函数的周期性与函数的图象(最全解析版)

八、函数的周期性

㈠ 主要知识：

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.

2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()()1()

f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()

f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为

4T a =， 若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =. ⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； ⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

3、图象的对称性 一个函数的对称性：

1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称

()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++

特殊的有：

① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。

② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。

③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。

④ c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2

,2(c b a + 对称

2、两个函数的对称性：

①)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

②)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

③)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=

对称. 函数)(x a f y -=与函数)(b x y -=关于直线2

b a x +=对称。 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称

⑤ )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

⑥ )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

⑦ )()(1x f y x f y -==与关于直线x y =对称

例1 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f 一定是（ ）

A. 是偶函数，也是周期函数

B. 是偶函数，但不是周期函数

C. 是奇函数，也是周期函数

D. 是奇函数，但不是周期函数

解：因为)10(x f +为偶函数，所以)10()10(x f x f -=+。

所以)(x f 有两条对称轴105==x x 与，因此)(x f 是以10为其一个周期的周期函数，所以x ＝0即y 轴也是)(x f 的对称轴，因此)(x f 还是一个偶函数。故选（A ）。

例 2 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，

x x f 2

1)(-=，则=)6.8(f ___________ 解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴；

又因为)(1)1()1(x f y x x f x f ==-=+也是所以的对称轴。故)(x f y =是以2为周期的周期函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f

例3 函数)2

52sin(π+=x y 的图像的一条对称轴的方程是（ ）

4

5.8.4.2.ππ

ππ==-=-

=x D x C x B x A 解：函数)252sin(π+=x y 的图像的所有对称轴的方程是2

252πππ+=+k x ，所以ππ-=2k x ，显然取1=k 时的对称轴方程是2

π-=x ，故选（A ）。 例 4 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2

1=x ，则：=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _____________

解：函数)(x f y =的图像既关于原点对称，又关于直线2

1=x 对称，所以周期是2，又0)0(=f ，图像关于2

1=x 对称，所以0)1(=f ，所以 0)5()4()3()2()1(=++++f f f f f

例5、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。

练习1.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，

f (x) = －2

1x ，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题） 解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

练习2设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，

f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。