2016年复旦大学代数与几何考研试题(Xiongge)

考试科目：代数与几何
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抽象代数部分
1. Abel 群 A = Z ⊕ Z,End( A) = { f : A → A| F }. (1) 证 End( A) 具有环结构并指出加法和乘法, 以及加法的零元和乘法的幺元. (2) 求证 End( A) 同构于由整数二阶方阵构成的环 M2 (Z). 2. 设 f : G1 → G2 是群同态, 记 K = Ker f , 而 H ≤ G1 . 证明: (1) f −1 ( f ( H )) = HK = KH ; (2) f −1 ( f ( H )) = H 当且仅当 K ≤ H . 3. R 是一个整环但不是域, 证: R[ x ] 一定不是主理想整环. 注：题目来源于数学人才小基地群里的 Andy, 不过貌似没几何部分, 笑哭！
2 x1 x2 x3 x4 x2 a11 a12 a13 x3 a21 a22 a23 x4 a31 a32 a33
3 2 1 2
5 a+4 b−1 2 4 b−2 2 a+1 0 3 a+3 b−1

f ( x1 , x2 , Байду номын сангаас3 , x4 ) =
若 (1, 1, 1)T 是 ( A∗ − E) x = 0 的解. 求正交变换 x = Qy 使得 f 为标准型. 7. 设 A 为幂零矩阵, 考试科目：代数与几何 第1页 共2页
复旦大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：代数与几何
考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ————————————————————————————————————————
高等代数部分
( ) 1. 设 A = aij n×n , aij = max{i, j}, 求 det A. 2. 矩阵 1 2 −1 1 1 0 A= −2 −4 1 3 6 −3 1 3 1 4
求 A 的所有代数余子式. 3. 设 V1 = span{α1 , · · · , α4 }, 其中 α1 = (1, 1, 1, 2), α2 = (2, 3, 2, 4), α3 = (3, 5, 4, 7), α4 = (4, 7, 6, 10) V2 = span{ β 1 , · · · , β 4 }, 其中 β 1 = (1, 2, 2, 4), β 2 = (1, 0, 3, 5), β 3 = (3, 4, 7, 13), β 4 = (1, 4, 1, 3) 求 dim(V1 ∩ V2 ), dim(V1 ∪ V2 ). 4. 求矩阵 2 0 1 1 的秩. 5. 2 2 3 A = −2 −3 −6 1 2 4 求矩阵 P 使得 P−1 AP 成为 Jordan 标准型. 6. 设 A = ( aij ) 为三阶实对称矩阵,det A = −2, tr A = 0.
(1) 证 det( E − A) ̸= 0; (2) 若 AB + BA = B, 证明 B = 0. 8. 设方阵 A 的秩为 1, 证明 A 可对角化当且仅当 tr A ̸= 0. 9. 设 A 为正定实对称矩阵, B 为与 A 同阶的实反对称矩阵. 证明 det( A + B) ≥ det A 等号成立当且仅当 B = 0. 10. 设矩阵 A 为每行每列元素之和为零的 n 阶方阵, 且特征值全为零, 求代数余子式 A1 1.