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高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

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高二下学期期末数学试题及答案

高二下学期期末数学试题及答案

第1页（共4页） 第2页（共4页）密 封 线 内 不 要 答 题XXX 学年下学期期末考试高二数学试卷一、选择题（每题2分，共30分）1、sin450cos150-cos450sin150的值是 （ ） A.-23 B.21 C.-21 D.23 2、若cos α=-21,sin β=23,且α和β在第二象限，则sin(α+β)的值（ ）A.213-B.23C.-23D.213、x y 212-=的准线方程( )A. 21=yB. 81=xC. 41=xD. 161=x 4、由1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数 （ ）A. 6个 B . 3个 C. 2个 D. 1个5、(nx )6-的展开式中第三项的系数等于6,那么n 的值（ ）A ． 2B ．3C ． 4D ．56、从放有7个黑球,5个白球的袋中,同时取出3个,那么3个球是同色的概率( ) A. 221 B. 447 C. 449 D. 221或447 7、x y 2=与抛物线2x y =的交点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++的结果是（ ）A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 9、已知△ABC 的三边分别为a=7, b=10, c=6,则△ABC 为( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 10、函数y x y 的图象可由函数)6sin(2π+==的图象x sin 2 而得到( ) A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移3π个单位11、椭圆155322=+y x 的焦点坐标为 （ ） A.)0,8(),0,8(- B.)8,0(),8,0(- C.)0,2(),0,2(- D.)2,0(),2,0(- 12、 61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是 （ ） A.C 36 B.C 46 C.C 06 D.C 56专业 班级 考场 座号第3页（共4页） 第4页（共4页）13、100件产品中,有10件一等品,20件二等品,任取一件是二等品的概率（ ） A. 51 B. 101 C. 301 D. 50114、下列点在1234+-=x x y 的曲线上的是（ ）A ．（1，0）B ．（—1，—6）C ．（—5，1）D ．（2，1）15、从8名男生和1名女生中选4人组成一个小组,必须要有女生参加的选法种数为（ ） A. 70 B. 56 C. 336 D. 126 二、填空题（每题2分，共30分） 1、长轴和短轴之和为18,焦距为6,且焦点在x 轴上的椭圆标准方程 2、双曲线1361622=-y x 的渐近线方程 3、过点M(-1,-2)的抛物线标准方程4、用1克,2克,4克的砝码在天平上能称出 种不同的物体的质量.5、长轴在y 轴，离心率为36，且过点(3,0)的椭圆的标准方程是 。

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。

19道题，共100分。

考试时长90分钟。

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题含答案

北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题含答案

大兴区2023~2024学年度第二学期高二期末检测数学（答案在最后）2024．72022．4第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在621()x x-的展开式中，常数项为（A ）15（B ）30（C ）15-（D ）30-（2）若数列19a b c ，，，，是等比数列，则实数b 的值为（A ）3-（B ）3（C ）9-（D ）9（3）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（A ）55A （B ）44A （C ）4554A A -（D ）1434A A （4）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（A ）2431r r r r <<<（B ）2413r r r r <<<（C ）4213r r r r <<<（D ）4231r r r r <<<（5）已知函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则()f x 的极大值点为（A ）1x 和4x （B ）2x （C ）3x （D ）5x 1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

（6）随机变量X 服从正态分布2~(2)X N σ，，若(24)0.3P X <= ，则(0)P X =≤（A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.5（7）已知{}n a 为等差数列，若m n p q ，，，是正整数，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2024项为（A ）562C （B ）563C （C ）663C （D ）763C （9）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，且20S <，则（A ）数列{}n S 是递增数列（B ）数列{}n S 是递减数列（C ）数列2{}n S 是递增数列（D ）数列2{}n S 是递减数列（10）已知函数1().e xx f x +=若过点(1)P m -，存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是（A ）(1e e )4-，（B ）(0)8e ，（C ）(04e，（D ）(1e )8e，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案

山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案

2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题（答案在最后）2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.82.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32B.0.34C.0.66D.0.683.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于14.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.345.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.56.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.1807.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A .2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A .12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X += D.()218D X +=10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A .51521ˆiii ii x ybx===∑∑ B.51521ˆiii ii x yby===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.13.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63516.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.2023—2024学年高二下学期教学质量检测数学试题2024.07注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.一质点A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为221s t =+，当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令9s =求出t ，再求出函数的导函数，代入计算可得.【详解】因为221s t =+，令2219s t +==，解得2t =（负值已舍去），又4s t '=，所以2|428t s ='=⨯=，所以当位移大小为9时，质点A 运动的速度大小为8m /s .故选：D2.若X 服从两点分布，()()100.32P X P X =-==，则()0P X =为（）A.0.32 B.0.34C.0.66D.0.68【答案】B 【解析】【分析】利用两点分布的性质可得答案.【详解】依题意可得()()101P X P X =+==，()()100.32P X P X =-==，所以()10.3210.34.2P X -===故选：B.3.下列说法正确的是（）A.线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1【答案】B 【解析】【分析】2R 值越大，模型的拟合效果越好可判断A ；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B ；正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小可判断C ；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断D .【详解】对于A ：2R 值越大，模型的拟合效果越好，故A 错误；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B 正确．对于C ，正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越小，故C 错误；对于D ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故D 错误.故选：B ．4.已知函数()23f x ax x=+的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为（）A.6B.3C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可.【详解】函数()23f x ax x=+的定义域为{}|0x x ≠，又()3223232ax f x ax x x -'=-=，当0a ≤时()0f x '<恒成立，所以()f x 没有单调递增区间，不符合题意；当0a >时，323y ax =-单调递增，令()0f x ¢>，解得1332x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为133,2a ⎡⎫⎛⎫⎪⎢+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭（或133,2a ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），依题意可得13312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32a =.故选：C5.若()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，则正整数a 的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理展开，并对n 讨论即可得到答案【详解】因为()465nn a n ⨯+-∈N 能被25整除，所以当1n =时，46529a a ⨯+-=-，此时2925(Z)a k k =-∈，0a >，当1k =时，4a =；当2n ≥时，11224(51)54(5C 5C 5n n n n n n n a --⨯++-=⨯+⨯++⨯ 1C 51)5n n n a -+⨯++-112214(5C 5C 54()C 51)5n n n n n n n n a---=⨯+⨯++⨯+⨯⨯++- 2132425(5C 5C 25)4n n n n n n a ---=⨯+⨯++++- 213225(454C 54C )4n n n n na n ---=⨯+⨯++++- ，因此只需4a -能够被25整除即可，可知最小正整数a 的值为4，综上所述，正整数a 的最小值为4，故选：C6.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足,a b c d >>，则满足条件的排法种数为（）abcdA.45B.60C.90D.180【答案】C 【解析】【分析】分两步完成，第一步从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b ，第二步从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d ，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先从6张卡片中任取2张卡片放入a 、b （较大的数放入a ）有26C 种方法；再从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c 、d （较大的数放入c ）有24C 种方法；综上可得一共有2264C C 90=种不同的排法.故选：C7.在()21*(2n n +∈N 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（）A.2131n +- B.2131n ++ C.21312n +- D.21312n ++【答案】D 【解析】【分析】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解.【详解】设((21212,2n n A B ++==，由二项式定理知A 与B 中的x 的整数次幂项之和相同，记作()f x ，非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消.故有())()2121222n n f x ++=++.令1x =，则所求的系数之和为()()2111312n f +=+.故选：D.8.已知函数()3213f x x x =-，若()e n f m n =-，则m 与n 的大小关系为（）A.m n >B.m n=C.m n< D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】设()e x g x x =-，利用导数先研究函数()f x 和()g x 图象性质，并得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.【详解】由()3213f x x x =-，()2()22f x x x x x =-=-'，当0x <或2x >时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增，当02x <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，4()(0)0,()(2)3f x f f x f ====-极大值极小值，且(3)0f =，设()e x g x x =-，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，则函数()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，()(0)1g x g ==极小值，设()321()()()e 33xF x g x f x x x x x ⎛⎫=-=---> ⎪⎝⎭，则2()e 12x F x x x'=--+设()2()e 123xm x x x x =--+>，则()e 22x m x x '=-+，设()()e 223xv x x x =-+>，则()e 20x v x '=->恒成立，所以()v x 在()3,∞+单调递增，3()e 2320v x >-⨯+>，即()0m x '>恒成立，所以()m x 在()3,∞+单调递增，则33()(3)e 196e 40m x m >=--+=->，即()0F x '>恒成立，所以()F x 在()3,∞+单调递增，则3()(3)e 30F x F >=->，所以在()3,∞+上()()g x f x >恒成立，在(],3-∞显然也成立，如图，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >，若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >故选：A【点睛】关键点点睛：设()e x g x x =-，利用导数得到在R 上()()g x f x >恒成立，若()e ()nf m ng n =-=，可知3m >；若0n <，则显然m n >，若0n ≥，由()()()g m f m g n >=，所以m n >，综上所述，m n >.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()4,2X N ~，若(6),(46)P X a P X b >=<<=，则（）A.12a b +=B.(2)P X a <=C.()218E X +=D.()218D X +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的对称性可判断A 、B ，根据正态分布定义及期望与方差的性质可判断C 、D.【详解】对于A ，因为4μ=，()()6,46>=<<=P X a P X b ，所以()()()44660.5>=<<+>=+=P X P X P X a b ，故A 正确；对于B ，因为4μ=，()()26P X P X a <=>=，故B 正确；对于C ，因为()4E X =，所以()()21219+=+=E X E X ，故C 错误；对于D ，因为()2D X =，所以()()2148D X D X +==，故D 正确.故选：ABD.10.已知曲线()y f x =在原点处的切线与曲线()y xf x =在()2,8处的切线重合，则（）A.()24f =B.()23f '=C.()04f '= D.曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a=【答案】ACD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，求出()g x 的导函数，依题意()28=g ，即可判断A ，又曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，即可得到()0f '，即可判断C ，再由()()02g f '='求出()2f '，即可判断B 、D.【详解】令()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，依题意()()2228g f ==，解得()24f =，故A 正确；依题意可得曲线()y f x =在原点处的切线过点()2,8，所以()480200f '--==，故C 正确；又()()()()222204f fg f '='=+='，所以()20f '=，则曲线()y f x =在()2,a 处的切线方程为y a =，故B 错误，D 正确.故选：ACD11.假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()2,0,.Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩要利用成对样本数据求参数b 的最小二乘估计ˆb ，即求使()21()ni i i Q b y bx ==-∑取最小值时的b 的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为w （万辆），其中年份对应的代码t 为15~，如表，年份代码t12345销量w （万辆）49141825根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述令变量x t t Y w w =-=-，且变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩则下列结论正确的有（）A.51521ˆi ii i i x ybx ===∑∑ B.51521ˆi ii i i x yby ===∑∑C.ˆ 5.1 1.3wt =- D.2025年的年销售量约为34.4万辆【答案】AC 【解析】【分析】利用线性回归方程待定系数公式()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点(),x y ，就可得到线性回归方程.【详解】由i i x t t =-可得：()551111055i i i i x t t t t ===-=-=∑∑，同理由i i y ωω=-，可得()551111055i i i i y ωωωω===-=-=∑∑，根据公式()()()55511155522221115ˆ5iii ii ii i i iii i i i x x y y x y x y x ybx x xxx======---===--∑∑∑∑∑∑，故A 正确；B 错误；由表格中数据可得：3,14t ω==，()()5551115i iii i i i i i x y tt t t ωωωω====--=-⋅∑∑∑1429314418525531451=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=，()5552222111514916255910ii ii i i xt ttt ====-=-=++++-⨯=∑∑∑，所以5152151ˆ 5.110iii ii x ybx=====∑∑，由于0,0x y ==，所以y 与x 的回归方程必过原点，ˆ 5.1yx =，又由于3x t t t =-=-，14y ωωω=-=-代入得：()ˆ14 5.13t ω-=-，整理得：ˆ 5.1 1.3t ω=-，故C 正确；当6t =，即表示2025年，此时ˆ 5.16 1.329.3ω=⨯-=，所以2025年的年销售量约为29.3万辆，故D 错误；故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.A 、B 、C 、D 共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A 和B 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你和B 都没有得到冠军.”对B 说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.【答案】8【解析】【分析】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，分A 在第四名与不在第四名两种情况讨论.【详解】依题意A 、B 不在第一名且B 不在第四名，若A 在第四名，先排B 到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，所以有1222A A 4=种排列；若A 不在第四名，则先排A 、B 到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，所以有2222A A 4=种排列；综上可得这4人的名次排列有448+=种.故答案为：813.函数()()e 211x x f x x -=-的极小值为__________.【答案】324e【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值.【详解】函数()()e 211x x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，又()()()2e 231x x xf x x -'=-，所以当0x <或32x >时()0f x ¢>，当01x <<或312x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-，3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1，31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在32x =处取得极小值，即极小值为32323e 21324e 3212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭-.故答案为：324e14.定义：设,X Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y y =条件下的期望为()()11,()()n ni i i i i i P X x Y y E X Y y x P X x Y y x P Y y ======⋅===⋅=∑∑∣∣，其中{}12,,,n x x x 为X 的所有可能取值集合，(),P X x Y y ==表示事件“X x =”与事件“Y y =”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为(01)p p <<，击中目标两次时停止射击.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数.则()2,5P ξη===__________，()E n ξη==∣__________.【答案】①.32(1)p p -②.2n ##12n 【解析】【分析】根据相互独立事件的乘法公式求()2,5P ξη==，求出()P n η=、(),P i n ξη==，即可求(|)E n ξη=.【详解】由题意，事件“2,5ξη==”表示该射击手进行5次射击且在第二次、第五次击中目标，所以()322,5(1)(1)(1)(1)P p p p p p p p ξη===-⋅⋅-⋅-⋅=-，又122221()C (1)(1)(1)n n n P n p p n p p η---==-=--，()()221n P i n p p ξη-===-，()1,2,,1i n =- ，所以()()()()()222211121(1)(11,)|n n i n n p p P i n E p n i P n p n ξηξηη-=--⎡⎤+++--⎡⎤==⎣⎦==⨯=⎢⎥=⎢⎥⎣--⎦∑ 122 (1111)n n n n -=++++---1(1)1122n n n ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭==.故答案为：32(1)p p -；2n【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给公式理解并准确的应用.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的22⨯列联表.性别就餐人数合计南餐厅北餐厅男252550女203050合计4555100（1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？（2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.635【答案】（1）答案见解析（2）15【解析】【分析】（1）求出2χ值，与2.706比较大小，得出结论即可；（2）运用古典概型和条件概率公式求解即可.【小问1详解】零假设为0H ：分类变量X 与Y 相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.222()100(25302025)1002.706()()()()4555505099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯．依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．【小问2详解】设事件A 为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”，事件B 为“这2名学生均在南餐厅就餐”，则()11252021110025201111505050502100C C C C C ()25201C C ()C C 50505C P AB P B A P A ⨯=====⨯．故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为15．16.由0,1,2,3这四个数组成无重复数字的四位数中.（1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）；（2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）8（2）分布列见解析；7()9E X =【解析】【分析】（1）分0在个位、0在十位和0在百位三类求解；（2）由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，求出其分布列，并利用期望公式求解.【小问1详解】两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况：①0在个位上时有2222A A 4=个四位数，②0在十位上时有22A 2=个四位数，③0在百位上时有22A 2=个四位数，所以满足条件的四位数的个数共有4228++=个．【小问2详解】由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X 可能的取值分别为0，1，2，则1333884(0)C A 189P X ====，133361(1)C A 3P X ===，333142(2)C A 9P X ===，X ∴的分布列为X 012P491329期望为4127()0129399E X =⨯+⨯+⨯=．17.已知函数()()1ln f x x x ax =--.（1）若2a =，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 的图象恒在x 轴的上方，求a 的取值范围.【答案】（1）20x y +=（2）a<0【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）将问题转化为()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，则(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，构造函数(1)ln ()x xF x x-=，利用导数求出其最小值即可.【小问1详解】由2a =，则()(1)ln 2f x x x x =--，,()0x ∈+∞，(1)2f =-，()1ln 1f x x x'=--，代入1x =得(1)2f '=-，所以()f x 在(1,1)处的切线方程为20x y +=．【小问2详解】由()f x 图象恒在x 轴上方，则()(1)ln 0f x x x ax =-->恒成立，即(1)ln x xa x-<在,()0x ∈+∞上恒成立，令(1)ln ()x xF x x-=，即min ()a F x <，21ln ()x xF x x -+'=，令()1ln g x x x =-+，则1()10(0)g x x x'=+>>，所以()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数且(1)0g =．所以当(0,1)x ∈时，()0F x '<，()F x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增；所以(1)0F =为函数()F x 的最小值，即()(1)F x F ≥．所以综上可知a<0．18.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p .（1）求证：11C C ,(kk n n k n n k --=≥，且n 为大于1的正整数)；（2）求证：()E X np =；（3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是20%，设同时发生故障的车床数为X ，记X k =时的概率为()P X k =.试比较()P X k =最大时k 的值与()E X 的大小.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()P X k =最大时k 的值小于()E X 的大小【解析】【分析】（1）根据组合数公式分析证明；（2）根据二项分布结合二项式定理分析证明；（3）分析可知随机变量~(12,0.2)X B ，结合二项分布概率公式可得2k =概率最大，进而与期望对比分析.【小问1详解】左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---，右边11(1)!!C (1)!()!(1)!()!k n n n n n k n k k n k ---==⋅=----，所以左边=右边，即11C C k k n n k n --=；【小问2详解】由~(,)X B n p 知()C (1)k k n k n P X k p p -==-，令1q p =-由（1）知11C C k k n n k n --=可得，1111(1)11011()CC nnnk kn kk k n kk k n k nn n k k k E X kC p qn p qnp pq ----------======∑∑∑，令1k m -=，则1111()C()n mm n m n n m E X npp q np p q -----===+∑，()E X np ∴=；【小问3详解】由题意知~(12,0.2)X B ，所以()120.2 2.4E X =⨯=，要使()P X k =最大，则必有()(1)P X k P X k =≥=+，()(1)P X k P X k =≥=-，即12111312121211111212C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)C 0.2(10.2)k k k k k k kk k k k k -----++-⎧-≥-⎨-≥-⎩即141341121k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得81355k ≤≤，又因为*N k ∈，所以2 2.4()k E X =<=．()P X k ∴=最大时k 的值小于()E X ．19.已知函数()()()2()e ,xf x x a x b a b =--∈R .（1）当1,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；（2）若x a =是()f x 的一个极大值点，求b 的取值范围；（3）令()()exg x f x -=且12(),,a b x x <是()g x 的两个极值点，3x 是()g x 的一个零点，且123,,x x x 互不相等.问是否存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出4x ，若不存在说明理由.【答案】（1）单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞（2）(,)a +∞（3）存在，423a bx +=【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，即可判断()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <，再对1x 、2x 、a 的大小关系分类讨论，即可得到()0h a <，从而求出b 的范围；（3）求出函数的导函数，即可得到1x a =，223a b x +=，再确定3x b =，根据等差数列的定义求出4x 即可.【小问1详解】由2()()()e x f x x a x b =--得()()2(3)2e x f x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，当1a =，2b =时，()(1)(xx x f x x =--+'，令()0f x '=，解得1x =21x =，3x =所以当(,x ∈-∞或x ∈时()0f x '<，当(x ∈或)x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(,-∞，，单调递增区间为(，)+∞.【小问2详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()2(3)2e xf x x a x a b x ab b a '⎡⎤=-+--+--⎣⎦，令2()(3)2h x x a b x ab b a =+--+--，则22 (3)4(2)(1)80a b ab b a a b ∆=-----=-++>．所以()h x 有两个不等实根1x ，2x ，不妨设12x x <．①当1x a =或2x a =时，x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a >时，则x a <或12x x x <<时()0f x '<，当1a x x <<或2x x >时()0f x ¢>，所以()f x 在(),a -∞，()12,x x 上单调递减，在()1,a x ，()2,x +∞上单调递增，所以x a =不是()f x 的极大值点，③当2x a <时，则x a >或12x x x <<时()0f x ¢>，当2x x a <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在(),a +∞，()12,x x 上单调递增，在()2,x a ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =不是()f x 的极大值点，④当12x a x <<时，则2x x >或1x x a <<时()0f x ¢>，当2a x x <<或1x x <时()0f x '<，所以()f x 在()2,x +∞，()1,x a 上单调递增，在()2,a x ，()1,x -∞上单调递减，所以x a =是()f x 的极大值点．所以()0h a <，即2(3)20a a b a ab b a +--+--<，所以b a >，所以b 的取值范围(,)a +∞．【小问3详解】由2()e ()()()x g x f x x a x b -==--，知()23()3a b g x x a x +⎛⎫'=--⎪⎝⎭，由a b <，故23a b a +<，所以当x a <或23a b x +>时()0g x '>，当23a b a x +<<时()0g x '<，所以()g x 在(),a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设()g x 的两个极值点分别为1x a =，223a b x +=．因为123,,x x x 互不相等，3x 是()g x 的一个零点，所以3x b =，所以2222223333a b b a b a a b a b +--+⎛⎫-==⨯=- ⎪⎝⎭，所以存在124242232263a b a x x a b a b x +++++====，使1423,,,x x x x 成等差数列，即存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按照某种顺序排列后构成等差数列，且423a b x +=．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

吉林长春东北师大附中2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)

吉林长春东北师大附中2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年东北师大附中（高二）年级（数学）科试卷下学期期末考试第I 卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知某质点运动的位移y （单位；cm ）与时间t （单位；s ）之间的关系为()()ln 21y t t =+，则该质点在2s =t 时的瞬时速度为（ ） A.15B.25C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】对()()ln 21y t t =+求导得()221y t t ′=+，从而可求质点在2s =t 时的瞬时速度()2y ′. 【详解】因为()()ln 21y t t =+，所以()221y t t ′=+， 所以该质点在2s =t 时的瞬时速度为()2222125y ′==×+. 故选：B.2. 某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP （国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：该小组选择了如下2个模型来拟合GDP 值y 随年份x 的变化情况，模型一：(0,0)y kx b k x =+>>；模型二：e (0,0)x y k b k x =+>>，下列说法正确的是（ ） A. 变量y 与x 负相关B. 根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP 值随年份的变化情况C. 若选择模型二，e x y k b =+的图象一定经过点(),x yD. 当13x =时，通过模型计算得GDP 值为70，实际GDP 的值为71，则残差为1 【答案】D 【解析】【分析】对于AB ，由散点图的变化趋势分析判断，对于C ，由线性回归方程的性判断，对于D ，结合残差的定义判断.【详解】对于A ，由散点图可知y 随年份x 的增大而增大，所以变量y 与x 正相关，所以A 错误， 对于B ，由散点图可知变量y 与x 的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP 值随年份的变化情况，所以B 错误，对于C ，若选择模型二：e (0,0)x y k b k x =+>>，令e x t =，则ykt b =+的图象经过点(),t y ，所以C 错误，对于D ，当13x =时，通过模型计算得GDP 值为70，实际GDP 的值为71，则残差为71701−=，所以D 正确， 故选：D 3. 函数21()ln 2f x x x =−的减区间为（ ） A. (1,1)− B. (,1)−∞C. (0,1)D. (0,)+∞【答案】C 【解析】【分析】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间. 【详解】函数()21ln 2f x x x =−的定义域为()0,∞+， 求导得()211x f x x x x =′−=−， 令()210x f x x−′=<，0x ，01x ∴<<，因此函数()21ln 2f x x x =−的减区间为()0,1. 故选：C.4. 已知随机变量X 的分布列为设23Y X =+，则()D Y 等于（ ）A.83B.53C.43D.173【答案】A 【解析】【分析】根据分布列求出()E X ，()D X ，再根据条件得()()4D Y D x =，计算答案即可. 【详解】由X 的分布列得()1110121333E X =×+×+×=， ()()()()22211120111213333D X =−×+−×+−×=，因为23Y X =+，则()()843D Y D X ==. 故选：A.5. 某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 180种 D. 150种【答案】D 【解析】【分析】根据部分均匀分组分配求解即可.【详解】由于每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有2233535322C C C A 150A +=种. 故选：D .6. 已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x −+=的实数根，则10b 等于（ ） A. 24 B. 32C. 48D. 64【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，求得22a =，推出112n n a a +−=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.【详解】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x −+=的实数根， 所以1n n n a a b ++=，12n n n a a +=， 又11a =，所以22a =； 当2n ≥时，112n n n a a −−=，所以11112n n n n n na a a a a a ++−−==， 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅= 所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.7. 已知函数e ()xf x ax x=−，,()0x ∈+∞，当210x x >>时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,e]−∞ B. (,e)−∞C. e ,2−∞D. e ,2−∞【答案】D 【解析】【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案. 【详解】 当210x x >>时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则()()1122f x x f x x <， 即函数()()2e xg x xf x ax ==−在()0,∞+上单调递增，则()e 20xg x ax ′=−≥， 整理可得2x e a x ≤，令()e x m x x =，则()()21e x x m x x−′=. 当()0,1x ∈时，()0m x ′<，()m x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0m x ′>，()m x 单调递增，()()min 21e a m x m ∴≤==，e2a ∴≤. 故选：D.8. 设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A =“从甲袋中任取1球是红球”，事件B =“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（ ）A. 9()14=P BB. 6()7P AB =C. ()15P A B =D. 事件A 与事件B 相互独立【答案】C 【解析】分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知，从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A 与事件B 不是相互独立关系， 故D 错误； 从甲袋中任取1球是红球的概率为：()37P A =， 从甲袋中任取1球是白球的概率为：47， 所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：()1212324312127474C C C C 125+C C C C 14714==+=P B ，故A 错误；()12321274C C 1C C 14==P AB ，故B 错误； ()()()11411455P AB P A B P B ==×=，故C 正确； 故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题一、 单选题1． 已知集合{}2{0,1,2,3,4},|560A B x x x ==-+>，则A B =I （ ）A ．{0,1}B ．{4}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】 C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()256320x x x x -+=-->，解得2x <，或3x >，故{}0,1,4A B =I .故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．计算52752C 3A +的值是（ ） A ．72 B ．102 C ．5070 D ．5100【答案】B【解析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】依题意，原式227576232354426010221C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．5(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】D【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得3x 的系数. 【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有3x 的为()3322335512102030C x x C x x x ⋅+⋅=+=，故展开式中3x 的系数为30，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.5．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率. 【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.6．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是( ) A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值 D ．()f x 有最大值2，最小值75【答案】A【解析】试题分析：()2132()11x f x f x x x +==+⇒--在[)8,4--上是减函数()f x 有最大值5(8)3f -=，无最小值，故选A.【考点】函数的单调性.8．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞UD ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项. 【详解】若0a =，()()()20212,00,120f f f -===>符合题意，由此排除C,D 两个选项.若1a =，则()()2211f f -=不符合题意，排除B 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.9．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．115B ．215 C ．15D ．415【答案】B【解析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选两个，和为4的概率，由此得出正确选项. 【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.10．函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。

四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题【含答案】

四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题【含答案】

2024年春期高2022级高二期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I 卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线过点(1,2)-，(3,2+，则此直线的倾斜角为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．已知221:202C x y x y ++-+= ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）A ．1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375610,35a a a a +==，则6S =（）A ．20B ．16C ．14D ．124．已知双曲线C 经过点()0,1，则C 的标准方程为（）A ．221x y -=B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．2213x y -=5．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A ．3B ．6C ．10D ．156．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）A ．25B ．45C ．815D ．897．已知点M ，N 是抛物线Γ：()220y px p =>和动圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的两个公共点，点F 是Γ的焦点，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，则当r 变化时，r MF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知2()log 2)cos f x x x x =+-，且0.1231(log ),(0.)9),log 43(a f b f c f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（）A ．7n =B ．只有第4项的二项式系数最大C ．各项系数之和为1D ．5x 的系数为56010．下列说法中正确的是（）附：2χ独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值α0.10.050.01aχ 2.7063.8416.635A ．已知离散型随机变量14,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()14323D X +=B ．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158C ．若()()()121,,4312P A P P AB B ===，则事件A 与B 相互独立D ．根据分类变量x 与y 的观测数据，计算得到2 3.154χ=，依据0.05α=的独立性检验可得：变量x 与y 独立，这个结论错误的概率不超过0.0511．将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）AB ．该几何体的体积为6C ．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D ．直线//AD 平面BCE第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12．数列{}n a 满足()1432n n a a n -=+≥且10a =，则数列{}n a 的通项公式是．13．过点()1,1-与曲线()()ln 13e 2xf x x =+-+相切的直线方程为．14．已知1F 、2F 为椭圆()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 为该椭圆上一点，且满足1260F PF ∠=︒，若12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率16．已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?17．已知数列{}n a 的通项公式为n a n =，在n a 与1n a +中插入21n n +-个数，使这21n n ++个数组成一个公差为n d 的等差数列，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，(1)求{}n d 的通项公式及n S ；(2)设12nn n na b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .18．已知函数2()22ln f x x ax x =-+.(1)当22a =()y f x =的单调减区间；(2)若()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，52a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右两个顶点分别为A ，B ，直线by x a=与直线x a =的交点为D ，且△ABD 的面积为23(1)求C 的方程；(2)设过C 的右焦点F 的直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =-，直线1l 交C 于M ，N 两点，2l 交C 于G ，H 两点，线段MN ，GH 的中点分别为R ，S ，直线RS 与C 交于P ，Q 两点，记△PQA 与△PQB 的面积分别为1S ，2S ，证明：12S S 为定值.1．C【解析】利用斜率的计算公式即可得出倾斜角．【详解】解：已知直线过点(1,2)-，(3,2+，设直线的倾斜角为α，则tan k α=又[0α∈ ，)π，3πα∴=．故选：C ．【点睛】本题考查直线的倾斜角，掌握斜率的计算公式是解题的关键．2．A【分析】配方后化为标准方程即可得.【详解】由已知圆的标准方程为2213((1)24x y ++-=，圆心是1(,1)2-，半径是2．故选：A ．3．D【分析】由等差数列的性质求得5a ，然后依次求得6a ，公差，最后求得6S ．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴375210a a a +==，55a =，所以56657a a a a ==，∴公差652d a a =-=，∴1543a a d =-=-，∴6656(3)2122S ⨯=⨯-+⨯=，故选：D ．4．C【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在y 轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C 经过点()0,1及离心率公式即可求解.【详解】因为双曲线C 经过点()0,1，所以双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为22221(0,0)y xa b a b-=>>.因为双曲线C 经过点(0,1)，所以2222101a b-=，解得1a =．又因为ce a==所以c 则222211b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221y x -=．故选：C.5．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有13C 种方法，放入两个盒子有23C 种方法，所以不同放法的种数为1233C C 6+=.故选：B 6．D【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，求出()P A ，()P AB ，根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，事件A 包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则422212114348C C C C C 27()C 35P A =+=，又1211434282C C C C 24()C 35P AB ==，则()8()()9P AB P B A P A ==，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为89．故选：D ．7．B【分析】直线MN 的方程为21y x =+，联立直线与抛物线的方程得到12244p x x -+=，结合C 是MN 的中点，可得6p =，由抛物线的定义可将r MF +转化为MC MF +，当,,C P M 三点在一条直线时，可求得r MF +的最小值.【详解】圆C ：()()()222130x y r r -+-=>的圆心()1,3C ，当MN 是圆C 的直径时，直线MN 的斜率为2，设直线MN 的方程为()321y x -=-，化简为：21y x =+，2212y x y px=+⎧⎨=⎩，消去y 可得：()244210x p x +-+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以12244p x x -+=，因为C 是MN 的中点，所以12241224x x p +-=⇒=，解得：6p =，故()3,0F ，:3l x =-，由抛物线的定义可知，过点M 作MH l ⊥交l 于点H ，过点C 作CP l ⊥交l 于点P ，所以MF MH =，所以=4r MF MC MF CP ++≥=，当,,C P M 三点在一条直线时取等.故选：B.8．D【分析】先判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系.【详解】因函数2()log 2)cos f x x x x =+-的定义域为R ，且22()()[()log 2)cos ][log 2)cos ]f x f x x x x x x x --=----+-122[log 2)log 2)]x x x -=--+2log 0x ==，所以函数()f x 为偶函数；当(0,2)x ∈时，因2t x =单调递增，而2log y t =在定义域内也为增，故由同增异减原则，2log 2)y x =也为增，2log 2)y x x =+也为增，又因cos y x =-在(0,2)x ∈上为增函数，故()f x 在(0,2)上为增函数.又因221(log )(log 3),3a f f ==100.0.9100.9<<=，231log 32,1log 42<<<<由223lg 3lg 4(lg 3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg 3lg 2lg 3-⋅-=-=⋅，因222lg2lg43lg2lg4()(lg2)(lg3)22+⋅<=<，故321log 4log 32<<<，由2()log 2)cos f x x x x =+-在(0,2)上为增函数可得:0.132(0.9)(log 4)(log 3)f f f <<，即a c b >>.故选：D.9．AD【分析】根据二项式系数之和为2n 运算求解，进而判断A ；根据二项式系数的性质分析判断B ；令1x =，求各项系数之和，进而判断C ；对于D ：结合二项式系数的通项分析判断.【详解】对于A ：由题意可知：各项的二项式系数之和为2128n =，解得7n =，故A 正确；可得7221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于B ：因为7n =，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B 错误；对于C ：令1x =，可得各项系数之和为()7121-=-，故C 错误；对于D ：因为二项展开式的通项为()()72371771C 22C ,0,1,2,,7r rrr r r r T x x r x --+⎛⎫=⋅-=-⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令375r -=，解得4r =，所以5x 的系数为()4472C 560-=，故D 正确；故选：AD.10．BC【分析】A 选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算；B 选项，根据百分位数的定义进行计算；C 选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断；D 选项，根据独立性检验的标准进行判断.【详解】对于A ：根据二项分布的方差公式，可得()11841339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴()()23238D X D X +==，∴A 错误；对于B ：1075%7.5⨯=，根据百分位数的定义，这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B 正确；对于C ：∵()23P B =，∴()21133P B =-=，∴()()()1114312P A P B P AB ⨯=⨯==，根据事件独立性的定义可知，事件A 与B 相互独立，∴C 正确；对于D ：根据2χ的值以及常用的概率值与相应临界值可知，依据0.05α=的独立性检验，可得变量x 与y 相互独立，即认为变量x 与y 不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D 错误．故选：BC 11．AC【分析】对于A ，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B ，首先求得D ABC V -，进一步即可验算；对于C ，证明面ADE ⊥面ABC 即可判断；对于D ，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A ，1112ABD S =⨯⨯ ，所以表面积为6=A 对；对于B ，如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以2213323AO AM ==⨯⨯，又因为1AD =，所以正三棱锥D ABC -的高为3DO =，所以题图所示几何体的体积为1223346D ABC V V -==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知,,D O E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以面ADE ⊥面ABC ，故C 正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC，因为AO OM ==所以()111,,0,0,0,,1,0,0,,,222B C E BC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，所以0102x x y -=⎧⎪⎨---=⎪⎩，不妨取1z =，解得0y x =-=，所以取()0,n =-，又36360,,0,0,,0,,3333A D AD ⎛⎫⎛⎛-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而26660333AD n =--⋅=≠ ，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错.故选：AC.12．141n n a -=-【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设()14n n a a λλ-=++，则143n n a a λ-=+，又因为()1432n n a a n -=+≥，所以33λ=，则1λ=，所以()1141n n a a -+=+，因为1110a +=≠，所以10n a +≠，所以1141n n a a -+=+为常数，所以{}1n a +是首项为1，公比为4的等比数列，所以111144n n n a --+=⨯=，所以141n n a -=-.故答案为：141n n a -=-13．210x y ++=【分析】由导数的几何意义得出切线方程()()1113e xy y n x x -=--，进而由切点的位置得出11,x y ，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为()11,x y ，()13e 1x f x x '=-+，()11113e 1x f x x '=-+.则切线方程为()111113e 1x y y x x x ⎛⎫-=--⎪+⎝⎭，因为()1,1-在切线上，所以()1111113e 11x y x x ⎛⎫-=---⎪+⎝⎭，即()1113e 12x y x =-++又()111ln 13e 2x y x =+-+，所以()111ln 13e 0xx x ++=，令()ln 13e xy x x =++，()131e 1x y x x'=+++，当1x >-时，0'>y ，所以()ln 13e xy x x =++在()1,-+∞上单调递增，所以方程()111ln 13e 0xx x ++=只有唯一解为10x =.即切点坐标为()0,1-，故所求切线方程为12y x +=-，即210x y ++=.故答案为：210x y ++=14．45##0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143F P b P F =，再根据正弦定理可知外接圆半径R =，由等面积法可知内切圆半径()3r a c =-，再根据面积比即可计算出离心率45e =.【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PF PF a +=，且122F F c =；又1260F PF ∠=︒，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos 22PFPF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-∠==221212424122a PF PF c PF PF --==，化简可得22143F P b P F =；所以12PF F △的面积为122212433sin 603231122PF F b S PF PF ⨯=︒=⨯ ；设12PF F △的外接圆半径为R，内切圆半径为r ；由正弦定理可得12122s 2sin n 603i R c F F cF PF ==∠=︒，可得R =；易知12PF F △的周长为121222l PF PF F F a c =++=+，利用等面积法可知()1221323PF F b lr a c r S ===+，解得)r a c ==-；又12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22π64πRr=，所以8R r =，即可得28R c a r c ===-，所以108c a =；离心率45c e a ==.故答案为：4 5 .【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12S lr=可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.15．(1)0.96(2)0.8336【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，甲购买一盒猕猴桃的概率319420C10.20.96CP=-⨯=.（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率()40.80.20.80.80.80.20.80.20.20.80.80.20.8336 P=+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=.16．（1）证明见解析；（2）11 2B D=【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM B N ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭ 11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅ 112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠121=52520255-=，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅==当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ=所以()minsin θ=112B D =．[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT =，即11B H =1B H =所以DH ===则11sin B D DHB DH∠==所以，当12t =时，()1min sin DHB ∠=[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ= ．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==在Rt ECF中，EF D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE 在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅()21)35t t +=+，sin DFE ∠1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NF S = 1cos B NF DFES S θ=sin θ，当12t =，即112B D =，面11BB CC 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小，最小值为3．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．17．(1)111n d n n =-+，1n nS n =+(2)1362n n n T -+=-【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求n S .（2）利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）因为在n a n =，11n a n +=+之间插入21n n +-项，使这21n n ++个数成公差为n d 的等差数列，所以()()2111n n nd nn +-=++-⇒21111n d n n n n ==-++，所以11111122311n n S n n n =-+-++-=++ .（2）易知112n n n -+=，所以012123412222nn n T -+=++++ ，123112341222222n n n n n T -+=+++++ 两式相减得12311111112222222n n nn T -+⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 111122132312212n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=+-=--，所以1362n n n T -+=-.18．(1))1-；(2)9,ln28⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.【分析】(1)a =f(x)求导，解()0f x '<得递减区间；(2)分析出由()0f x '=所得的一元二次方程的两根12,x x 的关系，再对12()f x mx ≥分离参数，消元，构建新函数，求其最小值即得.【详解】(1)2222()2(0)x f x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=得11x +，21x =，由()0f x '<11x -<+.所以，()f x的单调减区间为)1-.(2)()()221x ax f x x-+'=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，且12xx <，∴12,x x 是方程210x ax -+=的两正根，则1252x x a +=≥，121=x x ，不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立，∴()213211111112222ln 22ln f x x ax x x ax x x x x -+==-+()323112*********ln 22ln x x x x x x x x x x =-++=--+，由12x x a +=，121=x x ，得11152x x +≥，∴1102x <≤，令()3122ln ,02x x x x x x ϕ=--+<≤，()232ln x x x ϕ'=-+，令()232ln h x x x =-+，()()22213620x x h x x x-='-+=>，h(x)在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，则有()1312ln 0242h x h ⎛⎫≤=-+< ⎪⎝⎭即()0x ϕ'<，∴()x ϕ在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，∴()19ln228x ϕϕ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，故9,ln28m ⎛⎤∈-∞-- ⎥⎝⎦【点睛】不等式的恒成立，求参数的取值范围问题，等价转化是解题的关键，借助分离参数，构造函数，求其最值的思想.19．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）联立方程组，求出D 点坐标，然后利用三角形面积列出,a b 的一个方程，再结合题目所给离心率为12，解出,a b 即可（2）先设出直线12,l l 的方程，分别与椭圆联立方程组，求出交点坐标，再根据PQ 斜率是否存在分类讨论，求出直线PQ 所过定点，最后利用高相等，面积比等于底边之比求出答案即可【详解】（112=，所以b a ①由b y xa x a⎧=⎪⎨⎪=⎩，知(),D a b 由△ABD的面积为122a b ⨯⨯==ab ②由①②解得2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩.所以C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意知()1,0F ，()11:1k l y x =-，()22:1l y k x =-，联立方程()1221,1,43y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221114384120k x k x k +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则211221843k x x k +=+，所以2121214243x x k k +=+，代入直线1l 的方程121213243y y k k +-=+，所以211221143,4343k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理得222222243,4343k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，将点R ，S 的坐标代入，得()()21122244330,44330,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知1k ，2k 为方程()244330m n k k n +++=的两个根，则123244n k k m n ⋅==-+，得811n m =-，所以直线88:1111PQ y mx m m x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以直线PQ 过定点8,011E ⎛⎫⎪⎝⎭.②当直线PQ 的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，因为122k k =-不妨设1k =，2k =22122212448434311k k k k ==++即直线8:11PQ x =，满足过定点8,011E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为PQA △的面积为112P Q S AE y y =-，PQB △的面积为212P Q S BE y y =-，所以1282151187211AE S S BE +===-，为定值.。

2022-2023学年北京丰台十二中高二下学期期末数学试题及答案

2022-2023学年北京丰台十二中高二下学期期末数学试题及答案

2023北京十二中高二（下）期末数 学考生须知1．本试卷共4页，分为三部分．总分150分．考试时间120分钟．2．将选择题答案填涂在答题卡上，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答在答题卡上，在试卷上作答无效．3．考试结束时，收答题卡．第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}20A x x =−≥，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A. {}1B. {}2C. {}3D. {}2,32. 由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为（ ） A. 21B. 18C. 15D. 123. 已知数列{}n a 是递增的等比数列,且149a a +=,238a a =,则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A. 21n −B. 11612n ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. 121n −−D. 111612n −⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦4. 马老师从课本上抄录一个随机变量X 的概率分布律如下表()E X 的结果为（ ）A. 1.5B. 2C. 2.5D. 不确定5. 若函数3213()432f x x x ax =−++在区间(0，4)上不单调，则实数a 的取值范围为（ ） A. 944⎡⎫−⎪⎢⎣⎭，B. 904⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 944⎛⎫− ⎪⎝⎭，D. 904⎛⎫ ⎪⎝⎭，6. 中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. 已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ） A. 3.4尺B. 4.36尺C. 5.32尺D. 21.64尺7. 已知函数()ln f x x x m =−+，若存在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A. (],1−∞ B. 1,1e ⎛⎤−∞+ ⎥⎝⎦C. (],e 1−∞−D. (],e −∞8. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 10B. 20C. 24D. 309. 函数()()1ln f x x x =−的图象可能为（ ）A. B.C. D.10. 某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为10.9p =，20.75p =，30.3p =，40.2p =，用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持第i 种方案()1,2,3,4i =，那么方差()1D ξ，()2D ξ，()3D ξ，()4D ξ的大小关系为（ ） A. ()()()()1234D D D D ξξξξ<<< B. ()()()()4321D D D D ξξξξ<<< C. ()()()()2314D D D D ξξξξ<<< D. ()()()()1423D D D D ξξξξ<<< 11. 若、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知项数为()*k k ∈N的等差数列{}n a 满足11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤=．若128k a a a +++=，则k 的最大值是（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13. 如表定义函数：对于数列n a ，，1n n a f a −=，n 2，3，4，…，则2023a =______．14. 4封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则邮箱A 的信件数X 的数学期望()E X =______． 15. 已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于________．16. 过点()0,2P 作曲线()2f x x x=+的切线l ，则l 的方程为______． 17. 5个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学，不同分法的总数为______． 18. 已知函数()2ln 2f x x a x x =+−，有下列四个结论：①当0a ≥时，在()0,∞+上为增函数；②当102a <<时，存在两个极值点； ③当0a ≤时，存在极大值；④若函数存在两个不同的极值点1x ，2x ，则()122f x x 的最大值恒为负． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19. 已知函数()32241=+−+f x x x x ．（1）求的单调区间； （2）求在[]3,1−上的最值．20. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，分别求甲、乙进球的概率；（2）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （3）经过10轮踢球，请直接写出甲最有可能进球的个数．21. 已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆G 的方程；（2）若过点M （1，0）的直线与椭圆G 交于两点A ，B ，设点1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求的范围．22. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极大值，求的取值范围； （3）求证：当时，．23. 设数列()12:,,,2n A a a a n ≥.如果{}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈=，且当i j ≠时，()1,i j a a i j n ≠≤≤，则称数列A 具有性质.对于具有性质的数列A ，定义数列()121:,,,n T A t t t −，其中()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==−⎨⎩＜＞.（1）对():0,1,1T A ，写出所有具有性质的数列A ；（2）对数列()121:,,,2n E e e e n −≥，其中{}()0,11,2,,1i e i n ∈=−，证明：存在具有性质的数列A ，使得与为同一个数列；（3）对具有性质的数列A ，若()115n a a n −=≥且数列满足()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==−⎨⎩为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.参考答案第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【答案】D【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】{}{}202A x x x x =−≥=≥，{}1,2,3B =，所以A B ={}2,3，故选:D 2. 【答案】A【分析】根据已知，先利用分类加法计数原理进行分类，再利用组合数以及有限制的排数问题列举求解. 【详解】由题可知，至少有两位数字相同的三位数分为两种情况， 有三位数字相同的三位数有：111，222，333共3个； 有两位数字相同的三位数的个数为236C 18=,所以，由数字1，2，3组成的三位数中，至少有两位数字相同的三位数的个数为21，故B ，C ，D 错误. 故选：A. 3. 【答案】A【分析】由题可得141,8a a ==,进而可得2q ,然后利用求和公式即得.【详解】设数列{}n a 的公比为q ,由题意可得：14231498a a a a a a +=⎧⎨==⎩, 又数列{}n a 是递增的等比数列, 所以141,8a a ==, 所以4312a qa ,所以数列{}n a 的前项和为()1122112n n n S ⨯−==−−.故选:A. 4. 【答案】B【分析】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得出21a b +=，再利用随机变量的期望公式可求得()E X 的值.【详解】设()1P X a ==，()2P X b ==，由分布列的性质可得21a b +=，所以，()()2342222E X a b a a b a b =++=+=+=. 故选：B. 5. 【答案】C 【分析】 求出的导数，先求出()f x 在区间(0，4)上单调的的范围，即()0f x '≥或()0f x '≤在()0,4恒成立，即可得出不单调的a 的取值范围.【详解】可知()2239324f x x x a x a ⎛⎫'=−+=−−+ ⎪⎝⎭， 若函数3213()432f x x x ax =−++在区间(0，4)上单调， 则()0f x '≥或()0f x '≤在()0,4恒成立，39024f a ⎛⎫'∴=−≥ ⎪⎝⎭或()440f a '=+≤，解得4a ≤−或94a ≥， 函数3213()432f x x x ax =−++在区间(0，4)上不单调， 944a ∴−<<. 故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题. 6. 【答案】B【分析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可． 【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列{}n a 的前13项，则11313, 1.48==a a 所以公差为()11.48130.96131=⨯−=−−d ， 则立夏的晷影长应为()1011011390.96 4.36=+−=−⨯=a a d (尺) 故选：B 7. 【答案】C【分析】将题意转化为ln m x x ≤−，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln g x x x =−，即()max m g x ≤，对()g x 求导，求出()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值即可得出答案.【详解】若存在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤，即()ln 0f x x x m =−+≤，所以ln m x x ≤−，令()ln g x x x =−，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()111x g x x x−'=−=，令()0g x '>，解得：(]1,e x ∈， 令()0g x '<，解得：1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()g x 在[]1,e x ∈上单调递增，在1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()111111,ln 1,11e e e e eg e e g e ⎛⎫=−=−=+−>+ ⎪⎝⎭所以1m e ≤−. 故选：C . 8. 【答案】D【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有66A 种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有6644A 30A =种排法，故A ，B ，C 错误.故选：D. 9. 【答案】A【分析】由函数的定义域可排除B ，取特值可排除D ，当x 趋近负无穷时，可排除C ，即可得出答案.【详解】函数()()1ln f x x x =−的定义域为{}0x x ≠，排除B ； 当12x =时，()11ln 022f x =−>，排除D ；当x 趋近负无穷时，10,ln x x −<趋于正无穷，所以()()1ln 0f x x x =−<，排除C. 故选：A . 10. 【答案】D【分析】由题意可知：随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，由两点分布的方差公式()(1)D p p ξ=−可解.【详解】由题意可知：用“1i ξ=”表示员工支持第i 种方案，用“0i ξ=”表示员工不支持，第i 种方案()1,2,3,4i =，所以随机变量()1,2,3,4i i ξ=服从两点分布，则()111(1)0.90.10.09D p p ξ=−=⨯=，()2220.750.250.1875(1)D p p ξ−==⨯=，()333(1)0.30.70.21D p p ξ=−=⨯=，()444(1)0.20.80.16D p p ξ=−=⨯=，所以()()()()1423D D D D ξξξξ<<<，D 选项正确. 故选：D 11. 【答案】A【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若01ab <<，若0b >，则，此时有10a b<<， 若a<0，则0b <，此时有10b a<<， 所以，若01ab <<，则“10a b <<或10b a<<”， 即“01ab <<”⇒“1a b<或1b a”； 若“1a b <或1b a”，若1a b <，不妨取2a =−，1b，则1ab >；若1ba，不妨取2b =，1a =，则1ab >. 所以，“01ab <<”⇐/“1a b<或1b a”. 因此，“01ab <<”是“1a b<或1b a”的充分不必要条件. 故选：A. 12. 【答案】B【分析】通过条件11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤=，得到332d k ≥−−， 再利用条件128k a a a +++=得到162(1)k k k d =+−，进而得到不等关系：3162(1)32k k k k −≥+−−，从而得到k 的最大值.【详解】由11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤=，得到[]1(2)41(1)n d n d +−≤+−，即3(32)0n d +−≥， 当2,3,,n k =时，恒有3(32)0n d +−≥，即332d n ≥−−，所以332d k ≥−−， 由128k a a a +++=，得到[]12(1)()822k k k d k a a +−+==， 所以3162(1)2(1)32k k k d k k k k −=+−≥+−−，N,2k k ∈≥，整理得到：2349320k k −+≤，所以15k ≤. 故选：B第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13. 【答案】5【分析】根据已知条件及数列的周期性即可求解. 【详解】由题意，，()1n n a f a −=，所以()()()()()()21324341,15,52,a f a f a f a f a f a f =========()()()()()()54657624,41,15,,a f a f a f a f a f a f =========所以数列{}n a 是以4为周期的周期数列， 所以20235054335a a a ⨯+=== 故答案为：5. 14. 【答案】43【分析】根据已知，利用二项分布以及二项分布的期望公式计算求解. 【详解】4封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，每封信投入邮箱A 的都是13， 所以邮箱A 的信件数1~43X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以邮箱A 的信件数X 的数学期望()43E X =. 故答案为：43. 15. 【答案】31【分析】根据两个已知条件求出1,a q 的值，再利用等比数列的前n 项和求S 5. 【详解】设数列{a n }的公比为q ， 则a 2·a 3＝231a q ＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2， a 4＋2a 7＝a 4＋234a q ＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12.故a 1＝4316a q =，()5151311a q S q−==−.故答案为：31 16. 【答案】22xy =+ 【分析】利用导数计算公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解. 【详解】设曲线()2f x x x=+的切点为()00,P x y ，又()221f x x '=−，所以切线斜率()0k f x '=，所以切线方程为()00y y k x x −=−，即()00200221y x x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭， 又因为切线过点()0,2P ，所以()0020022210x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭，解得02x =， 所以切点()2,3P ，所以切线l 的方程为：22xy =+. 故答案为：22xy =+. 17. 【答案】6【分析】在5个相同的篮球中间形成的4个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果. 【详解】问题等价于：在5个相同的篮球中间形成的4个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为24C 6=故答案为：6. 18. 【答案】②④【分析】根据导函数的正负，即可判断①,极值点的定义，结合函数的单调性即可判断②③，根据极值点，构造函数()2ln 2,g a a a a a =+−，即可利用导数求解函数单调性进而可求解④【详解】()2ln 2f x x a x x =+−的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x−+'=+−=， 当0a ≥时，2211112222222x x a x a a ⎛⎫−+=−+−≥−≥− ⎪⎝⎭，故无法确定在()0,∞+上为增函数；故①错误，若存在两个极值点；则2220x x a −+=有两个相异的正实数根，所以1212Δ4800210a a x x x x =−>⎧⎪⎪=>⎨⎪+=>⎪⎩，解得102a <<，故②正确， 当0a ≤时，令()0,f x '=则2220x x a −+=，设该方程的两个根为1x <2x ， 则1202ax x =≤，则120,0x x <>， 当()()'∈<20,,0x x f x ，当()()'∈+∞>2,,0x x f x ，所以在()20,x 单调递减，在()2,x +∞单调递增，因此当2x x =时，取极小值，不存在极大值；③错误，由②知若函数存在两个不同的极值点1x ，2x ，102a <<，()()21212ln ,222x x f x x f a a a a a a+===−∴， 令()()2ln 2,2ln 1g a a a a a g a a a '=+−=+−， 由于2,ln 1y a y a ==−均为102a <<上的单调递增函数， 所以()2ln 1g a a a '=+−为102a <<上的单调递增函数， 11ln 21ln 202g ⎛⎫'=−−=−< ⎪⎝⎭，所以()0g a '<在102a <<恒成立， 故()g a 为102a <<趋近于0时，()g a 也趋向于于0，因此()0g a <，则()122f x x 的最大值恒为负．④正确，故答案为：②④【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19. 【答案】（1）减区间为22,3⎛⎫− ⎪⎝⎭，增区间为(),2−∞−和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）最大值为9，最小值为1327−【分析】（1）求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）求出函数在区间[]3,1−上的极大值和极小值，再与()3f −、()1f 比较大小，即可得出结论.【小问1详解】解：因为()32241=+−+f x x x x ，其中，则()()()2344322f x x x x x '=+−=−+，由可得223x −<<，由可得或23x >， 所以，函数的减区间为22,3⎛⎫− ⎪⎝⎭，增区间为(),2−∞−和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【小问2详解】 解：列表如下：又因为()34f −=，()10f =，则04927−<<<， 因此，函数在[]3,1−上的最大值为9，最小值为1327−. 20. 【答案】（1）甲、乙进球的概率分别为13，14（2）分布列见解析，1()12=E X （3）3【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解，（2）根据独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列，由期望的计算公式及可求解期望， （3）利用期望的性质即可求解. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件，乙进球为事件B ，，B 相互独立，由题意得：111()(1)233P A =⨯−=，111()(1)224P B =⨯−=， 【小问2详解】甲的得分X 的可能取值为1−，0，1，111(1)()()()(1)346P X P AB P A P B =−===−⨯=，11117(0)()()()()()()(1)(1)343412P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+=⨯+−⨯−=，111(1)()()()(1)344P X P AB P A P B ====⨯−=，所以X 的分布列为：()101612412E X =−⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】又（1）知一轮比赛中甲进球的个数Y 的可能取值为0，1， 所以一轮比赛中甲进球个数Y 的分布列为()01333E Y =⨯+⨯=,故10轮比赛的进球个数为()10(10)1033E Y E Y ==≈， 故经过10轮踢球，请直接写出甲最有可能进球的个数为3.21. 【答案】（1）2214x y +=（2）【分析】（1）根据题意列方程解出,,a b c ，即可得出方程；（2）根据题意设直线AB 及交点,A B 坐标，联立直线与椭圆的方程得到12y y +，12y y ，表示出NA NB +，再由向量的模长公式结合基本不等式求解即可.【小问1详解】依题意可得22222=+13+=14a b cca ab ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得=2=1a b c ⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线AB 斜率为0时，:0AB l y =，()()2,0,2,0A B −，1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()53,0,01,022NA NB ⎛⎫⎛⎫+=−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1NA NB +=， 当直线AB 斜率不为0时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：1x my =+，联立方程组可得22=+1+=14x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得到()224230m y my ++−=， ()222412416480m m m ∆=++=+>，由根与系数的关系得到12224my y m +=−+，12234y y m −=+， 1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1122121211,,1,22NA NB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=−+−=+−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()21212222411144m m x x m y y m m m −+⎛⎫+−=++=⋅−+= ⎪++⎝⎭， 所以NA NB⎛−+==== 当0m =时，NA NB +=1=，当0m ≠时，NA NB +=，因为22168816m m ++≥=， 当且仅当2216m m=时取等，221230,1648m m⎛⎤∈⎥⎝⎦++， 221211,11648m m ⎡⎫−∈⎪⎢⎣⎭++1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故的范围为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.综上所述：+NA NB 的范围为：⎣⎦⎢⎥⎡⎤2,11.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，再由基本不等式和向量的模长公式求解即可. 22. 【答案】（1）++=x y 210 （2）>−a 21（3）证明见解析【分析】（1）求出'f 0()的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求得=−+'f x ax x xe12()()()，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数f x ()在=−x 2附近的单调性，结合极值点的定义可得出实数a 的取值范围；（3）由<f x 0()可得<<−a ax 2211，利用导数分析函数f x ()在⎝⎭ ⎪ ⎪+⎛⎫a a 22,11上的单调性，证明出函数f x ()在⎝⎭ ⎛a a 2211上的最小值⎝⎭⎪≥−⎛⎫a f e 1即可. 【小问1详解】 解：因为=−−f x axx xe 12()()，则⎣⎦=−−+−=+−−⎡⎤'f x axx ax ax a x x x xe1e 21e 21222()()()()，所以，=−'f 02()，又因为=−f 01()，所以，曲线=y f x ()在点−0,1()处的切线方程为=−−y x 21，即++=x y 210. 【小问2详解】解：因为⎣⎦=+−−=−+⎡⎤'f x ax a x ax x x xe 212e 122()()()()，因为f x ()在=−x 2处取得极大值，①当=a 0时，=−+'f x x x2e ()()，当−x <2时，fx0，此时函数f x ()单调递增，当>−x 2时，<'f x 0()，此时函数f x ()单调递减，则函数f x ()在=−x 2处取得极大值，合乎题意； ②当>a 0时，>−a21，当−x <2时，f x 0，此时函数f x ()单调递增，当−<<ax 21时，<'f x 0()，此时函数f x ()单调递减，则函数f x ()在=−x 2处取得极大值，合乎题意； ③当=−a 21时，即当=−a 21时，=−+≤'f x x x 2e 2012()()且'f x ()不恒为零，所以，函数f x ()在R 上单调递减，即函数f x ()无极值点，不合乎题意； ④当−<<a 201时，<−a 21，当<<−ax 21时，f x0，此时函数f x ()单调递增，当>−x 2时，<'f x 0()，此时函数f x ()单调递减， 所以，函数f x ()在=−x 2处取得极大值，合乎题意； ⑤当<−a 21时，>−a 21，当−x <2时，<'f x 0()，此时函数f x ()单调递减，当−<<ax 21时，f x0，此时函数f x ()单调递增，所以，函数f x ()在=−x 2处取得极小值，不合乎题意. 综上所述，>−a 21. 【小问3详解】证明：当≥a 1时，由=−−<f x axx xe102()()，可得<<+a ax 2211，因为≥a 1，则>=+=+−aaaa 222201141)()，>−2，所以，只需证当<<+a ax 2211时，≥−f x e ()，当<<a a x 211时，<'f x 0()，此时函数f x ()单调递减，当<<a ax 211时，f x 0，此时函数f x ()单调递增，所以，当<<+a ax 2211时，⎝⎭ ⎪≥=−≥−⎛⎫a f x f a e e 11()， 因此，当≥a 1时，对任意的R ∈x ，≥−f x e ().【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式>f x g x ()()（或<f x g x ()()）转化为证明−>f x g x 0()()（或−<f x g x 0()()），进而构造辅助函数=−h x f x g x ()()()；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 23. 【答案】（1）4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4 （2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）根据数列T A ()的定义，得到=n 4且>a a 12，<a a 23，<a a 34，确定=a 12，按照=a 41或=a 44分别讨论可得答案； （2）设数列E ：−e e e n ,,,121中恰有s 项为1，在按照=s 0、=−s n 1、<<−s n 01三种情况分别讨论可证结论；（3）按照n 的奇偶分类讨论，结合数列T A ()的定义可证结论. 【小问1详解】因为T A ():0,1,1，所以n −=13，则=n 4因为=t 01，=t 12，=t 13，所以>a a 12，<a a 23，<a a 34， 又∈=a i i {1,2,3,4}(1,2,3,4)， 所以=a 12，=a 41或=a 44， 当=a 41时，==a a 2,334，当=a 44时，==a a 3,213或==a a 2,313，综上所述：所有具有性质P 的数列A 为：4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4. 【小问2详解】 由于数列E ：−e e e n ,,,121，其中∈e i {0,1}=−≥i n n (1,2,3,1,2)，不妨设数列E ：−e e e n ,,,121中恰有s 项为1， 若=s 0，则−A n n :,1,,1符合题意，若=−s n 1，则A n :1,2,,符合题意，若<<−s n 01，则设这s 项分别为e e e k k k s ,,,12<<k k k s ()12，构造数列A a a a n :,,,12，令+++a a a k k k s ,11,,112分别为−+−+n s n s n 1,2,,，数列A 的其余各项−a a a m m m n s ,,,12<<<−m m m n s ()12分别为−−−n s n s ,1,,1，经检验数列A 符合题意. 【小问3详解】对于符合题意的数列≥A a a a n n :,,(5)1,2，①当n 为奇数时，存在数列'−A a a a n n :,,,11符合题意，且数列A 与'A 不同，T A ()与'T A ()相同， 按这样的方式可由数列'A 构造出数列A ， 所以n 为奇数时，这样的数列A 有偶数个， 当=n 3时，这样的数列A 也有偶数个， ②当n 为偶数时，如果−n n ,1是数列A 中不相邻的两项，交换n 与−n 1得到数列'A 符合题意， 且数列A 与'A 不同，T A ()与'T A ()相同， 按这样的方式可由数列'A 构造出数列A ， 所以这样的数列A 有偶数个，如果−n n ,1是数列A 中相邻的两项，由题设知，必有=−a n n 1，=−a n n 1，=−a n 21， 除这三项外，−a a a n ,,,223是一个−n 3项的符合题意的数列A ，由①可知，这样的数列A 有偶数个， 综上，这样的数列A 有偶数个.【点睛】关键点点睛：正确理解数列T A ()的定义，并利用定义求解是解题关键.。

浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)

浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)

2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1. 直线3210x y +−=的一个方向向量是（ ） A. ()2,3− B. ()2,3C. ()3,2−D. ()3,2【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +−=的斜率为32−，所以直线的一个方向向量为31,2−，又因为()2,3−与31,2−共线，所以3210x y +−=的一个方向向量可以是()2,3−， 故选：A.2. 若{},,a b c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）A. ,,b c b b c +−−B. a ，a b + ，a b −C. a b + ，a b − ，cD. ,,a b a b c c +++【答案】C 【解析】【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A ：()b c b c −−=−+，因此向量,,b c b b c +−−共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12a a b a b =++−，因此向量a ，a b + ，a b −共面，故不能构成基底，错误； 对选项C ：假设()()c a b a b λµ=++− ，即()()c a b λµλµ=++− ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D ：()a b c a b c ++=++，因此向量,,a b a b c c +++共面，故不能构成基底，错误； 故选：C3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A. 5f B. 142fC. 4fD. 132f【答案】B 【解析】【分析】先将所要解决的问题转化为：求首项为f ，公比为的等比数列的第4项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可.【详解】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为的等比数列{}n a ， 第四个单音的频率为31442a f f =×=. 故选：B.4. “点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p ：点(),a b 在圆221x y +=外等价于221a b +>，命题q ：直线20ax by ++=与圆221x y +=2214a b <⇔+>，从而有,p q q p ⇒ ，所以p 是q 必要不充分条件. 故选：B5. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】C 【解析】【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目， 若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有122332C C A 18=种． 故选：C.6. A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息(),i i x y ．A小组根据表中数据，直接对(),x y 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.46990.235yx +，决定系数20.8732R =．B 小组先将数据按照变换2u x =，2v y =进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.50060.4922v u =−+，决定系数20.9375R =．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）A. 0.46990.2350x y −+=B. 0.50060.49220x y +−=C. 220.500610.49220.4922x y +=D. 220.500610.49220.4922x y +=【答案】C 【解析】【分析】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论． 【详解】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数20.8732R =，B 小组的决定系数20.9375R =，B ∴小组的拟合效果好，则回归方程为ˆ0.50060.4922vu =−+， 的又2222,,0.50060.4922u x v y y x ==∴=−+，即220.500610.49220.4922x y +=．故选：C ．7. 设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设0OA OB OC ++=，则AD BD CD ++不可能等于（ ）A. 3B.72C. 4D. 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，得到3AD BD CD ++=，利用AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤++=++判断等号成立条件，确定AD BD CD ++不可能取的值.【详解】因为()()()3()3AD BD CD OD OA OD OB OD OC OD OA OB OC OD →→→→→→→→→→→→→→++=−+−+−=−++=，且1OD =，所以3AD BD CD ++=， 而AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤+=++，当且仅当,,AD BD CD →→→同向时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即,,AD BD CD →→→不同向，所以3AD BD CD AD BD CD ++>++=且,,AD BD CD 均小于直径长2，即6AD BD CD ++<， 综上，36AD BD CD <++<. 根据选项可知A 不符合. 故选：A8. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为12PF F △的内心．直线PI 交x 轴于A 点，14OA c =，且212116PF PF a ⋅= ，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.C.34D.【答案】B 【解析】【分析】先利用角平分线性质得到112253PF F A PF AF ==，设15PF t =，则23PF t =，根据椭圆定义得到4at =，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解. 【详解】不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为12PF F △的内心，所以PA 为12F PF ∠的角平分线，所以1122PF F APF AF =，因为14OA c = ，所以112253PF F A PF AF ==， 设15PF t =，则23PF t =，由椭圆的定义可知，1282PF PF t a +==， 可得4at =，所以154a PF =，234a PF =，又因为11221122253cos c 41o 1s 46F P P a F PF PF PF F a F a F P ∠=×⋅∠=⋅=⋅ ，所以121cos 15F PF ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得， 222212121221217418cos 152158a c PF PF F F PF F a PF PF −+−∠===， 所以222a c =，则e =， 故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（ ）A. 1x 是()f x 的一个极大值点B. 2x 是()f x 的一个极小值点C. 3x 是()f x 的一个极大值点D. 4x 是()f x 的一个极小值点 【答案】AB 【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确. 对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误. 对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误. 故选：AB.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件:A “两次向上的点数之和大于7”，事件:B “两次向上的点数之积大于20”，事件:C “两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A. 事件B 与事件C 互斥B. ()572P AB =C. ()25P B A = D. 事件A 与事件C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】列举出事件A 、B 、C 所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A 选项；利用古典概型的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次， 设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m 、n ， 以(),m n 为一个基本事件，则基本事件的总数为2636=，事件A 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()4,6、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15种，事件B 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种， 事件C 包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、 ()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30种，对于A 选项，事件B 与事件C 互斥，A 对；对于B 选项，事件AB 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，所以，()61366P AB ==，B 错；对于C 选项，()()()25n AB P B An A ==，C 对； 对于D 选项，()1553612P A ==，()305366P C ==，事件AC 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()5,3、()5,4、()6,2、()6,3，共9种，所以，()()()91364P AC P A P C ==≠⋅，D 错. 故选：AC.11. 设双曲线222:1(0)4x y C a a a a −=>−+，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A. 双曲线C 离心率的最小值为4B. 离心率最小时双曲线C 0y ±=C. 若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则AC BD =D. 若1a =，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则EOF S △为定值 【答案】BCD 【解析】【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A ；根据2a =可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B ；将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C ，D 坐标，再由点差法求AB 的中点坐标，然后可判断C ；结合图形可知EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E ，F 的横坐标，代入化简可判断D.【详解】由题知，22444a a a e a a a+−+==+≥，当且仅当2a =时等号成立，所以2e 的最小值为4，e的最小值为2，故A 错误；当2a =时，双曲线方程为22126x y −=，此时渐近线方程为y x =0y ±=，B 正确； 若直线l 的斜率不存在，由对称性可知AC BD =；当斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，CD 的中点为33(,)N x y则22112222221414x y a a a x y a a a −= −+ −=−+，由点差法可得2004y a a k x a −+⋅=，所以2004kx m a a k x a +−+⋅=， 所以0224amkx a a ak=−+−，又双曲线渐近线方程为y =，联立y kx m =+分别求解可得CD x x ，所以3022124amk x x a a ak =+==−+−， 所以M ，N 重合，则AC MC MA MD MB BD =−=−=，或AC MC MA MD MB BD =+=+=，故C 正确；若1a =，则双曲线方程为2214y x −=，渐近线方程为2y x =±，不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为y ，y ′=1)y x x −−，设点E ，F 坐标分别为(,),(,)E E F F x y x y ，分别作,EP FQ 垂直于y 轴，垂足分别为P ，Q ，E 在第一象限，F 在第四象限，则EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形 1111()()()2222E F E F E E F F F E E F x x y y x y x y x y x y =+−−+=− 又2,2E E F F y x y x ==−，所以1(22)22EOF F E E F E F S x x x x x x =+= ，联立渐近线方程和切线方程可解得112)2)E EF F x x x x x x −−−−− ，整理得(2(2E F x x −=−=，两式相乘得22112211(4)411E F x x x x x x −−=−−−，所以1E F x x =， 所以22EOFE F S x x == ，D 正确 故选：BCD【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C 选项需要灵活处理，将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D 选项需结合图象将面积灵活转化，在求解E F x x 时，要结合式子的结构特征灵活处理. 12. 已知曲线()exx f x =，()ln xg x x =，及直线y a =，下列说法中正确的是（ ） A. 曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行 B. 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea = C. 曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点D. 若直线y a =与曲线()f x 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，与曲线()g x 交于点()22,B x y ，()33,C x y ，则2132x x x =【答案】ACD 【解析】【分析】对与A 选项，分别求出()f x 在0x =处的切线与()g x 在1x =处的切线即可判断； 对于B 选项，求出()f x ′，即可判断出曲线()f x 的单调性，画出草图则可判断； 对于C 选项，画出曲线()f x 与()g x 的草图，即可判断；对于D 选项，借助图像可知直线y a =过曲线()f x 与()g x 的交点B ,由此即可得出12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，则可得12ln x x =，23e x x =，2222ln e ⋅=x x x ，则可得出2132x x x =..【详解】对于A 选项：()0=0f ，()()2(e e 1e )e ′⋅−′⋅==′−x x x x x x xf x ，()01f ′=， 所以曲线()f x 在0x =处的切线为：y x =； 同理()10g =，()21ln xg x x−′=，()11g ′=，曲线()g x 在1x =处的切线为1y x =−， 即曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行，正确； 对于B 选项：()1ex xf x −′=，令()0f x ′=，解得1x =， 所以曲线()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()11=ef ， 又当x →−∞时()f x →−∞，当x →+∞时()0f x →， 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea =或0a ≤，错误； 对于C 选项：曲线()g x 的定义域为：(0,)+∞，()21ln xg x x−′=， 令()0g x ′=，解得e x =，所以()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，且()110,(e)e==g g ， 所以曲线()f x 与曲线()g x 的大致图像为：易知当(0,1)x ∈时，()0f x >，()0g x <，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(0,1)上无交点；当[1,e]x ∈时，()f x 单调递减，()g x 单调递增，且1(1)(1)0e=>=f g ， 1e 1(e)e ()e −−=<=f g e ，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(1,e)上有一个交点；当(e,)x ∈+∞时，记()ln h x x x =−，1()1h x x′=−，当e x >时()0h x ′>恒成立， 即()h x 在(e,)+∞上单调递增，即()(e)e 10>=−>h x h ，即ln 1>>xx ,又曲线()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()(ln )<f x f x ，即ln ln ln e e <=x x x x x x， 即()()f x g x <恒成立，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(e,)+∞上没有交点； 所以曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点，正确;对于D 选项：当直线y a =经过曲线()f x 与()g x 的交点时，恰好有3个公共点，且12301e x x x <<<<<，12312223ln ln x x x xx x ee x x ===, 由122()()(ln )==f x f x f x ，所以12ln x x =，由223()()(e )==xgx g x g ，所以23e xx =， 即221322ln e ⋅=⋅=xx x x x ，正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：判断两个函数的交点个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为交点个数；（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，直接得出答案.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. ()8()x y x y −+的展开式中36x y 的系数为________．【答案】28− 【解析】【分析】利用8()x y +的展开式通项公式求3526,x y x y 项，然后可得()8()x y x y −+的展开式中36x y 项，可得答案.【详解】8()x y +的展开式通项公式818C r rr r T xy −+=，令5,6r =得5356266878C ,C T x y T x y ==， 所以()8()x y x y −+的展开式中36x y 项为()5356263688C C 28x y y x y x x y ⋅−+⋅=−，所以36x y 的系数为28−. 故答案为：28−14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若()f x ′是()f x 的导函数，()f x ′′是()f x ′的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x =+ ′′′．已知()()cos 1ln f x x x =−−，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为________．【答案】0 【解析】【分析】求出原函数的导函数()f x ′与导函数的导函数()f x ′′，然后代入题中公式即可求出答案.【详解】因为()()cos 1ln f x x x =−−， 所以()()1sin 1f x x x ′=−−−，()()21cos 1f x x x′′=−−， 则()11sin011f ′=−−=−，()11cos001f ′′=−=， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为()()()()()()3322221001111f Kf ′′===+−′+.故答案为：0.15. 已知数列{}n a 满足28a =，()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅，则满足50n S −>的正整数n 的最小值为________．【答案】63 【解析】【分析】根据对数运算和递推公式可得数列{}n b 的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得n S ，解不等式可得答案.【详解】因为()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，280a =>， 所以()110,2n nn n a a n a −−>=+， 所以()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅ 22212222222212121log log log n n n n n n n n a a a a a a a a +−+++−⋅=−⋅()()()()2221122log 222log 22n nn n +−−++−+()()22log 24log 22n n +−+所以()()222222224log 6log 4log 8log 6log 24log 22log 4n n S n n +=−+−+⋅⋅⋅++−+=， 因为50n S −>，所以2224log 5log 324n +>=，即2322n +>，解得62n >， 因为*n ∈N ，所以正整数n 的最小值为63. 故答案为：63 16. 设函数()2π2cos 2x f x x +=+，则使得()()12f x f x +>成立的x 的取值范围是________．【答案】5,13−【解析】【分析】利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由()2π2cos 2x f x x + =+ 向右平移2个单位，得()ππ2cos π2cos 22x xg x x x =+−=−为偶函数，所以()g x 关于y 轴对称， 所以()f x 关于2x =−对称， 当0x ≥时，()n ln ππ2si 222x g x x ′+=， 当[]0,2x ∈时，因为πsin 02x≥，所以()0g x ′>， 当()2,x ∈+∞时，()20ln π222g x ′>>−， 所以()g x 在上单调[)0,∞+递增，在(),0∞−上单调递减， 所以()f x 在(),2−∞−上单调递减，在()2,−+∞上单调递增，由()()12f x f x +>得1222x x ++>+，即()()22322x x +>+，解得531x <−<，所以使得()()12f x f x +>成立x 的取值范围是5,13 −.的故答案为：5,13 −.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在四面体ABCD 中，AE AB λ= ，AH AD λ= ，()1CF CB λ=−，()1CG CD λ=− ，()0,1λ∈．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面． （2）若13λ=，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA 、OB 、OC 、OD 表示OM ． 【答案】（1）证明见解析（2）42129999OM OA OB OC OD =+++【解析】【分析】（1）证明出//EH FG，即可证得结论成立；（2）由（1）可得出12EH FG = ，可得出//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，由此可得出12EM MG = ，再结合空间向量的线性运算可得出OM 关于OA 、OB、OC 、OD 的表达式.【小问1详解】证明：因为EH AH AE AD AB BD λλλ=−=−=，()()()111FG CG CF CD CB BD λλλ=−=−−−=− ，所以1EH FG λλ=−，则//EH FG ，因此E 、F 、G 、H 四点共面． 【小问2详解】解：当13λ=时，13AE AB = ，即()13OE OAOB OA −=− ，可得2133OE OA OB =+ ， 因为23CG CD =，即()23OG OC OD OC −=− ，可得1233OG OC OD =+ ，由（1）知，13EH BD = ，23FG BD =，因此12EH FG = ，又因为EH 、FG 不在同一条直线上，所以，//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，则12EM MG = ，即()12OM OE OG OM −=− ， 所以，2122111233333333OM OE OG OA OB OC OD=+=+++42129999OA OB OC OD =+++. 18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()*221N n n a a n =+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若{}n a 中的部分项n b a 组成的数列{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21Nn a n n =−∈（2）21nnT =− 【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n 项和及通项公式基本量计算即可；（2）利用等比数列概念及通项公式求出{}n b 的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】设差数列{}n a 公差为d ，则由424S S =，()*221Nn n a a n =+∈可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+ +−=+−+ ，解得112a d = = ，因此()*21N n a n n =−∈.【小问2详解】由21na n =−，得21nb n a b =−， 又由{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，得12n nb a +=，因此22n n b =， 所以12n n b −=，所以122112nn nT −==−−. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，所有棱长均为2，160A AC ∠=，1A B =．的（1）证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ．（2）求平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】（1）取AC 中点M ，证明1A M BM ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答. （2）利用（1）中信息作出平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答. 【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取AC 中点M ，连接1A M ，BM ，则BM AC ⊥，由1AA AC =，160A AC ∠=，得1A AC △为等边三角形，则1A M AC ⊥，显然1A MBM ==1A B =，则22211A M BM A B +=，有1A M BM ⊥， 又AC BM M = ，,AC BM ⊂平面ABC ，于是1A M ⊥平面ABC ，而1A M ⊂平面11A ACC ， 所以平面11A ACC ⊥平面ABC ．【小问2详解】在三棱柱111ABC A B C -中，平面111//A B C 平面ABC ，因此平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值与平面11BA B 与平面ABC 的夹角的正弦值相等， 由（1）知1A M ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则1A M AB ⊥，过M 作MN AB ⊥于点N ，连接1A N ，有1A M MN ⊥，11,,MN A M M MN A M =⊂ 平面1A MN ，于是AB ⊥平面1A MN ，而1A N ⊂平面1A MN ，则1A N AB ⊥，因此1A NM ∠为平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角， 显然sin 60MN AM =⋅ ，而1A M =，则1A N ===，从而111sin A M A NM A N∠=所以平面11BA B 与平面111A B C． 20. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求． （1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列22×列联表，并根据小概率值0.010α=的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成()*M M ∈N段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，易知11p =，20p = ①试证明14n p−为等比数列；②设第n 次David 选择共享单车的概率为n q ，比较5p 与5q 的大小．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++．α 0.050 0.010 0.001x α 3.841 6.635 10.828【答案】（1）表格见解析，有关系 （2）①证明见解析；②55p q >． 【解析】【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出2χ，再对照临界值表即可得出结论； （2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论； ②先求出n p 的表达式，进而可求出55,p q ，即可得解. 【小问1详解】 列联表如下：零假设为0H ：城市规模与出行偏好地铁无关，()22200804020609.524 6.63510010014060χ×−×≈>×××，根据小概率值0.010α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010； 【小问2详解】①证明：第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n −段行程上David 坐地铁的概率为1n p −，不坐地铁的概率为11n p −−，则()11111101333n n n n p p p p −−−=⋅+−⋅=−+， 从而1111434n n p p −−=−−， 又11344p −=，所以14n p−是首项为34，公比为13−的等比数列；②由①可知1311434n n p −=−+， 则4531114344p =−+> ，又()5511134q p =−<，故55p q >． 21. 设抛物线2:2(0)C y py p =>，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =.（1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()1,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D . ①求证：直线CD 过定点；②求PAB 与PCD 面积之和的最小值. 【答案】（1）2:2C y x = （2）①证明见解析；②52. 【解析】【分析】（1）利用弦长求解p ，即可求解抛物线方程；（2）（i ）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii ）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【小问1详解】由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，12p x =，代入抛物线方程得1y p =±，则2AB p =，所以22p =，即1p =，所以抛物线2:2C y x =.【小问2详解】 （i ）设()33,C x y ，()44,D x y ，直线1:2AB x my =+， 与抛物线2:2C y x =联立，得2210y my −−=，因此122y y m +=，121y y =−. 设直线:1AC x ny =+，与抛物线2:2C y x =联立，得2220y ny −−=，因此132y y n +=，132y y =−，则312y y −=.同理可得422y y −=. 所以34341222343434121222122222CD y y y y y y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−. 因此直线()33:2CD xm y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上， 令0y =得，223333211112124222222y m x my x my m y y y y −−=−+=−+=−+=+ ()1221222211111212122222y y y y y y y y y y + +=+=++=+⋅=， 所以直线CD 过定点()2,0Q .（ii ）因为12121124PAB S PF y y y y =⋅−=− ， 12341212121211221122PCD y y S PQ y y y y y y y y y y −−−=⋅−=−=−==− ，所以125542PAB PCDS S y y +=−=≥ ， 当且仅当0m =时取到最小值52. 22. 设函数()2(1)e xf x x ax =−−，若曲线()f x 在0x =处的切线方程为2y x b =−+． （1）求实数,a b 的值．（2）证明：函数()f x 有两个零点．（3）记()f x ′是函数()f x 的导数，1x ，2x 为()f x 的两个零点，证明：122x x f a + >−′． 【答案】（1）11a b = =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义代入()02f ′=−即可得,a b 的值； （2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论； （3）利用（1）（2）中的结论，结合()f x 单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.【小问1详解】由题意可得()()21e x f x x a ′=−−， 由切线方程可知其斜率为2−，所以()()02,0,f f b =−=′，解得11a b = = ． 【小问2详解】由()0f x =可得2(1)e 0x x x −−=，所以2(1)0e xx x −−=； 函数()f x 有两个零点即函数()2(1)ex x g x x =−−有两个零点． ()()112e x g x x =−+′， 当1x <时，()0g x ′<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x ′>，()g x 单调递增．又()010g =>，()110e g =−<，()22210e g =−>， 所以()()010g g <，()()120g g <，由零点存在定理可得()10,1x ∃∈使得()10g x =，()21,2x ∃∈使得()20g x =，所以函数()f x 有两个零点．【小问3详解】由（1）（2）知2()(1)e x f x x x =−−，可得()()21e 1x f x x ′=−−且12012x x <<<<． 要证明122x x f a + >− ′，即证明1221221e 112x x x x + + −−>−， 即证明122x x +>．令()()()2(01)h xg x g x x =−−<<，则 ()()()()()()()2221e e 11212120e e e x x x x x h x g x g x x x −−−− =+−=−++−′+=< ′′ ，因此()h x 单调递减，则()()10h x h >=．因此()10h x >， 即()()112g x g x >−，又12012x x <<<<，所以()()21g x g x >； 即()()212g x g x >−，又2x ，()121,2x −∈，且()g x ()1,2上单调递增， 因此212x x >−，即122x x +>．命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式122x x f a + >− ′转化成求证122x x +>，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.在。

福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将答题卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.曲线在原点处的切线斜率为（ ）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数 相关系数 相关系数 相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（ ）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（ ）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

重庆市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案(康德卷)

重庆市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案(康德卷)

2024年春高二(下)期末联合检测试卷数 学数学测试卷共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x'是函数()f x的导函数，则满足()f x'()f x=的函数()f x是A．2()f x x=B．()e xf x=C．()lnf x x=D．()tanf x x=2．如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3．对于函数32()f x x bx cx d=+++，若系数b c d，，可以发生改变，则改变后对函数()f x的单调性没有影响的是A．b B．c C．d D．b c，4．某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高y cm与其父亲身高x cm的经验回归方程为14ˆ2917y x=+，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高170cm，则小王身高的残差为A．3-cm B．2-cm C．2cm D．3cm5．若函数2()(1)e xf x x bx=++，在1x=-时有极大值16e-，则()f x的极小值为A．0B．3e--C．e-D．32e-6．甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有A．48种B．96种C．108种D．120种不优秀优秀7． 若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为A ．1.2B ．2.4C ．2.88D ．4.88．若样本空间Ω中的事件123A A A ，，满足1131()()4P A P A A ==，22()3P A =，232()5P A A =，231()6P A A =，则13()P A A = A ．114B ．17C ．27D ．528二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

河南金科新未来2024年高二下学期期末质检数学试题+答案

河南金科新未来2024年高二下学期期末质检数学试题+答案

金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检测高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a −=，则首项1a =（）A ．1−B ．0C ．1D ．32．已知曲线()ln 2f x ax x =+−在点()()1,1f 处的切线方程是2y x b =+，则b =（）A ．3−B ．2−C ．1D ．-13．在各项为正的等比数列{}n a 中，8a 与10a 的等比中项为2，则26212log log a a +=（ ）A ．4 B ．3C ．1D ．24．函数()()321303f x x x x x =−−≤的最大值是（ ）A ．53B ．0C ．2D ．35．已知双曲线2222:1x y C a b−=的一条渐近线与圆22:(25E x y −+=相交于,A B 两点，且8AB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 6．若函数()22e xf x ax =−在区间()2,1−−上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[)2e,+∞B ．41,2e−+∞C ．21,e−∞−D ．21,0e−7．已知*211,,212nn n a b n n n∈==−+N ，数列{}n a 与数列{}n b 的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前99项和为（ ） A ．12B ．99199C ．99197D ．1981998．在平面坐标系xOy 中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为()2,0，则该质点移动的方法总数为（ ） A ．120B ．135C ．210D ．225二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（ ） A ．{}n n a b +不可能为等比数列 B ．{}n n a b 可能为等差数列 C ．n S n是等差数列D ．2n n T是等比数列 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是C 上位于第一象限的动点，点M 为l 与x 轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A ．F 到直线l 的距离为2B ．以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切C ．直线MP 斜率的最大值为2D ．若FM FP =，则FMP △的面积为211．已知函数()()e ,ln xf x xg x x x =−=−，则下列说法正确的是（ ） A ．()exg 在()0,+∞上是增函数B ．1x ∀>，不等式()()2ln f ax f x≥恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若()()12(2)f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln tx x −的最大值为1e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 m 4 4.5若由表中数据得到经验回归直线方程为 0.80.6x y =+，则m =_________．13．已知函数()2e xf x ax =−，若()f x 的图象经过第一象限，则实数a 的取值范围是_________．14．不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =−，且256,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值． 16．（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC −中，AB ⊥平面,,PAC E F 分别为,BC PC 的中点，且22PA AC AB ===．（1）证明：PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，求平面AEF 与平面PAC 的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲， （1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；（2）用随机变量X 表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X 的分布列与期望． 18．（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，，过F 的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，当AB OF ⊥时，AB =．（1）求C 的方程；（2）过F 的另一条直线交C 于,D E 两点，设直线AB 的斜率为()110k k ≠，直线DE 的斜率为2k ，若122k k =，求AB DE −的最大值．19．（本小题满分17分）已知函数()()()e 1,ln 1xf xg x x =−=+．（1）若()()f x kg x ≥在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围；（2）设()()111,0A x y x >为()y f x =图象上一点，()()222,0B x y x >为()y g x =−图象上一点，O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，证明：221x x >．金科·新未来2023~2024学年度下学期期末质量检·高二数学参考答案、提示及评分细则题号 1 2 3 45 6 7 891011答案 C A D A D B B D BC ABD ABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3616a a +=，且534a a −=，所以36153271624a a a d a a d +=+= −== ，所以112a d ==．故选C ． 2．【答案】A【解析】函数()ln 2f x ax x =+−，求导得()1f x a x′=+，依题意，()112f a +′==，得()1,ln a f x x x ==+−2，显然()11f =−，因此12b −=+，所以3b =−．故选A ．3．【答案】D【解析】因为8a 与10a 的等比中项为2，所以281024a a ==，所以()()26212261228102log log log log log 42a a a a aa +=⋅=⋅==．故选D ．4．【答案】A 【解析】因为()()321303f x x x x x =−−≤，所以()223f x x x =−−′，令()0f x ′>，得1x <−，令()0f x ′<，得10x −<<，所以函数()f x 在(),1−∞−上单调递增，在()1,0−上单调递减，所以()f x 的最大值是()513f −=．故选A ． 5．【答案】D【解析】根据题意得，圆心E 到C 的渐近线的距离为3,=∴设渐近线方程为by x a=，则223,9,b e a =∴=，故选D ． 6．【答案】B【解析】依题意，()222e0xf x ax =−≤′在()2,1−−恒成立，即2e x a x ≥恒成立，设()2e xg x x=，则()()22e 21x x g x x′−=，所以()0g x ′≤，所以()g x 在()2,1−−单调递减，所以()4122e a g ≥−=−，故选B ． 7．【答案】B【解析】因为数列{}21n −是正奇数数列，对于数列{}22n n +等价于{}2(1)1n +−，当n 为奇数时，设()*21n k k =−∈N ，则22(1)141n k +−=−为奇数；当n 为偶数时，设()*2n k k =∈N ，则()22(1)1(21)141n k k k +−=+−=+为偶数，所以()()22111111,4141212122121nnc c n n n n n n====−−−−+−+，所以129911111111991123351971992199199c c c +++=×−+−++−=×−=，故选B ． 8．【答案】D【解析】情形一，质点往右移动4次，往左移动2次，26C 15=，情形二，质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，3363C A 120=， 情形三，质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，2264C C 90=， 所以质点移动的方法总数为225，故选D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BC （全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A ，当{}n a 为常数列，且0n a =时，因为{}n b 是等比数列，所以{}n n a b +为等比数列，所以A 错误．对于B ，当{}n b 为常数列时，因为{}n a 为等差数列，所以{}n n a b 为等差数列，所以B 正确． 对于C ，设{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d +=+，得()112nn Sa d n +=+，因为1112n n S S d n n +−=+，所以数列n S n是等差数列，所以C 正确． 对于D ，设{}n b 的公比为q ，则1111112122222n n n n n n n n n nT T b b q T T +++++⋅，当1q ≠时，112n b q 不是常数，所以2n n T 不是等比数列，所以D 错误．故选BC ．10．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】易知()1,0F ，准线:1l x =−，所以F 到直线l 的距离为2，A 选项正确；由抛物线的定义，点P 到准线的距离等于PF ，所以以P 为圆心PF 为半径的圆与l 相切，B 选项正确； 当直线MP 与抛物线相切时，MP 的斜率取得最大值．设直线:1MP x my =−，与抛物线24y x =联立可得：2440y my −+=，令2Δ16160m =−=得：1m =±，所以直线MP 斜率的最大值为1，C 选项错误；若2FM FP ==，设200,4y P y，则2124y +=，解得02y =，所以FMP △的面积为01222y ××=，D 选项正确，故选ABD ． 11．【答案】ABD （全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】A 项中，令e xt =，则ln x t =，由()0,x ∈+∞知1t >，此时函数为1ln ,10y t t y t′=−=−>，所以函数ln y t t =−在()1,+∞上是单调增函数，即()exg 在()0,+∞上是增函数，所以A 项正确；B 项中，1x >时，2ln 0x >，又a 为正实数，所以0ax >，又()e 10x f x =′−>，所以()f x 单调递增，所以不等式等价于2ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即max2ln x a x ≥，令()2ln x x x ϕ=，知()222ln x x x ϕ−′=，所以()x ϕ在()1,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以()()max 2()e ex ϕϕ==，所以B 项正确；C 项中，易知()e x f x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()min()01f x f ==，所以1t >，不妨设12x x <，则必有120x x <<，若12x x +> 0，则等价于210x x >−>，等价于()()21f x f x >−，等价于()()11f x f x >−，令()()()F x f x f x =−−，()()()(),0,e e 20x x x F x f x f x −′′′∈−∞=+−=+−>，即()F x 在(),0−∞上递增，所以()()00F x F <=，则()1,0x ∈−∞时，()()11f x f x <−，所以120x x +>不成立，即C 错误；D 项中，由()e xf x x =−在(),0−∞上递减，在()0,+∞上递增，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，易知()()f x g x =有唯一的解()00,1x ∈，又()1e 12f =−<，所以211x x >>，由()()12f x g x =，即12ln 1222e ln e ln x x x x x x −=−=−，即有()()12ln f x f x =，所以12ln x x =，即12e x x =，所以1211ln ln ln e x t t tx x x t ==−−，又2t >，所以21min ln 1e t x x =− ，所以D 正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】易知3x =，经验回归直线 0.80.6x y =+过样本点的中心(),x y ，所以0.830.63y =×+=，所以524 4.3.515m ++++=×，解得3m =．13．【答案】e ,2+∞【解析】由()f x 的图象经过第一象限，得0x ∃>，使得()0f x >，即e 2xa x>，设()e (0)x g x x x =>，求导得()()2e 1x x g x x =′−，当01x <<时，()0g x ′<，当1x >时，()0g x ′>，函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()min ()1e g x g ==，有2e a >，所以实数a 的取值范围是e ,2+∞．14．【答案】49【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为1123C C 6=，取走2个黑球的方法数为23C 3=，所以乙取出白球的概率为613246336339P=×+×=++． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）213na n =−（2）36− 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则25611,114,115a d a d a d =−+=−+=−+， 依题意，2526a a a =，即()()2(114)11115d d d −+=−+−+，整理得，()1120d d −=， 解得，2d =或0d =（舍）， 所以()1121213n a n n =−+−=−； （2）21112131222nn a a n S n n n n +−+−=×=×=−， 因为2212(6)3636n S n nn =−=−−≥−， 当且仅当6n =时，等号成立， 所以n S 的最小值为36−．16．【答案】（1）略（2【解析】（1）因为F 为PC 的中点，PA AC =，所以PC AF ⊥， 因为AB ⊥平面,PAC PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，又,,AF AB A AF AB =⊂ 平面ABF ； 所以PC ⊥平面ABF ；（2）若AC PA ⊥，则,,AB AC AP 两两垂直，建立如图所示分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，()()()()10,0,0,,1,0,0,1,1,1,0,0,0,2,02A E F B C，()()()10,2,0,,1,0,0,1,1,1,0,02ACAE AF AB ====，设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z = ，则有0,0,AE n AF n ⋅=⋅=即111110,20,x y y z +=+=令11y =，则112,1x z =−=−， 所以平面AEF 的一个法向量为()2,1,1n =−−，易知AB ⊥平面,PAC ∴平面PAC 的法向量为()1,0,0AB =，设平面AEF 与平面PAC 夹角为θ，则cos AB n AB nθ⋅==⋅， 所以平面AEF 与平面PAC． 17．【答案】（1）14 （2）98【解析】（1）记事件A =“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则()1111224P A =××=，所 以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为14； （2）X 的所有可能取值分别为0，1，2， 则()111102228P X ==××=， ()11121224P X ==××=()11511488P X ==−−=X 的分布列为所以X 的期望为()151********E X =×+×+×=． 18．【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设焦距为2c ，当AB OF ⊥时，将x c =代入椭圆方程可得，22221c y a b +=，解得2b y a =±， 所以22b AB a==c a =，解得1a b ，所以C 的方程为2212x y +=；（2）设直线()()11112211:1,,,,AB x m y m A x y B x y k=+=， 与椭圆线方程联立1221220x m y x y =+ +−=可得，()22112210m y m y++−=， 由韦达定理，11212221121,22m y y y y m m −−+==++，所以2AB y =−=21112m − +，同理可得，22112CD m =− +，2212AB DE m −=−+，因为122k k =，所以212m m =，故21142AB DE m −=−=+1≤， 当且仅当11k =±时，等号成立，所以||AB DE −的最大值为． 19．【答案】（1）1k ≤（2）略【解析】（1）先证明()f x x >，构造函数()()e 1x F x f x x x =−=−−， 则()e 10xF x =′−>，故()F x 单调递增，从而()()00F x F >=， 即e 1xx >+，因此()ln 1x x >+， 当1k ≤时，()()ln 1ln 1e 1xk x x x +≤+<−，符合题意； 当1k >时，构造函数()()()()e 1ln 1x G x f x kg x k x −−−+， 则()()e ,1x k G x G x x ′=−+′单调递增，且()()010,ln 01ln k G k G k k k =′′−<=−>+， 故存在()00,ln x k ∈，使得()00G x ′=，且()00,x x ∈时，()0G x ′<，即()G x 单调递减， 则当()00,x x ∈时，()()00G x G <=，与题意矛盾． 综上所述，1k ≤；（2）依题意可知，cos 0AOB ∠>，则0OA OB ⋅> ，即12120x x y y +>，即()()1122e 1ln 1x x x x >−+． 因为12,0x x >，则不等式为()1212ln 1e 1x x x x +>−， 设11e 1x x =′−，则不等式为()()22ln 1ln 11x x x x +++′>′， 设()()ln 1x h x x+=，则()()2ln 11x x x h x x −+′+=， 设()()ln 11x H x x x =−++，则()22110(1)1(1)x H x x x x ′−=−=<+++， 因此()()00H x H <=，即()0h x ′<，即()h x 单调递减，因此()()12h x h x ′>，可得12x x ′<，即12e 1xx <+． 首先证明：2e 1(0)x x x >+>， 设()2e 1x t x x =−−，则()e 2x t x x =′−， 由（1）可知1e 1,e x x x x −>+∴>，从而e e 2x x x >>，故()()0,t x t x ′>单调递增， 因此()()00t x t >=，从而2e 1x x >+， 因而12211e 1x x x +>>+，故221xx >．。

山东济宁2024年高二下学期期末考试数学试题+答案

山东济宁2024年高二下学期期末考试数学试题+答案

2023-2024学年度第二学期质量检高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}220,2,1,0,1,2A xx x B =−−=−−∣ ，则A B ∩的元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（ ） A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀> C.230,x x x ∀ D.230,x x x ∃>3.已知随机变量()21,X N σ∼，若()20.8P X = ，则(01)P X <<=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）III IIIIVA.60种B.120种C.180种D.240种5.已知定义在R 上的偶函数()f x ，若对于任意不等实数[)12,0,x x ∞∈+都满足()()12120f x f x x x −>−，则不等式()()22f x f x >−的解集为（ ） A.(),2∞−− B.()2,∞−+ C.22,3− D.()2,2,3∞∞−−∪+6，已知两个变是x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，斥利用最小二乘法求得的回归方程是0.280.16yx +，其相关系数是1r .由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m ，具体数据如下表所示：x1 2 3 4 5 y0.50.6m1.41.5若去掉数据()3,m 后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是2r ，则（ ） A.12r r = B.12r r >C.12r r <D.12,r r 的大小关系无法确定7.已知函数()22222,0e ,0xx ax a x f x ax x −+−= −> 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]0,1 B.[]1,e C.[]0,2e D.[]1,2e 8.若2023ln2ln32023,,232024ab c ==，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0,0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.若11a b>，则a b < C.若2a b +=，则14a b+的最小值为9D.若221a b +=，则a b + 10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()4,22f x f x f x f x =−+=−.当[]2,0x ∈−时，()243f x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的图象关于直线2x =对称 B.()f x 是奇函数C.()f x 在[]4,6上单调递减D.20251()1012k f k ==∑11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n 次后质点位于位置n X ，则下列结论正确的是（ ）A.()55116P X =−= B.()50E X = C.()63D X =D.移动6次后质点位于原点O 的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()2()1m f x mm x =−−为幂函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则实数m =__________.113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.14.已知,P Q 分别是函数()e ln xf x x x x =+−和()23g x x =−图象上的动点，测PQ 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量X 为这3人中男生的人数，求X 的分行列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b a c c d b d χ−==+++++++. α0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 a x2.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）在(21)n x −的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等. （1）求12(21)nx x +−的展开式中的常数项； （2）若230123(21)n nn x a a x a x a x a x −=+++++ ，求012323n a a a a na +++++ .17.（15分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x +−=，且当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）若()()2ln f x x f x a ++ 恒成立，求实数a 的取值范围.18.（17分）已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是12，甲正确回答每道题的概率均为89，乙正确回答每道题的概率均为59，且两人每道题是否回答正确均相互独立.（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X 为比赛结束时两人的答题总个数，求X 的分布列和数学期望. 19.（17分）已知函数()()e 1xf x ax a =+−∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x 恒成立，求a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：()ln f x x >.2023—2024学年度第二学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准2024.07一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A8.提示：设()ln ,0xf x x x=>，易知()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减， 因为()()ln2ln4ln34,3243a fb f =====，所以()()()43e f f f <<，即1e a b <<. 因为1ln 1x x− （当且仅当1x =时等号成立）（选择性必修二94页），所以202320241ln1202420232023>−=−，所以2023lnc 2023ln 12024=>−，所以1e c >. 所以1ea b c <<<.故选A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD 10.ACD 11.ABD10.提示：设随机变量ξ表示“移动n 次后质点向右移动的次数”，则1,2B n ξ∼， 由题意知()n X n ξξ=−−，即2nX n ξ=−. 对于A ：()()52551512C 216P X P ξ=−==== ，A 正确； 对于B ：()()()51252525502E X E E ξξ=−=−=××−=，B 正确； 对于C ：()()()61126446622D X D D ξξ=−==×××=，C 错误；对于D ：6626,X X ξ=−的所有可能取值有6,4,2,0,2,4,6−−−，当3i =时，661C 2i最大，()()603P X P ξ===最大，D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1− 13.13四､解答题：本题共5小题，共77分.15.解：（1）零假设为0H ：该班学生的数学建模能力与性别无关因为2250(6121418)2254.327 6.6352426203052χ×−×==≈<×××，所以，依据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据证明推断0H 不成立， 因此可以认为0H 成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量X 服从超几何分布，X 可能取1,2,3.()123235C C 31C 10P X ===， ()213235C C 632C 105P X ====， ()303235C C 13C 10P X ===. 则X 的分布列为所以()39355E X =×=. 16.解：（1）因为29C C n n =， 所以11n =. 所以111111112(21)2(21)(21)x x x x x+−=×−+×−所以1112(21)x x +−的展开式中的常数项为 111101112(1)C 2(1)20x x×−+×××−=. （2）因为112311012311(21)x a a x a x a x a x −=+++++ 令0x =得01a =−.因为102101231111(21)22311x a a x a x a x ×−×=++++令1x =得12311231122a a a a ++++=. 所以01232312221n a a a a na +++++=−+= . 17.解：（1）当()1,x ∞∈+时，()2,1x ∞−∈−所以()()3332(21)(1)(1)f x f x x x x =−−=−−−=−−=− 所以当()1,x ∞∈+时，()3(1)f x x =−，又当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−，所以()3(1),f x x x =−∈R （2）因为()23(1)0f x x =−′ ，所以()3(1)f x x =−在R 上为增函数.又()()2ln f x x f x a ++ ，所以2ln x x x a ++ ，即2ln x x x a −+ .设()2ln ,0g x x x x x =−+>.则()212112x x g x x x x −++=−+=′ ()()211,0x x x x−+−>，令()0g x ′>得01x <<；令()0g x ′<得1x >.所以()g x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[)1,∞+故()max ()10g x g ==，所以0a ，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.18.解：（1）设i A =“第i 道题甲得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，i B =“第i 道题乙得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，C =“答完前两道题后两人各得1分”.则i A 与i B 独立，所以()181********i P A =×+×−= ， ()()211133i i P B P A =−=−=， ()()()()()()()()121212121212P C P A B B A P A B P B A P A P B P B P A =∪=+=+ 2112433339=×+×=. （2）随机变量X 的取值为3,5,7.()332113333P X ==+=()2222223321212125C C 3333339P X ==×××+×××= ()()()12471351399P X P X P X ==−=−==−−=所以随机变量X 的分布列为所以()124473573999E X =×+×+×=. 19.解：（1）()e xf x a ′=+①当0a 时，()()0,f x f x ′>在R 上单调递增.②当0a <时，令()0f x ′>得()ln x a >−；令()0f x ′<得()ln x a <−. 所以()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()f x 在()(),ln a ∞−−上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）①当0a 时，()f x 在R 上单调递增，又()00f =， 所以当0x <时，()0f x <，所以()0f x 不恒成立.②当0a <时，()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.所以()f x 的最小值为()()()ln ln 1f a a a a −=−+−−. 因为()0f x 恒成立，所以只要()()()ln ln 10f a a a a −=−+−− . 设()()ln 1(0)g a a a a a =−+−−<，则()()()1ln 1ln g a a a =−+−+=−′， 所以当1a <−时，()0g a ′>；当10a −<<时，()0g a ′<. 所以()g a 在(),1∞−−上单调递增，在()1,0−上单调递减.所以()()10g a g −=，即()()ln 10g a a a a =−+−− .（当且仅当1a =−时等号成立） 所以当且仅当1a =−时，()()()ln ln 10f a a a a −=−+−−=. 所以1a =−.（3）由（2）可知，()e 1xf x x =−−.设()()ln e 1ln (0)x h x f x x x x x =−=−−−>，下面证明()0h x >.所以()()211e 1(0),e 0xx h x x h x x x′=−−>=+′>′， 所以()h x ′在()0,∞+上单调递增. 又()11e 20,302h h=−>=−<′′， 所以01,12x ∃∈，使得()00h x ′=，即001e 1xx =+.所以当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′<在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x ′>在()0,x ∞+上单调递增.所以()()00000001e 1ln ln xh x h x x x x x x =−−−=−− .因为01,12x∈，所以00010,ln 0x x x −>−>，所以()()00001ln 0h x h x x x x =−−> ， 所以()ln f x x >成立.。

常州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案

常州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案

常州市教育学会学业水平监测高二数学 2023年6月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 为复数，z 为z 的共轭复数，且||15i z z =−+，则z 的虚部是A ．5iB ．5i −C ．5D ．-52．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a ⊥b 的是A ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β3．投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是A ．有且只有1个奇数的概率为18B ．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件C ．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为47D ．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件4．已知平面上的三点A ，B ，C 满足||2||AB BC = =，，向量AB 与BC 的夹角为45°，且()BC AB AB λ−⊥，则实数λ= A ．0B ．1C ．-2D ．25．一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为A ．310B ．21733103A A A ⋅ C ．3210C 0.70.3⨯⨯ D ．123C 0.70.3⨯⨯6．已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为AB ．2C．D ．3π7．对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为 A ．120B ．232C ．240D ．3608．正四棱锥S ABCD −，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是 ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数123z z z ，，，则下列说法正确的有 A ．123231z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅B ．11222()(0)z zz z z =≠ C ．若1212||||z z z z −=+，则120z z ⋅= D ．若1223z z z z ⋅>⋅，则13||||z z >10．下列说法正确的有A ．在ABC ∆中，0BC CA ⋅<，则ABC ∆为锐角三角形B ．已知O 为ABC ∆的内心，且o o 3060A B = =，，则320OA OB OC ++=C ．已知非零向量 ，a b 满足：242⋅= =+ ，a b a c a b ，则||||⋅b c b c 的最小值为12D ．已知(12)(11)= = ，，，a b ，且a 与λ+a b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是5()3−∞−，11．某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得()x y ，的10组数据如下表所示：由最小二乘法计算得到线性回归方程为11ˆˆy a b x =+，相关系数为；经过观察散点图，分析残差，把数据(16889) ，去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为22ˆˆˆy a b x =+，相关系数为．则 A ．12ˆˆaa < B ．12ˆˆb b < C ．2212r r <D ．12ˆˆ00b b > >， 12．已知在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，下列说法正确的有 A ．BD PO ⊥B ．当直线AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为45时，3PC =C ．当1PC =时，点1C 到平面1APD 的距离是32D ．当2PC =时，以O 为球心，OP 为半径的球面与侧面11ABB A 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．101(2)2x +的展开式中二项式系数最大的项的系数是 ．（用数字作答）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)(01)A B ，，，以A 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转30°，得到线段AC ，则向量AB 在向量AC 上的投影向量的坐标是 ． 15．已知平面四边形ABCD ，o 90ADC ∠=，34AB BC CD AD === =，，则AC BD ⋅= ．16．已知在矩形ABCD 中，2AB BC = =，P 为AB 的中点，将ADP ∆沿DP 翻折，得到四棱锥1A BCDP −，则二面角1A DC B −−的余弦值最小是 ．12r四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设z 是虚数，在平面直角坐标系xOy 中，1z z z，，对应的向量分别为OA OB OC ，，．（1）证明：O B C ，，三点共线； （2）若31z =，求向量OA OC +的坐标．18．（12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D −中，11AA CC ，平面11AAC C ⊥菱形ABCD ．证明：（1）11B B D D ，，，四点共面； （2）1BD DD ⊥．19．（12分）在平面直角坐标系中三点A ，B ，C 满足(12)(23)AB AC = =− ，，，，D E ，分别是线段BC AC ，上的点，满足22BD CD CE AE = =，，AD 与BE 的交点为G ． （1）求BGD ∠的余弦值； （2）求向量AG 的坐标．A 1B 1C 1D 1DCBA20．（12分）某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s 位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s ，轻症占56；年龄超过50岁的患者人数为2s ，轻症占13． （1）完成下面的22⨯列联表．若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？附：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++(其中n a b c d =+++)，2 6.6350.01()P χ=>． （2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费t （0t >）元．甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p （01p <<），根据以往试验统计，甲团队平均花费为236tp t −+．乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为q （01q <<），每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期．假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立．若p q <，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？21．（12分）记1011()(1)n n n n n n f x x a x a x a x a −−=+=++++，*n ∈N ．（1）化简：1(1)ni i i a =+∑；（2）证明：12()2()()()n n n k n f x f x kf x nf x +++2+++++（*n ∈N ）的展开式中含项的系数为221(1)C n n n +++．22．（12分）如图，在多面体EF ABCD −中，底面ABCD 是菱形，且CE ⊥底面ABCD ，AFCE ，1AC CD CE AF ====，点M 在线段EF 上．（1）若M 为EF 的中点，求直线AM 和平面BDE 的距离； （2）试确定M 点位置，使二面角D AM B −−的余弦值为3567−．F EDCBA常州市教育学会学业水平监测高二数学（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．AB10．BD11．BCD12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．25214．3()2，15．7216四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设i 0z a b b =+ ≠，，则i z a b =−，a b ∈R ，， 所以()OB a b = −，． ……………………2分 2211i i a b z a b a b −==++，所以222211()OC a b OB a b a b= −=++，． 所以OB OC ．……………………4分 又因为O 为公共点，所以O B C ，，三点共线． ……………………5分 （2）因为31z =，则2(1)(1)0z z z −++=，又因为z 是虚数，所以210z z ++=． ……………………8分2111z z z z++==−，所以(10)OA OC +=− ，． ……………………10分 18．证明：（1）由11AA CC ，1AA ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AA 平面11BCC B ．……………………2分 又因为1AA ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面111BCC B BB =， 所以11AA BB ． ……………………4分 同理：11AA DD ，所以11BB DD ，所以11B B D D ，，，四点共面． ……………………6分 （2）菱形ABCD 中AC BD ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面ABCD ， 且平面11AAC C平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ．……………………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥， 由（1）有11AA DD ，所以1BD DD ⊥． ……………………12分19．解：（1）因为22BD CD BD CD = =，，所以128(1)333AD AB AC =+=− ，． ……………………2分 又125(,1)333BE BC BA =+=−−． ……………………4分5833cos BGD −+∠==．……………………6分 （2）由A G D ，，三点共线，1233AG AD AB AC λλλ==+， 又1(1)(1)3AG AB AE AB AC μμμμ=+−=+−． ……………………8分由平面向量基本定理，得1321(1)33λμλμ⎧= ⎪⎨⎪=−⎩，．……………………10分 所以17μ=，所以1238()7777AG AB AC =+=− ，． ……………………12分 20. （1） 列联表如下：……………………2分要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则225423()26363 6.635333222s s s s s s s s s s χ⨯−⨯==>⨯⨯⨯． ……………………4分 解得9.9525s >，由题意知，s 的最小整数值为12．所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人． ……………………6分（2）甲研发团队试验总花费为X 元，根据以往试验统计得2()36E X tp t =−+， 设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3t ，6t ，所以223323(3)(1)23P Y t C q q q q q ==−+=−+，32(6)123P Y t q q ==+−，所以323232()3(23)6(123)696E Y t q q t q q tq tq t =−+++−=−+． ……………………10分 因为01p q <<<，所以3222()()696(36)6(1)0E Y E X tq tq t tp t tq q −=−+−−+<−<， 所以乙团队试验的平均花费较少，所以该公司应选择乙团队进行研发． ……………………12分21．（1）11(1)(1)nnii n i i i a i C ==+=+∑∑． ……………………2分1211(1)23(1)nin nn n n n n i i CC C nC n C −=+=+++++∑，012111(1)23(1)n i n nn n n n n n i i C C C C nC n C −=++=++++++∑． ……………………4分右侧倒序相加得，012112(1(1))(2)()(2)2ni n nn nn n n n n i i C n C C C C C n −=++=++++++=+∑，所以11(1)(2)21nn i i i a n −=+=+−∑． ……………………6分（2）(1)2(2)()()f x n f x n kf x n k f x n ++ +++ +++ 2，，，，的展开式中含n x 项的系数为123223n n nnn n n n C C C nC +++++++，因为1()!()!()!(1)(1)!!!(1)!(1)!(1)!nn n k n k n k n k n k kC kn n C n k n k n k ++++++===+=+−+−． …………………9分 所以含n x 项的系数为：1111123212322111223223(1)()(1)()n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C n C C C C +++++++++++++++++++++=+++++ =+++++ 211332221(1)()(1).n n n n n n n n n C C C n C +++++++ =++++ =+……………………12分22．（1）连接BD 交AC 于O ，取EF 中点G ，因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，O 为AC 中点． 因为AFCE ，AF CE =，所以四边形ACEF 为平行四边形． 因为O G ，分别为AC EF ，中点， 所以OG CE ．因为CE ⊥平面ABCD ，AC BD ⊂，平面ABCD ， 所以CE AC CE BD ⊥ ⊥，， 所以OG AC OG BD ⊥ ⊥，． ……………………3分 以O 为原点，建立如图空间直角坐标系O xyz −， 则3311(00)(001)(00)(00)(01)2222A MB D E − − ，，，，，，，，，，，，，，，所以31(300)(1)22BD BE = = − ，，，，，，设平面BDE 的法向量0000()n x y z = ，，， 0000n BD n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以00003031022x x y z ⎧=⎪⎨−+=⎪⎩，，所以01(021)(01)2n AM = = − ，，，，，． ……………5分 0102102n AM =−+=，设A 到平面BDE 距离为d ，00||351(0)225||AB n AB d n = ==，，，，所以直线AM 和平面BDE 的距离为55． ………7分（2）设11(01)[]22M m m ∈− ，，，，，31(0)(011)22AD AM m = − = − ，，，，，，31(0)22AB =− − ，，， 设平面ADM ，平面ABM 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z = = ，，，，，， 12120000AD n AB n AM n AM n ⎧⎧= = ⎪⎪⎨⎨= = ⎪⎪⎩⎩，，，，取1233(133)(133)22n m n m = −+ = − −，，，，，．………9分 因为二面角D AM B −−的余弦值为3567−，所以2121221213()2352|cos |||167||||3()42m n n n n n n m −+< >===−+，． 解得1344m = ，（舍），即14FM FE =． ……………………12分OABCDEFxyz G。

河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试题(含答案)

河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试题(含答案)

南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（ ）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ ）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8 设，，，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（ ）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或 （2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。

长沙市2021_2022学年高二数学下学期期末试题(含答案)

长沙市2021_2022学年高二数学下学期期末试题(含答案)

长沙市2021-2022学年 高二数学下学期期末试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}|2A x x =≥，{}1|3B x x =-<<，则A B ⋂=（ ） A.{}|2x x ≥B.{}|23x x ≤<C.{}2|x x <D.{}|12x x -≤<2.已知123a =，122b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c << B.b a c <<C.c a b <<D.c b a <<3.函数()221xf x x =-的图象大致为（ ） A. B.C. D.4.点A 的坐标为（1，3），将点A 绕原点逆时针旋转4π后到达C 点位置，则C 的横坐标为（ ）A. B.-2C.D.5.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ） A.8B.10C.12D.14★6.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（ ）A.在区间（-2，1）上，()f x 是增函数B.当2x =时，()f x 取到极小值C.在区间（1，3）上，()f x 是减函数D.在区间（4，5）上，()f x 是增函数7.已知函数()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()()g x f x x a =++.若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A.[)1,0-B.[)0,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞ 8.若函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值点，则ω的取值范围是（ ） A.17,26⎛⎤⎥⎝⎦B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D.70,6⎛⎤ ⎥⎝⎦二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.已知复数5i12iz =+，则下列各项正确的为（ ） A.复数z 的虚部为iB.复数2z -为纯虚数C.复数z 的共轭复数对应的点在第四象限D.复数z 10.如图，在ABC △中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，2DB AD =，2CE EB =.设AB 在AC 上的投影向量为AC λ，则下列命题正确的是（ ）A.λ的值为12B.λ的值为13C.199DE =D.193DE =11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的图象关于直线1x =对称B.当[]2,3x ∈时，()266f x x x =-+-C.当[]2,3x ∈时，()f x 单调递增D.()20220f =12.关于函数()1ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A.()1f 是()f x 的极大值 B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C.()f x 在（0，1）上单调递减D.设()()g x xf x =，则1e g g⎛⎫< ⎪⎝⎭三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.()()42121xx ++的展开式中3x 的系数为______.14.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()2 2.50.36P X <≤=，则()2.5P X >=______.15.若函数()()()lg 1lg 1f x ax x =---在区间[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是______.16.费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120°.已知ABC △的三个内角均小于120°，P 为ABC △的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC △面积的最大值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）设函数()211f x x x =++-.（1）画出()y f x =的图象；（2）当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值.★18.（12分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.19.（12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b BB C b A c B+=++.（1）求角C ；（2）CD 是ACB ∠的角平分线，若3CD =，ABC △的面积为c 的值. 20.（12分）设平面向量213sin ,cos 2a x x ⎛⎫=- ⎪⎭，()cos ,i b x =-，函数()f x a b =⋅. （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）若锐角α满足124f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 21.（12分）某靶场有A 、B 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A 、B 两种型号的步枪的命中率分别为14，13. （1）若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用B 型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；（2）现在A 、B 两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用A 、B 两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A 种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记X 为射击的次数，求X 的分布列与数学期望. 22.（12分）已知函数()()21ln 2a f x xb x x =-+-，且当0a =时，()f x 的最大值为-1. （1）当0a =时，求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当()1,e a ∈时，证明：()f x 的极大值小于23-. 参考答案一、二选择题 1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.BCD10.BD11.ACD12.BCD3.A 【解析】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±，且()()221xf x f x x --==--，故函数为奇函数，故排除BD ，由()4203f =>，1143234f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭-，故C 错误，故选A.4.D 【解析】设角α的终边过()1,3A ，则sin α==cos α=，r =， 将α绕原点按逆时针方向旋转4π，得β，则4πβα=+，设C 的坐标为(),x y ，则3cos 42102x r πβα⎛⎫==+=-⨯= ⎪⎝⎭⎭则点C的横坐标为.故选D.5.C 【解析】按除去小明和小李后，剩余3人与小明同组的人数确定分组方法，即1233C C 6+=种方法，这两组安装吉祥物的方法为22A =2，故按要求这五人共有6212⨯=种方法.故选C.6.D 【解析】在（4，5）上()0f x '>恒成立，∴()f x 是增函数.7.C 【解析】函数()()g x f x x a =++存在2个零点，即关于x 的方程()f x x a =--有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线y x a =--有2个交点，作出直线y x a =--与函数()f x 的图象如图所示，由图可知，1a -≤，解得1a ≥-.8.A 【解析】依据函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可知2ω≤，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知76ππω≥，最后计算可知结果.因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以T π≥，则2ππω≥，由此可得2ω≤.因为当32x k ππωπ+=+，即()6x k k ππ=+∈Z 时，函数取得极值，欲满足在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，因为周期T π≥，故在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值，故第一个极值点63x ππω=<，得12ω>.又第二个极值点776122x πππω=≥>，要使()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，必须76ππω≥，得76ω≤.综上可得，ω的取值范围是17,26⎛⎤⎥⎝⎦.故选A. 9.BCD 【解析】()()()5i 15i 5i2i 12i 12i 12i z -===+++-，复数z 的虚部为1，故A 错误；复数22i 2i z -=+-=为纯虚数，故B 正确；复数z 的共轭复数对应点（2，-1）在第四象限，故C 正确；z ==D 正确.故选BCD.10.BD 【解析】AB 在AC 上的投影向量为111cos 2233AC AB BAC AC AC AC ⋅∠=⨯⋅=，∴13λ=. ()212111333333DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， ()()2221111194291322399929DE DE AB ACAB AC ⎛⎫==+=+⋅+=+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ∴193DE =. 11.ACD 【解析】因()()11f x f x +=-，则有函数()f x 图象关于直线1x =对称，A 正确； 由()()11f x f x +=-得()()2f x f x +=-，又R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，因此有()()2f x f x +=，于是得函数()f x 是周期为2的周期函数，当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，则()()()()22222268f x f x x x x x =-=--+-=-+-，B 不正确；当[]2,3x ∈时，()268f x x x =-+-，因此()f x 在[2，3]上单调递增，C 正确；函数()f x 是周期为2的周期函数，则()()202200f f ==，D 正确；故选ACD. 12.BCD 【解析】()1ln f x x r =+，()0,x ∈+∞，()22111x f x x x x-'=-+=， ()0,1x ∈时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，可得：函数()f x 在1x =时取极小值即最小值，()11f =，∴A 不正确，而C 正确.令()()h x f x x =-，则()()2221110x x x h x x x --+-'=-=<，因此函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，而()10h =，因此函数()h x 只有一个零点1，因此B 正确.()()1ln g x xf x x x ==+，()ln 1g x x '=+在()0,x ∈+∞上单调递增，而10e g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，∴1e x =是函数()g x 的极小值点，∴1e g g⎛⎫< ⎪⎝⎭，因此D 正确.故选BCD.三、填空题 13.1214.0.14【解析】∵随机变量X服从正态分布()22,N σ，∴()()2 2.5 2.50.5P X P X <≤+>=，∴()2.50.50.360.14P X >=-=，故答案为：0.14. 15.112a <<【解析】由题意可得：()1lg1ax f x x -=-， ∵lg y x =在定义域上是单调增函数，且函数()()()lg 1lg 1f x ax x =---在区间[)2,+∞上是增函数， ∴1111ax a y a x x --==+--在[)2,+∞上是增函数，∴10a -<，∴1a <， 当01a <<时，函数的定义域为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴12a <，∴12a >，当0a ≤时，定义域为∅，∴112a <<.16. 4【解析】 ∵()()222292PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC =++=+++⋅+⋅+⋅()3PA PB PA PC PB PC ≥⋅+⋅+⋅，∴3PA PB PA PC PB PC ⋅+⋅+⋅≤.∴()1sin12024ABC S PA PB PA PC PB PC =⋅+⋅+⋅︒≤△，当且仅当PA PB PC ==时，等号成立. 四、解答17.【解析】（1）当12x ≤-时，()()()2113f x x x x =-+--=-， 当112x -<<时，()()()2112f x x x x =+--=+， 当1x ≥时，()()()2113f x x x x =++-=，则(),,,13212123,,,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩画出()y f x =的图象.（2）当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，当0x =时，()020b a f =≤⋅+，∴2b ≥，当0x >时，要使()f x ax b ≤+恒成立， 则函数()f x 的图象都在直线y ax b =+的下方或在直线上，∵()f x 的图象与y 轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，不等式()f x ax b ≤+在[)0,+∞上成立，即a b +的最小值为5.18.【解析】（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”， 则()35P A =，()3235410P AB =⨯=. （2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3110325P AB P B A P A ===.19.【解析】（1）由正弦定理及sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++，知21a b b c ab bc+=++，化简得，222a b c ab +-=.由余弦定理知，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）因为ABC △的面积11sin 22S ab C ab ===8ab =， 由角平分线定理知AD b BD a =，因为A ，D ，B 三点共线，所以a b CD CA CB a b a b=+++， 所以()22222a b ab CD CA CB CA CB a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+， 即()222161232ab ab ab ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，化简得，()()()2223163643ab a b a b ⨯==++， 解得6a b +=，所以()2222362820a b a b ab +=+-=-⨯=，由（1）知，22220812c a b ab =+-=-=，所以c =. （第2小问，用面积和得6a b +=做更简便）20.【解析】（1）()211cos cos sin 2cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭. 当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴1sin 2162,x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即函数()f x 的值域为112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）1sin 264f απα⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos cos sin 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴22217cos 22cos 1213348ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21.【解析】（1）甲击中5次的概率为5113243⎛⎫= ⎪⎝⎭，甲击中4次的概率为4511110C 133243⎛⎫⎛⎫-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲击中3次的概率为()32251128C 3133243⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以甲获得精美礼品的概率为11028391324324324324381++== （2）X 的所有可能取值为2，3，4，5，()1132121143432P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11111331114434416P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11111115411111433433424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯+-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111111551111111144334334443348P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-⨯+-⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以()2345216244812E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞. 当0a =时，()ln f x b x x =-. ①若0b ≤，因为11ln 2122f b ⎛⎫=-->-⎪⎝⎭，所以不满足题意. ②若0b >，()1bf x x'=-.当0x b <<时，()0f x '>，当x b >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减， 故x=b 是()f x 在()0,+∞上的唯一最大值点. 由于()11f =-，所以1b =.所以()11f x x'=-，()10f '=， 故所求切线方程为()101y x +=⨯-，即切线方程为1y =-.11 （2）()()()()11111x ax f x a x x x--'=-+-=， 令()0f x '=，得11x =，21x a =， 当1a e <<时，111e a <<，因为当10x a<<时，()0f x '>， 当\frac{1}{a}<x<1时，f'\left(x\right)<0，当x>1时，()0f x '>，所以()f x 在0,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数. 所以()f x 的极大值为2111111ln ln 1222a a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设()1ln 122a g a a a=---，其中()1,a e ∈， 则()()2222211112102222a a a g a a a a a --+'=+-==>， 所以()g a 在()1,e 上是增函数，所以()()1111122232222233e g a g e e e e ⎛⎫⎛⎫<=--=--<--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的极大值小于23-.。

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高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9- （C ）9 （D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14图2俯视图侧视图主视图（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37 （B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+（8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A（B（C（D （9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为 （A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32-（10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．DC 1B 1CBA（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3（20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点.（Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分11。

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