专题10 指数函数(解析版)
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即 越大 越大
即原函数单调增区间为 ， ；
当 时， 为减函数， 是 的增函数，
由 越大推出 越小， 越小推出 越小，
即 越大 越小
即原函数单调减区间为 ， ．
证明同上．
（2）函数 的值域为
A． B． C． ， D． ，
【解答】解：令
单调递减
即
故选： ．
（3）当 时，函数 的值域为
A． ， B． ， C． ， D． ，
即 或 （舍 ，
解得 ，
综上3或 ；
故答案为：3或 ；
5．求函数 的定义域、值域和单调区间．
【解答】解：函数 的定义域为 ；
令 ，则 ，
， ，
， ，
即函数 的值域为 ， ，
在 ， 上为增函数，在 ， 上为减函数，
为减函数，
函数 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ，
6．已知 ．
（1）判断函数的奇偶性；
专题10 指数函数
模块一：指数幂运算
1．根式
⑴如果存在实数 ，使得 ( ， ， )，则 叫做 的 次方根．
⑵当 有意义的时候， 叫做根式， 叫做根指数．
⑶根式的性质：① ，( ，且 )；②
2．分数指数
⑴规定正数的正分数指数幂的意义：
⑵规定正数的负分数指数幂的意义：
3．实数指数幂的运算法则
； ； （其中 ， ，对任意实数 ， ）．
；
， ， ， ，
；即 ；
上的减函数．
例6.已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 ， 的值；
（2）若 在 上是增函数，求不等式 的解集．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1） 定义域为 的函数 是奇函数，
由题意知函数 为定义在 上的奇函数可知 ，解得
由 （1），知 ，解得 ．
（2）由 在 上是增函数且为奇函数，
（2）证明 是定义域内的增函数；
（3）求 的值域．
【解答】（1） ， 为奇函数
（2）
在 上任取 ， ，且
，
而 在 上为增函数， ，即
在 上为增函数．
（3） ，而 ，即 ， ．
所以 的值域是 ．
即 ，则有 ，
解得 ，
不等式 的解集为 ．
例7.已知函数 是 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）证明：函数 是 上的增函数；
（3）是否存在 使 对任意 ， 均成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 函数 是 上的奇函数．
，Fra Baidu bibliotek
解得 ．
证明：（2）由（1）知 ，定义域为 ，
故答案为： ．
3．已知 ，则 7； ．
【解答】解： ，
，
，
，
．
故答案为： ．
4．如果函数 在区间 ， 上的最大值是14，则实数 的值为．
【解答】解：设 ，则函数等价为 ，
对称轴为 ，
若 ，则 ，
此时函数的最大值为 （a） ，即 ，
即 或 ，
即 或 （舍 ，
若 ，则 ，
此时函数的最大值为 ，即 ，
即 或 ，
在 上任取 ， ，令 ，
， ， ， ，
，
函数 是 上的增函数．
解：（3）假设存在 使 对任意 ， 均成立，
在 上既是奇函数，又是增函数，
对任意 ， 均成立，
，即 ，
，解得 ．
的取值范围是 ， ．
课后作业：
1.已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
， ，
，
故选： ．
2． ．
【解答】解： ．
模块三：指数型复合函数
重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题
考点3：
例4.（1）求函数 的定义域、值域和单调区间．
【解答】解：根据题意，函数的定义域显然为 ．
令 ．
是 的增函数，
当 时， （1） ，而 ．
，即值域为 ， ．
当 时， 为增函数， 是 的增函数，
由 越大推出 越大， 越大推出 越大
【解答】解： ，
设 ，
， ，
则函数等价为 ，
，
，
即函数的值域为 ， ．
故选： ．
例5.已知定义域为 的函数 是奇函数．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）判断并用定义法证明函数 的单调性．
【解答】解：（Ⅰ） 是 上的奇函数，
，则 ，解得 ，
的解析式为 ；
（Ⅱ） ，
是 上的减函数；
证明如下：在 上任取 ，
则
图象
定义域
值域
性质
⑴ 过定点 ，即 时，
⑵ 在 上是减函数
⑵ 在 上是增函数
考点2：
例3.(1)已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
， ，
又 ， ，
又 ，
．
故选： ．
(2)已知 ； ； ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 为减函数， ，
故 ，
为增函数， ，
故 ，
故 ，
故选： ．
考点1：
例1.（1） ．
【解答】解： ，
故答案为：110
例2.（1）已知 ， 且 ，求 的值．
【解答】解： ，①
又 ， ，②
．
， ．③
将②、③代入①式得 ．
（2）已知 ，求 的值．
【解答】解：由 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
模块二：指数函数图像的应用
指数函数：一般地，函数 且 ， 叫做指数函数.
指数函数图象与性质：
即原函数单调增区间为 ， ；
当 时， 为减函数， 是 的增函数，
由 越大推出 越小， 越小推出 越小，
即 越大 越小
即原函数单调减区间为 ， ．
证明同上．
（2）函数 的值域为
A． B． C． ， D． ，
【解答】解：令
单调递减
即
故选： ．
（3）当 时，函数 的值域为
A． ， B． ， C． ， D． ，
即 或 （舍 ，
解得 ，
综上3或 ；
故答案为：3或 ；
5．求函数 的定义域、值域和单调区间．
【解答】解：函数 的定义域为 ；
令 ，则 ，
， ，
， ，
即函数 的值域为 ， ，
在 ， 上为增函数，在 ， 上为减函数，
为减函数，
函数 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ，
6．已知 ．
（1）判断函数的奇偶性；
专题10 指数函数
模块一：指数幂运算
1．根式
⑴如果存在实数 ，使得 ( ， ， )，则 叫做 的 次方根．
⑵当 有意义的时候， 叫做根式， 叫做根指数．
⑶根式的性质：① ，( ，且 )；②
2．分数指数
⑴规定正数的正分数指数幂的意义：
⑵规定正数的负分数指数幂的意义：
3．实数指数幂的运算法则
； ； （其中 ， ，对任意实数 ， ）．
；
， ， ， ，
；即 ；
上的减函数．
例6.已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 ， 的值；
（2）若 在 上是增函数，求不等式 的解集．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1） 定义域为 的函数 是奇函数，
由题意知函数 为定义在 上的奇函数可知 ，解得
由 （1），知 ，解得 ．
（2）由 在 上是增函数且为奇函数，
（2）证明 是定义域内的增函数；
（3）求 的值域．
【解答】（1） ， 为奇函数
（2）
在 上任取 ， ，且
，
而 在 上为增函数， ，即
在 上为增函数．
（3） ，而 ，即 ， ．
所以 的值域是 ．
即 ，则有 ，
解得 ，
不等式 的解集为 ．
例7.已知函数 是 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）证明：函数 是 上的增函数；
（3）是否存在 使 对任意 ， 均成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 函数 是 上的奇函数．
，Fra Baidu bibliotek
解得 ．
证明：（2）由（1）知 ，定义域为 ，
故答案为： ．
3．已知 ，则 7； ．
【解答】解： ，
，
，
，
．
故答案为： ．
4．如果函数 在区间 ， 上的最大值是14，则实数 的值为．
【解答】解：设 ，则函数等价为 ，
对称轴为 ，
若 ，则 ，
此时函数的最大值为 （a） ，即 ，
即 或 ，
即 或 （舍 ，
若 ，则 ，
此时函数的最大值为 ，即 ，
即 或 ，
在 上任取 ， ，令 ，
， ， ， ，
，
函数 是 上的增函数．
解：（3）假设存在 使 对任意 ， 均成立，
在 上既是奇函数，又是增函数，
对任意 ， 均成立，
，即 ，
，解得 ．
的取值范围是 ， ．
课后作业：
1.已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
， ，
，
故选： ．
2． ．
【解答】解： ．
模块三：指数型复合函数
重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题
考点3：
例4.（1）求函数 的定义域、值域和单调区间．
【解答】解：根据题意，函数的定义域显然为 ．
令 ．
是 的增函数，
当 时， （1） ，而 ．
，即值域为 ， ．
当 时， 为增函数， 是 的增函数，
由 越大推出 越大， 越大推出 越大
【解答】解： ，
设 ，
， ，
则函数等价为 ，
，
，
即函数的值域为 ， ．
故选： ．
例5.已知定义域为 的函数 是奇函数．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）判断并用定义法证明函数 的单调性．
【解答】解：（Ⅰ） 是 上的奇函数，
，则 ，解得 ，
的解析式为 ；
（Ⅱ） ，
是 上的减函数；
证明如下：在 上任取 ，
则
图象
定义域
值域
性质
⑴ 过定点 ，即 时，
⑵ 在 上是减函数
⑵ 在 上是增函数
考点2：
例3.(1)已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
， ，
又 ， ，
又 ，
．
故选： ．
(2)已知 ； ； ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 为减函数， ，
故 ，
为增函数， ，
故 ，
故 ，
故选： ．
考点1：
例1.（1） ．
【解答】解： ，
故答案为：110
例2.（1）已知 ， 且 ，求 的值．
【解答】解： ，①
又 ， ，②
．
， ．③
将②、③代入①式得 ．
（2）已知 ，求 的值．
【解答】解：由 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
模块二：指数函数图像的应用
指数函数：一般地，函数 且 ， 叫做指数函数.
指数函数图象与性质：