离散数学第七章图

第七章图

在自然界和人类社会的实际生活中，用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。例如用工艺流程图来描述某项工程中各工序之间的先后关系，用网络图来描述某通讯系统中各通讯站之间信息传递关系，用开关电路图来描述IC中各元件电路导线连接关系等等。图论起源于18世纪，它是研究由线连成的点集的理论。一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点之间连接与否最重要，而连接线的曲直长短则无关紧要。由此经数学抽象产生了图的概念。研究图的基本概念和性质、图的理论及其应用构成了图论的主要内容。

7.1 图的基本概念

7.1.1图的定义

7.1.1.1无向图

定义7.1.1 设A，B是任意集合。集合{(a,b)|a∈A且b∈B}称为A和B的无序积，记为A ＆B。

在无序积中，两个元素间的顺序是无关紧要的，即(a,b)＝(b,a)。

定义7.1.2 无向图G是一个二元组，记作G＝，其中V是一个非空有限集合，其元素称为结点(顶点)。E是一个V＆V的多重子集，其元素称为边(无向边)。

我们可用平面上的点来表示顶点，两点间的连线表示边，从而将任一个无向图用图形表示出来。

［例7.1.1］无向图G＝，其中V={a，b，c，d，e，f}，E={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,b)，(b,c)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}。

7.1.1.2有向图

定义7.1.3 有向图G是一个二元组，记作G＝，其中V是一个非空有限集合，其元素称为顶点，E是一个V⨯V的多重子集，其元素称为有向边或弧，简称为边。

注：1)在有向图G＝中，若e=〈u，v〉，则称u和v为e的起点和终点；

2)自回路既可看成是有向边又可看成是无向边；

3)去掉有向图中边的方向得到的图称为该有向图的基图。

［例7.1.2］有向图G＝，其中V={a，b，c}，E={，，，，，}。

7.1.1.3相关概念

在无向图或有向图中，

1）有限图与无限图；

2）n阶图；|V|=n;

3) 零图 E=Φ；

4）平凡图（|V|=n ，E=Φ）；

5)对于无向图，若边e=(u,v)，则称u和v是边 e的端点，称边 e关联于u和v，若u=v，则称此为环，边与顶点的关联次数是0，1，2；至少有一条边相连的两个顶点相邻；至少一个公共顶点的两条边相邻

6)对于有向图，若边e=，则称u和v是边 e的端点，称u是边 e的始点，v是边 e的终点，称u邻接到v。

7)关联于同一个顶点的边称为环（自回路）；若关联于同一对顶点的边多于一条时，称这些边为平行边，平行边的条数称为边的重数；

8)不与任何顶点邻接的顶点称为孤立点；含有平行边的图称为多重图，不含有平行边，也不含环的图称为简单图；

7.1.2顶点的度数，握手定理

定义7.1.4 (1)在无向图G=〈V，E〉中，v∈V。与v关联的边数称为v的度数，记为deg(v)；

(2) 在有向图G=〈V，E〉中，v∈V。以v为始点的边数称为v的出度，记为deg＋(v)；以v 为终点的边数称为v的入度，记为deg－(v)；称deg(v)= deg＋(v)+ deg－(v)称为v的度(数)。［例7.1.3］求例7.1.1中无向图每个顶点的度数；求例7.1.3中有向图每个顶点的出度、入度和度。

注：若结点有自回路，则结点的度数因此而增加2；若有向图的结点v有自回路，则它的出度和入度分别因此而增加1。孤立结点的度数为0。

定理7.1.1 (Euler握手定理)在图G=中, ∑

∈V

v

deg(v)=2|E|。

推论7.1.1 任何图中度数为奇数的结点为偶数个。

定理7.1.2 在有向图G=中有

∑∈V v deg＋(v)= ∑

∈V

v

deg－(v)=|E|。

度序列，出度序列，入度序列：

定理7.1.3：度序列可图化的充要条件是度序列之和是偶数。

［例7.1.4］（1）3，2，3，3 5，2，3，1，4，7可图化吗？

（2）一知一个图有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，问该图至少有几个顶点？

7.1.3子图

定义7.1.5 设图G=和G´=，

（1）若V´⊆Ｖ，Ｅ´⊆Ｅ，则称Ｇ´是Ｇ的子图，记为G´⊆G；

（2）若G´⊆G且V´⊂Ｖ或Ｅ´⊂Ｅ，则称Ｇ´是Ｇ的真子图，记为G´⊂G；

（3）若G´⊆G且V´=V，则称Ｇ´是Ｇ的生成子图；

（4）V´⊆V，V´Φ

≠，以V´为顶点集，以所有端点均在V´中的G的边为边集的图称为由V´诱导出的Ｇ的子图；

（5）E´⊆E，E´Φ

≠，以E´为边集，以E´中的边的端点点为顶点集的图称为由E´诱导出

的Ｇ的子图；

［例7.1.5］求例7.1.1中无向图的子图、生成子图、由边集诱导的子图和由顶点集诱导的子图。

7.1.4完全图、补图和图的同构

定义7.1.6 在无向简单图G=〈V，E〉中，|V|=n。若每对结点都邻接(即每对结点之间都有

边)，则称之为无向完全图，记为K

n

。

类似地，可以定义有向完全图。

［例7.1.6］K

2，K

3

，K

4

，K

5

及2、3、4、5个顶点的有向完全图。

定义7.1.7 设G=是简单图，|V|=n，H=。若E⋂E'=Φ且E⋃E'=E(K n)，则称图H是G的补图，记为G。

G和G互为补图。

［例7.1.7］求补图。

定义7.1.8 设图G

1=

1

，E

1

>，G

2

=

2

，E

2

>。若存在双射f：V

1

—>V

2

，满足：∀u，v∈V1，

[u,v]∈E

1⇔[f(u),f(v) ]∈E2且[u,v]的重数和[f(u),f(v)]的重数相等 ([u,v]指(u,v)或

[u,v])，则称G

1和G

2

同构，记为G

1

≌G

2

。

由于一个图是由其顶点集和边集所决定的，而同构的两个图中顶点集之间存在一一对应关系，且这种对应关系保持顶点间的邻接关系及边的重数，故抽象地看，两个同构的图本质上是一样的。

两个图同构的必要条件：

顶点数相等; 边数相等; 所有顶点度数之和相等；度数相同的顶点数相等。

自补图

7.2 通路、回路、图的连通性

7.2.1通路和回路

定义7.2.1 给定图G=〈V，E〉，设v

0,v

1

,…,v

n

∈V，e

1

,e

2

,…,e

n

∈E，顶点和边交替出现的

序列v

0e

1

v

1

e

2

…e

n

v

n

称为从顶点v

到v

n

的通路，v

和v

n

分别称为该通路的起点和终点；称

通路上的边数为该通路的长度。

当v

0和v

n

相等时，称该通路为回路或圈。

若通路(回路)的所有边都各不相同，则称该通路(回路)为简单通路(回路)；若通路(回路)的所有顶点都各不相同，则称该通路(回路)为初级通路(回路)。

［例7.2.1］求下图的通路、回路、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路