2016考研数学三真题(Word版)

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2016-2017年考研数学真题及答案解析(三)

A. AT 与 BT 相似
B. A1 与 B1 相似
C. A AT 与 B BT 相似
D. A A1 与 B B1 相似
（6）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) a( x12 x22 x32 ) 2x1x2 2x2 x3 2x1x3 的正负惯性指数分别为 1,2，则（）
A. J1 J2 J3
B. J3 J1 J2
C. J2 J3 J1
D. J2 J1 J3
（4）级数 ( 1 1 ) sin(n k) （ k 为常数）（） n1 n n 1
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.收敛性与 k 有关
（5）设 A, B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（）
1, x 上服从均匀分布，令U 0,
X Y. X Y.
（ I ）写出 ( X ,Y ) 的概率密度；
（ II ）问U 与 X 是否相互独立？并说明理由；（ III ）求 Z U X 的分布函数 F (z) .
（23）（本题满分 11 分）
设总体
X
的概率密度
f
(x; )
3x 2 3
,0
x
,
0, 其他，
（Ⅰ）求需求函数的表达式；
（Ⅱ）求 p 100 万元时的边际效益，并说明其经济意义。
（17）设函数 f (x)
1
|
t
2
x2
|
dt ( x
0), 求f
( x), 并求f
( x)的最小值。
0
（18）（本题满分 10 分）
设函数 f (x) 连续，且满足
x
f (x t)dt
x
(x

2016中山大学考研考研数学三真题

2016中山大学考研数学三考研真题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（1）设函数()y f x =在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（）A.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点B.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点C.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点D.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（2）已知函数(,)xe f x y x y=-，则（）A.0x y f f ''-=B.0x y f f ''+=C.x y f f f ''''-=D.x y f f f ''''-=（3）设3(1,2,3)ik D J x y d x d y i =-=⎰⎰，其中{}1(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，{}2(,)01,0D x y x y x =≤≤≤≤{}23(,)01,1D x y x x y =≤≤≤≤则（）A.123J J J <<B.312J J J <<C.231J J J <<D.213J J J <<（4）级数为111()sin()1n n k n n ∞=-++∑（k 为常数）（） A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k 有关（5）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）A.T A 与TB 相似 B.1A -与1B -相似 C.T A A +与TB B +相似 D.1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（）A.1a >B.2a <-C.21a -<<D.1a =或2a =-（7）设,A B 为两个随机变量，且0()1,0()1P A P B <<<<，如果()1P A B =，则（）A.()1P B A =B.()0P A B =C.()1P A B ⋃=D.()1P B A =（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(1,4)X N Y N ，则()D XY =（）A.6B.8C.14D.15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析

2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析戴又发(1)设函数y f(x)在(,)连续，其导函数的图象如图所示，则(C)函数f (x)有3个极值点，曲线y f (x)有1个拐点(D)函数f(x)有3个极值点，曲线y f(x)有2个拐点解析：由导函数的图象得知导函数有3个不同零点，其中有一个是导函数图象与x轴的切点，不是函数f ( x)的极值点，所以函数f (x)有2个极值点；又因为导函数有2个极值点，当然是曲线y f(x)的拐点；另外，导函数的图象还有1个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线y f (x)的1个拐点.故选(B)xe(2)已知函数 f (x,y) -------- ,则x y(A)函数f x f y 0(B)函数f x f y 0(C)函数f x f y f(D)函数f x f y fx x x x0 / 、e . (x y)e e 正e解析：由f(x,y) ------- 得f x 一；----------- &一，f y -------------------x y (x y) (x y)x x x(x y)e e e f是 f x f y--2~72f ，故选 (D)(x y) (x y)(3)设 J i 3/xTydxdy(ii,2,3)，其中 D i (x, y)0 xD iD 2 (x, y)0 x i,0 y Vx , D 3(x, y)|o x(A) JiJ2 J3(B)J3 J i J2(C) J 2 J 3 J i(D) J 2 J i解析：在平面坐标系中， D 2, D i , D 3所表示的区域分别为:(k 为常数)(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与k 有关i)sin(n k)、n isin(n k) 1 1因为而Jn 1(Jn &__1)<n /n1«n nn 1) njni,x 2----- O在区域D i y x,于在区域D i D 3上, y x,于0,即 J i所以J 3Ji J2 ,故选(B)i ni (nsin(n k)DiD 2上, D20,即 J i O., 是3x y J3 ；解析：由n i所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛.故选( A)(5)设A, B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(A)A T与B T相似.1 1 I(B)A与B相似(C) A A T与B B T相似1 1(D) A A与B B相似1 .解析：由A与B相似的定义，存在可逆矩阵P ,使得P AP B .对于(A),因为(P 1AP)T B T得P T A T(P T)1 B T ,所以A T与B T相似;1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 对于(B),因为(P AP) B得PAP B,所以A与B相似；对于(D),因为P1(A A1)P P 1AP P1A1P B B 1 , 1 1所以A A与B B相似.故选(C)(6)设二次型f(x1，X2,X3) a(x2 x2 x2) 2x1X2 2x2X3 2x1X3的正负惯性指数分另IJ为1,2,则(A) a 1(B) a 2(C) 2 a 1(D)a 1 或a 2解析：考虑用特殊值法.当a 0时，f(x1,X2,X3) 2x1X2 2x2X3 24％,0 1 1其矩阵为1 0 1,由此求得特征值为2, 1, 1,满足正惯性指数为1,负惯性指数1 1 0为2,即a 0成立.故选(C)⑺ 设A,B为两个随机事件，且0 P(A) 1,0 P(B) 1 ,如果P(AB)(A)P(B|A) 1(B)P(AB) 0(C)P(A B) 1(D)P(B|A) 1解析：由P(AB) 1 知，P(AB) P(B), P(A B) P(A).PZOM P(AB) P(A~-B) 1 P(A B)P( B A) 1P(A) 1 P(A) 1 P(A)故选(A)(8)设随机变量X与Y互相独立，且X ~ N(1,2) , Y ~ N(1,4),则D(XY)(A) 6(B)8(C)14(D)15解析：由随机变量X与Y互相独立，则D(XY) E(XY)2 [E(XY)]2 EX2 EY2 (EX EY)2[DX (EX)2] [DY (EY)2] (EX EY)2(2 12) (4 12) (1 1)2 14.故选(C)\1 f(x)sin2x 1f(x)满足lim -------- 3^- ---------------- 2,则limf(x)(9)已知函数x 0 e 1 x 0 ----- J f (x)sin 2x 1解析：因为hm-------- 3^- ------- 2,用等价的无穷小替换，x 0 e 131 •,、一当 x 0时，e 1~3x, %：1 f(x)sin2x 1~ - f (x)sin2x1，，、「5f (x)sin2xf(x)于是有 lim - ------------ 2,即lim ------ 2x 03xx 03所以lim f (x) 6 ,答案6 x 0..1 , . 1 (10)极限 lim -r (sin - nn n ..1 , . 12 解析：由 lim 2 (sin 2sinnn n n1 1 12 2 n nlim -(-sin- -sin- -sin —) nn n n n nn n11x sin xdx xd cosx x cosx 0cos1 sin 1 sin1 cos1,答案 sin 1 cos122(11)设函数f(u,v)可微，z z(x)由方程(x 1)z y x f(x z,y)确定，则dz(0,1)22解析：由(x 1)z y x f(x z, y)有 x 0, y 1时 z 1, 222(x 1)dz zdx 2ydy 2xf (x z, y) x f u (x z, y)(dx dz) x f v (x z,y)dy将 x 0,y 1, z 1 代入，得 dz dx 2dy . 答案 dx 2dy2sin 2n.n 、nsin —) n -- n 、 nsin )n1 1cosxdx0 022(12)设 D (x, y)|x| y 1, 1 x 1,则 x e ydxdy11 y2 1 11112 1 2、丁 7ec 丁丁二二二-•答案：二(1一) 3e 3 0 3e 3e 3 3 3e 3 e1 00 1(13)行列式° °4 3 2 1 0 01 0 解析：00 1 432 1120 1 4 223212 . 2432(2) 342 3 4..43 一 2一答案：432 23 4(14)设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4的概率为解析：若最后一次取到黑球后停止，则前三次只能取到红色球和白色球，且两种颜色都有.2 y 2x e dxdy120dy2e y 2dx1 0y 3 y 2e dydey 213y2e y 2 e y 2d( y 2)0 0 113次取球，无论2红1白还是2白1红，概率都是3 1 27 9于是最后一次取到黑球后停止的概率为2 1 2 一——,9 3 27同理最后一次取到红球或白球后停止的概率都为27，……… ……2 Q 2…2所以取球次数恰好为 4的概率为—3W •答案：- 2 79 91(15)(本题满分10分)求极限lim(cos2x 2xsinxtx 01e 3.(16)(本题满分10分)设某商品最大需求量为 1200件，该商品的需求函数 Q Q(p),... p需求弹性 ------------ (0), p 为单元价(万元)120 p(I)求需求函数的表达式；(n)求p 100万元时的边际收益，并说明其经济意义.p dQ pdQ dp解析：(i)由弹性公式，可得 — —— ------ ,分离变量，得 — ----------- -Q dp 120 p Q p 120两边积分，得 lnQ ln( p 120) ln C ,即 Q C( p 120) 因为最大需求量为1200件，所以Q(0) 1200,解得C 10 故 Q 10( p 120) 1200 10P.2(n)收益R Qp 1200p 10p ，边际收益为d R dR d p _ (1200 20p)( —) 2p 120dQ dp dQ 10'dR i一一一p 100万元时的边际收益为 -p 100200 12080.dQ其经济意义是：需求量每提高1件，能增加收益8 0万元.(17)(本题满分10分)设函数f(x)j t 2 x 2dt(x 0),求f (x)并求f(x)的最小值.解析:14lim (cos2 x 2 xsinx)xlim ecos2x 2xsin x4 xX"e4x 2 24Y4 x 3 1 --- ---- 2x( x — ) 1 o( x )2 4! 3!4 x一、.2 2 ..解析：对于f(x) 0 t x dt , x| 2 2 1 2 2 当1 x 1 时，f(x) 0 (x t )dt |x|(t x )dt,4 j3 2 13x x 3, 一12 2 2 1当|x| 1 时，f(x) 0 (x t )dt x - 32 1 1x -, x 13f(x)为偶函数，f(x)4 3 1-x x2—，x 13 32x,x 14x2 2x, 1 x 04x2 2x,0 x 12x,x 1f(x)为偶函数，在［0,)上，0 x 1, f(x) 0； x 1, f(x) 0；所以f(x)的最小值为f(1)(18)(本题满分10分)设函数f (x)连续，且满足x x0 f (x t)dt 0(x t)f(t)dt e x 1,求f(x).x 0 x 解析：令u x t,则0 f(x t)dt x f (u)d( u) 0 f (u)du所以 f (x)2n 2x(19)(本题满分10分)求哥级数 -------- --- —~2 ---- n 的收敛域及和函数.n 0(n 1)(2n 1)再两边积分 S(x) (1 x)ln(1 x) (1 x)ln(1 x)1,且方程组2a 2Ax 无解.(i)求a 的值；(n)求方程组 A T Ax A T 的通解.解析：(i)由方程组Ax 无解，知IA 0,解析：令S(x)2n 2x(n 1)(2n 1)'两边求导S(x) 2n 0 2n 1x2n 1 '两边再求导S (x)2n xn 0两边积分，得S (x)in 1，且 S(0) 0,易知，S(x)2n 2xn 0 (n 1)(2n 1) 的收敛半径为1,又 x 1,x 1时级数收敛,即其收敛域为［ 1,1],所以S(x) (1x)ln(1 x) (1 x)ln(1 x),x [1,1].(20)(本题满分 11分)设矩阵由a 0时, r(A) r(A,)而2 2时，r(A) r(A,),于是(A T A,A T )1所以，方程组A T Ax A T 的通解为x k 12, k 为任意实数.1 01 1（21）（本题满分11分）已知矩阵 A23 00 0 02100 .、(n)设3 阶矩阵 B ( 1, 2, 3)满足 B BA,记 B ( 1, 2, 3),将 1, 2, 3分别表示为 1, 2, 3的线性组合.解析：（I ）由| E A 0求得矩阵A 的特征值为10, 2 1, 3 2,所以A~121、32 ,求得矩阵A 属于1、 2、 3特征向量分别为:3 1 1设P 2 1 2 ,可知A2 0 0所以 a 0.(n)当 a 0时，A T A3 2 22 2 2 A T2 2 2分别就1 0、29999 1P P 1,于是 A P P .399 991 c所以A P P 222(n)因为B ( 1, 2, 3),由 BBA ,可得 B 3 B 2A BAA BA 2, B 4 B 2A 2 BA 3, 所以，B100( 1, 2, 3) BA 99( 1, 2, 3)A 993(2 298) 1 (2 299) 2.（22）（本题满分11分）设二维随机变量（X,Y ）在区域（I ）写出（X,Y ）的概率密度;（n ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由;1求矩阵P 的逆矩阵P122 122 2992 2100299 2100298 299D (x,y)0 x 1,x2y «x 上服从均匀分布，令 U1,X Y0,X Y2991 2 2 1 2B 100BA 99,2 2993) 2 2100299 2100298 299(2 299) 1 2 2100) (1 299) 1(1 2100) 2；（出）求Z U X 的分布函数F （z ）.解析：（i ）先计算二维随机变量（X,Y ）所在区域的面积,__31V x 3f- 2 2 3 13s(D)0dx x 2 dy«x x )dx (-x 4-x ) 3 3而（X,Y ）在D 上服从均匀分布，所以（X,Y ）的概率密度为3, x y xf(x ，y)〜L0淇他 11(n)因为 PU2,X2所以U 与X 不相互独立.1 111事实上 P U ,X P U 0,X P X Y,X 2 2 2 2(出)由 F(z) P{U X z}P{U X zU 0}P{U 0} P{U X zU 1}P{U 1} P{X z,X Y} P{1 X z,X Y}.3,z4其中 P{Xz ,XY}|z 20,z z 3,0z1;131 120,z 0 3 2 3z z ,0 z 12133 oc 2(z 1)2 3 1)2,1 z 2221,z 23X 2 n .3,0 X,,,(23)(本题满分11分)设总体 X 的概率密度为f(x，)3，其中0,其他(0,)为未知参数，X 1，X 2,X 3为来自总体X 的简单随机样本，令 T maXX 1,X 2,X 3). (I)求T 的概率密度； (n)确定 a ,使 E(aT) .解析：(I)因为X1，X2, X3为来自总体 X 的简单随机样本，显然互相独立, 于是T 的分布函数为F T。

2016年全国硕士研究生入学考试数学3真题完整版(可打印)

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题完整版一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.1、设函数 f (x ) 在(∞+ ,∞−) 内连续，其导函数的图形如图所示，则()A.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.B.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.C.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.D.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.2、已知函数(,)xe f x y x y=-，则（）A.0x y f f ''-= B.0x y f f ''+=C.x y f f f''-= D.x y f f f ''+=3、设3(1,2,3)i k D J x ydxdy i =-=⎰⎰，其中{}1(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，{}2(,)01,0D x y x y x =≤≤≤≤{}23(,)01,1D x y x x y =≤≤≤≤则（）A.123J J J << B.312J J J <<C.231J J J << D.213J J J <<4、级数为111()sin()1n n k n n ∞=-++∑（k 为常数）（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k 有关5、设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）A.T A 与T B 相似B.1A -与1B -相似C.T A A +与T B B +相似D.1A A -+与1B B -+相似6、设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（）A.1a >B.2a <-C.21a -<< D.1a =或2a =-7、设,A B 为两个随机事件，且0()1,0()1P A P B <<<<，如果()1P A B =，则（）A.()1P B A = B.()0P A B =C.()1P A B ⋃= D.()1P B A =8、设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(1,4)X N Y N ，则()D XY =（）A.6 B.8 C.14 D.15二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、已知函数()f x 满足301()sin 21lim 21x x f x x e →+-=-，则0l im ()x f x →=__________.10、极限2112lim (sin 2sin sin )n n n n n n n→∞+++= ___________.11、设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =由方程22(1)(,)x z y x f x z y +-=-确定，则(0,1)|dz =__________.12、设{(,)|||1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤，则22y D x e dxdy -=⎰⎰___________.13、行列式1000100014321λλλλ--=-+_________.14、设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为__________.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）求极限410l im(cos 22sin 1)x x x x x →+-。

2016考研数学三真题及答案解析

（C） A + AT 与 B + BT 相似. 解析：∵ A 与 B 相似 ∴存在可逆矩阵 P ，使得 B P1AP
（D） A A1 与 B B1 相似.
故 BT PT AT (P1)T (PT )1 1 AT (PT )1 ∴ AT 与 BT 相似（A）正确
又 B1 P1 A1P ，故 B1 与 A1 相似，（B）正确
则（）
（A） T1 T2 T3
（B） T3 T1 T2
（C） T2 T3 T1
（D） T2 T1 T3 解析：如图所示，
D1 D4 D5 D6 ， D2 D5 D6 ， D3 D4 D5 ，由于被积函数 3 x y 在 D1 上为
正，所以 T2 T1 ，T3 T1 ，又因为 3 x y 在 D4 上显然大于 D6 上对应 x 处的值，所以 T2 T3 ，
x
f
y
ex (x y) ex (x y)2
ex
ex x y
f
应选（D）.
（3）设 Ti 3 x ydxdy (i 1, 2, 3) 其中 D1 ( x, y) 0 x 1, 0 y 1
Di
D2 (x, y) 0 x 1, 0 y x
D3 ( x, y) 0 x 1, x2 y 1
解析：因 P( A | B) 1 ，则 p( AB) 1 ，则 P(B) P( AB) 0 ，则 P(B A) 0 . 从而 P(B)
P(B | A) 0 .
又 P(B | A) P(B | A) 1 ，则 P(B | A) 1 ，故选 A.
（8）设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~ N (1, 2),Y ~ N (1, 4) ，则 D( XY ) =( )

2016数三考研真题

2016数三考研真题2016年的数学三科考研真题对于考研学子来说是非常重要的一场考试。

本文将会对2016年数学三科考研真题进行分析和解答，帮助考生更好地理解和应对这次考试。

第一道题目：解析：这道题目是一个典型的微积分问题，要求求出函数f(x)的导数。

根据题目给出的条件，f(x) = ∫[0,x] g(t) dt，其中g(x) = ∫[0,1] 2xy dx。

根据微积分的基本原理，如果要求出f(x)的导数，可以利用牛顿-莱布尼兹公式。

根据该公式，f(x)的导数等于g(x)的函数值。

根据题目给出的条件，计算g(x):g(x) = ∫[0,1] 2xy dx= 2∫[0,1] xy dx= 2 * x * ∫[0,1] y dx= 2 * x * y * [0,1]= 2 * x * y将g(x)的表达式带入f(x)的表达式中，得到：f(x) = ∫[0,x] g(t) dt= ∫[0,x] 2 * t * y dt= 2 * y * ∫[0,x] t dt= 2 * y * (t^2 / 2) | [0,x]= y * x^2因此，f(x)的导数为f'(x) = 2 * y * x。

答案为B。

第二道题目：解析：这道题目是一个概率统计的问题，要求计算随机变量X的期望和方差。

根据题目给出的条件，X是满足分布函数F(x)的连续型随机变量。

我们先来计算随机变量X的期望E(X)：E(X) = ∫[-∞,+∞] x f(x) dx根据题目给出的条件，得到：∫[-∞,+∞] (x - 1) f(x) dx = 0将x - 1拆分为x和-1两部分，得到：∫[-∞,+∞] xf(x) dx - ∫[-∞,+∞] f(x) dx = 0根据随机变量的概率密度函数与分布函数的关系，有：f(x) = dF(x) / dx将概率密度函数带入上式中，得到：∫[-∞,+∞] x (dF(x) / dx) dx - ∫[-∞,+∞] (dF(x) / dx) dx = 0根据微积分的基本原理，可以得到：xdF(x) - ∫[-∞,+∞] dF(x) = 0对上式进行积分，得到：xF(x)|[-∞,+∞] - [F(x)|[-∞,+∞] = 0根据题目给出的条件，分布函数在正负无穷处的值分别为0和1，得到：0 - 0 = 0因此，随机变量X的期望为E(X) = 1。

2016年考研数学三真题(第563套)

2016年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设方程y x y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=.则线性方程组T A X B =的解是___________.(5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ___________.(A) 100(,)dy f x y dx ⎰(B)1(,)dy f x y dx ⎰(C) 1100(,)dx f x y dy ⎰⎰ (D)1(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是___________.(A) 若21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑都收敛,则21()n n n u v ∞=+∑收敛(B) 1n n n u v ∞=∑收敛,则21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛(C) 若正项级数1n n u ∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1n n u ∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则______-_____.(A) 1()n A A A -**= (B) 1()n A A A +**= (C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m αα和1,,m ββ,若存在两组不全为零的数1,,mλλ 和1,,mk k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,则___________.(A) 1,,m αα和1,,m ββ都线性相关(B) 1,,m αα和1,,m ββ都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关 (D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是___________.(A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+ (D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x x x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-.(1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xy u u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z zp y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算20(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()T AP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.参考答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】：()1ln dxx y +(2)【答案】：C(3)【答案】：0ca≥(或20ax c =),b 任意 (4)【答案】：()1000T ,,,(5)【答案】：(4.412,5.588)二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】：(D) (2)【答案】：(A) (5)【答案】：(B)三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x-→→'-++'= 0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x--→''''+-+-+=0()(0)1lim (0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂.在方程()()xy u u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分1(1)1111ln(1),1x x x x x x x x x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以 20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰ 而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim001xx xe →+∞-=-=+, 故原式ln 2=. 方法2: 220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e-+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xx x x x x x x xdxdx e dx e e e e d e e e+∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少.(2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分) 【解析】令yz x=,则dy dz z x dx dx=+. 当0x >时,原方程化为dz z x z dx +=-dxx =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或Cz x=. 代回原变量,得通解(0)y C x +=>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下:令t x =-,于是0t >,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-===从而有通解(0)y C t +=>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C +=.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得x =从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,003113110011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于T A A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而2010*********A ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形T y y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换1122334410000100,400150001x y x y x y x y⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 有 222221234955T x A x y y y y =+++.所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为2010*********A ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式2310000100(1)(9)00540045E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即1234000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)T α=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]1234100001000000,,,Pββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣,则1221119TP A P P A P-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即211()()19T TAP AP P A P⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,tk k k k使得1122()()()0,t tk k k kββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,tααα是0AX=的解,知0(1,2,,)iA i tα==,用A左乘上式的两边,有12()0tk k k k Aβ++++=.(2)由于0Aβ≠,故12tk k k k++++=.对(1)重新分组为121122()0t t tk k k k k k kβααα++++++++=.(3) 把(2)代入(3)得1122t tk k kααα+++=.由于12,,,tααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0tk k k===.代入(2)式得:0k=.因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+ 即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B .由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.XX Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x -→→'-++'= 0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x--→''''+-+-+=0()(0)1lim (0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xy u u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分1(1)1111ln(1),1x x x x x x x x x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以 20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰ 而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim001xx xe →+∞-=-=+, 故原式ln 2=. 方法2: 220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e-+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xx x x x x x xxdx dx e dx e e e e d e e e +∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少.(2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c⎡⎤⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分)【解析】令yzx=,则dy dzz xdx dx=+.当0x>时,原方程化为dzz x zdx+=-dxx=-,其通解为1ln(lnz x C=-+或Czx=.代回原变量,得通解(0)y C x+=>.当0x<时,原方程的解与0x>时相同,理由如下:令t x=-,于是0t>,而且dy dy dx dydt dx dt dx=⋅=-===从而有通解(0)y C t+=>,即(0)y C x=<.综合得,方程的通解为y C+=.注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yzx=后得x=从而,应当分别对0x>和0x<求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,003113110011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于T A A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形T y y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换1122334410000100,400150001x y x y x y x y⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 有 222221234955T x A x y y y y =+++.所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式2310000100(1)(9)00540045E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即1234000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)T α=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]123410000100000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣, 则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,t ααα是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=.(2)由于0A β≠,故120t k k k k ++++=. 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=. (3) 把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=. 由于12,,,t ααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===.代入(2)式得:0k =.因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+ 即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B .由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.XX Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍1,2,3,4,5,6时,统计C 可能出现的点数有多少种.由古典型概率计算公式得到11246619(),3636p P A ++++===2111().3618q P A +===十三、(本题满分6分)【解析】依题意,12,,,n X X X 独立同分布,可见22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().i i i i n n n in i i i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n n n====-=-====-∑∑ 因此,根据中心极限定理n U =的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.。

2016年考研数学3真题

2016年考研数学3真题2016年考研数学3真题是考研数学考试中的一道真实题目。

本文将结合具体题目内容，对这道题目进行详细解析和分析。

首先，我们先来看一下2016年考研数学3真题的具体内容：题目为一道复杂的数学题目，内容涉及多个数学概念和方法。

题目要求考生通过运算和求解，得出最终答案。

具体内容如下：（以下为题目内容）根据以上题目内容，我们可以看出这是一道需要考生灵活运用数学知识和方法的题目。

我们可以结合题目要求，逐步分析和解决这道题目。

首先，我们要明确题目所涉及的数学概念和方法。

从题目中可以看出，我们需要运用微积分中的概念和方法来解决这道题目。

具体来说，我们需要用到导数和函数的性质来进行运算和推导。

接下来，我们根据题目要求进行具体的计算和推导。

我们可以按照以下步骤进行解答：1. 首先，我们根据题目给出的函数f(x)和g(x)，分别计算它们的导数f'(x)和g'(x)。

2. 接着，我们根据题目要求，将f'(x)和g'(x)代入给定的极限表达式中，计算极限的值。

3. 根据计算出的极限值，我们可以得出最终的答案。

通过以上的计算和推导，我们可以得出最终的答案。

具体的计算过程和结果如下：（以下为具体的计算过程和结果）综上所述，通过对2016年考研数学3真题的详细解析和分析，我们可以看出这道题目是一道涉及多个数学概念和方法的复杂题目。

通过运用微积分中的导数和函数性质，我们可以解决这道题目并得出最终答案。

在考研数学准备过程中，遇到这类复杂题目时，我们需要熟悉并掌握基本的数学概念和方法，同时要善于运用已学的知识解决问题。

通过大量的练习和思考，我们能够提高解题能力和应试水平，更好地应对考试挑战。

以上就是对2016年考研数学3真题的详细解析和分析。

希望本文能够帮助到正在准备考研数学的同学们，祝大家取得优异的成绩！。

2016年考研数三真题

2016年考研数三真题2016年考研数学三真题是考研数学考试中的一道经典题目，它涉及到了数学的多个领域，如线性代数、概率论和数理统计等。

这道题目的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。

下面将对这道题目进行分析和解答。

首先，我们来看一下这道题目的具体内容。

题目中给出了一个4阶实对称矩阵A，且满足A^2 = 4A - 3E，其中E为单位矩阵。

考生需要证明A的特征值只能是-1, 1, 3或4。

为了解决这道题目，我们需要运用一些线性代数的知识。

首先，我们知道实对称矩阵一定可以对角化，即存在一个正交矩阵P，使得P^TAP = D，其中D是对角矩阵。

所以我们可以假设A可以对角化为D，即A = PDP^T。

接下来，我们将A^2 = 4A - 3E代入上式，得到PDP^T PDP^T = 4PDP^T - 3E。

由于P是正交矩阵，所以P^TP = E，代入上式得到DP^TDP = 4DP^T - 3E。

进一步整理得到DP^TD - 4DP^T + 3E = 0。

根据上式，我们可以得到D的特征值满足一个关于λ（特征值）的方程：λP^TP - 4P^T + 3E = 0。

由于P是正交矩阵，所以P^TP = E，代入上式得到λE - 4P^T + 3E = 0。

进一步整理得到(λ + 3)E - 4P^T = 0。

由于E是非零矩阵，所以(λ + 3)E - 4P^T = 0只有零解，即(λ + 3) = 0，即λ =-3。

所以A的特征值中至少包含-3。

接下来，我们需要证明A的特征值只能是-1, 1, 3或4。

为了证明这一点，我们需要考虑A的特征多项式。

由于A是4阶矩阵，所以它的特征多项式可以表示为：f(λ) = (λ - λ1)(λ - λ2)(λ - λ3)(λ - λ4)。

根据前面的分析，我们已经知道A的特征值中至少包含-3。

假设A的特征值还有其他值，即存在一个特征值λi，其中λi不等于-3。

根据特征多项式的性质，f(-3) = (-3 - λ1)(-3 - λ2)(-3 - λ3)(-3 - λ4) = 0。

2016年考研数学三真题及答案解析

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2016年考研数学三试题解析(完整版)

2016年考研数学（三)试题及解析（完整版）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ](10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==. 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x u 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令x u 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“00”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d . )23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤bab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xadt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而 ⎰⎰⎰⎰-=-==bababa babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰ba dx x G ，即 0)(≤⎰b adx x xF .因此 ⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x ey xdx xdx+⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a . (Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解： ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αaαa β+-=．(Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为 a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b b n A E λ)1()1()1(1→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T k ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：YX0 1 0 132 12161 121(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：Z0 1 2P3241 121 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m i n {ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α ．。

2016数三考研真题

2016数三考研真题2016数三考研真题2016年的数学三科考研真题是考生们备战考研的重要参考资料之一。

在这份试卷中，不仅包含了各种类型的数学题目，还融入了一些实际应用的问题，考察了考生的数学思维和解题能力。

接下来，我们将从试卷的不同部分来分析和讨论这些题目。

第一部分是选择题，共有20道题目。

这些题目涵盖了数学的各个领域，如微积分、线性代数、概率论等。

其中一道题目是关于微积分的极限问题，要求考生求出极限的值。

这道题目考察了考生对极限概念的理解和运用能力。

另外，还有一道题目是关于矩阵的特征值和特征向量的计算，要求考生求出给定矩阵的特征值和特征向量。

这道题目考察了考生对矩阵特征值和特征向量的计算方法的掌握程度。

第二部分是计算题，共有5道题目。

这些题目主要考察了考生的计算能力和解题思路。

其中一道题目是关于微分方程的求解，要求考生求出给定微分方程的通解。

这道题目考察了考生对微分方程求解方法的掌握和应用能力。

另外，还有一道题目是关于多元函数的极值问题，要求考生求出给定函数的极值点。

这道题目考察了考生对多元函数极值点的判定方法的理解和运用能力。

第三部分是证明题，共有3道题目。

这些题目要求考生使用严密的数学推理和证明方法，解答给定的问题。

其中一道题目是关于数列极限的证明，要求考生证明给定数列的极限存在。

这道题目考察了考生对数列极限存在性的判定方法的掌握程度。

另外，还有一道题目是关于函数连续性的证明，要求考生证明给定函数在某个区间上连续。

这道题目考察了考生对函数连续性的定义和判定方法的理解和应用能力。

通过对2016年数学三科考研真题的分析和讨论，我们可以看出，这份试卷既考察了考生对数学知识的掌握程度，又考察了考生的解题能力和思维能力。

在备战考研的过程中，考生们应该注重对各个数学领域的知识的复习和巩固，同时也要注重对解题方法和思路的训练和提高。

只有全面提升自己的数学水平和解题能力，才能在考试中取得好成绩。

希望所有考生都能够顺利通过考试，实现自己的理想和目标。

2016年全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版

学习资料收集于网络，仅供参考启封并使用完毕前绝密★试题类型：新课标Ⅲ年普通高等学校招生全国统一考试2016 理科数学页。

考试结束后，将本试卷4题，共150分，共II和第卷(非选择题)两部分，共24本试卷分第I卷(选择题) 和答题卡一并交回。

注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

1.毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清0.5选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用2. 楚。

请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答3. 题无效。

作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

4. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I卷. 小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一.选择题：本大题共12????I0x|x??2)(x?3)0?,T?S?|x(x=T ，则S(1)设集合?????????????3,0,??2,32??,23,???3, C. D. B. A.D【答案】??????????0,2?3,???S2??,?ST3,D，【解析】易得，选【考点】解一元二次不等式、交集i4 (2)，则若i2z?1??1zz? D. C. A. 1 B. ii?1?C【答案】4i，选C，，故【解析】易知i?z1?241??zzi??1?zz 【考点】共轭复数、复数运算学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考??3113,BA? )，则(3)，已知向量=(，BCABC?????2222?? A D.120°B. 45° C. 60° A. 30°y A【答案】C3x3BCBA?B2????ABCcos【解析】法一：，30???ABC2?11BCBA?点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知法二：可以B30ABC?CBx?30,??60?ABx?,?【考点】向量夹角的坐标运算图.(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.点表示四月的平均最低气温约为下面叙述不正确的是A点表示十月的平均最高气温约为，B中C515C以上A. 各月的平均最低气温都在C0七月的平均温差比一月的平均温差大B.三月和十一月的平均最高气温基本相同C.个平均最高气温高于的月份有5D. C20D【答案】的月份有七月、八【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于C20左右，故最多3个月，六月为C20【考点】统计图的识别32????tan ，则(5)若??2sin2cos4164864 A.D. B. C. 1252525A【答案】2????64cos4tan1cos??4sin2??【解析】??cos?2sin2?25222???tan?1?cossin【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考124(6)，则已知25??3,cba?2,333 D. B. C. A.b?c?b?cb?a?c?aa?b?ca A【答案】21422，故【解析】525?3,c?a?2?4,b?ba?c?33333【考点】指数运算、幂函数性质=n(7)执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的D. 6 A. 3 B. 4 C. 5B 【答案】【解析】列表如下a4 2 6 -2 4 2 6 -2 4b 6 6 6 4 4s20 0 10 16 6n4231【考点】程序框图Aπ1BC?B ,，边上的高等于(8)在中，则?BCAcosABC△341031010310 B. C. A. D. ??10101010CB【答案】CD【解析】如图所示，可设，则，，2?AB2DC?1AD?BD?2?5?910，由余弦定理知，??Acos?5?AC? 1052?2【考点】解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. B. C. 90 D. 81 5?18545?1836【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考5?18?9?36?5433??2?3?6?2?32?【考点】三视图、多面体的表面积－的最=3，则V，BC=8，AA 内有一个体积为CV的球.若AB⊥BC，AB(10)在封闭的直三棱柱ABC=6AB1111大值是π32π9 A. D. B.C. π4π6 32 10B【答案】6【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最如图所示，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，大，8则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，?9433??R，所以内接球的半径为又的最大值为，即V23AA??2?1232【考点】内接球半径的求法22yx.B分别为C的左，右顶点为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，已知(11)O0)a??b??1(22ba 的BM经过OEM，与y轴交于点E. 若直线上一点，且为CPF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF 交于点P 中点，则C的离心率为y2131 C.D. A.B.3342P E A【答案】MN c?aMFMFAFaONOB B???,??【解析】易得aOE2ONAOMFBFa?c x OAF c?ca?1aa????caa?2a?c1c???e3a【考点】椭圆的性质、相似，a，…a项为1，且对任意k≤2m，，mm共有{a规范(12)定义“01数列”{}如下：a}2m项，其中项为0，21nn”共有（）01=4的个数不少于a中01的个数，若m，则不同的“规范数列k 12个．14C个．18A．个B16 ．个D C 【答案】【解析】学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考??0?1111????0?111????0????10?11?????1???1?01???????0?0?111???????00?11?????1?????011?1???? ?0??0?11????1?0????1?01??????0?111????00?11????1????1?010?1??????0?11???0?1??1?01????【考点】数列、树状图第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分x?y?1?0??x?2y?0，则x，y满足约束条件的最大值为________.(13)设y?x?z??x?2y?2?0?3【答案】231???????3,,1，故最小值为，代入目标函数可得【解析】三条直线的交点分别为1?,1,,0,2,?110???22??【考点】线性规划3cosxy?sinx?sinx??3cosxy的图像至少向右平移______个单位长度得到(14)的图像可由函数函数. ?2【答案】3??????【解析】，故可前者的图像可由后者向?2sinx3cosx?sin2sincosx?x?,y?x?3?ysinx?????33?????2个单位长度得到右平移3【考点】三角恒等变换、图像平移??????31,??yxx?xf()ln??3fx处的切线方程是则曲线当为偶函数，x(f(15)已知)，时，______ 在点0x?学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考【答案】0?1?2x?y11?????3???f'(x)?3，故切线方程为，【解析】法一：，21??f'f?1'?2??01?2x?y?x?x1??????????f'?1f??2'x?3,，法二：当时，，故切线方程为x3lnx?xf?x??f0?2x?y?10x?x 【考点】奇偶性、导数、切线方程22轴交于分别作已知直线的垂线与与圆：过交于两点，(16)03??mxy?3m?12??yxD,BCA,A,Bllx__________. ，则两点，若32AB??|CD|3【答案】y B，于作图所示，于，作【解析】如ABOF?FAE?BDE FA，即3?OF?AB?23,OA?23,E D x C3m?33，???m3?321m? 30°∴直线l的倾斜角为33??3CD?AE?2?2 【考点】直线和圆、弦长公式. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三.)12分(17)(本小题满分??a ．，其中=1+λa已知数列λ≠0的前n项和S nn n??a 证明是等比数列，并求其通项公式；(1) n31?S ，求(2) 若λ．532(2) ；【答案】(1)【解析】?? (1) 解：0a,?S?1?nn0a??n????时，当2?na?aS??1??1?S?a?aa1nn?nnnn1n1??????a??1a即，1?nn学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考???即1?0,???0,a?0,?1n?a??n，即2n,????a11n?????q，是等比数列，公比∴a?n1??，时，当n=1a??aS?11111?a即?1?1n?1?1???a??????n1?1???31?S 2）若（5325???1??1???????11??5?????31????则?1?S??????5?321??1???1?1???【考点】等比数列的证明、由求通项、等比数列的性质S n(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：777???2?0.55?(yy)，≈2.646.，参考数据：，40.17yt?y9.32?7iiii1?i11?ii?学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考n?)yt)(y(t??ii1i?参考公式：，r?nn??22y)(yt(t)??ii1i?1?i中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：回归方程bta?y?n?)(yt?y?t)(ii1i? bt?a?y，b?n?2)t(t?i1?i 1.82亿吨【答案】(1)见解析；(2)，t0.92?0.10y?【解析】7?y i7?6?4?5?1?2?31i?1.331y???t?4由题意得，(1) 77n7??ynt?y)ty(t?t)(y?iiii1.33??7?440.171i1?i?0.99??r??0.55?287777????2222)(yt(?y)(t?t?)y(?t)y iiii1i1i?i1?1?i?yt的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合t因为y与的相关系数近似为0.99，说明y与t的关系与n?)y(ty)(?t?ii2.891i? (2) 0.103b??? 28n?2t(t?i1i?0.92?4?y?bt?1.33?0.103a?t?0.10?a?bt?0.92yy的线性回归方程为所以关于t1.82?y代入回归方程可得，将9t?亿吨预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82【考点】相关性分析、线性回归)本小题满分(19)(12分，=3，AB=AD=ACBCABCD中，如图，四棱锥P-ABCDPA⊥底面，AD∥. PC的中点NAMM，为线段AD上一点，=2MD，为=4=PABC ∥平面MNPAB；证明(1).与平面求直线(2)所成角的正弦值PMNAN 学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考58【答案】(1) 见解析；(2)252??2AMAD由已知得(1) ，取的中点，连接，【解析】TN,A TTBP312BC?TN?......3分由为中点知，. BCPC/NTN/2，四边形为平行四边形，，故又平行且等于AMNT/BCTNAD/AM. 于是AT/MN/ ........6分. 平面因为平面，平面，所以//MNMN?PABPABA T?PAB为以为坐标原点，，又面，故可以(2) 取中点，连接，则易知ABCDBCAEPA?AAE?EADAE轴建立空间直角坐标系，轴，以为轴，以为yAPADzx??5????????02,0,2,0,0,00、P、N0,0,4C、,1,2、MA5,则????2??????55??21,??4,PN?N,,?AN?1,2,PM?0,2,????????22??????故平面的法向量10,2,n?PMN584?cos?AN,n???255?5258与平面所成角的正弦值为直线PMNAN?25【考点】线面平行证明、线面角的计算)分本小题满分12(20)(2的准线CB两点，交C于A，xx的焦点为F，平行于轴的两条直线l，l：已知抛物线Cy分别交=221.Q两点于P，FQ；PQ的中点，证明AR∥(1)若F在线段AB上，R是. AB中点的轨迹方程△ABF的面积的两倍，求(2)若△PQF的面积是21??xy (2) 【答案】(1) 见解析；【解析】法一：(1)1,0)(F，则设，且.由题设by:?:ly?a,l0ab?2122211aa?bb1A(,a),B(,b),P(?,a),Q(?,b),R(?,).222222 学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考分记过两点的直线为，则的方程为. .....3B,A0b)y?ab?(2x?a?ll. 由于在线段上，故0?1?abABF记的斜率为，的斜率为，则FQARkk21aba???b1ba. kk??b?????21aa22aba?a?1 ......5分所以. FQAR∥法二：PF，证明：连接RF，，=90°AFP+∠BFQAP 由=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠，∴∠PFQ=90°的中点，∵R是PQ RP=RQ，=∴RF ≌△FAR，∴△PAR ，∠FRAAR∴∠P=∠FAR，∠PRA= AR，BFQBQF+∠=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠P∵∠，=∴∠FQB∠PAR ，∴∠PRA=∠PQF FQ∴AR∥．(2)设与轴的交点为，l,0)D(xx1ba?111 . 则?,?Sb?axSa?b?FD?PQFABF?1?2222a?b11，所以(舍去由题设可得)，. ???axb1?x?0x111222设满足条件的的中点为. )y(x,EAB2y(x??1). 轴不垂直时，由可得当与ABk?kx DEAB1a?bx?a?b2y?. 而，所以1)?1(xy?x?22?x?1y. 分.重合与轴垂直时，与当所以，所求轨迹方程为....12DEABx 【考点】抛物线、轨迹方程) (21)(分本小题满分12 学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考????????的最大值为. 设函数，其中，记xf1?acos2x?xxa?1?cosf0?aA??；(1)求xf'(2)求；A??. (3)证明：A?f'x2【答案】见解析【解析】???? (1) xsina?asin2xf'?x1??2|f(x)|?|acos2x?(a?1)(cosx?1)|?a?2(a?1)?f(0)2a??1a?3当时，(2) A?3a?2．因此，21?1)cosxx?(a?f(x)?2acos)xf(1?a?0．变形为时，将当21t?(a?1))g(t?2at?1,1][?(t)||g A令，则上的最大值，是在1?a?tg(tg(1)?3a?2)1)g(??a取得极小值，时，，且当，4a22?6aa?a1?(a?1)1)???1??g(．极小值为4a8a8a1?a11a??1a???1?（舍去）．令，解得，4a351?0?ag(t)(?1,1)|g(?1)|?a|g(1)|?2?3a|g(?1)|?|g(1)|，所以①当，在内无极值点，时，，5A?2?3a．11?a?a?1g(?1)?g(1)?g()0?)?a?1)?g(1)?2(1g(．，知②当时，由54a2?6aaa?11?1?a(1?a)(1?7a))|?A?|g(|01)g(?|??g(||)?．又，所以4a8a4a8a学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考1?2?3a,0?a??5?211a?a?6??A?1,?a综上，．?5a8?1?a?2,a3???'1|?|a1)sinx|?2a??f(x)|?|?2asin2x(a?|得.(1)(3) 由1'A2?3a)?a|?1?a?2?4?2(2|f(x)?0?a. 当时，5311a'A?a?f2(x)|?1|1?a?1???A?. ，所以时，当4588a''A?|xf|()?3a12?4?a?6Axf|()?2|1a?.时，当，所以【考点】导函数讨论单调性、不等式证明铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

2016中山大学考研考研数学三真题

2016中山大学考研数学三考研真题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（1）设函数()y f x =在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（） A.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 B.函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 C.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 D.函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（2）已知函数(,)xe f x y x y=-，则（）A.0x y f f ''-=B.0x y f f ''+=C.x y f f f ''''-=D.x y f f f''''-=（3）设3(1,2,3)ik D J x ydxdy i =-=⎰⎰，其中{}1(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，{}2(,)01,0D x y x y x =≤≤≤≤{}23(,)01,1D x y x x y =≤≤≤≤则（）A.123J J J <<B.312J J J <<C.231J J J <<D.213J J J << （4）级数为111()sin()1n n k n n ∞=-++∑（k 为常数）（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散D.收敛性与k 有关（5）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（） A.T A 与T B 相似 B.1A -与1B -相似 C.T A A +与T B B +相似 D.1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（） A.1a > B.2a <- C.21a -<< D.1a =或2a =-（7）设,A B 为两个随机变量，且0()1,0()1P A P B <<<<，如果()1P A B =，则（） A.()1P B A = B.()0P A B = C.()1P A B ⋃= D.()1P B A =（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(1,4)X N Y N ，则()D XY =（） A.6B.8 C.14 D.15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ]（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分）计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ； (Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()ef x f x '=，两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==，又()21f =，故 ()323(2)2e2e f f '''==.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx ∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二：对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-. （4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰. 【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 002e 2e d 2e 2xx xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰，所以 ()22202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，所以 22ES DX ==.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ Ａ ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法：取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ A ]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得11011011011010,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+⎪ ⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （通分）（16）（本题满分7分）计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x后y ”积分较容易，所以（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）. (Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以 ()220482d 33ax x x a =-==⎰，故2a =.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----，均收敛，故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内，()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑，而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑，所以 1112001()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t''''-===+⎰⎰，又1(0)0s '=，于是 1()arctan s x x '=.同理()20201arctan d arctan ln 112xx t t t t x x x t =-=-++⎰，又 1(0)0s =，所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-. （20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===；当10a =-时，9234183412741236A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.【分析】由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令 []123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T1111113623333111121210011136666011111111036222A QQ ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=Λ=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭，则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ) Cov(,)X Y ； (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】（I ）设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时， ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时，()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰.4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他. （II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰，33023107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰，所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. 2016年考研各科目专用题库复习和考试软件说明：本人已于2015年顺利通过了考研。

2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版)

绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的XX 、XX 填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I 卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则ST =A. []2,3B. (][),23,-∞+∞C. [)3,+∞D. (][)0,23,+∞【答案】D【解析】易得(][),23,S =-∞+∞，(][)0,23,S T ∴=+∞，选D【考点】解一元二次不等式、交集 (2)若12z i =+，则41izz =- A. 1 B. 1- C. i D. i - 【答案】C【解析】易知12z i =-，故14zz -=，41ii zz ∴=-，选C 【考点】共轭复数、复数运算(3)已知向量13,22BA⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，BC =(32，12)，则ABC∠A. 30°B. 45°C. 60°D.120°【答案】A【解析】法一：332cos112BA BCABCBA BC⋅∠===⨯⋅，30ABC∴∠=法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60,30,30ABx CBx ABC∠=∠=∴∠=【考点】向量夹角的坐标运算(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在0C以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20C的月份有5个【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七月、八月，六月为20C左右，故最多3个【考点】统计图的识别(5)若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=A. 6425B.4825C. 1D.1625【答案】A【解析】22222cos4sin cos14tan64 cos2sin225cos sin1tanααααααααα+++===++【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式(6)已知4213332,3,25a b c===，则A. b a c<< B. a b c<< C. b c a<< D. c a b<<【答案】Ax yCAB【解析】422123333324,3,255a b c =====，故c a b >> 【考点】指数运算、幂函数性质(7)执行右面的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B 【解析】列表如下 a4 2 6 -2 4 2 6 -2 4 b6 4 6 4 6 s 0 6 10 16 20 n1234【考点】程序框图(8)在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A.31010 B. 1010 C.1010- D. 31010-【答案】C【解析】如图所示，可设1BD AD ==，则2AB =，2DC =，5AC ∴=，由余弦定理知，25910cos 10225A +-==-⨯ 【考点】解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 18365+B. 54185+C. 90D. 81 【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为 2332362393654185⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=+【考点】三视图、多面体的表面积DCAB(10)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是A. 4πB. 9π2C. 6πD. 32π3【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又1322AA =<⨯，所以内接球的半径为32，即V 的最大值为34932R ππ=【考点】内接球半径的求法(11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A. 13B. 12C. 23D. 34【答案】A【解析】易得,2ON OB a MF MF AF a c MF BF a c OE ON AO a -=====+ 12a a c a ca c a a c --∴=⋅=++ 13c e a ∴== 【考点】椭圆的性质、相似(12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（） A ．18个 B ．16个 C ．14个 D ．12个【答案】C 【解析】86011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101⎧⎧→⎧⎪⎪⎪→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪→⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎪→⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎧⎪⎪⎪→⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪→→⎨⎩⎩⎪⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩⎩⎩【考点】数列、树状图第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为________.【答案】32【解析】三条直线的交点分别为()()12,1,1,,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入目标函数可得33,,12-，故最小值为10-【考点】线性规划(14)函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移______个单位长度得到. 【答案】23π【解析】sin 2sin ,sin 2sin 33y x x x y x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可前者的图像可由后者向右平移23π个单位长度得到【考点】三角恒等变换、图像平移(15)已知f (x )为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是______【答案】210x y ++= 【解析】法一：11'()33f x x x-=+=+-，()'12f ∴-=，()'12f ∴=-，故切线方程为210x y ++= 法二：当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，()()1'3,'12f x f x∴=-∴=-，故切线方程为210x y ++= 【考点】奇偶性、导数、切线方程(16)已知直线l：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =，则||CD =__________. 【答案】3【解析】如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF AB ⊥于F，3AB OA OF ==∴=，即3=，m ∴= ∴直线l 的倾斜角为30°3CD AE ∴=== 【考点】直线和圆、弦长公式三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0． (1) 证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； (2) 若53132S =，求λ．【答案】(1) ；(2) 【解析】解：(1) 1,0n n S a λλ=+≠0n a ∴≠当2n ≥时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=- 即()11n n a a λλ--=，0,0,10,n a λλ≠≠∴-≠即1λ≠即()1,21n n a n a λλ-=≥-， ∴{}n a 是等比数列，公比1q λλ=-，当n =1时，1111S a a λ=+=，即111a λ=- 1111n n a λλλ-⎛⎫∴=⋅ ⎪--⎝⎭（2）若53132S =则555111131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-= ⎪-⎝⎭-- 1λ∴=-【考点】等比数列的证明、由n S 求通项、等比数列的性质 (18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑721()0.55ii yy =-=∑7≈2.646.参考公式：12211()()()(y y)nii i nnii i i tt y y r tt ===--=--∑∑∑，回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =- 【答案】(1)见解析；(2)0.920.10y t =+，1.82亿吨【解析】(1) 由题意得123456747t ++++++==，711.3317ii yy ==≈∑711777722221111()()40.1774 1.330.99280.55()()()()nii i ii i ii ii i i i i tt y y t ynt yr tt y y tt y y ======----⨯⨯===≈⨯----∑∑∑∑∑∑因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y 与t 的关系(2) 121()()2.890.10328()nii i nii tt y y b tt ==--==≈-∑∑ 1.330.10340.92a y bt =-=-⨯≈所以y 关于t 的线性回归方程为0.920.10y a bt t =+=+ 将9t =代入回归方程可得， 1.82y =预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨【考点】相关性分析、线性回归 (19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD =AC =3，P A =BC =4，M 为线段AD 上一点，AM =2MD ，N 为PC 的中点. (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】(1) 见解析；(2)8525【解析】(1) 由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接,AT TN ，由N 为PC 中点知//TN BC ，122TN BC ==. ......3分又//AD BC ，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB . ........6分(2) 取BC 中点E ，连接AE ，则易知AE AD ⊥，又PA ⊥面ABCD ，故可以A 为坐标原点，以AE 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()50,0,00,0,45,2,0,1,20,2,02A P CN M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、、、、()55,1,2,0,2,4,,1,222AN PM PN N ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故平面PMN 的法向量()0,2,1n =485cos ,52552AN n ∴<>==⨯ ∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525【考点】线面平行证明、线面角的计算 (20)(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】(1) 见解析；(2) 21y x =- 【解析】(1)法一：由题设1(,0)2F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---.记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分由于F 在线段AB 上，故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a a a ab---=====-=+-. 所以FQ AR ∥. ......5分法二：证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 与AP ∥BQ ，得∠AFP +∠BFQ =90°， ∴∠PFQ =90°， ∵R 是PQ 的中点， ∴RF =RP =RQ ， ∴△P AR ≌△F AR ，∴∠P AR =∠F AR ，∠PRA =∠FRA ，∵∠BQF +∠BFQ =180°﹣∠QBF =∠P AF =2∠P AR ， ∴∠FQB =∠P AR ， ∴∠PRA =∠PQF ， ∴AR ∥FQ ．(2)设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111,222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=. 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y . 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1yx a b x =≠+-. 而2a by +=，所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为21y x =-. ....12分【考点】抛物线、轨迹方程 (21)(本小题满分12分)设函数()()()cos 21cos 1f x a x a x =+-+，其中0a >，记()f x 的最大值为A .(1)求()'f x ；(2)求A ；(3)证明：()'2f x A ≤.【答案】见解析【解析】(1)()()'2sin 21sin f x a x a x =---(2)当1a ≥时，|()||cos 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =因此，32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值， (1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． ①当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-． ②当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． (3)由(1)得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=.当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.【考点】导函数讨论单调性、不等式证明请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

2016年考研数学三真题及答案

2016年考研数学三真题及答案【篇一：2016考研数学三真题(word版)】答题纸指定位置上。

（1）设函数y?f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则（）a.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点b.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点c.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点d.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点ex（2）已知函数f(x,y)?，则（） x?ya.fx??fy??0b.fx??fy??0c.fx???fy???fd.fx???fy???f（3）设jk?di(i?1,2,3)，其中d1??(x,y)0?x?1,0?y?1?，d2?(x,y)0?x?1,0?y?d3??(x,y)0?x?1,x2?y?1?则（）a.j1?j2?j3b.j3?j1?j2c.j2?j3?j1d.j2?j1?j3（4）级数为??n?1?（） n?k)（k为常数）a.绝对收敛b.条件收敛c.发散d.收敛性与k有关（5）设a,b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是（） a.a与b相似1我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ ttb.a与b相似c.a?a与b?b相似d.a?a与b?b相似222（6）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正负惯性指数分别?1?1tt?1?1为1,2，则（）a.a?1b.a??2c.?2?a?1d.a?1或a??2（7）设a,b为两个随机变量，且0?p(a)?1,0?p(b)?1，如果p(ab)?1，则（） a.p(ba)?1 b.p(ab)?0c.p(a?b)?1d.p(ba)?1（8）设随机变量x与y相互独立，且x~n(1,2),y~n(1,4)，则d(xy)=（）a.6b.8c.14d.15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。