b 点；已知Oa 、Ob 与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则( ) A ．v a v b ＝sin αsin β
B ．v a v b
＝
cos β
cos α
C ．v a v b ＝cos βcos α
sin α
sin β
D ．v a v b ＝sin αsin β
cos β
cos α
答案：D
解析：对落在a 点的小球，根据R cos α＝12
gt 12
得，t 1＝
2R cos αg ，则v a ＝R sin α
t 1
＝
R sin α
g
2R cos α；对落在b 点的小球，根据R cos β＝12
gt 22
得，t 2＝
2R cos β
g
，
则v b ＝
R sin β
t 2＝R sin β g
2R cos β，解得v a v b ＝sin αsin β
cos β
cos α
，答案为D 。

考点：位移三角
34. ★[多选](2018·长沙联考)在某次高尔夫球比赛中，美国选手罗伯特－斯特布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内bc 表面为1
4球面，半径为R ，且空气阻力可忽略，重力加
速度大小为g ，把此球以大小不同的初速度v 0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说法正确的是( ) A ．落在球面上的最大速度为22gR B ．落在球面上的最小速度为
3gR
C ．小球的运动时间与v 0大小无关
D ．无论调整v 0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上 答案：BD
解析： 平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h ＝12gt 2
，得t
＝
2h
g。

设小球落在A 点时，OA 与竖直方向之间的夹角为θ，水平方
向的位移为x ，竖直方向的位移为y ，到达A 点时竖直方向的速度为v y ，
则x ＝v 0t ＝R sin θ，y ＝v y 22g ＝gt 22＝R cos θ，得v y 2＝2gR cos θ，v 02
＝gR sin 2θ2cos θ，又由v t ＝
v 02
＋v y 2
＝
gR sin 2θ
2cos θ
＋2gR cos θ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos θ＋12cos θgR ，所以落在球面上的小球有最小速度，当32cos θ＝1
2cos θ时，速度最小，最小速度为
3gR ，故A 错误，B 正确；
由以上的分析可知，小球下落的时间t ＝v y
g
＝
2R cos θ
g
，其中cos θ与小球的初速度
有关，故C 错误；小球撞击在球面上时，根据“平抛运动速度的反向延长线交于水平位移的
中点”结论可知，由于O 点不在水平位移的中点，所以小球撞在球面上的速度反向延长线不可能通过O 点，也就不可能垂直撞击在球面上，故D 正确。

考点：位移三角，推论，不等式
35. 图中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB 上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B 点的正上方。

竖直面内的半圆弧BCD 的半径R ＝2.0 m ，直径BD 水平且与轨道AB 处在同一竖直面内，小孔P 和圆心O 连线与水平方向夹角为37°。

游戏要求弹丸垂直于P 点圆弧切线方向射入小孔P 就能进入下一关。

为了能通关，弹射器离B 点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( ) A ．0.15 m,4 3 m/s B ．1.50 m,4 3 m/s C ．0.15 m,2 6 m/s D ．1.50 m,2 6 m/s
答案：A
解析：设弹射器离B 点高度为h ，弹丸射出的初速度为v 0。

则有(1＋cos 37°)R ＝v 0t ，h ＋R sin 37°＝12gt 2，tan 37°＝gt
v 0，解得h ＝0.15 m ，v 0＝4 3 m/s ，A 正确。

考点：位移三角，几何
36. 【典型例题】如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O 为圆心，AB 为沿水平方向的直径。

若在A 点以初速度v 1沿AB 方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D 点；而在C 点以初速度v 2沿BA 方向平抛的小球也能击中D 点。

已知∠COD ＝60°，则两小球初速度大小之比v 1∶v 2(小球视为质点) （ ）
A ．1∶2
B ．1∶3 C.3∶2 D.6∶3
答案：D
解析：小球从A 点平抛：R ＝v 1t 1，R ＝1
2gt 21，小球从C 点平抛：R sin 60°＝v 2t 2，R (1－cos 60°)＝12gt 22，联立解得v 1v 2＝63，故选项D 正确。

考点：位移三角，多体
37. ★[多选](2018·乌鲁木齐二模)如图所示，水平地面有一个坑，其竖直截面为半圆形，ab 为沿水平方向的直径，在a 点分别以初速度v 0(已知)、2v 0、3v 0沿ab 方向抛出三个石子并击中坑壁，且以v 0、2v 0抛出的石子做平抛运动的时间相等。

设以v 0和3v 0抛出的石子做平抛运动的时间分别为t 1和t 3，击中坑壁瞬间的速度分别为v 1和v 3，则( ) A ．可以求出t 1和t 3
B ．不能求出t 1和t 3，但能求出它们的比值
C ．可以求出v 1和v 3
D ．不能求出v 1和v 3，但能求出它们的比值 答案：AC
解析：做平抛运动的物体在任意时间的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

如图1所示，做平抛运动的物体在任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为
θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tan θ＝2tan φ。

以v 0、2v 0抛出的石子做平抛运
动的时间相等，说明竖直分位移相等，设分别落在A 、B 点，如图2所示。

以3v 0抛出的石子其运动轨迹与AB 延长线的交点在b 点的正下方。

根据几何关系有AB ＝1
3ab 。

对于落在A
点的石子，设ab ＝2R ，根据几何关系可求得竖直位移与水平位移之比，根据上述推论求竖直分速度与水平分速度之比，从而求出竖直分速度，再合成求出v 1，由公式v y ＝at 求t 1。

以3v 0抛出的石子落在c 点，根据数学知识可写出其轨迹方程和圆方程，再求得c 点的坐标，与落在A 点的石子下落位移比较，可求得落在c 点时的竖直分速度，从而求出v 3。

由公式
v y ＝at 求t 3。

故A 、C 正确，B 、D 错误。

考点：位移三角，几何，圆与抛物线的函数。