小学数学奥数基础教程(四年级)--18
小学奥数教案-第18讲-重叠问题(教)
教师辅导讲义 学员编：年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 教师： 授课主题第18讲-重叠问题 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类知识梳理1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C BA【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小典例分析图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．A B【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．÷⨯=由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？AC B【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？AC B【解析】因为403272>，所以必有人两项制作都完成了．+=，7255由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数4032=+-完成了两项制作的人数，即5572=-完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：725517-=(人)．3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参331，100610．根据包含排除法，能被中任一个整除的数有3320+、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于张板盖住的总面积是张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？5、四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．（也可画图分析）1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．(Summary-Embedded)——归纳总结容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
小学数学四年级奥数基础教程目录
小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
小学数学奥数辅导讲座(四年级)
- 1 -小学四年级奥数辅导讲座第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
小学四年级奥数教程-乘法原理
进阶练习题
总结词
强化乘法原理的应用
详细描述
通过较为复杂的乘法原理题目，引导学生运用乘法原理解决实际问题，培养 学生的数学思维和解决问题的能力。
高阶练习题
总结词
拓展思维和提高难度
详细描述
通过一些高难度的乘法原理题目，挑战学生的数学思维和逻辑推理能力，提高学 生对数学的兴趣和自信心。
THANKS
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计算方法
将n进行组合，然后将m进行排列，最后计算组合数
利用乘法原理计算概率
概率公式
$P(A) = (n(A) / n(S))$
计算方法
将A事件发生的可能性n(A)与总事件数n(S)相除，得到概率P(A)
04
乘法原理在奥数中的应用
利用乘法原理解决奥数问题
涉及乘法原理的数学问题
这类问题通常涉及到分类和分步计数原理的运用，比如排列组合、概率统计等。
乘法原理的重要性
基础知识
乘法原理是概率论和统计学中的基础知识，是理解和分析数据的重要工具之 一。
实际应用
乘法原理在各个领域都有广泛的应用，如生物学、医学、社会科学、工程技 术和金融等。
乘法原理的应用
数据分析
乘法原理可以用来分析数据， 评估两个或多个因素之间的相 互作用，从而更好地理解数据
的分布和特征。
解决方法
通过将问题分解成多个步骤，每个步骤分别解决，最后再合并得到答案。
利用乘法原理解决复杂组合问题
涉及乘法原理的组合问题
这类问题需要运用到乘法原理和组合数学的知识，比如将一 排物品取出若干个的组合数等。
解决方法
通过运用乘法原理计算组合数的公式来解决，注意要分清是 有序还是无序的组合。
利用乘法原理解决概率问题
小学四年级奥数题集及解析(四)
小学四年级奥数题集及解析（四）【篇一】小学四年级奥数经典题型（四位数问题）：如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那么这样的四位数最多能有多少个?四位数答案：四位数的千位数字是1，百位数字(设为a)可在0、2、3、4、5、6、7中选择，这时三位数的百位数字是9-a;四位数字的十位数字设为b，可在剩下的6个数字中选择，三位数的十位数字是9-b.四位数的个位数字c可以在剩下的4个数字中选择，三位数的个位数字是9-c.因此，所说的四位数有7×6×4=168个。
一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。
问：(1)如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的排列顺序?(2)如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序?舞蹈节目答案：4个舞蹈节目排在一起，现将4个舞蹈节目排序，有种方法，再将这4个舞蹈节目*在一起，视为1个节目，加上6个演唱节目那么就变成7个节目混排，有种方法，所以共有种排列顺序。
AB间距问题：甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇。
相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇。
求A、B两地间的距离?AB间距答案：第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离。
当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285(千米)，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3?25=285?25=260(千米)。
【篇二】李明买回4个篮球5个排球一共用185元,一个篮球比一个排球贵8元,篮球的单价是________元。
答案与解析:25元。
解析：(185-4×8)÷(5+4)+8=25(元)。
小学数学奥数基础教材(四年级)
小学数学奥数基础教程 (四年级 )本教程共30 讲乘法原理让我们先看下边几个问题。
例 1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不一样搭配？解析与解：由以下图可以看出，帽子和鞋共有6 种搭配。
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。
第一步戴帽子，有 3 种方法；第二步穿鞋，有 2 种方法。
对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，因此不一样的搭配共有3×2＝ 6（种）。
例 2 从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2 条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不一样的走法？解析与解：用 A 1，A2表示从甲地到乙地的 2 条路，用 B1，B2，B3表示从乙地到丙地的 3 条路，用 C1，C2表示从丙地到丁地的 2 条路（见下页图）。
共有下边 12 种走法：A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1A1B1C2 A1B2C A1B3C2A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2事实上，从甲到丁是分三步走的。
第一步甲到乙有 2 种方法，第二步乙到丙有 3 种方法，第 3 步丙到丁有 2 种方法。
对于第一步的每种方法，第二步都有 3 种方法，因此从甲到丙有 2× 3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有 2 种方法，因此不一样的走法共有2×3×2＝ 12（种）。
以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。
乘法原理：假如完成一件任务需要分红 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1种方法，做第 2 步有 m2种方法做第 n 步有 m n种方法，那么依据这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2× × mn种不一样的方法。
从乘法原理可以看出：将完成一件任务分红几步做，是解决问题的重点，而这几步是完成这件任务缺一不行的。
小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版
小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版第十八讲图解法图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。
在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。
图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。
有时，作出了图形，答案便在图形中。
（一）示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。
小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。
例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。
谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）解：作图18-1。
哥哥吃了8个后，剩下苹果：10-8=2（个）弟弟吃了5个后，剩下苹果：10-5=5（个）弟弟剩下的苹果比哥哥的多：5-2=3（个）答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。
例2 一桶煤油，倒出40％，还剩18升。
这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）解：作图18-2。
从图中可看出，倒出40％后，还剩：1-40％=60％这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：18÷60％=30（升）例2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。
他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。
问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）解：作图18-5。
从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。
他出生的时间是：1910-82=1828（年）答略。
解：作图18-6。
综合算式：答略。
（三）思路图小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。
如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。
这种表示思维过程的图形就是思路图。
例题参见前面的分析法和综合法。
（四）正方形图借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。
小学四年级奥数基础教程大全
第一章：加减法1.1加法加法是数学中的基本运算之一、在小学四年级奥数中，加法是最基础的数学运算之一、在进行加法运算时，需要掌握竖式加法和横式加法的运算方法。
此外，还需掌握十进位的加法运算。
1.2减法减法是数学中的基本运算之一、在小学四年级奥数中，减法也是一项重要的数学运算。
减法的运算方法有竖式减法和横式减法两种。
同时，对于借位和退位也需要掌握。
第二章：乘除法2.1乘法乘法是数学中的基本运算之一、在小学四年级奥数中，乘法的运算方法主要有竖式乘法和横式乘法两种。
此外，还需掌握乘法的分配律和乘法的交换律等基本概念。
2.2除法除法是数学中的基本运算之一、在小学四年级奥数中，除法也是一项重要的数学运算。
除法的运算方法有竖式除法和横式除法两种。
此外，还需掌握整除和余数的概念。
第三章：整数3.1正整数和负整数在小学四年级奥数中，要了解正整数和负整数的概念和区别。
同时，还需掌握负整数的加法和减法运算方法。
3.2相反数和绝对值相反数是指两个数绝对值相等、符号相反的两个数。
绝对值是指一个数离原点的距离。
在小学四年级奥数中，需要了解相反数和绝对值的概念，并能够进行相反数和绝对值的计算。
第四章：分数4.1分数的基本概念在小学四年级奥数中，要了解分数的基本概念，包括分数的组成、分子和分母的含义等。
4.2分数的大小比较在小学四年级奥数中，要学会比较分数的大小，包括相同分母的分数和相同分子的分数的大小比较。
第五章：小数5.1小数的基本概念在小学四年级奥数中，要了解小数的基本概念，包括小数点的使用、小数的读法和写法等。
5.2小数的大小比较在小学四年级奥数中，要学会比较小数的大小，包括相同整数部分和相同小数部分的小数的大小比较。
第六章：面积和周长6.1面积的计算在小学四年级奥数中，要学会计算简单图形的面积，包括长方形、正方形和三角形等。
6.2周长的计算在小学四年级奥数中，要学会计算简单图形的周长，包括长方形、正方形和三角形等。
第七章：逻辑推理7.1逻辑判断在小学四年级奥数中，要学会进行简单的逻辑推理和判断，包括找出规律和填入合适的数字等。
数学-奥数竞赛-小学四年级奥数(举一反三)寻找规律二
24
5×12=60 60÷10=6
4×20=80 80÷10=8
30×8=240 240÷10=24
举一反三2:根据前面两个图形中数之间的关系, 想一想第三个图形 的括号里应填什么数?
（1）
15
3×6÷2=9
18
5×12÷2=9
60
10×3÷2=15
30
举一反三2:根据前面两个图形中数之间的关系, 想一想第三个图形 的括号里应填什么数?
例1: 节日的夜景真漂亮, 街上的彩灯按照5盏红
灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯, 然后又是5盏 红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问: （1）第100盏灯是什么颜色? （2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?
例2: 有一串数, 任何相邻的四个数之和都等于25。
已知第1个数是3, 第6个数是6, 第11个数是7。 问:这串数中第24个数是几?前77个数的和是多少?
举一反三3:找规律, 写得数。
（1） 1+0×9= 1
2+1×9= 11
3+12×9= 111
4+123×9= 1111
9+12345678×9= 111111111
举一反三3:找规律, 写得数。
（2） 1×1= 1
11×11= 121
111×111= 12321
111．．．．．．1× 111．9个．1 ．．．9．个11=
因为第1, 2, 3, 4个数的和等于第2, 3, 4, 5个数的和, 所以第1个数与第5个数相同。进一步可 推知, 第1, 5, 9, 13, …个数都相同。 同理, 第2, 6, 10, 14, …个数都相同, 第3, 7, 11, 15, …个数都相同, 第4, 8, 12, 16…个数都相同。 也就是说, 这串数是按照每四个数为一个周期循环 出现的。所以, 第2个数等于第6个数, 是6; 第3 个数等于第11个数, 是7。前三个数依次是3, 6, 7, 第四个数是:25-（3+6+7）=9。 这串数按照3, 6, 7, 9的顺序循环出现。第24个 数与第4个数相同, 是9。由77÷4＝9……1知, 前 77个数是19个周期零1个数, 其和为25×19+3=478。
小学数学奥数基础教程
第1讲加减法的巧算在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。
加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。
先讲加法的巧算。
加法具有以下两个运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
即a+b=b+a，其中a，b各表示任意一数。
例如，5+6=6+5。
一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。
例如，a+b+c+d=d+b+a+c=…其中a，b，c，d各表示任意一数。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。
即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，其中a，b，c各表示任意一数。
例如，4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。
一般地，多个数(三个以上)相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。
把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。
1.凑整法先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。
例1计算：(1)23＋54＋18＋47＋82；(2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。
解：(1)23＋54＋18＋47＋82＝(23＋47)＋(18＋82)＋54＝70＋100＋54＝224；(2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)＝1350＋49＋68＋51＋32+1650＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32)＝3000＋100＋100＝3200。
2.借数凑整法有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。
例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。
例2计算：(1)57＋64＋238＋46；(2)4993＋3996＋5997＋848。
小学四年级奥数教程-逻辑推理
小学四年级奥数教程-逻辑推理
3.李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。现知道： （1）顾锋最年轻； （2）李波喜欢与体育老师、数学老师交谈； （3）体育老师和图画老师都比政治老师年龄大； （4）顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳； （5）刘英与语文老师是邻居。 问：各人分别教哪两门课程？
问：小亮、小红、小娟各在哪个学校读书和各自的爱好是什么？
练习提升
小学四年级奥数教程-逻辑推理
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练习提升
小学四年级奥数教程-逻辑推理
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7.学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况： （1）是一位姓王的中年女老师，教语文课； （2）是一位姓丁的中年男老师，教数学课； （3）是一位姓刘的青年男老师，教外语课； （4）是一位姓李的青年男老师，教数学课； （5）是一位姓王的老年男老师，教外语课。 他们每人听到的四项情况中各有一项正确。问：真实情况如何？
分析与解
因为甲、乙都说“丙住在天津”，我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话。 因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在广州”是真的。由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话。 所以，何伟住在南京。
01
02
小学四年级奥数教程-逻辑推理
小学四年级奥数教程-逻辑推理
在解答逻辑问题时，有时需要将列表法与假设法结合起来。一般是在使用列表法中，出现不可确定的几种选择时，结合假设法，分别假设检验，以确定正确的结果。
四年级数学奥数举一反三课程第1讲至第40讲全(精品)
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲（全精品）目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
小学奥数：第18讲四年级数学图形的周长和面积教案 ;;
1、上节学习了几何计数问题，利用上节课学到的知识和技能解答下面题目：（1）数一数下图中，各有多少条线段？各有多少个三角形？（2）如下图数一数图中长方形的个数。
一、专题导入同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
二、专题精讲【例1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
分析解答：根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。
因此，所求周长是18×4=72厘米。
【例2 】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？分析解答：思路导航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。
把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。
176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。
【例3 】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？分析解答：从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。
三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。
所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。
【例4 】下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
小学四年级找规律
课题：找规律巧填数(小学快乐奥数四年级基础教程)今天我们主要学习找规律巧填数，我们先熟悉一下概念：我们把按一定规律排列成的一列数叫数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
通过观察已知的项找出所给数列的规律，并依据规律填写所缺的数，就是按规律填数。
一个题目找规律首先看一下数字之间有什么规律，而数字之间的规律怎么来看，这个是关键。
数字之间的规律都是通过相邻（或相隔）两个数字之间的加、减、乘、除之后得到的数字再看有什么相同之处。
通过加、减、乘、除的结果之后题目就会简单了，就和我们平时做的数学题一样了。
先让我们看看几个例题：一、 1、5、11、19、29、（）、55，看一下（）内应填什么数字。
5-1=4，11-5=6，19-11=8，29-19=10通过前面几个相邻的两个数相减我们可以看出这些得数相差2，得数是4、6、8、10、12……所以（）-29=12，这样就会算出（）内的数字为41二、6、1、8、3、10、5、12、7、（）、（）。
这个题目括号内应该填什么数，我们一下子看不出有什么规律。
这个地方我们再把上面老师说的话再一起说一次。
一个题目找规律……。
这个就会有8-6=2，10-8=2，12-10=2，（）-12=2。
3-1=2，5-3=2……三、根据前2个表格里的3个数字的关系，在第3、4个表格的空格里填上合适的数字。
我们继续重复一下上面老师说的找规律方法，可以看出第一个表格6X3=18，18-4=14，第二个表格是5X3=15，15-4=11，这样就可以算出第3，第4个表格内的数字。
下面我们学生再自己做一些练习题： 模仿训练：练习1 在下面各数列中填入合适的数。
（1）9，11，15，21，29，（ ），51（2）3，4，5，8，7，16，9，32，（ ），（ ）。
练习2 按规律在“？”处填数。
（1）（2）巩固训练：习题1 按数列的规律在括号内填入合适的数：（1）1，4，9，16，（），（）（2）。
小学四年级奥数竞赛班作业第18讲：巧求面积(一)
巧求面积练习题一．夯实基础：1. 如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)2. 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？3. 一块长方形纸片，在长边剪去5cm ，宽边剪去2cm 后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少231cm ．求原长方形纸片的面积．4. 一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？30203040525. 如图所示，把一个正方形各边中点顺次相连，可得一个新的较小的正方形；把这个小正方形的各边中点顺次相连，又可以得到一个新的更小一些的正方形……如此依次连下去，一直连到第三个新正方形为止。
如果图中阴影的面积等于1，那么图中最大的正方形面积等于多少？二． 拓展提高：6. 甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？7. 如图，四边形ABCD 的周长是60厘米，点M 到各边的距离都是4.5厘米，这个四边形的面积是 平方厘米.8. 有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？1086丙乙甲9. 有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm ，已知两个长方形之间部分的面积是216cm ，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．10. 空白处每个方格都是边长为4厘米的正方形，黑条的宽度为2厘米，求阴影部分的面积和周长。
11. 如图，一块正方形地砖，上面印有四周对称的花纹，正中心红色小正方形面积是8，四块绿色等腰直角三角形均相同，面积总和是36，那么图中阴影部分的面积是多少？三．超常挑战：12. 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.13. 两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.四．杯赛演练：14. (2008年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是 ．15. (2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为 10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为 ．16. （武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？FBA第6题第2题1017.（第四届《小数报》数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？18.(第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．B答案：1. 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；图一 图二 图三方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米)2. (方法一)如图，铁板面积比原来减少的面积就是阴影部分的面积，阴影部分的面积是用原长方形 的面积减去空白部分的面积．即: 1512(152)(122)⨯--⨯-180130=-=50(平方分米).(方法二)也可把阴影部分分割成两个长方形，求两个长方形的面积．3. 通过对图形进行分割，可以发现C 的长与宽分别是5cm 和2cm ，则它的面积是5210⨯=(2cm )，那么A B +的面积是311021-=(2cm )，如给B 移到A 的旁边，则知正方形的边长：(cm )，正方形的面积是339⨯=(2cm )，原长方形的面积是31940+=(2cm )．4. 第一个正方形的面积是2020400⨯=(平方厘米)，第二个正方形的面积如图，实际上是第一个正方形面积的一半．依次类推，第五个正方形的面积为：400222225÷÷÷÷=(平方厘米)．5. 最小的正方形面积等于2，每往外扩一层，面积就会增加一倍。
小学奥数---四年级奥数详解答案-年龄问题
年龄问题一、知识概要已知两个人或几个人年龄之间的某些数量关系，求他们的年龄；或者已知他们各自的年龄，求他们年龄之间的某种数量，这类问题，我们把它称之为年龄问题。
年龄问题有三个特点：(1)两个人的年龄差是一定的；它不随年份的变化而变化；(2)两个人的年龄随岁月的变化而增加或减少同一个自然数；(3)年份的变化，必然引起两人年龄间倍数关系的变化，年龄增大，倍数变。
有关年龄问题的几个公式如下：几年前的年数=小年龄-(大年龄-小年龄)÷(倍数-1)几年后的年数=(大年龄-小年龄)÷(倍数-1)-小年龄大年龄=(两人年龄和+两人年龄差)÷2小年龄=(两人年龄和-两人年龄差)÷2二、典型题目精讲1. 父亲今年比儿子大32岁，4年后父亲年龄是儿子的5倍，今年儿子几岁？解：分析：题目已知两数的差和倍数，可用“差倍问题”原理，求出4年后它的年龄，从而推知今年儿子几岁。
①32÷(5-1)=8(岁) ②8-4=4(岁)答：今年儿子4岁。
2. 今年母子的年龄共50岁，再过5年母亲的年龄是儿子的3倍，那时母亲比儿子大岁。
解：分析：再过5年，母子的年龄和就是60岁(50+5×2)了。
根据“和倍”原理，可求出他们的具体年龄，年龄差随之而得。
①(50+5×2)÷(3+1)=15(岁) ②15×3=45(岁) ③45-15=30(岁)3. 奶奶比爸爸大26岁，妈妈比小阳大27岁，小阳一家四口人今年的年龄和是129岁，而5年前他们全家人的年龄之和110岁。
问小阳家的人今年各是多少岁？解：分析：由“一家四口人今年的年龄之和是129岁”可推知5年前全家的年龄和为129-5×4=109(岁)，而实际却为110岁说明5年前小阳还未出生，又因为计算得出的数值与实际相差110-109=1(岁)，则可知小阳今年的年龄为5-1=4(岁)，由小阳的年龄，家中其他人的年龄可求。
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小学数学奥数基础教程(四年级)
本教程共30讲
数阵图（三）
数阵问题是多种多样的，解题方法也是多种多样的，这就需要我们根据题目条件灵活解题。
例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。
20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有
5＋19＝7＋17＝11＋13，
于是得到下图的填法。
例2在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b 处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。
例3将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。
分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。
2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。
其余数的填法见右上图。
例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。
10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。
例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a ＝45-a。
由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为
6k＝3×（45-a），
2k＝45-a。
2k是偶数，45－a也应是偶数，所以a必为奇数。
若a＝1，则k＝22；
若a＝3，则k＝21；
若a＝5，则k＝20；
若a＝7，则k＝19；
若a＝9，则k＝18。
因为k不能被a整除，所以只有a＝7，k＝19符合条件。
由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19，所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10。
在1，2，3，4，5，6，8中，三个数之和等于10的有三组：
10＝1＋3＋6
＝1＋4＋5
＝2＋3＋5，
将这三组数填入9所在的三个面上，可得右图的填法。
练习18
1.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等。
2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内，使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18。
3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1，2，3，4。
4.将1～8填入右上图的八个空格中，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数。
5.20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。
将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。
6.在左下图的七个○内各填入一个质数，使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等，且为尽量小的质数。
7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。
答案与提示练习
1.有下面四个基本解。
提示：三个质数之和仍为质数，最小的是2＋2＋3=7。
解：因为1+2＋…＋13=91，从中去掉一个数后应能被3和4整除，即能被12整除。
由91÷12＝7……7知，应去掉7。
这样，每个横行之和应为84÷3=28，每个竖列之和应为84÷4=21。
进一步分析知，六个奇数必然有三个在一列，另外三个各在一列。
三个奇数的和为21的只有1＋9＋11和3＋5＋13两组，填好奇数，剩下的数就好填了（见上图）。
因为行与行、列与列可互换，所以上面的两种答案可以变换出288种，但本质上只有以上两种。