离散数学第七章图

第七章图在自然界和人类社会的实际生活中，用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。

例如用工艺流程图来描述某项工程中各工序之间的先后关系，用网络图来描述某通讯系统中各通讯站之间信息传递关系，用开关电路图来描述IC中各元件电路导线连接关系等等。

图论起源于18世纪，它是研究由线连成的点集的理论。

一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。

事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。

由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点之间连接与否最重要，而连接线的曲直长短则无关紧要。

由此经数学抽象产生了图的概念。

研究图的基本概念和性质、图的理论及其应用构成了图论的主要内容。

7.1 图的基本概念7.1.1图的定义7.1.1.1无向图定义7.1.1 设A，B是任意集合。

集合{(a,b)|a∈A且b∈B}称为A和B的无序积，记为A ＆B。

在无序积中，两个元素间的顺序是无关紧要的，即(a,b)＝(b,a)。

定义7.1.2 无向图G是一个二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V是一个非空有限集合，其元素称为结点(顶点)。

E是一个V＆V的多重子集，其元素称为边(无向边)。

我们可用平面上的点来表示顶点，两点间的连线表示边，从而将任一个无向图用图形表示出来。

［例7.1.1］无向图G＝<V，E>，其中V={a，b，c，d，e，f}，E={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,b)，(b,c)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}。

7.1.1.2有向图定义7.1.3 有向图G是一个二元组<V，E>，记作G＝<V，E>，其中V是一个非空有限集合，其元素称为顶点，E是一个V⨯V的多重子集，其元素称为有向边或弧，简称为边。

注：1)在有向图G＝<V，E>中，若e=〈u，v〉，则称u和v为e的起点和终点；2)自回路既可看成是有向边又可看成是无向边；3)去掉有向图中边的方向得到的图称为该有向图的基图。

［例7.1.2］有向图G＝<V，E>，其中V={a，b，c}，E={<a,a>，<a,a>，<a,b>，<b,c>，<b,c>，<c,b>}。

7.1.1.3相关概念在无向图或有向图中，1）有限图与无限图；2）n阶图；|V|=n;3) 零图 E=Φ；4）平凡图（|V|=n ，E=Φ）；5)对于无向图，若边e=(u,v)，则称u和v是边 e的端点，称边 e关联于u和v，若u=v，则称此为环，边与顶点的关联次数是0，1，2；至少有一条边相连的两个顶点相邻；至少一个公共顶点的两条边相邻6)对于有向图，若边e=<u,v>，则称u和v是边 e的端点，称u是边 e的始点，v是边 e的终点，称u邻接到v。

7)关联于同一个顶点的边称为环（自回路）；若关联于同一对顶点的边多于一条时，称这些边为平行边，平行边的条数称为边的重数；8)不与任何顶点邻接的顶点称为孤立点；含有平行边的图称为多重图，不含有平行边，也不含环的图称为简单图；7.1.2顶点的度数，握手定理定义7.1.4 (1)在无向图G=〈V，E〉中，v∈V。

与v关联的边数称为v的度数，记为deg(v)；(2) 在有向图G=〈V，E〉中，v∈V。

以v为始点的边数称为v的出度，记为deg＋(v)；以v 为终点的边数称为v的入度，记为deg－(v)；称deg(v)= deg＋(v)+ deg－(v)称为v的度(数)。

［例7.1.3］求例7.1.1中无向图每个顶点的度数；求例7.1.3中有向图每个顶点的出度、入度和度。

注：若结点有自回路，则结点的度数因此而增加2；若有向图的结点v有自回路，则它的出度和入度分别因此而增加1。

孤立结点的度数为0。

定理7.1.1 (Euler握手定理)在图G=<V，E>中, ∑∈Vvdeg(v)=2|E|。

推论7.1.1 任何图中度数为奇数的结点为偶数个。

定理7.1.2 在有向图G=<V，E>中有∑∈V v deg＋(v)= ∑∈Vvdeg－(v)=|E|。

度序列，出度序列，入度序列：定理7.1.3：度序列可图化的充要条件是度序列之和是偶数。

［例7.1.4］（1）3，2，3，3 5，2，3，1，4，7可图化吗？（2）一知一个图有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，问该图至少有几个顶点？7.1.3子图定义7.1.5 设图G=<V，E>和G´=<V´，E´>，（1）若V´⊆Ｖ，Ｅ´⊆Ｅ，则称Ｇ´是Ｇ的子图，记为G´⊆G；（2）若G´⊆G且V´⊂Ｖ或Ｅ´⊂Ｅ，则称Ｇ´是Ｇ的真子图，记为G´⊂G；（3）若G´⊆G且V´=V，则称Ｇ´是Ｇ的生成子图；（4）V´⊆V，V´Φ≠，以V´为顶点集，以所有端点均在V´中的G的边为边集的图称为由V´诱导出的Ｇ的子图；（5）E´⊆E，E´Φ≠，以E´为边集，以E´中的边的端点点为顶点集的图称为由E´诱导出的Ｇ的子图；［例7.1.5］求例7.1.1中无向图的子图、生成子图、由边集诱导的子图和由顶点集诱导的子图。

7.1.4完全图、补图和图的同构定义7.1.6 在无向简单图G=〈V，E〉中，|V|=n。

若每对结点都邻接(即每对结点之间都有边)，则称之为无向完全图，记为Kn。

类似地，可以定义有向完全图。

［例7.1.6］K2，K3，K4，K5及2、3、4、5个顶点的有向完全图。

定义7.1.7 设G=<V，E>是简单图，|V|=n，H=<V，E'>。

若E⋂E'=Φ且E⋃E'=E(K n)，则称图H是G的补图，记为G。

G和G互为补图。

［例7.1.7］求补图。

定义7.1.8 设图G1=<V1，E1>，G2=<V2，E2>。

若存在双射f：V1—>V2，满足：∀u，v∈V1，[u,v]∈E1⇔[f(u),f(v) ]∈E2且[u,v]的重数和[f(u),f(v)]的重数相等 ([u,v]指(u,v)或[u,v])，则称G1和G2同构，记为G1≌G2。

由于一个图是由其顶点集和边集所决定的，而同构的两个图中顶点集之间存在一一对应关系，且这种对应关系保持顶点间的邻接关系及边的重数，故抽象地看，两个同构的图本质上是一样的。

两个图同构的必要条件：顶点数相等; 边数相等; 所有顶点度数之和相等；度数相同的顶点数相等。

自补图7.2 通路、回路、图的连通性7.2.1通路和回路定义7.2.1 给定图G=〈V，E〉，设v0,v1,…,vn∈V，e1,e2,…,en∈E，顶点和边交替出现的序列v0e1v1e2…envn称为从顶点v到vn的通路，v和vn分别称为该通路的起点和终点；称通路上的边数为该通路的长度。

当v0和vn相等时，称该通路为回路或圈。

若通路(回路)的所有边都各不相同，则称该通路(回路)为简单通路(回路)；若通路(回路)的所有顶点都各不相同，则称该通路(回路)为初级通路(回路)。

［例7.2.1］求下图的通路、回路、简单通路、简单回路、初级通路、初级回路每一初级通路(回路)一定是简单通路(回路)；反之则不然。

在简单图中，可以用顶点序列来表示通路(回路)，当然在不产生二义性的前提下也可以用边的序列来表示通路(回)路。

定理7.2.1 给定图G=<V ，E>，|V|=n ，u,v ∈V 。

若存在一条从u 到v 的一条通路，则必有一条从u 到v 的长度不超过n-1的通路。

推论7.2.1 给定图G=<V ，E>，|V|=n ，u,v ∈V 。

若存在一条从u 到v 的一条通路，则必有一条从u 到v 的长度不超过n-1的初级通路。

定理7.2.2 给定图G=<V ，E>，|V|=n ，u ∈V 。

若存在经过u 的一条回路，则必有一条经过u 的长度不超过n 的回路。

注： 在一个具有n 个顶点的图中，（1）任何初级通路的长度均不大于n-1； （2）任何初级回路的长度均不大于n 。

7.2.2图的连同性定义7.2.2 给定图G=〈V ，E 〉，u,v ∈V 。

若存在从u 到v 的通路，则称从u 到v 是可达的或称u 可达v 。

规定任一个顶点总是可达自身。

定义7.2.3 给定无向图G=〈V ，E 〉。

若G 的任何两个顶点是相互可达的，则称G 是连通图，否则称G 是非连通图。

在无向图G=〈V ，E 〉中，定义关系R V V ⨯⊆为：∀ u,v ∈V ，uRv ⇔ u 可达v 。

则R 是V 上的一个等价关系，从而可以决定V 的一个划分，我们称每一个由划分块诱导出的G 的子图为G 的连通分支，用p(G)表示G 的连通分支数。

每个顶点在且仅在一个连通分支中。

若p(G)＝1，则G 是连通图。

［例7.2.2］ 给出连通图、非连通图；图的连通分支。

定义7.2.4 给定有向图G=〈V ，E 〉。

对任何两顶点u,v ∈V ， （1）若u 和v 相互可达，则称G 是强连通的；（2）若u 和v 至少有一个可达另一个，则称G 是单向连通的；（3）若其基图是连通的，则称G是弱连通的。

［例7.2.3］给出强连通图、单向连通图和弱连通图。

强连通图 => 单向连通图 => 弱连通图。

定理7.2.3 有向图G是强连通的⇔G中有一回路，它至少通过每个顶点一次。

定义7.2.5 给定图G=〈V，E〉，u,v∈V。

若u可达v，则称从u到v的长度最短的通路为u 与v之间的短程线，其长度称为u到v的距离，记为d(u,v)。

7.2.3点割集，割点，边割集，桥(1)点割集和割点定义7.2.6设无向图G=〈V，E〉若存在顶点子集V´⊆V，使G删除V´后，所得子图G-V´的连通分支数P(G-V´)>P(G),而删除V´的任何真子集V''后,P(G-V'')=P(G),则 V´为G的点割集,如果V´只有一个顶点v,则称v为割点（2）边割集和桥定义7.2.7设无向图G=〈V，E〉若存在边子集E´⊆V，使G删除E´后，所得子图G-E´的连通分支数P(G-E´)>P(G),而删除E´的任何真子集E''后,P(G-E'')=P(G),则 E´为G的边割集,如果E´只有一个顶点e,则称e为桥.7.3 图的矩阵表示7.3.1无向图的关联矩阵7.3.1 设有向图G=<V，E>，V={v1，v2，…，vn}，E={e1,e2,…,em},则n⨯m阶方阵A=(a ij)称为G的关联矩阵，记为M(G)=(mij ),其中mij为vi与边ej关联的次数(0,1,2)。