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机械振动习题解答（四）·连续系统的振动

连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析

杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程

22

222y y c t x

∂∂=∂∂ (1)

此式为一维波动方程。式中，对杆，y

为轴向变形，c =y 为扭转

角，c ；对弦，y

为弯曲挠度，c =。

令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得

20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为

12()cos sin Y x C kx C kx =+

(3)

将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应

的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有

/00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ∂∂=⎧⎫⎪⎪

'=⇒=⎨⎬∂∂=⎪⎪⎩⎭

对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩

(4)

类似地，梁的弯曲振动微分方程

24240y y

A EI t x

ρ∂∂+=∂∂

(5)

振型函数满足 (4)442

0, A

Y k Y k EI

ρω-==

(6) 式(6)的解为

1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++

(7)

梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=∂∂，弯矩22/M EI y x =∂∂，剪力

33//Q M x EI y x =∂∂=∂∂。所以梁的可能的边界条件有

000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8)

2 受迫振动

杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为

222222222222(,)

(,), (,)

p p u u

A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y

T f x t t x

ρθθ

ρρ∂∂=+∂∂∂∂=+=∂∂∂∂=+∂∂杆：轴：弦：

(9)

下面以弦为例。令1

(,)()()n n n y x t Y x t ϕ∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得

1

1

(,)n n n n n n Y T Y f x t ρϕϕ∞

∞

==''-=∑∑&&

(10)

考虑到式(2)，式(10)可改写为

2

1

1

(,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρϕϕ∞

∞

==+=∑∑&& (11)

对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得

222

(,)l

l

l

n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρϕϕ+=⎰⎰⎰&&

2

200()

, ()(,), l l n n n n n n n Q t Q t Y f x t dx b Y dx b

ϕωϕρ+=

==⎰⎰&&

(12)

当(,)()i t f x t F x e ω=简谐激励时，式(12)的稳态响应解为

222

20()111()()l i t

n n n n n Q t t Y F x dx e b b

ωϕρωωωωρ=

=--⎰ 全响应解为

2

2011()()sin sin l n n n n n t Y F x dx t t b ω

ϕωωρωωω⎛⎫=

- ⎪-⎝⎭

⎰ 当(,)()f x t F x =阶跃激励时，式(12)的解为()2()1

()1cos n n n n

Q t t t b ϕωρω=

- 类似地，梁的弯曲振动微分方程

2424(,)y y

A EI f x t t x

ρ∂∂+=∂∂

(13)

令1

(,)()()n n n y x t Y x t ϕ∞

==∑，代入式(13)，经过一系列处理，得

2

200()

, ()(,), l l n n n n n n n Q t Q t Y f x t dx b Y dx Ab

ϕωϕρ+=

==⎰⎰&& (14)

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 解题步骤

1 自由振动分析

①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数； ②写出边界条件；

③把振型函数代入边界条件，消去待定系数，得到频率方程。 2 受迫振动分析

①写出激励f (x , t )的表达式；

②通过以上自由振动分析的步骤得到振型函数Y n (x )； ③计算Q n (t )和b ，得到式(12)或(14)，求解主坐标φn (t )。

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.1 求阶梯杆纵向振动的频率方程。

解：振型函数：1111

22212

()cos sin , 0()()cos sin , U x C kx D kx x l U x U x C kx D kx l x l =+≤≤⎧=⎨=+≤≤⎩

，其中k =

边界条件： 1(0)0U = 10C ⇒= ① 212()

0dU l l dx

+=

2212tan ()D C k l l ⇒=+

② 连续性条件：1121()()U l U l =

112121sin cos sin D kl C kl D kl ⇒=+

③

11211

2()()

dU l dU l EA EA dx dx

= []11122121cos cos sin A D kl A D kl C kl ⇒=- ④ ②式代入③式得 []112112tan 1tan tan ()D kl C kl k l l =++

②式代入④式得 []1212121tan ()tan /D C k l l kl A A =+-

所以频率方程 []1121121211tan tan ()tan tan ()tan /kl k l l kl k l l kl A A ++=+-

即

1121

122112tan ()tan tan tan 1tan tan ()

A k l l kl kl kl A kl k l l +-==++ ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.2 长度为L 、惯性矩为I s 的轴两端各带有惯性矩为I 0圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在I s <