1.1-1.2矢量概念、矢量加法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图
差向量作图歌
求差并起点， 连接两终点；
欲问何方向？ 箭头指前者。
重要不等式(三角不等式)
ab a b
a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 a2 a1 a3
例3 用矢量的方法证明:对角线互相平分的四边形是 平行四边形. C D 证: 设四边形ABCD的对角线 AC、BD相交于O点且互相 O 平分(如图). 作辅助矢量. A B 由图可以看出
AB AO OB OC DO DC 即 AB DC 所以, AB // DC , AB DC ,即四边形ABCD
非欧几何
1 罗氏几何（罗巴切夫斯基几何）：过一
直线外一点能做两条以上直线与其共面不相交
模型
2 黎曼几何 ：过一直线外一点所做直线总是与
其共面相交
模型？
黎曼几何模型
解析几何：笛卡儿坐标思想，空间，向量代数
微分几何：数学分析思想，空间，张量代数 射影几何（高等几何）：变换群思想 几何基础
当代几何发展
• 矢量（定义1.1.1),(向量) • 矢量的表示:有向线段. • 字母表示: AB , a （黑体）
A
矢量的模及表示
AB , a
a 1
a
B
（注意箭头）
单位矢量及平行矢量
a // b
零矢量
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
与直线和平面平行的向量
矢量相等（定义1.1.2), a b
5）面只有长度和宽度
6）面的界限是线 7）平面是与其上直线看齐的那种面 ……
公设
1 从每点到每个别的点必定可以引直线
2 每条直线都可以无限延长
3 以任意点为心，可以用任意半径做圆
4 所有直角都相等
5 （在一平面上）若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线 无限延长后必定相交于该侧的一点
规定零向量与任何向量都-------自由矢量 反矢量(定义1.1.3):模相等、方向相反
a
共线向量（定义1.1.4)
共面矢量(定义1.1.5) 共线矢量一定是共面矢量
练习题(pp3, 1-5)
• 背景 • 三角形法则(定义1.2.1)
1.2 矢量的加法
b
O
ab
a
a
b
ab
a
b
a4
a1 a2 a3 a4
• 例1 设互不共线的三个矢量 a、 与c ，试证明 b
顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形 的充要条件是它们的和为零矢量.
证明: 先证必要性. 即已知三个矢量可以构成三 角形 ABC .(如图), 即有 AB a, BC b, CA c
B1 用 a, b, c 来表示 c 对角线矢量 AC1 , AC 1 aA
解: 作辅助线 B
AB a, AD b, AA1 c
A1
D1
C1
b
D C
AC1 AB BC CC1 AB AD AA1 abc A1C A1 A AB BC AA1 AB AD c a b (注意另外的算法)
c与a的差，记做b c a
b ca c b 或 a c b a 移项 a b c a c b 特别地b ( b) 0 c b c (b),
为平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形) 证毕.
思考与练习: 第14页:1;5 作业:第14页：2
这条公设就是著名的第五公设
公理
1 等于同量的量相等 2 等量加等量，总量仍相等 3等量减等量，余量仍相等 4 能重合的量相等 5 整体大于部分
逻辑 排中律，同一律等形式逻辑
欧几里德的公理体系有什么问题?
问题：
1在一定线上做等边三角形（直尺、圆规）
2 试证第五公设及质疑
第五公设的等价命题
过一直线外一点只能做一条 直线与其共面不相交
A
B
平行四边形法则(定理1.2.1)
B ab b
C
特别地, a 0 a
O
a (a) 0
a
A
定理1.2.2 矢量的加法满足下面的运算律
结合律 (a b) c a (b c) 交换律简单证明: 由右图可得 a
解析几何
一门利用坐标和向量代数研究空间 图形的学科
几何简介
• 一、欧几里德（Euclid)几何 • 几何原本及内容 • 1、概念
• • • • • 1）点没有部分 2）线只有长度没有宽度 3）线的界限是点 4）直线是同其中各点看齐的线 （这个定义据信是从泥水匠的水准器或从一只 眼睛沿着线往前看的结果得到启发而作出的）
b
B C
构成一个三角形. 作 AB a, BC b,
那么由图可知, AC a b, 所以 AC c 即 CA c
证毕.
A
a
例2 如图, 在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中,
证完
以后多个矢量相加可以不加括号
a1 a2 a3 an
折线法则（多边形法则）
a2
a1
a3
a4
a1 a 2 a 3 a 4
矢量的减法（定义1.2.2)
若有 a b c , 则称 b 是
a b OA AC OC b a OB BC OC
交换律得证.
交换律:
ab ba
b
O
B
ab
C
a
b
A
再证结合律
a
O
A
b
B
c
C
(a b) c (OA AB) BC OB BC OC a (b c) OA ( AB BC ) OA AC OC
第一章 矢量与坐标
• • • • • • • • • • 1.1 矢量的概念 1.2 矢量的加法 1.3 数量乘矢量 1.4矢量的线性关系与矢量的分解 1.5标架与坐标 1.6矢量在轴上的射影 1.7两矢量的数性积 1.8两矢量的矢性积 1.9三矢量的混合积 *1.10 三矢量的双重矢性积
1.1 矢量的概念
例题
只需要证明 事实上
abc 0
c
A
a
c
b
AB a b c BC CA
AA 0
a
b
B
C
必要性得证.
再证充分性, 即已知
a b c 0, 证明它们可以
差向量作图歌
求差并起点， 连接两终点；
欲问何方向？ 箭头指前者。
重要不等式(三角不等式)
ab a b
a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 a2 a1 a3
例3 用矢量的方法证明:对角线互相平分的四边形是 平行四边形. C D 证: 设四边形ABCD的对角线 AC、BD相交于O点且互相 O 平分(如图). 作辅助矢量. A B 由图可以看出
AB AO OB OC DO DC 即 AB DC 所以, AB // DC , AB DC ,即四边形ABCD
非欧几何
1 罗氏几何（罗巴切夫斯基几何）：过一
直线外一点能做两条以上直线与其共面不相交
模型
2 黎曼几何 ：过一直线外一点所做直线总是与
其共面相交
模型？
黎曼几何模型
解析几何：笛卡儿坐标思想，空间，向量代数
微分几何：数学分析思想，空间，张量代数 射影几何（高等几何）：变换群思想 几何基础
当代几何发展
• 矢量（定义1.1.1),(向量) • 矢量的表示:有向线段. • 字母表示: AB , a （黑体）
A
矢量的模及表示
AB , a
a 1
a
B
（注意箭头）
单位矢量及平行矢量
a // b
零矢量
0ห้องสมุดไป่ตู้
0
与直线和平面平行的向量
矢量相等（定义1.1.2), a b
5）面只有长度和宽度
6）面的界限是线 7）平面是与其上直线看齐的那种面 ……
公设
1 从每点到每个别的点必定可以引直线
2 每条直线都可以无限延长
3 以任意点为心，可以用任意半径做圆
4 所有直角都相等
5 （在一平面上）若一直线与两直线相交，且 若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线 无限延长后必定相交于该侧的一点
规定零向量与任何向量都-------自由矢量 反矢量(定义1.1.3):模相等、方向相反
a
共线向量（定义1.1.4)
共面矢量(定义1.1.5) 共线矢量一定是共面矢量
练习题(pp3, 1-5)
• 背景 • 三角形法则(定义1.2.1)
1.2 矢量的加法
b
O
ab
a
a
b
ab
a
b
a4
a1 a2 a3 a4
• 例1 设互不共线的三个矢量 a、 与c ，试证明 b
顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形 的充要条件是它们的和为零矢量.
证明: 先证必要性. 即已知三个矢量可以构成三 角形 ABC .(如图), 即有 AB a, BC b, CA c
B1 用 a, b, c 来表示 c 对角线矢量 AC1 , AC 1 aA
解: 作辅助线 B
AB a, AD b, AA1 c
A1
D1
C1
b
D C
AC1 AB BC CC1 AB AD AA1 abc A1C A1 A AB BC AA1 AB AD c a b (注意另外的算法)
c与a的差，记做b c a
b ca c b 或 a c b a 移项 a b c a c b 特别地b ( b) 0 c b c (b),
为平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形) 证毕.
思考与练习: 第14页:1;5 作业:第14页：2
这条公设就是著名的第五公设
公理
1 等于同量的量相等 2 等量加等量，总量仍相等 3等量减等量，余量仍相等 4 能重合的量相等 5 整体大于部分
逻辑 排中律，同一律等形式逻辑
欧几里德的公理体系有什么问题?
问题：
1在一定线上做等边三角形（直尺、圆规）
2 试证第五公设及质疑
第五公设的等价命题
过一直线外一点只能做一条 直线与其共面不相交
A
B
平行四边形法则(定理1.2.1)
B ab b
C
特别地, a 0 a
O
a (a) 0
a
A
定理1.2.2 矢量的加法满足下面的运算律
结合律 (a b) c a (b c) 交换律简单证明: 由右图可得 a
解析几何
一门利用坐标和向量代数研究空间 图形的学科
几何简介
• 一、欧几里德（Euclid)几何 • 几何原本及内容 • 1、概念
• • • • • 1）点没有部分 2）线只有长度没有宽度 3）线的界限是点 4）直线是同其中各点看齐的线 （这个定义据信是从泥水匠的水准器或从一只 眼睛沿着线往前看的结果得到启发而作出的）
b
B C
构成一个三角形. 作 AB a, BC b,
那么由图可知, AC a b, 所以 AC c 即 CA c
证毕.
A
a
例2 如图, 在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中,
证完
以后多个矢量相加可以不加括号
a1 a2 a3 an
折线法则（多边形法则）
a2
a1
a3
a4
a1 a 2 a 3 a 4
矢量的减法（定义1.2.2)
若有 a b c , 则称 b 是
a b OA AC OC b a OB BC OC
交换律得证.
交换律:
ab ba
b
O
B
ab
C
a
b
A
再证结合律
a
O
A
b
B
c
C
(a b) c (OA AB) BC OB BC OC a (b c) OA ( AB BC ) OA AC OC
第一章 矢量与坐标
• • • • • • • • • • 1.1 矢量的概念 1.2 矢量的加法 1.3 数量乘矢量 1.4矢量的线性关系与矢量的分解 1.5标架与坐标 1.6矢量在轴上的射影 1.7两矢量的数性积 1.8两矢量的矢性积 1.9三矢量的混合积 *1.10 三矢量的双重矢性积
1.1 矢量的概念
例题
只需要证明 事实上
abc 0
c
A
a
c
b
AB a b c BC CA
AA 0
a
b
B
C
必要性得证.
再证充分性, 即已知
a b c 0, 证明它们可以